Validacion de Un Modelo CFD para Analisis de Golpe de Ariete en Conductos Cerrados - Tesis Espol - 2012

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Facultad de Ingeniería Mecánica y Ciencias de la

Producción
“Validación de un modelo CFD para análisis de golpe de ariete en

conductos cerrados”
TESIS DE GRADO
Previo a la obtención del título de:
INGENIERO MECÁNICO
Presentada por:
EDUARDO ADÁN CASTILLO OROZCO
GUAYAQUIL – ECUADOR
Año: 2012
AGRADECIMIENTO
Agradezco a todas las
personas que de uno u otro
modo contribuyeron a la
realización de esta tesis.

DEDICATORIA
A GIANELLA POR SU
AMOR INCONDICIONAL Y A
MIS PADRES POR SU
INVALUABLE GUÍA.
TRIBUNAL DE GRADUACIÓN
_________________________ _________________________
Ing. Gustavo Guerrero M. Ing. Ricardo Naranjo S.

DECANO DE LA FIMCP DIRECTOR DE TESIS
PRESIDENTE
_________________________
Ing. Mario Patiño A.

VOCAL
DECLARACIÓN EXPRESA
“La responsabilidad del contenido de esta
Tesis de Grado, me corresponden
exclusivamente; y el patrimonio intelectual
de la misma a la ESCUELA SUPERIOR
POLITECNICA DEL LITORAL”.
(Reglamento de Graduación de la ESPOL).
________________________
Eduardo Adán Castillo Orozco

RESUMEN
En esta tesis de grado se validó un modelo CFD (Computational Fluid
Dynamics) para el análisis de flujos transitorios en conductos cerrados,
simulando numéricamente un golpe de ariete.
Los golpes de ariete son fenómenos hidráulicos transitorios que ocurren
debido al cambio instantáneo en la velocidad del fluido. En éste se producen
ondas de sobre y baja presión que viajan a lo largo de los conductos. Éste
puede ocurrir en todos los sistemas de presión de tuberías, suscitando
graves daños. En esta tesis se analizó este fenómeno, dándole mayor
énfasis a la presencia de éste en tuberías de presión de centrales
hidroeléctricas.
Para la validación CFD del golpe de ariete se elaboró una simulación
numérica CFD de un modelo tridimensional transitorio. Posteriormente los
resultados de este análisis fueron validados con resultados experimentales.
De esta manera se dejó establecida una metodología para el análisis de este
tipo de problemas, permitiendo emplear la misma metodología para casos
reales específicos.
II
Para la validación de este modelo CFD, se analizaron los resultados del
análisis computacional, principalmente los valores de presiones predichas
por el modelo, los cuales fueron comparados con una onda de golpe de
ariete obtenida mediante mediciones reales. En el capítulo 5 se presenta la
comparación y análisis de ambos resultados, para la determinación del error
de la simulación; sin embargo para mejor comprensión de la metodología de
análisis se recomienda la revisión de los capítulos de la forma en que se
encuentran numerados.
III
ÍNDICE GENERAL
Pág.
RESUMEN…………………………………………………………………….. I
ÍNDICE GENERAL…………………………………………………………… III
ÍNDICE DE FIGURAS….…………………………………………………….. VIII
ÍNDICE DE TABLAS…………………………………………………………. XII
ABREVIATURAS……………………………………………………………... XIII
SIMBOLOGÍA……….………………………………………………………… XIV
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………... 1
CAPÍTULO 1
1. CONSIDERACIONES GENERALES……………………..…………………. 3
1.1. Descripción del problema…………………………………………….….. 4
1.2. Objetivos………………………………………………………..…….....… 6
1.2.1. Objetivos generales………………………………….…………..... 6
1.2.2. Objetivos específicos………………………………………………. 7
1.3. Metodología de la tesis……………………………………………..…… 7
1.4. Estructura de la tesis…………………………………………………...… 9

IV
CAPITULO 2
2. MARCO TEÓRICO…………………………………………………..………. 11
2.1. Introducción……………….……………………………………………... 11
2.2. Ecuaciones de flujo no permanente a través de conductos
cerrados……...………………………………………………………...… 28
2.3. Método de Las Cartas de Allievi………….……………...……….……. 38
2.4. Transitorios hidráulicos en plantas hidroeléctricas……….….….…… 48
2.5. Cavitación transitoria y separación de columna…………………..…. 69
2.6. Metodología para el control de transientes hidráulicos………....…... 71
2.7. Fundamentos de la Dinámica de Fluidos Computacional….……..… 79
2.8. Software CFD………………………………..….…………………….... 104
CAPITULO 3
3. ANÁLISIS CFD……………………………………………………………… 110
3.1. Introducción a la simulación CFD………………………………….… 111
3.2. Geometría del problema………..…………………………………..… 112
3.2.1. Descripción de la geometría………………………………….... 112
3.2.2. Modelado tridimensional de la geometría…………………..… 113
3.3. Mallado…………………………………………………………………. 117
3.3.1. Selección del tipo de mallado…..……………………………… 118
3.3.2. Mallado…………….……………………………………………... 120

V
3.3.3. Calidad del mallado………..……………………………………. 128
3.3.4. Análisis de la calidad de mallado……………………………… 132
3.4. Condiciones de frontera……………………………………………….. 138
3.4.1. Entrada…………………………………………………………… 139
3.4.2. Salida………………………………………………………...…… 140
3.4.3. Pared……………………………………………………………... 144
3.5. Criterios de resolución…………………………………………..…… 145
3.6. Resolución estable…………………………………………………….. 146
3.6.1. Propiedades del fluido………………………………………..… 146
3.6.2. Algoritmo de resolución………………………………………… 148
3.6.3. Modelo de turbulencia…………………………………….….… 148
3.6.4. Controles de solución……………………………………...…… 151
3.6.5. Monitores de convergencia………….…………………….…… 153
3.7. Resolución transiente……………………………………………..…… 157
3.7.1. Propiedades del fluido………………………………………..… 157
3.7.2. Algoritmo de resolución………………………………………… 161
3.7.3. Modelo de turbulencia……………………………………..…… 161
3.7.4. Controles de solución………………………………………...… 165
3.7.5. Control del tiempo…….………………………………………… 166
3.7.6. Monitores de convergencia……………….………………….… 170

VI
3.8. Resultados CFD………………………………………………………... 174
3.8.1. Resultados de la resolución estable………………………..… 174
3.8.2. Resultados de la resolución transiente………………..……... 178
CAPITULO 4
4. MEDICIONES EXPERIMENTALES………………………………………. 186
4.1. Metodología de medición……………………………………………... 186
4.1.1. Introducción…………………………………………………….... 186
4.1.2. Fundamentos de la medición experimental……………….…. 187
4.1.3. Metodología……………………………………………………… 188
4.2. Equipos de mediciones experimentales……………………………... 191
4.3. Resultados de mediciones experimentales…………………………. 196
CAPITULO 5
5. ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS……………………… 199
5.1. Análisis de resultados CFD…………………………………………… 199
5.2. Análisis de mediciones experimentales……………………………… 201
5.3. Comparación de resultados…………………………………………… 203

VII
CAPITULO 6
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………….…… 208
6.1. Conclusiones………………………………………………………...…. 208
6.2. Recomendaciones……………………………………………………... 210
APÉNDICES
BIBLIOGRAFÍA
VIII
ÍNDICE DE FIGURAS
Pág.
Figura 1.1 Metodología de la tesis………..…………………………... 8
Figura 2.1 Incremento de presión debido a un cambio
instantáneo de la velocidad………..……………………… 14
Figura 2.2.a Propagación de la onda de presión en t + δ t ..………….. 22
Figura 2.2.b Propagación de la onda de presión en t = L / a …..…..… 22
Figura 2.2.c Propagación de la onda de presión en t = L / a + δt ..…… 23
Figura 2.2.d Propagación de la onda de presión en t = 2 L / a .………. 23
Figura 2.2.e Propagación de la onda de presión en t = 2 L / a + δt ..…. 24
Figura 2.2.f Propagación de la onda de presión en t = 3L / a ..…..….. 24
Figura 2.2.g Propagación de la onda de presión en t = 3L / a + δt .….. 25
Figura 2.2.h Propagación de la onda de presión en t = 4 L / a ..…..….. 25
Figura 2.3 Variación de la presión en un sistema sin pérdidas
por fricción debido al cierre instantáneo de una válvula.. 26
Figura 2.4 Conservación de la masa para flujo no permanente…... 29
Figura 2.5 Conservación de la cantidad de movimiento para flujo
no permanente……………………………………………… 33
Figura 2.6 Diagrama de Allievi para valores pequeños de ρ y θ …. 40
Figura 2.7 Diagrama de Allievi para valores intermedios de ρ y θ .. 41
Figura 2.8 Diagrama de Allievi para valores grandes de ρ y θ …… 42
Figura 2.9 Diagrama de Allievi-máxima caída de presión para
valores grandes de ρ y θ …………………………………. 43
Figura 2.10 Curva típica de turbina de flujo axial……………………... 44
Figura 2.11 Tubería de presión rota de central Oigawa, Japón…….. 49
Figura 2.12 Casa de máquinas destruida en central Soyano
Shushenskaya, Rusia……………………………………… 50
IX
Figura 2.13 Esquema de central hidroeléctrica……………………….. 52

Figura 2.14a Turbina hidráulica Delta, proyecto Oyacachi……………. 53
Figura 2.14b Turbina hidráulica Delta, proyecto Oyacachi……………. 54
Figura 2.15 Inyector de turbina Pelton…………………………………. 55
Figura 2.16 Turbina Francis proyecto Hidromira 1MW……………… 56
Figura 2.17 Rodete Francis y alabes directrices……………………... 57
Figura 2.18 Rodete de turbina axial……………………………………. 57
Figura 2.19a Proyecto CBK, central Kalayaan, etapa II……………….. 62
Figura 2.19b Proyecto CBK, central Kalayaan, etapa II……………….. 62
Figura 2.20 Rodete de turbo bomba Francis, proyecto CBK………… 63
Figura 2.21 Curva de estabilidad de Gordon………………………….. 68
Figura 2.22 Chimenea de equilibrio, central hidroeléctrica Cumbaya 73
Figura 2.23 Esquema de chimenea de equilibrio con orificio
restringido y con cámara de expansión………………….. 74
Figura 2.24 Esquema de cámara de expansión a pulmón………….. 75
Figura 2.25 Movimiento de un elemento infinitesimal de fluido……. 81
Figura 2.26 Elemento de fluido infinitesimalmente pequeño
en el espacio………………………………………………... 84
Figura 2.27 Geometría con mallado estructurado…………………….. 102
Figura 2.28 Geometría con mallado no estructurado………………… 102
Figura 2.29 Geometría con mallado híbrido…………………………… 103
Figura 3.1 Dimensiones generales del modelo……………………… 114
Figura 3.2 Geometría representada en ANSYS-Geometry………… 114
Figura 3.3 Vista isométrica del modelo……………………………….. 116
Figura 3.4 Elementos del mallado por barrido……………………….. 120
Figura 3.5 Selección de caras para mallado…………………………. 122
Figura 3.6 Geometría mallada – vista general………………………. 124
Figura 3.7 Geometría mallada – vista de detalles…………………… 125
Figura 3.8 Geometría mallada – detalle de elementos……………... 126
Figura 3.9 Detalle del mallado…………………………………………. 127
Figura 3.10 Triángulos y cuadriláteros ideales y oblicuos…………… 129
Figura 3.11 Detalles de la calidad del mallado………………………... 132
Figura 3.12 Calidad de mallado vs. número de elementos………….. 134
Figura 3.13 Calidad de mallado vs. porcentaje de elementos………. 135
X
Figura 3.14 Elementos con oblicuidad < 0.1…………………………... 136

Figura 3.15 Elementos con oblicuidad >0.5 y < 0.6…………………... 137
Figura 3.16 Asignación de nombres a caras de geometría………….. 139
Figura 3.17 Curva flujo másico en función del tiempo………………. 144
Figura 3.18 Propiedades del agua para solución estable……………. 144
Figura 3.19 Configuración de turbulencia a la entrada……………… 150
Figura 3.20 Valores de inicialización de solución estable…………… 152
Figura 3.21 Residuales de ecuación de la continuidad y velocidad.. 155
Figura 3.22 Desbalance de la continuidad y velocidad……………… 155
Figura 3.23 Residuales de la energía cinética turbulenta y
disipación turbulenta………………………………………. 156
Figura 3.24 Monitor de presión estática en la cara salida…………... 156
Figura 3.25 Expresión matemática para la densidad en la
simulación transiente………………………………………. 160
Figura 3.26 Opciones de modelos de turbulencia……………………. 165
Figura 3.27 Residuales de la continuidad, velocidad x, velocidad y,
y velocidad z de solución transiente……………………… 173
Figura 3.28 Residuales de la energía cinética turbulenta y
disipación turbulenta de solución transiente……………. 173
Figura 3.29 Contorno de presión estática en la pared……………….. 176
Figura 3.30 Contorno de velocidad en la salida………………………. 176
Figura 3.31 Contorno de presión total en la pared……………………. 177
Figura 3.32 Monitor de presión en la salida vs. Tiempo……………… 181
Figura 3.33 Contorno de presión en tiempo t=0s……………………... 181
Figura 3.34 Contorno de presión en tiempo t=0.0228s………………. 182
Figura 3.36 Contorno de presión en tiempo t=0.09s…………………. 183
Figura 3.37 Contorno de presión en tiempo t=0.105s………………... 183
Figura 3.38 Contorno de presión en tiempo t=0.117s………………... 184
Figura 4.1 Componentes de generador de golpes de ariete………. 193
Figura 4.2 Equipo generador de golpes de ariete………………….. 194
XI
Figura 4.3 Caja de control del equipo………………………………… 194

Figura 4.4 Onda de presión-escala 300ms…………………………... 197
Figura 4.5 Onda de presión-escala 100ms…………………………... 197
Figura 4.6 Onda de presión-escala 50ms……………………………. 198
Figura 5.1 Onda de presión de golpe de ariete-datos CFD………… 200
Figura 5.2 Onda de presión de golpe de ariete-datos.………………
experimentales……………………………………..........… 202
Figura 5.3 Comparación de resultados CFD y experimentales……. 205
XII
ÍNDICE DE TABLAS
Pág.
Tabla 2.1 Método de cartas de Allievi - datos para caso 46
Tabla 2.2 Modelos de turbulencia……………………………….…. 92
Tabla 2.3 Métodos para solución de sistemas de ecuaciones
lineales………………………………………………….…… 99
Tabla 3.1 Características de geometría del modelo……….…......... 117
Tabla 3.2 Valores de oblicuidad y calidad de elementos………..... 130
Tabla 3.3 Principales funciones matemáticas disponibles en
ANSYS CFX……………..………………………………..… 143
Tabla 4.1 Datos técnicos de equipo de análisis de golpes de
ariete……..…………………………………………….……. 195
Tabla 4.2 Notación de equipo de análisis de golpes de ariete…... 195
Tabla 5.1 Error del modelo CFD………..……………………………. 207

XIII
ABREVIATURAS
AMG Método algebraico multi malla (algebraic multi grid).

CAD Diseño asistido por computador (computer aided design).
CFD Dinámica de Fluidos Computacional (Computational Fluid
Dynamics)
DES Detached Eddy Simulations.
DNS Simulaciones numéricas directas (direct numerics simulations).
EDP Ecuaciones diferenciales parciales.
ESPOL Escuela Superior Politécnica del Litoral.
FIMCP Facultad de Ingeniería Mecánica y Ciencias de la Producción.
FDM Método de las diferencias finitas (finite difference method).
FEM Método de los elementos finitos (finite element method).
FVM Método de los volúmenes finitos (finite volume method).
LES Large Eddy Simulations.
PID Proporcional integral derivativo (proportional integral derivative).
RSM Modelo de esfuerzos de Reynolds (Reynolds stress model).
XIV
SIMBOLOGÍA
a Velocidad de propagación de la onda del golpe de ariete

A Sección transversal del conducto
CFL Número de Courant
D Diámetro del conducto
Dx Longitud del elemento de malla
e Espesor de pared; Energía interna
E Módulo de elasticidad
Ev Módulo de elasticidad volumétrico
f Frecuencia de un flujo oscilatorio; Pérdidas debidas a la fricción
F Fuerza
g Aceleración gravitacional
H Cabezal dinámico
Hz Hercio, unidad de frecuencia
I turb Intensidad turbulenta
k Energía cinética turbulenta; Conductividad del fluido
kg Kilogramo, unidad de masa
L Longitud de la tubería
m Metro, unidad de longitud
m3 Metro cúbico, unidad de volumen

N Número de revoluciones
XV
P Presión; Potencia
Pa Pascal, unidad de presión
Po Presión inicial de un sistema en estado estable
r Radio local
Q Caudal
R Radio de giro de masa rotante
Re Número de Reynolds
s Segundo, unidad de tiempo
t Tiempo
tc Tiempo de cierre de válvula
T Periodo de un flujo oscilatorio
Tm Tiempo de puesta en marcha mecánico de sistema hidráulico
Tw Tiempo de puesta en marcha de columna hidráulica
u Componente de velocidad en dirección “x”
v Componente de velocidad en dirección “y”
V Voltio
V Velocidad
Vo Velocidad inicial del fluido
w Componente de velocidad en dirección “z”
W Peso; Vatio
x, y , z Coordenadas cartesianas de un sistema
O
C Grado Centígrado, unidad de temperatura
0 Flujo másico
m
o Rata de calentamiento de un elemento
q
Δ Delta, variación
Δt Intervalo de tiempo; time step de resolución CFD
∀ Volumen
XVI
γ Peso específico del fluido

ε Deformación; Razón de disipación turbulenta
μ Viscosidad dinámica
μt Viscosidad turbulenta
θ Constante de tiempo u operación de la válvula
θe Ángulo equiángulo para una celda de malla
θmáx. Ángulo mayor en una celda de malla
θ min . Ángulo menor en una celda de malla
π Constate pi 3.1416….
ρ Densidad del fluido
ρ0 Densidad inicial de un fluido en estado estable
σ Esfuerzo axial
τ Esfuerzo cortante
INTRODUCCIÓN
El estudio de los transitorios hidráulicos empezó con la investigación de las
ondas que se propagan en la superficie del agua y el flujo de sangre en las
arterias y venas. Sin embargo todos estos problemas no se pudieron resolver
estrictamente hasta que se desarrollaron teorías de elasticidad y el uso del
cálculo para la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
Uno de los fenómenos más importantes relacionado con los transitorios
hidráulicos es el denominado “golpe de ariete”, el cual es causado por el
cambio instantáneo en la velocidad del fluido en un conducto cerrado. Éste
puede ocurrir en todos los sistemas de presión de tuberías, suscitando

1
graves daños, e incluso pueden originar accidentes fatales . Debido a esto el
análisis de este fenómeno es de gran importancia.
En este proyecto de investigación el principal objetivo es el estudio y análisis
de golpes de ariete en conductos cerrados, orientado al análisis en centrales
hidroeléctricas. El fenómeno denominado golpe de ariete ha sido estudiado
por diferentes científicos a lo largo de la historia, entre los cuales cabe
señalar a Michaud, Gromeka, Frizell, Joukowski, Allievi, etc.
____________
1
Véase efectos de golpe de ariete en central hidroeléctrica Sayano
Shushenskayaenlink:“http://www.youtube.com/watch?v=yfZoq68x7lY”.

2
Uno de los principales aportes para el estudio de este fenómeno han sido los
experimentos que se realizaron para hoy en día tener un método sólido para
analizar este problema. Por ello en este estudio se busca validar un modelo
CFD (Computational Fluid Dynamics) basado en las ecuaciones de
Navier-Stokes, aplicado a este fenómeno físico y comparar estos resultados
con datos derivados de pruebas experimentales, de tal manera que se deje
establecida una metodología de simulación computacional para el análisis de
este problema en casos reales.

CAPÍTULO 1
1. CONSIDERACIONES GENERALES
Como se indicó en la introducción el golpe de ariete es causado por un
cambio instantáneo en la velocidad del fluido y el estudio de este
fenómeno es de suma importancia por los daños que puede producir.
Para el estudio y análisis de los golpes de ariete se pueden realizar
experimentos y deducir de una manera muy próxima el comportamiento

2
del fluido. Con el desarrollo del software de CFD se pueden resolver
estos problemas de una forma menos costosa y rápida, pero se debe
considerar que al utilizar modelos matemáticos para describir o simular un
fenómeno real, éste debe de estar bien planteado para que los resultados
que se obtengan sean correctos.
______________
2
Para detalles del desarrollo histórico del CFD véase la referencia Nº1
ANDERSON JOHN D. JR.,Computational Fluid Dynamics.

4
Por ello en este estudio se decidió analizar el comportamiento físico de
este fenómeno usando herramientas CFD y comparar estos resultados
con pruebas experimentales para verificar la fidelidad con que el modelo
simula la realidad del comportamiento del golpe de ariete en conductos
cerrados.
1.1. Descripción del problema
En el presente estudio se analiza el comportamiento de flujos
transitorios en conductos cerrados, orientados a problemas de golpes
de ariete en centrales hidroeléctricas.
Diversos tipos de operaciones en centrales hidroeléctricas producen
transitorios hidráulicos. Por ejemplo el flujo a través de las turbinas
es regulado mediante el gobernador de velocidad, en función de las
demanda de carga eléctrica. Dándose incluso el caso de rechazos
de carga que pueden originar paradas bruscas. Estas condiciones
pueden causar la generación de golpes de ariete en las tuberías de
presión.
El análisis de este problema se hace más relevante en el diseño de
centrales hidroeléctricas de alta caída, donde existen tuberías de

5
presión de gran longitud, siendo este un factor muy importante a
considerar.
El tipo de transitorio estudiado es el originado por el cierre
instantáneo de una válvula, cuando un fluido, en este caso el agua,
se encuentra fluyendo a través de un conducto cerrado (tubería).
Utilizando los datos experimentales provenientes de un equipo de
generación de golpe de ariete de la FIMCP ESPOL. Se compara el
comportamiento y propagación de la onda elástica del golpe de ariete
en el transcurso del tiempo con los resultados provenientes de la
simulación numérica CFD.
Para el análisis experimental de este problema se dispone de un
equipo generador de golpes de ariete, marca Plint de propiedad de la
FIMCP, el cual consta de una tubería de cobre de diámetro interior
12.7mm, espesor de pared de 1.19mm, en espiral con una longitud
total de 61m. Se desea determinar el comportamiento físico de la
onda elástica que se produce en el golpe de ariete, así como la
máxima presión alcanzada y atenuación de ésta en el transcurso del
tiempo.

6
Para el desarrollo del modelo CFD, se usa el programa ANSYS CFX
versión 12.1, del cual posee licencia comercial el departamento de
Investigación y Desarrollo de la empresa DELTA Delfini. El uso de
este software fue facilitado por cortesía de DELTA Delfini, empresa
ecuatoriana que se dedica al diseño y fabricación de bombas y
turbinas hidráulicas.
1.2. Objetivos
1.2.1. Objetivos Generales
• El objetivo de la presente tesis de graduación es llevar a
cabo un análisis CFD para simular el proceso de generación
de un golpe de ariete en un conducto cerrado debido al
cierre instantáneo de una válvula, obteniendo
numéricamente soluciones transitorias para el campo de
presiones.
• Validar este modelo contrastando los resultados obtenidos
numéricamente con datos experimentales.

7
1.2.2. Objetivos Específicos
• Determinar la amplitud máxima y periodo de la onda del
golpe de ariete que se propaga a través del fluido.
• Determinar las condiciones de borde necesarias para la
modelación correcta de este fenómeno físico.
• Establecer una metodología CFD confiable y correcta para
la simulación del comportamiento de golpes de ariete en
conductos cerrados.
1.3. Metodología de la Tesis
La metodología llevada a cabo para la elaboración de esta tesis de
grado se muestra a continuación y además un diagrama en la
figura1.1.
Primero se establecen los objetivos puntuales a alcanzar y se
elabora un estudio o investigación previa para analizar que procesos
y herramientas son los necesarios para realizar este proyecto.
Luego se elaboraran varios modelos CFD, hasta encontrar el óptimo
que simule correctamente el fenómeno físico a estudiar. Se obtienen

8
resultados del modelo y se comparan con los datos experimentales,
resultados de pruebas de laboratorio.
Se analizan y comparan estos resultados. Si éstos son similares y
equivalentes se valida el modelo CFD. Caso contrario se verifica el
modelo y se ejecuta nuevamente.
Luego de completar los pasos anteriores, se establecen las
conclusiones.
FIGURA 1.1 METODOLOGÍA DE LA TESIS

9
1.4. Estructura de la Tesis
Esta tesis de grado se ha dividido en seis capítulos, que son los
siguientes:
Capítulo 1 Consideraciones Generales. En éste se establece el
problema a resolver y los puntos relevantes a considerar, así como
los objetivos, la metodología usada para llegar a la solución del
problema y la estructura con que se redacta la tesis.
Capítulo 2 Marco Teórico. Se presentan las bases teóricas tanto de
los transitorios hidráulicos como de Dinámica de Fluidos
Computacional (CFD); utilizadas para la realización de este estudio
Capítulo 3 Análisis CFD. En éste se detalla toda la metodología para
la simulación del problema real y los resultados obtenidos.
Capítulo 4 Mediciones Experimentales. En éste se muestra la
metodología para obtener datos experimentales a partir de un golpe
de ariete real y los resultados.
Capítulo 5 Análisis y Comparación de Resultados. En éste se
comparan y analizan los resultados obtenidos en los capítulos 3 y 4.

10
El objetivo es validar el modelo CFD sustentándose en los datos
experimentales.
Capítulo 6 Conclusiones y Recomendaciones. Se establecen las
conclusiones finales, luego de terminado este proyecto.

CAPÍTULO 2
2. MARCO TEÓRICO
2.1. Introducción
El flujo transitorio es aquel en que las propiedades del fluido como
densidad, presión, velocidad, etc. varían a través del tiempo.
Estrictamente hablando los flujos turbulentos son siempre transitorios
dado que las condiciones en un punto se encuentran en cambio
continuo, sin embargo si se analiza el promedio en un periodo corto,
estos tipos de flujos se consideran como estables si en este tiempo
las condiciones no varían.
Si se considera cualquier instalación hidráulica, se nota que éstos
son sistemas dinámicos, dado que las condiciones de funcionamiento
determinan que las variables hidráulicas cambien con una mayor o
menor rapidez dependiendo del caso. Por esta razón es de

12
importancia el análisis de los transitorios hidráulicos para evitar
situaciones indeseables como:
• Presiones excesivamente altas o excesivamente bajas.
• Flujo inverso.
• Movimiento y vibraciones de las tuberías.
•Velocidades excesivamente bajas.
• Golpes de ariete.
2.1.1. Cambio en la presión debido a un cambio instantáneo de
la velocidad
Cuando se suscita un cambio instantáneo de la velocidad en
un conducto cerrado, de un estado estable donde la velocidad
tiene un valor inicial a otro estado estable con una velocidad
final, se pasa por un estado transitorio. Durante este estado
transitorio la energía cinética del sistema se convierte en
energía en forma de ondas elásticas de presión.
Si se considera el sistema de tubería mostrado en la figura
2.1, en el cuál un fluido se encuentra moviéndose con una
velocidad inicial Vo , y una presión inicial en el reservorio de
Po ,si la válvula sufre un cambio instantáneo en el tiempo t = 0 ,

13
la velocidad cambia a Vo + ΔV , y la presión en la válvula varía
a Po + ΔP .Además la densidad del fluido cambia a ρ o + Δρ y
finalmente una onda de presión de magnitud ΔP viaja en
dirección aguas arriba.
Para efectos del análisis se asume que el material de la
tubería es completamente rígido y se define como “ a ” el valor
de la velocidad con que se propaga la onda de presión.
La situación de flujo transitorio mostrado en la figura 2.1.a es
transformada a un estado estable figura 2.1.b superponiendo
en un volumen de control la velocidad “ a ” en dirección aguas
abajo.

14
FIGURA 2.1 INCREMENTO DE PRESIÓN DEBIDO A UN CAMBIO
INSTANTÁNEO DE LA VELOCIDAD

15
Si se establece la dirección x , y la velocidad V como positivas
en dirección aguas abajo. Entonces la razón de cambio de la
cantidad de movimiento en la dirección x es igual a
→
( m V ) = ρ o (Vo + a )A[(Vo + ΔV + a ) − (Vo + a )]
d
dt
→
(2.1.1)
d
( m V ) = ρ o (Vo + a ) AΔV
dt
Donde A es el área de la sección interior de la tubería.
Omitiendo la fricción, la fuerza resultante F , que actúa sobre
el fluido en el volumen de control en la dirección x positiva es
F = Po A − ( Po + ΔP ) A
(2.1.2)
F = − ΔPA
De acuerdo a la segunda Ley de Newton, la razón de cambio
de la cantidad de movimiento es igual a la fuerza neta. Por lo
tanto de las dos ecuaciones anteriores se tiene que
ΔP = − ρ o (Vo + a )ΔV (2.1.3)
Para la mayoría de las condiciones transitorias, la velocidad “ a
” de propagación de la onda es superior a los 1000m / s y la
velocidad inicial en estado estable del fluido Vo , no supera los
10 m / s . Por lo cual se puede ignorar Vo , por tanto
ΔP = − ρ o aΔV (2.1.4)
Considerando que

16
P = ρgH (2.1.5)
Donde H es el cabezal, la ecuación (2.1.4) se puede expresar
como
a
ΔH = − ΔV (2.1.6)
g
El signo negativo en las ecuaciones (2.1.4) y (2.1.6) denota
que la presión o el cabezal incrementan con la disminución de
la velocidad y viceversa. Este análisis considera que el cambio
instantáneo de la velocidad ocurrió aguas abajo del sistema.
Si se considera que la válvula se encuentra aguas arriba de la
tubería y se procediera a realizar un análisis similar al anterior,
se llegaría a la siguiente expresión.
a
ΔH = ΔV (2.1.7)
g
Para el volumen de control analizado en la figura 2.1.b la
razón de flujo másico a la entrada y a la salida son
respectivamente.
o
m ent = ρ o A(V o + a ) (2.1.8)
o
m sal = ( ρ o + Δρ ) A(V o + ΔV + a ) (2.1.9)
Estas expresiones (2.1.8) y (2.1.9) denotan que la masa
dentro del volumen de control incrementa debido al cambio de

17
densidad del fluido, pero éste puede ignorarse por ser muy
pequeño para fluidos considerados incompresibles. Por lo
tanto la razón de flujo másico tanto a la entrada como a la
salida es igual.
ρ o A(Vo + a ) = ( ρ o + Δρ ) A(Vo + ΔV + a ) (2.1.10)
Δρ
ΔV = − (Vo + ΔV + a ) (2.1.10)
ρo
Considerando que (Vo + ΔV ) << a , se puede rescribir la
ecuación (2.1.10) como
Δρ
ΔV = − a (2.1.11)
ρo
El módulo de elasticidad volumétrico de un fluido se define
como:
ΔP
Ev = (2.1.12)
Δρ / ρ o
De las ecuaciones (2.1.11) y (2.1.12) se puede obtener la
siguiente expresión
ΔV
a = − Ev (2.1.13)
ΔP
Basándose en la ecuaciones (2.1.4), se puede llevar la
ecuación (2.1.13) a
Ev
a= (2.1.14)
aρ o

18
Ev
a= (2.1.15)
ρo
Esta ecuación define la velocidad con que viaja la onda del
golpe de ariete para fluidos compresibles, pero sin considerar
la elasticidad del conducto en que está inmerso el fluido.
Si se considera la elasticidad de la tubería la ecuación (2.1.15)
se ve modificada a
Ev
a= (2.1.16)
ρ o [1 + (E v D / eE )]
En donde “ D ” representa el diámetro del conducto, “ e ” el
espesor de pared y “ E ” el módulo de Young o de elasticidad
del conducto.
2.1.2. Propagación y reflexión de la onda de golpe de ariete
Para explicar el comportamiento del golpe de ariete provocado
por el cierre instantáneo de una válvula, se muestran las
figuras 2.2.a hasta la 2.2.h, para las cuales las condiciones de
flujo son estables en el tiempo t = 0 . Si se asume que el
sistema no tiene pérdidas por fricción, entonces, el cabezal de
presión a lo largo de toda la tubería es H o .

19
Para mejor explicación de la secuencia de eventos que
ocurren al originarse este tipo de transitorio hidráulico, éstos
se dividen en cuatro periodos. La suma de aquellos equivale a
un tiempo total de 4 L / a que es justamente un periodo de la
onda del golpe de ariete.
Primer periodo: 0< t ≤ L / a (figura 2.2.a y 2.2.b)
Tan pronto como la válvula se cierra, la velocidad del fluido se
reduce a cero, lo cual causa un incremento en la presión de
ΔH = (a / g )Vo . Debido a este incremento en la presión la
tubería se expande, el fluido se comprime aumentando su
densidad, y una onda de presión positiva se propaga hacia el
reservorio. Al inicio de este proceso la velocidad del fluido es
cero y toda la energía cinética se ha transformado en energía
elástica de deformación y compresión. Si “ a ” es la velocidad
de la onda y “ L” la longitud de la tubería, entonces en el
tiempo t= L/a, toda la longitud de la tubería ha
experimentado los efectos de esta perturbación, cuyo efecto
hace que el cabezal de presión alcance un valor de H o + ΔH .
Segundo periodo: L / a < t ≤ 2 L / a (figura 2.2.c y 2.2.d)

20
Asumiendo que el reservorio es lo suficientemente grande, se
puede considerar que el nivel del fluido dentro de éste es
constante. En el momento en que la onda de presión llega
hasta el reservorio, ésta tiene una magnitud de H o + ΔH .
Esta diferencia de presiones hace que el fluido empiece a
desplazarse desde la tubería hacia el reservorio con velocidad
− Vo , entonces como la velocidad cambia de 0 a − Vo , se
origina una caída de presión de H o + ΔH a H o . Esto quiere
decir que una onda negativa viaja en dirección a la válvula
donde se origino esta misma onda. En tiempo t = 2 L / a la
presión a caído por completo a H o en toda la longitud de la
tubería y la velocidad del fluido es − Vo .
Tercer periodo: 2 L / a < t ≤ 3L / a (figura 2.2.e y 2.2.f)
Como la válvula está completamente cerrada, no se puede
mantener una velocidad negativa. Por esta razón la velocidad
cambia instantáneamente de − Vo a 0, originando una
reducción en la presión a H o − ΔH , y una onda negativa se
propaga en dirección aguas arriba. En el tiempo t = 3L / a la
perturbación de presión H o − ΔH ha recorrido todo el
conducto, y la velocidad del fluido es cero.

21
Cuarto periodo: 3L / a < t ≤ 4 L / a (figura 2.2.g y 2.2.h)
Cuando la onda del golpe de ariete llega hasta el reservorio,
se tiene una condición no estable dado que la presión en el
reservorio es mayor que la que posee la tubería. Entonces el
fluido comienza a viajar hacia la válvula con velocidad Vo y el
cabezal de presión es restaurado a H o . En el tiempo t = 4 L / a
el cabezal de presión es H o a lo largo de toda la tubería y el
fluido tiene velocidad V = Vo , entonces se vuelve a las
condiciones iníciales de estado estable.
Por lo tanto si se asume un sistema sin perdidas por fricción,
estos procesos antes detallados se repiten indefinidamente a
intervalos t = 4 L / a . Este intervalo es el periodo teórico de la
onda del golpe de ariete. Sin embargo en un sistema real, la
onda de presión se disipa debido a las perdidas por fricción en
las paredes de la tubería, llegando a un punto en que el fluido
se queda estático. En la figura 2.3 se presenta la onda de
presión teórica de golpe de ariete para un sistema sin
pérdidas por fricción.

22
FIGURA 2.2.a PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t + δt
FIGURA 2.2.b PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = L / a

23
FIGURA 2.2.c PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = L / a + δt
FIGURA 2.2.d PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = 2 L / a

24
FIGURA 2.2.e PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = 2L / a + δt
FIGURA 2.2.f PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = 3L / a

25
FIGURA 2.2.g PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = 3L / a + δt
FIGURA 2.2.h PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN EN t = 4 L / a

26
FIGURA 2.3 VARIACIÓN DE PRESIÓN EN UN SISTEMA SIN PÉRDIDAS
POR FRICCIÓN DEBIDO AL CIERRE DE UNA VÁLVULA.
En 1897 Joukowski (ruso) realizó varios experimentos en
Moscú con longitudes y diámetros de tubería que se detallan a
continuación:
7650 m , 50 mm ;
305 m , 101.5 mm ; y
305 m , 152.5 mm
Basado en estos experimentos y sus estudios desarrolló la
fórmula para la velocidad de la onda de presión tomando en

27
consideración la compresibilidad del agua y la elasticidad de la
pared de la tubería. También determinó la relación entre la
reducción de la velocidad y el incremento de presión
resultante, usando las condiciones de conservación de la
masa y de la energía. Esto establece que el incremento en la
presión, debido a la onda que se origina es máximo para
tiempos de cierre inferiores a dos veces la longitud sobre la
velocidad de propagación de la onda.
2L
T≤
a
2.1.3. Clasificación de los transitorios hidráulicos
Los transitorios hidráulicos pueden ocurrir en diversos tipos de
conductos. Considerando esto, los transitorios hidráulicos se
pueden clasificar en tres categorías:
i. Transitorios en conductos cerrados.
ii. Transitorios en canales abiertos.
iii. Combinación de superficie libre y flujos presurizados.
Matemáticamente los transitorios en sistemas hidráulicos son
representados por ecuaciones diferenciales parciales. En el
capítulo 2.7, Fundamentos de Dinámica de Fluidos
Computacional, se detallará mejor este aspecto.

28
2.2. Ecuaciones de Flujo no Permanente a través de conductos
cerrados
Las características físicas de cualquier situación de flujo de un fluido
están regidas por tres principios fundamentales:
• La conservación de la masa.
• La conservación de la cantidad de movimiento.
• La conservación de la energía.
Cada una de estas a su vez se expresan matemáticamente en su
forma más general como ecuaciones diferenciales, o también como
ecuaciones integrales.
En el capítulo 2.7 se estudia la Dinámica de Fluidos Computacional
(CFD) y la manera cómo se reemplazan estas ecuaciones por
ecuaciones algebraicas aproximadas de un campo de flujo
discretizado.
En esta sección se analizan el comportamiento físico de un flujo no
permanente a través de un conducto cerrado y como se derivan las
ecuaciones gobernantes, considerando dos de los tres principios
fundamentales antes mencionados: La conservación de la masa y de
la cantidad de movimiento. El tercer principio no se explica, porque el

29
análisis teórico considera este fenómeno como un proceso
adiabático.
2.2.1. Consideraciones
Para la obtención de las ecuaciones gobernantes se hacen
algunas asunciones y consideraciones:
i. EL flujo en el conducto es unidimensional.
ii. La distribución de velocidad es uniforme a través de
cualquier sección de la tubería.
iii. Las propiedades de la pared del conducto y del fluido son
lineales. El esfuerzo es proporcional a la deformación.
iv. Las formulas para calcular las pérdidas por fricción en flujo
estable son válidas también para flujo no permanente.
2.2.2. Conservación de la masa
FIGURA 2.4 CONSERVACIÓN DE LA MASA PARA FLUJO NO
PERMANENTE

30
Al observar el volumen de control mostrado en la figura 2.4,
los volúmenes de entrada y salida durante un intervalo δt son
los siguientes:
∀ entrada = V πr 2δt (2.2.1)
⎛ ∂V ⎞ 2
∀ salida = ⎜ V + δx ⎟πr δt (2.2.2)
⎝ ∂x ⎠
Si “ r ” es el radio del conducto, entonces el incremento de
volumen en δt es
∂V
δ∀entrada = ∀entrada − ∀salida = − δxδtπr 2 (2.2.3)
∂x
Conociendo que el cambio de presión δP durante δt se puede
∂P
expresar como δt y se considera al cambio de volumen
∂t
debido a la expansión radial del conducto como δ∀ r .
3
Además el esfuerzo radial “ σ ” en el conducto debido a la
presión P está dada por
pr
σ = (2.2.4); “ e ” es el espesor de pared del conducto
e
r ∂p r
δσ = δp = δt (2.2.5)
e ∂t e
______________
3
Véase SINGER, Mecánica de Sólidos, Esfuerzos en cilindros de paredes
delgadas, para una deducción completa del esfuerzo radial debido a una
presión interna.

31
El cambio de deformación debida al incremento de radio
r + δr , es δε = δr / r (2.2.6)
Como se asumieron las propiedades elásticas del material
como lineales. El modulo de Young E se puede definir como:
δσ
E= (2.2.7)
δε
Se reemplazan las ecuaciones (2.2.5) y (2.2.6)
⎛ ∂p ⎞ r
⎜ ⎟δt
∂t
E=⎝ ⎠
e
(2.2.8)
δr
r
∂p r 2
δr = δt (2.2.9)
∂t eE
El cambio de volumen debido a la expansión o contracción
radial es: δ ∀ r = 2π r δ x δ r (2.2.10)
∂p r 3
δ∀r = 2π δtδx (2.2.11)
∂t eE
Se define la expresión δ∀c para representar el cambio de
volumen debido a la compresibilidad del fluido.
∀ = πr 2δx (2.2.12)
− δp
Por definición el módulo volumétrico es E v = (2.2.13)
δ∀ c / ∀
Si se sustituye la ecuación (2.2.12) en la (2.2.13) y se
reemplaza δp = (∂p / ∂t )δt , entonces:

32
− ∂p δt 2
δ∀ c = πr δ x (2.2.14)
∂t E v
Asumiendo que la densidad del fluido se mantiene constante.
Por ley de conservación de la masa:
δ∀r = δ∀entrada + δ∀c (2.2.15)
Entonces si se reemplazan las ecuaciones (2.2.3), (2.2.11) y
(2.2.14) en la (2.2.15) se tiene:
∂V ∂p δt 2 ∂p r 3
− δxδtπr 2 − πr δx = 2π δtδx (2.2.16)
∂x ∂t Ev ∂t eE
∂V ∂p 1 2 r ∂p
− − = (2.2.17)
∂x ∂t E v eE ∂t
∂V ∂p ⎛ 2r 1 ⎞
+ ⎜⎜ + ⎟=0 (2.2.18)
∂x ∂t ⎝ eE E v ⎟⎠
Recordando la expresión (2.1.16) que define la velocidad de
propagación de la onda de presión que considera la
elasticidad de la tubería:
Ev
a2 = (2.2.19)
⎛ KD ⎞
ρ ⎜1 + ⎟
⎝ eE ⎠
Sabiendo que p = ρgH , y sustituyendo Q = VA la ecuación
(2.2.19) se convierte en:
a 2 ∂Q ∂H
+ =0 (2.2.20)
gA ∂x ∂t

33
2.2.3. Conservación de la cantidad de movimiento
FIGURA 2.5 CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA
FLUJO NO PERMANENTE. Fuente: CHAUDRY M., Applied Hydraulic
Transients

34
Si se considera el diagrama de cuerpo de la figura 2.5, se
pueden determinar las fuerzas F1 y F2 debidas a la presión y
la fuerza cortante S debida a la fricción.
F1 = γA( H − z ) (2.2.21)
∂H
F2 = γA( H − z + δx) (2.2.22)
∂x
4
Si se usa la formula de Darcy Weisbach para el cálculo de
pérdidas por fricción, entonces la fuerza cortante S es:
γ fV 2
S= πDδx (2.2.23)
g 8
Entonces,
F = F1 − F2 − S (2.2.24)
⎛ ∂H ⎞ γ fV 2
F = γA( H − z ) − γA⎜ H − z + δx ⎟ − πDδx
⎝ ∂x ⎠ g 8
∂H γ fV 2
F = −γA δx − πDδx (2.2.25)
∂x g 8
Aplicando la segunda ley de Newton,
dV
F =m (2.2.26)
dt
γ
Y considerando que: m = ρAδx = Aδx (2.2.27)
g
______________
4
Véase la referencia N°8, STREETER, V. L., Fluid Mechanics, Third Edition,
McGraw Hill, New York, 1966, para una deducción completa.

35
Si se reemplaza la expresión (2.2.27) en (2.2.26), y se iguala
esta con (2.2.25), se tiene:
∂H γ fV 2 γ dV
− γA δx − πDδx = Aδx (2.2.28)
∂x g 8 g dt
Dividiendo para “ γAδx ” y reemplazando A = πD 2 / 4
∂H fV 2 1 dV
− − =
∂x g 2 D g dt
dV ∂H fV 2
= − g. − (2.2.29)
dt ∂x 2D
Por otra parte, la derivada total de la velocidad por definición
es:
dV ∂V ∂V dx
= +
dt ∂t ∂x dt
∂V ∂V
= +V (2.2.30)
∂t ∂x
Por tanto si se reemplaza la ecuación (2.2.30) en la (2.2.29),
se tiene:
∂V ∂V ∂H fV 2
+V +g + =0
∂t ∂x ∂x 2D (2.2.31)
Para el análisis de flujos no permanentes Lorenzo Allievi
demostró que el término V (∂V / ∂x ) es relativamente pequeño
comparado con el término (∂V / ∂t ) , por lo que se lo puede

36
ignorar. Además, para la consideración del flujo en ambas
direcciones, se puede convertir la expresión V 2 en V V y si se
escribe la ecuación en términos del caudal Q , se obtiene
∂Q ∂H f
+ + gA + QQ = 0 (2.2.32)
∂t ∂x 2 DA
2.2.4. Análisis de las ecuaciones gobernantes
Las ecuaciones (2.2.20) y (2.2.32) son las ecuaciones que
describen la conservación de la masa y de la cantidad de
movimiento respectivamente.
a 2 ∂Q ∂H
+ =0 (2.2.20)
gA ∂x ∂t
∂Q ∂H f
+ + gA + QQ = 0 (2.2.32)
∂t ∂x 2 DA
Si se observan éstas, se puede notar que son ecuaciones
diferenciales parciales de primer orden. Estas ecuaciones
tienen dos variables independientes que son “ x ” y “ t ” y
además dos variables dependientes “ Q ” y “ H ”.
Las otras variables “ A ” y “ D ” son características del sistema
conducto y no varían con el tiempo, pero pueden ser

37
funciones de x. Además la velocidad de la onda “ a ” depende
de la característica del sistema.
Por lo tanto este conjunto de ecuaciones diferenciales
parciales se consideran como un sistema de ecuaciones
“CUASI LINEALES” del tipo “HIPERBOLICAS”, dado que
existen dos líneas características en cualquier punto del

5
campo de flujo 2D .
______________
5
Para una explicación completa de los sistemas de ecuaciones cuasi
lineales véase la referencia Nº1 ANDERSON JOHN D. JR., Computational
Fluid Dynamics.

38
2.3.Método de las Cartas de Allievi
Este método es probablemente el más usado para análisis de golpe
de ariete, debido a que se pueden obtener resultados con rapidez.
Este método consiste en una serie de cartas o gráficos en el que
constan parámetros adimensionales y fue desarrollado por Lorenzo

6
Allievi .
Para aplicar este método se asumen dos condiciones, estas son:
a. Se considera que el área de la sección transversal de la válvula
de control aumenta o disminuye linealmente en función del
tiempo.
b. La velocidad a través de la válvula en cualquier instante de
tiempo es proporcional a la raíz cuadrada de la suma de los
cabezales del golpe de ariete mas el inicial en estado estable.
Las dos variables adimensionales que se consideran en estas cartas
son los siguientes:
La constante del conducto
aV o
ρ= (2.3.1)
2 gH o
______________
6
Lorenzo Allievi (Noviembre 18, 1856 – Octubre 30, 1941) ingeniero italiano
reconocido por sus estudios acerca de golpes de ariete.

39
Donde
ρ : Constante del conducto.
a : Velocidad de propagación de la onda de presión.
Vo : Velocidad inicial del fluido dentro del conducto.
H : Cabezal estático inicial de la columna de agua.
g: Aceleración debida a la gravedad.
Y la constante de tiempo u operación de la válvula
aT
θ= (2.3.2)
2L
Donde
θ : Constante de operación de la válvula.
T : Tiempo de cierre de la válvula.
L : Longitud del conducto.
Estos dos parámetros adimensionales representan los ejes de las
cartas de Allievi. Mediante estas cartas o gráficos podemos estimar
el incremento máximo de presión debido al cierre instantáneo de una
válvula. A continuación en la figura 2.6, 2.7 y 2.8 se muestran éstas
para valores pequeños, medianos y grandes de “ ρ ” y “θ ”
respectivamente.

40
FIGURA 2.6 DIAGRAMA DE ALLIEVI PARA VALORES PEQUEÑOS
DE ρ y θ (Máximo incremento de presión debido al movimiento
uniforme de una válvula y conducto simple). Fuente: DAVIS &
SORENSEN, Handbook of Applied Hydraulics

41
FIGURA 2.7 DIAGRAMA DE ALLIEVI PARA VALORES INTERMEDIOS DE
ρ y θ (Máximo incremento de presión debido al movimiento uniforme de una
válvula y conducto simple). Fuente: DAVIS & SORENSEN, Handbook of
Applied Hydraulics.

42
FIGURA 2.8 DIAGRAMA DE ALLIEVI PARA VALORES GRANDES DE ρ y θ
(Máximo incremento de presión debido al movimiento uniforme de una
Applied Hydraulics

43
FIGURA 2.9 DIAGRAMA DE ALLIEVI - MÁXIMA CAÍDA DE PRESIÓN PARA
VALORES GRANDES DE ρ y θ (debido al movimiento uniforme de una
Applied Hydraulics.

44
2.3.1. Aplicación de Cartas de Allievi en turbina hidráulicas
Cuando en lugar de una válvula se analiza la operación de
una turbina hidráulica, es lógico saber que su comportamiento
está dado por su curva de operación, por ejemplo el caudal
depende de la velocidad instantánea que tenga la turbo
maquinaria. En la figura 2.10 se muestra una curva típica de
una turbina axial.
FIGURA 2.10 CURVA TÍPICA DE TURBINA DE FLUJO AXIAL.

45
Para la aplicación de las cartas de Allievi se supone el
movimiento uniforme de una válvula y fluido dentro de un
conducto simple. Sin embargo en la aplicación de este método
para tuberías en centrales hidroeléctricas se considera como
válvula a los diferentes mecanismos de regulación del flujo de
cada tipo de turbina. Por ejemplo en las turbinas de impulso
Pelton son los inyectores los encargados de la regulación del
flujo y para el caso de las turbinas de reacción Francis y
Kaplan son los alabes guías o directrices.
2.3.2. Desarrollo del método para caso analizado en la tesis
En esta sección se desarrolla el método de las Cartas de
Allievi para un caso real. El caso analizado es el experimento
descrito en el capítulo 4 y que es simulado numéricamente en
el capítulo 3 mediante un programa CFD. El objetivo es
determinar la máxima presión que se alcanza debido al cierre
instantáneo de una válvula.
El sistema consiste de una tubería de 61m de longitud por
donde fluye agua a una velocidad inicial de 0,52m / s con una
presión estática a la entrada de 100.000Pa y una válvula
solenoide a la salida, la cual se cierra en un tiempo igual a

46
0,1s . Para la velocidad de propagación de la onda de presión
"a" , se establece un valor de 1.339m / s determinado en la
sección 4.1.3. Todos los datos se muestran en la tabla 2.1.
TABLA 2.1
Método de Cartas de Allievi - datos para caso real

Presión inicial " Po " 100.000Pa
Cabezal inicial " H o " 10,235 m
Velocidad inicial en el conducto Vo 0,52 m/s
Velocidad de propagación de la onda "a" 1.339 m/s
Tiempo de cierre de válvula 0,1 s
Longitud del conducto 61 m
Con estos datos se calculan las dos variables necesarias para
usar el diagrama:
La constante del sistema de tubería
aVo (1.339m / s)(0,52m / s)

ρ= = = 3,47
2 gH o 2(9,8m / s 2 )(10,235m)
La constante de tiempo u operación de la válvula
aT (1.339m / s )(0,1s )
θ= = = 1,097
2L 2(61m)
Con estos rango de valores de “ ρ ” y “ θ ” conviene usar el
Diagrama de Allievi para valores intermedios. Este gráfico se
muestra en la figura 2.7, donde se ha marcado de color rojo la

47
forma de utilización de la carta. De éste se puede determinar
un Z 2 = 8 .
Donde
H o + Δh max
Z2 =
Ho
Y por tanto
Δh max = ( Z 2 * H o ) − H o = (8 *10,235m) − 10,235m

Δh max = 71,65m
Entonces se concluye que el Δh max de incremento de
presión es 71,65m de cabezal de agua o su equivalente en
presión de 7 x10 5 Pa . Éste es el valor que se compara con los
obtenidos mediante simulación CFD en el capítulo 3, y
experimentalmente en el capítulo 4.

48
2.4 Transitorios hidráulicos en plantas hidroeléctricas
2.4.1 Introducción
En centrales hidroeléctricas es muy importante el estudio de
los transitorios hidráulicos, ya que pueden ocasionar daños
significativos en la infraestructura y accidentes fatales. Los
golpes de ariete en centrales hidroeléctricas son causados por
operaciones del sistema, como por ejemplo el cierre o
apertura brusca de válvulas o de los sistemas de regulación
de caudal de las turbinas.
Existen registros de algunos accidentes importantes causados
por golpes de ariete. En 1950, en la central OIGAWA en
Japón fallecieron tres trabajadores debido a la ruptura de la
tubería de presión, la cual falló a causa de un golpe de ariete
provocado por el cierre rápido de una válvula en una
operación de mantenimiento. El 17 de agosto del 2009 el
accidente catastrófico en la central de SAYANO
SHUSHENSKAYA en Rusia ocasionó la muerte de setenta y
cinco personas, la destrucción total de tres de sus diez
equipos turbogeneradores y la paralización total de la central
durante un año y medio. Estos son dos ejemplos claros de la

49
magnitud de daños que se pueden originar por este tipo de
fenómeno. En las figuras 2.11 y 2.12 se muestran imágenes
de ambos accidentes respectivamente.
FIGURA 2.11 TUBERÍA DE PRESIÓN ROTA DE CENTRAL OIGAWA,
JAPÓN. Fuente: EBASCO SERVICES Inc., New York.

50
FIGURA 2.12 CASA DE MÁQUINAS DESTRUIDA EN CENTRAL
SOYANO SHUSHENSKAYA, RUSIA. Fuente: RT NOTICIAS.
2.4.2 Elementos constructivos de una central hidroeléctrica
Para una mejor comprensión del conjunto que conforma una
central hidroeléctrica, se explicará brevemente los elementos
constructivos que principalmente la conforman: Captación,
aliviadero, canal de derivación, tuberías de presión, cámaras
de turbinas, canal de desagüe, sala de máquinas y en algunos
casos la chimenea de equilibrio para el control de transitorios
hidráulicos. En la figura 2.13 se muestra el esquema general
de una central hidroeléctrica.

51
2.4.3 Turbinas Hidráulicas
Las turbinas hidráulicas son máquinas que extraen energía del
agua. La geometría de la turbina es tal que el fluido ejerce un
torque sobre el rotor en la dirección de su rotación. De manera
general estas turbinas se pueden clasificar en dos tipos
básicos:
• Turbinas de Impulso.
• Turbinas de reacción.
Las turbinas de impulso representadas principalmente por la
turbina Pelton se caracterizan porque la caída de presión a
través de su rotor es cero; dado que toda la caída de presión
ocurre en sus toberas o inyectores. En este tipo de turbina la
energía total del fluido es convertido en energía cinética a la
salida de los inyectores de abastecimiento. El espacio que
envuelve el rodete no está completamente lleno de fluido. Lo
que genera el torque, es el impulso de los chorros de fluido
que chocan contra las paletas.

52
FIGURA 2.13 ESQUEMA DE CENTRAL HIDROELECTRICA.

53
FIGURA 2.14a TURBINA HIDRÁULICA DELTA, PROYECTO OYACACHI
90kW. Cortesía: DELTA Delfini & Cía., S.A.

54
FIGURA 2.14b INTERIOR DE TURBINA HIDRÁULICA PELTON,
PROYECTO OYACACHI 90kW. Cortesía: DELTA Delfini & Cía., S.A.

55
FIGURA 2.15 INYECTOR DE TURBINA PELTON.
Cortesía: DELTA Delfini & Cía., S.A.
Las turbinas tipo Pelton tienen dos tipos de configuraciones:
• Turbina de eje horizontal.
• Turbina de eje vertical.
Las turbinas de eje horizontal son empleadas para potencias
pequeñas y se suministran usualmente con uno o dos
inyectores; mientras que las de eje vertical son empleadas
para potencias grandes y generalmente se suministran con
cuatro y seis inyectores. La figura 2.14 muestra una turbina

56
Pelton de eje horizontal y la 2.15 su respectivo inyector con
aguja, tobera y servomotor hidráulico.
FIGURA 2.16 TURBINA FRANCIS PROYECTO HIDROMIRA, 1MW.

57
FIGURA 2.17 RODETE FRANCIS Y ALABES DIRECTRICES.
FIGURA 2.18 RODETE DE TURBINA AXIAL.

58
Para las turbinas de reacción, el rodete se encuentra rodeado
por una voluta completamente llena del fluido de trabajo. A
través del rodete existe una caída de presión y de velocidad
relativa del fluido. En este tipo de turbinas sus alabes
directrices aceleran el flujo y lo dirigen en la dirección
adecuada a medida que el fluido entra al rodete. Así parte de
la caída de presión ocurre a través de los alabes directrices y

7
parte ocurre a través del rodete.
Este tipo de turbinas existen de tipo radial, mixto y axial. Las
turbinas hidráulicas radiales y mixtas comunes se denominan
turbinas tipo Francis en honor a James Francis, ingeniero
estadounidense. Para cabezales bajos, el tipo más eficiente de
turbina es la turbina axial o de hélice. La turbina Kaplan, así
denominada en honor a Víctor Kaplan, profesor alemán, es
una muy eficiente turbina hidráulica axial con alabes
regulables. En la figura 2.16 se muestra una turbina tipo
Francis de 1MW de potencia, cortesía de DELTA-Delfini, en la
2.17 un rodete Francis con sus alabes directrices, y en la figura
2.18 un rodete de turbina Axial.
______________
7
MUNSON BRUCE R., YOUNG DONALD F., OKIISHI THEODORE H.,
Fundamentos de Mecánica de Fluidos

59
2.4.4 Causa de transitorios hidráulicos en centrales
hidroeléctricas
Los transitorios hidráulicos en las tuberías de las centrales
hidroeléctricas son originados por varias operaciones en las
turbinas, como por ejemplo arranques, incremento o rechazo
de carga.
Existen dos tipos de centrales hidroeléctricas en relación a la
entrega de la carga que generan: las que operan en forma
aislada y las que entregan su energía a la red. En el caso del
Ecuador éstas últimas son las que entregan su energía al
Sistema Nacional Interconectado.
Cuando el equipo turbogenerador esta sincronizado a una
gran red, pueden causar el origen de transitorios:
i. La aceptación de carga.
ii. La reducción de carga o el rechazo total de ésta.
Si es un sistema aislado, lo puede causar:
i. El arranque de la unidad.
ii. La aceptación de carga.
iii. La reducción de carga o el rechazo total de ésta.

60
Una unidad conectada a la red gira a la velocidad sincrónica
durante la aceptación o rechazo de carga debido a la gran
inercia del sistema. Mientras que la velocidad de la unidad en
un sistema aislado se incrementa con el rechazo de carga y
disminuye durante la aceptación de ésta.
Para prevención de transitorios hidráulicos en centrales
hidroeléctricas se desarrolla un modelo matemático de la
central, donde se consideran los siguientes componentes:
• Los conductos por donde fluye el agua.
• La turbina y generador
• El gobernador de velocidad
Conductos o tubería
Los conductos o tuberías influyen mucho y es así que se
vuelve más crítico cuando se tienen tuberías de presión de
longitudes muy largas, debido a que el tiempo necesario para
originar golpes de ariete se hace mayor (como se observó en
el capítulo 2.1), aumentando la probabilidad de que por
alguna maniobra se originen este tipo de problemas. Las
figuras 2.19a y b muestran la central de generación y bombeo

61
Kalayaan, en donde la tubería de presión posee una gran
longitud.
Turbina y Generador
En una central hidroeléctrica la turbina y el generador se
encuentran mecánicamente conectados entre sí. Típicamente
en centrales grandes de manera directa y en unidades
pequeñas por acople directo o en ocasiones por bandas y
poleas. El flujo de agua que pasa a través de las turbinas de
reacción (Francis y Kaplan) depende del cabezal neto de la
unidad y la apertura de los alabes guías, mientras que el flujo
a través de las turbinas de impulso (Pelton, Flujo Cruzado)
depende del cabezal y de la apertura de los inyectores.
En la figura 2.20 se muestra un rodete turbo-bomba Francis
empleado en una central de generación y bombeo.

62
FIGURA 2.19a PROYECTO CBK, CENTRAL KALAYAAN, ETAPA II
Fuente: IMPSA HYDRO, Argentina.
FIGURA 2.19b PROYECTO CBK, CENTRAL KALAYAAN, ETAPA II
Fuente: IMPSA HYDRO, Argentina.

63
FIGURA 2.20 RODETE DE TURBO BOMBA FRANCIS, PROYECTOCBK.
Fuente: IMPSA HYDRO, Argentina
Gobernador de Velocidad
El gobernador tiene la función de mantener la velocidad del
grupo turbogenerador igual a la velocidad sincrónica de
generación. Los principales componentes de un gobernador
son un dispositivo sensor de velocidad y un servo mecanismo
para la apertura y cierre de alabes guías o inyector,
dependiendo del tipo de turbina. Para unidades hidroeléctricas
existen tres tipos de gobernadores dependiendo del tipo de
control:

64
• Proporcional
• Acelerómetro
• PID (Proporcional Integral Derivativo)
En el gobernador proporcional la acción correctiva es
proporcional a la desviación de velocidad, n ; en el gobernador
acelerómetro es proporcional a dn / dt ; en el PID es
proporcional a n , dn / dt , y la integración de tiempo de n .
2.4.5 Estabilidad de generación
Al referirse a estabilidad de generación se considera que una
central hidroeléctrica debe generar energía con ciertas
características importantes, las cuales son voltaje y
frecuencia.
Para que la gobernación de una central hidroeléctrica sea
estable y se mantenga el incremento en la velocidad de la
unidad en los límites permisibles al seguir el rechazo de carga,
es necesario un adecuado valor de inercia, provista por la
unidad turbo generadora. Comúnmente la inercia de la turbina
es pequeña comparada con la del generador. Para

65
seleccionar la inercia de la unidad, se consideran algunos
factores como:
• La fluctuación de frecuencia permitida
• El tamaño del sistema
• El tipo de carga
• El tamaño, longitud, y diseño de la tubería por donde
fluye el agua, y
• El tiempo de respuesta del Gobernador de cargas.
Disminuyendo los tiempos de apertura y cierre controlados por
el gobernador, se puede mejorar la estabilidad del sistema.
Sin embargo, estos no se pueden disminuir
desmesuradamente, debido a que se pueden originar golpes
de ariete que sobrepasen los límites de diseño.
Para el análisis de la estabilidad de generación es necesario
considerar, entre otros, los parámetros fundamentales
siguientes:
a) El Tiempo de Puesta en Marcha (o de aceleración)
Hidráulico Tw , es el tiempo necesario para que el cabezal de

66
presión acelere el flujo desde cero hasta la velocidad normal
de operación. Este tiempo está dado por:
Q L
Tw =
gH
∑A (2.4.1)
LVo
Si las áreas son iguales, entonces Tw = (2.4.2)
gH
Donde
Tw : Tiempo de puesta en marcha de la columna hidráulica.
Vo : Velocidad del agua en la conducción.
H : Altura estática de la columna de agua.
g : Aceleración debida a la gravedad.
b) El Tiempo de puesta en marcha Mecánico Tm , es el
tiempo en segundos para que el torque normal de operación
acelere las masas rotantes de cero hasta la velocidad
sincrónica de operación.
[ ]
Si el momento de inercia polar WR 2 esta dado en kg.m 2 y la
potencia P en [MW ]
WR 2 .Nr 2
Tm = (2.4.3)
90.4 x106.P
[ ]
Si el momento de inercia polar WR 2 esta dado en lb. ft 2 y la
potencia P en [HP ]

67
WR 2 .Nr 2
Tm = (2.4.4)
1.6 x106.P
Donde
Tm : Tiempo de puesta en marcha mecánico.
W : Peso de las masas rotantes.
R : Radio de giro de las masas rotantes.
Nr : Número sincrónico de revoluciones.
P : Potencia demanda por el sistema de generación.
El tiempo de cierre del regulador se designa como Tg , y es el
tiempo de cierre del álabe guía del distribuidor en las turbinas
a reacción y el tiempo de cierre de la aguja del inyector en las
turbinas Pelton.
De acuerdo al Asme Hydro Power Technical Committee una
relación de Tm / Tw ≥ 2 es razonable para unidades en red.
Otro criterio es la curva de Gordon que se basa en datos
experimentales de 40 instalaciones Kaplan, Francis y
Propeler, el cual se muestra en la figura 2.21. El tiempo de
cierre efectivo del regulador Tc se define como dos veces el
tiempo necesario para abrir o cerrar los alabes guías del 25 al

68
75% y a su vez se puede considerar el tiempo de cierre del
regulador Tg como Tc más un tiempo muerto
(aproximadamente 1,5 s ).
FIGURA 2.21 CURVA DE ESTABILIDAD DE GORDON

69
2.5 Cavitación transitoria y separación de columna
2.5.1 Introducción
Cuando ocurre un golpe de ariete en un conducto cerrado se
origina una onda elástica de sobre y baja presión que viaja a
lo largo de éste. Si al bajar la presión el fluido alcanza su
presión de vapor, se producirá un cambio de fase de líquido a
vapor. Entonces se produce cavitación de este fluido. Durante
este comportamiento transitorio puede ocurrir la ruptura de la
fase líquida en zonas separadas por cavidades llenas de
vapor, fenómeno que se denomina separación de columna.
La separación de columna afecta drásticamente al desarrollo
del transitorio, debido a que la fase gaseosa modifica la
celeridad de la onda.
Dependiendo de la geometría del sistema y el gradiente de
velocidad, la cavidad generada por la evaporación puede
crecer tanto hasta llenar completamente la sección de la
tubería y dividir la columna de líquido. Investigaciones
experimentales han mostrado que pequeñas burbujas se
dispersan en el interior de la tubería, a las cercanías de la
separación de columna.

70
Si la geometría del sistema está conformada por tuberías
horizontales, estas burbujas originadas, se dispersan a lo
largo de toda ésta y no logran separar la columna líquida; esto
se conoce como flujo cavitado.
2.5.2 Comportamiento físico
A causa de la presencia de las burbujas, el flujo en cavitación
es una mezcla de líquido y gas. Experimentos llevados a cabo
en el pasado han determinado que existe una mayor
disipación de la energía de la onda en la mezcla líquido gas,
respecto a una fase únicamente líquida; esta mayor disipación
es debida a la transferencia de calor hacia el líquido cuando
las burbujas se expanden y contraen.

71
2.6 Metodología para el control de transientes hidráulicos
Como ya se mencionó en el capítulo 2.1, cuando existe un cambio
instantáneo en la velocidad de un fluido, se origina un transitorio
hidráulico; en éste se puede originar una onda de presión que se
propaga a través del conducto por donde está fluyendo el fluido. En
esta tesis de grado se analiza los golpes de ariete en conductos
cerrados, orientado a los casos producidos en centrales
hidroeléctricas; por lo tanto a continuación detallaremos varios
métodos para el control de estos transitorios:
• Chimeneas de equilibrio.
• Cámaras de expansión a pulmón.
• Válvulas de alivio.
2.6.1 Chimeneas de equilibrio
La chimenea de equilibrio es una cámara abierta conectada a
la tubería; en éste se disipan las ondas de sobrepresión,
produciéndose un cambio de nivel dentro de la chimenea; por
lo tanto su objetivo es atenuar la onda del golpe de ariete,
disipando su energía.

72
Por lo general el tramo mayor de una chimenea de equilibrio
es subterráneo por razones estructurales y de costos, debido
a que estas son estructuras relativamente altas y angostas;
además de que se pueden encontrar en zonas de probables
sismos.
Otra característica, es que su extremo superior debe
encontrarse comunicado con el exterior para permitir que la
superficie líquida esté a la presión atmosférica y la posibilidad
de reboses en caso de grandes oscilaciones del nivel.
En el diseño de éstas se debe considerar que la cota de
encuentro del túnel con la chimenea de equilibrio debe ser
suficientemente baja, con el objetivo de evitar el riesgo de
entrada de aire a la conducción en túnel, ya que esto formaría
bolsones de aire. En el caso de que se formen bolsones de
aire, estos pueden implosionar dentro de la tubería, pudiendo
llegar a ocasionar la destrucción de la estructura.

73
FIGURA 2.22 CHIMENEA DE EQUILIBRIO, CENTRAL HIDROELECTRICA
CUMBAYA. Fuente: Informe del Ing. Jorge Arancibia para Salomón Smith
Barney.

74
FIGURA 2.23 ESQUEMA DE CHIMENEA DE EQUILIBRIO CON ORIFICIO
RESTRINGIDO Y CON CÁMARA DE EXPANSIÓN. Fuente: EUPRO S.A.

75
2.6.2 Cámaras de expansión a pulmón
Las cámaras de expansión a pulmón son cavernas excavadas
en la roca, conectadas a la tubería de presión de la
conducción, donde se encapsula un volumen de aire. Su
objetivo en las centrales hidroeléctricas es atenuar los efectos
del golpe de ariete y mejorar las características de estabilidad
de regulación de los grupos turbina generador.
FIGURA 2.24 ESQUEMA DE CÁMARA DE EXPANSIÓN A PULMÓN.
Fuente: EUPRO S.A.

76
Este método para el control de transitorios hidráulicos fue
introducido en Noruega en los primeros años de la década del
70; con el fin de solucionar el problema económico envuelto
en la implantación de chimeneas de equilibrio y además del
acceso en terrenos muy escarpados.
Las cámaras de expansión a pulmón se conectan a uno o más
compresores que están situados en partes de los túneles de
acceso en la superficie. A estas cámaras llega un sistema de
tuberías y cables que atraviesan un tapón sellador de
hormigón, para admitir aire desde los compresores y poder
sensar la cámara de aire comprimido. En cámaras ya
existentes se conoce que los volúmenes de las cavernas van
de 2.000 a 110.000 m 3 aproximadamente.
Las ventajas que presenta este método de control son
principalmente económicas, ambientales y de facilidad en
cuanto a los trazados del sistema de conducción. Económica y
ambientalmente evitan la construcción de chimeneas de
equilibrio con un largo tramo exterior, que son estructuras más
costosas y además producen mayor impacto ambiental. Este
método presenta mayor libertad en la elección del trazado del

77
túnel de conducción y por ello se pueden localizar más cerca
de la central, lo que las hace más eficientes en cuanto a
tiempo de respuesta hidráulico.
Su principal desventaja es que debe mantenerse un volumen
de aire comprimido y evitar el escape de aire desde el pulmón
hacia la conducción, ya que el mismo podría causar muchos
daños; sin embargo este fenómeno es controlable aunque
necesita un mantenimiento adecuado.
2.6.3 Válvulas
Otro método de control de transitorios hidráulicos es el empleo
de diferentes tipos de válvulas. Dependiendo de su tipo, éstas
actúan de diferente forma; En general las operaciones que
realizan éstas, son: abrir o cerrar para reducir el cambio de la
velocidad del flujo en los conductos; Permitir un rápido escape
de agua desde los conductos al exterior, si en el interior de
estos se sobrepasa el límite de presión permitido; y abrirse en
el caso que se necesite admitir aire para evitar la disminución
de la presión dentro del conducto y no se llegue hasta la
presión de vapor, que genera cavitación.

78
Los tipos más conocidos de válvulas que se emplean en
centrales hidroeléctricas son las siguientes:
i. Válvulas de seguridad.
ii. Válvulas cheque.
iii. Válvulas de alivio de presión.
iv. Válvulas de entrada de aire.
v. Válvulas de regulación de presión.

79
2.7 Fundamentos de la Dinámica de Fluidos Computacional
Las características físicas de cualquier situación de flujo de un fluido
están regidas por tres principios fundamentales:
• La conservación de la masa.
• La conservación de la cantidad de movimiento.
• La conservación de la energía.
Cada una de éstas a su vez se expresa matemáticamente en su
forma más general como ecuaciones diferenciales o también como
ecuaciones integrales. En la Dinámica de Fluidos Computacional
(CFD) se reemplazan estas ecuaciones por ecuaciones algebraicas
aproximadas de un campo de flujo discretizado.
Cuanto mayor sea el grado de discretización del campo de flujo, más
aproximadas serán las ecuaciones algebraicas obtenidas en CFD.
2.7.1 Introducción a la Dinámica de Fluidos Computacional
Como se menciono anteriormente los principios que gobiernan
cualquier situación de flujo en un fluido son: la conservación
de la masa, conservación de la cantidad de movimiento y la
conservación de la energía.

80
Para la obtención de las ecuaciones matemáticas
correspondientes a cada principio antes mencionado se
pueden seguir diferentes modelos de flujo. Los modelos de
flujo son los siguientes:
i. Volumen de control finito fijo en el espacio.
ii. Volumen de control finito moviéndose con el fluido.
iii. Elemento de fluido infinitesimal fijo en el espacio.
iv. Elemento de fluido infinitesimal moviéndose en una línea
de corriente.
Como resultado de la aplicación de estos modelos de flujo se
obtienen diferentes tipos de ecuaciones matemáticas. Para un
volumen de control finito fijo en el espacio se obtienen
ecuaciones INTERGRALES de forma CONSERVATIVA. Para
un volumen de control finito moviéndose con el fluido
ecuaciones INTEGRALES de la forma NO CONSERVATIVA.
Para un elemento de fluido infinitesimal fijo en el espacio
ecuaciones DIFERENCIALES PARCIALES (EDP) de forma
CONSERVATIVA y finalmente analizando un elemento de
fluido infinitesimal moviéndose en una línea de corriente se
obtienen ecuaciones DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
de la forma NO CONSERVATIVA.

81
2.7.2 Ecuaciones básicas de flujo de fluidos
Derivada sustancial
Al considerar un elemento diferencial de fluido moviéndose en
un flujo desde un punto inicial a un punto final, las
propiedades de este elemento como la densidad, presión,
velocidad, etc. se verán alterados.
FIGURA 2.25 MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO INFINITESIMAL DEFLUIDO
El término derivada sustancial D ( ) / Dt representa la razón de
cambio instantáneo de alguna de estas propiedades al pasar
de un punto a otro.

82
El operador derivada sustancial en coordenadas cartesianas
se define como:
D( ) ∂( ) ∂( ) ∂( ) ∂( )
= +u +υ +ω (2.7.1)
Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
Donde “ t ” representa el tiempo.
La velocidad “ V ” con que se mueve el elemento diferencial de
fluido es:
→ ∧ ∧ ∧
V = u i + υ j+ ω k (2.7.2)
El divergente de la velocidad
El divergente de la velocidad es la razón de cambio de
volumen de un elemento finito de fluido en movimiento o
estático por unidad de volumen.
⎛ ∧ ⎞⎛ ∧⎞
→ → →
⎜∂ ∂ ∧ ∂ ∧⎟⎜ ∧ ∧
⎟
div V = ∇ .V = ⎜ i + j + k ⎟.⎜ u i + υ j + ω k ⎟
⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
→ → ∂u ∂υ ∂ω
∇ .V = + + (2.7.3)
∂x ∂y ∂z
→ → 1 D(∀)
∇ .V =
∀ Dt

83
2.7.2.1 Ecuación de la continuidad
En la ecuación de la continuidad el principio físico que
se define es “La Conservación de la masa”.
Este principio básicamente significa que el “flujo neto
de masa saliendo del volumen de control a través de la
superficie de control” es igual a la “razón de
disminución de masa dentro del volumen de control”.
Existen cuatro representaciones matemáticas de este
principio obtenidas a partir de los cuatro modelos de
flujo.
Considerando el modelo de flujo de un volumen de
control finito y fijo en el espacio se deriva la siguiente
ecuación integral, que es deforma “conservativa”.
→ → ∂
∫ ∫ ρ.d V d S + ∂t ∫ ∫ ∫ ρd∀ = 0
S ∀
(2.7.5)
Siguiendo el modelo de flujo de un volumen de control
finito moviéndose con el fluido, se obtiene la siguiente
ecuación integral, que es de forma “no conservativa”.
D
Dt ∫ ∫ ∀∫
ρ d∀ = 0 (2.7.6)

84
Para un modelo de flujo que considera un elemento
infinitesimalmente pequeño fijo en el espacio se deriva
un tipo de ecuación diferencial de forma
“conservativa”. Este tipo de expresión es la usada para
programación computacional, y es la siguiente:
∂ρ → ⎛ → ⎞
+ ∇ .⎜ ρ V ⎟ = 0 (2.7.7)
∂t ⎝ ⎠
FIGURA 2.26. ELEMENTO DE FLUIDO INFINITESIMALMENTE PEQUEÑO
FIJO EN EL ESPACIO
Finalmente si se utiliza como modelo de flujo a un
elemento infinitesimalmente pequeño moviéndose con
el fluido se llegaría a la expresión (2.7.8), que es la
cuarta forma en que se puede expresar la ecuación de
la continuidad. Ésta es una ecuación parcial diferente a
la (2.7.7) porque es obtenida de otro modelo de flujo y

85
por definición se la denomina de forma “no
conservativa”.
Dρ ⎛→ → ⎞
+ ρ ⎜ ∇.V ⎟ = 0 (2.7.8)
Dt ⎝ ⎠
2.7.2.2 Ecuaciones de la cantidad de movimiento
Estas ecuaciones se basan en el principio físico que
denota que la cantidad de movimiento de un sistema
cerrado permanece constante.
Si se considera un elemento infinitesimal de fluido
moviéndose con el flujo, se puede llegar a las
siguientes ecuaciones:
Du ∂P ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx
ρ =− + + + + ρ. f x (2.7.8.a)
Dt ∂x ∂x ∂y ∂z
Dυ ∂P ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy
ρ =− + + + + ρ. f y (2.7.8.b)
Dt ∂y ∂x ∂y ∂z
Dω ∂P ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz
ρ =− + + + + ρ. f z (2.7.8.c)
Dt ∂z ∂x ∂y ∂z
En donde u ,υ , ω son las componentes de velocidad en
las direcciones x, y , z respectivamente de un plano
cartesiano. Además τ i, j es el esfuerzo cortante

86
aplicado en la cara “ i ” actuando en la dirección “ j ”, y
fi la fuerza por unidad de masa en dirección “ i ”.
Estas 3 ecuaciones (2.7.8) son las ecuaciones de la
cantidad de movimiento de forma “no conservativa” y
se las conoce como “las ecuaciones de NAVIER-
STOKES” en honor a M. Navier y G. Stokes.
Estas ecuaciones también pueden ser expresadas de
forma conservativa si analizamos el mismo elemento
infinitesimal de fluido, pero fijo y no en movimiento. Las
Ecuaciones de “NAVIER-STOKES” en su forma
“conservativa” se presentan en las expresiones (2.7.9).
∂( ρu ) → → ∂P ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx
+ ∇ .( ρu V ) = − + + + + ρ. f x
∂t ∂x ∂x ∂y ∂z
(2.7.9.a)
∂( ρυ ) → → ∂P ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy
+ ∇ .( ρυ V ) = − + + + + ρ. f y
∂t ∂y ∂x ∂y ∂z
(2.7.9.b)
∂( ρω ) → → ∂P ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz
+ ∇ .( ρω V ) = − + + + + ρ. f z
∂t ∂z ∂x ∂y ∂z
(2.7.9.c)

87
2.7.2.3 Ecuación de conservación de la energía
Este principio físico denota que en un sistema la
energía se conserva y aplicando este principio para un
elemento infinitesimal de fluido que se mueve con el
flujo podemos establecer que “la razón de cambio de
energía dentro del elemento de fluido es igual al flujo
neto de calor entrando al elemento mas la rata de
trabajo hecha sobre el elemento por las fuerzas de
cuerpo y de superficie.
Al final la ecuación de la energía se muestra en la
expresión (2.7.10)
D(e + V 2 / 2) o ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
ρ = e q+ ⎜ k ⎟ + ⎜k ⎟ + ⎜k ⎟−
Dt ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
⎡ ∂ (uP) ∂ (υP) ∂ (ωP) ⎤ ∂ (uτ xx ) ∂ (uτ yx ) ∂ (uτ zx )
⎢ + + ⎥+ + + +
⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ ∂x ∂y ∂z
∂ (υτ xx ) ∂ (υτ yx ) ∂ (υτ zx ) ∂ (ωτ xx ) ∂ (ωτ yx ) ∂ (ωτ zx )
+ + + + + +
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
→→
ρ fV
(2.7.10)
Esta es la forma “no conservativa” de la ecuación de la
o
energía, donde “ q ” es la rata de calentamiento del
elemento por unidad de masa debido a la conducción,

88
radiación, absorción, emisión, etc. Además “ k ” es la
conductividad del fluido y “ e ” la energía interna.
2.7.2.4 Adecuación de las ecuaciones para CFD.
Los tres principios fundamentales de la Dinámica de
Fluidos Computacional que son la “la conservación de
la masa”, “conservación de la cantidad de movimiento”
y “la conservación de la energía” pueden ser
expresadas matemáticamente en su forma más
general como ecuaciones integrales o por ecuaciones
diferenciales.
Dependiendo del modelo de flujo que se aplique se
obtienen diferentes formas de ecuaciones como se lo
indicó en la sección 2.7.1.
Para el análisis convencional esto no es relevante,
pero sí lo es para el CFD, debido a que para algún
algoritmo específico de resolución no todas las formas
se comportan iguales en lo referente a la convergencia
de la solución.

89
La forma de las ecuaciones gobernantes que son
obtenidas de un modelo fijo en el espacio son
llamadas de “forma conservativa”.
La forma conservativa de las ecuaciones
fundamentales es más conveniente para el análisis
numérico y para la programación computacional. Esto
se debe a que las ecuaciones de la continuidad,
cantidad de movimiento y energía pueden ser
representadas por el mismo tipo de ecuación genérica.
∂ (U ) ∂ (F ) ∂ (G ) ∂ (H )
+ + + =J (2.7.4)
∂t ∂x ∂y ∂z
Donde U , F , G , H y J se interpretan como vectores
columna que se detallan a continuación:
⎧ ρ
⎪ ρu
⎪
⎪ ρv
U =⎨
⎪ ρw
⎪ ⎛ V2 ⎞
⎪ ρ ⎜⎜ e + ⎟
⎩ ⎝ 2 ⎟⎠

90
⎧ ρu
⎪ ρu + P − τ xx
2
⎪
⎪⎪ ρuv − τ xy
F =⎨
⎪ ρuw − τ xy
⎪ ⎛ V ⎞ 2
∂T
⎪ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟u + Pu − h − uτ xx − vτ xy − wτ xz
⎩⎪ ⎝ 2 ⎠ ∂x
⎧ ρv
⎪ ρuv − τ yx
⎪
⎪⎪ ρv 2 + P − τ yy
G=⎨
⎪ ρvw − τ yz
⎪ ⎛ V2 ⎞ ∂T
⎪ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟v + Pv − k − uτ yx − vτ yy − wτ yz
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ∂y
⎧ ρw
⎪ ρuw − τ zx
⎪
⎪ ρvw − τ zy
H =⎨
⎪ ρw 2 + P − τ zz
⎪ ⎛ V2 ⎞ ∂T
⎪ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟ w + Pw − k − uτ zx − vτ zy − wτ zz
⎩ ⎝ 2 ⎠ ∂z
⎧ 0
⎪ ρf x
⎪
⎪ ρf y
J =⎨
⎪ ρf z
⎪
⎪⎩ ρ (uf x + vf y + wf z ) + ρ g
o
Los vectores columna F , G , H se conocen como
“Términos de Flujo”, el vector J como “Término
Fuente” y finalmente el vector U como “Vector
Solución”.

91
2.7.2.5 Modelos de turbulencia
En la simulación CFD se trata de considerar todas las
variables posibles que se presentan en la realidad,
entonces para la resolución adecuada de un problema
o fenómeno real además de las ecuaciones
gobernantes, se debe considerar la turbulencia, que
casi siempre está presente en todas las condiciones
de flujo de fluidos y transferencia de calor.
Si se considera un flujo turbulento, éste tiene
pequeñas variaciones en sus propiedades a una
frecuencia alta. La simulación numérica de estas
variaciones sería extremadamente compleja, por lo
cual las ecuaciones que se utilizan son promediadas
en el tiempo para su análisis. También es importante
mencionar que la turbulencia es un evento dinámico y
caótico que no puede ser predicho fácilmente, por lo
cual todos estos modelos existentes, son de tipo
estadístico y semi-empíricos.
Hasta hoy en día existen varios modelos de
turbulencia, y ninguno globalmente aceptado; sin

92
embargo cada modelo es superior o inferior a otro en
cuanto a precisión y recursos computacionales
necesarios para su solución dependiendo del tipo de
aplicación. La tabla 2.2 muestra algunos tipos de
modelos de turbulencia existentes.
TABLA 2.2
Modelos de turbulencia
Tipos de modelo modelo
Cebeci-Smith
Algebraicos
Baldwin-Lomax
Prandtl
Modelos de una ecuación
Spalart-Almaras
K-Epsilon
Modelos de dos ecuación
K-w
Esfuerzos de Reynolds RMS
Simulaciones numéricas directas DNS
Large Eddy Simulations LES
Detached Eddy Simulations DES
Finalmente se puede concluir que la simulación de
flujos turbulentos del CFD se asocia con

93
incertidumbres basadas en la naturaleza estadística de
la turbulencia. A pesar que las ecuaciones básicas del
movimiento de fluidos, es decir ecuaciones de
conservación de masa y cantidad de movimiento,
parecen ser determinantes en su naturaleza, la
extremada sensibilidad de los fenómenos a pequeña
escala hace imposible establecer problemas de
simulación específicos, a menos que los datos
estadísticos sean utilizados.
2.7.2.6 Introducción a técnicas computacionales
En esta sección se hace una pequeña introducción de
las técnicas computacionales básicas, es decir cómo
se convierten las ecuaciones diferenciales sean de
primer o segundo orden a expresiones discretas
aproximadas, las cuales se usan para desarrollar
esquemas numéricos de solución y las principales
técnicas de discretización usadas.
Discretización

94
Si se tiene un dominio de algún estado de flujo de un fluido y
se quiere encontrar una solución mediante técnicas CFD, éste
en realidad no encuentra la solución del dicho dominio por
completo; sino que resuelve las ecuaciones para ciertos
puntos discretos.
Así mismo existen varios caminos o técnicas para hallar
soluciones discretas aproximadas a partir de las ecuaciones
diferenciales parciales, y a su vez cada uno de ellos tiene
ciertas ventajas o desventajas. Las principales técnicas de
discretización son las siguientes:
• Método de diferencias finitas.
• Método de elementos finitos.
• Método de volúmenes finitos.
Método de diferencias finitas.-
Es el procedimiento más simple de discretización. En este
método se divide el dominio completo en varios puntos y los
resultados se obtienen para cada uno de ellos, estos puntos
se denominan puntos de malla.

95
En este método para la aproximación de las ecuaciones
diferenciales parciales se usan “Series de Taylor truncadas”.
Las ecuaciones algebraicas aproximadas se aplican a cada
punto y como resultado se tiene un sistema de ecuaciones,
que al resolverlo permite hallar el resultado de cada punto de
malla.
La principal ventaja de esta técnica, es la facilidad con que se
obtienen las ecuaciones algebraicas, por ello su fácil
programación; aunque solo trabaja muy bien con geometrías
regulares y presenta problemas cuando se tratan de
geometrías complejas.
Método de elementos finitos.-
El método de elementos finitos (FEM) se basa en el “método
de los residuos ponderados”. Ésta es una técnica muy
poderosa para soluciones de ecuaciones diferenciales
parciales, el cual fue desarrollado entre 1940 y 1960,
principalmente para problemas estructurales dinámicos.
En este método el dominio es dividido en una serie de
elementos y se obtienen resultados para las esquinas de cada

96
elemento, pudiendo emplear funciones de interpolación para
hallar valores de las propiedades dentro de cada elemento. Es
decir que la técnica FEM utiliza el método de residuos
ponderados o Galerkin y polinomios de interpolación para la
obtención de ecuaciones algebraicas y luego estas
ecuaciones son ensambladas para todo el dominio,
obteniendo un sistema de ecuaciones a resolver.
La ventaja de este método es que para EDP lineales, la
solución es exacta en los nodos, este método es muy
empleado en soluciones de problemas estructurales de
sólidos; sin embargo no se lo usa para problemas de flujo de
fluidos y transferencia de calor por ser menos eficiente que el
método de volúmenes finitos.
Método de volúmenes finitos.-
El método de volúmenes finitos (FVM) fue desarrollado a
comienzos de 1970 y éste se puede considerar como un caso
especial del método de residuos ponderados.
En este método de discretización el dominio se divide en una
serie de volúmenes de control y la solución se obtiene para el

97
centro de cada volumen. Para el desarrollo de este método se
usan las ecuaciones diferenciales parciales gobernantes en su
forma integral y estas son aproximadas mediante funciones de
interpolación en ecuaciones algebraicas.
La principal ventaja de este método es la alta eficiencia
computacional que tiene al usarse en problemas de flujo de
fluidos y de transferencia de calor; sin embargo no se puede
emplear en problemas de mecánica de sólidos y además la
solución no tiene tan buena convergencia como el FEM en
problemas no lineales.
2.7.3 Solución de sistemas de ecuaciones
Luego de lo mencionado anteriormente, se conoce que todos
los métodos de discretización llegan a sistemas de ecuaciones
algebraicas que deben ser resueltas. Dependiendo de las
ecuaciones gobernantes y el método de discretización, los
sistemas de ecuaciones pueden ser:
• Lineales
• No Lineales

98
Se podría emplear un procedimiento estándar de solución de
sistemas de ecuaciones, por ejemplo la inversión directa de la
matriz; pero debido a que en las soluciones de la mayoría de
problemas de fluidos, estos contienen un gran número de
puntos de malla (cientos de miles, incluso millones), entonces
sería impracticable usar métodos directos de solución.
Sistemas lineales.-
Los sistemas lineales surgen de la discretización de
ecuaciones diferenciales que no tienen no linealidades. Los
sistemas de ecuaciones algebraicos lineales tienen la
siguiente forma:
[A]{x} = {B}
En donde los coeficientes de la matriz [A] son independientes
de las variables {x}.
Para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se
pueden seguir varias técnicas, en la tabla 2.3 se hace
referencia de algunos de los métodos más usados.

99
TABLA 2.3
Métodos para solución de sistemas de ecuaciones

lineales
Método Proceso
Matriz Tri diagonal

Directo Eliminación Gausiana
Descomposición LU
Jacobi
Stone
Gauss-Seidel
Indirecto o Iterativo
Gradiente Conjugada
ADI
SOR
Geométrico
Multimalla
Algebraico (AMG)
Incompleta LU
Factorización Matricial
Incompleta Cholesky
Sistemas no lineales.-
Los sistemas de ecuaciones no lineales son aquellos en que
la matriz es función de las variables de flujo como se muestra
a continuación:
[A(x )]{x} = {B}
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales existen
diferentes métodos. Dos de los más usados para resolver este
tipo de problemas son:

100
• Método de Newton.
• Método Cuasi-Newton.
2.7.4 Generación de malla
En el proceso de discretización se convierte el dominio
continuo en uno discretizado, para esto se requiere una
división que se logra mediante la generación de una malla en
el dominio.
Caracterizando al mallado por la conectividad de sus puntos
existen tres tipos de malla:
i. Malla estructurada.
ii. Malla no estructurada.
iii. Malla híbrida.
Cabe señalar que los algoritmos de solución diseñados para
mallado estructurado no pueden ser usados para resolver
mallados no estructurados, mientras que los algoritmos de
solución diseñado para resolución de problemas con malla no

101
estructurada si pueden ser empleados para geometrías con
malla regular.
Mallado estructurado.-
El mallado estructurado se caracteriza por su conectividad
regular, lo que significa que cada punto tiene el mismo número
de vecinos. Esto limita la geometría de sus elementos a
cuadriláteros en 2D y hexaedros en mallado 3D. Un ejemplo
de este tipo de mallado se puede observar en la figura 2.27.
Mallado no estructurado.-
Este tipo de mallado fue desarrollado principalmente para el
método de elementos finitos. En este tipo de mallado la
conectividad de los elementos puede ser arbitraria, lo que
permite el empleo de varias formas de elementos como
tetraedros, pirámides, y triángulos extruidos. La figura 2.28
muestra una geometría 3D con mallado no estructurado.

102
FIGURA 2.27 GEOMETRÍA CON MALLADO ESTRUCTURADO
FIGURA 2.28 GEOMETRÍA CON MALLADO NO ESTRUCTURADO

103
FIGURA 2.29 GEOMETRÍA CON MALLADO HÍBRIDO
Mallado híbrido.-
El mallado híbrido es una combinación de mallas
estructuradas y no estructuradas. En algunos casos, como por
ejemplo para la modelación de flujo viscoso se necesita de un
refinamiento para la capa límite, la cual pude ser malla
estructurada y para el resto del dominio malla no estructurada.
Un ejemplo de esto se muestra en la figura 2.29.

104
2.8 Software CFD
En la actualidad algunas empresas, universidades, o institutos han
desarrollado programas comerciales y también libres de simulación
CFD con entornos gráficos, de los cuales se pueden adquirir
licencias temporales o permanentes. Estos programas de CFD
pueden brindar gran ayuda en el desarrollo de productos en la
industria y también a la investigación científica. A continuación se
muestra un listado de varios programas de CFD libres y comerciales.
2.8.1 Códigos libres
En la siguiente lista se muestran programas de dominio
público, y códigos que se encuentran disponibles bajo licencia
GPL, BSD.
• ADFC -- ADFC
• Applied Computational Fluid Dynamics -- Solver
• CFD2k -- CFD2k
• Channelflow -- Channelflow
• CLAWPACK -- CLAWPACK
• Code_Saturne -- Code_Saturne
• COOLFluiD -- COOLFluiD
• DiagonalizedUpwindNavier Stokes -- DUNS

105
• Dolfyn -- dolfyn
• Edge -- Edge
• ELMER -- ELMER
• FDS -- FDS
• Featflow -- Featflow
• Femwater -- Femwater
• FreeFEM -- FreeFEM
• Gerris Flow Solver -- Gerris Flow Solver
• GPDE -- Discreteadjoint CFD
• IMTEK Mathematica Supplement (IMS) -- IMTEK
Mathematica Supplement (IMS)
• iNavier -- iNavierSolver
• ISAAC -- ISAAC
• Kicksey-Winsey -- Kicksey-Winsey
• MFIX -- Computationalmultiphaseflow
• NaSt2D-2.0 -- NaSt2D-2.0
• NEK5000 -- NEK5000
• NSC2KE -- NSC2KE
• NUWTUN -- NUWTUN
• OpenFlower -- OpenFlower
• OpenFOAM -- OpenFOAM
• OpenLB -- OpenLB

106
• OpenFVM -- OpenFVM
• PETSc-FEM -- PETSc-FEM
• PP3D -- parpp3d++
• REEF3D -- REEF3D
• SLFCFD -- SLFCFD
• SSIIM -- CFD NTNU
• Tochnog -- Tochnog
• Typhonsolver -- Typhonsolver
2.8.2 Códigos comerciales
A continuación se listan algunos programas comerciales de
CFD, de los cuales se pueden adquirir licencias temporales o
permanentes.
• EasyCFD -- EasyCFD
• AppliedComputational Fluid Dynamics-PartenovCFDSolver
• AcuSolve -- ACUSIM Software
• ADINA-F -- ADINA's
• ANSWER -- ACRi's
• CFD++ -- MetacompTechonlogies
• CFD2000 -- AdaptiveResearch
• CFD-FASTRAN -- ESI Group
• CFD-ACE -- ESI Group

107
• CFdesign -- CFdesign
• CFX -- ANSYS
• Coolit -- DaatResearch'sCoolit
• CoolitPCB -- DaatResearch'sCoolit
• DLR - TAU -- TAU's
• DQMoM -- CMCLinnovations
• FENSAP-ICE -- NTI
• FINE/Hexa -- Numeca
• FINE/Turbo -- Numeca
• FIRE -- AVL
• FLACS -- GexCon
• COMSOL Multiphysics CFD Module -- COMSOL
• FloEFD -- Mentor'sFloEFD
• FloTHERM-- Mentor'sFloTHERM
• FloVENT-- Mentor'sFloVENT
• FLOW-3D -- FlowScience
• FLOWVISION -- FlowVision
• FLUENT -- ANSYS
• FLUIDYN -- Fluidyn
• FluSol -- FluSol
• Flowz--Zeus Numerix
• GASP-- AeroSoft

108
• J-FLO -- NTI's
• KameleonFireEx - KFX -- ComputIT's
• KINetics Reactive Flows -- ReactionDesign
• KIVA--Los AlamosNationalLaboratory
• NOGRID FPM -- NOGRIDS
• NX AdvancedFlow -- MAYA
• NX Flow -- MAYA
• PHOENICS -- CHAM
• PowerFLOW -- ExaPowerFLOW
• PumpLinx – SimericsInc
• Range Software -- Range
• RheoChart -- RheoChart
• Smartfire -- FSEG University of Greenwich
• SPLASH -- South Bay Simulations, Inc.
• srm suite -- CMCL innovations
• STALLION 3D -- HanleyInnovations
• STAR -- CD-adapco
• Tdyn -- CompassI
• TMG-Flow -- MAYA
• Turb'Flow -- Fluorem
• TURBOcfd -- TURBOcfdadvanceddesigntechnology

109
2.8.3 Características del software
Para el desarrollo de esta tesis se usó el programa ANSYS-
CFX, el cual es un programa CFD de uso general. Éste es
capaz de modelar:
• Flujos estables y transientes.
• Flujos laminares y turbulentos.
• Flujo subsónico, transónico y supersónico.
• Transferencia de calor y radiación térmica.
• Gravedad.
• Flujos no-Newtonianos
• Flujo multifase.
• Combustión.
• Flujo en múltiples sistemas de referencia.
• Partículas dispersas.

CAPÍTULO 3
3. ANÁLISIS CFD
Como se sabe el objetivo de esta tesis de grado es el desarrollo y
validación de un modelo CFD (Computational Fluid Dynamics) para el
análisis de golpes de ariete generados en conductos cerrados. En este
capítulo se presenta el procedimiento llevado a cabo para simular este
fenómeno por medio del programa ANSYS-CFX, paquete de CFD
basado en el método de volúmenes finitos.
En esta sección se presentan algunas consideraciones importantes que
deben tenerse en cuenta al usar las herramientas que este método ofrece
para la simulación del flujo de fluidos.
Es importante mencionar que la complejidad de este modelo se debe a
que es una simulación transitoria de un dominio tridimensional que

111
representa al usado en las pruebas experimentales a las que se hace
referencia en el capítulo 4.
3.1 Introducción a la simulación CFD
Antes de comenzar con la simulación CFD se debe establecer qué
tipo de problema se está analizando y además el método de solución
a emplear.
En la sección 2.1 se describió que el fenómeno denominado golpe
de ariete se produce por el cambio instantáneo de la velocidad en el
flujo estable de algún fluido. Se simula el banco experimental para
demostración de golpes de ariete de la FIMCP de la ESPOL. Este
banco consiste de una tubería en espiral de 61 m de longitud, por la
cual fluye agua en régimen estable a una velocidad dada y que
súbitamente a la salida se bloquea el flujo por medio de una válvula
accionada por una solenoide.
Considerando lo descrito anteriormente se debe realizar una
simulación transitoria que logre representar el fenómeno que ocurre a
través del tiempo luego del cierre de la válvula y lograr simular la
propagación de la onda de presión que se genera, para compararla
con los resultados experimentales. La simulación transitoria CFD se

112
basa en las ecuaciones de, Navier-Stokes, que se resuelven
numéricamente por el método de volúmenes finitos.
En las secciones posteriores se dará una mayor descripción de cada
uno de los aspectos considerados para llevar a cabo la solución
numérica de este problema.
3.2 Geometría del problema
Como el problema es de flujo confinado en un conducto cerrado, el
primer paso consiste en representar la geometría tridimensional que
ocupa el agua dentro de la tubería. Para efectos de la simulación no
se toma en cuenta la deformación de las paredes del conducto,
asumiendo que se trata de una tubería rígida.
El cierre de la válvula se simula mediante una expresión matemática
como condición de borde en un extremo de la tubería, que define un
caudal másico en función del tiempo, el cual es llevado a cero.
3.2.1 Descripción de la geometría.
La geometría del banco de pruebas experimental del cual se
va a realizar la simulación es muy sencilla, sin ningún tipo de
forma complicada para modelar.

113
Este consta de un espiral de 32 vueltas de tubería de 12,7 mm
de diámetro interior y paso entre vueltas de 20 mm , como se
representa en la figura 3.1. En la tabla 4.1 se pueden observar
los datos del espiral con mayor detalle.
3.2.2 Modelado tridimensional de la geometría
Para la construcción de la geometría 3D del modelo se podría
emplear cualquier programa de CAD que permita modelar
sólidos y posteriormente exportar este archivo al ANSYS-CFX
en un formato adecuado; Sin embargo este mismo programa
cuenta con un modelador de geometría llamado ANSYS-
GEOMETRY, el cual es muy poderoso. Éste es el empleado
para representar el modelo.

1
114
FIGURA 3.1 DIMENSIO

ONES GEN
NERALES DEL MODE
ELO

1
115
FIGURA
A 3.2 GEOM
METRÍA RE
EPRESENT
TADA EN ANSYS-GE
EOMETRY

1
116
FIGURA
A 3.3 VISTA
A ISOMÉTR
RICA DEL MODELO

117
Las figuras 3.2 y 3.3 muestran la geometría 3D del modelo.
Algunas características obtenidas de esta geometría se
detallan en la tabla 3.1
TABLA 3.1
Características de Geometría del Modelo
Propiedad Detalle
Volumen 7,6349 e -3 m3
Área de superficie 2,406 m2
Número de caras 3
Número de líneas 2
3.3 Mallado
El mallado de la geometría se realiza para dividir el dominio
completo en varios volúmenes de control y así la solución se obtiene
para cada uno de estos volúmenes. El paquete ANSYS-CFX posee
su propio generador de malla, el cual se empleó para obtener el
mallado del modelo.

118
3.3.1 Selección del tipo de mallado.
El primer paso para construir el mallado de una geometría es
seleccionar el tipo o procedimiento de mallado. El generador
de mallas del ANSYS CFX versión 12.1 tiene varios métodos
disponibles para mallado de volúmenes. Los métodos
disponibles son los siguientes:
o Automático (Automatic).
o Tetraédrico (Tetrahedrons).
o Hexaedros dominantes(Hex dominant).
o Barrido (Sweep).
o Multi zona (Multizone).
o Mallado CFX (CFX-Mesh).
Cada uno de estos métodos tiene ciertas ventajas sobre otro
al emplearse en ciertos casos específicos. Por lo tanto se
debe seleccionar el más indicado para el caso analizado en
esta tesis.
Al revisar las características de estos métodos, se llega a la
conclusión que una buena opción a emplearse es el “mallado
por barrido” (sweepmethod) debido a la buena eficiencia de

119
este tipo de mallado para geometrías obtenidas por barridos
de caras.
Debido a que la topología del modelo se obtuvo a partir del
barrido de una cara a lo largo de una espiral, el programa
reconoce a ésta como “geometría apta para barrer”
(sweepable). Empleando este método el cuerpo puede ser
mallado eficazmente con hexaedros y triángulos extruidos.
Esto se hace porque el número de nodos y elementos para un
mallado obtenido por barrido son usualmente mucho menores
que los obtenidos con otros mallados libres y además el
tiempo necesario para crear los elementos es también más
pequeño.
Los requerimientos de este tipo de mallado para una
geometría, es poseer dos caras en lados opuestos del
modelo. Estas caras son llamadas “fuente” (source) y
“objetivo” (target).Entonces se malla la cara llamada “fuente”
con cuadriláteros y/o triángulos y éstos son copiados hasta el
“objetivo”, lo cual significa que se construyen hexaedros y
triángulos extruidos en todo el volumen.

120
FIGURA 3.4 ELEMENTOS DEL MALLADO POR BARRIDO
3.3.2 Mallado
En la tabla 3.1 se puede observar que el modelo analizado
posee tres caras, una cara es la entrada del fluido, la otra la
salida en donde se simula el cierre rápido de la válvula y
finalmente la última corresponde a la pared de la tubería.
Siempre que existe una pared sólida se producen grandes
gradientes de las propiedades del fluido, debido a la capa
límite, por lo que casi siempre cerca a estas zonas se
construye un mallado fino; sin embargo para este caso no es
muy importante este aspecto, debido a que el enfoque del
análisis es la propagación de la onda del golpe de ariete y
este fenómeno no depende de las propiedades en las

121
paredes, sino de cómo se propaga la onda de presión a lo
largo de la tubería. Por ello no se realiza el típico refinamiento
de malla en las cercanías de la pared, lo cual ayuda a
minimizar el número de elementos, ahorrando memoria de
máquina y tiempo de procesamiento.
En la figura 3.5 se muestra la pantalla que corresponde a la
selección de caras para el mallado. En éste la cara pintada de
rojo es la salida, y la que se escoge como “fuente” para el
método por “barrido” (sweepmethod), por lo tanto la entrada
será el “objetivo” (target). También puede escogerse en forma
inversa las caras fuente y objetivo.
Un aspecto importante a considerar es el tamaño de los
elementos en dirección de la “trayectoria” (path); ya que este
influye en la selección del valor del “incremento del tiempo”
(time step) que se establece para la resolución del problema
y de esto depende directamente el número de iteraciones
necesarias para lograr la convergencia del análisis. Además
debido a que la onda de golpe de ariete que se genera es muy
delgada, si la malla es muy gruesa en la dirección de

1
122
FIGURA 3.5 SELECCIÓ

ÓN DE CAR
RAS PARA
A EL MALLA
ADO

123
propagación no se la va a capturar adecuadamente. Una
explicación más detallada de esto se dará en el capítulo 3.5.
Adicionalmente es necesario explicar un criterio básico de
calidad de mallado y relación de aspecto de los elementos.
Como se mencionó anteriormente no se realizó refinamiento
de malla en las cercanías de pared de la tubería. Con este
criterio se establece que en dirección radial a la tubería se
tendrá una división de 10 elementos aproximadamente (malla
gruesa), entonces cada elemento tendrá en promedio
1,27 x10 −3 m (diámetro/10), por lo tanto para respetar la relación
de aspecto, los elementos deben tener esa misma dimensión
en la dirección normal o de la trayectoria del mallado (path).
Para establecer esto en el ANSYS-MESH, basta seleccionar
como opción “tamaño de elemento” (element size) e ingresar
el valor 0,00127 m . De aquí en adelante para referirse a este
valor se usa “ Dx ”.

1
124
FIGURA 3.6
6 GEOMET
TRÍA MALLA
ADA – VIST
TA GENER
RAL

1
125
FIG
GURA 3.7 GEOMETRÍÍA MALLAD
DA – VISTA
A DE DETALLES

1
126
FIGUR
RA 3.8 GEO
OMETRÍA MALLADA – DETALLE
E DE ELEM
MENTOS

127
Basado en estas consideraciones se genera el mallado
conforme se muestra en las figuras 3.6, 3.7, y 3.8, en las
cuales se puede observar la geometría mallada desde
diferentes ángulos. En la figura 3.9 se presentan los detalles
del mallado generado, pudiéndose observar que el número
total de elementos asciende a 5’401.776 y el de nodos a
6’207.435, lo cual denota un dominio relativamente grande a
pesar de haber tomado medidas para tratar de minimizarlo.
FIGURA 3.9 DETALLE DEL MALLADO

128
3.3.3 Calidad del mallado.
La calidad del mallado se enfoca a la simetría de los
elementos que conforman el dominio. Es preferible tener
elementos lo más simétricos posibles. Por ejemplo, si es un
elemento tipo hexaedro es mejor mientras más se aproxime a
un cubo perfecto.
Hay algunos métodos para establecer la calidad de un
elemento con respecto a otro en función de su simetría. A
continuación se enumeran algunos de estos métodos:
o Área
o Relación de aspecto
o Relación de lados
o Relación de diagonales
o Asimetría angular
o Asimetría de tamaño
o Asimetría de ángulo medio
o Estiramiento
o Cambio de tamaño
o Conicidad

129
Para el mallado CFD, ANSYS-CFX usa un criterio de revisión
de forma basado en la relación de aspecto, volumen del
elemento y ángulo de las caras. Éste recomienda como
estándar usar el criterio de “oblicuidad” (skewness) para
calificar la calidad del mallado.
El criterio “oblicuidad” (skewness) es uno de los principales
métodos para establecer la calidad de un mallado. Este
cataloga la simetría y la oblicuidad de los elementos. En la
figura 3.10 se puede observar este criterio.
FIGURA 3.10 TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS IDEALES
Y OBLICUOS

130
La tabla 3.2 muestra el rango de los valores de oblicuidad y
su correspondiente interpretación de calidad del elemento.
Considerando el concepto de oblicuidad, éste indica un valor
de 0 para un elemento equilátero (mejor elemento), y 1 para
definir a un elemento completamente degenerado (peor
elemento). Un elemento completamente degenerado se
caracteriza por tener sus nodos muy cercas, es decir casi
coplanares.
TABLA 3.2
Valores de oblicuidad y calidad de elementos
Valor de oblicuidad calidad del elemento
1 Degenerado
0.9 — <1 Muy malo
0.75 — 0.9 Pobre
0.5 — 0.75 Regular
0.25 — 0.5 Bueno
>0 — 0.25 Excelente
0 Equilátero perfecto
En el mallado se busca la simetría de los elementos debido a
que las ecuaciones que son resueltas en CFD asumen de que
los elementos son relativamente equiláteros y equiangulares.

131
Para la medición de la oblicuidad se usan dos métodos:
a) Método basado en volúmenes equiláteros (solo usado en
triángulos y tetraedros).
b) Método basado en la desviación de un ángulo equilátero
normalizado (se puede usar en todos los tipos de
elementos, pirámides y prismas).
En el método basado en volúmenes equiláteros la oblicuidad
se define como:
tamaño .óptimo .del .elemento − tamaño .del .elemento

oblicuidad =
tamaño .óptimo .del .elemento
(3.3.1)
Y el tamaño óptimo del elemento es el tamaño de un elemento
equilátero con el mismo radio de circunscripción.
En el método de desviación de ángulo normalizado, la
oblicuidad se define como:
⎡θmáx. − θe θe − θ min . ⎤
oblicuidad = mayor .valor ⎢ , ⎥ (3.3.2)
⎣ 180 − θe θe ⎦
Donde
θmáx. : Mayor ángulo en la celda o la cara,
θ min. : Menor ángulo en la celda o cara

132
θe :Ángulo equiángulo para una celda o una cara (60° para
triángulos, y 90° para cuadrilátero).
3.3.4 Análisis de la calidad de mallado.
El ANSYS-MESH tiene la opción de revisar la calidad del
mallado al ingresar a “detalle de mallado” (details of mesh). Al
utilizar esta opción se obtiene una pantalla como la que se
muestra en la figura 3.11.
FIGURA 3.11 DETALLES DE LA CALIDAD DEL MALLADO

133
Para el modelo analizado en esta tesis se puede observar en
la figura 3.11 que la geometría tiene una calificación promedio
de 0,21 (average), lo cual significa, según la tabla 3.2, que es
un mallado excelente. Se observa además, que el valor
mínimo (mejor) es 0,063 (min.), mientras que el valor máximo
(peor) es de 0,597 (max.).La figura 3.12 muestra un gráfico de
barras donde se detallan los valores de calidad de la malla vs.
Número de elementos o celdas, y en la figura 3.13 se tiene la
estadística equivalente en forma porcentual.
Si se observan las figuras 3.12 y 3.13 se ve claramente que la
mayor parte de elementos tiene una excelente calidad.
Aproximadamente el 39,87% de elementos tiene una
calificación menor a 0,1; mientras que tan solo un 2% supera
el valor de 0,5

134
FIGURA 3.12 CALIDAD DE MALLADO VS. NÚMERO DE ELEMENTOS

135
FIGURA 3.13 CALIDAD DE MALLADO VS. PORCENTAJE DE ELEMENTOS

1
136
FIG
GURA 3.14 ELEMENTOS CON OBLICUIDA
AD< 0,1(mejjores)

1
137
FIG
GURA 3.15 ELEMENT
TOS CON OBLICUIDA
AD>0,5 y <0
0,6 (peoress)

138
3.4 Condiciones de frontera.
La geometría del modelo tiene 3 caras, como ya se mencionó
anteriormente. Una corresponde a la entrada de agua, la segunda es
la salida, en donde se simula el cierre de la válvula y finalmente la
última es la pared de la tubería.
La prueba experimental que se describe en el capítulo 4 es la que se
ha simulado en CFD. Luego se verificarán los datos experimentales
con los resultados obtenidos en la simulación. Por lo tanto se
establecen previamente las condiciones en la secuencia de como
suscitan:
i. El agua se encuentra fluyendo a través de la tubería a una
velocidad inicial promedio de 0,52 m / s y la presión a la entrada
de ésta es 1 bar (100.000 Pa ).
ii. Repentinamente se cierra la válvula en un tiempo de 0,045 s , lo
cual inicia una onda elástica de presión que recorre la tubería.
Después de tener establecidas las condiciones a simular, se asignan
los nombres correspondientes a cada cara y luego se establecen las
condiciones de borde en cada una de ellas.

139
FIGURA 3.16 ASIGNACIÓN DE NOMBRES A CARAS DE
GEOMETRÍA
3.4.1 Entrada
La entrada del dominio corresponde a una cara circular de
diámetro 0,0127 m (12,7 mm ). Para ésta se selecciona como
condición de borde una “apertura” (opening), debido a que en
algún momento el fluido intentara salir del dominio por esta
cara, cuando la salida esté completamente cerrada y la onda

140
de sobrepresión aparezca, aunque inicialmente por esta cara
entra el fluido.
El tipo de condición de borde “apertura” puede trabajar como
“entrada” (inlet) y “salida” (outlet) dependiendo de las
condiciones de flujo. Adicionalmente se establece para esta
cara la opción de “presión estática y dirección”, donde la
presión relativa es el valor indicado en la sección anterior
(100.000 Pa ).
3.4.2 Salida
La salida, al igual que la entrada, es una cara circular de
0,0127 m (12,7 mm ) de diámetro. En ésta el tipo de condición
de borde es una “salida” (outlet).
Se sabe que inicialmente la velocidad promedio del fluido es
0,52 m / s , y que ésta en el momento que se cierra la válvula
pasa a ser 0 m / s . Dentro de las opciones de este tipo de
condición de borde se puede usar “razón de flujo másico”
(mass flow rate), la cual se eligió porque mediante esta opción
es posible controlar el caudal desde un valor inicial hasta que
sea completamente cero.

141
Como se conoce el tiempo de cierre de la válvula, se debe
crear una expresión matemática que relacione el flujo másico
o la velocidad del fluido en función del tiempo. A continuación
se explica cómo se deriva esta expresión.
Datos:
Velocidad inicial promedio Vo = 0,52m / s
Densidad inicial del agua ρ o = 997 kg / m 3
Diámetro interior de la tubería D = 0,0127 m
Tiempo de cierre de la válvula t c = 0,045
Desarrollo:
El área y el flujo másico inicial son
A=π
D2
=π
(0,0127 m ) = 1,267 x10 −4 m 2
2
4 4
( )( )
m o = Vo * A * ρ o = (0,52m / s ) 1,267 x10 − 4 m 2 997 kg / m 3 = 0,06567 kg / s
o
El ANSYS-CFX dispone de algunas funciones y expresiones
matemáticas predefinidas. Entre las funciones matemáticas
que se encuentran disponibles, está la función “ step (x ) ”, la

142
cual es 0 para (x ) negativo, 1 para (x ) positivo y 0,5 para (x )
igual a 0. La función “ step (x ) ” se muestra en la expresión
(3.4.1) y en la tabla 3.3 las principales funciones matemáticas
disponibles en el programa.
⎧ 0; x < 0
⎪
step(x ) = ⎨0,5; x = 0 (3.4.1)
⎪ 1; x > 0
⎩
Utilizando la función “ step ( x ) ” para definir la expresión
matemática que relacione el flujo másico en función del
tiempo, la cual representa el cierre de la válvula, se deriva la
siguiente:
⎛ o ⎞ ⎛ o ⎞
⎜ − mo * t ⎟ ⎜ mo * t o ⎟
m(t ) = m 0 + step(t ) * ⎜
o o
+ step (t − t ) * − m ⎟⎟ (3.4.2)
⎜ t c ⎟⎟ ⎜⎜ t
c o
⎝ ⎠ ⎝ c
⎠

143
TABLA 3.3 PRINCIPALES FUNCIONES MATEMÁTICAS DISPONIBLES EN
EL ANSYS CFX
La figura 3.17 muestra el gráfico de la ecuación (3.4.2), la
cual es la expresión del flujo másico en función del tiempo
que se utiliza como condición de borde o frontera para la
salida.

144
FIGURA 3.17 CURVA FLUJO MÁSICO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
3.4.3 Pared
La pared es la cara que se encuentra en contacto con el
material sólido de la tubería de cobre. Para ésta se selecciona
un tipo de condición de borde “pared” (wall) con condición de
“no deslizamiento” (no slip wall). Para hacer la simulación CFD
lo más próxima a la realidad se considerara la rugosidad
absoluta ε = 0.0015mm correspondiente a tuberías estiradas.

145
Cabe señalar que el modelo completo se define como
“dominio de fluido” (fluid domain), de tipo estacionario y el
fluido agua.
Adicionalmente vale mencionar que la configuración realizada,
es decir presión estática en la entrada y flujo másico a la
salida es una condición robusta para análisis CFD.
3.5 Criterios de resolución
La resolución de este problema sin duda alguna debe ser por un
análisis de tipo “Transitorio”; sin embargo inicialmente, antes de que
la válvula a la salida se cierre, el agua se encuentra fluyendo de
manera estable debido a un diferencial de presión.
Por esta razón es necesaria que la simulación se inicie con una
solución estable (steady state). Considerando esto, la simulación se
realizará en dos etapas. Primero se hace una simulación de tipo
o
estable con un flujo másico inicial m o = 0,6567 kg / s , de esta manera
se desarrollan los perfiles hidráulicos dentro de la tubería. Luego de
esto se empieza la simulación transiente con el resultado de la
solución de estado estable como condición inicial. Dentro de la

146
simulación transiente se puede iniciar el cerrado de la válvula
inmediatamente.
3.6 Resolución estable
En esta sección se detallan los principales criterios considerados
para la primera simulación que es de tipo estable, la cual servirá
como punto de partida para la simulación transiente que representa
el modelo matemático del golpe de ariete.
3.6.1 Propiedades del fluido
El fluido que se está analizando es agua a temperatura
ambiente y por lo cual se utilizan las propiedades de este
material que se encuentran almacenadas en la biblioteca del
programa, éstas se indican en la figura 3.18.
En el análisis de estado estable la densidad se considera

8
constante , es decir el fluido es de tipo incompresible.
______________
8
El programa ANSYS-CFX considera por defecto la densidad de los líquidos
como constantes.

147
FIGURA 3.18 PROPIEDADES DEL AGUA PARA SOLUCIÓN ESTABLE

148
3.6.2 Algoritmo de resolución
El programa ANSYS-CFX usa el método multi-malla (indicado
en la tabla 2.3) para la resolución del sistema de ecuaciones
lineales derivadas de la discretización de las ecuaciones
gobernantes. Este es un método donde la solución de las
ecuaciones se encuentra mediante un proceso iterativo.
Este método de aproximación es muy conveniente para ser
usado en este tipo de problemas, debido a la rapidez con que
las ecuaciones discretas son balanceadas sobre un volumen
de control. El método acelera la convergencia de la solución
mediante el empleo de una o varias mallas virtuales más
gruesas que la original. La elaboración de estas mallas
temporales lo hace mallando varias veces el modelo y luego
consiguiendo la solución.
3.6.3 Modelo de turbulencia
Es necesario elegir un modelo de turbulencia adecuado para
estimar las perturbaciones. Para la simulación estable se
utiliza el modelo k − Epsilon. Se emplea este modelo por ser
el mismo que se usa en la simulación transiente.

149
El criterio para la selección de este modelo se explica en la
sección 3.7.3 de la resolución transiente.
En la figura 3.19 se muestra que para la condición de frontera
“Entrada” se establece la opción intensidad de turbulencia, la
cual se define con la expresión (3.6.1)
I turb = 0.16(Re)−1 / 8 (3.6.1)
Para el modelo que se está analizando se determina la
intensidad de la turbulencia a continuación:
I turb = 0.16(Re)−1 / 8
−1 / 8
⎛ ρVD ⎞
I turb = 0.16⎜⎜ ⎟⎟
⎝ μ ⎠
I turb = 0.16⎜⎜
( )
⎛ 997kg / m 3 (0,52m / s )(0,0127m) ⎞
⎟⎟
−1 / 8
⎝ 8,998x10 −4 Ns / m 2 ⎠
I turb = 0,0526
Donde Re es el Número de Reynolds, V es la velocidad inicial
del fluido, D es el diámetro interior de la tubería, ρ y μ son
respectivamente la densidad y viscosidad dinámica del agua a
25 °C , tomados de la tabla A.2 del apéndice A.

150
FIGURA 3.19 CONFIGURACIÓN DE TURBULENCIA A LA ENTRADA

151
El resultado de aplicar la ecuación de intensidad de la
turbulencia, proporciona un valor del 5,26%. En base a lo
anterior se escoge la opción de “Turbulencia media
(Intensidad = 5%)”.
3.6.4 Controles de Solución
Los controles de la convergencia de la solución se hacen
mediante la ecuación de la continuidad, de la cantidad de
movimiento, de la disipación turbulenta y de la energía cinética
turbulenta. No se considera la ecuación de conservación de la
energía debido a que no se estableció la existencia de
transferencia de calor en el modelo.
Para la inicialización de la solución es aconsejable utilizar las
condiciones iniciales de todos los elementos del dominio
cuando sea posible. Este modelo tiene valor inicial de presión
para la condición de borde entrada, pero no de velocidad. La
inicialización se hace con valores aproximados para acelerar
el tiempo de convergencia. La figura 3.20 muestra los valores
de inicialización usados en la solución estable.

152
Adicionalmente para obtener la solución se deben establecer
ciertos controles y criterios de convergencia. Para esta
simulación se escoge un máximo de 150 iteraciones con
“control en la escala de tiempo” (Timescale Control)
automático y un criterio de convergencia en los residuales
RMS de la continuidad y cantidad de movimiento de 0,00001.
FIGURA 3.20 VALORES DE INICIALIZACIÓN DE SOLUCIÓN ESTABLE

153
3.6.5 Monitores de convergencia
Para monitorear la convergencia se emplean gráficos que se
actualizan en función del proceso iterativo. Estos gráficos se
denominan monitores de convergencia.
Para la obtención de la solución estable se utilizan los
siguientes gráficos:
Residuales de la ecuación de la continuidad, velocidad x ,
velocidad y , velocidad z . Se muestra en la figura 3.21.
Monitor de desbalance de la continuidad, velocidad x,
velocidad y , velocidad z . Se muestra en la figura 3.22.
Residuales de la energía cinética turbulenta y disipación
turbulenta. Se muestra en la figura 3.23.
Monitor de la presión estática a la salida de la tubería. Se
muestra en la figura 3.24.
Para los gráficos de los residuales, lo deseable es que estos
lleguen a ser lo más pequeños posibles, de tal manera que el

154
error de las iteraciones sea insignificante. En la sección 3.7.6
se explican la forma de cálculo de los residuales de las
ecuaciones. En el gráfico de desbalance, el desbalance de
las variables se presenta de manera porcentual y se desea
llegar a valores cercanos a 0%.
El monitor de la presión estática a la salida es simplemente un
gráfico adicional que en la solución transiente representa la
equivalencia de un transductor de presión. Para la simulación
estable el único valor de interés es el último, el cual
representa el valor de la presión estática a la salida cuando el
agua fluye de manera estable.

155
FIGURA 3.21 RESIDUALES DE EC. DE LA CONTINUIDAD Y VELOCIDAD
FIGURA 3.22 DESBALANCE DE LA CONTINUIDAD Y VELOCIDAD

156
FIGURA 3.23 RESIDUALES DE LA ENERGÍA CINÉTICA TURBULENTA Y

DISIPACIÓN TURBULENTA
FIGURA 3.24 MONITOR DE PRESIÓN ESTÁTICA EN LA CARA SALIDA

157
3.7 Resolución transiente
Una vez ya realizada la simulación estable, se usa ésta como punto
de inicio para la solución del problema en un régimen transiente. En
esta sección se describen las propiedades del fluido, el algoritmo de
resolución, el modelo de turbulencia, los controles de la solución y los
monitores de convergencia usados para esta simulación transiente,
de la cual los resultados se validan experimentalmente en el
capítulo 4.
3.7.1 Propiedades del fluido
En la simulación transiente del modelo, se requiere determinar
el comportamiento físico de la onda elástica de presión que se
origina a partir del cierre instantáneo de la válvula.
Para que una onda viaje a través de un medio, se necesita
que el medio, en este caso el agua sea compresible, de tal
modo que la perturbación se desplace de un punto a otro. Por
lo tanto para capturar la propagación de la onda de presión,
que se desplaza a lo largo del conducto se considera al fluido
como compresible, es decir que su densidad varía en función
de la presión y/o temperatura.

158
La propiedad que caracteriza la compresibilidad de un fluido
es el módulo de elasticidad volumétrico E v .
En la tabla 2.1 del capítulo 2 se muestran los valores del
módulo de elasticidad volumétrico para algunos fluidos, entre
ellos el del agua, que es el valor usado en la simulación.
En general los gases tienen módulo de elasticidad volumétrico
bajos y los líquidos relativamente altos. Valores grandes del
módulo de elasticidad volumétrico indican que el fluido es
poco compresible, es decir que se necesitan grandes cambios
en la presión para producir un pequeño cambio de volumen.
Para el agua, el módulo de elasticidad volumétrico es
2.151’164.271 Pa .
El módulo de elasticidad volumétrico se define como:
dP
Ev = − (3.7.1)
d∀ / ∀
dP
Ev = (3.7.2)
dρ / ρo
Donde dP es el cambio diferencial de presión necesario para
crear un cambio diferencial de volumen, d∀ , de un volumen

159
∀ . El signo negativo se incluye porque un aumento de presión
produce una disminución de volumen. Como al disminuir el
volumen de una masa dada, m = ρ∀ , se obtiene un
incremento en la densidad, la ecuación 3.7.1 se puede
expresar como la 3.7.2.
El módulo de elasticidad volumétrico tiene dimensiones de
presión. En unidades SI, como N / m 2 (Pa ) .
Para que el programa CFX considere el agua como fluido
compresible basta con cambiar el valor constante de la
densidad por una expresión que varíe en función de la presión
o de la temperatura. Para este caso se emplea una expresión
matemática que relaciona el cambio de densidad en función
de la presión. Se usa la expresión (3.7.2) de la siguiente
forma:
ρo
ρ ( P) = (3.7.3)
⎛ P − Po ⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ Ev ⎠
Donde ρ ( P ) es la densidad en tiempo real en función de la
presión, ρ o la densidad inicial, P la presión instantánea en

160
tiempo real, Po la presión inicial en condición estable y E v el
módulo de elasticidad volumétrico.
En la figura 3.25 se muestra una curva que representa el
cambio que sufriría la densidad del fluido si la presión cambia
de 0 Pa a 1'000.000 Pa (aproximadamente 10atm ). El cambio
en densidad es muy pequeño ( < 0.5kg / m3 ).
FIGURA 3.25 EXPRESIÓN MATEMÁTICA PARA LA DENSIDAD EN LA
SIMULACIÓN TRANSIENTE

161
3.7.2 Algoritmo de resolución
Al igual que en la simulación estable, el programa ANSYS-
CFX emplea el método algebraico multi-malla. Como se
mencionó en la sección 3.6.2, éste es un método iterativo
donde la solución de las ecuaciones es aproximada mediante
un proceso de iteraciones.
3.7.3 Modelo de turbulencia
Para el análisis transiente de un golpe de ariete, los modelos

9
de turbulencia más recomendados son los modelos donde la
viscosidad turbulenta es expresada como función algebraica.
También puede ser usado el modelo k − ε ( k − Epsilon) que es
un modelo sofisticado, ya que usa ecuaciones diferenciales
adicionales para describir la viscosidad turbulenta.
El CFX dispone de varias opciones de modelos de turbulencia,
los modelos disponibles son los siguientes:
______________
9
Véase la referencia N°7, SODJA J., Turbulence Models in CFD, para una
explicación completa de los modelos de turbulencia.

162
• k − Epsilon
• Shear Stress Transport
• BSL Reynold Stress
• SSG Reynold Stress
La figura 3.26 muestra una pantalla del CFX, donde se
muestran los diferentes tipos de modelos de turbulencia
disponibles en el programa.
Como se puede observar entre estas opciones se encuentra
el modelo k − Epsilon, el cual se escoge por el criterio
anteriormente mencionado. El k − Epsilon es un modelo semi
empírico de dos ecuaciones que se basa en la ecuación de la
energía cinética k y en la ecuación de la razón de
disipación ε.
La ecuación de la energía cinética turbulenta k se muestra en
la expresión (3.7.4)
∂ (ρk ) ∂ (ρku i ) ∂ ⎡⎛ μt ⎞ ∂k ⎤
+ = ⎢⎜⎜ μ + ⎟⎟ ⎥ + G k + Gb − ρε − Ym + S k
∂t ∂xi ∂x j ⎢⎣⎝ σk ⎠ ∂x j ⎥⎦
(3.7.4)

163
Donde
ρ : densidad del fluido.
k : energía cinética turbulenta.
t : tiempo.
μ..t : viscosidad turbulenta.
G.k : generación de energía cinética turbulenta debido a
gradientes de velocidad.
G.b : generación de energía cinética turbulenta debido a
fuerzas de flotación.
Ym: contribución a la razón de disipación debido a efectos de
compresibilidad.
Sk : fuente que puede ser definida por el usuario.
La segunda ecuación es de la disipación ε , la cual se
presenta en la expresión (7.3.5)
∂ (ρε ) ∂ (ρεu i ) ∂ ⎡⎛ μt ⎞ ∂ε ⎤ ε ε2
+ = ⎢⎜⎜ μ + ⎟⎟ ⎥ + C1ε (G k + C 3ε Gb ) − C 2ε ρ + Sε
∂t ∂xi ∂x j ⎣⎢⎝ σε ⎠ ∂x j ⎦⎥ k k
(3.7.5)
Donde
C1ε , C 2ε , C 3ε : constantes.
S ε : fuente definida por el usuario.

164
La viscosidad turbulenta se define de acuerdo a la siguiente
ecuación:
k2
μ t = ρC μ (3.7.6)
ε
Las constantes del modelo se asumen como universales para
todo tipo de fluidos. Para obtener sus valores, se utilizaron
fluidos simples, donde la ecuación puede simplificarse y se
puede utilizar datos experimentales para obtener el valor de
las constantes. Los fluidos utilizados fueron aire y agua. Las
constantes tienen los siguientes valores:
C1ε =1,44
C2ε =1,92
Cμ = 0,09
σk =1,0
σε =1,3
Este modelo predice adecuadamente el comportamiento
generado por la turbulencia en regiones alejadas a paredes
físicas donde la viscosidad turbulenta predomina, sin embargo
en las zonas muy cercanas a la pared, donde la velocidad del
fluido es cero, la viscosidad molecular predomina a la
turbulenta, por ello es necesario establecer condiciones
adicionales en esta región.

165
FIGURA 3.26 OPCIONES DE MODELOS DE TURBULENCIA
3.7.4 Controles de Solución
Al igual que para la simulación estable los controles de la
solución se aplican a la convergencia de la ecuación de la
continuidad, de la cantidad de movimiento, la disipación
turbulenta y la energía cinética turbulenta; sin embargo, como
la simulación transiente es una solución numérica a través del
tiempo es necesario considerar el principio de conservación

166
de la energía. En este caso se considera que la temperatura
del fluido permanece constante ( 25o C ).
En esta resolución los valores iníciales de las variables se
toman de los resultados de la solución estable, lo cual
presenta muchas ventajas. Por ejemplo permite simular el
cierre de la válvula de inmediato dado que ya se tienen los
perfiles de velocidad desarrollados dentro del ducto.
También se define al sistema referencial como estacionario y
para simplificar el problema se desprecia la aceleración
gravitacional, dado que ésta no tiene mayor influencia en el
comportamiento del modelo.
3.7.5 Control del tiempo
Al realizar una simulación transiente se debe considerar como
criterio adicional de control a la variable tiempo, a diferencia
de la simulación estable.

167
El primer parámetro a definir es la duración de la simulación
(Time Duration), para lo cual el programa dispone de las
siguientes opciones:
• Tiempo total.
• Tiempo por corrida.
• Número máximo de “incrementos de tiempo”(time steps).
• Número de de “incrementos de tiempo” por corrida.
Si se considera la longitud del conducto “ L” de la tabla 4.1 y el
valor teórico de la velocidad de propagación de la onda de
golpe de ariete “ a ” de la ecuación (2.1.16). El periodo de la
onda de presión es:
L = 61m
a = 1339 m / s
4L 4(61m )
T= = = 0,182 s
a 1330 m / s
Dentro de la opciones para la duración de la simulación se
escoge la opción “tiempo total”(total time). Dado que mientras
mayor sea el valor de tiempo total de simulación, más tiempo
seguirá resolviendo el problema el computador, se decide que

168
la simulación dure el tiempo necesario para capturar tres
periodos de la onda de presión; ya que éste es suficiente
para realizar la comparación con los datos experimentales.
DuraciónSi mulación = 3(T ) = 3(0,182 s ) = 0,506 s
El segundo parámetro es la variable “incremento de
tiempo”(time Step). Esta variable es muy importante dado que
el programa debe calcular una solución a cada intervalo real
igual al valor establecido como “incremento de tiempo”.Esto
significa que la variable incremento de tiempo no es más que
un Δt para el cual el programa CFD resuelve el problema.
Para determinar un incremento de tiempo adecuado es

10
conveniente considerar el Número de Courant o CFL , que
se define como el cociente entre el intervalo Δt y el tiempo de
residencia (en este caso de la perturbación) en un volumen
finito. Éste es:
Δt
CFL = (3.7.7)
Dx / u

169
Donde,
CFL , es el Número de Courant
Δt , Intervalo de tiempo
Dx , Intervalo de espacio
u, es la velocidad
La condición CFL es una condición de convergencia de las
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales solucionadas
con algoritmos. Como consecuencia de esta condición, el
incremento de tiempo debe ser inferior a un cierto valor, sino
la simulación producirá resultados incorrectos.
En la sección 3.3.2, se definió al tamaño del elemento de
malla en sentido de la trayectoria del barrido como “ Dx ”,
igual a 0,00127.m . También se considera el valor teórico de la
velocidad de propagación de la onda de golpe de ariete “ a ”
igual a 1339.m / s .
______________
10
La condición CFL se llama así en honor a Richard Courant, Kurt Friedrich y
Hans Lewy que la describieron en un artículo en 1928.

170
Si se parte de la idea de querer capturar la propagación del
frente de onda, el Número de Courant o CFL debe ser igual a
1, esto es, siendo demasiado estricto, lo cual es una cosa
impracticable; sin embargo un Número de Courant o CFL igual
a 10 es aceptable. Por lo tanto se calcula el valor del
incremento de tiempo, considerando este criterio.
Δt
CFL =
Dx / u
CFL * Dx
Δt =
u
10 * 0.00127m
Δt = = 9.5 x10 −6 s
1339m / s
Δt ≈ 1.0 x10 −5 s
Por último el parámetro de “tiempo inicial”(initial time)se
establece en 0 segundos, dado que el inicio de la solución es
el punto de partida de la simulación transiente.
3.7.6 Monitores de convergencia
Al igual que para la solución estable, durante el proceso de
resolución se grafican monitores de convergencia que
avanzan conforme continúa el proceso iterativo. La figura
3.27 muestra el monitor de los residuales de la ecuación de la

171
continuidad, velocidad x , velocidad y , y velocidad z ;
mientras la figura 3.28 los residuales de la energía cinética
turbulenta y de la disipación turbulenta. Observando estos
gráficos se puede apreciar cómo se desarrolló la solución
transiente. A continuación se explica en qué consisten los
residuales de las ecuaciones.
En la etapa de procesamiento, el ANSYS CFX debe resolver
el sistema discreto de ecuaciones lineales. Éste es un proceso
iterativo donde la solución exacta de las ecuaciones es
aproximada durante el transcurso de las iteraciones. El
sistema lineal de ecuaciones discretas puede ser escrita en la
forma matricial general como:
[A][φ ] = [b] (3.7.8)
Donde [A] es el coeficiente matricial, [φ ] el vector solución y
[b]el lado derecho.
La ecuación puede ser resuelta iterativamente comenzando
con una solución aproximada, φ n , que es mejorada con una
corrección, φ ' , para llegar a una mejor solución, φ n +1 , que es

172
φ n +1 = φ n + φ ' (3.7.9)
Donde φ ' es una solución de
Aφ ' = r n (3.7.10)
Por lo tanto el residual, se obtiene de la siguiente forma:
r n = b − Aφ n (3.7.11)
Se configuró el programa para que a medida que avanza el
proceso iterativo se graben automáticamente los valores de la
presión estática en la cara “salida”. Con estos valores se
elabora un monitor que equivale a tener un sensor de presión
en la misma cara. La curva de los valores de presión se
grafica en la figura 3.32, la cual se explica en mayor detalle en
la sección 3.8.2.

173
FIGURA 3.27 RESIDUALES DE LA CONTINUIDAD, VELOCIDAD x,
VELOCIDAD y, VELOCIDAD z DE SOLUCIÓN TRANSIENTE
FIGURA 3.28 RESIDUALES DE LA ENERGÍA CINÉTICA TURBULENTA Y
DISIPACIÓN TURBULENTA DE SOLUCIÓN TRANSIENTE

174
3.8 Resultados CFD
Los resultados de la simulación CFD se han dividido en dos
secciones. En la primera sección se muestra el resultado de la
simulación estable, cuyo objetivo era determinar las condiciones
iniciales para la simulación transiente.
En la segunda sección se muestra el resultado del análisis transiente,
es decir los efectos del golpe de ariete.
3.8.1 Resultados de la resolución estable
Para obtener la solución de esta simulación fue necesario un
total de 150 iteraciones hasta lograr la convergencia, de tal

11
manera que el máximo valor de los residuales de masa y de
la cantidad de movimiento fuera inferior a 1x10−5 .
______________
11
El residual es una medida del desbalance local de una ecuación
conservativa en cada volumen de control. Ésta es la forma más importante
de medir la convergencia de las ecuaciones, durante el proceso iterativo de
solución.

175
Dado que en este problema la malla tenía aproximadamente
5´500.000 elementos, con 5 incógnitas por cada elemento el
resultado de la simulación es un conjunto de 27’500.000
valores. El ANSYS-CFX, así como la mayoría de los
programas comerciales de CFD permiten presentar los
resultados de un modelo de manera visual para facilitar la
representación de los mismos. Por ejemplo en la figura 3.29
se presenta el contorno de presión estática en la pared de la
tubería cuyos valores están referidos a la escala en Pascales
a la izquierda de la figura. En esta figura se puede observar
que a la entrada, la presión estática es de 99.873 Pa y a la
salida de 75.270 Pa . Estas condiciones se cumplen cuando el
agua se encuentra fluyendo de manera estable a lo largo de
toda la tubería, antes de que se cierre la válvula a la salida del
conducto.
La figura 3.30 muestra detalle del contorno de la velocidad del
fluido a la salida de la tubería. Como es de esperarse, la
velocidad es igual a cero donde el fluido tiene contacto con las
paredes del conducto. Esto se debe a la condición de no
deslizamiento definida antes de la resolución del problema.

176
FIGURA 3.29 CONTORNO DE PRESIÓN ESTÁTICA EN LA PARED
FIGURA 3.30 CONTORNO DE VELOCIDAD EN LA SALIDA

177
FIGURA 3.31 CONTORNO DE PRESIÓN TOTAL EN LA PARED
En la figura 3.31 se presenta el contorno de presión total en la
pared de la tubería. En este gráfico se observa que a la
entrada la presión es 100.002 Pa ; mientras que en la salida la
presión es 75.271 Pa . Se puede deducir entonces que la
pérdida de presión debido a la fricción del fluido en las
paredes de la tubería es igual a 24.731 Pa .

178
3.8.2 Resultados de la resolución transiente
Únicamente con una simulación transitoria es posible realizar
el análisis CFD del golpe de ariete. Los resultados mostrados
en esta sección representan el comportamiento físico que
experimenta el fluido posteriormente al cierre instantáneo de
la válvula.
El programa ANSYS CFX almacena por defecto todos los
resultados de las propiedades del fluido para cada
“incremento de tiempo” Δt . Esto genera archivos muy
pesados cuando se analizan dominios relativamente grandes.
Por lo tanto para ahorrar memoria, se configuró en el
programa para que únicamente se graben los resultados de
presión del modelo en cada Δt .
Para capturar la onda de presión que se genera
posteriormente al cierre instantáneo de la válvula, se
estableció un monitor de convergencia que presenta los
resultados de las presiones en la cara salida para cada Δt .
Este monitor grafica las presiones en esta cara en función del
tiempo y también en función del número de incrementos de
tiempo (time step). Para este análisis se consideró una

179
duración total de la simulación de 0,546 s , tiempo en el cual
teóricamente se deben capturar tres periodos de onda de la
perturbación de la presión.
En la figura 3.32 se muestra el monitor de presión en la cara
salida en función del tiempo. Esta gráfica es equivalente a los
datos registrados por el transductor de presión ubicado a la
salida de la tubería del banco de pruebas experimentales de
análisis de golpe de ariete. Observando esta figura se puede
notar la formación de tres periodos de onda durante los
0,546 s que totaliza la simulación.
Las figuras 3.33 a 3.41 son contornos de presión a diferentes
Δt , las cuales presentan el comportamiento de este
fenómeno y especialmente como se propaga la perturbación
de la presión a través del conducto conforme transcurre el
tiempo.
Con los resultados del análisis transiente para cada Δt fue

12
posible elaborar un video que muestra el cambio en los
contornos de presión conforme transcurre el tiempo. En este

180
video se puede apreciar cómo se propaga la onda del golpe
de ariete a través del conducto.
______________
12
Véase el video de la simulación transitoria del golpe de ariete en un
conducto cerrado en: “http://youtu.be/MlaKgX4sPVs”.

181
FIGURA 3.32 MONITOR DE PRESIÓN EN LA SALIDA VS. TIEMPO
FIGURA 3.33 CONTORNO DE PRESIÓN EN TIEMPO t = 0s

182
FIGURA 3.34 CONTORNO DE PRESIÓN EN TIEMPO t = 0,0228s

183

184

185

CAPÍTULO 4
4 MEDICIONES EXPERIMENTALES
4.1 Metodología de Medición
4.1.1 Introducción
Como se estableció en el principio de esta tesis de grado, el
objetivo de las mediciones experimentales es obtener datos
reales de la generación y desarrollo de un golpe de ariete a
causa del cierre instantáneo de una válvula, con el fin de
compararlos con los resultados de la simulación CFD y poder
validar el modelo que se desarrolló en el capítulo 3. De esta
manera se valida una metodología adecuada para la
simulación numérica de este fenómeno y poderla utilizar
confiablemente para otros casos reales en la tuberías de
presión de centrales hidroeléctricas y otros casos de interés.

187
La única manera para obtener datos reales cuando se origina
un golpe de ariete es provocar uno intencionalmente y adquirir
estos datos; cabe señalar que en el pasado ya se condujeron
extensivos experimentos por personas como Joukowski (ruso)
y Frizell (norte americano) para el estudio de este fenómeno.
4.1.2 Fundamentos de la medición experimental
En esta sección se establecen los fundamentos necesarios
para la recreación experimental de un transitorio hidráulico.
Como se sabe un transitorio hidráulico se origina por el
cambio repentino de las condiciones estables de un fluido.
Una de las causas que pueden originar un transitorio
hidráulico es el arranque o parada de alguna turbo máquina
(bombas, turbinas hidráulicas) y también el cierre instantáneo
de una válvula.
En cualquiera de los casos la manera más sencilla de
producir un transitorio hidráulico golpe de ariete, es
considerar que en un conducto cerrado, es decir una tubería
con un diámetro y longitud dado por la que fluye algún fluido

188
establemente se vea afectado por un cambio instantáneo en
sus condiciones estables. Se logra esto, colocando una
válvula al final de la tubería, y cerrándola lo suficientemente
rápido, para que se origine el golpe de ariete. Como
consecuencia aparece una onda elástica de presión que viaja
a lo largo de la tubería, la cual se puede monitorear mediante
un transductor de presión en el transcurso del tiempo.
4.1.3 Metodología
Para la elaboración de experimentos de estudio de golpes de
ariete, el laboratorio de Termo fluidos de la Facultad de
Ingeniería Mecánica y Ciencias de la Producción FIMCP de la
ESPOL cuenta con un equipo marca PLINT ENGINEERS &
PARTNERS Ltd. Las características de este equipo se
detallan en la sección 4.2
Los componentes e instrumentos con que cuenta el equipo de
análisis de transitorios hidráulicos para llevar a cabo este
experimento son los siguientes:
• Fuente de agua
• Tramo de tubería de cobre (62m aprox.)

189
• Electroválvula
• Transductor electrónico de presión (0-150Psi) y
• Osciloscopio
Para el análisis del comportamiento de un transitorio hidráulico
principalmente se busca determinar el desarrollo de la onda
elástica de presión que se origina cuando se cambian las
condiciones del fluido en un tiempo relativamente corto, y
verificar cómo se comporta éste en el transcurso del tiempo.
El procedimiento que se sigue para llevar a cabo el
experimento se detalla a continuación:
I. Se verifica la calibración del transductor de presión.
II. Se calibra la escala del osciloscopio para poder tener
buena visualización de la onda del golpe de ariete.
III. Abrir la entrada de agua y dejar que fluya durante unos
pocos minutos para expulsar todo el aire del sistema.
IV. Se maniobra la válvula de desviación y la de regulación
para tener un caudal aproximado de 6 lt / min y presión
interna en la entrada de 100.000 Pa . Si limitamos el
caudal a este valor, entonces se sabrá que la velocidad

190
inicial del fluido es Vo = 0.52m / s , y la máxima presión
alcanzada por la onda del golpe de ariete será
aproximadamente P max = 6.9 x10 Pa .

5
La velocidad
inicial del fluido se limita debido a que si ésta supera
este valor, la máxima presión generada podría superar
el rango máximo seguro del transductor de presión.
V. Se cierra la válvula solenoide y se capturan los
resultados.
Para determinar la velocidad “ a ” con que se propaga la onda
del golpe de ariete se usan los valores de densidad y módulo
de compresibilidad del agua de la tabla A.1 y el módulo de
Young del cobre tomado de la tabla B.1. Ambas tablas se
encuentran en los apéndices A y B respectivamente. Además
el diámetro y el espesor de la tubería se encuentran en la
tabla 4.1 de la sección 4.2
ρo = 999kg / m 3
E v = 2.15 x10 9 Pa
E = 115 x10 9 Pa
D = 12.7 mm
e = 1.19mm
Entonces se procede a usar la formula (2.1.16)

191
Ev
a=
ρo[1 + (E v D / eE )]
a = 1339m / s
De esta manera se determina la presión máxima y velocidad
con que se propaga la onda del golpe de ariete y estos
resultados deben coincidir con la figura adquirida por el
osciloscopio. El resultado de esto se detalla en la sección 4.3
de este mismo capítulo.
4.2 Equipos de mediciones experimentales
Como se mencionó anteriormente, para el análisis experimental de
este fenómeno se usa un equipo específico para el estudio de golpes
de ariete disponible en el laboratorio de termo fluidos de la FIMCP.
El equipo consiste básicamente de una tubería de cobre en espiral
por donde se hace fluir agua desde un extremo. En el otro extremo
de la tubería, es decir a la salida se puede cortar el flujo mediante
una válvula solenoide. Un transductor de presión está fijado cerca de
la válvula, y se encuentra conectado a un osciloscopio, para captar
las fluctuaciones de presión provocadas por el cierre de la válvula.

192
Existe además una válvula de desviación en la entrada y una
segunda válvula regulable que se encuentra después de la válvula
solenoide, es decir al final de la tubería. Estas dos válvulas sirven
para variar la razón de flujo y la presión interna antes del cierre de la
válvula solenoide.
Un manómetro de Bourdon se encuentra instalado entre la válvula
solenoide y la válvula de regulación para permitir la visualización de
la presión en el sistema y además para la calibración del transductor
de presión.

193
FIGURA 4.1 COMPONENTES DE GENERADOR DE GOLPES DE ARIETE
Para operar el equipo, éste incluye una caja de control como se muestra en
la figura 4.3. Dentro de esta caja se encuentran las baterías para la
excitación del osciloscopio y del transductor de presión.

194
FIGURA 4.2 EQUIPO GENERADOR DE GOLPES DE ARIETE
FIGURA 4.3 CAJA DE CONTROL DEL EQUIPO

195
TABLA 4.1
Datos técnicos de equipo de análisis de golpes de ariete

Marca: PLINT & PARTNERS LTD
Modelo: TE.86/D
Sistema Unidades
Dato
Internacional Inglesas
Longitud de la tubería 61 m 200 ft
Diámetro interior de la tubería 0,0127 m 0,5 in
Espesor de pared de la tubería 0,00119 m 0,047 in
Presión máx. del transductor de presión 11x10e5 N / m 2 150 lbf / in 2
Excitación del osciloscopio 6 V DC

Excitación del transductor de presión 6 V DC
TABLA 4.2
Notación del equipo de análisis de golpes de ariete
Dato Símbolo Unidades
Longitud de la tubería L m
Diámetro interior de la tubería D m
Sección transversal A m2
Espesor de pared de la tubería e m
Presión, relativa a la atmósfera P N / m2

Densidad del agua ρ kg / m3
Velocidad inicial del agua Vo m/ s
Velocidad de propagación de la onda a m/ s
Módulo de elasticidad volumétrico del agua Ev N / m2
Módulo de Elasticidad de la tubería E N / m2

196
4.3 Resultado de mediciones experimentales
Los resultados de la medición experimental son los valores de
presiones obtenidas por el transductor de presión en el periodo
posterior al cierre de la válvula solenoide. Si se cambia la escala de
tiempo/cm dentro del osciloscopio se puede visualizar la onda de
presión del golpe de ariete en diferentes rangos.
En las figuras 4.4 a 4.6 se presentan los gráficos de la onda de
presión de golpe de ariete producido por el cierre instantáneo de la
válvula solenoide. La figura 4.4 corresponde a una escala de
300ms/cm, es decir 1cm=300ms. La figura 4.5 a una escala de
100ms/cm. Finalmente la figura 4.6 a una escala de 50ms/cm.

197
FIGURA 4.4 ONDA DE PRESIÓN, ESCALA 300ms

198

CAPÍTULO 5
5 ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS
5.1 Análisis de resultados CFD
La figura 3.29 del capítulo 3 muestra un monitor de presión versus
tiempo. En este monitor se graficaron los valores de las presiones en
la cara denominada “salida” conforme avanzaba la solución
transiente del modelo. Este gráfico representa el comportamiento de
la onda del golpe de ariete que se generó debido al cierre
instantáneo de la válvula.
Desde el post procesador del ANSYS-CFX se puede exportar este
monitor con sus respectivos valores a un archivo de texto (txt), o
directamente a formato Excel. En la figura 5.1 se muestra la curva
exportada del CFX en un gráfico de Excel.

200
FIGURA 5.1 ONDA DE PRESIÓN DE GOLPE DE ARIETE – DATOS CFD
Con estos datos se establece, que según el análisis CFD, el periodo
de la onda es 0,1892 s , la amplitud máxima de presión registrada es
821.070 Pa y la presión más baja llega a -608.510 Pa . Ambas
presiones, la más alta y más baja se registran en la primera onda de
presión que se genera en el interior del conducto, inmediatamente
después del cierre de la válvula. Aunque físicamente es imposible
llegar a ese valor de presión negativa, el CFX lo determina, debido a
que éste establece ese valor en función de un marco referencial de
presión y además no considera el cambio de fase cuando el fluido

201
alcanza la presión de vapor. Este aspecto se detalla completamente
en la sección 5.3 de comparación de los resultados.
5.2 Análisis de mediciones experimentales
Como se indicó en el capítulo anterior, los datos experimentales con
que se valida la simulación CFD se tomaron de la prueba descrita en
el manual del equipo de generación y análisis de golpes de ariete.
Estos datos se mostraron en el capítulo 4 y al igual que los
resultados CFD, se llevan a un archivo de Excel para su comparación
en la siguiente sección.
La figura 5.2 muestra el comportamiento de la onda del golpe de
ariete determinado en la prueba experimental. De esta figura se
puede establecer que el periodo de la onda es aproximadamente
T = 0,182s . Como se conoce la longitud de la tubería L = 61m (tabla
4.1), se puede determinar la velocidad de propagación de la onda de
presión, la cual es
4L 4(61m)
a= = = 1340m / s
T 0,182s

202
FIGURA 5.2 ONDA DE PRESIÓN DE GOLPE DE ARIETE – DATOS
EXPERIMENTALES
Según el resultado experimental, la onda de presión viaja a través del
conducto a una velocidad “ a ” igual a 1340 m / s y se puede observar
en la figura 5.2 que esta onda se va atenuando conforme transcurre
el tiempo hasta que desaparece, al disiparse toda su energía.
Un parámetro muy importante del resultado experimental, es la
amplitud máxima de presión que alcanza la onda (790.000 Pa ). Ésta
llega casi a una presión 8 veces superior a la nominal en situación

203
estable. Por esta razón el análisis de este fenómeno es muy
importante, dado que de no considerar este aspecto se pueden llegar
a tener accidentes en los sistemas de tuberías.
Al comparar la curva obtenida experimentalmente con el
comportamiento teórico, se nota que el pulso inicial positivo de
presión coincide muy bien con lo esperado; sin embargo
teóricamente el pulso negativo siguiente debería alcanzar valores
muy inferiores al mostrado en la figura 5.1. Esto no se observa,
debido a que el transductor de presión instalado en el equipo solo
podía adquirir rangos de presiones positivas y además cuando la
presión llega al valor de presión de vapor del fluido, ocurre un
cambio de fase del mismo.
5.3 Comparación de resultados
En la figura 5.3 se muestran la onda de golpe de ariete obtenida
mediante el análisis CFD (curva roja) y la curva proveniente de la
prueba experimental (curva azul).
Al comparar estos dos resultados se puede observar que la curva
obtenida experimentalmente y los resultados de la simulación CFD,

204
coinciden muy bien en los pulsos positivos de presión; sin embargo
esto no sucede con los pulsos negativos por lo explicado
anteriormente. En La curva experimental se nota que los valores
inferiores de presión llegan hasta 0 Pa ; mientras que los resultados
del análisis CFD muestran que la presión alcanza valores de hasta
-600.000 Pa .
Considerando que este gráfico muestra valores de presiones
manométricas y que su referencia es la presión atmosférica al nivel
del mar, el pulso negativo de presión debido al cierre instantáneo de
la válvula debe alcanzar una presión manométrica negativa hasta
alcanzar la presión de vapor del fluido, que es 3.291 Pa (abs ) para el
agua. Cuando esto ocurre se da un cambio de fase en el fluido.

205
FIGURA 5.3COMPARACIÓN DE RESULTADOS CFD Y EXPERIMENTALES

206
Para la curva experimental no se nota el aspecto anteriormente
mencionado, debido a que el transductor de presión instalado en la
prueba solo podía adquirir rangos de presiones positivas (de 0 a
11x10 5 Pa , tabla 4.1); mientras que los resultados CFD no
contemplan esto, a causa de que en la simulación CFD no se
consideró cambio de fase, y solamente se estableció la presión
atmosférica como una presión referencial.
Cabe señalar además que en la figura 5.1 se muestra un punto (color
negro), que representa el valor de la primera amplitud de presión
calculado usando las cartas de Allievi. En la sección 2.3.2 que se
empleó este método, se determinó un incremento de presión de
7 x10 5 Pa , para una constante del sistema de tubería de ρ = 3,47 y una
constante de operación de la válvula de θ = 1 . Si este valor de
aumento de presión es sumado a la presión inicial antes del cierre de
la válvula (75.271 Pa ) resultado de la simulación CFD estable, la
presión alcanzaría un valor de 775.271 Pa , El cual es similar a los
resultados, tanto experimental, como de la simulación CFD.
Los resultados obtenidos del análisis CFD, predicen de manera muy
próxima el comportamiento real del fenómeno. Con respecto al
resultado experimental, la onda de presión de golpe de ariete

207
obtenida de la simulación CFD se asemeja en periodo y amplitud a
la curva experimental, por tanto predice la velocidad de propagación
de la onda de presión de manera correcta.
Para la estimación de error del modelo CFD se consideran los dos
aspectos más importantes a predecir. El primero es la máxima
amplitud de presión y el segundo es el periodo de la onda del golpe
de ariete.
La tabla 5.1, muestra un resumen de resultados y errores del
modelo CFD. Los errores tienen un valor de 3,93% y 3,96% para la
estimación de la amplitud máxima de presión y del periodo de la
onda de golpe de ariete, respectivamente.
TABLA 5.1
Error del modelo CFD
Resultados Resultados Error

Propiedad
Experimentales CFD del modelo CFD
Amplitud primer pulso

790.000 Pa 821.070 Pa 3,93%
de presión
Periodo de la onda de
0,1820 s 0,1892 s 3,96%
golpe de ariete

CAPÍTULO 6
6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1 Conclusiones.
• De acuerdo a los resultados que se obtuvieron de la simulación
numérica CFD y prueba experimental, que se muestran en la
tabla 5.1. Se concluye que el modelo CFD predijo de una
manera correcta a la realidad del proceso de generación del
golpe de ariete, provocado por el cierre instantáneo de una
válvula. Los errores que se obtuvieron son aproximadamente del
4%, que para una simulación de flujo transitorio es aceptable.
• Como consecuencia de lo anteriormente mencionado, el modelo
CFD para el análisis del golpe de ariete descrito en esta tesis
queda validado como un modelo adecuado para la predicción de

209
este tipo de fenómeno. Por lo cual se considera que la
metodología utilizada es correcta y confiable, entonces puede ser
usada en problemas reales específicos, donde una recreación
experimental no sea factible.
• En esta tesis para el análisis del golpe de ariete en un conducto
cerrado se realizó una simulación CFD de tipo transitoria. Este
análisis se describe en el capítulo 3, los resultados y la
comparación de éstos se muestran en el capítulo 5, donde se
nota que el modelo elaborado predice adecuadamente el
comportamiento de la onda elástica de presión que se propaga a
través del tiempo.
• Para definir un modelo CFD que prediga de manera adecuada al
fenómeno golpe de ariete, se deben considerar algunos aspectos
muy importantes como el refinamiento del mallado, tipo de
solución, condiciones de fronteras adecuadas, modelo de
turbulencia apropiado y control del incremento de tiempo en las
iteraciones. El análisis de este tipo de fenómeno es muy sensible
y alguna mala consideración de estas variables afectará una
correcta convergencia de los resultados.

210
6.2 Recomendaciones
• Aunque la resolución CFD del golpe de ariete es un análisis de
tipo transitorio, es recomendable que éste comience de una
solución estable. De esta manera en la simulación estable se
desarrollan los perfiles de velocidad y dentro de simulación
transitoria se puede iniciar el cerrado de la válvula
inmediatamente.
• Se recomienda para este tipo de análisis, donde se presentan
dominios relativamente grandes, comenzar con un dominio
reducido, de tal manera que el análisis avance con mayor
rapidez y luego, usando las configuraciones adecuadas, es decir
después de haber dominado por completo el modelo pasar al
análisis del dominio completo.
• Para optimizar la medición experimental, se puede instalar un
sensor de presión capaz de captar la rápida evolución de la
presión que se produce en el golpe de ariete y conectar éste a un
sistema de adquisición de datos electrónico, una computadora y
el programa de control y adquisición. Una alternativa

211
recomendable es la adquisición y análisis de datos mediante
Labview por su rapidez y confiabilidad.
• Actualmente el equipo generador de golpes de ariete se
encuentra inutilizable debido a que faltan los siguientes
componentes: el manómetro, el transductor de presión estática,
la válvula solenoide y el osciloscopio. Por lo recomendado en el
enunciado anterior se puede mejorar el sistema de adquisición de
datos mediante Labview, con lo cual ya no sería necesario el
empleo del osciloscopio. Se recomienda a la FIMCP la
adecuación óptima de este equipo para su utilización en el
laboratorio de termo fluido. En el Apéndice C se muestra el
listado de los componentes faltantes y el presupuesto necesario.

APÉNDICE A
PROPIEDADES FÍSICAS DE FLUIDOS COMUNES
TABLA A.1
Propiedades físicas aproximadas de algunos líquidos comunes

Módulo de elasticidad
Líquido Temperatura Densidad “ ρ ” volumétrico " E v "
(ºC) (kg/m3) (Pa)
Aceite SAE 30 15,6 912 1,5 e9
Agua 15,6 999 2,15 e9
Agua de mar 15,6 1030 2,34 e9
Alcohol etílico 20 789 1,06 e9
Benceno 15 880 1,05 e9
Gasolina 15,6 680 1,3 e9
Glicerina 20 1260 4,52 e9
Mercurio 20 13600 2,85 e10
Querosín 20 804 1,32 e9
Tetra cloruro de
Carbono 20 1590 1,31 e9

TABLA A.2
Propiedades físicas del agua

Temperatura Densidad Peso Viscosidad Viscosidad Presión Velocidad
ρ específico dinámica cinemática de vapor del sonido
(ºC) (kg / m ) 3
(kN /m 3
) (N . s / m )
2
(m 2
/s ) (N / m )abs
2
(m / s )
0 999,9 9,806 1,787E-03 1,787E-06 6,105E+02 1403
5 1000 9,807 1,519E-03 1,519E-06 8,722E+02 1427
10 999,7 9,804 1,307E-03 1,307E-06 1,228E+03 1447
20 998,2 9,789 1,002E-03 1,004E-06 2,338E+03 1481
25 997,0 9,777 8,999E-04 9,025E-07 3,291E+03 1494
30 995,7 9,765 7,975E-04 8,009E-07 4,243E+03 1507
40 992,2 9,731 6,529E-04 6,580E-07 7,376E+03 1526
50 988,1 9,690 5,468E-04 5,534E-07 1,233E+04 1541
60 983,2 9,642 4,665E-04 4,745E-07 1,992E+04 1552
70 977,8 9,589 4,042E-04 4,134E-07 3,116E+04 1555
80 971,8 9,530 3,547E-04 3,650E-07 4,734E+04 1555
90 965,3 9,467 3,147E-04 3,260E-07 7,010E+04 1550
100 958,4 9,399 8,180E-04 2,940E-07 1,013E+05 1543
La densidad, viscosidad dinámica, viscosidad cinética y presión de vapor fueron tomados
del Handbook of Chemistry and Physics, 69 ava edición, CRC Press, 1988.
La velocidad del sonido de R. D. Blevins, Applied Fluid Dynamics Handbook, Van Nostrand Reinhold Co., Inc., New York, 1984.
Para esta tabla el peso específico se calculó en base a g = 9,807 m/s2

APÉNDICE B
PROPIEDADES FÍSICAS DE MATERIALES COMUNES
TABLA B.1
Propiedades físicas aproximadas de algunos materiales comunes

Módulo de Young "E" Relación de Poisson
Material
(GPa)
Acero 200-212 0,27
Aluminio aleación 68-73 0,33
Cobre 107-131 0,34
Concreto 14-30 0,1-0,15
Hierro fundido 80-170 0,25
Polietileno 0,8 0,46
PVC 2,4-2,75
Vidrio 46-73 0,24

APÉNDICE C
PRESUPUESTO PARA REPARACIÓN DE EQUIPO

GENERADOR DE GOLPES DE ARIETE
Equipo generador de golpes de ariete
Marca: PLINT & PARTNERS
Modelo: TE.86/D
Serie: TE.86/4185
PRESUPUESTO
ITEM DESCRIPCIÓN CANT. VALOR
Válvula solenoide OMEGA SV133, 10W, 120 Vac, 60Hz
1 1 145,00
cuerpo acero inoxidable, conector 1/4 NPT, Tc 4‐15ms
Manómetro de dial OMEGA PGC‐25L‐160
1 1 25,00
rango 0‐160 Psi, conector 1/4 NPT
Transductor de presión estática OMEGA PX209‐200AI
1 1 235,00
rango 0‐200 Psia, salida 4‐20 mA, excitación 7‐35 Vdc
Fuente DC SL SILVER SLS‐24‐012T de 24Vdc, 1.2Amp
1 1 94,30
4.85W
1 Accesorios varios
1 50,00

TOTAL 549,30
2-WAY GENERAL PURPOSE
SOLENOID VALVES
DIRECT ACTING, NORMALLY OPEN, STAINLESS STEEL VALVE BODY
SV130 Series through the valve. When current
flows through the coil, a magnetic
field is produced and it turns the
stop into an electromagnet that
All Models attracts the magnetic plunger.
$
145
This action compresses the return
spring and brings the plunger
against the orifice to prevent
flow through the valve.
SPECIFICATIONS
Wetted Parts: Stainless steel,
copper and seal
Medium: Liquid or gases
Max Static Pressure:
Stainless Steel Valve 1.5 times max psid,
vacuum (>5 microns ABS)
Body Resists Corrosion Ambient Temp: -9 to 50°C (15 to 122°F)
Rugged NEMA 4 (IP65) Mounting: Pipe mounting, any direction
Housing Power: 10 W, 120 Vac coils, 50 to 60 Hz SV133, $145,
shown smaller
Mounts in Any Position Weight: 500 g (1.1 lb) than actual size.
Rated for Continuous Duty
Dimensions: mm (in)
TYPICAL APPLICATIONS
70.1
Automation (2.76)
49.5 3
Humidifiers (1.95) # 10-32 NF TH’D
Water Treatment x 0.25 DP - 2 PLCs 11.2
(0.44)
41.1
Dispensing 97.0 (3.82) (1/4) (1.62) 22.4
VALVES AND REGULATORS

Laundry, Dry Cleaning 92.7 (3.65) (1/8) (0.88)
Equipment 46.2
11.2
(1.82) P
Machine Tools 2 (0.44)
22.4
Vending Machines (0.88)
8.6
The SV130 Series direct-acting IN 2 (0.34)
solenoid valves consist of a coil,
plunger, and sleeve assembly. In a 41.1
normally open valve, a plunger OUT (1.62)
return spring holds the plunger DIA.
away from the orifice, allowing flow
AVAILABLE FOR FAST DELIVERY!
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MODEL NO. PRICE
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FITTING ORIFICE Cv SEAL
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MIN MAX °C
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4
3⁄ "
64 0.05 FKM 0 400 116 240 4 to 15 ms 4 to 15 ms
SV132 145 1⁄
4
1⁄ "
16 0.11 FKM 0 325 116 240 4 to 15 ms 4 to 15 ms
SV133 145 1⁄
4
3⁄ "
32 0.15 FKM 0 250 116 240 4 to 15 ms 4 to 15 ms
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MODEL NO. PRICE DESCRIPTION Recommended Reference Book:
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MS-1783, $90.
SVCOIL-220AC 60 Replacement coil, 220 Vac See Section Y
SVCOIL-24DC 55 Replacement coil, 24 Vdc For Additional Books
Note: Some solenoid valves are available with 24 Vdc coils. 5 piece minimum order. UL
approval is not available with 24 Vdc coils. Specifications effected; pressure ratings may
decrease; coil wattage ratings may increase. Consult Engineering.
Ordering Example: SV131, 1⁄4 NPT direct-acting stainless steel normally open valve with a
3⁄ " orifice and FKM seal, $145.
64
L-28
HOW TO ORDER COMMERCIAL
GRADE GAUGES
PRESSURE
GAUGES
Standard Case
The high reliability of the OMEGA®
commercial gauge line is chiefly
G
attributable to the unique OMEGA®
spring-suspended movement. The
entire movement is suspended
between 2 springs, the Bourdon
tube above and the link below.
Wearing parts have been reduced
to a minimum. Movement parts
are ultrasonically cleaned and
lubricated with silicone oil to ensure
long cycle life. The OMEGA® spring- PGC Series, starts at $22,
suspended movement is largely shown smaller than actual size.
resistant to shock, pulsation, and
vibration. The result is longer gauge
A B
life. The numerous applications for
OMEGA® commercial gauges
include installation on pumps, K
portable compressors, industrial
machinery, hydraulic and pneumatic
C
systems, instrumentation, and
pressurized vessels.
W
SQ. FLATS
G
W W
SPECIFICATIONS M
Temperature: 66°C (150°F) max F
Case: Painted steel NPT
Style L H
Style B
Window: Polycarbonate plastic
Bourdon Tube: Bronze
Connection: Brass 1⁄4 NPT Dimensions: mm (in)
Ranges: Vacuum to 600 psi DIAL A B C F G H K M W WT.
Accuracy: 3-2-3% (3% over first and SIZE LOWER BACK NPT (OZ)
last 10% of range, 2% over remainder)
50.8 53 27 26 54 ⁄4
1 47 10 22 20 14 41⁄2
(2) (27⁄64) (13⁄64) (11⁄32) (27⁄64) (127⁄32) (3⁄8) (7⁄8) (25⁄32) (9⁄16)
63.5 69 29 29 68 ⁄4
1 55 10 22 20 14 6
STANDARD RANGES (21⁄2) (223⁄32) (11⁄8) (11⁄8) (211⁄16) (25⁄32) (3⁄8) (7⁄8) (25⁄32) (9⁄16)
RANGE
CODE RANGE
AVAILABLE FOR FAST DELIVERY!
30V 30/0 inHg vac
DIAL SIZE MODEL NO. CONNECTION PRICE
30V/15 30 inHg vac to 15 psi
PGC-20L-[*] Lower $22
30V/30 30 inHg vac to 30 psi 2" PGC-20B-[*] Back 25
30V/100 30 inHg vac to 100 psi
PGC-25L-[*] Lower 25
15 0 to 15 psi 21⁄2" PGC-25B-[*] Back 27
30 0 to 30 psi
60 0 to 60 psi [*] Insert range code from Standard Ranges table. Other standard ranges available;
see pages G-37 to G-40.
100 0 to 100 psi Ordering Example: PGC-20B-30, commercial pressure gauge with 2" dial, back connection
160 0 to 160 psi and 0/30 psi range, $25.
300 0 to 300 psi

400 0 to 400 psi Recommended Reference Book: Pocket Reference, GE-1600, $15.
Visit omega.com/bobi for Additional Books
600 0 to 600 psi
G-44
RUGGED SOLID STATE TRANSDUCERS
WITH AMPLIFIED OUTPUTS
STANDARD AND METRIC MODELS EXCLUSIVE
!
PX209/PXM209 Series Cable style.

0-15 to 0-300 psi-Standard Units
PRESSURE TRANSDUCERS
0-1 to 0-20 bar-Metric Units
Gage, Absolute, and
Compound Ranges
CURRENT OUTPUT
Based on proprietary solid
Starts at state sensor technology
originally used in
$
235 PX209-100GI,
cable style, $235,
shown actual size.
aerospace applications.
mini DIN
style.
B
Standard
⻬ Stainless Steel PX219-100GI,

Fitting and Body connector style,
$235, shown
⻬ 5-Point NIST-Traceable actual size.
Calibration Included
⻬ Solid State Media
Isolation (Suitable for
Use with Many Industrial with a micro-machined diffused Common Specifications
Accuracy: 0.25% FS (including
Liquids and Gases) silicon diaphragm and proprietary
linearity, hysteresis and repeatability)
⻬ Broad Temperature- thin-film media, plus dielectric
isolation barriers. Operating Temperature:
Compensated Range -54 to 121°C (-65 to 250°F)
of -20 to 80°C This same core sensing element Compensated Temperature:
technology, which includes multiple -20 to 80°C (-4 to 176°F)
(-4 to 176ºF) Yields High types of signal conditioning and the Thermal Effects:
Stability with Changing ability to survive extremes of shock 0.04% FS/°C (0.02% FS/°F)
Temperatures and vibration, provides a modular Proof Pressure: 150%
⻬ Electrical Isolation to building block for OMEGA’s Burst Pressure: 300% range max
100 MΩ Ensures Long- revolutionary family of Response Time: 2 ms typical
pressure-sensing instruments. Vibration Sensitivity: At 20 g
Term Reliability peak sinusoidal vibration from
⻬ Rugged High Shock and 10 Hz to 2000 Hz (1⁄2" D.A.), the output
Vibration Design for shall not exceed 0.04% FS/g for 15 psi
range to 0.005% FS/g for 100 psi and
Tough OEM Applications above
SPECIFICATIONS
⻬ 100,000 Hr MTBF Typical Voltage Output Natural Frequency: >35 kHz
for 100 psi range
Excitation: 24 Vdc @ 15 mA
Based on proprietary sensor 5 Vdc Output: 7 to 35 Vdc
Gage Type: Diffused silicon
technology developed by OMEGA strain gages
to meet the high reliability and 10 Vdc Output: 12 to 35 Vdc Wetted Parts: 316 SS,
accuracy demanded by aerospace Output: 0 to 5 Vdc or 0 to 10 Vdc, borosilicate glass, silicon
applications, the PX209/PXM209 ±1.5% FSO, 3-wire nitride, epoxy
Series voltage and current output Zero Balance: 0 Vdc ±2% FSO Pressure Port: See dimensional
pressure transducer offers superior 4 to 20 mA Output drawing on page B-91
performance in non-corrosive Excitation: 24 Vdc (7 to 35 Vdc) Electrical Connections:
applications, including: reverse polarity protected PX209/PXM209: 1 m (36") shielded
engine/powertrain testing, well Output: 4 to 20 mA (2-wire) ±1% FSO 4-conductor cable
monitoring, and ground and race Zero Balance: 4 mA ±2% FSO PX219/PXM219: DIN 40050 plug
water monitoring. The transducer Max Loop Resistance: connector supplied
uses a 4-active-arm bridge sensor 50 x (supply voltage - 10) Ω Weight: 128 g (4.5 oz)
B-149
STANDARD MODELS AVAILABLE FOR FAST DELIVERY!
To Order (Specify PX209 for Cable or PX219 for DIN Connector)
psi bar CABLE STYLE PRICE CONN. STYLE PRICE COMPATIBLE METERS*
GAGE PRESSURE RANGES (psig) WITH 4 TO 20 mA OUTPUT
Cable style. 0 to 15 0 to 1.0 PX209-015GI $235 PX219-015GI $235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
0 to 30 0 to 2.1 PX209-030GI 235 PX219-030GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
ABSOLUTE PRESSURE RANGES (psia) WITH 4 TO 20 mA OUTPUT
0 to 15 0 to 1.0 PX209-015AI $235 PX219-015AI $235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
STANDARD
PX209-100GI, 0 to 30 0 to 2.1 PX209-030AI 235 PX219-030AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
$215, shown 0 to 60 0 to 4.1 PX209-060AI 235 PX219-060AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
smaller than
actual size. 0 to 100 0 to 6.9 PX209-100AI 235 PX219-100AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
0 to 200 0 to 13.8 PX209-200AI 235 PX219-200AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
0 to 300 0 to 20.7 PX209-300AI 235 PX219-300AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
Order a snubber
to protect your VACUUM AND COMPOUND RANGES WITH 4 TO 20 mA OUTPUT
pressure transducer! -14.7 to 0 -1 to 0 PX209-30VACI $235 PX219-30VACI $235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
-14.7 to 15 -1 to 1.0 PX209-30V15GI 235 PX219-30V15GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
Comes complete with 5-point NIST traceable calibration. * See section D for compatible meters.
PS-4G, $12.75, shown actual size. Ordering Example: PX219-015AI, 4 to 20 mA output transducer for absolute pressure with
a 0 to 15 psia range, PS-4G snubber and TX4-100 shielded wire, $235 + 12.75 + 35 = $282.75.
STANDARD ACCESSORIES METRIC MODELS AVAILABLE FOR FAST DELIVERY!

MODEL PRICE DESCRIPTION
PS-4G $12.75 1
⁄4 NPT pressure To Order (Specify PXM209 for Cable or PXM219 for DIN Connector)
snubber for bar CABLE STYLE PRICE CONN. STYLE PRICE COMPATIBLE METERS*
gaseous media GAGE PRESSURE RANGES (bar) WITH 4 to 20 mA OUTPUT
PS-4E 12.75 1
⁄4 NPT pressure 0 to 1.0 PXM209-001GI $235 PXM219-001GI $235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
snubber for water
and light oils 0 to 1.6 PXM209-1.60GI 235 PXM219-1.60GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
0 to 2.5 PXM209-2.50GI 235 PXM219-2.50GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
PS-4D 12.75 1
⁄4 NPT pressure
snubber for 0 to 4.0 PXM209-004GI 235 PXM219-004GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
dense liquids 0 to 6.0 PXM209-006GI 235 PXM219-006GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
(motor oil) 0 to 10.0 PXM209-010GI 235 PXM219-010GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
TX4-100 35.00 30 m (100') of 0 to 16.0 PXM209-016GI 235 PXM219-016GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
4-conductor
shielded wire 0 to 20.0 PXM209-020GI 235 PXM219-020GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
ABSOLUTE PRESSURE RANGES (bar) WITH 4 to 20 mA OUTPUT
METRIC ACCESSORIES 0 to 1.0 PXM209-001AI $215 PXM219-001AI $215 DPi8, DP41-E, DP25B-E
MODEL PRICE DESCRIPTION
0 to 1.6 PXM209-1.60AI 235 PXM219-1.60AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
PS-4G-MG $12.75 G1⁄4 pressure
snubber for 0 to 2.5 PXM209-2.50AI 235 PXM219-2.50AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
gaseous media 0 to 4.0 PXM209-004AI 235 PXM219-004AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
PS-4E-MG 12.75 G1⁄4 pressure 0 to 6.0 PXM209-006AI 235 PXM219-006AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
snubber for water 0 to 10.0 PXM209-010AI 235 PXM219-010AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
and light oils
0 to 16.0 PXM209-016AI 235 PXM219-016AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
PS-4D-MG 12.75 G1⁄4 pressure 0 to 20.0 PXM209-020AI 235 PXM219-020AI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
snubber for
dense liquids VACUUM AND COMPOUND RANGES (bar) WITH 4 to 20 mA OUTPUT
(motor oil) VAC to 0 PXM209-VAC000GI $235 PXM219-VAC000GI $235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
TX4-100 35.00 30 m (100') of VAC to 1 PXM209-VAC001GI 235 PXM219-VAC001GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
4-conductor VAC to 3 PXM209-VAC003GI 235 PXM219-VAC003GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
shielded wire
VAC to 6 PXM209-VAC006GI 235 PXM219-VAC006GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
VAC to 9 PXM209-VAC009GI 235 PXM219-VAC009GI 235 DPi8, DP41-E, DP25B-E
Recommended Reference Video:
Pressure, Industrial Measurement Comes complete with 5-point NIST traceable calibration. * See section D for compatible meters.
Series, VT-1005-DVD, $100. Note: The current output versions of the vacuum and compound sensors generate 4 mA at vacuum
Visit omega.com/bobi and 20 mA at full scale.
for Additional Books Ordering Example: PXM219-001AI, 4 to 20 mA output transducer for absolute pressure with
a 0 to 1 bar range, PS-4G-MG snubber and TX4-100 shielded wire, $235 + 12.75 + 35 = $282.75.
B-151
Voltage Output Current Output Dimensions: mm (in)
PIN WIRE PIN WIRE ø = diameter
1 + EXC RED 1 + EXC RED
2 COM BK 2 - EXC BK
3 +OUT WT 53.59
(2.11)
17.48 Ø25.4
PRESSURE TRANSDUCERS
(0.69) (1.00) 1/4
PX209 NPT
CURRENT OUTPUT
PX219
Dimensions: mm (in)
Ø25.4 51.31 (2.09) 34.26
ø = diameter 18.79 (1.35)
(1.00) max
(0.74)
18
HEX G1/4
B
PXM209
PXM219 1.78
Current Output
Voltage Output
PIN WIRE
(0.07)
PIN WIRE 1 + EXC RED 9 mm DIN 43650 with PG7 Gland
1 + EXC RED 2 COM BK
2 - EXC BK 3 + OUT WT
MAKE IT WIRELESS!
ADD WIRELESS CAPABILITY TO YOUR
PROCESS MEASUREMENT SYSTEM!
Wireless Connections From
Your Sensor to Your te
Instrumentation: For Comple e
De tails S e
⻬ Thermocouple, RTD, Wireless
Infrared Temperature, Section W
Humidity, pH, as well as
WRS232-USB wireless transmitter,
Process Voltage/Current $159, shown close to actual size.
⻬ Easy to Install and Use
Wireless Communications
⻬ Capable of Distances From Your Instrument to
up to 120 m (400') a PC:
⻬ Convert the RS232
Signal on Your Meter,
UWTC-1, $125. Controller or PLC
Both models ⻬ Works with any PC
shown smaller with a USB Port
than actual
size. ⻬ Easy to Install with
Seamless Operation
UWTC-REC2,
$235, available
⻬ Capable of Distances
with 4 to 20 mA, 0 to 5 Vdc, up to 120 m (400')
0 to 10 Vdc and Type K Laptop not included.
thermocouple output.
B-150
Power Supplies
SDN Series DC Power Supplies (DIN Mounted)
Class 1, Div. 2 Hazardous Locations shutdown. Auto-select voltage input. For indus-
Feature narrow width on DIN rail for space- trial control and process control applications
critical applications, rugged metal case, and DIN including DC input solenoids, valves, switches
connector. Large, sturdy, multiple-point screw (prox switches), relays, PLCs, and sensors. UL
terminations for quick connection. High-efficiency and C-UL Listed, CSA and CE Certified. Meet
>88%, switching-type power supply. Extra boost SEMI F47 SAG Immunity.
capacity for high inrush loads without foldback or
Voltage Input W H D Mfr. Item $
Output Amps Voltage (in.) (in.) (in.) Model No. Each
12VDC 9 115-230VAC 2.56 4.88 4.55 SDN9-12-100P 5DJL5 ✓ 391.25
12VDC 16 115-230VAC 3.26 4.88 4.55 SDN16-12-100P 5DJL7 ✓ 569.50
24VDC 2.5 85-132/176-264VAC/90-375VDC 1.97 4.88 4.55 SDN2.5-24-100P 3WY62 ✓ 270.00
24VDC 3.8 85-132/176-264VAC/210-375VDC 2.56 4.88 4.55 SDN4-24-100LP 3WY63 ✓ 371.50
24VDC 5 115-230VAC 1.97 4.88 4.55 SDN5-24-100C 5DJL8 ✓ 443.50 No.
24VDC 5 85-132/176-264VAC/210-375VDC 2.56 4.88 4.55 SDN5-24-100P 3WY64 ✓ 394.75 3WY63
24VDC 10 115-230VAC 2.36 4.88 4.55 SDN10-24-100C 5DJL9 ✓ 627.00
24VDC 10 85-132/176-264VAC/210-375VDC 3.26 4.88 4.55 SDN10-24-100P 3WY65 ✓ 574.00
24VDC 20 115-230VAC 3.42 4.88 4.98 SDN20-24-100C 5DJN0 ✓ 947.50
48VDC 5 115-230VAC 3.26 4.88 4.55 SDN5-48-100P 5DJL6 ✓ 569.50
SC Series Power Supplies

Rugged European compact design for low-power rail mounted with extremely narrow width on DIN
industrial and electronic applications, including rail. Universal wide-range input. Linear (SCL) and
control components and computer/communica- switching (SCP) models available. SCLs are UL
tion peripherals in control panels. Industrial DIN Listed under UL Standard 508.
5VDC 6 85-264VAC 1.29 4.72 2.68 SCP30S5B-DN 5JV87 ✓ 256.00
12VDC 2.5 85-264VAC 1.29 4.72 2.68 SCP30S12B-DN 5JV84 ✓ 253.00
15VDC 2 85-264VAC 1.29 4.72 2.68 SCP30S15B-DN 5JV85 ✓ 251.25
24VDC 1.3 85-264VAC 1.29 4.72 2.68 SCP30S24B-DN 5JV86 ✓ 251.25
24VDC 3.8 115-230VAC 7.00 4.70 1.80 SCP100S24X-CP 5DJN1 ✓ 522.50 No.
24VDC 3.8 115-230VAC 7.00 4.70 1.80 SCP100S24X-DVN 5DJN2 ‡✓ 522.50
5JV87
±15VDC 1 (Each Leg) 85-264VAC 1.29 4.72 2.68 SCP30D15B-DN 5JV83 *✓ 288.25
±12VDC 0.35 (Each Leg) ±115/230 2.55 4.71 1.29 SCL10D12-DN 5JV79 †✓ 178.75
±15VDC 0.30 (Each Leg) ±115/230 2.55 4.71 1.29 SCL10D15-DN 5JV80 †✓ 178.75
* Minimum load of 0/12A on primary output leg. † Output can be a series connected for 12V. ‡ Isolated power supply.
SL Silver Line Series Power Supplies

Adjustable input voltages from 100, 120, 200, 230, or 240VAC Industry standard footprint has easy screw
50/60 Hz terminal connection. Linear, low-noise technol-
Operating temp. range: 0° to 50°C ogy provides quiet, smooth DC performance.
Short-circuit and overvoltage protection on 5V outputs Tight load and line regulation at 0.05%. Suitable
Low noise output: 3mV for industrial control and process systems. UL
and C-UL Recognized, CE Certified, and TUV.
Voltage W H D Mfr. Item $
Output Amps (in.) (in.) (in.) Model No. Each
5VDC 3 4.85 4.00 1.62 SLS-05-030-1T 5JV98 ✓ 94.30
5VDC 9 7.00 2.75 4.87 SLS-05-090-1T 3TA29 ✓ 203.75
12-15VDC 1.7/1.5 4.85 4.00 1.62 SLS-12-017T 5JV99 ✓ 94.30
12VDC 3.4 4.87 5.62 2.50 SLS-12-034T 5JW01 ✓ 129.15
12VDC 6.8 9.00 2.75 4.87 SLS-12-068T 3TA30 ✓ 203.75
24VDC 1.2 4.85 4.00 1.62 SLS-24-012T 5JW02 ✓ 94.30
24VDC 2.4 4.87 5.62 2.50 SLS-24-024T 5JW03 ✓ 129.15 No. 5JV98
24VDC 3.6 7.00 4.87 2.75 SLS-24-036T 5JW04 ✓ 188.50
24VDC 4.8 9.00 4.87 2.75 SLS-24-048T 5JW05 ✓ 245.00
24VDC 7.2 13.98 4.87 2.75 SLS-24-072T 5JW06 ✓ 270.00
24VDC 12 16.85 4.87 3.46 SLS-24-120T 5JW07 ✓ 368.25
±12-15VDC ±1.0/0.8 4.00 6.50 1.62 SLD-12-1010-12T 5JV96 ✓ 106.45
15VDC 3 (Each Leg) 9.00 4.87 2.75 SLD-15-3030-15T 5JV97 ✓ 202.50
SDP Series DC Power Supplies (DIN Mounted)

Class 2 limited power source Easy-to-install units provide clean, stable DC power No.
4FB82
Adjustable output voltage with a special industrial overload design that can start
Operating temp. range: -10° to 70°C high in-rush loads without oversizing. Compact and
Short-circuit protection lightweight, with no derating necessary until after 60°C.
Low output noise DIN rail mount. Meet UL, C-UL, CE, and Class 2 NFPA70,
DC OK signal except No. 1GYK4 meets UL, C-UL, and CE standards.
5-6VDC 5 85-264VAC 1.77 2.95 3.58 SDP5-5-100T 4FB83 ✓ 179.25
10-12VDC 2.5 85-264VAC 1.77 2.95 3.58 SDP2-12-100T 4DA92 ✓ 213.25
12-15VDC 3.4 85-264VAC 1.77 2.95 3.58 SDP3-15-100T 4FB84 ✓ 220.75
24-28VDC 0.6 85-264VAC 0.9 2.95 3.8 SDP06-24-100T 4FB82 ✓ 105.00
24-28VDC 1.3 85-264VAC 1.77 2.95 3.58 SDP1-24-100T 4DA90 ✓ 163.00
24-28VDC 2.1 85-264VAC 1.77 2.95 3.58 SDP2-24-100T 4DA91 ✓ 217.00 No.
24-28VDC 3.8 85-264VAC 2.85 2.95 3.8 SDP4-24-100LT 1GYK4 ✓ 263.25 1GYK4
48-56VDC 1 85-264VAC 1.77 2.95 3.58 SDP1-48-100T 4FB85 ✓ 202.50
290

BIBLIOGRAFÍA
1. ANDERSON JOHN D., Computational Fluid Dynamics, The Basics
with Applications, McGraw-Hill.
2. ASME HYDRO POWER TECHNICAL COMMITTEE, The Guide to
Hydropower Mechanical Design, HCI Publications, 1996.
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Educational Publishing.
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Hydraulics, Third Edition, McGraw-Hill.
5. MUNSON BRUCE R., YOUNG DONALD F., OKIISHI THEODORE H.,
Fundamentos de Mecánica de Fluidos, Limusa Wiley.

6. SAYMA ABDULNASER, Computational Fluid Dynamics, Ventus
Publishing.
7. SODJA J., Turbulence Models in CFD, University of Ljubljana, 2007.
8. STREETER V. L., Fluid Mechanics, Third Edition, McGraw Hill, New
York, 1966.
9. WESSELING P., Principles of Computational Fluid Dynamics,
Springer, 2001.

Validacion de Un Modelo CFD para Analisis de Golpe de Ariete en Conductos Cerrados - Tesis Espol - 2012

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Validacion de Un Modelo CFD para Analisis de Golpe de Ariete en Conductos Cerrados - Tesis Espol - 2012

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Validacion de Un Modelo CFD para Analisis de Golpe de Ariete en Conductos Cerrados - Tesis Espol - 2012

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Facultad de Ingeniería Mecánica y Ciencias de la

“Validación de un modelo CFD para análisis de golpe de ariete en

Previo a la obtención del título de:

EDUARDO ADÁN CASTILLO OROZCO

Agradezco a todas las

personas que de uno u otro

realización de esta tesis.

MIS PADRES POR SU

Ing. Gustavo Guerrero M. Ing. Ricardo Naranjo S.

Ing. Mario Patiño A.

“La responsabilidad del contenido de esta

Tesis de Grado, me corresponden

exclusivamente; y el patrimonio intelectual

de la misma a la ESCUELA SUPERIOR

POLITECNICA DEL LITORAL”.

(Reglamento de Graduación de la ESPOL).

Eduardo Adán Castillo Orozco

En esta tesis de grado se validó un modelo CFD (Computational Fluid

Dynamics) para el análisis de flujos transitorios en conductos cerrados,

simulando numéricamente un golpe de ariete.

Los golpes de ariete son fenómenos hidráulicos transitorios que ocurren

debido al cambio instantáneo en la velocidad del fluido. En éste se producen

puede ocurrir en todos los sistemas de presión de tuberías, suscitando

graves daños. En esta tesis se analizó este fenómeno, dándole mayor

énfasis a la presencia de éste en tuberías de presión de centrales

Para la validación CFD del golpe de ariete se elaboró una simulación

numérica CFD de un modelo tridimensional transitorio. Posteriormente los

resultados de este análisis fueron validados con resultados experimentales.

De esta manera se dejó establecida una metodología para el análisis de este

tipo de problemas, permitiendo emplear la misma metodología para casos

Para la validación de este modelo CFD, se analizaron los resultados del

análisis computacional, principalmente los valores de presiones predichas

ariete obtenida mediante mediciones reales. En el capítulo 5 se presenta la

comparación y análisis de ambos resultados, para la determinación del error

de la simulación; sin embargo para mejor comprensión de la metodología de

análisis se recomienda la revisión de los capítulos de la forma en que se

ÍNDICE GENERAL…………………………………………………………… III

ÍNDICE DE FIGURAS….…………………………………………………….. VIII

ÍNDICE DE TABLAS…………………………………………………………. XII

1.1. Descripción del problema…………………………………………….….. 4

1.2.1. Objetivos generales………………………………….…………..... 6

1.2.2. Objetivos específicos………………………………………………. 7

1.3. Metodología de la tesis……………………………………………..…… 7

1.4. Estructura de la tesis…………………………………………………...… 9

2.2. Ecuaciones de flujo no permanente a través de conductos

2.3. Método de Las Cartas de Allievi………….……………...……….……. 38

2.4. Transitorios hidráulicos en plantas hidroeléctricas……….….….…… 48

2.5. Cavitación transitoria y separación de columna…………………..…. 69

2.6. Metodología para el control de transientes hidráulicos………....…... 71

2.7. Fundamentos de la Dinámica de Fluidos Computacional….……..… 79

2.8. Software CFD………………………………..….…………………….... 104

3. ANÁLISIS CFD……………………………………………………………… 110

3.1. Introducción a la simulación CFD………………………………….… 111

3.2. Geometría del problema………..…………………………………..… 112

3.2.1. Descripción de la geometría………………………………….... 112

3.2.2. Modelado tridimensional de la geometría…………………..… 113

3.3. Mallado…………………………………………………………………. 117

3.3.1. Selección del tipo de mallado…..……………………………… 118