PR10 Isoclinas 14 15

PRCTICA ECUACIONES DIFERENCIALES CURSO 2014-2015
CLCULO II
Prcticas Matlab
Prctica 10 (5/05/2015)
Objetivos
o Representar las isoclinas de una edo de primer orden como apoyo para trazar un
campodedirecciones.
o Representar el campo de direcciones de una edo de primer orden y entender su
significado.
o Representarlassolucionesdeunaedodeprimerorden.
o Utilizarrepresentacionesgrficasparaprofundizarenelestudiodelassolucionesde
unaecuacindiferencialdeprimerorden.

Comandos de Matlab
1.Pararesolverecuacionesdiferencialesdeprimerordendeformasimblica
dsolve('eq','cond','var')
Ejemplos:
>> dsolve('Dx = -a*x')
>> dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b')

Ejercicios
Representacindeisoclinasycamposdedirecciones
a) Busca todas las funciones y = y ( x ) que cumplen que y = 2 x .

Debesobtenerunafamiliauniparamtricadecurvas(estoeslo que
sellamasolucingeneraldelaecuacin).
1
b) Si no fuera tan sencillo encontrar la familia de soluciones, una
herramienta que facilita el estudio de su comportamiento es el
mtododelasisoclinasyeldibujodelcampodedirecciones.
Representa las isoclinas de pendientes 1, 0.5, 0, 0.5, 1 y

sobreellaselcampodedirecciones.
PGINA 2 MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES
Representa las soluciones que pasan por los puntos 0, 0.5 ,

0, 0 y 0, 0.5 .
Indicaciones
Esteeselejerciciopropueston6deltema5.
Definicin de isoclina.- Dada una e.d.o. y f ( x, y ) , se llama isoclina al lugar

geomtrico de los puntos del plano donde la pendiente de las curvas solucin es
constante, siendo su ecuacin f ( x, y ) = C .
Campo de direcciones.- Dada una e.d.o. y f ( x, y ) , se llama mapa de

direcciones a la representacin grfica de una muestra de pequeos segmentos de
rectas tangentes a las curvas solucin, dibujados sobre los puntos de corte de stas
con las isoclinas.

Apartadoa)

Resultainmediatocomprobarquelasolucingeneraldeestaecuacindiferenciales:

y x2 C
Puedesencontrarestasolucin,conelsiguientecomando:

dsolve('Dy=2*x','x')

Enlasiguientetablasemuestranlasecuacionesdelasisoclinasylassolucionesparticulares
pedidas.

Pendiente Isoclina Punto Constante Solucinparticular
y y 2 x x0 , y0 ( C y0 x0 )
2
( y x 2 C )
1 x 1 / 2 0, 0.5 C 0.5 y x 2 0.5
0.5 x 1 / 4 0, 0 C 0 y x2
0 x0 0, 0.5 C 0.5 y x 2 0.5
0.5 x 1/ 4
1 x 1/ 2

Apartadob)

MATLAB: PRCTICA 10 PGINA 3
RepresentaconMatlablasisoclinasyunamuestradelcampodedireccionesenelcuadrado
1,1 1,1 . Representa tambin las soluciones particulares indicadas, destacando sobre
ellaslospuntosdelenunciado.
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Funcinpararepresentarelcampodedireccionesdeesteejercicio.

function isocampodir0(d)
% isocampodir0(d)
% dibuja primero unas isoclinas de la ecuacin
% y'=2x , sobre las que dibuja una muestra del
% campo de direcciones
% finalmente traza unas curvas solucin (y=x^2+k)
% d es el paso entre isoclinas, se aconseja d=.4, d=.2 o similar
plot([-1 1],[0 0],'k',[0 0],[-1 1],'k') % ejes coordenados
hold on
axis([-1 1 -1 1])
y=-1:0.01:1;
c=-2:d:2; % pendientes de las isoclinas
lon=.08; % longitud en horizontal para el campo de direcciones
% Dibujo de las isoclinas una a una y las direcciones sobre ella
for i=1:length(c)
plot([c(i)/2 c(i)/2],[-1 1]) % dibujo de la isoclina para c=c(i)
%text(c(i),-1.2,['c=',num2str(c(i))])
title(['Ecuacin y=2x: isoclina 2x=',num2str(c(i))])
aux=lon/(2*sqrt(1+c(i)^2));
for k=10:8:length(y) % se abre un ciclo para dibujar las pendientes
plot([c(i)/2-aux c(i)/2+aux],[y(k)-c(i)*aux y(k)+c(i)*aux])
end
disp('pulsa una tecla para pintar siguiente isoclina')
pause
end
% Dibujo de las soluciones particulares por puntos (0,y) dados
for k=10:8:length(y)
x=-1:.01:1;
plot(x,x.^2+y(k),'r')
title(['Ecuacin y=2x: solucin por punto(0,',num2str(y(k)),')'])
disp('pulsa una tecla para pintar siguiente solucin')
PGINA 4 MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES
pause
end
hold off
Para cada una de las siguientes ecuaciones,

1) y ' xy 2) y ' x y 3) y ' x2 y
contesta a estas preguntas:
2 a) Traza una muestra de las isoclinas correspondientes a cada

ecuacin. Sobre cada isoclina traza los segmentos que
indican la pendiente de esa isoclina.
b) Estudia la monotona y la concavidad de las curvas solucin y

comprueba que concuerda con el campo de direcciones
representado en el apartado anterior.
Esteeselejerciciopropueston8deltema5.

Resumen de comandos
Serecogenaquloscomandosutilizadosenestaprcticaquesedarnporconocidosenlas
prcticas siguientes y que conviene retener porque se podrn preguntar en las distintas
pruebasdeevaluacin.Tambinsesupondrnconocidosloscomandosquefueronutilizados
enprcticasanterioresyenlasprcticasdeClculoI.

Pararesolverecuacionesdiferenciales: dsolve

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PRCTICA ECUACIONES DIFERENCIALES CURSO 2014-2015

a) Busca todas las funciones y = y ( x ) que cumplen que y = 2 x .

Representa las isoclinas de pendientes 1, 0.5, 0, 0.5, 1 y

Representa las soluciones que pasan por los puntos 0, 0.5 ,

Definicin de isoclina.- Dada una e.d.o. y f ( x, y ) , se llama isoclina al lugar

Campo de direcciones.- Dada una e.d.o. y f ( x, y ) , se llama mapa de

Para cada una de las siguientes ecuaciones,

contesta a estas preguntas:

2 a) Traza una muestra de las isoclinas correspondientes a cada

b) Estudia la monotona y la concavidad de las curvas solucin y

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