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El Concepto de Probabilidad
Tambin existen fenmenos cuyo resultado no puede ser anticipado con certeza, sino que existe una
probabilidad de que un cierto resultado se d; por ejemplo, la ganancia que obtendr un inversionista
despus de dos aos, el tiempo que sobrevivir un cnyuge a la muerte de su pareja o el nmero de
autos que pasan por una esquina durante una hora determinada. Es evidente que nadie puede dar
un resultado certero con anticipacin a los tres eventos considerados, entonces si se da una respuesta,
existe una incertidumbre en el resultado.
Para dar una explicacin matemtica a aquellos resultados que aparecen en experiencias en que est
involucrado el azar, se desarroll la teora de probabilidades.
La presencia del hueso de astrgalo de oveja, que constituye el antecedente inmediato d~l dado, en las
excavaciones arqueolgicas ms antiguas, parece confirmar que los juegos de azar tienen una antigedad
de ms de 40 mil aos. En la India; en el Rig-Veda (aproximadamente 1000 aos a.C.), se menciona un
juego de dados como un intento de medir la probabilidad. En Grecia, Sfocles atribuye a Palmedes
la invencin del juego de dados, durante el sitio de Troya. As, en casi todas las culturas antiguas
es posible encontrar referencias que nos indican que el estudio de los fenmenos aleatorios (dados,
presencia de lluvia, el clima, etc.) fue muy importante.
51
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52 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
El desarrollo del anlisis matemtico de los juegos de azar se produjo durante los siglos XVI y XVII.
Algunos autores consideran como origen del clculo de probabilidades la resolucin del problema de los
puntos en la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. El problema planteado a cst.o~ aut.ores
por Chevalier de Mer, fue cmo debera repartirse el dinero de las apuestas, depositado en la. mesa:
si 1m! jugadores se ven obligados a finalizar la partida sin que existiera un ganador. Aunque ninguno
de estos dos matemticos public al respecto, s lo hizo Huygens en su tratado Ratiuciniis in ludo alae
(R.azonamientos relat.ivos al juego de dados). Su escrito tiene la trascendencia de ser el primer libro
de probabilidadf'B de la historia.
Pierre Simn Laplace (1749 - 1827), introdujo la primera definicin explcita de probabilidad y desar-
roll la ley normal como modelo para describir la variabilidad de los errores de medida. En esta poca
tambin hubo importantes contribuciones de matemticos como Legendre (1752 - 1833) y Gauss (1777
- 1855) para tratar de realizar predicciones del comportamiento de ciertos fenmenos.
Durante el siglo XIX, los matemticos y astrnomos continuaron ampliando la teora, de manera que
a mediados de este siglo ya existan las herramientas que permitieron su consolidacin como una rama
cientfica. A pesar de ello, la aplicacin de estos principios se restringa a la Fsica y la Astronoma.
Una descripcin axiomtica de la idea de probabilidad fue dada en 1933, por A. N. Kolmogorov. Ello
constituy la base de la moderna teora, tal como hoy la conocemos. Con sto, se consigui elahorar
modelos complejos y aplicar las probabilidades a muchas ciencias y campos de la vida.
En las ltimas dcadas, el empleo de la teora de probabilidades en las modernas ciencias naturales,
en las ciencias sociales y en ramas de aplicacin, como la ingeniera, el clculo actuarial o la economa,
ha crecido enormemente y su conocimiento es una necesidad imprescindible.
Antes de iniciar el estudio de la probabilidad, revisemos los principales conceptos del anlisis combi-
natorio.
n! =n x (n - 1) x .. . x 2 x 1, con O! = 1.
Ahora, consideremos un conjunto finito compuesto por n elementos diferentes: {a,a2,. ",a.l}' Se
desea formar una coleccin constituida por k elementos (k ~ n). El nmero de estos subconjuntos
depende de si los conjuntos son ordenados o no. Las colecciones ordenadas se llaman variaciones y
las no ordenadas combinaciones.
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2.2. Fundamentos de anlisis combinatorio 53
DefiIlici)n (de variacin) Se dellomina va riacill ) cada lUlO dc los nlT0g1os ordenados (le J.:
ele1l1ent,os, tornados de otro de '1/, elcmentos (k ~ 71.) , de !llallera. qlle es to~ arreglos dif1c1'<'U e H ;dgln
elcmcnto o en el orden de colocaci()J\.
Elnlllero de vari ac iones de k elementos que pueden obtcllcrse a partir de un cOlljllllto de '!I ek:lllclltos,
denotado por v.~" es ig1lal a
yl.: = n.
,
" (71. - k)!
Definicin (de combinacin) Se dcnomina combinacin a ca.d a. lUlO de los subcon.iunt.os d(~ k
elementos , tomados de ot ro de 71. elementos (k ~ 71.) , sin t ener en cuenta el orden de los llsmos, de
manera que no pueden ha.ber dos combinaciones con los mismos elementos.
n!
C~ = k! ( n- k!
) .
Solucin: Se tiene n = 3 y k = 2.
2 _ 3! 6 6 . .
a) Se pueden formar Ya - (3 _ 2)! = '1 = VariaCiOneS, que son:
b ) Se pueden I :.
ormar C a2 -- 2!(33!_ 2)! = N6 =
3 comb'maCiOnes:
.
Definicin (de permutacin) Una permutacin de n elementos es cada una de las variaciones
de los n elementos distintos.
P n = n!.
Ejemplo. Encontrar las permutaciones que se pueden formar a partir del conjuuto {a , b, c}.
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54 Capitulo 2. El Concepto de Probabilidad
Par0.jas. COll los m elementos de A y los TI. el (~lllentos ele B es posibl(! formar 'In x '/1. parejas (a , bd
que cout.engan un elemento de cada conjunto.
Ejetuplo. En una fbri<'il de <.al:.;;a.do se confeccionan 4 modelos de zapatos para damas, en G t.amaiius
diferentes. Por lo tant.o, se pueden fabri car 4 x 6 = 24 distintos tipos de zapatos.
Otra forma de ver este concepto es considerar un procedimiento A que se puede realizar de m maneras;
un procedimiento B de n maneras; y as sucesivamente, hasta un procedimiento G de s maneras.
La accin consistente en realizar el procedimiento A, seguido del procedimiento B, hasta llegar al
procedimiento G; se puede efectuar de m x n x . .. x s maneras diferentes.
Ejemplo. Suponga que se clasifica a un grupo de estudiantes universitarios segn su sexo, estado
civil y la carrera que estudian. El sexo puede ser masculino o femenino; el estado civil puede ser
soltero, ca.sa.do o divorciado; y, digamos que hay 7 carreras. Entonces, hay un total de 2 x 3 x 7 = 42
clasificaciones diferentes. ~
Anteriormente, se examin las permutaciones de elementos de un conjunto, pero sin repeticin; si ahora
queremos determinar las permutaciones con repeticin, bastar considerar en los arreglos mltiples el
mismo conjunto.
Definicin (de permutacin con repeticin) Una permutacin con repeticin, de k elementos
obtenidos il partir de un conjunto de n elementos, es un arreglo de k elementos ordenados en el que
los cl<!rnentos pueden repetirse arbitrariamente.
Ejemplo. Con los elementos del conjunto A = {a , b, e} , cuntas permutaciones con repeticin, de
dos elementos, se pueden formar?
Solucin: Se van a formar parejas considerando dos veces el conjunto A, por lo tanto se tiene n = 3
Y A: = 2; entonces, hay un total de 32 = 9 permutaciones con repeticin; ellas son:
(a , a), (a , b) , (a , e), (b , a) , (b, b), (b, e) , (e, a), (e , b), (e, e).
Examinemos IIn ejemplo: el lanzamiento de un dado una sola vez. Como resultado de la prueba se
pueden producir diferentes resultados: sale dos, sale cinco , el nmero que aparece es par, etc.
Esto 110S conduce a definir los eventos.
Definicin (de evento) Se llama evento, notado como w, a cualquiera de los resultados posibles
de un experimento u otra situacin que involucre incertidumbre.
Los eventos se clasifican en: elementales, aquellos que constan de un solo resultado; y compuestos,
que consisten de ms de un resultado. Por ejemplo, sale dos es un evento elemental; mientras
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2.4. Definicin axiomtica de la probabilidad 55
que el nmero que aparece es par es. un evento compuesto, porque est conformado de los event.os
elementales sale dos, sale cuatro y sale seis.
Observemos que todo evento relacionado con una prueba se puede describir en trminos de eventos
elementales.
Definici6n (de espacio muestral) La coleccin de todos los eventos elementales, notado por n,
se denomina espacio muestral:
n = {w / w es evento elemental}.
Volviendo al ejemplo, si consideramos el nmero de puntos que aparecen al arrojar un dado, tenemos:
Sean A Y B dos eventos de n, en el siguiente cuadro se presentan las equivalencias entre las proposi-
ciones de las teoras de probabilidades y de conjuntos y en la Figura 2.1 se encuentran los diagram8.9
de Venn correspondientes.
fo.
o Conjunto vaco Evento imposible
AUB U nin de conjuntos Por lo menos uno de los eventos A o B ocurre
AnB Interseccin de conjuntos Ambos eventos A y B ocurren
A\B Diferencia de conjuntos A ocurre y B no ocurre
Ac =O\A Conjunto complementario No ocurre A
AnB=0 Conjuntos disjuntos A y B se excluyen mutuamente (incompatibles)
A~B A es subconjunto de B Si A ocurre, tambin B
Formalmente, la. probabilidad de un evento A se define como una funcin que cumple:
11-_ _ _ .._ .. _
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56 CapItulo 2. El Concepto de Probabilidad
a) b)
d e)
Figura 2.1: Interpretacin de los conjuntos como eventos: a) Ocurre el evento A. b) Ocurre A u ocurre
B (A U B). c) Ocurre A y ocurre B (A n B). d) Si A ocurre, tambin B (A ~ B). e) Eventos
incompatibles (A n B = 0). f) No ocurre A (ocurre N).
Ejemplos
1. Dados los eventos A, B y C del espacio muestral O. Expresar mediante las operaciones entre
conjuntos los eventos:
Solucin:
2. Demostrar que:
a) Pr(AC) = 1 - Pr(A) . .
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2.5. Clculo de probabilidades 57
a) n = A U A" (con A y AC disjuntos), entonces por A3. , Pr(U) = Pr(A ) + Pr(A C ) y por Al.. ,
Pr(n) = 1; con lo que se obtiene: 1 = Pr(A) + Pr(A") y el resultado e::; inmediato.
b) Si A e B entonces B = A U (AC n B) siendo A y (A" n B) incompatible::; ; por lo talllo, por
A3. Pr(B) = Pr(A) + Pr(AC n B).
Por A1., Pr(A C n B) ~ O, entonces Pr(B) ~ Pr(A). ....
.-\1 realizar el clculo de las probabilidades es necesario distinguir de qu tipo de espacio muestral
i isponemos; ellos pueden ser: finito, infinito numerable o continuo.
k
Pr(A) = LPr({wi})' (2.2)
i=l
Un caso particularmente importante se presenta cuando todas las probabilidades Pr(w) son iguales.
Casos favorables de A
Pr(A) =
Casos posibles
Card(A) k
= ~---.:~ =
Card(n) N'
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58 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
n= {l , 2, 3, 4, 5, 6} , Card(n) = 6,
A={2,4, 6}, Card(A) = 3.
Pr(A) = Card(A) = ~ = !.
Card(n) 6 2
En los siguientes ejemplos, consideraremos espacios muestrales finitos y aplicaremos los conceptos de
anlisis combinatorio al clculo de probabilidades.
Ejemplos
1. En un estante hay 2 libros de historia y 3 de biologa. Al azar, se toma un libro y luego se torna
un segundo libro. Encontrar la probabilidad de que un libro de biologa sea seleccionado: a) la
primera vez; b) ambas veces.
Solucin:
Pr(A) = Card(A) = ~.
Card(n) 5
3. Entre 100 fotografas de un sobre se encuentra la foto buscada. Del sobre se extraen al azar 10
fotos. Hallar la probabilidad de que entre ellas resulte la foto necesaria.
Solucin: El espacio muestral n est formado por los conjuntos de 10 elementos que pueden
formarse a partir de 100: Card(l) = cl~.
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2.5. Clculo de probabilidades 59
El nmero de resultados favorables que nos interesa es igual al total de formas como p11eden
escogerse 9 fotos de las 99 restantes; es decir, Card(A) = C~9'
La probabilidad buscada es
c 9 = -1
Pr(A) = ~
C 10
lOO 10'
L En el Consejo Universitario cada una de las 10 facultades est representada por el decano y
el subdecano. Se nombra una comisin de 10 miembros elegidos al azar. Determinar la pro-
babilidad de que:
Solucin:
'l. Se arrojan dos dados. Hallar la probabilidad del evento A ={ al menos en uno de los dos dados
salen ms de dos puntos}.
Solucin: El espacio muestral puede describirse como
donde el evento elemental (i,j) corresponde a los i puntos aparecidos en un dado y los j puntos
aparecidos en el otro. Consecuentemente, Card(n) = 36.
Designemos como Bl el evento consistente en que en el primer dado salen ms de dos puntos y
con B2 el evento anlogo para el segundo dado:
Por lo tanto, Card(B) = Card(B2) = 24. Puesto que BlnB2 = {(i,j)j i,j = 3,4,5, 6}, entonces
Card(Bl n B2) = 42 = 16. Ahora bien,
24 2
Pr(B) = Pr(B2 ) = 36 = 3' y
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60 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
Sea n= {Wl, W2, ... , W n , ... } un espacio muestral infinito numerable; entonces, resulta que
00
L Pr( {wd) = 1,
i=l
Pr(A) = L Pr({wi})'
wiEA
Solucin: Sean los eventos: J: gana el set Juan y A: gana el set Andrs.
Segn el enunciado, el espacio muestral est conformado por los siguientes eventos elementales:
Se tieIlC que
1
Pr(JJ) + Pr(AA) = 2'
1
Pr(JAJJ) + Pr(AJAA)
8
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2.5. Clculo de probabilidades 61
? ')
La :; UIlHl d(~ e~ta ~eri(~ ge()111(~ tri (:a es igual a } : pOI' lo que Pr(B) = } .
n
Supongamos que se t.iene Hna fi gm a plalla y dent.ro de ella se enC\Wlltra otra figur a A (Figura 2.2) .
Sobre la figura n
se ha marcado un punto al azar. Suponiendo que la probabilidad de que el mlltu
caiga en A es propon:ioual al rea de la figura y no de su forma o posi cin , l prohabilidad de que Poi
punto caiga en la figura A es :
Pr(A) = ~rea de A.
Area de n
En general, si A es un evento de un espacio muestral continuo n, tal que su medida (longitud, volumen ,
tiempo, etc.) exist.e; entonces, su probabilidad es
Pr(A) = Medida de A.
Medida de n
Ejemplos
Figura 2.3:
T 757rcm 2
Pr(A) =- = = 0.75.
S 1007rcm 2
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62 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
2. Sea n = {(:t:, y)/ O ::; x ::; 1; O ::; Y ::; l} (Fignrrl 2.4) el espacio muestral de lUI fenmeno aleatorio
y suponiendo que todo llllll t.O de n tiene la lllisma probabilidad de ser tomado e ll cuenta.
1~~=----,
.Q
AnB B x
o 1/2 1
Figura 2.4:
SO[1U:n:
n
a) rea de = 1 X 1 = 1.
. 1 1 1/2 1
Area de A = - x 1 = - , entonces Pr(A) = - = -.
2 2 1 2
, 1 1 1/4 1
b) Area de B = 1 x 4 = 4' entonces Pr(B) = -1- = 4'
1 1
e) rea de AnB = 2x 4= s'1 entonces Pr(AnB) = s'1
d) Por la f6rmula de la unin,
2.6. Ejercicios
Anlisis combinatorio
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2.6. Ejercicios
5. Cunto::; arreglo::; ::;e pueden formar con los elcmcntos de los conjuntos cuya cardillUlidad se indica:
a) Card(A) = 4; Carrl(B) = 2; Card(C) = 5.
b) Card(A) = 5; Card(B) = 7; Card(C) = 4; Card(D) = 5.
6. Cuntas parejas con reposicin pueden formar::;e con conjunto::; cuya cardinalidad e::;:
a) n = 3; b) n = 5; c) n = 7; d) 11, = 1:;.
7. Forme todas las combinaciones y variaciones que se pueden obtener a partir de los conjuntos:
8. Para los conjuntos indicados forme todas las pareja.<; sin reposicin y parejas con reposicin:
9. Un comit de direccin de una empresa que consta de 4 gerentes y 6 subgerentes debe elegir un
presidente y un vicepresidente. De cuntas maneras se pueden elegir este par de funcionarios
si el presidente debe ser un gerente?
10. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias.
Cuntas ternas se pueden formar?
11. Un amigo le quiere regalar a otro 3 discos y los quiere elegir entre los 10 que ms le gustan. De
cuntas maneras puede hacerlo?
12. Al marcar un nmero telefnico una persona olvid las tres ltimas cifras, recordando que stas
son diferentes, las marc al azar. Halle la probabilidad de que se haya marcado las cifras
correctas.
14. En el ejercicio anterior considrese que los 3 empleados van a ir a la misma planta. De cuntas
maneras se puede hacer la seleccin?
16. Cuntos nmeros de 6 cifras pueden hacerse con los dgitos {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
a) sin restriccin alguna?; b) sin repetir ninguna cifra?; c) mayores que 5000?
17. Siete personas han solicitado empleo para llenar dos vacantes. De cunto::; modo::; ::;e pueden
llenar las vacantes si:
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64 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
1::. Cmlltos partido~ se jucgnll en Ull caJl1peonato, e 11 el que participan 20 equipos y en el que
juegan todos cOlltra todos, lUlO Cll casa y otro de visil(\llt.e?
19. En \111 re:;taura11te de comida rpida sc indica al cliente que su halllburguesa , a ms del pan y
la carne, puede ir C011 todo lo siguiente o Sill ello: salsa de tomate, mostaza., mayonesa, ler.h\lga,
cebolla, tomate o queso. Cuntos tipos diferentes de hamburguesas son posibles?
20. La produccin de una mquina consta de 4 fases. Hay G lncas de mOlltaje para la primera fase,
3 para la segunda, 5 para la tercera, y 5 para la ltillla. Determine de cuntas formas distintas
se puede montar la mquina en este proceso de produccill.
21. En un plano hay 15 puntos de los cuales no hay tres qlle sean colineales. Cuntas rectas
determinan?
23. Una heladera tiene 16 sabores disponibles. De cuntas formas se pueden pedir 6 helados si:
24. Un entreuador de ftbol debe seleccionar a 11 jugadores de entre los que haba convocado
anteriormente para la concentracin. Si puede hacer su seleccin de 12376 maneras, cuntos
jugadores estuvieron presentes en la concentracin? (Se supone que ningn jugador tiene uu
puesto fijo de juego.)
25. En un lenguaje de computacin, un identificador consta de una letra o de una letra seguida de
hasta siete smbolos, que pueden ser letras o dgitos. (En este lenguaje son indistinguibles las
letras maysculas y minsculas, hay 26 letras y 10 dgitos.) Cuntos identificadores diferentes
se pueden utilizar en el lenguaje de computacin?
26. En cualquier set de un partido de tenis, el oponente X puede vencer al oponente Y de siete
maneras. (Con el marcador 6 - 6, se juega un desempate: tie breaker) El primer tenista que
gane tres sets obtiene la victoria. De cuntas maneras se pueden registrar los resultados si:
27. De cuntos modos se pueden poner 5 anillos diferentes en los dedos de una mano, omitiendo el
pulgar'?
Definicin de probabilidad
28. Sean n un espacio muestral y A, B y e eventos cualesquiera, exprese las siguientes afirmaciones
como uniones e intersecciones de A, B y e y de sus complementos.
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2.6. Ejercicios 65
30. Se arrojan dos dados , sean A el evento la suma de las caras es impar, y D d evento sale por
lo menos un tres. Describa los eventos A n B, A U E, A n E C Encuentre sus probabilidades
si se supone que los 36 eventos elementales tienen igual probahilirlarl.
1 1
31. Se consideran dos eventos A y B, tales que Pr(A) = "3 y Pr(B) "2. Determine el valor de
Pr(A Cn B) en los siguientes casos:
a) A Y B son incompatibles; b) A e B; 1
c) Pr(An B) = S.
32. Se consideran dos eventos A y B, con Pr(A) = 0.375, Pr(B) = 0.5 Y Pr(AnB) = 0.125. Calcule:
33. Sean A y B dos eventos tales que Pr(A) = 0.9 Y Pr(B) = 0.8. Demuestre que Pr(A n B) ~ 0.7.
34. Un experimento aleatorio consiste en arrojar una moneda y un dado a la vez y observar el
resultado. Escriba el espacio muestral del experimento.
35. Una empresa tiene dos tiendas distribuidoras, una en el norte y otra en el sur de la ciudad. De
los potenciales clientes, se sabe que el 30 % solo compra en la tienda norte, el 50 % solo compra
en la tienda sur, ellO % compra indistintamente en las dos tiendas y ellO % de los consumidores
no compra en ninguna de las dos. Sean los eventos A: el cliente compra en la tienda norte y
B: el cliente compra en la tienda sur. Calcule las probabilidades (e interprtelas):
36. En la interseccin de una autopista, los automviles pueden girar a la derecha (D) o a la izquierda
(l). Desde un puesto de observacin se registra el sentido de la maniobra de los tres primeros
vehculos.
37. Un gerente de compras desea hacer pedidos a proveedores diferentes, a los que nombra corno A,
By e. Todos los proveedores son iguales en lo que respecta a la calidad por lo que escribe carla
letra en un papel, mezcla los papeles y selecciona a ciegas a uno de ellos. Se har el pedido al
vendedor que salga seleccionado. Caleule las prohabilidades de los eventos:
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f:i6 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
a) sdeccioll al proveedor IJ ;
SP. e) el proVf~edor A llO se selecciona.
b) se sdcccioua al prm'cfylOl' A () C;
2
31;. Suponga que e ll UIl sorteo la probabilidad de ga nar el prirner premio es r:: y la de ga nar el
.]
segundo premio es ~. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es ~ , ,calcule
la probabilidad de ganar solo UIlO de los dos premios?
39. Se envan 3 oficios a 3 personas diferentes. Sin embargo, una secretaria distrada revuelve los
oficios y se puede considerar que los mand al azar. Si una coincidencia es el hecho de que una.
.)(~rS()Ila reciba el oficio correcto, calcule la probabilidad de que haya:
a) ninguna coincidencia;
b) exactamente una coincidencia.
40. La fbrica ensarnbladora ha determinado que la demanda del auto Honda Civic es igual para
cada uno de los colores azul, blanco, verde y rojo. Se hacen tres pedidos sucesivos de autos de
ese modelo. Determine la probabilidad de que:
4 1. Luego de la.<:; pruebas para ocupar un puesto a los 6 aspirantes se les clasifica de acuerdo al puntaje
obtenido. Los resultados no le llegan al empleador por lo que l contrata a dos aspiralltes al
azar. ,Cul es la probabilidad de que haya contratado a los dos aspirantes mejor calificados?
42. Un paquete de G focos tiene 2 unidades defectuosas. Si se escogen 3 focos para su uso, calcule
la probabilidad de que ninguno tenga defectos.
43. En una caja hay 20 fotografas en la cual hay 6 mal tomadas. Cul es la probabilidad de
seleccionar 2 fotografas defectuosas?
44. Entre 100 artculos de un lote hay 5 defectuosos. Halle la probabilidad de que entre 10 artculos
escogidos al azar, no se tenga ms de un artculo defectuoso.
45. Un distribuidor ele electrodomsticos recibe un envo de 20 planchas, de las cuales hay 3 defec-
tuosas. Para conocer si el lote est bueno prueba 6 aparatos. El distribuidor aceptar el lote
si encuentra a lo ms un aparato defectuoso entre los probados. Cul es la probabilidad de
rechazar el ellvo?
46. De Ull u[ora, que contiene 100 boletos, se extraen tres boletos ganadores. Cul es la proba-
bilidad de <ue gane una persona que compr:
47. EuLre las 80 estaciones de servicio que hay en una ciudad , 10 entregan una cantidad menor que
la que el cliente compra. Un inspector de la Direccin de Hidrocarburos visita aleatorialIlente
cinco de ellas para verificar si la cantidad vendida es correcta. Cul es la probabilidad de que
descubra al mellOS una fraudulenta?
48. En el juego del cuarenta se reparten 5 cartas, al azar, a cada jugador, a partir de un mazo de
40 cartas. Cul es la probabilidad de que un jugador tenga:
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2.7. Independencia y condicionaJidad 67
a) 1111 as, nn dos. 1.111 tres , un cuatro y un cinco. del mismo palo? ;
h) 4 cartas del mislllo palo?;
e) UlIa. rauda ; es decir, 3 cartas de la lIlisma dcnomiuuciu (as, du:;, eLe.)?
49. En lIn c1os(~t hay 6 pan~s de zapatos. Se escogell 4 zapat.os al azar. Encuentre la. prol>abilidad
de que haya por lo menos un par de zapatos eutre los 4 zapat.os escogidos.
50. En los pases europeos existe una forma muy popular de lotera, llamada Lotto, que collsiste en
seleccionar 6 nmeros de una cartilla que contiene 44 nmeros (del 1 al 44). El da del sorteo
se seleccionan 6 bolas al aza r y sin reposicicn. Uua persona gana el premio principal si los
G umeros sorteados coinciden con los seleccionados; tambin se puede ganar prem ios si 4 o [;
nmeros sorteados coinciden. Determine la probabilidad de:
51. Una persona presiona, al azar, 8 cifras en una calculadora. Cul es la prol>al>ilidad de los
eventos siguientes:
53. Dentro de un cancha de baloncesto, cuyas dimensione!:i !:ion 20 III por 12 m , se encuentran clos
charcos que tienen forma de crculos, de 8 y 5 m de dimetro respectivamente. C1Il es la
probabilidad de que una pelota lanzada a la cancha caiga deutro de uno de los charcos?
54. Dentro de un rectngulo de base 10 cm y altura 6 cm se encuentra 11n crculo que es tangente
a 3 de los lados. Si se marca un punto al azar dentro del rectngulo, calcule la probabilidad de
que el punto no se encuentre dentro del crculo.
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68 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
Ejemplos
1. Sea n = [O, lJ X [O, lJ Ydados los eventos: A = {(x, y)/ O ~ x ~ 1/2; O ~ y ~ 1}, B = {(x, y)/ O ~
x ~ 1; O ~ Y ~ 1/4}. Probar si A y B son independientes.
Figura 2.5:
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2.7. Independencia y condiciol1alidad 69
PUl' lo t.uuto.
Pr(C) = Pr(A n Be) + Pr(A n B) = 0.095 + 0 .045 = 0.14 .
C
3. Tres bilogos, iudepelldientcmcute lino dd otro, midieron el cont cuido de suero (-!Il 11 na mue:;tra.
La prohabilidad de que cada tillO cometa un eITor en la lectura del aparato es igual a 0.1,0.15 .Y
0 .2, respectivamente. Hallar la probabilidad de que ell ulIa sola medi cin por lo menos tillO de
los investigadores cometa un error.
Solucin: Sea el evento A = {por lo menos uno de los investigadores comete Ull error}, el
complemento es AC = {ninguno de los investigadores comete un error}.
Calcularemos Pr(AC), considerando que las mediciones son eventos independientes.
Sean Pi la probabilidad de que el i-simo investigador cometa un error (i = 1,2,3), entonces
Por ejemplo, suponga que usted va a almorzar al mismo lugar todos los viernes y que su almuerzo
se sirve en 15 minutos (evento A) con probabilidad 0.9. Sin embargo, dado que usted nota que el
restaurante est. excepcionalmente lleno (evento B, fijo) , la probabilidad de que sirvan su almuerzo en
15 minutos puede reducirse a 0.7. sta es la probabilidad condicional de ser servido en 15 minutos,
dado que el restaurante est excepcionalmente lleno.
Ejemplos
Mujer
Hombre F 1
F 0.22 0.24
1 0.31 0.23
a) Cul es la probabilidad condicional de que un esposo sea fiel, dado que su esposa es fiel?
b) Cul es la probabilidad de que una esposa sea fiel, dacio que su esposo es infiel?
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70 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
a) Deseamos calcular
Pr(HF n MF)
Pr(H FIM F) = Pr(M F) .
De la tabla se obtiene que
Pr(H F n M F) = 0.22,
Pr(M F) = 0.22 + 0.31 = 0.53 . .
Con sto,
Pr(H FIM F) = 0.22 = 0.415.
0.53
b) Calculemos
H 1) = Pr(M F n H I)
Pr (MFI Pr(HI) ,
con
Pr(M F n H 1) = 0.31 Y Pr(H I) = 0.31 + 0.23 = 0.54.
Entonces,
0.31
Pr (MF IHI ) = - = 0.574.
0.54
2. En un taller trabajan 7 hombres y 3 mujeres. Se escogen al azar 3 personas. Hallar la proba-
bilidad de que todas las personas seleccionadas sean hombres.
Solucin: Designemos los siguientes eventos:
A: el primer seleccionado es hombre,
B: el segundo seleccionado es hombre,
C: el tercer seleccionado es hombre.
7
La probabilidad de que el primero sea hombre es Pr(A) = 10'
La probabilidad de que el segundo sea hombre a condicin de que el primero fue hombre
es:
6 2
Pr(BIA) = 9 = 3'
La probabilidad de que el tercero sea hombre sabiendo que los dos primeros tambin lo son,
es la probabilidad de C dado A y B:
5
Pr(CIA n B) = S'
La probabilidad buscada de que las tres personas escogidas sean hombres es
7 2 5 7
Pl'(A n B n C) = Pr(A) x Pr(BIA) x Pr(CIA n B) = 10 x 3 x S = 24'
La probabilidad de un evento A, que puede ocurrir solo al aparecer uno de los eventos mutuamente
excluyentes B I , B2, ... , Bn (Figura 2.6), tales que su unin es el espacio muestral, est dada por
= L Pr(Bi) Pr(A/Bi),
i=l
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2.8. Probabilidad completa y frmula de BayAs 71
Supongamos que el evento A puede ocurrir a condicin de que aparezca uno de los eventos B l , B2,
... , Bn Si A ya ocurri, la probabilidad (condicional) del evento Bk es igual a
Para el clculo mediante la frmula de Bayes puede resultar conveniente disponer las probabilidades
en un diagrama de rbol como el siguiente:
A
Pr(B) Pr(AIB)
Pr(Bl) Pr(NIB)
A
B2 Pr(B2) Pr(AIB2)
AC
Pr(B2) Pr(ACIB2)
A
Pr(Bn) Pr(AIBn)
Pr(Bn) Pr(ACIBn)
Esta disposicin de los datos facilita la realizacin de los clculos ya que nicamente se debe realizar
una suma de los resultados en las ramas de inters.
Ejemplos
]. En una oficina hay 6 computadoras de marca y 4 clones. La probabilidad de que al utilizar una
mquina, sta encienda correctamente es 0.95 para las de marca y 0.8 para las clones. Un em-
pleado utiliza al azar una computadora, hallar la probabilidad de que se encienda correctamente.
Solucin: Definamos los eventos:
A: el empleado utiliza una mquina de marca,
B: el empleado utiliza una mquina cln,
C: la mquina enciende correctamente.
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72 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
Se t.icme,
6 4
Pr(A) = 10 = 0.6, Pr(B) = 10 = 0.4 ,
Pr(CIA) = 0.95 , Pr(CIB) = 0.8.
Si representamos las probabilidades en un diagrama de rbol se tien e:
e
Pr(A) Pr(CIA) = (0.6)(0.95)
e
Pr(B) Pr(CIB) = (0.4)(0.80)
2. Dos mquinas envasan gaseosa de manera automtica, resultando que la primera envasa el doble
411e la segunda. La primera mquina envasa el 60 % de las botellas con la cantidad exacta y
la segunda el 84 %. Una botella tomada del transportador result llena con la cantidad exacta.
Hallar la probabilidad de que haya sido envasada por:
a) la primera mquina; b) la segunda mquina.
Solucin: Designemos por eventos:
A: la botella est llena con la cantidad exact.a;
B 1: la botella ha sido envasada por la primera mquina;
B2: la botella ha sido envasada por la segunda mquina .
. a) Se tiene
2
Pr(B) = 3'
La probabilidad condicional de que la botella contenga la cantidad exacta, si ha sido en-
vasada por la primera mquina es
Pr(AIB) = 0.6.
Por tauto, la probabilidad de que la botella tomada al azar contenga la cantidad exacta es
La probabilidad del evento se escogi una botella con la cantidad exacta llellada por la
primera m.quina es igual a
2
P (B lA) = Pr(B) Pr(AIBl) = :3 xO.G = 10
r 1 Pr(A) 0.68 17
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2.8. Probabilidad completa y frmula de Bayes
h) La probabilidad del evento se escogi una botella con la cantidad exact.a. lk~nada por la
scgullda lIlqllilla es
1
Pr(B2) Pr(AIB2) :3 x 0.84 7
Pr(B2IA) = = -"'----
Pr(A) 0.68 17
Este resul tado tamb in se puede calcular empleando el concepto de evento complementario.
G
D
Pr(D) Pr(GID) = (0.35)(0.04)
G
Pr(N) Pr(GIN) = (0.40)(0.02)
Ahora, basta sumar los resultados parciales en las ramas para obtener el resultado deseado:
Consecuentemente,
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74 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
1. El :35 % de los crd it.os qll(~ otorga un banco es para \"ivienda, el 50 % para produccin y el resto
para COIISUlIlO. Res ultan morosos el 20 % ele los crdit.os para vivienda, el 15 % de los crditos
para prodllccin y el 70 % ele los crdit.os pa.ra COllsumo.
Pr(P) Pr(MIP)
Pr(PIM)
Pr(M)
0.5 x 0.15 = 0.3.
0.25
2.9. Ejercicios
5. Sea n= {(x,y)/O:S x:S 1; O:S y::::; 1} el espacio muestral de un fenmeno aleatorio. Calcule
1<1. probabilidad de los eventos:
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2.9. Ejercicios 75
8. Se lanzan dos dados, cul es la probabilidad de que en los dos dados salga el 3, si se sabe que
la suma es 6?
9. En una bihlioteca hay 8 libros de literatura de ciencia ficcin, 3 de los cuales son de Isaac Asimov.
La bibliotecaria toma al azar 2 libros. Determine la probabilidad de que ambos libros resulten
ser de Isaac Asimov.
10. La Empresa de Correos ha determinado que ellO % de los paquetes enviados al exterior no llegan
a su destino. Dos libros se pueden enviar separadamente o en un solo paquete. Para cada una
de las dos formas de envo postal, encuentre:
11. Suponga que el 5 % de todos los hombres y el 0.25 % de todas las mujeres sufren daltonismo.
Una persona escogida al azar resulta ser daltnica. Cul es la probabilidad de que esta persona
sea un hombre? (se considera que la cantidad de hombres y mujeres es igual).
13. En una exhibicin de arte hay 12 pinturas de las cuales 10 son originales. Un visitante selecciona
una pintura al azar y decide comprarla despus de escuchar la opinin de un experto sobre la
autenticidad de la pintura. El experto est en lo correcto en 9 de cada 10 casos, en promedio.
a) Dado que el experto decide que la pintura es autntica, cul es la probabilidad de que l
no se equivoque?;
b) Si el experto decide que la pintura es una copia, entonces el visitante la devuelve y escoge
otra, cul es la probabilidad de que la segunda pintura escogida sea original?
14. Hay una epidemia de clera (C). Consideramos como uno de los sntomas la diarrea (D), pero
este sntoma se presenta tambin en personas con intoxicacin (1), e incluso en algunas que no
tengan nada serio (N). Las probabilidades son:
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76 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
15. UlIa prueha para detectar el virus del SIDA en la sangre da el diagnstico correc to COl! una pro-
ba hili dad del 95 %. Segn dato::; mdicos, uno de caela 2000 habi tantes del pas. el! prollleelio, es
portador J el virus. Dado que la prueba fue posit iva para IIn a persona, c ul es la probabilidad
de que ell a realmellte tenga la enfermedad?
16. Una ernpre::;a fin anciera opera en las tres regiones del pas: Costa, Sierra y Am azona. El 50 %
ele las operaciones :;(~ realizan en la Costa, el 40 % en la Sierra y el resto en la Arnazona. Se
ha estimado, debido a la larga experiencia, el porcentaje de clientes que no pagan sus deuda., en
. cada una de las regiones. Para la Costa es del 1 %, para la Sierra del 2 % y para la Amazona
J el 8 %. Si la empresa tiene 1000 clientes, determine cuntos pagan sus deudas puntualmente.
17. U na encuesta revela que el 70 % de la poblacin tiene estudios secundarios, de los cuales el 12 %
no tiene trabajo. Del 30 % que no tiene estudios secundarios, el 25 % no tiene trabajo. Calcule:
18. De 200 aspirantes a un cargo se conoce la siguiente tabla respecto a experiencia en funciones
similares y la formacin acadmica necesaria
a) con experiencia y con formacin ; d) sin formacin dado que no tiene experien-
b) con experiencia; cia.
c) con experiencia dado que tiene formacin;
19. En una investigacin sobre el crdito bancario a trabajadores agrcolas se obtuvo el siguiente
modelo, en el que se califica al campesino como propietario o no propietario del terreno que
cultiva y si mantiene o no mantiene deudas eon los bancos.
Propietario
Deudor SI NO
SI 12 28
NO 20 64
20. A 100 empleados se les hizo un examen para determinar su destreza manual. Cuarenta de los
empleados eran hombres. Sesenta de los empleados pasaron el examen porque alcanzaroll una
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2.9. Ejercicios 77
ca lificaci<u mayor que ciert.o uive\ predetermillado ele apr()\echam ipllto. La c\asificaciu cutre
hombres y Illu.ieres fue la siguicute:
Suponga que se selecciona al azar un empleado de los 100 que hicieron el examen .
21. Los empleados de la compaa Cruz del Sur se encuentran distribuidos en 3 divisiones: Admi-
nistracin, Operacin de Planta y Ventas. La siguiente tabla indica el nmero de empicados en
cada divisin, clasificados por sexo.
22. Dada la siguiente tabla que indica el comportamiento respecto del hbito de fumar en un grupo
de 100 estudiantes que fueron averiguados.
Hbito
Sexo No fuma Fuma Ex-fumador TOTAL
Hombre 16 10 24 50
Mujer 30 16 4 50
TOTAL 46 26 28 100
23. Del total de socios de un club, ~ son hombres y ~ son profesionales. Adems,} de las mujeres
son 110 profesionales. Se elige al azar un miembro del club,
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78 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
c) Determine si son independientes los eventos ser muj er y no ser profc:; i()J!ill .
24. EIl lIlla fbrica, el 70 % de los elllpleado:; :;011 loj all os. De euLre los lojan os. c:I ;:JO (/c so n ll olllbrcs,
mienLras que de los no lojauo:;, slo S01l hombres el 20 %.
25. En un pas hay 4 partidos polticos que se dividen la opinilI pblica. Se sabe qlle:
Ent re los adherentes al partido I, un 36 % corresponde a personas con in gresos inferiores a dos
salarios mnimos. Entre los adherentes al partido n, esa proporcin es del 52 %. Para el partido
III es un 42 %, y para el partido IV es 11 %. Si se elige un a persona al azar y res ul ta tener un
ingreso mayor a dos salarios mnimos, calcule la probabilidad que sea adherenLe al par tido I.
2G. La serl.ora Sonia se fue de viaj e y encarg a su hijo , P ablo, que riegue el rosal. La probabilidad
2
de que Pablo olvide regar el rosal durante su ausencia es '3' El rosal est en un estado inseguro:
si se riega tiene igual probalJilidad de secarse que de no secarse, pero solamente tiene 1111 0.25 de
probabi lid ad de 11 0 secarse si no se ri ega. Despus del viaj e Soni a encuent ra el rosa l seco, c ul
es la probabilidad de que Pablo no lo haya regado?
27. Se est ima que slo un 20 % de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimi entos burstiles.
De ellos el 80 % obtienen benefi cios. De los que compran acciones sin conocimientos burstiles,
slo un 10 % obtienen beneficios. Se desea saber:
a) El tant.o por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios;
b) Si se elige al a:al' una persona que ha comprado acciones en Bolsa y resul ta que ha obtenido
beneficios, cul es la probabilidad de que tenga conocimientos burstiles?
28. En 1ill sup ermercaclo el 70 % de las compras las realizan las mujeres : rl(~ las com pras realizadas
por estas, el 80 % supera los 20 cllares, mientras que de las compras reali zadas por hombres slo
el 30 % supera esa cantidad.
29. En una uni versid ad existen tres facultades: A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 50
chicos; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos.
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2.9. Ejercicios 79
:\0. Entrc los cillco aspiralltes a un cargo de gerellt e, a dos se les considera excelentes y a los dems
se les considera IlllP1WS. Para 11ll a. c lJtrc~v i st.a se escoge al azar a dos de los cinco. Cak:I.II( ~ la
prohabilidad d(~ quc se escoja:
31. Se dispone de dos mtodos A y I3 para ellsear 11na dest reza manual. El ndice de reprobfl.r1os es
del 20 % para el mtodo A y 10 % para el mtodo B. Sin embargo, el m6Lodo I3 es ms caro por
lo que solo se le usa el 30 % del tiempo y el A el otro 70 %. A un trabajadl' se le adiest.ra COIl
uno de los dos mtodos, pero no puede aprender en forma correct a . Cl1l es la probahilidad de
que se le haya adiestrado con el mt odo A?
32. En los exmenes de ingreso a una uni versidad carla candidato es admitido o rechazado de acuerdo
a si l ha aprobado o reprobado la prueba. De los candidatos que realmente son capaces, el 80 %
pasa la prueba; y de los que no son capaces, el 25 % pasan la prueba. Dado que el 40 % de los
candidatos son realmente capaces , encuentre la proporcin de estudiantes capa ces qnc illgresan
a la universidad.
33. Segn d atos de invest igacion es genticas se ha establecido que: los padres de ojos claros .Y los
hijos de ojos claros constituyen el 5 % de las personas estudiadas ; los padres de ojos cl aros y los
hijos de ojos oscuros el 7.9 %; los padres de ojos oscuros y los hij os de ojos claros el 8.9 %; los
padres de ojos oscuros y los hijos d e ojos oscuros el 78.2 %. Halle la probabilidad de que:
34. Como un acto de buena vecindad Dios y Satans acordaron un intercambio cultural clltre el
Cielo y el Infierno. Demonios del Infierno van a vivir en el Cielo, mientras que ngeles del Cielo
van a vivir en el Infierno. Los demonios tienden a no decir la verdad ms frecuentemente qne los
ngeles. Los demonios mienten el 80 % de las veces y los ngeles mienten el 20 % de las veces (en
estos das es difcil encontrar ngeles buenos!) . Despus del intercambio, la proporcin entre los
demonios y ngeles en el Cielo es 2:3. Mi ami go Jos muri y fue al Cielo. l encuentra a una
persona en la calle y le pregunta donde encontrar un baio para hombres. Desafortulladamente ,
los demonios y los ngeles no se pueden distinguir por su aspecto fsi co. Deseamos deterrIlinar:
" Un a cornpla de tarj etas de crdito encuent ra que cada mes el 50 % ele quienes poseen la tarjeta
3o.
cubren totalmente sus dend as.
a) Si se seleccionan dos usuarios al azar, cul es la probabilidad de que ambos paguen total-
mente su deuda ese mes?;
b) Si se selecciona un cliente al azar, cul es la probabilidad de que dicha persona pague
totalmente sus deudas en dos meses consecutivos?
c) En qu hiptesis se apoy para responder a los dos apartados anteriores? Le parece que
alguna de ellas no es razonable?;
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80 Captulo 2. El Concepto de Probabilidad
el) Un exallleu ms dctallado de los registros dc la compai1a muestra q1W el 90 % de los cliclltcs
que pagan tot,llmellt.e una cucnta mensual tambin lo hacfm al mes siguiente .Y que slo
cl 10 % de Imi que 110 pagan tot.almente en 11Il mcs cubren totall1lcllte su deuda al mcs
siguiente. Calcule, en este caso, la probabilidad pedida en b).
e) Con las hiptcs:s de d) , calcule la probabilidad de que un c!iente seleccionado al azar no
pague totalment.e ninguna de las dos cuentas mensuales consecutivas ;
f) Calcule la probabilidad de que slo pague una de las dos cuentas.
36. Basndose en varios estudios, una compaa ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de
encontrar pet.rleo, las formaciones geolgicas en 3 tipos. La compaa pretende perforar un
pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 Y 0.25 para
los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el
petrleo se encuentra en un 40 % de las formaciones de tipo 1, en un 20 % de las de tipo 11 y en
un 30 % de las de tipo nI. Si tras perforar el pozo, la compaa descubre a su pesar que all no
haba petrleo, determinar la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formacin
del tipo 11.
37. El cardinal de un espacio muestral finito es m. Los eventos A y B son independientes y cumplen
que:
p2
Pr(A) + Pr(B) = p y Pr(AnB)=-.
4
Halle la cardinalidad de A.
38. Demuestre que si se tienen B[, B2 , ... , Bn eventos mutuamente excluyentes, tales que su unin
es el espacio muestral, entonces se tiene que
n
L Pr(BiI A ) = l.
i=l
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