Formulario de las rectas

RECTAS
1. Ecuación de la distancia entre dos puntos.
d = √ ( x 1− x 2 )2 +¿ ( y1 − y 2 )2
¿

2. Coordenadas (x, y) un punto P que divide a un segmento en la razón dada.

P1 P
r=    d o n d e   r≠−1
P P2  

x 1 +r x 2 y 1+ r y 2
x= y=
1+r 1+ r

3. Coordenadas (x, y) del Punto Medio que divide a un segmento en la razón dada
P1 P
r=    d o n d e   r=1
P P2  

x1 + x2 y 1+ y 2
x= y=
2 1+r

4. Las expresiones que se utilizan para obtener el área de un polígono a través del
uso de determinantes.

( ) ( ) ( )
1 x1 y1 1 x1 y1 1 x1 y1
1 1 1
Á r e a   P o l í g o n o   d e   c i n c o   v é r t i c e s   A B C D E=   1 x2 y2 +   1 x3 y3 +   1 x4 y4
2 2 2
1 x3 y3 1 x4 y4 1 x5 y5

1
Á r ea   P ol í g ono   d e   ci nco   v é r t i ce s   A B C D E=   ( x 1 y 2−x 2 y 1 +  x 2 y 3− x3 y 2+ x3 y 4 −x 4 y 3+x 4 y 5 −x5 y 4 +x 5 y 1−x 1 y 5 )
2

5. Ecuación de la pendiente de una recta

y 1− y 2
m=   d o n d e   x 1≠x 2
x 1− x 2

6. Condición de paralelismo de dos rectas

m 1=m 2

7. Condición de perpendicularidad de dos rectas

−1
m 2=         ó         m1 m2=−1
m1

8. Ecuación del ángulo que forman dos rectas

 m 2 −m 1
tan  
α =   
1 + m1 m 2

9. Ecuación de la recta punto-pendiente

y− y 1= m( x− x 1 )

10. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

y 1− y 2
y − y 1=     ( x − x 1 )     d o n d e   x 1≠ x 2
x 1− x 2

11. Ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen.

y=m x+ b

12. Ecuación simétrica de la recta, en ella aparecen en los denominadores la

abscisa y la ordenada al origen

x y
+ =1
a b

13. Ecuación de la forma general de una recta, donde A, B y C pueden ser cero.
Pero A y B no pueden ser cero a la vez

Ax + By + C = 0

14. A partir de la ecuación general de la recta se pueden obtener de manera

directa los valores indicados en las siguientes expresiones:

−A
la pendiente es m=
B
−C
la ordenada al origen es m=
B
−C
la abscisa al origen es m=
A

15. Las ecuaciones representan una recta en cualquier posición que no es

paralela a los ejes y no pasa por el origen.

A C
A x+B y +C=0                                     y= − x−
B B
16. La expresión establece la condición analítica de coincidencia. Esto significa
que dos rectas son coincidentes cuando sus coeficientes correspondientes son
directamente proporcionales.

A B C
= =
A´ B´ C´

17. Dos rectas se intersecan en un único punto cuando no son paralelas, en

consecuencia, las pendientes son diferentes. La siguiente expresión establece la
condición analítica de intersección.

A B ´− A ´ B≠0

18. Ecuación de la recta en la forma normal.

x cos  α+ y   s e n   α− p=0

19. Ecuación de la distancia de un punto a una recta

A x +B y +C
d= 
± √ A 2+ B2

Circunferencia

Con el centro en el origen

2 2 2
x + y =  r

Con el centro en (h,k)

( x−h )2+( y−k )2=   r 2

Forma general
2 2
x + y + D x+ E y+ F = 0

Parábola

Vertical Con el vértice en Con el vértice en Lado recto

el origen (h,k)
2
x =±4 p y ( x−h )2=±4 p ( y−k ) Lr =4 p
El signo negativo
aplica cuando abre
 hacia abajo
2
Horizontal y =±4 p x ( y− k )2=±4 p ( x−h )

El signo negativo
aplica cuando abre
hacia abajo a la
izquierda

Ejemplos:
1. Ecuación de la distancia entre dos puntos.

2. Coordenadas (x, y) un punto P que divide a

un segmento en la razón dada.
a) ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de
extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes
iguales?
b)

3. Coordenadas (x, y) del Punto Medio que divide a un segmento en la razón dada
P1 P
r=    d o n d e   r=1
P P2  

x1 + x2 y 1+ y 2
x= y=
2 1+r

a) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

b) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

4. Las expresiones que se utilizan para obtener el área de un polígono a través del
uso de determinantes.
a) Calcula el área del polígono cuyos vértices son los puntos:
A(3, 4); B(-3, 2); C(8, 2); D(2,-4)

b) Calcula el área del triángulo delimitado por los

vértices A(2, 2) , B(1, 5) y C(-2, 0).

5. Ecuación de la pendiente de una recta

 y 1− y 2
m=   d o n d e   x 1≠x 2
x 1− x 2

b) La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

a) La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la
división por 0 no está definida.

6. Condición de paralelismo de dos rectas

a) Se trazan dos segmentos en un plano, determina si son paralelos sabiendo que
sus puntos son:
Segmento AB A(3,4) B(-6,5)
Segmento CD C(8,2) D (-10,4)

Obtenemos las pendientes de las rectas:

Concluimos que m1=m2 y que por lo tanto se trata de rectas paralelas.

b) Determina si el segmento, cuyos puntos son: A(1,3) B(5,2) es perpendicular al

segmento cuyas coordenadas son C(4,4) y D(3,0)

Obtenemos las pendientes de las rectas:

Gráfica que representa dos rectas perpendiculares

7. Condición de perpendicularidad de dos rectas
a) Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen
por el punto A(3,5).

b) Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean

paralelas y perpendiculares.
8. Ecuación del ángulo que forman dos rectas

a)
b) Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores
directores son: = (-2, 1) y =(2, -3)

9. Ecuación de la recta punto-pendiente

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,2) con pendiente
m=2.
Para encontrar la ecuación de la recta sustituimos los valores de los datos
conocidos:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

punto A(2,5)con pendiente m=2.
Aquí usaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. Sabemos,
para empezar que la pendiente m=2, y que pasa por el punto A(2,5). Sustituimos
estos datos en la ecuación:
10. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
11. Ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen.
12. Ecuación simétrica de la recta, en ella aparecen en los denominadores la
abscisa y la ordenada al origen
Para encontrar la ecuación de una recta, si la longitud de su normal es 8 y su
ángulo de inclinación ω = 60º se tienen los dos datos que se requieren para
determinarla. Sólo hace falta calcular el valor del coseno y del seno de 60º, lo cual
se puede hacer con ayuda de unas tablas o de una calculadora.

Como

Al sustituir los valores correspondientes en la forma que tiene la ecuación normal

se obtiene:

Si se eliminan los denominadores, multiplicando por 2 a todos los términos, se

obtiene la ecuación de la misma recta en su forma general:

Hallar la forma normal de recta, dada su ecuación general

Forma normal
La ecuación de la recta en su forma normal es:

donde A, B, C ∈ R y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultáneamente.

Para obtener esta ecuación basta dividir ambos lados de la ecuación de la recta
en su forma general entre

Ejemplo:
Encuentra la ecuación en forma normal de la recta: 12 x − 5y + 1 = 0.
En este ejemplo necesitamos convertir la ecuación de la recta en forma general a
la forma normal.
Para eso basta calcular el valor del denominador: y dividir ambos lados

de la ecuación (en su forma general) por ese valor.

Entonces, la ecuación simétrica la obtenemos dividiendo entre 13:

En este primer ejemplo obtuvimos un valor entero para pero eso no

siempre ocurrirá.
La mayoría de las veces encontraremos raíces de números que no se podrán
simplificar.
En esos casos es mejor dejar indicada la raíz y no escribir decimales. Es más fácil
de entender la ecuación mientras menos decimales contenga y es más fácil de
escribir la ecuación cada vez.

13. Ecuación de la forma general de una recta, donde A, B y C pueden ser cero.
Pero A y B no pueden ser cero a la vez.
A) EJEMPLO:
2x–3y=4
Los valores constantes son: a = 2, b = -3 y c = 4
Las incógnitas son x, y
ax+by=c
Si despejamos la incógnita y :
2x–3y=4
2x–3y–2x=4–2x
-3 y = 4 – 2 x
y=4–2x
-3
B) ¿Es (3,11) una solución a la ecuación y = 2x + 5?
Y = 2x + 5
11 = 2(3) + 5
11 = 6 + 5
11 = 11

Parábola
Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas,
indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la
directriz.

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la

directrices de las parábolas: