CMO ESTN ORGANIZADOS

LOS MDULOS DE MATEMTICA?

En esta breve introduccin describimos la organizacin de los mdulos de mate-

mtica, tal vez esta informacin puede servirle de gua para entender el modo en
que se presentan los contenidos.
En cada mdulo Ud. encontrar lecciones, que se agrupan segn temas prin-
cipales. En cada leccin hay diferentes secciones, algunas de ellas son: proble-
mas, soluciones propias, soluciones propuestas, actividades, claves de correccin.
Al finalizar el mdulo, se encuentran el trabajo prctico integrador y la bibliografa
correspondiente.
Vamos a describir brevemente cada una de esas secciones:
- planteamos problemas en un contexto conocido, ya sea familiar, laboral o
ldico. La idea es provocar su curiosidad mediante una situacin en la cual, si bien
se presenta un desafo intelectual, sus conocimientos, el contexto escolar y fami-
liar le ayudarn a abordarlos de alguna manera.
- esperamos que Ud. d a esos problemas una solucin propia, abriendo
la discusin a otras respuestas posibles dadas por sus compaeros.
- en las soluciones propuestas tratamos de mostrar otra manera de resol-
ver esos problemas, no necesariamente ms correcta que la suya, sino que nos
permite introducir los saberes que nos interesan, sea la notacin, la generalizacin
de los resultados, enunciar o usar definiciones y/o propiedades, o axiomas, o teo-
remas, y dar tambin demostraciones, etc; es decir, lo que constituye el cuerpo de
la matemtica.
- en las actividades Ud. ejercita las habilidades y conocimientos reciente-
mente adquiridos, contextualiza diferentes nociones, interpreta matemticamente
hechos de la vida cotidiana, etc.
- en las claves de correccin damos una respuesta a los problemas y/o
actividades planteadas, para que confronte sus resultados con los propuestos. Y
adems, es para nosotros una nueva oportunidad como en las soluciones pro-
puestas- de comunicarle otros saberes matemticos.
- en el trabajo prctico integrador, encontrar actividades que intentan
abarcar o interrelacionar temas comprometidos en ese mdulo o en otros.

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Funciona como un elemento de evaluacin, necesario para la promocin del
mdulo y que puede realizar individualmente o con la colaboracin responsable de
sus compaeros.
- la bibliografa, adems de dar cuenta de las fuentes consultadas, le da a
Ud. y tambin a los tutores la posibilidad de profundizar los diferentes temas.

En la pgina siguiente Ud., y con el fin de repasar algunas nociones bsicas de

matemtica, desarrolladas en los mdulos anteriores, le proponemos resolver los
siguientes ejercicios y problemas. Puede intentar hacerlos solo, o con sus compa-
eros, y ante dudas, consulte con el profesor tutor. Esperamos que esta revisin
le permita actualizar sus conocimientos disponibles para estudiar los mdulos
siguientes.

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 EJERCICIOS DE REVISIN

Resuelva justificando todas sus respuestas y escriba todos los planteos u ope-
raciones que realice.

1) Un supermercado tiene 5 puertas. Tres son de entrada y salida y las dems

solamente de salida. De cuntas maneras se puede entrar y salir de ese super-
mercado?

2) Escriba todos los nmeros naturales (x) que cumplen con:

a) 701 < x ? 707 b) x ? 1002 y x < 1007

3) El nmero representado a continuacin es 195.

a) El nmero representado tiene: . . . . . . . .cent.+ . . . . . . . . dec.+ . . . . .unid.

b) El nmero representado tiene: . . . . . . . . . .dec. + . . . . . . . . unid.
c) El nmero representado tiene: . . . . . . . . . . unid. en total.
d) Agrguele al nmero anterior, 1 decena, qu nmero obtuvo?

4) Un hecho ocurre en el ao 648 y otro en la mitad del siglo XII.

Cuntos siglos transcurrieron entre los hechos aproximadamente?

5) Observe la siguiente figura, en la que se ha desplazado una escuadra usan-

do como gua una regla.

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 c
a
Cmo es la recta a respecto la c?
Cmo es la recta b respecto la c? b
Cmo es la recta a respecto la b?

6) Resuelva aplicando las propiedades de la potenciacin:

a) 23 x 22 = c) 2 x 33 x 25 =
b) (23)2 = d) (23)2 + 5 x 42 =

7) Alguien afirma lo siguiente: (a + b)2 = a2 + b2 para cualesquiera nmeros

naturales a y b. Pruebe que esa afirmacin es falsa (use un contraejemplo).

8) Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar que cumplen con las
siguientes condiciones? (Puede utilizar un diagrama de rbol).

a) La cifra de la centena es: 1 o 9.

La cifra de la decena es: 2, 8 o 5.
La cifra de la unidad es: 0, 7 o 8.
b) Escriba el menor y el mayor de todos esos nmeros.

9) Se retiraron del Banco $ 7750,00 de la caja de ahorro. Cunto era el saldo

antes del retiro si el saldo actual es de $ 680,00

10) Escriba una situacin de la vida cotidiana que pueda representarse con una
expresin como la siguiente: a) 2 x 4 + 5 = 13

11) a) Encuentre el cociente y el resto de la siguiente divisin: 136 15

b) Siendo que: 764 = 6 x 127 + 2 , sin realizar la divisin diga, cul es el
cociente y el resto de la divisin 764 6?

12) Escriba en la calculadora, con dos dgitos, el mes en que sucedi algo impor-
tante de su vida. (Por ejemplo al mes de febrero le corresponde los dgitos 02).
Multiplique ese nmero por 5. Sume 6 a ese resultado. Multiplique esa respuesta
por 4. Sume 9 a ese total. Multiplique el resultado por 5. Sume el nmero del da
(tambin emplee dos dgitos). Sume 700 a ese total. Reste 865 a ese total.

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 a) Repita esta secuencia de pasos para distintas fechas. Qu relacin
existe entre la fecha ingresada y el resultado final?
b) Escriba las operaciones realizadas para una de esas fechas
c) Explique lo observado en el inciso a).

13) Dibuje un croquis que represente la ubicacin en el edificio, del aula en la que
se dictan la clases de matemtica, de modo que una persona pueda llegar hasta
Ud.

14) Un grupo de soldados no mayor que 100 y mayor que 50 desfilaba en hile-
ras de a cuatro, salvo uno que quedaba solo cerrando la marcha. El capitn mand
formar grupos de a tres. Pero este pobre soldado segua quedando solito, cerran-
do la marcha. El capitn entonces mand formar grupos de dos en dos. Pero el
soldado segua solo en el fondo.
El comandante principal, que observaba el desfile, dio la orden de formar de a
cinco. Ahora s! todas las filas quedaron completas y el soldado se uni a sus
compaeros Cuntos soldados desfilaban?

15) a) Escriba todos los divisores de los siguientes nmeros: 15 y 45.

b) Cul es el mayor divisor, comn a esos dos nmeros?

16) a) Escriba los primeros diez mltiplos de 2.

b) Escriba los primeros diez mltiplos de 3.
c) Encuentre dos mltiplos comunes a 2 y 3.
d) Cul es el menor de los mltiplos comunes (mcm) de 2 y 3?.

17) a) A las 6 de las maana el termmetro marcaba 6 grados y al medioda

7 grados. De cunto fue la variacin en la temperatura? Represente lo anterior
en una recta numrica.
b) La temperatura a las 9 hs. es 4 grados ms baja que la de las 16 hs. A
las 9 hs. el termmetro marcaba -11 grados, Cunto marc a las 16 hs?

18) Ubique en la recta numrica de abajo los nmeros enteros: 0 , -1 5 y 4

-3 2

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 19) Encuentre el mdulo y el opuesto para cada uno de los siguientes nmeros:

a) 12 b) 4 c) 0

20) Escriba todos los nmeros naturales (x) que cumplen con:

a) -7 < x < 3 b) x -102 y x < -90

21) Resuelva las siguientes sumas y restas de nmeros enteros:

a) 2 + 17 = b) 13 + (- 3) = c) 4 + (- 4) = d) 7 + (- 123) =
e) __ + (- 4) = 8 f) 5 + __ = -2 g) __ + (- 5) = 10
h) - 2 17 = i) 13 (-3) = j ) -7 (-123) =
k) __ (-4) = 8 l) 5 __ = -2 m) __ (- 5) = 10

22) Resuelva las siguientes multiplicaciones y divisiones de nmeros enteros:

a) - 2 17 = b) 13 (-3) = c) -7 (-3) = d) 3 . (-2) . 4 =
e) __ (-4) = 8 f) 5 __ = -10 g) __ (- 5) = -15
h) - 2 : (-1) = i) 3 : (-3) = j) -9 : (-3) =
k) __ : (-4) = 8 l) 5 : __ = -1 m) __ : (- 5) = -3

23) Calcule:
a) (- 2) + 5 + (- 10) + 2 + 10 0 = e) (3 - (- 2)) (20 - (-6) + (-10)) =
b) { [- 2 + (- 4)] + 5 - [(- 9) + 4)] } - 11 = f) (2)3 =
c) [(- 4) + 5] - {[3 - (-2)] + 15} = g) 23 =
d) (2 (-3) + 4) (-4) (-2) h) ( 25 + 16) 2 (- 3) - (-4) =

24) Exprese las siguientes fracciones en forma decimal y en forma porcentual:

a) 3/8 b) 2/5

25) Subdivida convenientemente segn los nmeros fraccionarios que est

debajo- las siguientes figuras y represente esos nmeros.

3 2 3 2
a) b) c) d)
6 5 8 12

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26) Coloque la fraccin que representa la parte pintada de cada figura

27) Ubique en la recta numrica los siguientes nmeros:

0, 1 , -2, -5/4, 3,25, -2/3, 5/2, - 0,7

28) Calcule: a) 1,7 % de 2,35 b) un cuarto del 4 % de 127

29) Calcule:

30) a) A cuntos m equivalen 200 cm?

b) A cuntos m3 equivalen 23 cm3?
c) A cuntos cm equivalen 2,54 pulgadas?

31) Calcule las siguientes races:

(con la calculadora y redondee el resultado a dos cifras decimales)

32) Encuentre un nmero racional p tal que:

a) p2 d como resultado 36/64,
b) -p3 d como resultado - 27/8

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 33) a) Calcule el permetro y la superficie del rectngulo de la derecha,
cuyos lados miden 20 m y 12 m.
b) Calcule la superficie del tringulo pintado de negro. (Sin usar la
frmula para el rea de un tringulo, piense en representacin de
fracciones).
c) Cuntos litros de pintura se necesitan para pintar el rectngulo,
cuando se usa una pintura que rinde aproximadamente 20 m2 por
litro?
e) Cuntos cuadraditos de un cm2 de superficie caben en cada uno
de los rectngulos?
20m

12m

34) Se quiere lotear un terreno de 6400 m2. Para ello se propone dividir el terre-
no en cuatro partes iguales, y en una primera discusin surgen dos posibilidades:

Posibilidad A Posibilidad B

a) Cul es la superficie de cada lote en A y en B?

b) El costo para subdividir fsicamente esos dos lotes, ser el mismo
en ambas distribuciones?
c) Proponga otras formas de lotear, de modo de obtener cuatro
sectores de igual superficie. Analice qu sucede, en cada caso, con
el costo de cierre de los lotes.

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 LECCIN 1
Funcin
Par ordenado, las coordenadas cartesianas

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 1: Una empresa de remises cuenta con un plano y una radio para
poder establecer la posicin de cada uno de sus autos. Un empleado va regis-
trando los desplazamientos de los vehculos con lneas horizontales o verticales, a
partir de la informacin que los choferes dan por radio cada vez que doblan una
esquina. La central de la empresa se encuentra en el punto (0; 0) del plano.

El remis de Manuel sali de la central y fue a buscar a un cliente. Marquen el

trayecto que tuvo que hacer si a la central report las coordenadas
(-2; 0), (-2; 2), (-3; 2) y (-3; 4)

El coche de Andrea acaba de dejar a un cliente en el punto (5; 4) y vuelve a la

central reportando los siguientes puntos; (6; 4), (6; 3), (3; 3), (3; 0) y
(0; 0) Marquen su trayectoria.

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Problema 2: Ubique en el plano cartesiano los siguientes puntos.
A = (3; 3) B = (2; 5) C = (4; 3) D = (0; 2) E = (3; 0) F = (0; 0)

Problema 3: Complete las coordenadas de los puntos sealados en el plano.

A =( ; ) B=( ; ) C=( ; )

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 Problema 4: La siguiente tabla da las coordenadas de cuatro puntos. Adnde
ubicar el origen y qu unidad elegir para representar en la cuadrcula y en un
mismo sistema de coordenadas a todos los puntos?

X 0 15 30 15

Y 10 0 10 130

Problema 5: Represente en un sistema de coordenadas los siguientes puntos:

a. (7;16) c. (8; 17)

b. (9;18) d. (8,5 ; 15)

Soluciones propuestas

Para identificar un punto cualquiera P del plano se utilizan sus coordenadas car-
tesianas, que se anotan en forma de par ordenado: P (x ;y), donde x representa el
desplazamiento sobre el eje horizontal (eje de las abscisas) respecto al centro de
coordenadas e y representa el desplazamiento sobre el eje vertical (eje de las
ordenadas) respecto del centro de coordenadas.

As en nuestro problema 1 si trazamos dos rectas perpendiculares (general-

mente se traza como muestra la figura 1) determinamos el origen y la unidad.
Habitualmente, al origen se lo designa con (0, 0) porque es el origen de las semi-
rrectas numricas que permiten ubicar los reales positivos y negativos. Volviendo
a nuestro problema podemos empezar a resolver diciendo que la central de la
empresa de remis se encuentra en el punto P (0;0).

Para analizar el trayecto que realiz el remis de Manuel, la central de remis, uti-
liza distintas coordenadas de referencia as por ejemplo la coordenada (-2; 0).

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 Entonces proponemos utilizar un mtodo para identificar todos los puntos: que
consiste en graficar dos ejes perpendiculares, como muestra la figura 1, y esta-
blecer para cada punto un par de coordenadas.

Esta forma de representar un punto en el plano se llama par ordenado, y los ejes
perpendiculares que usamos como referencia los llamamos ejes cartesianos.

Figura 1

Con lo aprendido en este problema ahora resuelva el problema 2 y 3.

Para resolver el problema 4, empezamos analizando que los valores estn orga-
nizados en una tabla, y que cada uno de ellos representa un par ordenado, que
nos permite determinar un punto en el sistema de coordenadas cartesianas. As
tenemos pares como (0;10) , (15;0) ,(30;10) y (15;130).
Un interrogante que se puede hacer es si tenemos suficiente espacio para repre-
sentar los puntos; mximo cuando tenemos un conjunto de puntos con coordena-
das bastantes dispares, como muestra la tabla.
Entonces la unidad puede ser una para el eje de las abscisas x y otra diferente
para el eje de las ordenadas y, pero una vez que se eligen, deben mantenerse.
Sobre el eje y necesitamos representar de 0 hasta 130, nos conviene que cada
unidad valga 10.

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 En cambio, sobre el eje x slo tiene que representar de 0 a 30, entonces deci-
mos que cada unidad vale 5. La representacin nos queda como muestra la sig.
figura:

En el problema 5 ordenamos los valores en una tabla,

X 7 8,5 8 9
Y 16 15 17 18

Vemos, que los valores de las abscisas estn entre los nmeros 7 y 9 o sea en
el intervalos [7,9], y los valores de las ordenadas estn en el intervalo [15,18]. Para
que la determinacin de los puntos sea ms clara, podemos entonces marcar el

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origen (0;0) y luego irnos directamente hasta el intervalo que nos interesa de la
manera que nos muestra la figura.

Actividades

1) La representacin muestra los cambios que se producen en un fenmeno.

a) lnvente una historia que se pueda representar con esa grfica.
b) Compare la historia que ustedes crearon con la de sus compaeros. Las
historias pueden ser muy variadas, pero puede determinar si se corresponden
con la grfica?

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 2) Represente, en un sistema de coordenadas que entre en la hoja, los pun-
tos siguientes:

3) El siguiente grfico se encuentra en la cabecera de la cama de un pacien-

te de un hospital. Muestra la variacin de la temperatura del paciente a medida que
transcurre el tiempo, a lo largo de un da.

a) Qu representa el eje de las abscisas (eje x)? Y el eje de las

ordenadas (eje y)?
b) Qu indica cada punto del grfico? Escriba ejemplos.
c) A qu hora del da el paciente registr la mayor temperatura?
d) Qu ocurri con la temperatura del paciente entre las 14 y las 19 horas?
e) Puede indicar el perodo de tiempo en el cual registra la temperatura
ms baja?

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 LECCIN 2
Funcin concepto, variable dependiente,
independiente.

Problema 6: Observe el siguiente grfico, extrado del diario La Nacin del 6 de

marzo de 2001, que representa la produccin y la venta de automviles en nues-
tro pas durante un ao.

a) En qu mes fue la mxima produccin de autos?

b) En qu perodo cayeron ms las ventas?
c) En qu meses hubo mayor diferencia entre la produccin y la venta
de automviles?

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 Problema 7: Carolina y Sabrina trabajan en la misma empresa. Carolina tiene
auto y suele pasar a buscar a Sabrina para ir juntas a trabajar.
Observe el grfico, que muestra cmo vara la distancia recorrida por Carolina
desde que sale de su casa hasta que llega a la empresa, y conteste a las pregun-
tas.

a) Cunto tarda en llegar a la casa de Sabrina?

b) A qu distancia de la casa de Carolina se encuentra la de Sabrina?
c) Cunto tiempo la espera?
d) A qu distancia se encuentra la empresa de la casa de Sabrina?

Problema 8: Los telfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y nme-
ros, por lo que a muchas empresas que contratan el servicio de 0800, una escue-
la podra tener el 0800372852, que se corresponde con eI 0800ESCUELA.
a. Qu nmeros habr que marcar para comunicarse con el 0800 HELADOS?
b. A qu palabra corresponder el 08001843367?

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

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 Soluciones propuestas

Problema 6: Para responder a las preguntas que se plantea en este problema,

debemos analizar el grfico. En l se representan los meses del ao en el eje hori-
zontal y las unidades producidas o vendidas, en el vertical. Si bien no est indi-
cada la escala en el eje vertical, se incluyen dentro del grfico algunos puntos que
nos permiten deducir que cada divisin en este eje representa 5.000 unidades y
que comienza desde el 10.000.
Cuando nos proponemos averiguar en qu mes fue la mxima produccin de
autos, tenemos que buscar el punto en que la produccin alcanz su mayor valor.
Esto sucedi en marzo de 2000.
Observamos en el grfico correspondiente a las ventas que entre octubre y
noviembre de 2000 fue el perodo en el que ms cayeron las ventas.
Para la tercera pregunta, analizamos ambos grficos simultneamente. La mayor
distancia entre las curvas se observa en noviembre de 2000; por lo tanto, es en
ese mes cuando se produjo la mayor diferencia.

Problema 8: Cuando estudiamos la relacin planteada en este problema, vemos

que es sencillo contestar a la primera pregunta porque a cada letra le correspon-
de un nmero; por lo tanto, para la heladera marcaremos 08004352367. E n
cambio, no sucede lo mismo en el caso de la pregunta b. pues a cada nmero le
corresponde ms de una letra y, por lo tanto, no hay una nica combinacin de
letras que se vincule a este nmero telefnico. Por ejemplo, TIDENS y UGFENS,
entre otros.

En todos los problemas anteriores se vinculan, en distintas situaciones, varias

variables: el grfico del primer problema relaciona la produccin, por un lado, y, por
otro, las ventas en el mismo perodo; tiempo transcurrido y la distancia recorrida.
En cada uno de estos problemas consideraremos dos variables; por ejemplo, la
cantidad de autos vendidos y cada mes del ao. En este caso decimos que la can-
tidad de autos es la "variable dependiente", y mes considerado, es la "variable
independiente".
Vemos que en los dos primeros problemas podemos responder a las preguntas
porque a cada valor de la variable independiente le corresponde un nico valor de
la dependiente.

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 En cambio, en el ltimo esto sucede slo con la relacin que le asigna a cada
letra el nmero que est en la misma tecla, ya que no ocurre lo mismo con la
correspondencia que a cada nmero le asigna una letra de la misma tecla por
haber varias posibilidades. Adems, al 1 y al 0 no se les asigna ninguna letra.
Nos interesa analizar ahora aquellas relaciones que vinculan todos y cada uno
de los valores de la variable independiente a un nico valor de la dependiente.

Una relacin entre dos variables es funcin si a cada valor

de la variable independiente (X) le corresponde un nico valor
de la variable dependiente (Y).

Importante
Se puede obtener una grfica a partir de una tabla, donde los datos que apare-
cen, los asociamos a cada par de valores las coordenadas de un punto en el plano.
Observe la siguiente figura:

Lado de un cuadrado(cm) x 1 2 3
rea (cm2) y 1 4 9

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Actividades

4) Los datos de la tabla informan la presin que ejerce el agua en distintas pro-
fundidades.

Profundidad (m) 0 10 20 30 40
Presin (atm) 1 2 3 4 5

a) Marque los puntos en un grfico, y luego una los puntos con

una lnea.
b) Indique cul es la variable dependiente e independiente.

5) En el zoolgico de la ciudad nacieron el mismo da un mono y una mona. El

grfico muestra la evolucin de sus pesos a lo largo de los 10 primeros aos.
Obtenga del grfico la informacin y responda a las preguntas.

a) A qu edad ambos primates tenan el mismo peso?

b) La mona estuvo enferma durante un tiempo y bajo de peso.
A qu edad, aproximadamente?
c) Cul de los dos pesaba ms cuando naci?

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 6)Cules de las siguientes tablas corresponden a funciones?Por qu?

a)

Talle 2 4 6 8 10 12

Precio($) 9 9 10 10 11 11

b)
Gramos 100 200 400 500

Precio($) 2,45 4,50 8 10

c)

x 5 10 15 15 20 25

y 2 4 6 8 10 12

7) Se soltaron 6 parejas de conejos en una isla. Un recuento ao tras ao de

la cantidad de conejos report las siguientes cantidades.

Tiempo (aos) 0 1 2 3

Cantidad de conejos 12 40 80 150

a) Identifique las variables que se consideran en la tabla.

b) Represente la funcin en sistema de ejes cartesianos.

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 LECCIN 3
Representacin grfica de distintas
funciones (lineal, cuadrtica, exponencial)

Problema 9: Miguel es tcnico en computadoras. Cuando le piden un servicio a

domicilio, cobra un valor fijo de $15 y un adicional segn el tiempo que le demore
el trabajo, que calcula a razn de $10 la hora.

a) Complete la tabla y a partir de la frmula de la funcin que

relaciona el costo de un trabajo en ($) y el tiempo (x )en horas
que le demand hacerlo. F(x) = 10 x + 15

Tiempo (x) 0,5 1 1,5 2 3 4

Costo ($)

b) Represente grficamente la funcin F(x) = 10 x + 15

c) Cul ser el costo de una reparacin que le requiere 5 horas
de trabajo?
d) Cuntas horas trabajo en un arreglo que cobr $ 75?

Problema 10: En la siguiente tabla se relaciona las medidas del lado L de dis-
tintos cuadrados, expresados en cm, con sus respectivas reas, expresadas en
cm2.

0,5 1 1,5 2 2,5 3

L (cm)

rea (cm2) 0,25

a) Complete la tabla, a partir de frmula F(L) = L2

b) Marcar los puntos en la grfica y nanlos con una lnea curva.

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 Problema 11: Algunas clulas se reproducen mediante un proceso llamado
biparticin, que consiste en que cada una se divide en dos. Consideren un con-
junto de clulas en las que cada una da origen a dos nuevas cada vez que trans-
curre una hora.
a) Complete la tabla que relaciona la cantidad de clulas con el
tiempo transcurrido, definida como F(n) = 2n donde n
representa las horas transcurridas.

Tiempo 0 1 2 3 4

N de clulas

b) Marque los puntos en la grfica.

Problema 12: Un estanque cuenta con 8 canillas que arrojan el mismo caudal
de agua. El tiempo que demora su llenado depende de la cantidad de canillas que
se abran.

a) Complete la tabla que relaciona el nmero de canillas abiertas

y el tiempo de llenado. La expresin que define la funcin es

24
F(x) =
x

b) Marque los puntos en el grfico cartesiano.

N de canillas 8 6 4 2 1

Tiempo (h)

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

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 Soluciones propuestas

Cuando se trabaja con funciones, muy frecuentemente se designan con la letra

x a los valores de la variable independiente (leccin 2) y con la letra y o con la
expresin F(x) a los valores de la variable dependiente.
En muchos casos, existe una frmula que permite calcular cada valor de y cono-
ciendo el correspondiente valor de x.

Este es el caso que se le plantea en el problema 9, as

F(x) = 10 . x + 15 significa que la funcin F asigna a cada valor de x

el nmero y que se obtiene multiplicndolo por 10 y sumndole 15, entonces para
1 hora de tiempo, la funcin F(x) le hace corresponder el valor $ 25 o sea que para
1 hora de trabajo cobrar $ 25.

Si completamos la tabla nos queda:

Tiempo (h) x + 15
Costo ($) F(x) = 10 . h

0,5 ....... ...................

1 25 $10 . 1hora + $15 = $25

1,5 ........ ....................

2 . . . . . . . . $10 . 2horas + $15= $35

3 ........ ....................

4 ........ ....................

pgina 137
 Complete la tabla con los pares ordenados faltantes.
As puede observar que al representar los puntos en un sistema de ejes carte-
sianos y unirlos por medio de una lnea, el grfico que se asocia a esta funcin es
una recta, (Figura 1)
(Figura 1)

50
Costo
45

40

35

30

25

20

15
Tiempo
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

entonces, decimos que toda funcin cuya frmula sea de la forma F(x) = a. x + b
(a y b nmeros reales) la definimos como funcin lineal, y que ser motivo de un
estudio ms profundo en prximos mdulos.
Con lo aprendido, Ud. podr responder las preguntas c y d del problema.
Para el problema 10, empezamos completando la tabla de valores realizando los
clculos que me indica la expresin F(L) = L2, as tenemos que para un cuadrado
de 1cm de lado, tenemos una superficie o rea de 1cm2, para 2cm de lado tene-
mos un rea de 4cm2, as hasta completar la tabla.

L (cm) rea (cm2) F(L) = L2

0,5 0,25 0,5 cm . 0,5 cm = 0,25cm2

1 1 1 cm . 1 cm = 1 cm2

1,5 ...... ......................

2 ...... ......................

2,5 ...... ......................

3 ....... ......................

pgina 138
 Complete la tabla de valores.
Si representamos cada par ordenado en un sistema de coordenada cartesianas
y unimos los puntos por medio de una lnea curva, se obtiene la siguiente grfi-
ca.

rea

Lado

Si comparamos el grfico del problema 9 con el grfico del problema 10, obser-
ve que a esta funcin no le corresponde las caractersticas de la funcin lineal,
entonces, a toda funcin que se exprese en la forma F(x) = ax2 + bx + c (a, b y
c, nmeros reales) y que al representar se obtienen puntos que pertenecen a una
curva llamada parbola, es una funcin cuadrtica.

Empezamos a resolver el problema 11 completando la tabla de valores a partir

de la frmula F(n) = 2n , obtenemos entonces valores tales como (0;1), (1;2), (3;8),
(4,16).

Tiempo Nde
clulas
F(n)=2n
0 1

1 2

3 ......

4 ......

pgina 139
 Complete la tablas de valores.
Si representa esos puntos en el sistema de ejes Ud. ve que los puntos de su gr-
fica pertenecen a una curva que no tiene contacto con el eje de las X.

N de Clula

Tiempo

Entonces llamamos funcin exponencial a toda funcin cuya expresin sea de

la forma F(n) = k . an (k y a son nmeros reales ; a > 0 y a 1) y la curva que la
representa no tiene contacto con el eje de las abscisas.

Para el problema 12, al completar la tabla de valores a partir de realizar el

cociente entre 24 y los valores que representa la cantidad de canillas

N de Tiempo
24
canillas F(x)=
x
8 3

6 4

4 ......

2 ......

1 ......

pgina 140
 Complete la tabla
as tenemos pares ordenados como (8;3), (6;4), (4;6), (2;12), (1;24) y represen-
tando los puntos en sistema de ejes, el grfico obtenido:
N de Canillas

Tiempo

observe que los mismos estn sobre una curva llamada hiprbola, que no tiene
k
contacto con los ejes cartesianos, y cuya expresin es de la forma F(x) = (k
x
es un nmero real; x 0 y k 0), se llama funcin de proporcionalidad inversa.

Analizando estos problemas y a modo de sntesis Ud. ha visto, que tanto en la naturaleza
como en los fenmenos creados por el hombre, ocurren distintas situaciones en las cuales se rela-
cionan distintas magnitudes entre s (espacio, tiempo, dinero peso, etc.), donde muchas de estas
relaciones son funciones, que algunos casos estn descriptos a travs de frmulas, tablas, grficos,
nos permiten predecir y analizar como es su comportamiento.

Actividades

8) Grafique cada una de las siguientes funciones definidas por frmulas.

pgina 141
 LECCIN 4
Dominio - Imagen.

Problema 13: Roberto tiene 2 m de varilla de madera para armar un marco rec-
tangular. Consideren las posibles medidas del marco y completen la siguiente tabla
que vincula el ancho al largo del mismo:

Largo del marco (metros) 0,4 1

Ancho del marco (metros) 0,5 1,5

Problema 14: Hallar el dominio y la imagen de las siguientes funciones:

a) Y= 3x + 5
b) Y= 3x - 7
c) Y= x 5
d) Y= x2
1
e) Y =
x +3

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Soluciones propuestas
En el Problema 13 el marco de Roberto puede medir, por ejemplo:

pgina 143
 Roberto tiene muchas posibilidades para construir su marco, pero no puede fabri-
car uno de 1 m de largo ni de 1,5 m de ancho, porque en estos casos no tendra
suficiente varilla para los cuatro lados.

El marco de Roberto debe tener el largo y el ancho menores que 1. Por lo tanto,
los valores que puede medir el largo son los nmeros racionales entre 0 y 1.
Dominio e imagen de una funcin: el dominio de una funcin f es el conjunto de
todos los valores permitidos que puede tomar la variable independiente. Se deno-
ta Dom f o Df.

Por ejemplo, el dominio de la funcin del problema 13 es el conjunto de los

nmeros racionales entre 0 y 1.
Si analizamos ahora los valores que puede tomar la variable dependiente en el
problema anterior, observamos que tiene las mismas limitaciones que la inde-pen-
diente. Por lo tanto, los valores que puede tomar la variable dependiente son los
nmeros racionales entre o y 1.
La imagen de una funcin F es el conjunto de todos los valores permitidos que
toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

En el problema 14 las funciones estn definidas por frmulas, por ejemplo:

Y = 3 x 5 o bien F(x) = 3 x 5, y todos los valores que se utilicen para hallar la
imagen (y) , a travs de esta funcin son vlidas para todo nmero real , por lo
tanto el Dom f = R

Analicemos su imagen: tomemos un nmero real y cualquiera, Estar en la ima-

gen? . Para responder esta pregunta que todos los valores tambin son vlidos,
por lo tanto la imagen de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales,
Im f = R

1
En el caso de la funcin y = como la divisin por 0, no est definida, el domi-
x
nio de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales distintos de 0, sim-
blicamente Dom f = R {0} Qu pasar con la imagen?.

Tal como lo hicimos en este ejemplo, es muy usual llamar Y al valor que le
corresponde a x a travs de una funcin. Por este motivo, cuando se define
una funcin a travs de una frmula se usa indistintamente F(x) o Y.

pgina 144
Actividades

9) Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba, y se anota en una tabla la altu-
ra que alcanza en distintos momentos posteriores al lanzamiento.
Considere la funcin asociada a esta tabla de valores: h es la altura en metros y
t es el tiempo en segundos.

Tiempo(seg) 0 5 10 15 20
Altura(m) 0 75 100 75 0

a) Marquen los valores registrados en el sistema cartesiano.

b) Completen las siguientes oraciones:

I. La piedra tardar . . . . . . seg. en llegar al suelo desde que fue

arrojada.
II. El dominio de la funcin F(x) es .............. , y la imagen
..............
III. La altura mxima que alcanza la piedra es a los . . . . . . seg.
de haber sido arrojada.

10) Indique el dominio y la imagen de las siguientes funciones definidas por fr-
mulas:
1
a) Y=
x +7
b) Y = 2 x + 9

pgina 145
 LECCIN 5
Ceros y Races

Problema 14: La doctora Garca nutricionista, registra una vez al mes, en un gr-
fico cartesiano, la variacin del peso en gramos de sus pacientes en funcin del
tiempo.
Este grfico corresponde a la seora Adela, quien comenz la dieta con 98 Kg.
y realiza su consulta a la doctora Garca una vez por mes.

a. Cunto pesaba en la tercera consulta?

b. Cunto aument entre el cuarto y el quinto mes?
c. En qu mes esta paciente alcanz su menor peso?
d. Y el mayor?
. En qu perodos baj de peso?
f. En qu perodos subi de peso?
g. Hubo algn momento en el que su peso no vari?
h. En qu meses la paciente volvi a pesar lo mismo que al comenzar
el tratamiento?

pgina 147
 Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Soluciones propuestas
Para responder a las preguntas anteriores debemos tener en cuenta que el gr-
fico representa la variacin del peso de la paciente, es decir que el punto (3; -2000)
nos indica que en el tercer mes baj 2000 g.
En la tercera consulta pesaba 96 Kg pues haba bajado 2 Kg. Entre el cuarto y el
quinto mes aument un kilo. Si observamos globalmente la grfica, vemos que
desde que comenz la dieta y hasta el segundo mes, fue bajando de peso; a par-
tir de all subi de peso hasta la octava consulta, luego baj hasta la visita siguien-
te y volvi a aumentar durante el dcimo mes para luego seguir bajando durante
el resto del perodo registrado.
Tambin podemos ver que en la sexta, novena y undcima consultas pesaba lo
mismo que en el momento que comenz su tratamiento ya que la variacin que
muestra el grfico es 0.

Los ceros o races de una funcin son aquellos valores del dominio cuya
imagen es cero.
En el caso de una grfica los ceros o races de una funcin son las abscisas
de los puntos en los cuales su grfica tiene contacto con el eje de las x.

Por ejemplo, en el caso de la funcin que estamos estudiando, los ceros corres-
ponden a los meses en que la seora Adela volvi a su peso inicial, es decir que
la variacin fue nula en esos meses, lo que ocurri al sexto, noveno y undcimo
meses.

Cmo hallamos los ceros en una funcin dada por su frmula?

Analicemos la funcin f: R R / f(x) = x - 4

Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale 0; por lo tanto, simb-
licamente escribimos:
F(x) = x - 4 = 0
Nos qued planteada una ecuacin que deberemos resolver para responder a la
pregunta que nos planteamos. En este caso el cero de esta funcin es: x = 4

pgina 148
Actividades

11) Hallar los ceros de las siguientes funciones:

a) F(x) = 2 x 5
b)

12) Completen las tablas de valores, las grficas y los ceros de las
siguientes funciones definidas por frmulas.

pgina 149
 LECCIN 6
Proporcionalidad
Magnitudes proporcionales

En el captulo anterior tratamos leyes de correspondencia entre dos variables y

dijimos que lo interesante es estudiar el cambio, es decir cmo y cunto cambian
las cosas en relacin a otras. A veces esos cambios entre dos listas de nmeros
siguen leyes particulares que permiten afirmar que hay proporcionalidad. Cmo
distinguir cundo existe proporcionalidad? Por qu es importante distinguirla?
Problema 15: El tanque de nafta de un automvil tiene una capacidad de 55
litros. Se sabe que con 1 litro de nafta, a velocidad constante, recorre 8 km.
a) Cuntos kilmetros puede recorrer el automvil con 5 litros de nafta? Y
con la mitad del tanque? Y con el tanque lleno? Si el tanque est vaco, cun-
tos kilmetros puede recorrer?
b) Para recorrer 240 km, cuntos litros de nafta se necesitan? Y para
recorrer 160 km?
c) Represente en un sistema de ejes cartesianos los valores que se corres-
ponden; ubique la variable litros de nafta sobre el eje de las abscisas, y la varia-
ble distancia recorrida sobre el eje de las ordenadas.
Problema 16: Juan, un beb de 2 aos de edad, actualmente pesa 14 kg y mide
0,90 m de altura. Si suponemos que seguir un ritmo normal de crecimiento, cul
ser su peso y altura en seis meses ms? Y en tres aos ms? Y cuando cum-
pla veinte aos?
Problema 17: En una ciudad determinada, el precio de un viaje en taxi se cal-
cula as: $ 1,10 por la bajada de bandera, $ 0,50 por km recorrido y $ 0,75 por
minuto de espera.
a) Cunto pagar un pasajero por un recorrido de 2 km? Y por 7,5 km?
Y por un tramo de 10,9 km? Y por viajar 17,5 km?
b) Representen la relacin entre los Km recorridos y el precio correspon-
diente.
Problema 18: En un supermercado una caja de ravioles cuesta $ 2,10. La ofer-
ta de la semana dice: 3 cajas al precio de 2.
a) La cajera tiene una lista con el monto que debe cobrar segn el cliente
lleve 1, 2, 3, .... 11 cajas. Cul es la lista de la cajera?

pgina 151
 b) Cmo calcula la cajera el monto que deber pagar un cliente que lleva
para su restaurante 169 cajas?
Problema 19: Un bodeguero (tal como vimos al estudiar divisibilidad) necesita
fraccionar 60 litros de vino tinto y quiere repartirlos en envases que contengan 0,20
l, 0,50 l, 0,75 l, 1 l, 1,250 l, 2 l y 5 l.

Va a utilizar slo un tipo de envase para los 60 litros.

a) Complete la tabla que est a la derecha. volumen de cantidad de

cada envase envases

b) Represente los pares de valores obtenidos 0,20 l.

en un sistema de coordenadas cartesianas,
tomando sobre las abscisas el volumen de 0,50 l.

cada envase y sobre las ordenadas la canti-

0,75 l.
dad de envases.
1 l.
c) Pueden imaginar la lnea que forman esos
2 l.
puntos?
1 l.

Problema 20: En una caja que contiene 350 gramos (se denota g) de queso de
tipo A, se lee: Este queso tiene 140 g de materia grasa.
a) Si se comen 30 g de ese queso, cuntos gramos de materia grasa se
ingieren? Una persona que hace una dieta estricta slo puede comer 20 g de
materia grasa. Cuntos gramos de ese queso pueden comer?
b) En la caja de otro tipo de queso B se encuentra: Cada 150 g de queso
hay 50 g de materia grasa. Si tomamos 100 g de cada uno de los quesos, cul
de los ellos tiene mayor cantidad de materia grasa?
Problema 21: En un terreno que la municipalidad cedi a los vecinos para crear
un espacio verde, se quieren hacer zonas de paseo, de deportes y de juegos infan-
tiles. Un grupo de gente quiere hacer un cantero -que rodee el terreno- de 2 m de
ancho para plantar rboles (tipas y lapachos) y otro circular de 2,5 m de radio, para
cultivar rosales, en el centro del terreno. Estas propuesta son aceptadas por todos
los vecinos.
El terreno es un cuadrado de 70 m de lado. Est en discusin dnde ubicar y de
qu medidas podran ser los otros sectores; deciden entonces hacer, en un cua-

pgina 152
drado sobre una hoja de papel tamao A4, un plano del terreno y de los canteros
para pensar despus en la distribucin y el espacio disponible para las otras
zonas.
Dibujen el plano bsico, es decir el terreno y los canteros. Qu propuesta puede
hacer para el conjunto del espacio verde?

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Soluciones propuestas

Problema 15: Para recorrer 8 km el auto consume 1 litro de nafta, entonces

podemos pensar que si se mantienen las condiciones, cada vez que recorre 8 km
consume un litro. Para hacer 16 km, necesita entonces 2 litros. Y con 3 litros, har
24 km. Podemos organizar los datos, y las conclusiones que sacamos a partir de
ellos en una tabla:

litros de nafta km recorridos

Observamos que si
1 8 multiplicamos por 5 la
cantidad de litros de nafta,
5 40 entonces tambin se
multiplica por 5 la cantidad
27,5 220 de km recorridos. Y lo mismo
sucede con la otra columna:
55 440 si multiplicamos por 30 los km
recorridos (para pasar de 8 a 240),
0 0 entonces el valor correspondiente
del consumo de nafta se
30 240 multiplica tambin por 30.
Si el tanque tiene 0 litros de
20 160 nafta, obviamente recorrer 0 km.
(No se trata de un auto elctrico!).

pgina 153
 Cuestin: Por cunto tenemos que dividir el valor correspondiente al espacio
recorrido si dividimos por 3 la cantidad de litros consumidos? Para saber cuntos
litros consume para recorrer 160 km, podemos pensar que multiplicamos 8 km por
20, o bien 40 km (obtenido a partir del recorrido con 5 l) por 4. La respuesta es la
misma?
Si representamos en un sistema de ejes cartesianos los datos de la tabla an-
terior, se obtiene el siguiente grfico:
Km recorridos

Litros de Nafta

Problema 16:El ritmo de crecimiento del peso y la altura de una persona es muy
rpido en los primeros meses, pero no se mantiene durante toda la vida. Hay
tablas, segn ciertas caractersticas anatmicas y biolgicas, que dan los valores
normales de acuerdo con las edades. No podemos dar con certeza las respues-
tas a este problema, lo que s se puede afirmar es que un nio no mantiene ese
ritmo de crecimiento, de lo contrario Juan (el beb del problema) a los 20 aos
pesara 140 kg y medira 9 m de altura!

Problema 17: Para hacer un recorrido de 1 km, recorrido precio

el pasajero deber pagar $ 1,10 por la bajada de en km en $
bandera, ms $ 0,50. Para hacer 7,5 km, es $ 0 1,10
1,10 ms $ 3,75 (7,5 . 0,50), o sea $ 4,85.
1 1,60
Podemos hacer una tabla de valores, y el grfico
2 2,10
que corresponde:
7,5 4,85
10,9 6,55
17,5 9,85

pgina 154
 Problema 18: La lista que tiene la cajera muestra los siguientes valores:

N de cajas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Precio 2,10 4,20 4,20 6,30 8,40 8,40 10,5 12,6 12,6 14,7 16,8

Para calcular cunto cuestan 169 cajas, podemos determinar cuntos montones
de tres cajas se pueden obtener con ese nmero. Dividimos y obtenemos: 169 =
3 . 56 + 1.
El cliente tendr que pagar entonces 56 . 4,10 + 2,10 = 231,70. Es decir $ 231,70

Problema 19:

volumen de cantidad de La lnea que une los puntos determinados

cada envase envases es la que trazamos en rojo.
0,20 300
0,50 120
0,75 80
1 60
2 30
5 12

Problema 20: La persona que come 30 g de queso de tipo A, ingiere 12 g de

materia grasa. Cmo lo determinamos? Podemos calcular cunta materia grasa
corresponde a 5 g de queso, y luego, con el procedimiento seguido para el primer
problema de este captulo, responder a las otras preguntas. Lo mismo para el
queso de tipo B.

pgina 155
 El queso tipo A tiene mayor cantidad de materia grasa, porque cada 100 g hay
40 g de grasa con respecto al queso tipo B que tiene 33,33.

Problema 21: Para disear el conjunto del espacio verde, conviene hacer un
plano que respete las dimensiones an cuando se haga en tamao reducido. As,
el dibujo de la izquierda, hecho a ojo, no da una buena idea para tomar decisio-
nes acerca de la distribucin y dimensiones de las diferentes zonas. El plano de la
derecha, s puede ayudar a decidir qu hacer en el terreno. Elegimos representar
con 1 cm sobre el papel 500 cm (es decir 5 m) del terreno, y entonces en un cua-
drado de 14 cm de lado, mostramos el terreno. El radio del cantero circular medi-
r en nuestro plano 0,5 cm, y el cantero del borde 0,4 cm.
Cuestin: Cmo queda el plano si representan con 1 cm sobre el papel 700 cm
(7 m) sobre el terreno?

Cundo dos magnitudes son proporcionales?

En el Problema 15, el anlisis del cambio entre el espacio recorrido y el consu-

mo de nafta nos permite enunciar ciertas propiedades:
I) a 0 litros de nafta corresponden 0 km recorridos,
II) al doble de litros corresponde el doble de km recorridos (lo mismo

1
sucede si multiplicamos por 5, o por 30, o por , o ...),
2

III) cada vez que agregamos 1 litro de nafta (avanzamos uno sobre el eje de
las abscisas), el auto recorre 8 km ms (avanzamos 8 km sobre las
ordenadas), y esto independientemente del punto que tomemos como
partida.

Porque se cumplen esas propiedades, el espacio recorrido es proporcional al

consumo. La representacin grfica de esa ley de correspondencia es una recta
que pasa por el origen de coordenadas.
Analicemos adems los valores que se corresponden:

km 4 8 16 24 40 64 80 160 220 240 440

Litros 0,5 1 2 3 5 8 10 20 27,5 30 55

pgina 156
 Para hacer 4 km, se consumen 0,5 litros; para hacer 8 km, se consume 1 litro;
para hacer 16 km se necesitan 2 litros, ... Aqu hay cierta regularidad, no? Cul
es? Es la que surge de la propiedad (III): cada 8 km recorridos se consume 1 litro
de nafta. Ese valor constante se pone de manifiesto si dividimos los kilmetros
recorridos por los litros de nafta correspondientes:

4 8 16 24 64 40
=8 =8 =8 =8 =8 =8
0,5 1 2 3 8 5

Ese valor constante, 8 en este caso, se denomina coeficiente de proporciona-

lidad.

Y si dividimos los litros de nafta por los km recorridos?

0,5 1 2 5
= 0,125 = 0,125 = 0,125 = 0,125 ...
4 8 16 40

Tambin obtenemos una constante, inversa a la anterior, que nos indica que por
cada kilmetro que recorre el automvil, consume 0,125 litros de nafta.

Analicemos qu pasa en el Problema 16; si bien el peso de un beb aumenta con

la edad, y la altura tambin, no lo hacen proporcionalmente. Por qu? Veamos
la relacin entre el peso y la edad. Si tomamos como edad 0 el nacimiento del
beb, en ese momento pesa aproximadamente 3,5 kg. Es decir no se cumple la
propiedad (i) que al valor 0 para la edad le hace corresponder el 0 para el peso.
Adems, si en dos aos aument unos 11 kg, no es cierto que durante toda su
vida, cada dos aos va a engordar 11 kg. Tampoco se verifica la propiedad (III). Y
qu pasa con la propiedad (II)?

Cuestin: Cmo analizan la relacin edad-altura en ese mismo problema?

Cuestin: Los problemas 17,18,19 son ejemplos de magnitudes que no son pro-
porcionales. Analicen, como lo hicimos para el problema 15, por qu afirmamos
eso.

Por qu es importante distinguir la proporcionalidad?

En la naturaleza y en la vida cotidiana hay una gran variedad de fenmenos que

pgina 157
se comportan segn las propiedades que caracterizan a la proporcionalidad. As,
el peso de un cable es proporcional a la longitud del cable, el dinero que hay que
pagar por un crdito es proporcional al monto y al tiempo que dura el prstamo
(salvo gastos fijos), los impuestos inmobiliarios son proporcionales a la superficie
cubierta, etc.
Sin embargo, hay una multitud de casos que parecen comportarse proporcional-
mente, y no es as: se requiere entonces un anlisis ms fino para decidir si es
necesario estudiar ese fenmeno con otra herramienta matemtica o bien en qu
condiciones hay proporcionalidad.

Ejemplo I:
El problema 19 (el del bodeguero), necesita otra herramienta matemtica, porque
si bien hay cierta regularidad entre los valores que toma el volumen de cada enva-
se y la cantidad de envases, no existe una proporcionalidad que pueda ser repre-
sentada por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Ejemplo II:
En el problema 17 (el del taxista) lo que el pasajero paga en total no es propor-
cional a la distancia recorrida porque hay un gasto fijo, que es la bajada de ban-
dera: al valor 0 para la distancia corresponde $ 1, 10. No se verifica la propiedad
(i). Sin embargo, si estudiamos el problema a partir de que el mvil empieza a
moverse, el precio es proporcional a la distancia, porque por cada kilmetro reco-
rrido el precio crece $ 0,5.
Algunos de Uds. estarn un poco inquietos preguntando: En qu queda-
mos, hay o no proporcionalidad? La respuesta es nica, no hay ambigedad, pero
hay que decir en qu condiciones se estudia el problema.

Ejemplo III:
Una receta de panqueques para 4
personas indica: 2 huevos, 200 g de
harina, 4 tazas de leche. Para 6 per-
sonas dice: 3 huevos, 300 g de harina,
6 tazas de leche. Al completar la tabla
con los valores que corresponden
para el harina y la leche obtenemos:

pgina 158
 Se observa que a veces vara el nmero de personas, pero no el nmero de hue-
vos necesarios para la preparacin. En cambio, la cantidad de harina y el nmero
de tazas de leche, acompaa el cambio en el nmero de personas.
Al representar en un sistema de coordenadas los valores que relacionan la can-
tidad de harina necesaria (sobre el eje de las ordenadas) con el nmero de per-
sonas, obtenemos puntos alineados, entre los cuales est el par (0,0).

A doble cantidad de personas corresponde doble cantidad de harina; si se cua-

driplica el nmero de personas, entonces se hace por cuatro la cantidad de hari-
na.

Adems, los cocientes entre la cantidad de harina y el nmero de personas da:

100 150 200 250 500

= = = = ...= = 50
2 3 4 5 10

Ese valor constante, 50, es el coeficiente de proporcionalidad. Indica que por

cada persona que se agrega, es necesario aumentar en 50 gr. la cantidad de hari-
na. Entonces, la cantidad de harina y el nmero de personas correspondiente
estn relacionadas en forma directamente proporcional.

Sin embargo la relacin entre el nmero de huevos y el nmero de tazas de

leche, no es proporcional. Y tampoco lo es la relacin entre la cantidad de perso-
nas y el nmero de huevos que exige esta receta.

pgina 159
Actividades

13) Un peatn M camina de manera que recorre 40 m por cada minuto de mar-
cha. Su velocidad es entonces de 40 m/minuto. Esto significa que en 2 minutos va
a recorrer 80 m, y en 3 min. recorrer 120 m. M est representado en el sistema a
la derecha.
Un peatn N, representado en el mismo sistema, marcha a una velocidad distin-
ta. Cul es la velocidad de N? Quin desarrolla una velocidad mayor? Cmo
se ve en la grfica?

14) En muchos supermercados hay balanzas electrnicas en las cuales al colo-

car la mercadera se puede teclear el precio de la misma, y la balanza da al ins-
tante el importe total de lo que colocamos sobre ella. En una de esas balanzas se
realizan diferentes pesadas de naranjas en oferta, al precio de 0,90$ por kilogra-
mo.
a) Cunto indica el visor de la balanza para 1,5 kg de naranjas? Y para
ninguna naranja? Y para 2 kg de naranjas? Y 4 kg?
b) Si la balanza indica 2,025$, cuntos kg se han colocado sobre la
balanza?
c) Organicen los datos obtenidos en una tabla.
d) Representen en un sistema de ejes cartesianos los datos de la tabla.

15) Los siguientes grficos muestran la relacin entre el consumo de energa y

el tiempo de funcionamiento de dos mquinas industriales:

a) Cunto consume la primera mquina en 1 hora? Y en 3 horas? Y en

30 min?
b) Cunto consume la segunda mquina en 1 hora? Y en 4 horas?
c) En cul de los dos casos el consumo de combustible es directamente
proporcional al tiempo de funcionamiento? Justifiquen la respuesta.

pgina 160
 16) En la siguiente tabla se muestran los valores de dos cantidades que se
relacionan en forma directamente proporcional:

A B C D
2,4 x y z

a) Cunto vale x si B es la mitad de A?

b) Cunto vale y si C es el doble de A?
c) Cunto vale z si D es 1/3 de A?

17) En la fiesta de cumpleaos de Ana haba 3 nios para cada 2 nias. Si

haba 9 nios cuntas nias haba?

18) Un rollo de alambre de cobre de 5,1 m de longitud, pesa 0,390 kg Cul

ser la longitud de un rollo del mismo alambre que pesa 1,170 kg.? Cunto pesa-
r un rollo de 8,5 m de ese mismo alambre?

19) Para obtener 10,1 kg de sal marina, hay que evaporar 310 kg de agua de
mar. Qu cantidad de agua de mar hace falta evaporar para obtener 15,5 kg de
sal? Y 250,2 kg de sal? Qu cantidad de sal marina se puede obtener al eva-
porar 62,8 kg de agua de mar? Y 7285,5 kg?

pgina 161
 LECCIN 7
Las escalas

Para realizar mapas o planos, tal como lo planteamos en el problema de disear

un espacio verde (Problema 20), se trata de establecer una ley de corresponden-
cia que a una longitud real, sobre el terreno, le hace corresponder una longitud
sobre el papel. Esa ley de correspondencia que se establece entre valores de una
misma magnitud, la longitud, se denomina escala.
En nuestro problema, el lado del terreno mide en la realidad 70 m y eso no cam-
bia. Pero al representarlo, podemos elegir diferentes escalas
- en un primer dibujo elegimos la escala que a 1 cm sobre el papel hace
corresponder 500 cm sobre el terreno. All, el cuadrado sobre el papel result de
14 cm de lado, y la escala usada se denota 1 : 500.
- en la cuestin, para el mismo problema, sugerimos usar una escala que a
1 cm sobre el papel hace corresponder 700 cm sobre el terreno, entonces el cua-
drado sobre el papel result de 10 cm de lado. En este caso la escala es 1 : 700.

Adnde est la proporcionalidad en esta nocin de escala?

Volvamos a la solucin que dimos para el problema 20. Es claro que a una dis-
tancia 0 en la realidad, corresponde una distancia 0 en el papel.
Elegimos la escala 1 : 500, y vamos a construir una tabla con los pares de valo-
res representados:

longitud sobre el longitud sobre el

terreno (en cm) plano (en cm)

7000 14

200 0,4

250 0,5

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Si hacemos los cocientes entre la longitud sobre el plano, y la correspondiente
sobre el terreno obtenemos:

14 0,4 0,5 1
= = = 0,002 =
7000 200 250 500

Esto nos dice que la constante de proporcionalidad es el valor de la escala ele-

gida.

Cuestin: Es una casualidad esa coincidencia o si los clculos estn bien

hechos necesariamente debe ser as?

Cuestin: Cules son las escalas ms comunes utilizadas para dibujar el plano
de una casa? Y el plano de una ciudad? Y el mapa de un pas?

Actividades

20) En un atlas un mapa de Argentina est hecho de modo que 1 cm representa

120 km. Tracen un segmento que corresponda a una distancia de 300 km. Qu
longitud real representa un segmento de 1,5 cm?

21) Sobre un mapa 600 km son representados por 5 cm.

Cul es la escala?

22) Un ingeniero tiene que estudiar el proyecto de construccin de un canal

entre dos puntos. Antes de ir al terreno analiza un mapa cuya escala
es 1: 50000 cm. Sobre el mapa la distancia entre esos puntos es de
38 cm. cul es la distancia real?

23) En un mapa de la provincia de Crdoba, 1 cm representa 60 km.

Las ciudades de Crdoba y La Cumbre estn a una distancia de 96 km. Qu
distancia las separa en ese mapa?

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 LECCIN 8
Porcentajes

Para favorecer el nmero de inscriptos en un plan de viviendas, una empresa

ofrece: Veinte por ciento de descuento en las cinco primeras cuotas. Qu signi-
fica eso? Quiere decir que si la cuota vale $ 100 descuenta $ 20. Si la cuota es de
$ 200, hay que pagar $ 160 porque descontaron $ 40. Si la cuota es de $ 300 des-
cuentan $ 60.
Si hacemos los cocientes entre el monto descontado y el monto total, obtenemos:

20 40 60
= =
100 200 300

El coeficiente de proporcionalidad es, justamente, 20 cada 100. Esta particular

relacin de proporcionalidad con 100 es lo que se llama porcentaje.

Ejemplo 1:

En el problema 20, haba dos tipos de quesos: el A que tena 140 g de materia
grasa por cada 350 g de queso, y el B que tena 50 g de grasa cada 150 g de
queso. Se peda una comparacin con respecto a 100 g, y la solucin propuesta
era:

queso A grasa queso B grasa

350 140 150 50
5 2 50 16,66
30 12 100 33,33
100 40

pgina 165
 Ahora podemos decir, que el queso tipo A tiene 40 por ciento de materia grasa,
y el queso de tipo B tiene 33,33 por ciento de materia grasa. El porcentaje se deno-
ta con el smbolo %, as el queso tipo A tiene 40 % de materia grasa, y el B tiene
33,33 %.

Ejemplo 2:

En el escrutinio de una eleccin, se dice que el candidato H obtuvo el 29% de los

votos.
a) Qu significa esto?
b) Si el total de votos durante las elecciones fue de 75600, cuntos votos
obtuvo este candidato?
c) Si todos los votos hubiesen sido para el candidato H, qu porcentaje
hubiese obtenido? Y si nadie lo hubiese votado?
d) Si hubo 4536 votos en blanco, qu porcentaje representa respecto del
total de los votos?

Si todos los votos hubiesen sido para el candidato H, l hubiese obtenido el 100
% de los votos. En cambio, si nadie lo votaba obtena el 0 %. Para responder a las
otras preguntas, podemos organizar los datos en tablas. Sabemos que:

votos para H votantes votos en votantes

blanco
29 100 4536 75600
75600 100

Con el 29 %, el candidato H obtuvo 21924 votos a su favor.

Si hubo 4536 votos en blanco, esto significa que cada 100 votante, 6 vot en
blanco, o sea el 6% vot en blanco.

Actividades

24) Los tornillos de madera de 8 mm de dimetro y 50 mm de longitud, se ven-

den en una ferretera en estuches de 6 tornillos a $ 1,20 el estuche.

a) Cul es el precio de un tornillo?

pgina 166
 b) En el mismo negocio una caja de 100 tornillos de ese tipo cuesta $ 5.
Cul es el precio de 1 tornillo?
c) Completen las tablas siguientes que dan el precio a pagar si,
independientemente de la cantidad que se necesita, se compran slo
estuches o slo cajas:

slo estuches slo cajas

n de tornillos precio ($) n de tornillos precio ($)
1 1,2 1 5
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
20 20
60 60
80 80

d) Representen las dos tablas de valores en un mismo sistema de

coordenadas el precio (sobre las ordenadas) en funcin de la cantidad de
tornillos.
e) Los tornillos no se venden sueltos, qu conviene comprar si se
necesita slo uno? Y si se necesitan 3? Y 20? Y 60? Y 80? Cmo
interpretan esas respuestas en el grfico anterior?

25) En una caja de leche en polvo de 800 gr se lee: Ahora Ud. lleva 15 % gra-
tis. Cuntos gramos de leche gratis contiene el envase?

26) Un peatn que marcha siempre a la misma velocidad recorre 4,5 km en una
hora. Cunto tiempo tardar en recorrer 7,2 km? Y 9,8 km?

27) En una fiesta se encuentran 200 personas de las cuales 18 son nios. Cul
es el porcentaje de nios sobre el total de asistentes?
28) Complete la tabla, trabajando con el mapa de la Prov. de Buenos Aires.

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Mida con regla las distancias en el mapa y usen la escala que figura en el mapa
para hallar las distancias reales.

Localidades Distancia en el mapa Distancia real

Junn-Azul
Tandil-Viedma
Bs.As.-Mar del Plata
La Plata-Baha Blanca

pgina 168
 BIBLIOGRAFA

- rea de Matemticas, Primer ciclo, Educacin Media Adultos, Gobierno de

Chile, 2000.

- Carpeta de Matemtica 7, Garaventa, Legor Burn, Rados, Ed. Aique, 2001.

- El libro de la Matemtica 7, Canteros, L., Felissia, A., Fregona, D.; Ed.
Estrada, Bs. As. 1997.

- El libro de la matemtica 8, Gelman, A., Itzcovich, H., Pavesi, L., Rudy, M,

Estrada, 1998.

- Matemtica Dinmica. Temas y problemas. Bert, A. A-Z Editora.

- Matemtica 7. EGB. Barallobres, G. Aique.

- Matemticas. Bachillerato 1 y Bachillerato 2. M. De Guzmn, J. Colera, A.

Salvador. Anaya, Espaa. 1987 y 1988 respectivamente.

- Matemtica 1, 2. Plan Social Educativo, Ministerio de Cultura y Educacin

de la Nacin, 1997.

- Matematica 1, Tirao, J. Kapelusz, Buenos Aires, 1985.

- Matemticas en contexto, Primer curso. Waldegg, G., Villaseor, R., Garca,

V. Grupo Editorial Iberoamericano, 1998.

- Matemtica I. Modelos matemticos para interpretar la realidad, Estrada

Polimodal, Bs. As. 2000.

- Matemtica 8 EGB, Mirta Bindstein, Mirta Hanfling, Aique, 1997.

- Matemtica 7 EGB, Seveso,Wykowski,Ferrarini, Kapelusz, 2000.

pgina 169
- Das de clase, Coleccin libros para el docente. Aique, 2001.

- Gua para el Docente. Matemtica 7 EGB. Gustavo Barallobres. Aique.

1997.

- Matemtica. Mdulos para Docentes Plan Social Educativo. Ministerio de

Educacin de la Nacin. 1997.

- Sugerencias para la clase de Matemtica. Jos Villella. Aique. 1997.

- Matemagia. Raymond Blum. Juegos.1998.

- Matemtica Polimodal Nmeros y Sucesiones. Altman,Comparatore,

Kurzrok, Longseller. 2002.

- Matemtica Polimodal Funciones 1. Altman,Comparatore, Kurzrok,

Longseller. 2002.
 TRABAJO PRCTICO INTEGRADOR

Apellido:
Nombre:

Actividades

1)

a) Complete la tabla (agregue tres valores ms para la medida del lado):

lado de un 3,5 4,75 6,3 7,2

cuadrado
permetro
rea

b) Es proporcional el permetro al lado? Cmo lo verifica? Las

mismas preguntas para la relacin entre el rea y el lado.

2) El siguiente plano muestra el centro de la ciudad de Crdoba. La escala es 1

: 10000.
a) Cules son la dimensiones reales de la plaza San Martn?
b) Para ir desde el Cabildo al Correo, Marque uno de los caminos
ms cortos. Qu longitud aproximada tiene?

pgina 171
 Ref: 1 Plaza San Martn

2 Cabildo 3 Correo 4 Legislatura

3) El siguiente grfico muestra el espacio recorrido a medida que transcurre el

tiempo de dos autos de carrera A y B que se mueven con velocidad constante.

Cul de ellos va ms rpido? Justifique.

pgina 172