57decabeza PDF

De cabeza
57
Febrero 2008, pp.105-109 Ramanujan y el número π
“Las ideas de los matemáticos como las de los pintores o los poetas deben
ser bellas. La belleza es el primer requisito: no hay lugar permanente en el
mundo para unas matemáticas feas”
G.H. Hardy
Estimado señor:
Me permito presentarme a Vd. como un contable del departamento de

cuentas del Port Trust Office de Madrás, con un salario de 20 libras
anuales solamente. Tengo 26 años de edad. No he recibido educación
universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. He
hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los
resultados a los que he llegado son calificados como sorprendentes por
los matemáticos locales...
Querría pedirle el favor de que repasara los trabajos aquí incluidos. Si

usted se convence de que hay alguna cosa de valor, me gustaría publi-
car mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos rea-
les ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que
sigo. Debido a mi poca experiencia tendría en gran estima cualquier
consejo que usted me diera. Pido que me excuse por las molestias que
ocasiono.
Quedo, apreciado señor, a su entera disposición.
S. Ramanujan
Antonio Pérez Sanz
decabeza@revistasuma.es
105
SUMA 57
Febrero 2008
E sta es la carta que el joven Srinivasa Ramanujan, un

matemático que se consideraba a sí mismo un aficionado a las
matemáticas sin una formación académica seria. De hecho,
empleado de la aduana del puerto de Madrás en la India, Ramanujan fue rechazado en la prueba de acceso a la
había enviado a Hardy y que éste leyó con un cierto escepti- Universidad.
cismo el 16 de enero de 1913. Acompañando a la carta apare-
cían unas hojas de cuaderno en las que se apiñaban 120 extra- Hardy le invitó a trasladarse a Cambridge, a lo que Ramanujan
ñas fórmulas y la afirmación de haber descubierto una para en un principio se mostró reticente. Por fin, tras la interven-
obtener la cantidad de números primos menores que un ción de su madre y de la diosa Namagiri, de la que Ramanujan
número dado, con el sorprendente añadido de que esa fórmu- afirmaba que le dictaba sus resultados en sueños, y de una
la funcionaba sin error al menos hasta 10.000.000. También beca de 250 libras, el joven indio abandona Madrás para lle-
había unas cuantas con desarrollos en serie sobre el número gar al Trinity College en la primavera de 1913. Su estancia
π. Tras una primera ojeada, Hardy piensa que todo aquello es durante cinco años en Cambridge, hasta 1919, no fue del todo
obra de algún personaje estrafalario, de uno de tantos locos feliz. Vegetariano estricto, en un ambiente raro para él, con
con ínfulas de genio y a punto estuvo de tirarla a la papelera. una comida alejada de sus gustos y costumbres, en plena gue-
rra mundial, sin amigos salvo Hardy y Littelwod, acabó enfer-
Pero por la noche en compañía de su colega Littelwood, vuel-
ven a revisar las extrañas fórmulas y llegan a la conclusión de
que no se trata de la obra de un loco sino más bien de la de un
extraño genio.
Acompañando a la carta
aparecían unas hojas de cuaderno
“Forzoso es que sean verdaderas, porque de no en las que se apiñaban 120
serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria extrañas fórmulas y la afirmación
para inventarlas”. de haber descubierto una para
obtener la cantidad de números
primos menores que un número
Entre las más de cien fórmulas recibidas varias están relacio- dado, con el sorprendente añadido
nadas con el número π; de todas ellas Hardy sólo es capaz de
de que esa fórmula funcionaba sin
reconocer una, descubierta por Bauer, en la que aparecen los
error al menos hasta 10.000.000.
cubos de fracciones formadas con los números pares e impa-
res, y cuyos coeficientes forman una progresión aritmética de
diferencia 4:
mando seriamente, teniendo que ser ingresado en varios

sanatorios. En 1919 tras el fin de la contienda, y gravemente
enfermo, decide regresar a la India. Morirá a los pocos meses.
A pesar de ello, de su trabajo con Hardy nos ha dejado una
El resto son completamente nuevas para él y despiertan su increíble producción de resultados matemáticos sorprenden-
curiosidad y la sospecha de que Ramanujan está en posesión tes en forma de “Cuadernos”. Algunos de ellos todavía están
de teoremas más generales. Hardy se apresuró a responder a siendo estudiados.
la carta de quien ya consideraba un colega indio pidiéndole las
demostraciones de sus fórmulas y, sobre todo, la fórmula tan
ansiada desde los tiempos de Gauss acerca de la cantidad de
números primos menores que un número natural dado, no Cautivado por π
dudando en escribir:
Desde muy pequeño Ramanujan estuvo cautivado por el
número π. De hecho a lo largo de su corta vida descubrió
“Haber demostrado lo que usted afirma habría sido numerosas fórmulas para calcular aproximaciones de π.
la empresa matemática más extraordinaria de toda
la historia de las matemáticas.” Para ello, como ya venían haciendo los matemáticos desde
hacía más de 300 años, utilizó series formadas por infinitos
términos de estructura semejante. La más simple y conocida
Pero Ramanujan no envió dichas demostraciones, lo que acre- es ésta del inglés John Wallis, publicada en 1665 en su
centaría aún más el interés de Hardy hacia el desconocido Arithmetica infinitorum.
106
SUMA 57
Febrero 2008
Algunas de sus aproximaciones a π se basan en construccio-

nes geométricas y nos permiten obtener de forma rápida π
con unos cuantos decimales.
La serie se acerca a π pero con una lentitud desesperante. Si

hiciésemos los 100 primeros productos obtendríamos un
valor de π = 3,1260789... Bastante alejado del valor verdadero.
Esta otra es de apariencia más sencilla. Son fracciones cuyos

denominadores son los números impares y en las que vamos
alternando sumas y restas.
Es la serie de Gregory-Leibniz. También nos sirve para calcu-

lar aproximaciones de π. Pero tiene el mismo inconveniente:
para calcular las 100 primeras cifras de π tendríamos que des-
arrollar más de 1050 términos de la serie.
Ramanujan descubrió series que se acercaban a π con una

velocidad de vértigo. Una de ellas no deja de extrañarnos:
La fórmula no es nada elemental. Aunque esta otra no le va a Esta constituye por sí sola un auténtico poema geométrico-
la zaga. aritmético
4 ∞ ( −1) (1123 + 21460n ) ( 2n − 1) !! ( 4 n − 1) !!

n
=∑
π n =0 8822 n +132n ( n ! )
3
Pero Ramanujan no siempre recurrió a series infinitas.

Que también se puede escribir así
Esta simple expresión le proporcionaba 15 decimales de π:
107
SUMA 57
Febrero 2008
O en forma de fracción a OH por el punto K. Esta recta corta a AE en el punto I.
• Con radio AI trazamos un arco de circunferencia que corta-

rá a la recta tangente a la circunferencia en el punto A en un
punto J.
• Por fin trazamos el segmento OJ.

Aproximación que obtuvo mediante una original y creativa
construcción geométrica Hecha la construcción, Ramanujan afirma que la media pro-
porcional entre OA y OJ es aproximadamente un tercio de la
semicircunferencia ACB. Hagamos los cálculos:
Longitud de ACB = π · r = π
(i)
Calculemos el valor de AJ.
AJ = AI. Los triángulos AIK y AHO son semejantes, por tanto
por lo cual,
(ii)
• Construimos un círculo de centro O y radio la unidad. AB es También son semejantes los triángulos AHG y AEF. Además
su diámetro. AE = AG. Por tanto
• C es el punto medio del arco ACB. Dividimos en tres partes

iguales el radio OA para obtener el punto K, así:
es decir,
(iii)
• Trazamos el segmento CB y sobre él desde C llevamos dos
veces el segmento AK para obtener los puntos E y F. Así:
Calculemos AF y AE. Aplicando el teorema del coseno en el
triángulo AFB tendremos:
• Trazamos los segmentos AE y AF.

Tengamos en cuenta que:
• Con radio AE trazamos un arco de circunferencia hasta que
corte al segmento AF. Tenemos así el punto G. Por él traza-
mos una paralela a BC que cortará a AE en el punto H.
• Unimos el centro O con el punto H y trazamos una paralela
108
SUMA 57
Febrero 2008
Es decir: Sustituyendo estos valores en la expresión (iii) tendremos
y sustituyendo en (ii)
A lo largo de su corta vida de su

mano salieron cientos de formas
distintas de calcular valores
aproximados de π Sustituyendo este valor en (i) tendremos
Aplicamos ahora el teorema del coseno en el triángulo AEB
Y por tanto
Ahora
Ramanujan no encontró un par de aproximaciones a π. A lo

y por tanto largo de su corta vida de su mano salieron cientos de formas
distintas de calcular valores aproximados de π.
Decididamente, si alguien le puede disputar al genial

Arquímedes el título de padre de π, ese sería sin duda este
tímido muchacho indio: Srivinasa Ramanujan.
Y todo ello... ¿DE CABEZA?

DE CABEZA
REFERENCIAS BIBLIOGÁFICAS
BORWEIN. (1995) Grandes Matemáticos. Investigación y PEREZ SANZ, A. (2000) Documental Historias de Pi. Serie
Ciencia. Temas 1. Prensa Científica. Barcelona Universo Matemático. RTVE. Madrid
COLLANTES / PEREZ SANZ. (2007). Matemáticos a contra- POSAMENTIER / LEHMANN (2006). La proporción tras-
corriente. Ed. NIVOLA. Madrid. ( En prensa) cendental. Ed Ariel Barcelona
NEWMAN. (1968) Sigma. El Mundo de las Matemáticas. Vol.
1. Ed Grijalbo. Barcelona.
109

57decabeza PDF

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

57decabeza PDF

Cargado por

Información del documento

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

57decabeza PDF

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

De cabeza

Me permito presentarme a Vd. como un contable del departamento de

Querría pedirle el favor de que repasara los trabajos aquí incluidos. Si

Quedo, apreciado señor, a su entera disposición.

E sta es la carta que el joven Srinivasa Ramanujan, un

mando seriamente, teniendo que ser ingresado en varios

Algunas de sus aproximaciones a π se basan en construccio-

La serie se acerca a π pero con una lentitud desesperante. Si

Esta otra es de apariencia más sencilla. Son fracciones cuyos

Es la serie de Gregory-Leibniz. También nos sirve para calcu-

arrollar más de 1050 términos de la serie.

Ramanujan descubrió series que se acercaban a π con una

4 ∞ ( −1) (1123 + 21460n ) ( 2n − 1) !! ( 4 n − 1) !!

Pero Ramanujan no siempre recurrió a series infinitas.

O en forma de fracción a OH por el punto K. Esta recta corta a AE en el punto I.

• Con radio AI trazamos un arco de circunferencia que corta-

• Por fin trazamos el segmento OJ.

Calculemos el valor de AJ.

AJ = AI. Los triángulos AIK y AHO son semejantes, por tanto

• C es el punto medio del arco ACB. Dividimos en tres partes

• Trazamos los segmentos AE y AF.

• Unimos el centro O con el punto H y trazamos una paralela

Es decir: Sustituyendo estos valores en la expresión (iii) tendremos

A lo largo de su corta vida de su

Aplicamos ahora el teorema del coseno en el triángulo AEB

Ramanujan no encontró un par de aproximaciones a π. A lo

Decididamente, si alguien le puede disputar al genial

Y todo ello... ¿DE CABEZA?

También podría gustarte