Ecuación Trigonométrica Tangente y Cotangente

Solución a una ecuación trigonométrica con tangente y cotangente
@autor: script-cat@outlook.com
Tan 6 x2 + 7 x + 8 = Cot (11 x - 6)

restamos Cot (11 x - 6) en ambos lados
Tan 6 x2 + 7 x + 8 - Cot (11 x - 6) = 0
expresamos en términos de senos y cosenos

Sin (6 x2 + 7 x + 8) Cos (11 x - 6)
- = 0
Cos (6 x2 + 7 x + 8) Sin (11 x - 6)
operamos el lado izquierdo
Sin 6 x2 + 7 x + 8 Sin (11 x - 6) - Cos 6 x2 + 7 x + 8 Cos (11 x - 6) 
Cos 6 x2 + 7 x + 8 Sin (11 x - 6)  = 0
es igual a 0, si el numerador es igual a 0

Sin 6 x2 + 7 x + 8 Sin (11 x - 6) - Cos 6 x2 + 7 x + 8 Cos (11 x - 6) = 0
multilpicamos en ambos lados por (-1)
Cos 6 x2 + 7 x + 8 Cos (11 x - 6) - Sin 6 x2 + 7 x + 8 Sin (11 x - 6) = 0
Simplificamos la ecuacuion
Cos6 x2 + 7 x + 8 Cos[11 x - 6] - Sin6 x2 + 7 x + 8 Sin[11 x - 6] ⩵ 0 // FullSimplify

coseno coseno seno seno simplifica completamente
Cos2 + 6 x 3 + x ⩵ 0
para llegar al mismo resultado del software podemos usar la identidad trigonométrica de la suma o
resta angular
Cos (x + y) = Cos (x) Cos (y) - Sin (x) Sin (y)
continuando, tenemos entonces que, luego expandiendo el angulo interno del coseno
Cos[2 + 6 x (3 + x)] = 0
Expand2 + 6 x 3 + x
expande factores
2 + 18 x + 6 x2
finalmente tenemos que resolver la ecuación

Cos 6 x2 + 18 x + 2 = 0
antes de resolver la ecuación echemos un vistazo a la función coseno

2 ecuacion_trigo.nb
Plot[Cos[x], {x, 0, 8 Pi}]

repr⋯ coseno número pi
1.0
0.5
5 10 15 20 25
-0.5
-1.0
el coseno es una función periódica con periodo de 2π, es decir la función se repite cada 2π veces.
Ahora veamos la función acotada de 0 a 2π
Plot[Cos[x], {x, 0, 2 Pi}]
1.0
0.5
1 2 3 4 5 6
-0.5
-1.0
π 3π
Ahora ¿ donde el coseno toma el valor de 0 ? sabemos que el Cos 2  = 0 y también que Cos 2
 =0
ecuacion_trigo.nb 3
Show
muestra
Plot[Cos[x], {x, 0, 2 Pi}],
π
ContourPlotx ⩵ , {x, 0, 2 Pi}, {y, - 1, 1},
2
representación de contornos número pi
3π
ContourPlotx ⩵ , {x, 0, 2 Pi}, {y, - 1, 1}
2
representación de contornos número pi
1.0
0.5
1 2 3 4 5 6
-0.5
-1.0
pero esto se repite cada 2π veces hasta el infinito, en otras palabras si a cualquier angulo del coseno
le sumamos {1,2,3,4......n} veces 2π este nos dará el mismo resultado, entonces podemos afirmar que:
π 3π
Cos  + 2 π n = 0, Cos  + 2 π n = 0
2 2
donde n, es un numero entero que multiplica al periodo (2π).
Ahora que ya sabemos los ángulos para los cuales la función coseno es igual a cero podemos
resolver la ecuación,
Cos (6 x2 + 18 x + 2) = 0
Igualando los ángulos que hacen que la igualdad sea verdadera, entonces tenemos que resolver las
siguientes ecuaciones de polinomios
π
6 x2 + 18 x + 2 = +2πn
2
3π
6 x2 + 18 x + 2 = +2πn
2
esto se puede resolver igualando a 0 y haciendo uso de la formula cuadrática, yo lo resolveré haciendo
uso del comando Solve de Mathematica
4 ecuacion_trigo.nb
π
In[70]:= Solve6 x2 + 18 x + 2 == + 2 π n, x
resuelve 2
3π
Solve6 x2 + 18 x + 2 == + 2 π n, x
resuelve 2
Out[70]= x → 1 -9 - 3 4 n π + 1 276 + 12 π , x → 1 -9 + 3 4 n π + 1 276 + 12 π 

6 12 6 12
Out[71]= x → 1 -9 - 3 4 n π + 1 276 + 36 π , x → 1 -9 + 3 4 n π + 1 276 + 36 π 

6 12 6 12
Estas son las soluciones a la ecuación

Tan 6 x2 + 7 x + 8 == Cot (11 x - 6)
1 1 1 1
x= -9 - 3 4nπ+ (276 + 12 π) , x = -9 + 3 4nπ+ (276 + 12 π) ,
6 12 6 12
1 1 1 1
x= -9 - 3 4nπ+ (276 + 36 π) , x = -9 + 3 4nπ+ (276 + 36 π)
6 12 6 12
donde n es cualquier entero
ahora graficamos algunos puntos solo para n = 1

(* coodenada de los puntos en x *)
1 1
xx = N -9 - 3 4nπ+ 276 + 12 π //. {n → 1},
6 numérico
valor 12
1 1
N -9 + 3 4nπ+ 276 + 12 π //. {n → 1},
6 numérico
valor 12
1 1
N -9 - 3 4nπ+ 276 + 36 π //. {n → 1},
6 numérico
valor 12
1 1
N -9 + 3 4nπ+ 276 + 36 π //. {n → 1}
6 numérico
valor 12
Out[143]= {- 3.29601, 0.296013, - 3.4363, 0.436301}

ecuacion_trigo.nb 5
In[155]:= (* coodenada de los puntos en y *)

funTan[x_] := Tan6 x2 + 7 x + 8
tangente
yy = Table[ funTan[numx[[i]]], {i, 1, 4}]
tabla
(* pone los datos en forma {x,y}*)
data = Transpose @ {xx, yy};
transposición
Out[156]= {- 0.156617, 2.38022, 5.40383, - 0.387989}
In[158]:= Show
muestra
Plot
representación gráfica
Tan6 x2 + 7 x + 8, Cot[11 x - 6], {x, - 4, 1}, ImageSize → Large
tangente cotangente tamaño de i⋯ grande
,
ListPlot[data]
representación de lista

Out[158]=
-4 -3 -2 -1 1
-2
-4
-6
“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad”
- Albert Einstein

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Solución a una ecuación trigonométrica con tangente y cotangente

Tan 6 x2 + 7 x + 8 = Cot (11 x - 6)

expresamos en términos de senos y cosenos

es igual a 0, si el numerador es igual a 0

Cos6 x2 + 7 x + 8 Cos[11 x - 6] - Sin6 x2 + 7 x + 8 Sin[11 x - 6] ⩵ 0 // FullSimplify

finalmente tenemos que resolver la ecuación

antes de resolver la ecuación echemos un vistazo a la función coseno

Plot[Cos[x], {x, 0, 8 Pi}]

Out[70]= x → 1 -9 - 3 4 n π + 1 276 + 12 π , x → 1 -9 + 3 4 n π + 1 276 + 12 π 

Out[71]= x → 1 -9 - 3 4 n π + 1 276 + 36 π , x → 1 -9 + 3 4 n π + 1 276 + 36 π 

Estas son las soluciones a la ecuación

donde n es cualquier entero

ahora graficamos algunos puntos solo para n = 1

Out[143]= {- 3.29601, 0.296013, - 3.4363, 0.436301}

In[155]:= (* coodenada de los puntos en y *)

Out[156]= {- 0.156617, 2.38022, 5.40383, - 0.387989}

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