Tema 3. Geometría - Triángulos

CENTRO UNIVERSITARIO REPBLICA DE MXICO
GEOMETRA
GEOMETRA
Objetivo particular de la clase.
Dado un tringulo, clasificarlo de acuerdo a la longitud de sus lados y a la
medida de sus ngulos; as como identificar sus rectas y puntos notables.
3. Tringulos.
3.1 Caractersticas y definiciones.
Un polgono es una figura plana cerrada y acotada; que tiene por lados
segmentos de lneas rectas.
Un tringulo es un polgono de tres lados. El vrtice de un tringulo es el punto

en el que se juntan dos de sus lados. Un tringulo puede designarse por medio
de tres letras maysculas en cualquier orden o por medio de un nmero
romano dentro de el.
Las velas de los barcos presentan diferentes formas de tringulos, los mismos
que pueden clasificarse segn la longitud de sus lados o la medida de sus
ngulos.
Figura 1 Velas triangulares de los barcos.

3.2 Tipos de tringulos.
Clasificacin de tringulos por la longitud de sus lados.
a) Escaleno: Es un tringulo que no tiene lados congruentes.

b) Issceles: Es un tringulo que tiene dos lados congruentes.
c) Equiltero: Es un tringulo que tiene tres lados congruentes.
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a) b) c)
Figura 2 Tipos de tringulos segn las longitudes de sus lados.
Clasificacin de tringulos por la medida de sus ngulos.
a) Equingulo: Es un tringulo que tiene sus tres ngulos congruentes.

b) Rectngulo: Es un tringulo que tiene un ngulo recto.
c) Acutngulo: Es un tringulo que tiene tres ngulos agudos.
d) Obtusngulo: Es un tringulo que tiene un ngulo obtuso.
a) b)
c) d)
Figura 3 Tipos de tringulos segn las medidas de sus ngulos
3.3 ngulos del tringulo.

La suma de las medidas de los ngulos interiores en todo tringulo es
180.
La suma de las medidas de los ngulos agudos de un tringulo
rectngulo, es igual a 90.
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Los ngulos interiores de un tringulo equiltero miden 60.
En todo tringulo, la medida de un ngulo exterior es la suma de las
medidas de los ngulos interiores no contiguos.
En todo tringulo, la medida de un ngulo exterior es mayor que
cualquier ngulo interior no adyacente.
La suma de las medidas de los ngulos exteriores de cualquier tringulo
es igual a la medida de cuatro ngulos rectos (360).
Todo tringulo equingulo es equiltero, y viceversa, todo tringulo
equiltero es equingulo.
3.4 Mediciones geomtricas: Altitudes, mediatriz y bisectriz.

Un fabricante manufactura un producto que se vende en tres ciudades , y .
Se desea construir una fbrica en un punto que equidiste de las tres ciudades.
A continuacin se describen las rectas y puntos notables de un tringulo con
los cuales se pueden resolver problemas como ste, entre otros.
Figura 4 Fbrica equidistante a tres ciudades.

La bisectriz de un ngulo interior es la recta que lo divide en dos ngulos de
igual medida. Las tres bisectrices del tringulo se intersecan en un nico punto,
el cual equidista de los lados del tringulo. Este punto se denomina incentro,
denotado por en la Figura 5, y es el centro de la circunferencia inscrita
(circunferencia que es tangente a los lados del tringulo) en el tringulo.
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GEOMETRA
Figura 5 Incentro y bisectrices.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que lo divide en dos

segmentos de igual longitud. Las tres mediatrices del tringulo se intersecan en
un nico punto, el cual equidista de los vrtices del tringulo. Este punto se
denomina circuncentro, denotado por en la Figura 6, y es el centro de la
circunferencia circunscrita (circunferencia que contiene los vrtices del
tringulo) al tringulo.
Figura 6 Circuncentro y mediatrices.

La altura relativa a un lado base del tringulo es un segmento de recta
perpendicular al lado base, trazado desde el vrtice opuesto a la base o su
prolongacin. Las tres alturas del tringulo se intersecan en un nico punto.
Este punto se denomina ortocentro, denotado por H en la Figura 7. El trmino
se deriva de orto, recto, en referencia al ngulo formado entre las bases y las
alturas.
Figura 7 Ortocentro y alturas.
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La mediana de un lado del tringulo es el segmento que tiene por extremos el
punto medio del lado y el vrtice opuesto al mismo. Las tres medianas del
tringulo se intersecan en un nico punto. Este punto se denomina baricentro,
denotado por en la figura. El baricentro coincide con la nocin fsica de
centro de gravedad, tambin llamado centro de masa.
Figura 8 Baricentro y medianas

En un tringulo issceles, la mediatriz, la altura y la mediana respecto al lado
desigual (base del tringulo), coinciden.
Figura 9 Tringulo isceles.

En un tringulo equiltero, el incentro, el circuncentro, el ortocentro y el
baricentro coinciden, y estn situados en una de las alturas a una distancia de
2/3 respecto al vrtice. En un tringulo rectngulo, el circuncentro est situado
en el punto medio de la hipotenusa.
Dependiendo del tipo de tringulo, los puntos , y pueden localizarse en la

regin interna o externa del tringulo.
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3.5 Teoremas.
3.5.1 Teorema de altura.
1. Una altura de un tringulo es el segmento que va desde el vrtice hasta el
lado opuesto, y perpendicular a ste.
Figura 10 Altura de un tringulo.

2. En un tringulo obtuso, las alturas trazadas sobre cualquiera de los lados del
ngulo obtuso, sale del tringulo.
Figura 11 Altura de un tringulo obtuso.

3.5.2 Teoremas de los tringulos.
1. La bisectriz de un ngulo es el segmento que bisecta un ngulo y se
extiende hasta el lado opuesto.
2. La mediana de un tringulo es el segmento que va del vrtice al punto medio

del lado opuesto.
3. La mediatriz de un lado de un tringulo es la lnea que es perpendicular a

este lado y lo bisecta.
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Figura 12 1) Bisectriz y 2) Mediatriz y bisectriz.

Ejercicio en clase. Demuestre que la longitud de la altura de un tringulo
equiltero es igual al producto de la mitad de la longitud del lado por 3.

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CENTRO UNIVERSITARIO REPBLICA DE MXICO

Un tringulo es un polgono de tres lados. El vrtice de un tringulo es el punto

Figura 1 Velas triangulares de los barcos.

a) Escaleno: Es un tringulo que no tiene lados congruentes.

Clasificacin de tringulos por la medida de sus ngulos.

a) Equingulo: Es un tringulo que tiene sus tres ngulos congruentes.

3.3 ngulos del tringulo.

3.4 Mediciones geomtricas: Altitudes, mediatriz y bisectriz.

Figura 4 Fbrica equidistante a tres ciudades.

Figura 5 Incentro y bisectrices.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que lo divide en dos

Figura 6 Circuncentro y mediatrices.

Figura 7 Ortocentro y alturas.

Figura 8 Baricentro y medianas

Figura 9 Tringulo isceles.

Dependiendo del tipo de tringulo, los puntos , y pueden localizarse en la

Figura 10 Altura de un tringulo.

Figura 11 Altura de un tringulo obtuso.

2. La mediana de un tringulo es el segmento que va del vrtice al punto medio

3. La mediatriz de un lado de un tringulo es la lnea que es perpendicular a

Figura 12 1) Bisectriz y 2) Mediatriz y bisectriz.

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