2017619 VariedadpseudoriemannianaWikipedia,laenciclopedialibre

Variedadpseudoriemanniana
DeWikipedia,laenciclopedialibre

En geometra diferencial, una variedad

pseudoriemanniana es una variedad diferenciable
equipadaconuntensormtrico(0,2)diferenciable,
simtrico,queesnodegeneradoencadapuntodela
variedad. Este tensor se llama un tensor mtrico
pseudoriemanniano y a diferencia de un tensor
mtrico riemanniano no tiene por qu ser definido
positivo. De hecho la variedades
pseudoriemannianas generalizan el concepto de
variedadriemannana

Un tipo especial de variedad pseudoriemanniana

son las bandas lorentzianas o variedades de
Lorentz (en honor a Hendrik Antoon Lorentz).
Estas variedades tienen la propiedad de tener
signatura (1,n1) cuando la variedad tiene Matemticamenteelespaciotiempocurvoqueusalateora
dimensinn. Lasvariedadeslorentzianas tienen su delarelatividadesunvariedadpseudoriemannianacon
intersenlateoradelarelatividadgeneral,yaque curvaturadadaporladensidaddeenergaimpulso.
uno de los supuestos bsicos es que el espacio
tiempo puede modelizarse como una variedad
pseudoriemanniana de cuatro dimensiones de signatura (1,3), es decir, la variedad pueda interpretarse como
formadapor3dimensionesespacialesyunatemporal.

ndice
1 Variedadesriemannianasypseudoriemannianas
2 VariedadesdeLorentz
3 Geodsicas
4 Bibliografa

Variedadesriemannianasypseudoriemannianas
La diferencia clave entre una mtrica Riemanniana y una mtrica pseudoriemanniana es que una mtrica
pseudoriemanniana no necesita ser positivadefinida, simplemente no degenerada. Puesto que cada forma
positivodefinida es tambin no degenerada una mtrica Riemanniana es un caso especial de
pseudoriemanniano. As las variedades pseudoriemannianas se pueden considerar generalizaciones de las
variedadesdeRiemann.

Cadaformanodegenerada,simtricabilinealtieneunasignaturafija(p,q).Aqupyqdenotanelnmerode
losvalorespropiospositivosynegativosdelaforma.Lasignaturadeunavariedadpseudoriemannianaesjusta
lasignaturadelmtrico(unodebeinsistirquelasignaturaestigualencadacomponenteconexo).Observeque
p+q=nesladimensindelavariedad.LosvariedadesdeRiemannsonsimplementeesosconlasignatura(n,
0).

Elespaciomodeloparaunavariedadpseudoriemannianadesignatura(p,q)esRp,qconlamtrica

, (1)
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AlgunosteoremasbsicosdelageometradeRiemannsepuedengeneralizaralcasopseudoriemanniano.En
particular,elteoremafundamentaldelageometradeRiemannesverdadenlasvariedadespseudoriemannianas
tambin.EstopermitequesehabledelaconexindeLeviCivitaenunavariedadpseudoriemannianajuntocon
el tensor asociado de curvatura. Por otra parte, hay muchos teoremas en la geometra de Riemann que no se
sostienenenelcasogeneralizado.Porejemplo,noesverdadquecadavariedaddiferenciableadmiteunmtrica
pseudoriemannianadeunasignaturadadahayciertasobstruccionestopolgicas.

VariedadesdeLorentz
Lasmtricaspseudoriemannianasdesignatura(p,1)(oaveces(1,q),considerandolaconvencindesigno)se
llaman mtricas de Lorentz. Un variedad equipada de una mtrica de Lorentz naturalmente se llama una
variedaddeLorentz.DespusdelasvariedadesdeRiemann,lasvariedadesdeLorentz,formanlasubclase
msimportantedelasvariedadespseudoriemannianas.Sonimportantesdebidoasususosfsicosparalateora
delarelatividadgeneral. Una asuncin principal de la relatividad general es que el espaciotiempo se puede
modelarcomovariedaddeLorentzdelasignatura(3,1).

As pues, el espacio eucldeo Rn se puede pensar como la variedad modelo de Riemann, el espacio de
MinkowskiRp,1conlamtricachatadeMinkowskieslavariedadmodelodeLorentz.

UnadiferenciaimportanteentrelasvariedadesdeRiemannylasvariedadesdeLorentz,esqueenlasprimeras
todacurvageodsicaesunmnimolocaldelongitud,mientrasqueenunavariedadlorentzianaesunextremo
localounacurvade"longitudcero"(unmnimoenelcasodegeodsicasespaciales,unmximoenelcasode
geodsicastemporalesyunacurvade"longitud"ceroalolargodeunageodsicalumnica).

Geodsicas
Unapropiedadimportantedelasvariedadespseudoriemannianasesqueenellaslascurvasgeodsicasocurvas
demnimacurvaturanotienenporquserlocalmentecurvasdemnimalongitud,sinosimplementeextremales
de las ecuaciones de EulerLagrange, es decir, curvas que pueden ser localmente de mxima o de mnima
"longitud" (de hecho, el nombre longitud puede ser incorrecto ya que nos referimos a una magnitud que
generalizalalongituddeunacurvaypuedeserpositiva,negativaocero).

Bibliografa
O'Neill,B.SemiRiemannianGeometry:WithApplicationstoRelativity.AcademicPress,1983.

ISBN0125267401

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Categoras: GeometradeRiemann Variedadlorentziana

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