Lagrange

Lagrange La elegancia matematica Venancio Pardo Rego se matematica personajesLa matemiatica en sus personajes Coleccion dirigida por Antonio Pérez Sanz Lagrange La elegancia matematicaUNIVERSIDAD DE GUAD#. RA UNIDAD DE BIBLIOTECAS cUuCcE|! No. ADQUISICION.... 0353 CLASIFICACION Euan 2013 FACTURA_ MUSE 2V ARG ———— FECHA S24 AC) 2.0005 mm 18. 43BG<4)/5 1 edicion: abril de 2003 Imagen de cubierta: Detalle del proyecto de mausoleo para Federico ef grande de F.D. Gilly. Composicién de cubierta: ARR de ASenA e Venancio Pardo Rego, 2003 NIVOLA libros y ediciones, S.L. Apartado de Correos 113, 28760 Tres Cantos Tel.: 91 804 58 17, Fax: 91 804 93 17 www.nivola.com 8 correo electronico; nivola@nivola.com. ISBN: 84-95599-59-7 ~ 22.977-2003, Impreso en Espaiia Depésito legal: Sin ia autorlzacin eserta de los titulares del copyright, queda rigurosamente 7 proba la reproduceion parcial o total de esta obra por cuslqsier medio Oo » ee nn eerie ee ees S ow a SF @ Ke Lagrange _ | La elegancia matematica Venancio Pardo Rego 14 La matemaética en sus personajes ivola =Indice Ly a3) El EL La En El C.U.C. EL. legado de Newton joven Lagrange etapa berlinesa medio de La tormenta revolucionaria conde Lagrange BibliografiaEE eS 1 El legado de Newton Cuando nace Lagrange en 1736, el mundo de las matematicas se encuentra todavia conmovido por los extraordinarios logros cientificos del gran Isaac Newton (1642-1727). Su magna obra Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matematicos de filosoffa natural) -en adelante los Principia-, publicada en 1687, sera referente obligado, no s6lo para los discfpulos directos de Newton, sino también para todos los demas matematicos del siglo XVIII, y entre ellos Lagrange. Muchos afos mas tarde y refiriéndose a la importancia de la obra de Newton, Lagrange escribiria: “Newton fue seguramente el hombre de genio por excelencia, pero debemos reconocer que fue también el mds afortunado: solo una vez puede quedar establecido el sistema del mundo’. En el afio del nacimiento de Lagrange, todavia son percepti- bles los ecos de una de las polémicas mas agrias y desdichadas de la historia de la ciencia. Como es bien sabido, hacia 1695 comenzo una sorda rivalidad entre Newton y el filésofo y matematico alem4n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), basada en los derechos de prioridad en el descubrimiento del calculo infini- uOJMaN ap Opesel 14 = aLa elegancia matematica Lagrange. re tesimal. Esta rivalidad se transform, hacia 1699, en abierta hos- tilidad entre los dos grandes pensadores. Aunque no es propésito de estas Iineas analizar los porme- nores de la mencionada controversia, es necesario senalar alguno de sus aspectos por la importancia que tuvieron en el futuro desarrollo de las matematicas durante el siglo XVIII. En efecto, en los primeros afos de ese siglo y a raiz de la publicacién de la obra de Newton Opticks (1704, Optica), aparece una dura y anonima critica a su obra Methodus fluxionum et serie- rum infinitorum (Método de fluxiones y de las series infinitas) en la revista Acta Eruditorum, editada en Leipzig, y en la que publi- caban habitualmente Leibniz y los hermanos Jakob Bernoulli (1654-1705) y Johann Bernoulli (16671748). Detraés de tan dura critica, muchos quisieron ver la mano de Johann Bernoulli, cuya antipatia hacia Newton era tan conocida como injustificada; de hecho estaba considerado como el mas obstinado de los defen- sores de la causa de Leibniz. Como consecuencia de la citada critica, el debate se abrié con inusitada agre- sividad y los matematicos de entonces se dividieron en dos grupos bien diferen- ciados: por un lado los matematicos britanicos, amigos y discipulos de Newton que apoyan a éste, y por otro los matematicos del continente europeo —con los hermanos Bernoulli a la cabeza— que defienden los derechos de Leibniz. Se generé asi entre los dos gru- Tage Wewion (1642.17? WHUPATE Bintade en 1609 po Godfrey Knei ler pos una fuerte animadver- sién que duraria largos afios, en el transcurso de los cuales iba a cesar por completo el intercambio de conocimientos entre los matemiaticos de las islas y los del continente. Si bien Newton salié personalmente triunfante de su enfren- tamiento con Leibniz, no ocurrié lo mismo con la matematica britanica. Los discfpulos de Newton, influidos por la poderosa per- sonalidad de éste, y prisioneros del célebre exclusivismo inglés, siguieron utilizando en su trabajo matematico métodos exclusi- vamente geométricos (es conocida la admiracion de Newton por los geometras griegos, sobre todo por Arquimedes), sin querer ver la superior eficacia de los nuevos métodos analiticos utilizados por Leibniz. Por el contrario, los matematicos del continente europeo dan muestras de una mayor flexibilidad mental y no dudan en desarrollar y completar la obra de Newton, pero siguiendo el método analitico de Leibniz, pues no hay que olvidar que éste fue uno de los mayores inventores de lenguaje mateméatico de la historia; solo Euler le super6 en ese terreno. Las consecuen- cias de estas posturas tan distintas no tardaron en llegar. Poco a poco la matematica britanica se fue quedando reza- gada con respecto a la del continente. No obstante, es de justicia sefalar que durante la primera mitad del siglo XVIII, los britanicos uoqMeN ap opesel 14 ¥La elegancia matematica Lagrange. 14 cuentan con hombres tan ilustres como Abraham de Moivre (1667- 1754) -nacido en Francia-, Roger Cotes (1682-1716) y James Stirling (1692-1770), los tres amigos de Newton, a los que hay que afadir a Colin Maclaurin (1698-1746), el mas brillante de sus discipulos. La obra de Maclaurin Treatise of Fluxions (Tratado de Fluxiones), publicada en 1742, marca la cima de la matematica inglesa en el terreno de la utilizacién precisa y exclusiva del estilo geométrico. Maclaurin muere en 1746 y dos afios mas tarde, en 1748, muere Johann Bernoulli, ambos eran los tiltimos discipulos directos de Newton y Leibniz, respectivamente. A partir de estas fechas, la matematica de las Isl: entra en una etapa de decadencia que durard Casi un siglo, mientras que la matematica de Europa continental recibe por esas mismas fechas un impulso arrollador por obra y gracia de uno de los mas grandes genios matematicos de todos los tiempos, nos referimos a Leonhard Euler (1707-1783). Ademas de Euler, es necesario mencionar los nombres de un pufiado de grandes matematicos cuyas aportaciones cientificas fueron de gran importancia, tanto para el siglo XVIII como para el posterior desarrollo de las matematicas. Estos son sus nombres: Daniel Bernoulli (1700-1782), Alexis-Claude Clairaut (1713-1765), Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736- 1813), Gaspard Monge (1746-1818), Pierre-Simén de Laplace (1749-1827), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) y Lazare Carnot (1753-1823), entre otros. Si se compara el trabajo matematico realizado en el siglo XVIII con el exiguo ntimero de hombres que lo realizaron puede afirmarse, con absoluta rotundidad, que la productividad aleanzada fue superior a la de cualquier otro siglo y por ello a esta época se la considera la época heroica de las matematicas. En efecto, el Algebra y la geometria analitica se ampliaron de manera notable, se sentaron las bases de la geometria descripti- Euler Discfpulo de Johann Bernoulli nacido en Basilea (Suiza), dotado de una intuicion y una capacidad de cdlculo jamds superadas, Euler va a enriquecer casi todas las ramas de las matematicas con una lista interminable de descubrimientos originales, Su obra, probablemente la mds prolifica de todos los tiempos, estd repleta de ideas, formulas, ecuaciones, teoremas, niimeros, integrales,... tanto en las matemdticas llamadas puras como en las aplicadas. Euler, que ademas de poseer ese raro don del genio matematico, era duefto tam- bién de ese otro escaso privi- legio de reconocer el talento de los demas, sera estimulo y gula permanente para dos generaciones de grandes matemdticos que son los que van a terminar el edificio ideado por Newton, y ademds aporta- ran a las matematicas ideas ¥ métodos que las acercarén de manera extraordinaria a como hoy las conocemos: “Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestro de todos nosotros”, solia decir Laplace a sus discipulos. Dentro del siglo XVIII, s6lo la obra de Lagrange, aunque menos extensa que la de Euler, se le puede comparar en varie- dad y en importancia. Mas informaci6n en el libro Euler. El maestro de todos los matemédticos de William Dunham, en esta misma coleccién. uojMaN ap opeSa, 139 = <>tica La elegancia matema Lagrange. vay de la geometria diferencial, se dio nuevo brillo a la teoria de nmeros que permanecia un tanto relegada desde los tiempos dorados de Pierre de Fermat (1601-1665) y comenz6 a desarrollarse el cAlculo de probabilidades que pronto se convertiria en una nueva disciplina matematica. Pero fue el andlisis la disciplina reina durante el siglo XVIII. Aunque hoy en dia consta de ramas nuevas que eran desconoci- das en el XVIII, las que se conocian 0 se construyeron en esa época lograron un desarrollo extraordinario: el calculo diferencial e integral, la teorfa de las series de potencias y de las series trigonométricas, el cAlculo de variaciones, la teoria de ecuaciones diferenciales, etc. Ademas de los grandes logros obtenidos en las citadas disciplinas, encuadradas dentro de las denominadas matematicas puras, fue tal la energia y el coraje desplegados por este pequeno ntimero de matematicos que acometieron y lograron culminar con éxito un enorme ntimero de trabajos de las disciplinas que se consideraban dentro de las matemiticas aplicadas 0 titiles como astronomia, mecanica (y dentro de ella la estatica, la dindmica, la hidrostatica, la hidrodinamica, Optica, geodesia, etc. , mecanica celeste, nautica, A todo esto, hay que afadir un sin fin de trabajos realizados en campos claramente encuadrados dentro de las ingenierias civil y militar como, por ejemplo, la mineria, excavaciones, construcciones navales, artilleria, canales, puertos, fortificaciones... Para aquellos lectores que se sorprendan viendo a grandes matematicos desempefiando tareas que pertenecen al dmbito militar, les diremos que algunos de ellos fueron profe- sores de escuelas militares como Monge o Lagrange y otros, y Legendre, fueron examinadores de las citadas e incluso Monge y Carnot tuvieron las mas altas res- como Laplac escuel ponsabilidades en la organizacién de la marina y el ejército france: Un aspirante a teniente de artilleria, de nombre Napoleone Buonaparte, fue examinado por Laplace sobre los conocimientos adquiridos en manuales escritos por Euler y Monge. Ahora bien, un trabajo de las dimensiones y de la importancia del que se ha resefiado, requiere unas condiciones sociales y politicas adecuadas para poder desarrollarse. Conviene sefalar primeramente, dos circunstancias que con- tribuyeron de manera favorable al desarrollo de las matematicas en el siglo XVIII: ¢ La herencia recibida de Newton por los matematicos del XVIII no sélo constaba de sus trascendentales aportaciones cientificas, sino también de unos dividendos sociales en forma de fama y gloria, nada desdefables. De hecho, la fama de Newton traspas6 los muros del reducido mundo cientifico llegando a ser un hombre popular, admirado y respetado tanto por el poder politico como por el pueblo. Su funeral habia sido mas propio de un principe o de un hombre de estado que de un cientifico. e La otra circunstancia es de caracter mas general: estamos en el Siglo de las Luces. Es decir, el marco general en el que se desarrolla el pensamiento cientifico del XVIII es el del movimien- to cultural europeo conocido con el nombre de la Ilustraci6n . Este movimiento, que aparece a principios del XVIII y que desemboea en la Revolucién Francesa de 1789, tiene como antecedente lejano al Renacimiento, y como antecedentes préximos las corrientes racionalista y empirista del siglo XVII Galileo, Bacon, Descartes, Hobbes, Locke, Leibniz, Newton, Spinoza, etc...) Aunque algunos rasgos caracteristicos de este movimiento cultural aparecen inicialmente en Inglaterra, es en Francia donde se asienta, se fortalece y adquiere su cuerpo ideolégico, el enciclope- dismo, de la mano de importantes personalidades como Voltaire, Montesquieu, Rousseau, Buffon, Diderot, D'Alembert, etc... Desde Francia, las nuevas ideas de la Ilustracion se difunden por todas las naciones europeas € incluso por las colonias ame- m a ot o oa D a ° 2 oD rz a = a 2 ~— — 33La elegancia matematica Lagrange. La Iustracion En el aspecto filos6fico, la Ilustracién abandona el sistema metafisico coma forma de conocimiento y adopta el método analitico e inductivo con el fin de conjugar lo racional y lo positivo. Se utiliza la razén como un instrumento seguro de busqueda, cuya fuerza reside mas en la capacidad de adquirir conocimientos que en poseerlos, de manera que la conclusi6n inmediata es la relativa validez de tos principios, los cuales son utilizados mas como fuerzas actuantes (imperativos) que como resultados, Como consecuencia de lo anterior se rechaza la trascen- dencia y las formas religiosas tradicionales, ast como cualquier elemento de superstici6n, misterio 0 milagro. Mas alld del frio racionalismo, el hombre ilustrado admite que la sensibilidad, sobre todo si estd guiada por la experien- cia, es un complemento potenciador de la razon, “a ENCYCLOPEDIE, medida que el espiritu DICTIONNAIRE RAISONNE DES SCIENCES. DES ARTS ET DES METINNS. oe Enciclopedia. Asi pues, razon y sensibilidad son los adquiere mds luces, el cora- z6n adquiere mds sensibilidad” se puede leer en la il ate oe EE dos pilares que sustentan la . creencia en la posibilidad de perfeccién del hombre to cual daré un sentido nuevo a la educaci6n (Rousseau, Pestaiozzi, Condorcet). eageadal dei einen teae Finalmente, la moral de de la Enciclopedia. (a ilustracién se basa en la bondad natural del hombre, la obediencia a las leyes de la naturaleza y en la creencia de que el instinto del hombre le impulsa a la felicidad. En definitiva, se trata de un sistema filos6fico optimista y centrado en el hombre, convencido de que éste puede lograr ta felicidad en la Tierra En el aspecto social, la Ilustracién se inscribe fundamentalmente en ei dmbito de la ascendente burguesia, aunque no de manera exclusiva. Sectores del bajo clero, de ta nobleza y altos funcionarios del aparato del estado, apoyaror en mayor o menor medida el movimiento ilustrado. La difusién de las ideas de este movimiento se llevd a cabo por los mas diversos medios, desde las academias y las sociedades de pensamiento —como la Sociedad de Amigos del Pats, en Espafia-, hasta los salones literarios, pasando por las sociedades secretas como la masoneria. Ademds, la progresiva independencia econdémica de los profesionales de las ciencia y las letras dio mayor autonomta @ su pensamiento, antes limitado por la situacién de mece- nazgo. Sus obras tuvieron amplia difusin, tanto en la prensa de la época como en ediciones de alcance internacional. Algunas cuestiones econémicas y sociales dieron lugar a la aparicion de distintas tendencias, que generaron largas y agrias polémicas entre los ilustrados. Cuestiones como las fuentes de riqueza y el derecho de propiedad -sobre todo esté tiltima— llegaron a generar una permanente enemistad entre Diderot y Rousseau. A pesar de ello, se mantuvieron unidos en su lucha en torno a una linea maestra comtin: rechazo frontal a las estruc- turas politicas y sociales tradicionales, al uso irracional del uoyMaN ap opess] 13La elegancia matematica Lagrange. 20 principio de autoridad y ta defensa entusiasta de ta confianza en el progreso del hombre a través de la raz6n. Otros rasgos distintivos de esa linea maestra comtin son: la defensa del indi- viduo, la tolerancia, la libertad y un ci rto igualitarismo formal. Por iiltimo, el pensamiento politico ilustrado pretende implantar un régimen politico constitucional y democrdtico basado en las ideas de Montesquieu (constituci6n y division de poderes como sistema de equilibrio dindmico del estado) y de Rousseau (igualdad civil y social). Se parte del derecho natural que considera las leyes como “relaciones necesarias que derivan de la naturaleza de las cosas” (Montesquieu). Como consecuencia nace la teoria del soberano subordi- nado a la nacién, de manera que los sibditos se convierten en ciudadanos. Et poderoso influjo ejercido por estas doctrinas en las distintas cortes europeas dio lugar a un nuevo sistema politico, tipico del siglo XVIII, denominado despotismo ilustrado. Con arreglo a este nuevo sistema, los monarcas conti- nuaron siendo reyes absolutos, pero impulsaron reformas con el fin de procurar el beneficio del pueblo, elevando su condicion social, cultural y econémica mediante el fomen- to del trabajo y el desarrollo de todas las posibles fuentes de riqueza. Estas reformas positivas se realizaron desde arriba, sin la participacién del pueblo; politica ésta que se ha sintetizado con la formula; “todo para el pueblo, pero sin el pueblo’. Los cambios en las ideas habidos en el XVIII afectaron también al campo econémico. Los ilustrados sometieron a una severa critica el modelo proteccionista imperante a finales del siglo anterior y desarrollado en Francia por Colbert (ministro de Luis XIV), proponiendo ta libertad de prodac- cidn industrial y del comercio, que se vio beneficiado por grandes viajes de cardcter cientifico efectuados por Cook, La Perouse, ete, viajes que fueron posibles por los extraordinarios avances en la construcci6én naval y en los instrumentos de navegaci6n, En Francia, aparecieron dos escuelas econémicas bien diferenciadas; la fisidcrata, que consideraba la tierra como principal fuente de riqueza y la plutécrata que defendia como fuentes principales de riqueza la industria y el comercio. ambas escuelas propugnaban A pesar de su diferen: un régimen de libre circulaci6n, sin trabas arancelarias ni aduaneras. En todo caso, fue el escocés Adam Smith quién expuso de manera mds completa y sistemdtica las nuevas doctrinas eco- nomicas del XVUf, considerando el trabajo humano, en cualquiera de sus manifestaciones, como la verdadera fuente de toda riqueza. Nadie como D’Alembert, uno de sus principales represen- tantes, para resumir la originalidad y la extensi6n del movimiento ilustrado: “ lo discutié, analiz6 y agit6 todo, desde las cienctas pro- fanas a los fundamentos de la revelaci6n, desde la metafisica alas materias del gusto, desde la misica hasta la moral, desde las disputas escoldsticas de los tedlogos hasta los objetos del comercio, desde los derechos de los principes a los de los pue- blos, desde la ley natural hasta las leyes arbitrarias de las naciones, en una palabra, desde las cuestiones que més nos atafien a las que nos interesan mds débilmente...” uoyMAaN ap opesa1 13 21La elegancia matematica Lagrange. ot” Vora. mane, Cet ta driance ga vn age eondaite the Wn ioe . led Veahue Tlmectesavep urea Bess MMe Phy pe. Clickee prac pe on’ fc etten e dos ph c artes ghee Rese te bu ct te mad meray © remnpilo oe devoins beieg er ce HY SIQUE OLONTI LR TICULIER ih strtray | a pour objet: fl 4 Mav ales W Pew prypvretes cometderch Apis : HM Glanschagne ondatus ond ATHEMA i Sn aA wr eulor, see “THOU ae Pobsetan a A eee oe Fin ds titmnpecraconas Ore rppolle aunt be parts Une ces se M%, Seer Me by Payne dae hq Sarueees ith fon rind Uobaorvanivn ot fara eve X duhoe cs me [reece ne valeul Mathematugus er pat cite i one Lon apply ce catouta Biocon he be Nature, bes A Phy S100 OOO DG bionsan, es noe fit oka r ig i a et a paent ia: fae bernie branche tathen atagnay Mixtes. 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Fue realizada en esta forma por C.F.W. Roth en Weimar (Alemania) en 1769 y mide completa 98,5 x 63,5 cm. En la imagen aparece el apartado dedicado a las matemdticas.La elegancia matematica Lagrange. 24 ricanas, logrando mayor o menor arraigo segtin el desarrollo cultural y socio-polftico en que se halle el pais en cuestién. En Espafia, por ejemplo, el enorme peso del pensamiento teo- légico tradicional junto a la profunda decadencia en que se encuentra nuestro pais, son obstaculos iniciales a la penetracion de las nuevas ideas, aunque no pueden impedir la aparicién de un selecto grupo de ilustrados como Azara, Cadalso, Feijoo, Jovellanos, Jorge Juan, Meléndez Valdés, Olavide, etc, apoya- dos por algunas individualidades de la nobleza cortesana y algunos ministros del gobierno de Carlos Ill, como Aranda, Campomanes, Esquilache y Floridablanca. A la cabeza de los estados mas poderosos de Europa, se encuentran monarcas ilustrados que-rivalizan entre si con el fin de poder contar, en sus cortes respectivas, con las mejores cabe- zas de su tiempo. Federico Il el Grande de Prusia, Catalina la Grande de Rusia, los Borbones de Francia y Espaiia, y José II de Austria consideraban como una sefal inequivoca de su prestigio y de su poder, el disponer en su corte de los mas grandes artistas, fildsofos y cientificos de la época, entre los que casi siempre solia haber un matematico de renombre. Como consecuencia de estas circunstancias, los sucesores de Newton vieron su propio genio reconocido, en la mayoria de los casos en plena juventud, de manera que sus servicios fueron requeridos por los monarcas ilustrados que les solian consultar sobre la resoluci6n de diversos problemas relacionados con inte- reses concretos del estado, Los grandes matematicos de] siglo XVIII contaron con la confianza y la protecci6n de los reyes mds poderosos de su epoca, si bien ninguno de éstos Ileg6 al grado de devocién que Napole6n | dispensé a los matematicos: cinco de los grandes matematicos franceses formaron parte de la nobleza del imperio napolesénico, La labor investigadora de los matematicos de siglo XVIII, se desarrolla fundamentalmente en el ambito de academias de ciencias como la Royal Society y las Academias de Paris, Berlin y San Petersburgo. Las academias ayudan econémicamente a los matematicos y éstos publican sus trabajos cientificos en revistas especializadas que se sostienen con fondos provenientes del estado, en la mayoria de los casos. Con el fin de enriquecer la vida cientifica y de potenciar la for- macion de los jovenes matematicos, las Academias convocan con cierta frecuencia concursos para la resolucién de importantes problemas fisicos y matematicos. Daniel Bernoulli lleg6 a obtener hasta diez premios de la Academia de Ciencias de Paris y Lagrange lo logré en cinco ocasiones. La practica totalidad de los matemiaticos de relieve pudieron dedicarse a la investigacién matematica de manera profesional, sin apenas obligaciones docentes, con la tnica salvedad de los matematicos franceses, quienes impartieron clase de manera habitual tras la creacién de las grandes escuelas de ingenieros durante la tiltima etapa de la Revolucion Francesa. La extension de la ensefianza de las matematicas en el XVIII, trajo consigo el aumento de la demanda de obras didacticas diri- gidas a lectores poco versados en dicha disciplina y, consecuen- temente, la publicacién de un buen nimero de manuales. Algunos de ellos fueron escritos por sabios de la talla de Clairaut, mo Euler. Maclaurin o el mismi Como consecuencia de ello, las matematicas se difundieron en capas sociales cada vez mas amplias, de manera que los grandes matematicos aumentaron su popularidad tanto dentro de la nobleza como de la floreciente, y cada vez mas poderosa, burgues Al final de su vida, Daniel Bernoulli solia contar una anécdota, de la que aseguraba que era cierta, que ilustra sobre la relativa uojMaN ep opesal 13 25La elegancia matematica Lagrange. popularidad alcanzada por los sucesores de Newton: en uno de sus Ultimos viajes tuvo como compafero a un simpatico mucha- cho; cuando Bernoulli se present a su joven compaiiero con un “Yo soy Daniel Bernoulli”, éste le contest6 con una sonrisa bur- lona “Y yo Isaac Newton”, Bernoulli, galardonado en tantas ocasiones, afirmaba que estas palabras de su joven acompajiante le parecian el mayor premio recibido por sus grandes logros cientificos. Dentro de las condiciones sociales y politicas en que se desarrolla el trabajo cientifico durante el siglo XVIII, hay un aspecto que merece ser sefalado: se trata de la relaci6n entre ciencia y religion. Los matemiaticos del siglo XVII, con Newton a la cabeza, y los de los siglos anteriores, tenian a sus profundas convicciones religiosas como principal fuente motivadora de su trabajo cientifico, El propio Newton reconocié que lo mas importante de sus esfuerzos cientificos, consistia en estudiar la obra de dios y apoyar asf la religion revelada. De hecho, muchos pasajes de los Principia estan dedicados a exaltar la obra creadora de dios. Ahora bien, era tal el fervor religioso en su época, que cuando 26 el simil de un relojero vigilando un reloj en repa- raci6n, para explicar el papel que dios jugaba en el mundo por 61 descubierto, Leibniz aprovech6 este motivo para asegurar que Newton conce- bia un mundo funcionando de acuerdo a un plan que no requeria la existencia de dios, y por ello’ taché a los Principia de libro anticristiano. Daniel Bernoulli A medida que fue avanzando el siglo XVIII y fueron penetrando las ideas de la Ilustraci6n, la motivacién religiosa como inspiradora del trabajo cientifico fue perdiendo fuerza; a este hecho contribuyo en gran medida la coincidencia entre las predicciones de las leyes matematicas recientemente descubiertas, y las observaciones de los fenédmenos naturales. A mediados del siglo XVIII, el geometra y fisico francés Pierre de Maupertuis (1698-1759), fervoroso creyente, traté de encontrar un principio universal al que se pudieran subor- dinar todas las leyes de la fisica y basar en tal principio una demos- traci6n de la existencia de dios. Maupertuis crey6 haber encontrado ese principio universal en el llamado principio de minima acci6n, segtin el cual todos los fenémenos que ocurren en el Universo, acontecen de tal modo que la cantidad de accién necesaria para ello sea la minima posible. Detrés de esta economia de medios que gobernarfa el acontecer de los fenédmenos fisicos estaria, segtin Maupertuis, la mano del ser supremo. La inmensa mayoria de los cientificos de la época, Lagrange entre ellos, negé de manera radical cualquier implicacién metafisica en el principio de minima acci6n. Hubo una gloriosa excep- cién, Euler. Debido a sus profundas creencias religiosas, éste tomo parte en la controversia que se habia suscitado del lado de Maupertuis, anteponiendo la necesidad de la existencia de dios a cualquier otra consideracién, por mas racional que fuera. Su postura, que legé a irritar a sus amigos Lagrange y D’Alembert, produce ternura, maxime si se tiene en cuenta que el propio Euler habia estudiado de manera matematica fendmenos de naturaleza fisica o geométrica relacionados con el principio de minima accién en su importante trabajo Methodus inveniandi lineas curvas maximi minimive propietates gaudentes (1744, Método para encontrar lineas curvas que gozan de propiedades de maximo y minimo) -primer estudio general con contenido especifico de calculo de variaciones— en el que no menciona para nada la necesidad de ninguna intervencién metafisica. uojmMaN ep opese, 13 PaapLa elegancia matematica Lagrange. 28 Voltaire escribid un poema satirico sobre la cuestién en el que ridiculizaba al Dr, Akakia (Maupertuis) por su errénea postura filos6fica, poema en el cual Euler tampoco se libré del sarcas- mo. Euler y Voltaire jamas se tuvieron simpatia. En la segunda mitad del siglo XVIII, la preocupacién por obtener resultados fisicos correctos a partir de las leyes matemiaticas del Universo asi como la confianza en dichas leyes, pro- picia el que poco a poco vaya decayendo el interés por el papel que le corresponde a la providencia en el mundo revelado por Newton. Hacia finales de siglo, existe un generalizado desdén frente a cualquier tipo de implicacién metafisica en los fendmenos naturales, hasta el punto de que la propia.palabra metafisica se suele utilizar de forma despectiva para calificar aquellos trabajos 0 teorias elaboradas por un matematico que resultaban dificiles de entender a alguno de sus colegas. Hay una historia bien conocida que nos ilustra acerca de la esencial contribucién de los matematicos del XVII, a una vision ilustrada del mundo desde la 6ptica del determinismo mecanicis- ta: cuando a principios del siglo XIX, Laplace entrega un ejemplar del primer tomo de su Mecdnica celeste a Napoleén, éste le pre- gunto: “M. Laplace, me dicen que habéis escrito este extenso volumen sobre el sistema del Universo sin haber mencionado a su Alo que Laplace contesté: “No he tenido necesidad de esa hipotesis, Sire”. Creador No obstante, cuando el escéptico Lagrange conocié esta con- versaciOn dicen que comenté: ade ser unna bella hipst “En todo caso, no de} Las matematicas del XVIII Un primer aspecto que se debe consignar es el hecho de que en el siglo XVIII, mas que en ningdn otro, el trabajo matematico estuvo directamente inspirado por la resolucién de los problemas planteados por Ja fisica. En lineas generales, se puede afirmar que el principal objetivo de las matematicas no son las matematicas en si mismas, sino el de servir de herramienta de la fisica, sobre todo en las ramas mas importantes de ésta como la mecanica y la mecé- nica celeste. La mayor parte de los matematicos del XVIII, con Clairaut, D'Alembert y Laplace a la cabeza, compartian esta opinién. Era tal la obsesi6n en la resolucién de los problemas planteados por la mecanica, que tanto D’Alembert, en la Enciclopedia, como Diderot, en su obra Pensées sur l'interprétation de la nature (Reflexiones sobre la interpretaci6n de la naturaleza), sostienen que, con el cambio de siglo, se ha producido una verdadera revolucion en lo que a la matematica se refiere: se ha sustituido la matemiatica del siglo XVII por la mec4nica del XVIII; de hecho pensaban que la obra de Descartes, Fermat, Pascal e incluso la de Newton, era cosa del pasado, salvo en lo que a mecnica se refiere. Sin embargo, la opinién de Euler y Lagrange era completamente distinta. Estos matematicos, los mas grandes de todos los del XVIII, pensaban que el programa inicial de Newton, consistente en expresar los principios fisicos por medio de ecuaciones matemiaticas, se habia desarrollado de tal modo que se habian podido deducir nuevas propiedades fisicas a partir de razona- mientos matematicos, de tal suerte que era la fisica la que se estaba haciendo cada vez mds matematica, sobre todo en aquellas icos fundamentales se com- ramas en las cuales los principios fi: prendian perfectamente. En particular, Lagrange dej6 escrito que “aquellos que aman el Andlisis tienen que sentirse satisfechos por el hecho de que la Mecdnica se haya convertido en una rama de aque!” La paulatina inclusién de nuevas ramas de la fisica dentro del marco general de las matematicas, condujo a la aparicion de una UOIMAN 2p Opesel 13 28)La elegancia matematica Lagrange. 30 nueva disciplina, la fisica matematica, corroborando lo acertado de la posicion de Euler y Lagrange. El segundo aspecto a tener en cuenta es el aspecto técnico- formal de las matematicas del XVII. Como se ha dicho, la tarea primordial de los matematicos de ese siglo fue la de extender y aplicar los descubrimientos de Newton; el instrumento utilizado para ello fue el calculo diferencial e integral que se convierte, de hecho, en la principal herramienta para el desarrollo de las matematicas del XVII En efecto, una vez definidas las reglas operativas del calculo, desarrollan de manera extraordinaria sus técnicas, valiéndose del abundante simbolismo formal introducido por Leibniz y Euler, fundamentalmente. La cantidad de formulas, ecuaciones, ecuaciones diferenciales, integrales, series, etc, que se descubrieron y luego aplicaron en la resolu fisicos, no conoce parangon en toda la historia de las matematicas. n de muy diversos problema El virtuosismo técnico-formal aleanzado, en el caso de Euler rozo la exageracion, les llev6 a una excesiva confianza en el lenguaje formal y a efectuar un buen ntiimero de cAlculos sin un objetivo concreto; esto al menos, era lo que opinaban los matematicos del siglo siguiente. tos reproches, dirigidos de manera prioritaria a Euler, se pueden hacer extensivos al resto de sus colegas. Conviene pun- tualizar, sin embargo, que si bien el genio suizo disfrutaba calcu- lando, encontrando nuevas formulas y nuevas ecuaciones matemiaticas, no era este su verdadero objetivo tal y como él mismo se encarg6 de aclarar: “Las Matemdticas no son ningtin devaneo intelectual, sino que consideran al mundo fisico real desde el punto de vista abstracto”. En todo caso, una cantidad tan grande de trabajos realizados en las mAs variadas ramas de las matematicas, amén de un exce- sivo optimismo en la técnica formal, era logico que condujera a un cierto déficit en el rigor, Este aspecto, el del rigor, seria el talon de Aquiles de las matemiaticas del XVIII y sobre él gravitarian la mayor parte de las cri- ticas efectuadas por las siguientes generaciones de matematicos. Mas preocupado por las aplicaciones practicas a la fisica y a la ingenieria que por conseguir cimentar el analisis sobre bases sOlidas, el matematico del XVIII descuida, cuando no menospre- cia, cuestiones tan sensibles del analisis como la convergencia de las series, la existencia de soluciones en las ecuaciones diferenciales, el abuso en la utilizacién de diferenciales de orden superior, ete. Se recurre a menudo al uso de argumentos fisicos para justificar determinados pasos en las demostraciones, asi como para verificar la correcci6n de las mismas. Cuando la soluci6n a los problemas fisicos y técnicos era satisfactoria, se adopté la postura de que, puesto que las cosas funcionaban bien, las matematicas debian. ser correctas, y se sacrificé el rigor en pro de la eficacia. La asombrosa precisi6n con que las leyes matematicas se ajustaban a los fenémenos naturales, presagiaba que dichas leyes matematicas estaban desvelando el orden del Universo, y si eso era asi, ,por qué dudar de la bondad de las pruebas, puramente matemiaticas, de dichas leyes? En la primera mitad del siglo XVIII, la indiferencia hacia el rigor era casi generalizada, como ponen de manifiesto las siguientes citas de dos eminentes matematicos de esa época. En su obra Eléments de géometrie (1741, Elementos de geometria) y refiriéndose a la geometria euclidea, Clairaut afirmaba lo siguiente: “No es sorprendente que Euclides tuviera dificultades para demostrar que dos circulos que se cortan no tienen el mismo centro uOJMaN ap opesal 1] 31La elegancia matematica Lagrange. o que la suma de los ladoes de un tridngulo comprendido dentro de otro sea mds pequena que la suma de los lados del tridngulo mayor. Este ge6metra tuvo que convencer a sotistas obstinados que se glo- rificaban en rechazar las verdades mds evidentes; de tal forma que la geometria, como la logica, debe basarse en un razonamiento formal para refutar las sutilezas(...). Pero las cosas han cambiado. Todo razonamiento concerniente a lo que el sentido comin sabe de antemano, sirve tinicamente para esconder la verdad y agotar al lector, y es rechazado hoy en dia”. En 1743 D’Alembert comentaba: “Hasta el presente (...) mds importancia se ha dado a engran- decer el edificio que a iluminar la entrada, a elevarlo aiin mds que a asentar sus cimientos”. Sin embargo y en honor a la verdad, hay que establecer algunas matizaciones respecto a la referida indiferencia hacia el rigor mateméatico. En primer lugar es necesario recordar que el concep- to de rigor se ha ido modificando a lo largo del tiempo y asi en la segunda mitad del siglo XVIII los grandes matematicos fueron cada vez mas exigentes respecto de la necesidad matematica de prueba. Ademas la preocupaci6n por el rigor no fue la misma en todos los matematicos del XVIII; Euler, por ejemplo, intent6 justificar de manera légica el uso de las series infinitas aunque sus intentos no. legaron a fructificar y Lagrange, el més profundo y elegante de todos ellos, intent6 ofrecer una fundamentacién légica del cdlculo infinitesimal, sin que sus esfuerzos se vieran coronados por el éxito. Con todo, los esfuerzos de estos dos genios universales ser- virfan para que los matemAticos del XIX, inspiréndose en sus ideas, cosechasen éxitos rotundos en las cuestiones relativas al rigor que hemos referido. Después de clarificar y extender la monumental obra de Newton, después de haber creado un buen nimero de ramas de las matematicas y haber desarrollado otras ya conocidas de manera extraordinaria, los matematicos del siglo XVIII se sentian un tanto bloqueados intelectualmente y una cierta sensacién de pesimismo comenzé a apoderarse de ellos. Esto empezé a manifestarse en la década de los ochenta del siglo XVIII. En 1781, Lagrange escribia a D’Alembert: las matenuttic muy profunda, “Me parece que la mina ¢ rd necesario en algtint Va menos que alguno descubya nuevas veta: momento, abandonarla. La Fisica y la Quimica ofrecen ahora una meas vat i) plotacién mids rica y mas fiicil; también el gusto de nuestro siglo imposible que las cdtedras de parece ir en esa direccion y no par : i i Tees : Geometria de la Acadertia, se conviertan algtin dia en lo que las ciite- 4 drabe son actualmente en las Untversidades’. Fas ¢ Euler y D’Alembert compartian plenamente el pesimismo de Lagrange, ya que ninguno de ellos veia en el horizonte grandes mentes capaces de aportar nuevas ideas para impulsar las matematicas. Sin embargo, en ese mismo afio de 1781 el filésofo, politico y matematico Antoine-Nicolas Caritat de Condorcet (1743-1794), sostenfa justamente la opinién contraria, opinién que el tiempo se encargaria de corroborar. He aqui, un extracto de su sabia prediccién: “C...) A pesar de tantos trabajos frecuentemente coronados por el éxito, estamos lejos de haber agotado todas las aplicaciones del Andlisis a ta Geometria, y en lugar de creer que nos hemos acerca- do al final donde estas ciencias deben pararse, porque ya han lle- ado al limite de las fuerzas del esptritu humano, nosotros debemos confesar que por el contrarto estamos en los primeros pasos de una carrera inmensa, Estas nuevas aplicaciones prdcticas, indepen- dientemente de la utilidad que tengan en si mismas, son necesarias uoyMaN ap opesa1 13 33La elegancia matematica Lagrange. 34 para el progreso del Andlisis en general; piden crear nuevos méto- dos. Los procesos técnicos son hijos de la necesidad; podriamos decir lo mismo de los métodos de las ciencias mds abstractas. Pero nosotros debemos los tiltimos a necesidades mds nobles, la necesidad de descubrir las verdades nuevas o de conocer mejor las leyes de la naturaleza. Asi, se ven en las ciencias muchas teortas brillantes que han permanecido sin aplicarse por mucho tiempo, convirtiéndose de repente en el fundamento de las mds importantes aplicaciones; y del mismo modo, aplicaciones que son muy simples en apa- D’Alembert Jean-Baptiste Le Rond, conocido como D’Alembert, nacié en Parts el 16 de noviembre de 1717 hijo natural de Madame de Tencin, aristécrata y hermana de un cardenal, y del caballero Destouches, un general. Fue abandonado a las puertas de ta igle- sia de SaintJean Le Rond de Paris, de ta que adoptara su nombre, y recogido por unos vidrieros a los que siempre consider como sus verdaderos padres. Gracias a una herencia de su padre natural, recibi6 una educacién esmerada en medicina, filosofia natural y matemdticas. A los 23 afios ingresé en la Academia de Ciencias de Paris. En 1754 fue elegido miembro de la Acade- mia Francesa, de la que seria secretario perpetuo desde 1772. Su Tratado de dinamica (1743) fue el primer trabajo donde se formularon las ecuaciones diferenciales del movi- muento de un sistema material arbitrario. En 1744 se publicé su Tratado sobre el equilibrio y el movimiento de los liqui- dos, que fue una de las primeras obras sobre hidramecdnica. Las principales investigaciones matemdticas las realizé en la teorfa de ecuaciones diferenciales, Sus trabajos fueron riencia, dando nacimiento a las ideas de las teorias mas abstractas, para las cuales nadie ha sentido necesidad alguna y dirigiendo el trabajo de los geometras (matematicos) en estas direcciones (...)”. Al afio siguiente de producirse estas declaraciones, Daniel Bernoulli dejaba de existir y un afio mas tarde, en 1783, morian D'Alembert y Euler. Gauss tenia seis afios. Si bien a matematicos como D’Alembert, Laplace, Monge, Legendre Carnot se les puede considerar a todos los efectos, como matematicos franceses, a hombres como Euler (Suiza), Lagrange pioneros en la fundacién de la fisica matemdtica, Se preocu- po por fundamentar el cdlculo infinitesimal con la idea de limite. También se interes6 por el dlgebra y la teoria de series infinitas. A pesar de ta valia de sus trabajos cientificos, D Alembert es recordado hoy en dia como el responsable de la parte cientifica de la Enciclopedia. Su colaboracién con Diderot para la redacci6n de los 28 voliimenes de esta gran obra, empieza en 1751, Pero su aportacién no es tinicamente cientifica. Es el autor del Discurso preliminar de la Enciclopedia, considerado como un verdadero manifiesto de la filosofia del Siglo de las Luces. Habiendo sido uno de los artifices de tos cambios que llegarian con la Revolucién Fran- cesa, moriria seis afios antes, en octubre de 1783. D’Alembert uO1MaN ap opesel 13La elegancia matematica Lagrange. Gauss Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado el mas grande matematico de la historia, seria el hombre puente entre los siglos XVIII y XIX. Gauss fue el primero de una nueva generaci6n de grandes matematicos que haria realidad las precisas predicciones de Condorcet, Con la maxima gaussiana “Pauca sed matura” (Pocos pero maduros), se inaugura una nueva etapa de las matemdticas caracterizada por el predominio del rigor. n Gauss, Cauchy, Abel y Jacobi, entre otros, seran los hombres que recojan la antorcha de manos de los matemiaticos del XVIII para crear nuevas ramas de las matemdaticas, desarrollar de manera extraordinaria las ya conocidas y ademds lograr de forma definitiva la fundamentacién légica del andlisis; todo ello siguiendo la divisa gaussiana de la maxima madurez y del m&ximo rigor. Digamos ademds, que con Gauss se inicia una etapa de gran esplendor para la mate- madtica alemana, que durard todo el siglo XIX, en contraposicion de lo que habia ocurrido en el XVIM, siglo en que la hegemonia dentro del mundo de las matemdticas habia correspondido a Francia y a Suiza. Carl Friedrich Gauss (Italia) y en menor medida Daniel Bernoulli (Suiza) se les puede y se les debe considerar como matematicos europeos ya que permane- cieron durante varios afios de sus vidas en distintos paises europeos y pertencecieron a varias academias de ciencias del continente. A Euler y Lagrange, los dos grandes matematicos del XVIII, se les puede aplicar el calificativo de matemdticos totales, siguiendo la terminologia, que con toda justicia Gauss se apli- cé a si mismo, por los grandes logros que cosecharon en las mas diversas ramas de las matemdaticas; que comprendian tanto el campo habitual de trabajo de los matematicos puros, como el campo de los fisicos matematicos, y en definitiva, por su absoluta dedicaci6n a las matematicas. Para concluir este breve repaso por la matematica del siglo XVIII, diremos que con la publicacién de la obra maestra de Lagrange, Mécanique analytique (1788, Mecanica analitica) y la aparicién, en los primeros afios del siglo XIX, de los cinco tomos de la obra cumbre de Laplace la Mécanique céleste, la formidable aventura cientifica iniciada por Newton estaba terminada. Antes de centrarnos en la figura cientifica de Lagrange, deje- mos que sea el famoso fisico, astronomo y geodesta francés Dominique Francois Arago (1786-1853) el que diga la tiltima palabra sobre el papel y la dimensién de los matematicos del siglo XVIlL en la historia de las matematicas. En 1842 Arago escribia: “Cinco matematicos, Alexis-Claude Clairaut, Leonhard Euler, Jean le Rond D’Alembert, Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace se distribuyeron entre si el mundo cuya existencia habia descubierto Newton. Elios lo interpretaron en todas direcciones, se internaron en terrenos que habian sido considerados impenetra- bles, llamaron la atencién sobre innumerables aspectos de estos dominios que hasta entonces todavia no habian sido revelados por la observacién y pusieron de modo definitivo —y en esto reside su uojMaN op Opese] 14La elegancia matematica Lagrange. 38 inmortal gloria- bajo el dominio de un Gnico principio, de una ley unificada, todo lo que de confuso y misterioso hay en los movimientos de los cuerpos celestes”. es ? El joven Lagrange Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), nacié el 25 de enero de 1736 en Turin, capital del ducado de Saboya perteneciente al entonces reino de Cerdefia. En su partida de bautismo, escrita en italiano, figura con el nombre de Giuseppe Ludovico Lagrangia. Fl bisabuelo de Lagrange, parisino de origen, estaba emparen- tado con la familia de Descartes, era capitan de caballeria en Francia y entré al servicio del rey Carlos Manuel Il de Cerdena. Establecido en Turin, emparenté con la ilustre y rica familia pia- montesa Conti. El padre de Lagrange, de nombre Giuseppe Francesco Ludovico, era heredero de una magnifica posicién social y ocupaba el cargo de tesorero de la Oficina de Trabajos Pablicos y Fortificaciones del ejército sardo en Turin y se cas6 con Teresa Grosso, tinica hija del médico de Cambiano, localidad proxima a Turin, quién también era heredera de una considerable fortuna. El matrimonio Lagrange tuvo once hijos, de los que s6lo dos sobrevivieron a la infancia; Joseph-Louis era el benjamin de la familia. Su padre era un especulador incorregible y, como consecuencia de unas desafortunadas operaciones financieras, perdi6 aguesgey uaaol 13La elegancia matemdtica Lagrange. 40 casi todo lo que habia heredado. Muchos afios mAs tarde, al recordar esta circunstancia, y sin lamentarlo demasiado, Lagrange solia decir: i hubiera heredado una fortuna, probablemente no me habria dedicado a las matematic ci El mismo afo del nacimiento de Lagrange, y como si de una premonici6n se tratara, Euler publicé Mechanica sive motus scien- tia analytice exposita (La mecdnica o ciencia del movimiento expuesta de modo analitico). Esta obra fue de gran importancia para la fisica, ya que en ella se estudia, por primera vez, la dinamica newtoniana de la masa puntual mediante los nuevos méto- El reino de Cerdena El reino de Cerdefta nacié como consecuencia del tratado de Londres de 1717, segtin el cual el duque de Saboya, Victor Amadeo II, tuvo que renunciar a sus pretensiones sobre el reino de las Dos Sicilias en beneficio del emperador germéni- co Carlos VI. En compensaci6én recibié la ista de Cerdefia y el titulo de rey, con los mismo derechos que los otros grandes principes de Europa. El reino de Cerdefia, del que Victor Amadeo I fue primer soberano, tenia un territorto formado por dos regiones geogrdficas bien diferenciadas. las posesiones tradicionales de la casa de Saboya en la regién del Piamonte, pros- pera e industriosa, con capital en Turin, y la isla de Cerdefia, bastante pobre y atrasada, aunque de gran valor estratégico. En 1730, Victor Amadeo II abdic6 en favor de su hijo Carlos Manuel Hl, quién rein6 en Cerdefia desde 1730 hasta dos analiticos del calculo diferencial e integral. Euler rompe asi con la larga tradicién del empleo sistematico del estilo geométrico heredado de los antiguos griegos. Con el fin de resaltar la importancia de esta original obra de Euler, se ha llegado a decir, que si bien Arquimedes podria haber escrito los Principia de Newton, en modo alguno podria ser el autor de la Mechanica de Euler, debido a que esta obra esta escrita en el rupturista estilo analitico-diferencial, ajeno por completo al gran sabio de Siracusa. Si hemos sefialado como aparentemente premonitorio el hecho de la coincidencia en el tiempo entre el nacimiento de 1773, de manera que fue el tinico soberano que conocié Lagrange durante su infancia y juventud. Coincidiendo con los primero aiios de la vida de Lagrange, el rey emprendi6 una serie de reformas, siguiendo la moda ilustrada, tendentes a apoyar a la burguesia mds dindmica, en detrimento de los privilegios de la nobleza. Estas reformas, que mejoraron notablemente las condiciones econémicas del reino -sobre todo en Cerdefia- se vieron bruscamente interrumpidas por un conflicto de alcance europeo, la Guerra de Sucesién de Austria (1741-1748). Con ocasién de esta guerra, los monarcas borbones Luis XV de Francia, Felipe V de Espafia y Carlos de Ndpoles firmaron el llamado Segundo Pacto de Familia con el fin de apoyarse mutuamente en sus respectivas pretensiones en el citado conflicto, Las tropas espafiolas ocuparon y saquearon la regin de Saboya, aliada de Austria, pero al finalizar la guerra el reino sardo sali6 reforzado de modo que hasta finales del siglo XVII, pudo mantener una rentable neutralidad en los siguientes con- flictos europeos. ie agueize7 uaaolLa elegancia matematica Lagrange. 42 Lagrange y la publicacion de la citada obra de Euler, ha sido por dos motivos: el primero, porque el autor de la obra llegaria a ser su mentor y amigo, y en segundo lugar porque, desde el punto de vista puramente matematico, Lagrange llegaria a ser inigualable en la aplicacién del andlisis ala mecanica, superando incluso al propio Euler. Mole Antonelliana de Turin proyectada en 1862 adas en una calle de Turin. Cuando Lagrange inicié sus estudios escolares, Turin contaba con diversos centros docentes de nivel elemental y medio, y con una universidad fundada en 1404. En sus primeros afios escolares estudi6 lenguas clasicas, latin y griego, y se interes6 por la literatura. Entr6 en contacto con la una de las principales plazas de Turin agueaSe7 uaaol 14| cra La elegancia matematica Lagrange. fisica de la mano del padre Beccaria y tuvo como profesor de geometria a Filippo A. Revelli. En ambas disciplinas, Lagrange mostr6 inmediatamente sus grandes dotes y se sinti6 particularmente in- clinado por la geometria de Euclides y la obra cientifica de Arquimedes. La familia de Lagrange pensaba dedicar al aventajado mucha- cho a la abogacia 0 a algtin puesto docente con la anuencia del décil y disciplinado joven. Sin embargo, cuando Lagrange contaba diecisiete afios, cayé casualmente en sus manos una memoria del célebre astrénomo inglés Edmond Halley (1656-1742), sobre la aplicacién de los métodos algebraicos al estudio de la Optica. Esta memoria, lo dejé verdaderamente fascinado y desde entonces se dedicé sobre todo, al estudio de las matematicas. En muy poco tiempo, y sin contar con la ayuda de ningin maestro, logré dominar lo que entonces constituia el analisis moderno. Gracias a la obra Instituzioni analitiche (1748), de la compe- tente matematica italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), pudo conocer y dominar los trabajos cientificos de sus ilustres antecesores, Newton, Leibniz, Bernoulli, Euler y Clairaut. En un espacio de tiempo verdaderamente corto, se siente con las fuerzas suficientes como para iniciar sus propias investigaciones, a finales de 1753, en el campo del andlisis matemético, dando asi comienzo a una de las carreras mas brillantes de la historia de las matematicas. En 1754, estudia el Methodus de Euler y se familiariza, mediante esa obra, con el conocido problema de los isoperimetros. Lagrange tiene 18 afos, cuando comienza su correspondencia cientifica con el matematico italiano conde Giulio Carlo de Toschi Fagnano (1682-1766). La primera carta, fechada el 23 de julio de 1754, va firmada de una forma un tanto sorprendente bajo nombre de Luigi De La Grange Tournier; aunque la carta esta escrita en italiano, parece ser que el joven matematico quiere dejar claro su origen francés por parte de padre. Retra ueaol 1¥ asuesseqLa elegancia matematica Lagrange. 46 En esta primera memoria, Lagrange desarrolla un célculo meramente formal basado en la analogia existente entre el bino- mio de Newton y las diferenciales sucesivas de un producto de dos funciones. Desde luego su memoria no es ninguna obra maestra y en ella aparecen las carencias de un joven que trabaja solo y que no dispone de la ayuda de un profesor que supervise su trabajo. Antes de publicarla y mediante una carta escrita en latin, hizo llegar sus resultados a Euler quien por entonces se encon- traba en la Academia de Ciencias de Berlin. Al mes siguiente de publicarse su trabajo, Lagrange se enter6 de que sus resultados ya habian aparecido en la correspondencia entre Leibniz y Johann Bernoulli, que con toda seguridad Euler conocia, Es facil imaginar el disgusto de Lagrange al conocer este hecho, no tanto por no ser el primero en obtener los resultados resefiados, como por la posibilidad de que los demas, sobre todo su admirado Euler, pudieran pensar que él habia copiado los trabajos de otros. Sin embargo, este comienzo poco afortunado no arredré a Lagrange, jtodo lo contrario!. Redobl6 sus esfuerzos con el fin de lograr importantes resultados dentro de las matemiaticas, dignos de ser presentados a Euler. Ante todo, urge eliminar toda sombra de duda sobre su honradez intelectual y para ello, Lagrange procede de manera admirable para un joven de 18 anos, Se da cuenta que la forma mas directa de conseguir su propésito es conseguir el reconocimiento del mas grande matematico vivo, Euler. Conoce su obra ~ya mencionada— Methodus inveniandi... que contiene las ideas basicas de ‘una nueva rama de las matematicas, que esta empezando a configurarse y que s6lo el gran analista de Basilea conoce: se trata del calculo de variaciones, como el propio Euler la denominaria afios mas tarde (1766). Bien, ahi es donde hay que atacar. Estas reflexiones, tuvo que hacerlas Lagrange entre septiembre y octubre de 1754, porque el 30 de octubre de ese aio le escribié una carta a Fagnano en la que le da cuenta de que ha resuelto el problema de la curva taut6- crona (0 is6crona), por métodos puramente analiticos. Este viejo problema data de 1673 y consiste en construir un péndulo cuyo periodo sea independiente de la amplitud de oscilacion. Christiaan Huygens (1629-1695), en su obra Horologium Oscillatorium (1673, Péndulo oscilatorio), resolvid este problema ideando un péndulo en el que la longitud efectiva del hilo dismi- nuya al aumentar el Angulo de oscilaci6n, con el fin de que pueda compensarse la tendencia que tiene el perfodo a aumentar ou la amplitud. Mediante argumentos geométricos, Huygens probé que si se suspende una masa puntual de un hilo que pende del punto de retroceso de una cicloide (curva engendrada por un punto de una circunferencia que gira sobre una recta, sin deslizarse) de forma que, en su oscilacion, el hilo se ajuste al perfil de dicha cicloide entonces la masa puntual recorre otra cicloide similar y su periodo de oscilacién es independiente de la amplitud, por grande que ésta sea. Miscellanea Taurinensia Este trabajo puntual, la resolucién de un problema concreto mediante un método que s6lo Euler domina, no es mas que el ini- cio de un amplio programa original de Lagrange, consistente en la resolucion de un buen namero de problemas de naturaleza diversa mediante un método universal mas general y elegante que el ideado por Euler en su Methodus inveniandi El 12 de agosto de 1755 Lagrange remite una carta a Euler en la que le da cuenta de su solucién analitica al problema de Ja tau- tocrona y le expone, de manera sucinta, su nuevo método ue variaciones, puramente analitico, para la resolucién de los mas diversos problemas encuadrados dentro de lo que hoy llamamos calculo de variaciones. agueszey] uaaol 13La elegancia matematica Lagrange. Este primer gran trabajo general y sistematico de Lagrange, al que se refiere en la carta, fue publicado afios mas tarde bajo el titulo Essai d'une nowwelle méthode pour déterminer les médxima et minima des formules intégrales indéfinies (1762, Ensayo sobre un nuevo método para determinar los maximos y minimos de las fun- ctones integrales indefinidas). Lagrange siempre se mostré orgulloso de su primer gran logro cientifico, cosa que no puede extrafar si se repara en el hecho de que tenia 19 afios cuando se convirtié en cofundador de una nueva rama de las mateméaticas: el céleulo de variaciones. Mientras esperamos la contestacion de Euler, y por la tras- cendencia que ésta tuvo para la vida del joven Lagrange, conviene exponer algunos problemas, que en adelante llamaremos problemas variacionales, que fueron resueltos de manera global por Euler en su Methodus inveniandi... y por Lagrange en su Essai dune nouvelle méthode..., mediante sendos métodos generales, Estos ejemplos y otros muchos que se presentan en las matemati S, en la fisica 0 en la economia pertenecientes al calculo de variaciones, tienen una estructura comiin: en todos ellos aparece el concepto de funcional como una generalizaciOn directa del concepto de funcion que contiene a ésta como un caso particular. Si C es un conjunto de elementos cualesquiera, ntimeros, puntos del espacio, curvas, funciones, superficies 0 incluso estados o movimientos de un sistema mecanico, a los cuales los denotare- Mos por x, y sia cada elemento x le asociamos un namero y, decimos que sobre el conjunto C hemos definido un funcional y=FQ@).En el caso particular en que C sea un conjunto numérico entonces y = F (&) sera una funcién de una variable; si C esta constituido por los pares ordenados (x, y), © puntos del plano, el funcional z =F (x, y) es una funcién de dos variables, etc, En los problemas variacionales sefalados, y en muchos otros, siempre se trata de encontrar entre todos los elementos de Problemas variacionales La reina Dido Parece ser que fue la reina Dido, fundadora de Cartago, el primer ser humano que resolvié un problema de naturaleza variacional. Dido, fue una princesa fenicia hija del rey de Tiro. Cuando murié su padre ella hered6 el trono, pero mds tarde lo perdié a manos de su hermano pequerto, quién asesiné al esposo de Dido. Esta tuvo que huir de Tiro con alguno de sus fieles amigos y tras una serie de peripecias todos recalaron en las costas africanas, Dido, pidid a los habitantes de esas tie- rras “tanta tierra cOmo pudiera contener la piel de un toro”. Una vez que le fue concedida la modesta peticion, ella corl6 la piel en delgadas tiras y aprovechando la costa, dispuso las tiras de forma que rodearan una superficie semicircular, sobre la cual se fund6 Cartago. La inteligente reina resolvié de esa manera un problema variacional de los ilamados isoperimétricos. Este problema se podria enunciar ast: De todas las superficies limitadas por curvas cerradas, sin puntos dobles y de la misma longitud, la de mayor area es el circulo. Este problema de isoperimetros se encuadra dentro de los lamados problemas de méximos. Principio del minimo Muchos fenémenos naturales se rigen por lo que suele lla- marse principio del minimo. Herén de Alejandria (s. I d.C.), estudié uno de estos fendmenos: el de la reflexién de la luz. Herén descubrid que la >> aSuesgeq uaaol 14La elegancia matematica Lagrange. 50 igualdad de los dngulos de incidencia y de reflexién formados por un rayo de luz al chocar con un espejo plano, hace que la trayectoria del rayo al moverse desde su fuente hasta el punto reflejado, sea minima. Este es uno de los principios basicos de la Optica geamétrica, Pierre de Fermat (1601-1665), demostré que la refraccién de la luz, esta regida por el principio del minimo. Fermat probé que cuando un rayo de luz pasa de un punto P a otro P’ de un medio distinto, el rayo sigue la trayectoria que requiere un menor tiempo. En el libro segundo de los Principia, y al estudiar el movimiento de los cuerpos en el agita, Newton plantea un problema variacional de minimos: Newton se pregunta qué contorno debe tener una superficie de revolucién que se mueve con velocidad constante para presentar una resistencia minima al movimiento, si la resistencia del agua, en cualquier punto de la superficie del cuerpo, es proporcional a la componente de la velocidad que es normal a la superficie. La solucién completa a este problema, s6lo esbozado en los Principia, ta dio Newton en 1694, en una carta dirigida a James Gregory (1638-1675). Aunque en su trabajo, Newton utiliza técnicas distintas a las usuales del cdlculo de variaciones, en la terminologta variacional el problema podria planiearse asi: Encontrar una funcién desconocida y(x), tal que haga minima la integral ix * yOow'Goy? “J 1+ VO La braquistécrona En el Acta Eruditorum de junio de 1696 Johann Bernoulli, fiel a su costumbre de retar a sus colegas con problemas matemdticos, propuso a éstos el famoso problema de ta braquist6- crona. El problema estaba planteado en estos términos: Entre todas las curvas que unen los puntos M, y M,, se desea encontrar aquella a lo largo de la cual una particula sometida a ta accion de la gravedad, sin velocidad inicial, descartando la friccion y la resistencia del aire, se mueve desde M, a M, en el menor tiempo posible. Este problema, puede anunciarse en lenguaje variacional como un problema de minimos condicionados: Entre todas las funciones y = f (x) que verifican las condiciones £ (0) = 0, £ (%) =y» (M, (0,0); My (%, ¥2)), hallar la que minimice la integral 2 ippaye: Ts eee asl aes Wag J, vy El problema en cuesti6n fue resuelto de manera independiente por Newton, Leibniz, Johann y Jakob Bernoulli y LH6pital utilizando distintos métodos no analiticos. Todas las soluciones se publicaron en el némero de mayo de 1697 del Acta Eruditorum. M, M, >> aZueiZe7] uaacl 19La elegancia matemdtica Lagrange. 52 La superficie de revolucién de drea minima Entre todas las curvas que unen dos puntos del plano M, CtpXz) ¥ My (XY), se desea hallar aquella cuyo arco engendra ta superficie de menor area, al girar alrededor del eje OX. Este problema se puede considerar como un problema tipico de minimos condicionados del cdlculo de variaciones que podriamos enunciar ast: Hallar la curva de ecuaci6n y = f) con la condicién de que f (X,) =, y F(X) = y, y tal que haga minima la integral 2 s-2ef yVl+y'? dx 4 Euler probo que la curva f(x) es la catenaria. El problema isoperimétrico Desde el punto de vista analitico, el problema isoperimé- trico basico puede formularse de la manera siguiente: De todas curvas de ecuaciones paramétricas x = x (t), y=y () (t St st), con la condicion de que sean cerradas, es decir, x (t) = x(t) ey (t) = y (t), sin puntos dobles y con la condictén de que la longitud L = J'? 4°? + y® at, sea constante, hallar la que haga maxima Id integral cs J -| (xy'— xy) at i C que verifican unas condiciones de contorno dadas, aquél que (x) tome un valor extremo, maximo 0 hace que el funcional y = minimo. En el calculo de variaciones, se consideran funcionales defi- nidos sobre un conjunto C de funciones. Como veremos enseguida, fue Euler el primero en darse cuenta de la intima relacién entre los problemas sefialados, y el primero en ofrecer una solucién general para todos ellos. Euler encontré que para que una funcién de C proporcione un valor extremo al funcional correspondiente, tiene que verificar una cierta ecuaci6n diferencial y como sabemos muchas de las relaciones cuantitativas de la mecanica y de la fisica en general, se expresan mediante ecuaciones diferenciales. Todo ello llev6é a Euler a considerar muchas ecuaciones de la mecanica y de la fisica en general como condiciones extremas de determinados funcionales, de manera que las leyes de la fisica podian anunciarse en la forma de exigir un valor extremo, en general un minimo, para determinadas cantidades. En definitiva, ciertas leyes fisicas se podrian enunciar en términos de principios de minimo, lo cual hizo posible un nuevo métoco de resolucién de muchos problemas fisicos consistente en buscar los minimos de los correspon- dientes funcionales. Hay, sin embargo, algunas leyes fisicas como el segundo principio de la Termodinamica, que se enuncian en términos del “principio de maximo”. Sin embargo, desde el punto de vista historico no fue un problema fisico, sino geométrico, el que llev6 a Euler al calculo de variaciones. En 1728, Johann Bernoulli propuso a Euler encontrar las curvas geodésicas de una superficie. Una geodésica es una curva de una superficie, tal que en cada uno de sus puntos la normal principal es normal a la superficie. Euler tuvo en cuenta la propiedad a8uesZeqy usaol 13La elegancia matematica Lagrange. w S de las geodésicas, de ser las trayectorias sobre una superficie que tienen longitud minima, entre todas las curvas que unen dos puntos dados de esa superficie. Enel caso de una superficie plana, el funcional que hay que hacer “VT +GO) dx yla geodésica es el segmento rectilineo de extremos GLY) ¥ G2). minimo viene representado por la integral J aie Fue por tanto Euler, el primero que se propuso resolver el problema de las geodésicas, y los que hemos citado anteriormente mediante el empleo de un método general. Se propuso calcular los extremos del funcional el J=)F& wy) dx ei El sabio suizo pudo demostrar que la funcion que hace maxima o minima a la integral J ha de ser una funcion y=y (x), que verifique la ecuacion diferencial ordinaria Si transcribimos la notaci6n utilizada por Euler a notacion moderna, la ecuaci6n diferencial anterior se puede expresar asi: ee Esta ecuacién publicada en 1736, es la ecuacién basica del calculo de variaciones y se llama ecuaci6n de Euler, Es una ecua- cin diferencial ordinaria de segundo orden en y @). Ahora bien, la solucién de esta ecuacién diferencial y =y(x, C; C,), contiene dos constantes arbitrarias, que pueden determinarse teniendo en cuenta las condiciones de contorno ¥ GC; C,) = vs y (Ky, C C,) = y,. La bisqueda de soluciones que sean curvas extremales para la funcién integral J (funcional), equivale a la resoluci6n del siguiente problema de contorno de ecuaciones diferenciales: en el intervalo [x,,X,], encontrar aquellas soluciones de la ecuacién de Euler, que tomen los valores y, ey, en los extremos de dicho intervalo. Conviene recordar, que la soluci6n del citado problema de contorno s6lo proporciona un posible extremo para la integral J(y). En definitiva, el método de Euler puede resumirse como sigue: Para que una funcion y = y (x) haga m4xima o minima la integral 29h JD=) FG yy )dx a ha de verifiear la ecuacién basica de Euler. Entre 1736 y 1744, Euler aplicé su método para resolver problemas cada vez mas dificiles, como el de los isoperimetros. Para funciones integrando mas complicadas que F (x, y, y’), la ecuacién diferencial basica result manifiestamente insuficiente, y el genio suizo tuvo que recurrir a su inmenso ingenio, para encontrar ecuaciones diferenciales andlogas a la ecuaci6n basica, y poder resolver asi, un buen nimero de problemas variacionales. Todos los resultados anteriormente resefados, los publicé Euler en su famoso, y ya citado libro, Methodus inveniandi..., que Lagrange habia estudiado a fondo. Si bien puede afirmarse que con la publicacién de esta obra, el cdlculo de variaciones alcanza verdadera categoria de nueva rama de las matematicas, no es menos cierto, que los trabajos contenidos en ella presentan algunas importantes limitaciones de las que el propio Euler era consciente: en primer lugar el método no era suficientemente sistematico ni general, como para no precisar gran ingenio y capacidad de cAlculo, en la resolucién de un gran ntimero de problemas variacionales, y en segundo lugar, la metodologia utilizada por Euler tenia la complicaci6n adicional de presentar una mezcla de estilos, geométrico y analitico-diferencial, que la hacfa bastante farragosa. La soluci6n a estas limitaciones constituye el nticleo central de la carta remitida por Lagrange a Euler el 12 de agosto de 1755. asueiZe] usaol 13La elegancia matematica Lagrange. 56 EL método de Lagrange Veamas como procede Lagrange al atacar el problema bdsi- co del cdlculo de variaciones, es decir, entre todas tas curvas de extremos P (X,Y), ¥ Q(XpJo), encontrar la curva y (x) que haga maxima o minima la integral x d=] Fs wy) de En lugar de variar las ordenadas de ta curva y(x), tal y como hizo Euler, Lagrange introduce nuevas curvas entre los puntos extremos P y Q, a las que representa de la forma YOO) + dyO) donde 6 es el simbolo que Lagrange introduce para seftalar la variacton de la curva entera y() La aparicion de una nueva curva en el integrando de J, produce un incre- mento en la integral que Lagrange expresa por medio de Al, es decir, ava]? [Fos y +899 +89) ~ Fes yy ]ae Ahora bien, aunque F es una funcién de tres variables x, ye y’, en el integrando de AJ x permanece constante, y por ello Lagrange aplica al integrando, el teorema de Taylor para funciones de dos variables y e y'. Esto le permite escribir AJ, de la manera siguiente: 1 1 AJ = 8F + — 527 + 8 +... 2 3! Lagrange llama ahora a &J, la primera variacién; 8J es la integral de los términos de primer grado en dy y en Sy’. Llama segunda variaci6n a 5*J, que es la integral de los términos de segundo grado en dy y dy’, y asi sucesivamente. Es decir, ae . i= J [6 +H," 6 =] CON 128, Biv) +h (Grae Lagrange afirma ahora, que los vatores de 5°J, 6°J,..., son muy pequerios frenie a los valores de 6J y por tanto el signo de AJ viene determinado por el signo de 6. Ahora bien, como Al debe conservar el signo en un cierto entor- no de un maximo o de un minimo, entonces &I debe ser nula para aquella fancion y(x) que garantice un extremo para la integral J. SY yo), Yo) s ; aia Syne GOD Lagrange escribe a continuacion, 8y’ = de Y asegura que el orden en las operaciones d y 5 puede cambiarse, ¢osa que, siendo correcta, s6lo pudo probarse mucho mds tarde. Teniendo en cuenta la igualdad anterior, Lagrange escribe la primera variacién de la forma siguiente: { E Bs f Cpe eae A continuaci6n, integra por partes el segundo miembro de la igualdad anterior, y afirma que la parte integrada se anula debido a que Sy(x) es nula en los extremos de integracién, Sy (x) = 0, &y Cry) = 0. Se obtiene asi, *2 oJ = a Ahora bien, como & = 0 para cualquier variacién dy de la funci6n y (x), Lagrange deduce que el coeficiente de dy debe ser os nulo, es decir, Fi F,-2&) =o. Llega asi, a la ecuacién diferencial bdsica del cdlculo de variaciones 0 ecuaci6n de Euler. agueiZe] uaaol 13La elegancia matematica Lagrange. Ya en esta carta, que contiene su primer trabajo importante, queda patente el estilo Lagrange: primero, resumen histérico de los resultados de sus antecesores en la resolucién de problemas variacionales, en particular de los del propio Euler, para a conti- nuaci6n atacar directamente el problema de generalizar el método de Euler mediante un procedimiento puramente analitico, desarrollado por medio de una elegancia formal hasta entonces desconocida, y nunca superada. Debemos sefialar que la demostracion rigurosa de que el coeficiente de dy tiene que ser nulo, es decir, que = te @y)=0 no la logré P. F. Sarrus hasta un siglo mas tarde, en 1848. Este resultado, que hoy se conoce con el nombre de lema fundamental del calculo de variaciones y que fue_establecido inicialmente por Euler y corroborado después por Lagrange, nos da una condicién necesaria que y(x) debe cumplir para que la integral J tenga un extremo, pero no es una condici6n suficiente. Euler y Lagrange sabian esto, y ellos aseguraban el maximo o el minimo de J utilizando las consideraciones fisicas 0 geométri- cas especificas de cada problema. Las condiciones de suficiencia para garantizar la existencia de un maximo 0 un minimo para la integral J, fueron estudiadas en el siglo XVIII por Laplace y Legendre, basandose en el estudio de la segunda variacién 8°J, sin resultados satisfactorios. Las condiciones de suficiencia fueron establecidas de manera definitiva en el siglo XIX, gracias a los trabajos de los ilustres discipulos de Euler y Lagrange: Poisson, Hamilton, Jacobi, Hesse y Weierstrass, entre otros. Ademas de su método general de calculo de variaciones, Lagrange remitié a Euler, en la citada carta de 1755, una utiliza- cion de su método en la resolucién de problemas de maximos y minimos condicionados. De manera genérica, estos problemas responden a un planteamiento tfpicamente variacional: se trata de La braquistocrona Conviene ilustrar ef método Euler-Lagrange, mediante una aplicacién practica a un problema concreto como, por ejemplo, el de la curva de descenso mds rapido, la braquistécrona. Consideramos como punto de partida el origen de coordenadas P (0, 0) y como punto de llegada el punto Q CVs). Sea y= (x), xe [0,x,], la ecuacion de una funci6n arbitraria continua y derivable en el intervalo, [0, X»]. Como la curva que representa a la funci6n y = f(x) pasa por los puntos P y Q, debe verificar la condici6n f (0) = 0, f (2) = ¥» En un punto cualquiera M (x, y) de la curva situado entre fet y Q, la velocidad de la masa puntual se puede expresar en t fun- ci6n de la ordenada del punto, mediante la ecuacion v = \ 2gy. El tiempo que se necesita para que el punto material reco- rra un elemento de arco de curva ds, viene dado por v y por tanto el tiempo total de descenso de la masa puntual desde P hasta Q, vendra dado por 2 Aloe T 1 \ Ni+y de V2g y 0 Aplicando ahora el método Euler-Lagrange, la cuestién se reduce a encontrar, entre todas la curvas y = f (x) que verifican o|P x eSueuge7 uaaol 13La elegancia matematica Lagrange. 60 determinar la curva que une dos puntos A y B, de abscisas respectivas x = a y x= b, que haga que la integral b Ja] FG yy de tenga una valor extremo, con la condicién de que una segunda integral 6 Ka] Gey yax a tomada a lo largo de la misma curva, tome un valor dado. Establecido el problema en esto términos, las dos condiciones siguientes deben verificarse simultaneamente, bs =0, 6K=0, las condiciones de contorno f (0) = 0, f (Xp) = ¥, aquella que haga minima ta integral yee ease / 72 x, NI + JQ) = f Pein a ‘ees e a vy y En nuestro caso, la ecuacion de Euler es: 1 Vi+y? d y’ Ned 2 yy dk Vy Vie y? | Después de operar y simplificar, la ecuaci6n se puede redu- cir a la forma: Muttiplicando los dos miembros de la ecuacién anterior por Y' e integrando luego, se obtiene in(l+y*)=-Iny+ink que puede reducirse a Para lo cual es necesario que se verifique que también 8) + 25K =0 Siendo 4. una constante arbitraria (multiplicador). La igualdad anterior nos dice que, para la curva soluci6n del problema, es nula la variacién de la integral b J+AK = ie [FG yy") +AGGx y, y'J]dx Seguin esto, el problema inicial es equivalente al de hallar la curva para la cual es maximo o minimo el valor de esta Ultima integral; obtendremos asi la correspondiente ecuaci6n diferencial cuya integral general tendra tres constantes arbitrarias, las dos constantes de integraci6n y la constante A que hemos intro- o bien y dy =4dx key: La ecuacién diferencial anterior, de variables separadas, se puede integrar facilmente mediante el cambio de variable k k 5 C1608 0, de donde dy = sent at Sustituyendo en la ecuacién diferencial anterior y simplifi- cando, nos queda, k ae cos t)dt =4+ dx que integrada, nos da: x =+ 4a t—sen t) + C. De la condicién de contorno, f (0) = 0, se obtiene que C = 0, y por tanto deduci- mos que la braquistécrona (o curva de descenso mds rapido) es la cicloide de ecuaciones paramétricas: x = 4a = sen 0); y=£(1 ~ cos 1). El valor de ta constanie k, puede obtenerse de ta condicién de contorno, f (x3) = ¥>. asuessey] uaaol 14La elegancia matemdtica Lagrange. ducido. Las dos constantes de integraci6n se calculan utilizando la condicion de que la curva pase por los puntos A yB,yaAse puede calcular usando la condicién de que la integral K tenga el valor pedido. Empecemos ilustrando este método de Lagrange, para el caso elemental de una funcion de dos variables, u = (x, y), donde las variables x e y estan ligadas por una condicion (una ligadura), Se trata de calcular los extremos de la funcién u = f (x, y), sabiendo que x € y estan ligadas entre si por medio de una ecua- cién g (x, y) =0. qa) Aunque (1) defina a y como funcion implicita de x, no suele ser facil despejar a y en funcién de x; en los casos en que esto pudiera hacerse, entonces u = f (x, y) se podria considerar como una funci6n explicita de una tinica variable independiente x, cuyos extremos se calcularian con facilidad. Si y no puede expresarse de forma explicita en funcion de x, entonces podemos resolver el problema, planteéndolo de la siguiente manera: en todo caso, la derivada de u respecto a x debe ser nula, para aquellos valores en los que u tenga un extremo. Hallemos Sten la ecuaci6n u = f (x, y), teniendo en cuenta que y es funcién de x: Lae Nea oy ox En los puntos en los que u = f (x, y) tenga extremos, se verificara: a i @) ox Derivando en la ecuacion (1), se obtiene: ace eo @) Esta igualdad es valida para todos los valores de x e y que satisfacen la ecuacion g (x, y) = 0. Si se multiplica la igualdad (3) por un coeficiente indeterminado t, y sumamos dicho producto a los términos de la igualdad (2), obtenemos: ao ty\,,(% , & ty )_y 4 +H) ta hy & o bien | bY 9 (4) Esta igualdad es cierta en todos aquellos puntos en que la funci6n u =f (x, y) tiene extremo. Elijamos t, de manera que para los valores de x e y corres- pondientes a un extremo de la funcion u = f (x, y) la expresion f A} am ars noe de la igualdad (4) se anule, entonces para dichos y | \ oy) valores de x e y se deduce de la igualdad (4) que: & Ee iy ox Asi pues, en los puntos extremos de la funcion u = f (, y) se satisfacen las tres ecuaciones; 6) g Gy) =0 Con estas tres ecuaciones se pueden determinar las tres incégnitas x, y, t. Las ecuaciones (5) son condiciones necesarias para la existencia de un extremo de la funcién u =f (x, y) con la ligadura g (x, y) = 0; es decir, en los extremos de la funcién se cumplen las ecuaciones (5). Sin embargo, la proposicién recipro- 1} agues3e7 uaaolLa elegancia matematica Lagrange. 64 ca no es cierta, ya que la funcion puede no tener extremo para los valores de x, y, t que satisfagan las ecuaciones (5). Hoy en dia, se puede realizar un estudio analitico adicional sobre las condiciones de suficiencia para la existencia de extremo, pero en tiempos de Lagrange el estudio de la naturaleza del punto 1 cas propias de cada problema concreto. ico se realizaba mediante el andlisis de las caracteristi- Lagrange observ6 que los primeros miembros de las ecuaciones (5), son las derivadas parciales de la funcién Fay D=fG y) +tg& y) (6) respecto a las variables x, y, t, respectivamente Es decir, para hallar los valores de x e y que satisfacen la condicién g (x, y) = 0 (una ligadura), para los cuales la funcion (x, y) pueda tener un mximo o un mfnimo ligado, se forma la funcion auxiliar (6) y se calculan los posibles m&ximos 0 minimos libres de dicha funcién (6), igualando a cero las tres derivadas parciales de la funcidn auxiliar (6), respecto a las variables x, y, t. EI método anterior se puede extender al estudio de los extremos ligados de una funci6n u = f (%,,x,,...,x,) de n variables, con la condici6n de que las variables XXq,-.X, estén ligadas mediante m ecuaciones (m< n): 8, Oy, Xp)--.X,) = 0 x) =0 (7) n Bo (KX, Ben (Xqr Kaye os Bp, Se construye la funcién auxiliar, Fp gree Xyotystonscsitig) = Fp Ayreon My) + ty (pay + typ OKsXo.- sR) + a + bn Oy sKyre-s%)> Como se ve, se introduce un parametro t, por cada una de las condiciones g, que liga a las variables x,. Para calcular los puntos criticos de la funcién auxiliar F, se igualan a cero, las derivadas parciales de F respecto a las variables x,, 8) arate te on 9 a Las ecuaciones (7) y (8) forman un sistema de m +n ecuaciones que nos permiten determinar las incdgnitas X),X2,....X), asi como los parametros auxiliares (multiplicadores) t,,ty..-..t),- Como en el caso de una funcién de dos variables, subsiste el problema del estudio posterior de las condiciones de suficiencia que garan- ticen la existencia de un extremo de la funci6n u = f (%),%),..45%,)+ para los valores de las incégnitas encontrados mediante la resolucion del sistema anterior. Este método elegante y eficaz que proporciona una condicién necesaria para la existencia de un extremo de la funci6n, se deno- mina desde entonces método de los multiplicadores de Lagrange. Como ya se ha dicho, en estos trabajos remitidos a Euler por carta y mas tarde publicados en la memoria titulada Ensayo sobre un nuevo método para determinar los maximos y minimos de las funciones integrales indefinidas (1762), habia depositado Lagrange sus esperanzas de disipar la minima sombra de duda que pudiera haber sobre su honradez como matemiatico. Y no se vieron defraudadas esas esperanzas, pues la rapida contestacién de Euler, el 6 de septiembre de 1755, dejaba meri- dianamente establecido que Fuler reconocia la superioridad del asueuse] uaaol 13 aLa elegancia matematica Lagrange. 66 método variacional de Lagrange sobre el suyo propio, y animaba al joven turinés a redoblar sus esfuerzos en pos de la consecu- ci6n de nuevos logros. Los multiplicadores Un ejemplo elemental de la utilizacién del método de los multiplicadores de Lagrange puede ilustrarse con el siguiente problema de extremos ligados: Con un trozo de chapa de rea 2a se desea construir una caja cerrada con forma de paralelepipedo, rectangular, que tenga volumen maximo, : Si designamos por x, y, z la longitud, la anchura y la altura, respectivamente de dicha caja, el problema se reduce a la obtenci6n de un maximo de la fancion v = f (x, y, z) con la con- dicién de que 2xy + 2xz-+ 2yz = 2a La ligadura entre las tres variables x, ¥, Z puede expresarse de la forma xy +. xz+yz-a=0 (20, y>0, 2>0) y como v= f(%¥,z) = xyz, podemos formar la funcién auxiliar FO%Y,2,0 = xyz + Uxy + xz +yz-a). Hallamos las derivadas parciales de F(x, 2,0 respecto a las cada una de las tres variables, e igualdndolas a cero, se cons- fruye un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incégnitas x, y, 2, |, al afiadir la condici6n de ligadura, a saber: yert(y+z)=0 xZti(x+z2)=0 w+i(x+y)=0 xy+xz+yz-a=0 El reconocimiento de Euler garantizaba el reconocimiento de todo el mundo matemiatico de esa época, y en Turin tuvo efectos inmediatos. Despejando el valor de t en este sistema, se obtiene: t=” introduciendo este valor en las tres primeras ecuaciones del sistema, obtenemos: 3x. tie te w+ | ea) \ 2 1-ore |a0 meee ox SU) =0 Ahora bien, debido a la naturaleza del problema, los valores de x, y, z son distintos de cero y por tanto los primeros fac- tores de las ecuaciones anteriores, son no nulos. De todo ello se puede deducir que: = Yt+ga= De las dos primeras ecuaciones se deduce que x=y, y de las dos tiltimas que y = z. Si ahora se tiene en cuenta la condicién de ligadura entre las tres variables, podemos concluir que: » 2h@+D=1, Sf ety) =1, 2a 2a Hoy en dia, se puede demostrar analiticamente que para estos valores de las variables independientes, la funci6n f(x, ¥,2)=Xy2 tiene un méximo. En ta época de Lagrange, la existencia del méximo se deducia de las condiciones geométricas del problema: el volumen no puede ser infinitamente grande, debido a las limitaciones que vienen impuestas por la superficie de la chapa. En definitiva, el volumen de la chapg_es mdéximo cuando ésta tiene la forma de un cubo de arista Ce asueige] uaaol 13La elegancia matematica Lagrange. 68 El trabajo sobre los anexos de Euler Primer anexo, La forma de una varilla sometida a presion en sus extremos El primer trabajo se referia a un problema propuesto por Daniel Bernoulli, que consistia en encontrar ta forma que adopta una varilla elastica sometida a presién en sus extremos, para tue el cuadrado de la curvatura a lo largo de la varilla, sea minimo. Es decir, la integral J = ia Saat tenga un minimo, siendo s el arco de longitud L y siendo R LY radio de curvatura, Esto es, cuando la varilla adopte la forma buscada, la energia potencial almacenada seré minima. Segundo anexo. Le bean théoréme El segundo anexo es el antecedente directo dei trabajo de Lagrange. Ya hemos hablado, en el capituto anterior, de la agria controversia de caracter teolégico que Euler y Maupertuis sostu- vieron con otros cientificos y filésofos, acerca de lo apropiado de la postura de basar la existencia de dios en el principio de minima accion. Desde el punto de vista puramente fisico, Maupertuis expre- saba la acci6n en la dindmica como la integral del producto de Asi, el 28 de septiembre de 1755, un real decreto nombra a Lagrange profesor titular de la Real Escuela de Artilleria de Turin, con una asignaci6n anual respetable, aunque no fue mejorada en todo el tiempo que duré su estancia en su ciudad natal. ) Con 19 afios, habia logrado un puesto de trabajo fijo y, lo que a él mas le importaba, después de la garantia de Euler ya nadie podia dudar de su talento matematico. la masa por la velocidad y la distancia recorrida, y afirmaba que cada cambio que ocurre en la naturaleza es tal, que hace minima ta acci6n, Maupertuis escribia mus = min. sin hacer referen- cia al intervalo de tiempo en el que consideraba el producto mvs. Euler fue mucho mds preciso. Estudia el movimiento de una particula individual a lo largo de una curva arbitraria, y demuestra que Ia trayectoria descrita por la particula bajo la accién de fuerzas centrales, es ta misma que la que se obtiene suponiendo que ta integral del producto de la velocidad por un elemento de curva es maxima 6 minima. Es deci if aplica el cdlculo de variaciones a la integral de accion Js iP vds. Para que esta integral sea maxima o minima a! uds = 0,'y como ds = v dt, Euler escribe finalmente: ale vids =0 De esta manera, logra probar que la accién de Maupertuis es minima para el movimiento de una particula a lo largo de curvas planas. Finalmente, afirma que los principios fisicos basicos que rigen los fenédmenos naturales, pueden ser expresados de manera que algtin funcional alcance valores extremos, en particular, afirmaba Euler, esto debe ser cierto para los movimientos de los cuerpos sometidos a la accion de fuerzas, que es el objeto de la dindmica. No es exagerado decir, que en sus primeros afios como mate- méatico, Lagrange tuvo en Euler a un verdadero padrino. La gran- deza de espiritu de Euler -en la cima de las matematicas en esa época-, siempre dispuesto a reconocer en su justo valor el trabajo de los demas, fue una verdadera bendici6n para Lagrange. En este punto, no nos resistimos a la tentacién de mencionar cuAan diferente fue el trato dispensado, muchos afios mas tarde, a aSuesZe7 uaaol 13La elegancia matematica Lagrange. 70 dos jévenes matematicos que iniciaban sus carreras, por parte de los ya consagrados. Nos referimos a Niels Henrik Abel (1802- 1829) y Evariste Galois (1811- 1832), ignorados, cuando no boico- teados, por sus ya famosos colegas. Animado por su éxito, Lagrange se propuso atacar un problema que Euler no habia podido resolver de manera satisfactoria: aplicar el método de variaciones a la dindmica, partiendo del principio de minima accién. En estos momentos, el joven genio comienza a concebir su obra maestra, Mecdnica analitica, en la que incluirfa estos primeros grandes logros cientificos. Lagrange, parte ahora de dos trabajos de Euler publicados como anexos de su célebre obra Methodus inveniandi... En su trascendental trabajo, Lagrange parte del resultado mas importante que contiene el segundo anexo de Euler: la trayectoria descrita por una particula bajo la accién de una fuerza central es la misma que la obtenida haciendo que la integral del producto de la velocidad por un elemento de curva, sea maxima o minima. Este resultado de Euler fue calificado por Lagrange de beau théoréme (bello teorema). Para aplicar el principio de minima accion, Lagrange plantea, de forma mas correcta que Fuler, la integral de acci6n, J = fF mv-dt. Como se sabe, el producto Smv? es la energia cinética y, aunque Lagrange le siguié llamando fuerza viva, su valor es la mitad de mv? que era a lo que Euler y los demas matematicos, llamaban fuerza viva o vis viva. En primer lugar Lagrange estudia el movimiento de una particula de masa m, sometida a la accién de fuerzas derivadas de una funcién potencial V(x,y,z), (fuerzas conservativas): La energia cinética T viene dada por: r=tmv?=4m (i! +y2+2%) siendo x, , 2 las derivadas de BS ) : x, y, Z, con respecto al tiempo t. Actuando sobre la coordenada x (t), Lagrange efect@a una pequefia variacién dx(t), con las condiciones de contorno Ox(t,) = &x(t,) =0 Aplicando el célculo de variaciones, Lagrange trata de encontrar la coordenada x =x (t), que haga minima la integral de acci6n. ue i. Tat Al integrar por partes la integral J, el término integrado se anula en los extremos de integracion debido a las condiciones de contorno. Teniendo en cuenta ademas que 6J, debe anularse para que J tenga un minimo, Lagrange obtiene de todo ello una ecuaci6n diferencial andloga a la ecuacién basica de Euler-Lagrange del calculo de variaciones, a saber: 4 (a)|, ¥ 4 dt \ ox ox Procediendo de manera andloga en las coordenadas y y z, se pueden encontrar las ecuaciones: d (aT), Wy me Scum = dt \ dy, oy 3 a) d (aT), W_4 meen Oza maz) Estas tres ecuaciones diferenciales, llamadas ecuaciones del movimiento de Lagrange, equivalen a la segunda ley de Newton Beak A partir de aqui, Lagrange introduce lo que ahora se llama coordenadas generalizadas, fijando la posicién de la particula agueiZe] uaaol 13 NI anyLa elegancia matematica Lagrange. 72 mediante coordenadas arbitrarias Gy do, G3, eventualmente pola- res, cilindricas 0 esféricas, de manera que X= X (qy,y,43) Y= Y (GyGy43) 2= 2 (4y,49,43)- donde las q, son funciones de t, q, = q; (0. Mientras que la energia potencial es funcién tinicamente de las coordenadas q,, la energia cinética lo es de las q,ydes vadas respecto al tiempo us deri- Las ecuaciones de Lagrange (1), en rectangulares, se pueden facilmente transformar en un conjunto de tres ecuaciones de la forma END, he, (2) Estas tres ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en las Gy: . Lagrange demostr6é que sus ecuaciones del movimiento @), obtenidas a partir del principio de minima accién son invarian- tes, formalmente, con respecto a cualquier transformacién de coordenadas. SI utilizamos la funcidn lagrangiana, L ='T — V, las ecuaciones (2) se pueden escribir, Lagrange afirma que se puede aplicar el principio general que ha conducido a las ecuaciones del movimiento (2), a un sistema den particulas, con tal que el ntimero de variables en T yenVsea el requerido para determinar la posicién de cada particula en el sistema. Si para cada una de las n particulas, se necesitan tres coordenadas rectangulares (x, y,, Z;) para describir su trayectoria en cl espacio, entonces bastaran 3n coordenadas q, y 3n ecuaciones que expresen las coordenadas (x,, y,, 7,) en funcién de las coordenadas q;. Por lo tanto habra 3n ecuaciones del movimiento de Lagrange del tipo (2). En fisica, a las coordenadas generalizadas independientes necesarias para determinar la posicién de una particula dentro del sistema, se les llama grados de libertad. Las ecuaciones de Lagrange que, como se ha sefialado equivalen a la segunda ley de Newton, son ecuaciones obtenidas a partir de un principio general y presentan la ventaja, sobre todo cuando se estudian sistemas de un gran nimero de particulas de no precisar conocer las fuerzas que actéan, si bien se necesitan Ja energia cinética y la energia potencial. Ni que decir tiene que Lagrange envi6 este nuevo trabajo a Euler, quién impresionado por la potencia de los resultados de su joven colega, no se conformé esta vez con felicitarle por sus logros, sino que utiliz6 su enorme prestigio para convencer a Maupertuis, a la saz6n presidente de la Academia de Ciencias de Berlin, para que se ofreciera a Lagrange un puesto de matematico en la Academia de Berlin. Aunque las condiciones de trabajo en Berlin eran netamente superiores a las que Lagrange tenia en Turin, éste rechaz6 cor- tésmente el ofrecimiento que se le hizo, a través del propio Euler. Se sentia agradecido, y asi se lo hizo saber a Euler, pero seguramente su natural prudencia y sentido comtn le aconsejaron que era preferible madurar como matematico en Turin, que a la sombra de su padrino en Berlin. Aan asi, Euler y Maupertuis —€ste encantado de observar unos logros tan rotundos de su principio de minima accién— asueige7] udsaol 13La elegancia matematica Lagrange. 74 consiguieron que Lagrange fuera elegido miembro asociado extranjero de la Academia de Ciencias de Berlin, con fecha del 2 de septiembre de 1756. Lagrange tenfa veinte afios. Habian trans- currido tan s6lo dos afios desde la publicacién de su primer trabajo, y ya era miembro asociado de la Academia de Ciencias de Berlin; podia por tanto sentirse satisfecho. Mas que la elecci6n en si, lo que verdaderamente halagaba a Lagrange era el hecho de que el promotor de dicha elecci6n fuera Euler. Animado por estos éxitos iniciales, funda una sociedad cientifica en Turin con un grupo de amigos, la cual se transformar4 con el paso de los afios en la Academia de Ciencias de Turin (1783). Esta sociedad edita una revista, en francés y en latin, con el nombre Miscellanea taurinensia o Mélanges de Turin, y en la que Lagrange publicara los trabajos realizados en su etapa turinesa. Los tres primeros voltimenes de la Miscellanea se publicaron en los aftos 1759, 1762 y 1766. Ni que decir tiene que los trabajos mas importantes publicados en esa revista son de Lagrange, pero ademas, existen fundadas sospechas de algunos de los trabajos relevan- tes de otros autores, son también del propio Lagrange. Se cita, por ejemplo, un famoso trabajo de hidrodinaémica firmado por Daviet de Foncenex (1734-1799), que suscité vivo inte- rés por parte de Daniel Bernoulli. Cuando esté pidi6 aclaracion a su autor sobre algin punto concreto del trabajo, no obtuvo respuesta alguna. Otro trabajo firmado por Foncenex y publicado en el primer tomo de Mélanges de Turin, trataba de las raices imaginarias de las ecuaciones y por trabajos realizados por Lagrange posteriormente sobre el mismo tema, parece bastante probable que fuera Lagrange el que, cuando menos, inspirara el trabajo de Foncenex. En todo caso, esto no fue ningtin obstaculo para que el rey de Cerdefia nombrara a Foncenex ministro de Marina. Desde los veinte hasta los veintitrés afos Lagrange se dedica fundamentalmente al estudio de problemas fisicos relacionados con la propagacién del sonido en el aire y en particular al estudio del famoso problema de la cuerda vibrante. Ademas, estudia la integracion de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que surgen de la resolucién de los problemas fisicos citados, La cuerda vibrante Resulta admirable constatar la confianza en si mismo de que hace gala el joven matemiatico al enfrentase a problemas que ocu- pan en ese momento a los mas grandes matematicos de Europa: D’Alembert, Euler y Bernoulli. Desde diez afios atras, hacia 1746, D’Alembert y Euler venian estudiando los desplazamientos de una cuerda que vibra en fun- cién de dos variables: el tiempo y la distancia de un punto de la cuerda a uno de sus extremos. Los dos matematicos, estudiando por separado y utilizando procedimientos distintos, investigaron los desplazamientos de la cuerda en funci6n de las dos variables al mismo tiempo e intentaron determinar todos los movimientos posibles de la cuerda. Sus investigaciones les llevaron ala misma ecuacion diferencial en derivadas parciales. En una serie de articulos, que titulé “Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa que se hace vibrar”, D’Alembert asuessey uadol 13La elegancia matematica Lagrange. considera la cuerda compuesta por una cantidad discreta de n particulas iguales, situadas a la misma distancia unas de otras y uni- das por un hilo sin peso, elastico y flexible (“collar de cuentas”). Para pasar a la cuerda continua, se hacia tender n a infinito yse hacia tender a cero tanto la masa como el tamafio de cada particula, de tal suerte que la masa total de todas las particulas tendie- ra ala masa de la cuerda. Nos apresuramos a decir que las dificultades de paso al limite que la concepcién resefada comportaba, no fueron bien resueltas por ninguno de los matematicos de esa época. En cualquier caso, fue D’Alembert el primero en encontrar la ecuaci6n correcta de Ja cuerda vibrante, hoy también llamada ecuacion de ondas unidimensional? oy t) ay (x, D ee ax? re) donde a? = sién de la cuerda, que se supone constante cuando la cuerda vibra y 6 es la masa por unidad de longitud). Six=0y x= son los valores de x en los extremos de la cuerda, entonces la solucion de la ecuacion diferencial (1), tiene que verificar la condicion de contorno yD =0, ycf,t) =0. Ademas, la solucién de la ecuacién debe cumplir con las condiciones iniciales: ( dys, t) a {dt feo yG, 0) = 169), ya que en el instante t = 0, al tensar la cuerda, ésta adopta un perfil inicial dado por la curva y = f(x), y al soltarla cada particula comienza a vibrar con una velocidad inicial nula, Después de diversos calculos, efectuados cada uno por su lado, y con distintos métodos, D’Alembert y Euler concluyeron que la solucién general de la ecuacién de la cuerda vibrante, viene dada por la expresion: y@, = sHat +X) - sree —x) en la que F tiene que ser una funcién impar y periédica, de periodo 22 Por otra parte, y debido a la condicién inicial y (x, 0) =f (), tiene que verificarse que F(x) = f(x), para los valores de x del intervalo cerrado [0,f] y por tanto habra una solucién particular de la ecuaci6n (1), para cada curva inicial y = f(x). Hasta aqui, procedimientos aparte, las conclusiones de Euler y D’Alembert son idénticas. Las divergencias surgieron a la hora de considerar qué fun- iones pueden resultar admisibles como curvas iniciales, y por tanto como soluciones particulares de la ecuacién diferencial (1). Para D’Alembert una funci6n era tal, si era analitica, lo que significaba, en su época, que la variable independiente y la variable dependiente estuvieran relacionadas mediante un Gnica ecua- cién, construida a partir de operaciones algebraicas y las reglas del cAlculo infinitesimal. La forma de la ecuacién podfa ser, desde luego, explicita o implicita. Ademias, crefa que en el caso que nos ocupa, F (x) y f (@&) por coincidir en los valores de x que pertenecen al intervalo [0,0], tienen que ser iguales para cualquier valor de x, fuera del intervalo. Por lo tanto, si F(x) es impar y periédica, f(x) tam- bién tiene que serlo. D’Alembert afirma finalmente, que dado que y (x, t) es solucion general de la ecuaci6én de la cuerda vibrante, tiene que tener derivadas segundas y como y (x, 0) =f (x), también la funcién de la curva inicial f(x) tiene que ser derivable hasta cl segundo orden. ague4Ze] usaol 13La elegancia matematica Lagrange. 78 En resumen, para D’Alembert las funciones admisibles como curvas iniciales debian ser muy limitadas: expresables mediante una Gnica ecuacién, continuas y derivables hasta el segundo orden, Euler por su parte, tenia una idea mas general del concepto de funcion, Ademas de las funciones consideradas como tales por D’Alembert, admitia también como funciones a las definidas a trozos y por tanto no expresables mediante una Gnica expresion analitica. Por ejemplo, Euler consideré como funcion la formada Por un polinomio de segundo grado en el intervalo (a, b) y otro de tercer grado en el intervalo (b, c). A ésta y a otras muchas funciones similares, les llamaba Euler discontinuas, aunque a la luz de los conceptos actuales, algunas eran continuas y no derivables, otras continuas y de derivada discontinua y por tltimo, otras propiamente discontinuas. Si bien estas funciones no s pueden expresar mediante una ecuaci6n tnica, Euler apoy6 con razones matematicas su inclu- sion dentro del conjunto de curvas iniciales, Consider6 como admisibles curvas mucho mas amplias, como las trazadas a mano, de las que s6lo interesa su comportamiento en el intervalo [0,€], sin importar la parte cle curva restante. Ademas, aunque y (x, t) debe ser peridédica respecto a x, Euler admitia como curva inicial a una funcién definida de manera arbitraria en [0,0], ya que puede resultar periddica si se repite en cada intervalo [né,(n+1)¢], con n entero, Ni que decir tiene, que D’Alembert rechaz6 de plano la posibilidad de que las funciones discontinuas de Euler pudieran con- siderarse admisibles como curvas iniciales. En la abundante correspondencia entre ambos matem4ticos mantenida entre los afios 1747 y 1749, no se observa ni una minima aproximaci6n entre las posturas que cada uno mantenfa. Cuando Daniel Bernoulli tuvo noticias de la controversia entre sus dos famosos colegas, entré inmediatamente en liza con la publicacién de una serie de articulos sobre la cuerda vibrante, en los que exponia sus ideas que, segtin él, databan de la década de los afios treinta de ese siglo. En los citados articulos, publicados entre 1750 y 1755, Hernoulli ironizaba acerca de los trabajos de sus colegas, que calificaba de abstractos, para dar a continuacion sus ideas fisicas sobre el problema en cuestién. Resumimos alguna de ellas: “| una cuerda musical tensa puede producir sus vibraciones is6cronas de muchas maneras, incluso de acuerdo con ta teoria ca infinitas maneras..., y en cada momento emite una nota superior o inferior. El primero y més natural modo tiene lugar cuando la cuerda produce en sus oscilaciones un sélo arco; se produce entonces la oscilacién mas lenta y se emite el tono mds bajo de todos los posibles, fundamental respecto al resto. El siguiente modo ige que la cuerda produzca dos arcos opuestos, uno a cada lado de la posicion de equilibrio de la cuerda, siendo entonces la os- cilaci6n el doble de rapida y emitiéndose ahora ta octava del sonido fundamental...” Bernoulli afirma de manera rotunda que ambos sonidos, el fundamental y un arménico superior, pueden existir simultaneamente, D’Alembert y Euler comparten todas estas consideraciones fisicas de Bernoulli pero discrepan con sus ideas acerca de las posibles curvas iniciales. En efecto, Bernoulli considera que cual- que sea, se puede expresar quier curva inicial, por arbitrari: mediante la serie trigonométrica, nx f@= Yia,sen oo fel ya que se dispone de suficiente nimero de constantes a, como para asegurar que la serie se pueda ajustar a cualquier curva inicial, incluso curvas tan arbitrarias como las trazadas a mano. aguesgeq] uaaol 14 79La elegancia matematica Lagrange. 80 Ademas, concluye Bernoulli, todos los posibles movimientos de la cuerda vienen dados por: , nax. nrct yx, t) a,sen ——cos —— Llegados a este punto, hay que decir que, si bien Bernoulli tenia raz6n en sus afirmaciones, no aport6 ningan argumento matematico que apoyara sus consideraciones de caracter fisico. Euler sostenia que Bernoulli tendria raz6n en estos tltimos argumentos, si cualquier funcién por arbitraria que fuese, pudie- Ya representarse mediante una serie trigonométrica, lo cual era imposible en su opinion. Euler aducfa que la solucién de la ecuacién de la cuerda, vibrante, que D’Alembert y él habfan encontrado, es de la forma, y@, = sex + ct) + she -ct) donde F puede ser una funci6n discontinua, como él habia demos- trado, pero de la misma forma que ese tipo de funciones no puede ser expresada mediante una serie de Maclaurin, tampoco una serie trigonométrica podia ajustarse a ellas. Como maximo, concedia, las series trigonométricas de Bernoulli representaban soluciones particulares de la ecuaci6n diferencial de la cuerda vibrante, aquellas que corresponden a curvas iniciales que sean analiticas. En cuanto a D’Alembert, la posicién de Bernoulli de que prac- ticamente cualquier funci6n arbitraria puede ser admisible como curva inicial, le resultaba sencillamente absurda, Durante mas de diez afios, estos tres matematicos mantuvieron sus posiciones iniciales sobre el problema de la cuerda vibrante, sin que faltaran los comentarios ir6nicos, cuando no sarcasticos, sobre las opiniones ajenas. Esta contumacia en no dar el brazo a torcer, podria estar motivada por la necesidad de no comprometer el extraordinario prestigio personal que cada uno tenia en el mundo cientifico de entonces, amén de la con- fortable posicion social que disfrutaban en las cortes ilustradas de la época. Asi estaban las cosas cuando, en 1759, aparece el importante trabajo de Lagrange titulado Recherches sur la nature et la propa- gation du son Unvestigaciones sobre la naturaleza y la propagacién del sonido). En el prdlogo de este trabajo, Lagrange expresa claramente cual es el propdsito que le anima: “Luchar contra el prejuicio de aquellos que opinan que las ‘as nunca podrian contribuir al verdadero conocimiento de Matemiti la Fisica’. Aunque Lagrange conoce los trabajos realizados por Euler sobre la propagacion del sonido en el aire, su enfoque en este tema se desmarca del punto de vista de Euler. Para éste, la teoria de la propagacion del sonido en el aire se puede elaborar a partir de la mecanica de fluidos mediante las oportunas adecuaciones de las ecuaciones generales de la hidrodinamica, aprovechando la propiedad fisica del aire de ser un fluido compresible. El trabajo de Lagrange se asienta sobre otra propiedad fisica del aire, como es la de ser un medio elastico, de ahi que estu- die la propagacién del sonido en el aire a partir de la mecanica de los sistemas de particulas elasticas, sometidas a la accién de un choque elastico transmitido de particula a particula, en linea recta Ademas del planteamiento. inicial, el trabajo de Lagrange difiere del de Euler en muchos detalles, si bien los dos Iegan a idénticas conclusiones. Joseph-Lauis Lagrange asuesZe7 uaaol 13 81La elegancia matematica Lagrange. 82 El enfoque de Lagrange Lagrange considera una cuerda de longitud fy masa m por unidad de longitud, estirada con una tensién Ty.con los extremos fijos, Considera pequefias oscilaciones transversales de la cuerda y denota por y (x, t) la funcién que representa el des- Pplazamiento de la cuerda desde su posicion de equilibrio, La ena cinética de un elemento de longitud viene dada por (dx)y*, dondey = 5¢: Por lo tanto la energia cinética ira es, ee io hy’dx Cuando se produce un desplazamiento en la cuerda, su longitud pasa de fa f+ Aly se puede expresar de la manera siguiente £ e+ Af= if (4+ y2)Wdx , haa , siendo y'= ae) trabajo realizado contra la tensién T al aumentar la longitud en Af es T A€ Ahora bien, para oscilaciones pequeiias, la expresion (1 + y'2)2 se puede sustituir por + y'2,de manera que la energia potencial vendra dada por, £ va] ply? dx Ademés como los extremos de la cuerda estan fijos, las fuerzas actuantes sobre ellos no realizan trabajo, de modo que la energia mecdnica suma de la energia cinética y la potencial debe ser constanie. Lagrange considera la funcion L = E - V, denominada mas tarde lagrangiana por Siméon: pes Poisson (1781-1840). L= foo. vax il so Ay) a @ Con el fin de obtener las ecuaciones del movimiento corres- pondientes a la funci6n lagrangiana (1), Lagrange aplica el calcu. lo de variaciones a la integral de accién, = fi Joo, 3, y dxdt 070 Para ello, considera la pequefia variacién 6y(x,0, que es nula ent = Oy t= ty que se anula también enx = Oy x=tya que los extremos de ia cuerda estan fijos. La variacién de la integral de accién sera entonces: Te Te (eters oes (6) | Si se integra por partes, respecto a t en el segundo suman- do y respecto a x en el tercero, los términos integrados se anu- lan debido a que dy es nula en los limites de integraci6n. Teniendo esto en cuenta, se obtiene, tao a {aw\ a (aw w= ff ae -2 2 [| sc on El principio de minima accién requiere que la expresién anterior se anule para que las variaciones arbitrarias dy(x,t) se anulen en los limites de integraci6n. Esto es sdlo posible, si el integrando es cero. Obtenemos asi las ecuaciones del movimiento de Lagrange, am 9 | ao} _d_ | oP |_9 ‘ay ot lop ax | dy’ m es ° < o 3 = » oa 2 o =I va °La elegancia matematica Lagrange. 84 Aunque conocia los trabajos de D’Alembert y Euler sobre la cuerda vibrante, Lagrange plantea el problema de la transmision del sonido en una dimensi6n espacial, como si se tratara de un problema completamente nuevo. El método utilizado por Lagrange, aunque equivalente, es muy distinto al empleado por D’Alembert y Euler. Estos aplicaron la segunda ley de Newton, en forma diferencial, a un elemento de cuerda de longitud dx, igualando la resultante de las fuerzas que acttan sobre el elemento de cuerda con la variacién de la cantidad de movimiento de dicho elemento. Ademas de esta ley de la mecanica, los dos matemiaticos utilizaron propiedades conocidas de las funciones de dos variables para llegar a la ecuacién de la cuerda vibrante. Lagrange afirma que la solucién general de la ecuacion de onda unidimensional (ecuacién de la cuerda vibrante), incluye dos funciones arbitrarias f y g determinables por los valores Ahora bien, para la lagrangiana L= Lay" dx 0 ee se verifica ie a : ss = Uy, ia ayes De modo que la ecuacién de Lagrange queda reducida a: Ay a enc ary See rss acrze ® stendo c? = T/ (c representa la velocidad de propagacién de una onda a lo largo de ta cuerda). La ecuaci6n (2) es la ecuacién de onda de una dimensién. iniciales de y ey. Se puede comprobar, por sustitucién directa en la ecuacién diferencial, que para cualquier funcién f, y={(xtct) es una solucién. Esta solucién representa una onda «jue se mueve sobre la cuerda y hacia la derecha con velocidad «; ahora bien, el perfil del desplazamiento y es el mismo en t=0 (que en t = t, simplemente la onda esta desplazada hacia la derecha una distancia ct. Analogamente, y = g (x — ct) es también solucién de la ecuacion (2), y representa una onda que se desplaza sobre la cuerda, hacia la izquierda. La soluci6n general de la ecuacion de la cuerda vibrante es, pues, y ={(x+ ct) + g(x —ct) Para una cuerda de longitud finita, una onda que se mueve sobre ella, tiene que reflejarse cuando llegue al extremo, por lo «ue en la solucién general son necesarios los dos términos. La condicién y (0,t) = 0, requiere que, f(ct) + g Cet) =0 por lo que las funciones f y g sdlo se diferencian en su signo y en cl signo del argumento, y como consecuencia la soluci6n general de la ecuaci6n de la cuerda vibrante se puede escribir en la forma: y(x,t) =f (ct + x) -f (et - x). La otra condicion de contorno, y (!,t) = 0, requiere que fct+H=fCt-H, lo que equivale a que f(x+2D=f09, es decir, la funcién { debe ser periddica, con periodo 2t. asueuse7] uaaol 19La elegancia matematica Lagrange. 86 En resumen, aunque el procedimiento empleado por Lagrange para encontrar la ecuaci6n de la cuerda vibrante es completamente distinto al utilizado por Euler y D'Alembert, las conclusiones particulares a las que llega, sobre las condiciones que ha de cumplir la funci6n arbitraria f de la solucion general, son exactamente las mismas que las sefialadas por los dos matematicos citados. A continuaci6n, Lagrange entra en las consideraciones generales sobre la curva inicial, motivo de la controversia entre Euler, D’Alembert y Bernoulli. Para ello, el joven turinés, parte de una cuerda cargada con un ntimero finito de masas iguales (cuerpos en la terminologia de la época), situadas a igual distancia unas de otras, pasando al Itmite cuando el ntimero de masas n, tiende a infinito. Tras largos y dificiles célculos, algunos mas que dudosos. Lagrange obtiene como solucion general de la ecuacién de la cuerda vibrante, yt) = [2 Ir Yo) dscns ee Pen He cose oaee } ? “(2 { V(x) dyson — dx sen Sad sen a El escaso conocimiento que habia en aquella época sobre las series infinitas, llev6é a Lagrange a considerar las sumas; DY@)sen EEE y Dvedsen 7 SEAT en las que Y(x) y V(x) representan respectivamente el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de una masa genérica de la cuerda, como si fueran integrales y por tanto a intercambiar el sumatorio con la operacién de integracién en algunos de los Pasos de sus calculos. : Este error le planted problemas de series divergentes, no bien resueltos y ademas en contra de la opinion manifestada por Poisson muchos afios mas tarde, no logré identificar la integral e I; Y(x)sen aad con los coeficientes a, de Bernoulli, ahora llamados coeficientes de Fourier. Después de largos calculos, dudosos en algunos aspectos, |agrange prueba que su solucién es coincidente con la dada por uler y D'Alembert: y =f(ct +x) + g(ct- x), Finalmente argumenta, que para llegar a su soluci6n no nece- ito hacer ninguna hipotesis sobre la derivabilidad de la curva inicial YQ), ni sobre la derivabilidad de V(x), ya que no realiza la operacion de derivacion sobre ninguna de estas funciones. Lagrange concluye su trabajo con éstas palabras: “ta anterior deduccién coloca Ia teoria de este gran gedmetra {Euler}, mndsalld de toda dda, establecida sobre principios directos y cla- ros que no requicren, en absoluto, la ley de continuidad fhoy en dfa, ana- liticidad] que D'Alembert pretende; ‘ademas, ocurre que la misma for- spaldar y probar la teoria de Bernoulli Ili sobre mula que sirve para r Ia meccla de vibvaciones isdcronas cuando el ntimero de masas es finito, nos Die sit insuficiencia cuando el mimero de ellas se hace infint- Verdaderamente, es una contrariedad que una teoria tan ngenio- sa fla e Bernoulli) resulte falsa en el caso general, con al que estiin rela- cfonados todos los movimentos reciprocos pequieltes que se presenta on la Naturaleza’: En definitiva, en la controversia entre Euler, Bernoulli y D’Alembert sobre la cuerda vibrante, Lagrange toma partido, de manera clara, por Euler Euler, Bernoulli y D’Alembert criticaron aspectos concretos de los calculos efectuados por Lagrange, si bien elogiaron la ori- aSues8e] uanol 13

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