Laboratorio de Circuitos 2
Laboratorio de Circuitos 2
Laboratorio de Circuitos 2
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERIA ELECTRICA
LA PAZ - BOLIVIA
CAPITULO I
Figura 1. Una red eléctrica donde claramente se distinguen dos mallas. Nótese como las
corrientes de malla se dibujan en el sentido de las agujas del reloj.
Figura 8. Una red eléctrica donde claramente se distinguen cuatro nodos. Nótese como uno
de los nodos se tomó como referencia, o sea, su potencial es cero.
Resolver las ecuaciones simultáneas resultantes para las tensiones nodales deseadas.
Figura 2: Se elige el nodo con más conexiones como nodo de referencia (cuya tensión es 0) y
se asignan 3 variables Va, Vb y Vc
1. Localize los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán
para el método.
2. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto
no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el
análisis.
3. Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el
nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es
independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK.
4. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo
ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2)
5. Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff
Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e igualelas a 0. si el número de
nodos es n, el número de ecuaciones será por lo menos n − 1 porque siempre se escoge un
nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación.
6. Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un
supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuación muy sencilla.
7. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida.
[editar] Ejemplo 2
Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'
Solución:
1. Se localizan todos los nodos del circuito.
2. Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia Vd (Figura 3).
3. No hay fuentes de tensión.
4. Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc
5. Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así:
o Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2Ω tiene la polaridad de
la Figura 5. Así
simplificando:
Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán
la polaridad de la Figura 3:
factorizando obtenemos
factorizando obtenemos:
Vc = 12.5V
Supernodos
Ejemplo de supernodo
Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de
las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la
fuente de tensión como uno solo, así:
factorizando
Observamos el supernodo en los nodos Vb y Vc, tomamos estos dos nodos como uno solo, por
lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a
Vb y Vc:
factorizando
Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en
los nodos así:
Vb − Vc = 10
EJEMPLOS
CAPITULO 2
RESONANCIA Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Se dice que un circuito RLC en serie esta en resonancia cuando la corriente tiene su máximo
valor . En general la corriente se puede escribir como
Donde Z es la impedancia
De aquí se deduce que para que la corriente I sea máxima la impedancia Z debe tener un valor
mínimo o como se dice que el circuito es una resonancia en serie o resonancia de baja
impedancia cuando Z es real (i por tanto| Zen | es mínimo) esto es cuando
o 1 LC
Esta frecuencia corresponde a la frecuencia natural de oscilación de un circuito LC, Por lo
tanto la corriente en un circuito RLC en serie alcanza su valor máximo
Circuito en paralelo.
Vo I Y
Vm Im/ 1 / R 2 ( C 1 / L) 2
tg ( C 1 / L)R
La frecuencia de resonancia del circuito se define como la frecuencia a la cual la impedancia
(admitancia) a la fuente de corriente es enteramente resistiva. En este caso:
o 1 LC
Lugares geométricos
A menudo se utiliza esta forma de utilizar la condiciones de funcionamiento de algunos
equipos eléctricos como las maquinas de corriente alterna, líneas de transmisión como se les
llama, se usan tanto en sistemas de suministro de energía como en comunicaciones.
j
(Imag) 3 1
X=
L
2 1
Z
1
Z
R= Real
Cte
b) Trazar Y = 1/Z
Lo trataremos como un problema de geometría analítica. Teniendo:
Z(u) = R(u) + jX(u)
hallar un lugar geométrico recíproco gráficamente.
Si representamos Z(u) en un sistema cartesiano R-X el plano determinado se llama
"plano Z" y el lugar geométrico de Z al variar u podría tener la forma siguiente:
X
X(uZ) Z(uZ)
Z
R(uZ) R
Deseamos hallar:
Y = 1/Z(u) = 1/[R(u) + jX(u)]
B
G(uZ)
G
Y
B(uZ)
Y(uZ)
Para obtener el punto G - jB' del plano complejo Y no hay más que cambiar de nombre a los ejes
obteniendo primero el punto (G,B') y luego hallando su imagen con respecto al eje real G se
obtiene (G,-B') o sea Y = G +jB.
Procedimiento:
En el plano a procesar se traza con centro en el origen una circunferencia de radio
unitario, para lo cual se deberá trabajar con la misma escala en ambos ejes ortogonales.
Desde el origen se traza una semirrecta que pase por el punto (m) al que se desea obtener
la inversión. Pueden ocurrir dos casos: que el punto quede fuera o dentro de la circunferencia
unidad.
Si queda fuera: se traza por el punto una de las tangentes posibles a la circunferencia. Del
punto de tangencia (n), que puede precisarse teniendo en cuenta que la perpendicular a la
tangente en ese punto pasa por el origen, se traza una perpendicular a la semirrecta Om que
determina en su intersección con ésta el punto m' que es la inversión gráfica buscada.
Si queda dentro: se traza una perpendicular a la semirrecta desde el punto. Desde la
intersección de ésta con la circunferencia unidad se traza una tangente a la misma cuya
intersección con la semirrecta Om define la inversión deseada como punto m'.
X B'
m' (R-X) inversión
geométrica de m
n
m R
o
G
'
circunferencia
unidad
m" (G-B)
inversión
compleja de m
La demostración se puede obtener considerando que los triángulos onm y mnm' son
rectángulos y tienen un ángulo agudo en común por lo que resultan ser semejantes. Por ello se
puede escribir que:
om on 1
om
on om' om'
ya que on que es, por construcción, igual a 1.
Con ello se demuestra que las distancias al origen (módulo) son recíprocas y los ángulos (fase)
son iguales por estar ambos puntos sobre la misma semirrecta que pasa por el origen.
Si hallamos la imagen de m' respecto al eje R obtenemos el punto m" que puede interpretarse
como la inversión compleja de m.
r
0 R
Si consideramos los elementos reactivos en forma aislada obtenemos como respuesta las
curvas siguientes:
XL
BL
Reactancia Inductiva Susceptancia Inductiva
BC
XC
Reactancia Capacitiva Susceptancia Capacitiva
Vemos que se cumple que la pendiente de las curvas es siempre positiva, es decir hacia arriba y a
la derecha.
Para las combinaciones de inductancia y capacidad se obtienen las gráficas siguientes.
Para los elementos en serie se cumple la misma propiedad para la reactancia y para la
susceptancia.
Y, por dualidad, podemos decir que lo mismo ocurre con los elementos puestos en
paralelo.
A las curvas las definen los polos (infinitos) y los ceros y la escala vertical la da otro
punto cualquiera.
El Teorema de la reactancia de Foster dice que ninguna otra curva puede pasar por los
mismos polos y ceros a menos que difiera en la escala vertical.
X B
Si consideramos una inductancia en serie con una resistencia su impedancia estará dada
por la expresión:
Z = R0 + j L
Por consiguiente la admitancia será la recíproca compleja:
Y = 1 / Z = 1 / ( R0 + j L )
La primera expresión es la de una semirrecta en el plano Z mientras que la otra es un
semicírculo en el plano Y; lo que puede ponerse en evidencia escribiendo Y(R0+j L)=1 y
dividiendo por R0 queda Y + jY L/R0 = 1/R0 que indica que para cualquier valor de frecuencia
se forma un triángulo rectángulo que tiene la hipotenusa de valor constante. Nótese que la
primera está en el semiplano positivo y la segunda en el negativo debido al hecho de ser
expresiones complejas.
X (Z) (Y)
B
1/2R0 1/R0
L f Y G
jYL/
R0
Y f
R0 R
Para el circuito paralelo R, L, C, de tres ramas veremos que con la frecuencia varía tanto
la parte resistiva como la reactiva de la impedancia:
G B
Y G jB Z 2 2
j 2 R jX
G B G B2
Podemos obtener entonces los siguientes diagramas:
R
f/f0
0 0.99 1.0 1.01
f/f0=1.01
Impedancia en el plano Z
REGLAS GENERALES:
1)Cuando el lugar geométrico es una curva cerrada la frecuencia aumenta en el
sentido del reloj, cuando es abierta aumenta hacia arriba.
2)Los lugares geométricos empiezan y terminan (en f = 0 o en f = ) sea en el eje
horizontal o en el infinito. En su principio y en su final la curva es horizontal o vertical.
El circuito paralelo de dos ramas se comporta de la misma manera que el de tres ramas
cerca de la frecuencia de resonancia.
La rama C es una recta y la R-L una semicircunferencia. La admitancia es la suma de
ambas para cada frecuencia. Para la impedancia tiene la forma que se muestra.
B
X Z
R Y=jC+1/(R+jL)
jC
f= R0 f=f0
L C f=f0 1/R0 ∞ f=0 R
f=0 G
1/(R+j
L)
Circuito Admitancia Impedancia
Analicemos ahora la expresión de la tensión en una impedancia:
V = I·Z = I·R + jI·X
y supongamos que el circuito
tiene resistencia constante,
con lo que podemos poner:
V/R = I + jI·X/R X<0
expresión que nos indica que
el lugar geométrico de la =0 V/R =0
corriente es, en este caso,
=
una circunferencia ya que nos
queda formado un triángulo jIX/R
rectángulo con la hipotenusa I X>0
constante.
RESPUESTA EN FRECUENCIA
Bajo este título analizaremos la respuesta en régimen permanente de configuraciones
básicas de los circuitos teniendo como variable a la frecuencia de la excitación.
R L
Examinaremos ahora el comportamiento del circuito a través del análisis del valor
absoluto de la impedancia y de su ángulo de fase
|Z| = [R2 + ( L)2]½
z= arctg ( L/R)
para generalizar el estudio podemos tomar la impedancia relativa:
|Z|/R = [1 + ( L/R)2]½
De esta manera vemos que tanto la impedancia relativa como su ángulo de fase son
funciones de L/R y una sola representación gráfica puede cubrir todos los casos para todas las
frecuencias, es decir que podemos obtener un gráfico universal o normalizado.
Observamos que tanto la constante de tiempo, = L/R, como la frecuencia intervienen
con igual importancia. En función de su producto el comportamiento varía desde el resistivo
puro (Z = R, con = 0) al inductivo puro (Z = L, con = /2):
|Z|/R
Z
|Z|/
R
3
2
2
Z
0
1
T
Gráfico normalizado para circuito R-L serie
Circuito serie RS (Resistencia Elastancia).
R S
3
2
1
S/
R
0 1/T
Z
Z
|Z|/
R
5
3
2 |Z|/
R
1 R/
S
0
T
Z
Z
Gráfico normalizado para circuito R-C serie
Circuito serie RLS (Resistencia Inductancia y Elastancia)
R L S
Este caso exige un estudio más completo. La impedancia es, como sabemos:
Z = R + j(XL + XC) = R + jX
la parte XL + XC = X = L - S/ , es la reactancia del circuito y la única que contiene a la
frecuencia angular (omega); las componentes son:
XL = L y XC = - S/
En el margen de frecuencias en que la reactancia es positiva el circuito responderá
inductivamente y en el que sea negativo, por lo contrario, el comportamiento será capacitivo.
Podemos representar la reactancia (X) y sus componentes en un gráfico en función de .
XL será una recta ( L) y XC una hipérbola equilátera (-S/ )
XL
L
0
-S/
XC
Reactancias para circuito R-L-C serie
Por su parte podemos representar la variación de la impedancia de la siguiente forma:
|Z|
XL
Z0 R
0
XC
Habrá un valor para el cual XL = -XC, es decir que X = 0; tal situación la tendremos para
la frecuencia angular llamada de resonancia e indicada como 0 en la cual:
L - S/ = 0
expresión de la que obtenemos:
= (S/L)1/2 = (1/LC)1/2
CAPITULO 3
SISTEMAS TRIFASICOS.
VL 3V f IL I f
IL 3 I f VL Vf
SECUENCIA DE FASES.
Sec: A B C Sec: C B A
DELTA DESEQUILIBRADO.
En este circuito si al menos una de las impedancias es diferente, existe
una clara diferencia entre las corrientes trifásicas de línea y de fase.
I A I AB ICA I B I BC I AB IC ICA I BC
I N I A I B IC 0
I A I B IC 0
VAO VBO VCO
0
Z A Z B ZC
VAN VON VBN VON VCN VON
0
ZA ZB ZC
VAN VBN VCN 1 1 1
VON 0
Z A Z B ZC Z A Z B ZC
CAPITULO 4
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Introducción.-
La potencia eléctrica es un parámetro instantáneo, generado o absorbido por un elemento de
un circuito dependiendo el tipo de bipólo involucrado ya sea este activo o un bipólo pasivo.
La misma viene dada por el producto de la tensión instantánea v( t ) en las terminales del
elemento y una corriente instantánea it a través del mismo
Z Z
Vl=Vf +88.8
AC Volts
If
B
Z
C
Al tener cargas equilibradas se puede evidenciar que las corrientes de línea son iguales, y que
la tensión de línea es igual a la tensión de fase, por consiguiente la potencia de fase es un
tercio a la potencia total.
Para el caso de un circuito trifásico de conexión delta sabemos que la tensión de línea es
igual a la tensión de fase lo que da como resultado la potencia por fase:
PF VL I F cos
QF VL I F sin
S F VL I F
Siendo θ el angulo de la impedancia.
Por lo tanto, como ya fue mencionado que la potencia por fase es un tercio de la potencia
total se tiene que:
PT 3VL I F cos
QT 3VL I F sin
ST 3VL I F
Como : I L 3* I F para un circuito delta se puede definir la potencia total como:
IL
PT 3VL cos
3
De la misma manera para la potencia reactiva y potencia aparente tenemos:
PT 3VL I L cos
QT 3VL I L sin
ST 3VL I L
b) Estrella 3,4 hilos
IL
A +88.8
AC Amps
Vf +88.8
AC Volts
If Z
VL +88.8
AC Volts
Z Z
C
En el caso de la conexión estrella la corriente de línea es igual a la corriente de fase y la
tensión en las impedancias es la tensión de fase, entonces tenemos como potencia por fase:
PF VF I L cos
QF VF I L sin
S F VF I L
Siendo θ el angulo de la impedancia.
De igual manera a la conexión delta la potencia por fase es un tercio de la potencia total
entonces se tiene que:
PT 3VF I L cos
QT 3VF I L sin
ST 3VF I L
Como : VL 3 *VF para un circuito estrella se puede definir la potencia total como:
IL
PT 3VL cos
3
De la misma manera para la potencia reactiva y potencia aparente tenemos:
PT 3VL I L cos
QT 3VL I L sin
ST 3VL I L
En el caso de un sistema equilibrado independientemente de su conexión se tiene la misma
potencia total, esto se evidencia en las ecuaciones mostradas.
La gran ventaja de las cargas equilibradas es que se puede medir su potencia en un circuito
monofásico equivalente sabiendo que la potencia por fase es un tercio de la potencia total.
Potencia en carga desequilibrada
a) Delta
IA
A
Zab Zca
Iab
Ica
IB
B
Zbc
Ic
Ibc
C
En el caso de tener un sistema desequilibrado delta la potencia total viene dada por la suma de
las potencias de cada fase:
PAB VAB I AB cos AB
PBC VBC I BC cos BC
PCA VCA I CA cos CA
PT PAB PBC PCA
De la misma manera para la potencia reactiva y la potencia aparente:
QAB VAB I AB sin AB S AB VAB I AB
QBC VBC I BC sin BC S BC VBC I BC
QCA VCA I CA sin CA SCA VCA I CA
QT QAB QBC QCA ST S AB S BC SCA
b) Estrella tres hilos
Ia
Za
Zb Zc
IB
B
IC
C
En este sistema trifásico desequilibrado la tensión de fase no es simétrica:
PA VAO I A cos A
PB VBO I B cos B
PC VCO I C cos C
PT PA PB PC
De la misma manera para la potencia reactiva y la potencia aparente:
Ia
Za
N IN
Zb Zc
IB
B
IC
B.A.
V
B.V.
I
⟹ W V I cos I
V
a) Carga equilibrada
Wa
A
W A
Wf
Ia
Za
Zca
N Iab
Ica
Zb Zc
B
Zbc
IB
B Ibc
IC C
W1 Pf
PT 3W A
P 3WA
b) Carga desequilibrada
A Wca
Wab
Wbc
C
PT WAB WBC WCA
A
WA
A Ia
Za
N
WB
A
Zb Zc
IB
WC
B
IC
PT WA WB WC
Lo que se puede evidenciar en los sistemas desequilibrados es que si el sistema tiene n hilos
tan solo bastan n-1 medidores para determinar la potencia de dicho sistema.
A
WA
A
Ia
Za
Zb Zc
WB
A
IB
B
IC
Para esta configuración la potencia total del sistema viene dada por la suma de cada una de las
lecturas de los tres vatímetros:
PA WA
PB WB PT PA PB PC
PC WC
b) Tres hilos (delta) ⟶ 2 medidores
IB
B
Zbc
Ic
Ibc
C
wc
Por nudos:
I B I AB ICA IC ICA ICB
VAB VAB
WA VAB I AB cos I AB VAB I AC cos I AC
VBC VAB
WC VCB I CA cos ICA VAB I AC cos I AC
Z Z
IB
B
IC
WA WC VL I L cos30cos sen30 sen cos30cos sen30 sen
3
PT WA WC VL I L (2cos30cos ) VL I L 2 cos
2
PT 3VL I L cos