2017

Edición

Dominio
Matemático
 Créditos

DOMINIO MATEMÁTICO
Servicio Ecuatoriano de Capacitación Profesional - SECAP
Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación-SENESCYT

ELABORACIÓN Y REVISIÓN:

SECAP
Dirección Ejecutiva
Subdirección Técnica
Dirección de Diseño Pedagógico

SENESCYT
Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e
Innovación
Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior
Dirección de Nivelación

EQUIPO CONSULTOR

Ing. Patricio Rodríguez Montalvo MSc.

Primera edición.

Octubre 2017.

Quito - Ecuador.

Reservados todos los derechos SECAP-SENESCYT 2017.

 Presentación

El presente manual “Dominio Matemático” ha sido elaborado con la finalidad de facilitar los
procesos de capacitación que ejecuta el SERVICIO ECUATORIANO DE CAPACITACIÓN
PROFESIONAL – SECAP en conjunto con LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR,
CIENCIA, TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN - SENESCYT.

Este documento ha sido elaborado a partir del análisis de los resultados alcanzados por los
estudiantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuya evaluación
les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto
de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático,
de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos

reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y dar
respuesta a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en
estructuras y conceptos fundamentales.

En estas unidades formativas se trabajará, teoría del conteo, ecuaciones e inecuaciones,

funciones, sucesiones, series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas
necesarias para su análisis más complejo.

Dirección de Diseño Pedagógico

 Orientaciones Metodológicas

DOMINIO MATEMÁTICO
ÁREA: Educación y Capacitación.

ESPECIALIDAD: Capacitación (Identificación de necesidades,

Procesos de capacitación continua, evaluación y seguimiento)

OBJETIVO: Resolver problemas estructurados y de representación

de variables, evaluando y aplicando las teorías de conteo, ecuacio-
nes e inecuaciones, funciones, sucesiones, series y vectores.
 Pre requisitos

Para iniciar el curso y avanzar con óptimos resultados en el

aprendizaje, el participante debe contar con los siguientes requisitos:

• Bachillerato aprobado.
• Edad mínima: 16 años cumplidos.
• Otros: Que hayan rendido el examen SER BACHILLER y que
no han obtenido un cupo para la Educación de Nivel Superior.
 DOMINIO MATEMÁTICO

Índice
1.1. Teoría Combinatoria................................................................................................................. 8
1.1.1. Introducción.............................................................................................................................. 8
1.1.2. Principios básicos:.................................................................................................................... 9
1.1.2.1 Principio básico (multiplicación)..............................................................................................9
1.1.2.2 Principio básico (suma).........................................................................................................10
1.2. Métodos de Conteo..................................................................................................................11
1.2.1. Permutaciones (Pn): definición...............................................................................................11
1.2.1.1. El factorial de un número.................................................................................................... 12
1.2.2. Variaciones: definición............................................................................................................ 12
1.2.3. Combinaciones: definición..................................................................................................... 13
Glosario de términos........................................................................................................................ 17
Bibliografía....................................................................................................................................... 18

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DOMINIO MATEMÁTICO

OBJETIVO: Al finalizar el presente módulo estarás en la capacidad de:

• Identificar en problemas de teoría combinatoria permutaciones, variaciones y combinaciones.

• Determinar el número de arreglos posibles de un conjunto de elementos con aplicaciones en ejercicios

y problemas.

Fuente: www.google.com

Bienvenido(a) y comencemos…

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 DOMINIO MATEMÁTICO

RELACIONADA A LA TEORÍA COMBINATORIA Y

ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE INFORMACIÓN
UNIDAD FORMATIVA 1

MÉTODOS DE CONTEO
Evalua tus conocimientos ingresando en la plataforma virtual:
Evaluación diagnóstica Unidad Formativa UNO / evaluación diagnóstica

1.1. Teoría Combinatoria

1.1.1. Introducció La teoría combinatoria que se relaciona con las técnicas de conteo, persigue
básicamente darnos información sobre todas las formas posibles en las cuales puede ocurrir un evento
específico bajo determinadas condiciones o reglas, esto es, determinar el número de ordenamientos
o agrupamientos, posibles entre los elementos de un conjunto.

Contexto

Imagina la siguiente situación:

En tu casa tu papá, ha pensado en colocar una alarma de seguridad, que tiene un código
formado por cinco elementos, de acuerdo a la siguiente condición:

- Los 3 primeros elementos deben ser una letra vocal.

- Los 2 últimos elementos pueden ser cualquier dígito.

Se te pide que establezcas el código y que indiques ¿cuántas opciones de códigos

dispones?

Puedes pensar en formar todas las opciones posibles, pero te llevaría mucho
tiempo ¡verdad! Damos respuesta a esta y otras preguntas que están relacionadas con
las técnicas de conteo con el estudio de esta unidad.

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DOMINIO MATEMÁTICO

1.1.2 Principios básicos:

1.1.2.1 Principio básico (multiplicación)

Si existen m formas en las que puede ocurrir un evento A y n formas en las que puede ocurrir un evento
B, existirán m × n maneras diferentes de que sucedan ambos eventos.

Aplicación:
En el contexto de inicio planteado, encontramos la siguiente representación:

? v ? v ? v ? d ? d

Fuente: www.google.com

Los tres primeros elementos de tu código secreto son vocales y los dos últimos son dígitos, como no se
especifica lo contrario, suponemos que tanto las vocales como los dígitos pueden repetirse; por tanto,
tendrías las siguientes opciones por cada elemento:

• 5 opciones en cada elemento de las vocales.

• 10 opciones en cada elemento de los dígitos.

Solución:

Aplicando el principio de multiplicación tenemos como resultado:

(5)×(5)×(5)×(10)×(10) Opciones totales, las cuales dan un total de 12500 combinaciones.

Así, este principio simple te permite calcular con un método de conteo las opciones totales que
tienes para establecer. En este caso tu código de seguridad.

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 DOMINIO MATEMÁTICO

Para pensar:

Calcula los nuevos totales, si tienes las siguientes condiciones:

a) Tanto las vocales como los dígitos no pueden repetirse.

b) En los primeros tres elementos puedes utilizar vocales o consonantes del alfabeto.

Participa en el foro ingresando en la plataforma virtual:

Actividades FORO Unidad Formativa UNO / Actividades / Foro

1.1.2.2 Principio básico (suma).

Si un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y otro B de k maneras diferentes, incompatibles

las unas con las otras; las maneras totales en que puede ocurrir el evento A o el evento B, pero no
ambos, es: m + k.

Aplicación:

Se lanzan dos dados normales.

¿De cuántas maneras se puede obtener una suma igual a 3 o 4?

Fuente: www.google.com

Solución:

Los eventos: obtener un 3 o lograr un 4 son eventos incompatibles, pues no pueden

suceder simultáneamente.

Determinemos las posibilidades de los eventos como conjuntos de pares ordenados

( dado 1 y el dado 2 ).

Evento A: Obtener una suma de 3 = {(1,2);(2,1)}, 2 opciones.

Evento B: Lograr una suma de 4 = {(1,3);(3,1);(2,2)}, 3 opciones.

Luego: Para obtener una suma de 3 o 4 tenemos que sumar 2 + 3, obtenemos 5 maneras.

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DOMINIO MATEMÁTICO

1.2. Métodos de conteo

De acuerdo a las condiciones propuestas en los ejercicios y problemas, podemos tener diferentes
métodos para determinar el número total de arreglos posibles entre los elementos de un conjunto, los
mismos que están basados en ordenamientos y agrupaciones.

1.2.1. Permutaciones (Pn): definición.

Las permutaciones de un conjunto de n elementos las entendemos como todos los posibles
ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de este conjunto.

Aplicación:

Si en la final de una competencia de 100m planos

compiten 3 deportistas numerados (12), (45) y
(31) que lograron cronometrar el tiempo requerido
para la final, ¿dé cuántas maneras pueden llegar
a la meta y ubicarse en las tres posiciones?
Fuente: www.google.com

Como la pregunta tiene que ver con todos los posibles ordenamientos de llegada a la meta, podemos
formarlos de la siguiente forma:

Solución:

• (12)(31)(45) • (31)(45)(12)

• (12)(45)(31) • (45)(12)(31)

• (31)(12)(45) • (45)(31)(12)

Un total de 6 ordenamientos posibles

En este caso la formación resultó simple, pero en el caso de tener 5 o más competidores en la
final nos llevaría más tiempo, y no resultaría tan agradable; es por esta razón que el cálculo de
permutaciones se basa en la siguiente definición.

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 DOMINIO MATEMÁTICO

1.2.1.1. El factorial de un número.

Dado un número natural n, su factorial se simboliza como n! y se calcula de acuerdo a la siguiente
expresión:

n! = 1×2×3×…×n

Tomando en cuenta que:

0!=1

n! representa el número total de ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos
de un conjunto.

En la aplicación anterior tenemos en la final 3 competidores, por tanto 3 elementos, y el cálculo

de sus posibles ordenamientos, esto es, las probables posiciones de llegada son 3!

Solución:

3! = 1 × 2 × 3 = 6 opciones totales, que concuerda con el número de formaciones realizadas.

Por tanto, para calcular el número de las posibles ordenaciones de un conjunto de n elementos
emplearás la siguiente expresión:

Expresión de las permutaciones: Pn = n!

1.2.2. Variaciones (V pn ). Definición

Las variaciones las entenderemos como todas las posibles permutaciones o agrupamientos
ordenados de p elementos que podemos realizar en un conjunto de n elementos.

Condición: n >p

Expresión:

Existen muchas ocasiones en las que necesitamos escoger subconjuntos ordenados dentro de un
conjunto total, tú lo has vivido muchas veces cuando dentro de un grupo de compañeros eligen por
ejemplo, una directiva para que los represente.

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DOMINIO MATEMÁTICO

Aplicación

En tu aula de clases hay 25 estudiantes en total, y

necesitan elegir, al inicio del año un presidente, un
vicepresidente y un tesorero. ¿De cuántas formas
los pueden elegir?

Fuente: www.google.com

Lo primero que debes reconocer es que se formarán en la elección subconjuntos de

3 estudiantes, que corresponden a las 3 dignidades a elegir, y también que la clave
para la aplicación de las variaciones consiste en que el ORDEN es importante en estos
subconjuntos, pues las dignidades a elegir cumplirán labores diferentes.

Solución:

Tenemos como información n = 25 y p = 3.

Por tanto, procedemos a calcular:

Obteniendo un resultado de: 13800 maneras posibles

1.2.3. Combinaciones . Definición.

En muchas situaciones necesitamos seleccionar grupos de elementos de un conjunto, en los cuales el
orden de los mismos carece de importancia, en este contexto aplicamos las denominadas combinaciones
de p elementos de un conjunto de n elementos totales.

Condición:

Expresión:

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Aplicación:
En un bar disponen de 3 tipos de frutas para realizar jugos
de: naranja, mora y tomate. ¿Cuántos tipos de jugos pueden
preparar si realizan una combinación de dos frutas en cada
preparación?
Fuente: www.google.com

Al tomar en cuenta que en la preparación de los jugos NO IMPORTA EL ORDEN de las frutas al
momento de seleccionarlas, procedemos de la siguiente forma:

Solución:

Tenemos como información n = 3 y p = 2

Por tanto, procedemos a calcular:

Obteniendo un resultado de: 3 opciones de jugo en el bar.

Para pensar:

Calcula el nuevo total de opciones bajo la condición de que los

jugos se pueden preparar con una, dos o las tres frutas:

También te puedo mencionar que existen situaciones en las que puedes combinar
estos conceptos en la solución de un problema, como en el siguiente caso:

Participa en el foro ingresando en la plataforma virtual:

Actividades FORO Unidad Formativa UNO / Actividades / Foro

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Ejemplo 1: En una empresa necesitan formar un comité de 3 hombres y 2 mujeres, y tienen

entre el personal como elegibles a 5 hombres y 4 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede
crear este comité?

Es claro ver que al seleccionar los hombres y las mujeres para el comité no importa el orden,
por lo tanto, procedemos con el uso de combinaciones de la siguiente forma:

Solución:

Para los hombres tenemos:

Para las mujeres tenemos:

y aplicando el principio básico inicial tenemos: (10) (6) = 60 opciones totales

Puedes también ingresar a los siguientes enlaces para favorecer tu comprensión y practicar los
conceptos aprendidos.

Enlaces a recursos y práctica

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinatorics-precalc/v/
permutation-formula

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinations/v/introduction-
to-combinations

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Fortalecimiento de conocimientos:

Recursos didácticos

Realiza el siguiente juego para fortalecer tus conocimientos accediendo a la plataforma virtual:
Unidad Formativa UNO / Recursos didácticos / Desafía tus conocimientos

Realiza las siguientes tareas accediendo a la plataforma virtual:

Actividades TAREA Unidad Formativa UNO / Actividades / Tarea

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Glosario

Aplicación. En matemática, puesta en práctica de procedimientos matemáticos en diferentes contextos.

Combinación. de n elementos tomados de p en p, subconjuntos de p elementos de un conjunto de n

elementos totales, en los cuales el orden posicional no interesa, pueden tener o no repetición.

Concepto. Una idea que concibe o forma el entendimiento.

Condición. Propiedad que se debe cumplir para que una situación se cumpla.

Conteo. Técnica utilizada para cuantificar opciones de eventos.

Contexto. Circunstancias de diferente grado de dificultad que rodean a una situación y permiten
comprenderla.

Definición. Proposición que delimita la comprensión de un concepto.

Evento. Acontecimiento o suceso de interés.

Expresión. Conjunto de letras y números que caracterizan un término matemático.

Factorial. Producto de un número entero positivo por todos sus inmediatos inferiores hasta llegar a la
unidad.

Permutación. Son listas en donde el orden es importante, pueden tener o no repetición.

Principio. Idea fundamental en la que se basa una técnica.

Problema. En el contexto matemático es una situación planteada cuyo algoritmo de solución no es

inmediato.

Suceso. Acontecimiento o evento de interés.

Técnica. Procedimientos para una determinada tarea que se adquiere al practicarla.

Variaciones. En matemáticas de n elementos tomados de p en p, se refiere a subconjuntos ordenados

de p elementos de un conjunto de n elementos totales, pueden tener o no repetición.

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 DOMINIO MATEMÁTICO

Bibliografía

• Álvarez, Guerrero. (2006). Fundamentos de Matemáticas ESPOL Guayaquil. Poligráfica.

• Galindo. (2015). Matemática: Conceptos y aplicaciones. Quito. Prociencia.

• Galindo. (2012). Matemáticas Superiores. Quito. Prociencia.

• Benalcázar (2014). Fundamentos de Matemática. Quito. Impresión digital.

• Benalcázar (2014). Análisis Numérico. Quito. Impresión digital.

• Blythe, Fensom. (2015); Estudios Matemáticos. Reino Unido. Oxford.

• Brown, Carrell. (2103); Matemáticas Nivel Medio. Slovakia. Pearson.

• Villafuerte, Oquendo. (2016) Matemática Bachillerato. Quito. Santillana

• Calderón. (2016). Repositorio.continental. Perú. Recuperado de

http://repositorio.continental.edu.pe/handle/continental/1782

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