Ejemplos PDF
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Estadı́stica Descriptiva
1.
El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta
en la siguiente tabla. Calcular los estadı́sticos más importantes y realı́cese el histograma de
frecuencias.
porcentaje de algodón
32.1 32.5 32.6 32.7 32.8 32.9 33.1 33.1
33.4 33.5 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.8
33.8 34 34.1 34.1 34.1 34.2 34.3 34.3
34.4 34.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.6 34.6
34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34.9 35
35 35.1 35.1 35.1 35.2 35.3 35.4 35.4
35.5 35.6 35.7 35.8 35.9 36.2 36.4 36.6
36.8 36.8 36.8 37.1 37.3 37.6 37.8 37.9
(a) Diseñar la distribución de frecuencias con un cambio de variable.
(b) Calcular los estadı́sticos: media, moda, mediana, Q1 , Q3 , c0.6 , varianza y desviación tı́pica.
(c) A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil
y compárese los resultados con los obtenidos a partir de la distribución de frecuencias.
(d) Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas.
(e) Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos.
2.
La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un rı́o y su
contenido en oxı́geno disuelto (DO):
T DO T DO T DO T DO T DO
29,57 9,88 29,48 6,67 28,43 2,90 31,68 13,80 28,51 2,58
29,99 12,14 29,06 5,29 28,64 3,94 31,34 12,32 28,30 2,41
30,58 13,66 28,81 4,23 29,02 5,52 31,00 11,00 28,09 2,51
31,00 14,19 28,60 3,56 29,52 7,83 30,79 10,00 28,00 2,71
31,34 14,50 28,51 2,98 30,07 10,68 30,45 8,45 28,13 3,48
31,26 13,72 28,51 2,58 30,67 12,98 30,07 6,48 28,30 4,36
31,17 12,54 28,43 2,32 31,17 14,26 29,69 4,91 28,72 5,71
30,96 11,48 28,34 2,14 31,55 14,93 29,36 3,89 29,14 7,91
30,50 9,92 28,34 2,09 31,76 14,91 29,02 3,21 29,74 10,61
29,99 8,32 28,26 2,27 31,81 14,61 28,76 2,83 30,37 12,66
Se pide:
(a) Construir una distribución conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando
5 intervalos.
(b) Dibujar un diagrama de dispersión conjunto de las dos variables.
(c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales.
(d) Calcular la matriz de varianzas-covarianzas.
1
2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
Estadı́stica Descriptiva
3.
En diferentes dias se ha observado el número de veces que ha sonado la alarma en un servicio
de bomberos, obteniéndose los siguientes datos:
{5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7, 3}
Se pide:
Solución ◮
{1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, }
• La moda corresponde al valor mas repetido, este caso corresponde a los tres valores
Mo = 3, 5, 6. Decimos que es multimodal.
• La mediana acumula el 50% de los datos N = 17. Como
0.5 · (N + 1) = 9 Me = 5
2
2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
3
Número de avisos
1 2 3 4 5 6 7
avisos
3
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4.
El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta
en la siguiente tabla. Calcular los estadı́sticos más importantes y realı́cese el histograma de
frecuencias.
porcentaje de algodón
32.1 32.5 32.6 32.7 32.8 32.9 33.1 33.1
33.4 33.5 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.8
33.8 34 34.1 34.1 34.1 34.2 34.3 34.3
34.4 34.5 34.5 34.6 34.6 34.6 34.6 34.6
34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34.7 34.9 35
35 35.1 35.1 35.1 35.2 35.3 35.4 35.4
35.5 35.6 35.7 35.8 35.9 36.2 36.4 36.6
36.8 36.8 36.8 37.1 37.3 37.6 37.8 37.9
Solución ◮
(a) Tomamos 7 intervalos de longitud 1. Como xmax − xmin = 37.9 − 32.1 = 5.8 y 7-5.8=1.2,
desplazamos el extremo inferior a 32.1-0.6=31.5 y el extremo superior a 37.9+0.6=38.5.
Efectuamos el cambio de variable yi = xi − 35 para realizar los cálculos con la variable y.
Algodón xi fi Fi yi yi fi yi2 fi
[31.5, 32.5) 32 1 2 -3 -3 9
[32.5, 33.5) 33 8 10 -2 -16 32
[33.5, 34.5) 34 16 27 -1 -16 16
[34.5, 35.5) 35 23 49 0 0 0
[35.5, 36.5) 36 7 55 1 7 7
[36.5, 37.5) 37 6 61 2 12 24
[37.5, 38.5) 38 3 64 3 9 27
64 -7 113
4
2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
√
• x̄ = ȳ + 35 = 34.89 y Sx = Sy = 1.78 = 1.336
A continuación se explica cómo calcular la Moda, y los cuartiles Q1 y Q3 . Con el mismo
método se hallan los deciles y los cuantiles. Aunque hay fórmulas explı́citas para ello,
dichas expresiones se obtienen por interpolación de los histogramas de frecuencias. Dicha
interpolación se basa en la comparación de triángulos semejantes.
23 23
16
7
• La Moda Mo, se calcula por interpolación en el
intervalo modal. Por semejanza de triángulos se
x tiene
x 1−x 7
34.5 35.5 = ⇒x=
23 − 16 23 − 7 23
Luego y Mo = 34.5 + x = 34.8
25
16
7 33.5 Q1 34.5
Q1 = 33.5 + = 33.94
16
(c) Gráfico de tallo y hojas. Obsérvese el diagrama de este tipo que se obtiene a partir del
paquete estadı́stico Minitab. Es interesante y fácil de calcular a partir del mismo la Mediana
y los cuartiles Q1 y Q3 . Comparar los resultados, con los obtenidos por interpolación de la
distribución de frecuencias en el apartado anterior.
Diagrama de árbol
5
2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
48
38,4
32 1 5 6 7 8 9 6
33 1 1 4 5 6 5
33 6 6 6 6 8 8 6
34 0 1 1 1 2 23355666667777779 22
35 0 0 1 1 1 234456789 14
36 2 4 6 8 8 8 6
37 1 3 6 8 9 5
(d) Con el gráfico de tallos y hojas, donde los datos están ordenados y sin agrupar determi-
namos:
• La mediana acumula el 50% de los datos N = 64. Como
0.5 · (N + 1) = 32.5 M e = 34.6 + 0.5(34.7 − 34.6) = 34.65
• El primer cuartile Q1 acumula el 25% de los datos N = 64. Como
0.25 · (N + 1) = 16.25 Q1 = 33.8 + 0.25(0) = 33.8
• El tercer cuartile Q3 acumula el 75% de los datos N = 64. Como
6
2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
70
Frecuencias acumuladas
20 60
Frecuencias absolutas
50
40
10 30
20
10
0 0
y apreciamos que en nuestra distribución no hay valores extremos en ninguno de los sentidos.
La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un rı́o y su
contenido en oxı́geno disuelto (DO):
T DO T DO T DO T DO T DO
29,57 9,88 29,48 6,67 28,43 2,90 31,68 13,80 28,51 2,58
29,99 12,14 29,06 5,29 28,64 3,94 31,34 12,32 28,30 2,41
30,58 13,66 28,81 4,23 29,02 5,52 31,00 11,00 28,09 2,51
31,00 14,19 28,60 3,56 29,52 7,83 30,79 10,00 28,00 2,71
31,34 14,50 28,51 2,98 30,07 10,68 30,45 8,45 28,13 3,48
31,26 13,72 28,51 2,58 30,67 12,98 30,07 6,48 28,30 4,36
31,17 12,54 28,43 2,32 31,17 14,26 29,69 4,91 28,72 5,71
30,96 11,48 28,34 2,14 31,55 14,93 29,36 3,89 29,14 7,91
30,50 9,92 28,34 2,09 31,76 14,91 29,02 3,21 29,74 10,61
29,99 8,32 28,26 2,27 31,81 14,61 28,76 2,83 30,37 12,66
Se pide:
(a) Construir una distribución conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando
5 intervalos.
(b) Dibujar un diagrama de dispersión conjunto de las dos variables.
(c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales.
(d) Calcular la matriz de varianzas-covarianzas.
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2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
38
Figure 3: Diagrama de 37
Caja. Es un artificio
que muestra la mediana, 36
Algodón
los cuartiles y la ampli- Q3=35.47
tud, todo en el mismo
35
gráfico. Muestra que la Me=34.65
mayor parte de los datos
es menor que 35.47, y que 34
Q1=33.8
el 50% de los datos estan
comprendidos entre 33.8 33
y 35.47
32
T fi Estadı́sticos de T
27.90-28.70 15
28.71-29.50 9
T 29.70
29.51-30.30 8
M e T 29.55
DO gi Estadı́sticos de DO
2.00- 4.59 19
4.60- 7.19 6
DO 7.78
M eDO 7.25
7.20- 9.79 4
9.80-12.39 9 ŜDO 4.57
Q1 3.15
12.40-15.00 12
Q 12.37
50 3
P
Se tiene que xi yi = 11806. La matriz de varianzas-covarianzas y coeficiente de cor-
relación:
8
2o E.T.S.Ingenierı́a de Caminos Estadı́stica Aplicada
19
12
9
6
4
31,9
9
Temperatura
variado. En la parte 9
27,9
2,0 4,6 7,2 9,8 12,4 15,0
Contenido en oxígeno
ST2
µ ¶ µ ¶
Cov(T, DO) 1.43 5.16
2 =
Cov(T, DO) SDO 5.16 20.85
Cov(T, DO)
rT,DO = = 0.944
ST SDO