Guia Probabilidad
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Definición 4.9
Un experimento aleatorio se llama Binomial, cuando cumple con las siguientes condiciones:
1).- El experimento consta de n (número finito) pruebas independientes.
2).- Cada prueba tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso.
3).- La probabilidad de éxito en una prueba es p y la de fracaso q = 1 − p , y se mantienen
constantes de prueba en prueba.
Definición 4.10
A cada una de las pruebas efectuadas en un experimento de Binomial les llamaremos Ensayos de
Bernoulli.
NOTAS
• Por éxito en un ensayo entenderemos el cumplimiento de la variable aleatoria. Es decir si la
variable X se define como: “Cantidad de artículos defectuosos”. Un éxito será cuando el artículo
sea defectuoso.
• Un experimento de Bernoulli se termina cuando ocurre la n-ésima prueba.
Definición 4.11
A la variable aleatoria X definida en un experimento binomial que representa la cantidad de éxitos
en n ensayos de Bernoulli le llamaremos “Variable aleatoria Binomial”.
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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD
2.- Al pasar el carro a gran velocidad por un radar sólo puede ocurrir una de dos: que sea
o no detectado, esto es un éxito o un fracaso.
3.- El éxito, que sea detectado, de las condiciones del problema se conserva constante de
radar en radar e igual a 0.99. Igualmente el fracaso es 0.01.
Teorema 4.1
Si X es una variable aleatoria binomial y R X = {0, 1, K , n} , con éxito p y fracaso q = 1 − p , entonces se
cumplirá:
n
P( X = k ) = C kn p k q n− k , k = 0, 1, K , n , ∑ Ckn p k q n−k = 1
k =0
E ( X ) = np , V ( X ) = npq
con n cantidad de ensayos, p éxito de un ensayo y q el fracaso. Pero si el valor de n está entre 1 y 30, y
los valores de p son: 0.05, 0.10, 0.15, ..., 0.95, podemos emplear tablas para la distribución acumulada
de la binomial, tal y como se muestra a continuación.
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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ
NOTA
EJEMPLO 4.6
Un sistema para detectar carros a gran velocidad consta de 3 radares que se instalan en una carretera.
Cada radar funciona independientemente, con probabilidad de detectar a un carro que viaja a gran
velocidad e igual a 0.99. Considerando a la variable aleatoria X : “El número de radares que detectan
al carro que viaja a gran velocidad”. Determine
a).- Distribución de probabilidad, para X.
b).- Valor esperado y variancia de X.
• En este ejemplo el primer punto para la solución de problemas ya esta hecho, puesto que la
variable ya se definió.
X : “El número de radares que detectan al carro que viaja a gran velocidad”.
• El segundo punto también ya se realizó puesto que en el ejemplo anterior, resultó que X tiene una
distribución Binomial con R X = {0, 1, 2, 3} .
• Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos:
a).- Del Teorema 4.1 para p = 0.99 y q = 0.01 resultará:
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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS 1
1).- La revisión aduanal se efectúa en el Aeropuerto aleatoriamente, de la siguiente manera: En la
salida se encuentra un semáforo, si al pasar la persona se activa la luz roja se realizará la revisión;
en caso de activarse la verde, el viajero sale tranquilamente sin revisión. La luz roja aparece con
una frecuencia del 10% . Si se consideran 18 viajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a).- 3 o más sean revisados?
b).- menos de 5 sean revisados?
c).- ¿Cuántos de los siguientes 100 viajeros se espera sean revisados?
2).- Si en general 15 de cada 100 hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias físicas o mentales,
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 10 nacimientos (por parte de padres
alcohólicos) resulten, por lo menos 2 casos de nacimientos de niños con deficiencias físicas o
mentales?
b).- De los siguientes 20 nacimientos (por parte de padres alcohólicos) ¿cuántos se espera que no
tengan deficiencias físicas o mentales?
3).- Una máquina produce generalmente el 5% de objetos defectuosos. Una muestra de 8 objetos se
selecciona al azar, de la línea de producción. Si la muestra produce más de dos objetos
defectuosos, se inspeccionará el 100% de la producción.
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra la inspección?
b).- ¿Cuántos objetos se espera que no estén defectuosos en una muestra de 50?
4).- De una población humana muy grande de la cual el 10% sufre diabetes se seleccionan 20 personas
al azar.
a).- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de estas personas sean diabéticas?
b).- ¿Cuál es la cantidad de personas (de las 20 que se seleccionaron), que se espera sean
diabéticas?
4.7 MODELO GEOMÉTRICO
Definición 4.12
Un experimento aleatorio se llama geométrico, si cumple con:
1.- El experimento consta de ensayos independientes.
2.- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso.
3.- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q = 1 − p , y se mantienen
constantes de ensayo en ensayo.
4.- El experimento termina cuando ocurre el primer éxito en un ensayo.
Definición 4.13
A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento geométrico que representa a la
cantidad de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito, se le llama “Variable aleatoria
Geométrica”.
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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ
EJEMPLOS 4.7
1).- Sí el 35% de la población, del D.F., está a favor del candidato Cuauhtémoc Cárdenas, para las
elecciones del 2000, podemos definir a la variable aleatoria:
X: “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que esté en
favor del candidato”.
2).- Sí una máquina despachadora de refrescos arroja un poco más de 200 ml. por vaso derramándose
el líquido en un 5%, de los vasos despachados. Podemos definir a la variable aleatoria:
X: “Cantidad de vasos despachados, hasta obtener el primero que se derramará”
Simbolizaremos por G (k ; p ) = P ( X = k ) a la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el
ensayo k. La formula para calcular las probabilidades de un Modelo Geométrico estará dada por el
siguiente teorema.
Teorema 4.2
Si X es una variable aleatoria geométrica, con éxito p y fracaso q = 1 − p , entonces
∞ ∞
G (k ; p ) = P ( X = k ) = q k −1 p , k = 1, 2, 3, K ∑ G (k ; p) = ∑ q k −1 p = 1
k =1 k =1
1 1− p
E( X ) = V (X ) =
p p2
para los cálculos
a).- P ( X ≤ k ) = 1 − q k , para k = 1, 2, L
c).- P (m ≤ X ≤ k ) = q m −1 − q k , para m, k = 1, 2, L y m ≤ k .
NOTA
De la definición de variable aleatoria con distribución geométrica debemos de observar que el rango de
la variable a diferencia de la binomial comienza en 1 y no termina, es infinito.
EJEMPLO 4.8
Sí el 25% de la población, del D.F. está a favor del candidato Cuauhtémoc Cárdenas para las elecciones
del 2000.
a).- Encuentre la probabilidad que la primera persona que esté a favor del candidato Cárdenas, se
encuentre después de la quinta persona entrevistada.
b).- ¿Cuántas personas se espera entrevistar hasta encontrar la primera que esté a favor del candidato
Cárdenas?
• Primer punto, definiremos a la variable.
X: “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que
esté a favor del candidato”.
• El segundo punto, clasificaremos el modelo. Cómo se vio en el ejemplo 5.5.2, resultó que X
cumple con una variable Geométrica con p = 0.25 y q = 0.75 .
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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD
Definición 4.14
Un experimento aleatorio se llama Hipergeométrico si cumple con las condiciones:
1.- El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N en el cual sus elementos están
divididos en dos clases de tamaños m y N − m .
2.- Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo del lote.
3.- Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estén en la muestra de
tamaño n.
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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ
Definición 4.15
A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento Hipergeométrico que representa a la
cantidad de elementos que se encuentran en la muestra perteneciente a la clase de éxitos se le
llama “Variable aleatoria Hipergeométrica”.
Teorema 4.3
Si X es una variable aleatoria Hipergeométrica con m éxitos en una población de tamaño N de la
cual se elige una muestra sin reemplazo de tamaño n, entonces
C km C nN−−km mín{n m}
,
C km C nN−−km
P( X = k ) = , máx{n + m − N , 0} ≤ k ≤ mín{n, m} ∑ N = 1
C nN k = máx{n+ m− N } C n
, 0
m m m N −n
E ( X ) = n V ( X ) = n 1 −
N N
N N −1
EJEMPLO 4.9
En un lote de 10 componentes electrónicos de TV en buen estado, se agregan 3 defectuosos, todos en
apariencia y tamaño iguales. Una persona compra 4 de tales componentes para reparar televisores.
Calcule la probabilidad de que la persona tenga que regresar a reclamar al vendedor, por haber
obtenido componentes defectuosos.
• Primer punto, definición de la variable.
Sea X: “Cantidad de componentes defectuosos en la selección”
• El segundo punto, clasificación del modelo. Por las condiciones del problema se deduce que la
selección se realizo sin reemplazo. Además el tamaño del lote es finito e igual a 13 y sólo tenemos
dos clases de componentes, buenos y defectuosos. De lo anterior se deduce que X es una variable
Hipergeométrica, con: N = 13 , n = 4 , m = 3 .
• Tercer y último punto aplicación de formulas.
De las condiciones del problema tenemos que la persona reclamará, sí al menos un componente
resulta defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad que necesitamos calcular es:
C 03C 410
P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 − ≈ 1 − 0.2937 = 0.7063 .
C 413
Este resultado nos indica, que probablemente el comprador regresará a reclamar.
NOTA
Los modelos Hipergeométricos debido a su naturaleza son mucho muy empleados en los problemas de
Teoría del Control Estadístico, en donde juega un rol muy importante al analizar los componentes de
los lotes, para determinar si se puede aceptar o rechazar un lote dividido en dos clases, buenos y
defectuosos.
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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS 3
1).- Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos; de un lote de 25
de estos se elige una muestra aleatoria de 5 y se prueban, en caso de que no se encuentren
defectuosos entre estos 5 el reporte se escribe satisfactorio. ¿Cuál es la probabilidad de que el
reporte sea satisfactorio, si en el lote se han introducido 4 videos defectuosos?
2).- En el aeropuerto Benito Juárez de la ciudad de México debido a la gran afluencia de pasajeros,
sólo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 20 turistas, 12 tienen compras muy por
arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 20 personas,
¿cuál es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que pagar los impuestos
correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto?
3).- Se van a escoger al azar sin reemplazo 8 objetos de un lote con 15 buenos y 6 defectuosos.
a).- Calcule la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 defectuosos entre los 8 objetos
seleccionados.
b).- Cuántos de los 8 objetos se espera que no estén defectuosos.
NOTA
Para ejemplificar la definición de experimento de Poisson al hablar de intervalo, nos referiremos al
tiempo, pero tomaremos en cuenta que en lugar de tiempo se podría tratar de un área, un volumen, etc.
Definición 4.16
A la variable aleatoria X definida en un experimento de Poisson, que representa la cantidad de
resultados, que ocurren en el intervalo de tiempo (t 0 , t ) , se le llama Variable aleatoria de
Poisson.
3
En honor al matemático frances Siméon Denis Poisson. Nacido en Pithiviers 1781 y muerto en Paris en 1840. Fue uno
de los creadores de la física matemática y autor de una serie de trabajos sobre: la mecánica celeste, elasticidad, capilaridad,
cálculo de probabilidades y magnetismo.
4
Debido a los intervalos continuos en los que ocurren los Modelos de Poisson, éstos tienen una estrecha relación con los
Modelos Continuos de tipo Exponencial.
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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ
Definición 4.17
Llamaremos Distribución de Probabilidad de Poisson, a las parejas (k , P(k ; λt ) ) , para k igual a
0, 1, 2, 3, ....
Teorema 5.16
Si X es una variable aleatoria de Poisson en el intervalo (t 0 , t ) , y R X = {0, 1, 2, K} , entonces
(representando por t la longitud del intervalo (t 0 , t ) )
( λt ) − λ
k ∞
P ( k ; λt ) = P ( X = k ) =
k !
e
t
k = 0, 1, 2, K ∑ P ( k ; λt ) = 1 µ = E ( X ) = λt
k =0
σ 2 = V ( X ) = λt
E( X )
λ= - Representa la razón esperada de resultados en el intervalo de estudio.
t
En caso de que t sea igual a una unidad del intervalo (1 hora, 1 día , 1 metro, etc.), λ y E ( X )
tienen el mismo valor numérico. En tal caso, podemos escribir la formula para el calculo de
λk e −λ
probabilidades como: P (k , λ ) = .
k!
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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD
e − λt (λt ) k
Función acumulada de la Distribución de Poisson, P ( x; λt ) = ∑k =0
x
.
k!
Valores de µ = λt
x 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 5.00 5.20 5.30 5.40 5.50 5.60 5.70 5.80 5.90
0 0.0183 0.0166 0.0150 0.0136 0.0123 0.0111 0.0101 0.0091 0.0082 0.0067 0.0055 0.0050 0.0045 0.0041 0.0037 0.0033 0.0030 0.0027
1 0.0916 0.0845 0.0780 0.0719 0.0663 0.0611 0.0563 0.0518 0.0477 0.0404 0.0342 0.0314 0.0289 0.0266 0.0244 0.0224 0.0206 0.0189
2 0.2381 0.2238 0.2102 0.1974 0.1851 0.1736 0.1626 0.1523 0.1425 0.1247 0.1088 0.1016 0.0948 0.0884 0.0824 0.0768 0.0715 0.0666
3 0.4335 0.4142 0.3954 0.3772 0.3594 0.3423 0.3257 0.3097 0.2942 0.2650 0.2381 0.2254 0.2133 0.2017 0.1906 0.1800 0.1700 0.1604
4 0.6288 0.6093 0.5898 0.5704 0.5512 0.5321 0.5132 0.4946 0.4763 0.4405 0.4061 0.3895 0.3733 0.3575 0.3422 0.3272 0.3127 0.2987
Identificación de datos:
Definamos a la variable aleatoria X : “Cantidad de clientes que llegan a la tienda”.
clientes
Un promedio de 10 clientes por hora, λ = 10 .
hora
En un intervalo de una hora dada, es decir: t = 1 hora .
clientes
Por lo tanto, µ = λt = 10 × (1 hora) = 10 clientes , con lo cual:
hora
P( X ≥ 5) = 1 − P( X ≤ 4) = 1 − [P ( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4)] =
e −10 (10) 0 e −10 (10) 1 e −10 (10) 2 e −10 (10) 3 e −10 (10) 4
= 1− + + + + = .
0! 1! 2! 3! 4!
= 1 − 0.0293 = 0.9707
La probabilidad es bastante grande, puesto que considerando un valor esperado de 10 clientes
será muy probable que 5 o más clientes lleguen en el transcurso de una hora.
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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ
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