Universidad Veracruzana

FLUJO REPTANTE
EQUIPO 1

INTEGRANTES:
Domnguez Lpez Ana Karen
Snchez Bautista Abimael
Cruz Del ngel Ana Guadalupe

CATEDRATICO:
Gloria Isabel Lpez Acorve

Fundamentos de transferencia de momentum

3-10-2017
OBJETIVO GENERAL
Conocer las caractersticas, comportamiento, manejo y utilidad del flujo
reptante.

OBJETIVO ESPECIFICO
Se conocer la definicin de flujo reptante, sus caractersticas, como se
comporta, almacena y manipula. Tambin se obtendr la viscosidad por
medio de la Ley de Stokes, conoceremos los parmetros de la misma y se
mostraran algunos ejemplos relacionados con esta ley.
INTRODUCCION

En esta investigacin acerca del flujo reptante de la experiencia educativa:

Fundamentos de transferencia de momentum, mencionaremos las leyes
con las que se relaciona, sus propiedades, aplicaciones, conceptos bsicos,
formulas y algunos ejemplos prcticos de este flujo.

El flujo reptante se clasifica en compresible e incompresible y se relaciona

con la ley de Stokes.

Tambin hablaremos a fondo sobre el flujo reptante alrededor de una esfera

slida y cules son los parmetros que se presentan, exponiendo al final un
ejemplo prctico de este caso.
As mismo mencionaremos el movimiento de una esfera en un fluido viscoso
y un problema practico de este tema.
Las aplicaciones de este flujo se presentan con frecuencia en la ingeniera.
FLUJO REPTANTE
El flujo reptante o flujo de Stokes es usado para describir un flujo a muy baja
velocidad, o un fluido altamente viscoso, es decir a bajos valores del nmero
de reynolds. Es una simplificacin del flujo de fluidos que supone que las
fuerzas inerciales existentes en el sistema son despreciables frente a las
fuerzas viscosas (Bm y Re pequeos). Es un buen modelo en zonas cercanas
a superficies slidas, objetos sumergidos, para velocidades bajas de flujo y
para fluidos altamente viscosos.

En el flujo reptante el nmero de ReynoIds es menor que aproximadamente

0.1. Este rgimen de flujo se caracteriza por la ausencia de formacin de
remolinos corriente abajo a partir de la esfera.

Se clasifica en compresible e incompresible, dependiendo del nivel de

variacin de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es
una aproximacin y se dice que el flujo es incompresible si la densidad
permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo
tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado
sobre el curso de su movimiento cuando el flujo o el fluido son incompresible.

Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible alrededor de una

esfera slida. La esfera es de radio R y dimetro D. El fluido tiene una
viscosidad y una densidad , y asciende verticalmente hacia la esfera por
la velocidad uniforme v a lo largo del eje Z negativo. Analticamente se ha
encontrado que para un flujo muy lento, la distribucin de la densidad de
flujo de cantidad de movimiento, la distribucin de presin y los
componentes de la velocidad, expresadas en coordenadas esfricas.

APLICACIONES DEL FLUJO REPTANTE

Se presentan con frecuencia en las aplicaciones de ingeniera. Entre los
ejemplos ms comunes se pueden contar los sistemas de aire comprimido
utilizados en la operacin de herramienta de taller y de equipos dentales,
las tuberas de alta presin para transportar gases y los sistemas censores y
de control neumtico o fludico. Los efectos de la compresibilidad son muy
importantes en el diseo de los cohetes y aviones modernos de alta
velocidad, en las plantas generadoras, los ventiladores y compresores.

Tambin puede presentarse en problemas de sedimentacin de partculas,

de lubricacin, de fabricacin de emulsiones como pinturas, en problemas
de qumica cuntica, en la fsica de aerosoles, flujo a travs de medios
porosos como en el caso de agua subterrnea o extraccin de petrleo y
en el flujo de numerosos polmeros viscosos. En la naturaleza ocurre en
microorganismos que nadan, particularmente se ha estudiado en el
esperma y adems se presenta en el flujo de lava.

LEY DE STOKES
Esta ley se refiere a la fuerza de friccin
experimentada por objetos esfricos movindose en
el seno de un fluido viscoso en un rgimen laminar
de bajos nmeros de Reynolds.

Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes tras

resolver un caso particular de las ecuaciones de
Navier Stokes. En general la ley de Stokes es vlida
en el movimiento de partculas esfricas pequeas
movindose a velocidades bajas.

Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuerzas: la

gravitatoria y la de arrastre. En el momento que ambas se igualan su
aceleracin se vuelve nula y su velocidad constante.

Para los objetos muy pequeos domina la fuerza de rozamiento. La ley de

Stokes nos da dicha fuerza para una esfera.
La ley de Stokes puede escribirse como:

Fr=6nvr
Donde:
r = El radio de la esfera
v = su velocidad
n = viscosidad del fluido

La condicin de bajos nmeros de Reynolds implica un flujo laminar lo cual

puede traducirse por una velocidad relativa entre la esfera y el medio
inferior a un cierto valor crtico.
La resistencia que ofrece el medio en estas condiciones es debida casi
exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al deslizamiento
de unas capas de fluido sobre otras a partir de la capa lmite adherida al
cuerpo.

Cuando una disolucin precipita la velocidad de sedimentacin est

determinada por la ley de Stokes.

Si las partculas estn cayendo verticalmente en un fluido viscoso debido a

su propio peso, puede calcularse su velocidad de cada o sedimentacin
igualando la fuerza de friccin con el peso aparente de la partcula en el
fluido:

Donde:
VS = Velocidad de cada de las partculas (velocidad limite)
g = Aceleracin de la gravedad
PP = Densidad de las partculas
Pf = Densidad del fluido
n = Viscosidad del fluido
r = radio equivalente de la partcula

La importancia de la ley de Stokes esta ilustrada en el hecho de que es

una parte importante en la investigacin de al menos 3 premios novel.

FLUJO ESTACIONARIO DE STOKE

En flujos de Stokes con un nmero de Reynolds muy bajo, la aceleracin
convectiva se puede considerar nula en los trminos de la ecuacin de
Navier-Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un
flujo incompresible y estacionario:

Donde:

p es la presin del fluido (en Pa),

u es la velocidad del flujo (en m/s), y
es la vorticidad (en s-1), definida como
Usando algunas propiedades del clculo de vectores, estas ecuaciones se
pueden mostrar como resultado de una ecuacin de Laplace para la
presin y cada uno de los componentes del vector vorticidad:

Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados

en cuenta, pero pueden ser fcilmente aadidos a la ecuacin ya que son
lineales, as que se puede aplicar la superposicin lineal a las soluciones

VISCOSIMETRO DE CAIDA DE BOLA

La ley de Stokes es el principio usado en los viscosmetros de bola en cada
libre, en los cuales el fluido est estacionario en un tubo vertical de vidrio y
una esfera de tamao y densidad conocidos, desciende a travs del lquido.
Si la bola ha sido seleccionada correctamente alcanzara la velocidad
terminal, la cual puede ser medida por el tiempo que pasa entre dos marcas
de un tubo y para mejorar la precisin del experimento se utilizan varias
bolas.
A veces se usan sensores electrnicos para fluidos opacos.

Conociendo las densidades de la esfera, el lquido y la velocidad de cada

se puede calcular la viscosidad a partir de la frmula de la ley de Stokes.

APLICACIONES DE LA LEY DE STOKES

La tcnica del viscosmetro de cada de bola es usada en la industria para
verificar la viscosidad de los productos como la glicerina o el sirope.

Esta ley tambin es importante para la comprensin del movimiento de

microorganismos en un fluido, as como los procesos de sedimentacin
debido a la gravedad de pequeas partculas y organismos en medios
acuticos.

Es usado para determinar el porcentaje de granulometra muy fina de un

suelo mediante el ensayo de sedimentacin y en la atmosfera la misma
teora puede ser usada para explicar porque las gotas de agua (o los
cristales de hielo) pueden permanecer suspendidos en el aire (como nubes)
hasta que consigue un tamao crtico para empezar a caer como lluvia (o
granizo o nieve).

La ecuacin tambin puede ser usada para estudiar el principio de

asentamiento de partculas finas en agua u otros fluidos.
Otras aplicaciones:
 Diseos de sedimentadores.

Diseo de desaladoras de petrleo crudo.

En estudios de aerosoles.

En muchos tipos de caracterizacin de materiales como catalizadores

slidos, polmeros, etc.
FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA SLIDA
Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible que asciende
verticalmente hacia una esfera de radio R y dimetro D. El fluido tiene una
viscosidad y una densidad y asciende a una velocidad uniforme v.

Analticamente se ha encontrado que

para un flujo lento la distribucin de la
densidad de flujo de cantidad de
movimiento es:

La distribucin de presin es:

Y los componentes de la velocidad son:

En la distribucin de presin p0 es la presin en el plano z = 0 alejado de la

esfera, gz es la contribucin del peso del fluido (efecto hidrosttico) y el
trmino que contiene v es la contribucin debida al flujo alrededor de la
esfera.
Estas ecuaciones son vlidas para flujo reptante, es decir para

. Cuando no hay remolinos aguas abajo de la esfera.

Las ecuaciones satisfacen las condiciones lmite para
r = R y r = .
Integrando la fuerza normal (perpendicular a la superficie) ejercida por el
fluido sobre la esfera resulta en:

Integrando la fuerza tangencial debida al esfuerzo cortante se obtiene:

{Resistencia de friccin}
Sumando las ecuaciones anteriores se tiene:

La fuerza esttica (de flotacin o sedimentacin) se ejerce aunque el

fluido est en reposo y la fuerza cintica, que resulta del movimiento del
fluido, es la conocida ley de Stokes.
MOVIMIENTO DE UNA ESFERA EN UN FLUIDO VISCOSO
La esfera se mueve bajo la accin de las siguientes
fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo
est completamente sumergido en el seno de un fluido),
y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la
velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se
mantiene en rgimen laminar).
El peso es el producto de la masa por la aceleracin de
la gravedad g. La masa es el producto de la densidad
del material e por el volumen de la esfera de radio R.
mg=e43R3g

De acuerdo con el principio de Arqumedes, el empuje es igual al producto

de la densidad del fluido f, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la
aceleracin de la gravedad.
La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad y su expresin se
denomina ley de Stokes.
Fr= 6Rnv
Donde n es la viscosidad del fluido. La ecuacin del movimiento ser por lo
tanto:
Ma= mg-E-Fr
La velocidad lmite se alcanza cuando la aceleracin sea cero, es decir,
cuando la resultante de las fuerzas que actan sobre la esfera es cero.
Despejamos la velocidad lmite:
La ecuacin del movimiento es:

Donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E y K=6Rn

Integramos la ecuacin del movimiento para obtener la velocidad de la
esfera en funcin del tiempo.

Esta ecuacin nos dice que se alcanza la velocidad limite Vl y despus de

un tiempo tericamente infinito. Si representamos V en funcin del tiempo t
la grafica tiene una asntota horizontal en V=Vl.
Integramos la expresin de la velocidad
en funcin del tiempo para obtener la
posicin x del mvil en funcin del tiempo
t. Suponemos que la esfera parte del
origen x=0, en el instante inicial t=0.
Dado que la exponencial tiende a cero
rpidamente a medida que transcurre el
tiempo, vemos que al cabo de un cierto
tiempo, el desplazamiento x del mvil ser proporcional al tiempo t.

Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en cada libre y cuando

cae en el seno de un fluido viscoso se resumen en el siguiente cuadro:
GLOSARIO

FLUJO LAMINAR: Es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido. Se

llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando
ste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve
en lminas paralelas sin entremezclarse y cada partcula de fluido sigue una
trayectoria suave, llamada lnea de corriente. En flujos laminares el
mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular

VELOCIDAD DE CAIDA: Es la aceleracin y la velocidad verticales. Es la fuerza

de rozamiento de un fluido dinmico (que aumenta con la velocidad),
donde v0 es la velocidad inicial para una cada desde el reposo v0 = 0 y h0
es la altura inicial de cada.

FUERZA DE FRICCION: La fuerza de friccin o la fuerza de rozamiento es la

fuerza que existe entre dos superficies en contacto, que se opone al
movimiento relativo entre ambas superficies (fuerza de friccin dinmica) o
a la fuerza que se opone al inicio del deslizamiento (fuerza de friccin
esttica).

DINAMICA DE FLUIDOS: La dinmica de fluidos estudia los fluidos en

movimiento y es una de las ramas ms complejas de la mecnica. Aunque
cada gota de fluido cumple con las leyes del movimiento de Newton las
ecuaciones que describen el movimiento del fluido pueden ser
extremadamente complejas. En muchos casos prcticos, sin embargo el
comportamiento del fluido se puede representar por modelos ideales
sencillos que permiten un anlisis detallado.

MOVIMIENTO BROWNIANO: El movimiento browniano es el movimiento

aleatorio que se observa en las partculas que se hallan en un medio fluido
(lquido o gas), como resultado de choques contra las molculas de dicho
fluido. Este fenmeno de transporte recibe su nombre en honor al escocs
Robert Brown, bilogo y botnico.

PARTICULAS ESFERICAS: es un trmino para referirse a toda una serie de

problemas o sistemas fsicos interesantes en que una partcula est en un
campo exterior central con simetra esfrica

FUERZA DE FLOTACION: La fuerza que un fluido ejerce en direccin hacia

arriba sobre un objeto sumergido dentro de l
FLUJO INCOMPRESIBLE: La incompresibilidad es una aproximacin y se dice
que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente
constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas las
porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento
cuando el flujo o el fluido son incompresible.
FLUJO COMPRESIBLE: La compresibilidad de un flujo es bsicamente una
medida en el cambio de la densidad. Los gases son en general muy
compresibles, en cambio, la mayora de los lquidos tienen una
compresibilidad muy baja.
FUERZA TANGENCIAL: La fuerza tangencial fsica es aquella que tiene la
misma direccin que el movimiento del cuerpo en el que se aplica por lo
que toda la fuerza crea energa.
Ejercicios prcticos

En un tubo vertical lleno de aceite para automvil dejamos

caer perdigones de plomo. El dimetro del tubo es mucho
mayor que el dimetro del perdign. Los datos son:

Densidad del plomo pe = 11.35 g/cm3

Radio de la esfera R = 1.96 mm
Densidad del aceite pf = 0.88 g/cm3
Viscosidad del aceite n= 0.391 kg/m*s
Se alcanza el 99.5% sw la velocidad limite constante en el
instante t tal que

Donde K=6Rn = 0.014kg/s y la masa de la esfera

m=pe4/3R3 = 3.58*10-7 kg

Despejamos el tiempo t = 0.13 s

La esfera se habr desplazado en este tiempo x=0.023m

Si dejamos caer la bolita desde la superficie del aceite, podemos comenzar

a tomar medidas con seguridad 3 centmetros por debajo de dicha
superficie.

En este ejemplo se ha supuesto que el fluido se mantiene en rgimen laminar

cuando se mueve la esfera en su seno.
BIBLIOGRAFIA DE LIBROS

1. Koshkin N. I., Shirkvich M. G. Manual de Fsica Elemental. Editorial Mir

1975.
2. Bird, R., Byron, W.E., Stewart, E.N., Lightfoot. Fenmenos de transporte.
Limusa Wiley, Mxico, 2a. Edicin, 2006.
3. James R, Charles E, Roberth E. Fundamentos de transferencia de
momento, calor y masa. Limusa, Noriega editores.

BIBLIOGRAFIAS DE PGINAS
1. www.ugr.es/~andyk/Docencia/TEB/Guiones/09.doc
2. www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/stokes/stokes.html
3. garf.ub.es/milenio/img/Presentacion_Navier_Stokes.pdf