COMPLEMENTOS DE MATEMTICA

INGENIERA Y ARQUITECTURA

UNIDAD IV: TRIGONOMETRA

SESIN 14: REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

1. Reducir al primer cuadrante:

a) tan 1117 b) cos 826 c) sen 1477

d)
ctg 1200 e) sec 225 f) tan 233

Solucin:

1117 360 826 360 1477 360 1200 360

37 3 106 2 37 4 120 3

t an 1117 tan(37 )
3
a)
4
cos 826 cos 826 cos 106 cos 180 106 cos 74
7
b)
25
sen 1477 sen 1477 sen 37
3
c)
5
d)
ctg 1200 ctg 1200 ctg 1200 ctg 120
cot g 180 120 ctg 60
3
3
e) sec 225 sec 225 180 sec 45 2

tan 233 tan 233 180 tan 53

4
f)
3

2. Calcula: L cos 50 cos 70 cos 110 cos 130

Solucin:

cos 110 cos 180 110 cos(70 )

cos 130 cos(180 130 ) cos 50
 L cos 50 cos 70 cos 110 cos 130
cos 50 cos 70 cos 70 cos 50
0

3. Calcular: E = 2Sen 150o + 3Tg 135o + 4Csc 30o

Solucin:

Sen150 = Sen(180 150) = Sen30 =

Tg 135 = -Tg(180 135) =45 = 1
Csc 330 = = -Csc(360-330)=-csc(30) = -2
Luego E = 2Sen 150o + 3Tg 135o + 4Csc 30o = 2(1/2)+3(-1)+4(-2)=1-3-8=-10

4. Calcular: Sen 780 . Cos 1200 . Tg 1215

Solucin:

780 360 1200 360 1215 360

060 2 120 3 135 3
Sen780 = Sen 60 Cos1200 = Cos120 Tg1215 =Tg135
= -Cos(180 80)
= 3/2 = -Tg(180-135)
= -cos60 = -1/2
=45 = 1

3 1 3
Luego: Sen780 . Cos1200 . Tg1215 = . ( 2) (1) =
2 4

5. Hallar el valor numrico de:

a) A cos0 3sen90 2tan135 cos120 4cos270
Solucin:
tan 135 tan 180 135 tan 45 1

1
cos 120 cos 180 120 cos 60
2
A cos0 3sen90 2 tan135 cos120 4cos 270
1
1 3(1) 2(1) 4(0)
2
1
1 3 2
2
7

2
 7
1 cos 2 210 tan cot g
b) B
4

4
sen 330 sen 450 cos ec 2 300

Solucin:

cos 210 cos 210 180 cos 30 2
3

sen 330 sen 360 330 sen 30 1
2

sen 450 sen 90 1
450 360
90 1

2 3
c sec 300 c sec 300 c sec 360 300 c sec 60
3

tan tan tan 45 1
4 4
7
cot g
cot g 315 cot g 360 315 cot g 45 1
4
Luego reemplazando en B, tenemos:
7
1 cos 210
2 tan cot g
B 4 4
sen 330 sen 450 cos ec 2 300
2
3
1 1
3 1
2 1( 1) 4 4313
1
2

1 2 3 1 4 1 4 2 4
1
2 2 3 2
3
5

4

c) U
2sec 3000 1 2sen 3383 1
2cos 4920 1
Solucin:

U
2sec 3000 1 2sen 3383 1
2cos 4920 1
 3000 360 3383 360 4920 360
120 8 143 9 240 13

sec 3000 sec 120 sec 180 120 sec 60 2

sen 3383 sen 143 sen(180 143 ) sen(37 )

3
5
cos 4920 cos(240) cos(240 180) cos(60 )
1
2
3

2sec 3000 1 2 sen 3383 1 2(2) 1 2
1
U 5
2cos 4920 1 1
2 1
2
1
5

5 1
2 2

sen2 225 tan 2 330 sen2 780

d) F
tan 2 780 tan 2 330 ctg 2 225
Solucin:

sen 225 sen(225 180 ) sen(45 )

2
2
tan 330 tan 360 330 tan 30
3
3
sen 780 sen 60
3
2

tan 780 tan 60 3
ctg 225 ctg (225 180 ) ctg (45 ) 1

2 2 2
2 3 3

sen 2 225 tan 2 330 sen 2 780 2 3 2
F
tan 2 780 tan 2 330 ctg 2 225 3
2

2
3 1
3
1 1 3 6 49 1

2 3 4 12 1
12
1 9 1 3 11 44
3 1
3 3 3
 2sec 120 1
e) M 3 tan 240
4 tan 315 1
Solucin:
sec(120 ) sec 180 120 sec(60) 2

tan(240 ) tan 240 180 tan(60) 3

tan(315 ) tan 360 315 tan(45) 1

2sec 120 1 2(2) 1

M 3 tan 240 3 3
4 tan 315 1 4 1 1
5
3 4
5
cos 208 .tg 152 sen 298 a
6. Si sen 28 a , Hallar: A
tg 242 .cos 118 1 a 2 sec2 28
Solucin:
cos 208 .tg 152 sen 298 a
A
tg 242 .cos 118 1 a 2 sec 2 28
cos 208 180 . tg 180 152 sen 360 298 a

tg 242 180 . cos 180 118 1 a 2 sec 2 28
cos 28 . tg 28 sen 62 a cos 28 .tg 28 sen 62 a

tg 62 . cos 62 1 a 2 sec 2 28 tg 62 .cos 62 1 a 2 sec 2 28

cos 28 .tg 28 cos 28 a

cos 28 . tg 28 1 a
tg 62 .cos 62 1 a 2 sec 2 28 sen 62 1 a 2 sec 2 28

Dado que sen 62 cos 28 , porque 28 62 90

cos 28 . tg 28 1 a
cos 28 1 a 2 sec 2 28
sen 28 a
a cateto opuesto
Como
1 hipotenusa
 cos 28 1 a 2

tg 28
a
1 a2

sec 28
1
1 a2

Luego reemplazando estos valores en A

cos 28 . tg 28 1 a
cos 28 1 a 2 sec2 28
a
1 a 2 . 1 a
1 a
2
a 1 a2 a
A 2

1
2 1 1 a2
1 a 1 a
2
2 1 a2
1 a

1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 a2 1
A 2
1 a 2 1
1
2
1 a2 a2 a2 a
1 a2
1 a 2

7. Siendo un ngulo agudo talque: tg tg (20 ) 5tg (200 ) .

2tg 160
Calcula: C sen cos
Solucin:
tg (20 ) tg 20 , tg (200 ) tg 200 180 tg (20)

tg (160 ) tg 180 160 tg (20)

tg (20 ) 5tg (20 ) 4tg (20 )

tg 2
2tg 20 2tg 20
2k cateto opuesto
tg
1k cateto adyacente

Luego : C sen cos

2 1 2

5 5 5
 COMPLEMENTOS DE MATEMTICA
INGENIERA Y ARQUITECTURA

1. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, a = 21 y c = 20. Calcular: Tg C + Tg A

Sol.

Teorema de Pitgoras

H2 = 212 + 202
H = 29

Nos piden Tg C + Tg A

20 21
+
21 20

212 + 202 841

= = .
20(21) 420

2. Calcular: Sen , si Tg = 1/2

Sol.
2
2 = 12 + 2

1
= =
2

=

1
= Racionalizando tenemos:
3

3
= .
3
 13 2sen 3cos
3. En un tringulo ABC rectngulo en C, donde sec , calcula el valor de :
5 4cos ec 9cot g
Sol.

13
= =
5 .

2 = 52 + 2

132 = 25 + 2
= 12

Nos piden:

2sen 3cos
4cos ec 9cot g

12 5
2(13)3(13)
13 5
4(12)9(12)

24 15 9
108
13 13 13
52 45 = 7 =
91
12 12 12

ab
sec R tan sec
2
4. S . Hallar
2 ab

Sol.
 Teorema de Pitgoras
( + )2 = (2)2 + 2

2 + 2 + 2 = 4 + 2

2 2 + 2 = 2
( )2 = 2
=
Nos piden:

R tan sec
2

Tenemos:
+ 2
=( )
2 2

2
=( )
2

2
2
=( )
2

2
= =

5
5. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, si tgC ; a c 21 . Calcular el permetro del tringulo.
12

SOL.
 5 .
= =
12 .

Del dato = 21
12 5 = 21
7 = 21
=3

Permetro = 39+15+36= 90

6. En un tringulo rectngulo si la hipotenusa es el doble de la media geomtrica de los catetos. Calcule la suma de
las tangentes trigonomtricas de los ngulos agudos del tringulo.
Sol.

Si: = 2
= +

2 + 2
= + =

Pero: 2 + 2 = 2

4
= =

7. Calcula la altura aproximada de la antena.

Sol.

La razn trigonomtrica que relaciona el ngulo con los catetos es la tangente:

.
(35) = = = 0.7002
. 20

= 20(0.7002) = .
8. 35.35mUna ONG ha decidido construir un puente sobre
un rio para comunicar dos pueblos de las orillas. Calcula
la longitud aproximada del puente con los datos de la
figura.

Sol.

Si llamamos x a la anchura del ro, tenemos que:

= = () = .

9. En un tringulo rectngulo ABC recto en A se cumple cotC+ cotB=4. Calcule: M = 16senB.senC.cosB.CosC.

Sol.

M= 1

10. Calcula la altura aproximada de la siguiente antena.

La altura pedida ser: 40( tg 47) = 42,89 m

+
11. En un tringulo rectngulo ABC, recto en C, se cumple que: Cos A = 0.96. Calcular: = +

SOLUCION:
96 24
. Del dato: Cos A = 0.96 = = =
100 25
 . Tambin Por el Teorema de Pitgoras tenemos:
252 = 2 + 242
2 = 49
=7
. Nos piden:
7 25 32 4
+ 24 3
24 24
= 24 25 = 49 = =
+ 7
7 7 7

12. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se sabe que el permetro es igual a 8 m. Hallar la hipotenusa,
sabiendo que se cumple:

(1 + Sen A)(1+ Sen C) =

SOLUCION:
Teorema de Pitgoras:
2 + 2 = 2
Del dato: a+b+c=8
( + + )2 = 82
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 64
2 2 + 2 + 2 + 2 = 64
2 + + + = 32

Adems: (1 + Sen A)(1+ Sen C) =

( + ) ( + ) =


( + )( + ) =

9
2 + + + = 2
8
9 2
32 =
8
256
= =
9
13. Una antena de radio sta colocada en la azotea de un edificio. A 12m de distancia del edificio sobre el suelo, los
ngulos de elevacin de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53y 37respectivamente.
Halle la longitud de la antena.

3
En ADC: H=12Tg37 =12(4)
H= 9m
Ahora en ADB: X+H= 1253
 4
+ = 12 ( )
3
Reemplazando:
+ 9 = 16
=

14. Simplificar: = 1+ +
SOL.
Expresando k en funcin de sen xy cos x

= +
1 +
2 + (1 + )
=
(1 + )
2 + + 2
=
(1 + )
(1 + )
=
(1 + )
1
= =