Practica Dirigida No 3 Aplicaciones de La Integral A Otra Ciencias 250 0 PDF
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ANALISIS MATEMATICO 3
Prof. Ing.: Jorge Cceres T.
PRACTICA DIRIGIDA N 3
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
A OTRAS CIENCIAS
Entre las funciones que se utilizan en economa para hacer modelos de situaciones de
mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
Funcin de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta
funcin para relacionar la cantidad de productos que est dispuesta a ofrecer en el mercado
con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en
respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los
fabricantes estn dispuestos a ofrecer en el mercado en algn perodo especfico.
Cuanto mayor es el precio, mayor ser la cantidad de productos que la empresa est
dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite
asegurar que la funcin de oferta es una funcin creciente. Si p representa el precio por
unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la
denomina funcin de oferta y a su grfica se la conoce como grfica de oferta.
El rea bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores estn
dispuestos a pagar por q0 artculos. El rea sombreada bajo la recta y p0 muestra la
cantidad total que los consumidores realmente gastarn en el precio p0 de equilibrio. El rea
entre la curva y la recta representa el supervit de los consumidores.
El supervit de los consumidores est dado por el rea entre las curvas p d(q) y
p p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:
2
Ejemplo 1:
La curva de demanda est dada por la ley d(x) 50 0,06x2. Encuentre el supervit o
ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.
Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p d(20) 50 0,06 202 26.
320
El rea total bajo la curva de oferta entre q 0 y q q0 es la cantidad mnima total que los
fabricantes estn dispuestos a obtener por la venta de q0 artculos. El rea total bajo la recta
p p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos reas, el supervit
de los productores, tambin est dada por una integral definida.
Si s(q) es una funcin de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio, entonces
Ejemplo 2:
3
La ganancia o supervit de los productores se calculo resolviendo:
Ejemplo 3:
Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta
dadas.
Funcin de demanda: p1 (q) 1000 0,4 q2. Funcin de oferta: p2 (q) 42q
El exceso de oferta y el de demanda estn representados por las reas que muestra la
grfica:
q1 125 q2 20
4
2133,33
El excedente de oferta es la regin comprendida entre las rectas p 840 y p 42q entre 0
y 20, o sea:
Es importante para los economistas este trabajo con el anlisis marginal porque permite
calcular el punto de maximizacin de utilidades.
Para que este mtodo pueda aplicarse a la maximizacin de utilidades se deben cumplir
las siguientes condiciones:
Deber ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo
total.
Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad ms
de un producto o servicio.
Tambin se puede definir como el valor lmite del costo promedio por artculo extra cuando
este nmero de artculos extra tiende a cero.
Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artculo extra cuando se
efecta un cambio muy pequeo en la cantidad producida.
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Debemos tener en cuenta que si c(x) es la funcin costo, el costo promedio de producir x
artculos es el costo total dividido por el nmero de artculos producidos.
Costo marginal
El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento
de la cantidad producida.
Para una funcin de ingreso total r(x), la derivada r(x) representa la tasa instantnea de
cambio en el ingreso total con un cambio del nmero de unidades vendidas. Podemos
decir que el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por
artculo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeo en el nmero de
artculos vendidos. Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al
incremento del volumen de ventas.
Utilidad marginal que obtiene una empresa est dada por la diferencia entre sus
ingresos y sus costos. Si la funcin de ingreso es r(x) cuando se venden x artculos y si la
funcin de costo es c(x) al producirse esos mismos artculos, la utilidad p(x) obtenida por
producir y vender x artculos est dada por p(x) r(x) c(x).
Problema N 1
Una funcin de costo marginal est definida por c'(x) 3x2 + 8x + 4 y el costo fijo es de
$6. Determine la funcin costo total correspondiente.
Problema N 2
6
Para un artculo particular, la funcin de ingreso marginal es i'(x) 15 4x. Si x unidades
son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema N 1
Suponemos que durante los primeros cinco aos que un producto se puso a la venta en el
mercado la funcin f(x) describe la razn de ventas cuando pasaron x aos desde que el
producto se present en el mercado por primera vez. Se sabe
que si . Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro
aos.
Solucin
Las ventas totales durante los primeros cuatro aos ascienden a 18000 unidades.
Problema N 2
Se espera que la compra de una nueva mquina genere un ahorro en los costos de
operacin. Cuando la mquina tenga x aos de uso la razn de ahorro sea de f(x) pesos
al ao donde f(x) 1000 + 5000x.
Solucin
7
Al cabo de seis aos el ahorro asciende de $ 96000
5 n2 + 2n 135 0
Muchas leyes fsicas se descubrieron durante el mismo perodo histrico en el que estaba
siendo desarrollado el clculo. Durante los siglos XVII y XVIII exista poca diferencia entre
ser un fsico o un matemtico.
Para un objeto con movimiento rectilneo la funcin posicin, s(t), y la funcin velocidad,
La posicin del objeto en el instante t1 est expresada por s(t1) y s(t2) es la posicin
en el instante t2, la diferencia s(t2) s(t1) es el cambio de posicin o desplazamiento del
objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].
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En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la
direccin negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) s(t1) es el negativo de
la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo
de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrs y el desplazamiento es
la distancia recorrida en la direccin positiva menos la distancia recorrida en la direccin
negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia
recorrida en la direccin positiva ms la distancia recorrida en la direccin negativa) debe
integrarse el valor absoluto de la funcin velocidad, es decir:
distancia total
recorrida durante el
intervalo de tiempo =
[t1, t2]
Ejemplo N 1
Un objeto se mueve con movimiento rectilneo de modo tal que su velocidad en el instante
t es v(t) t2 2t metros por segundo. Halle:
Solucin
a) 0.
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b) La velocidad puede escribirse como v(t) t ( t 2) de modo que v(t) 0 si 2 t 3 y la
velocidad es negativa si 0 t 2.
distancia recorrida .
TRABAJO
Existen muchos tipos de fuerzas: centrfuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el
estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la
tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.
Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza
variable a un objeto se necesita el clculo para determinar el trabajo realizado ya que la
fuerza vara segn el objeto cambia de posicin.
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta desde x a hasta x b
debido a una fuerza que vara continuamente F(x). Consideramos una particin que divide
al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por
10
a x0 x1 x2 x3 ......... xn1 xn b donde xi indica la amplitud o longitud del i-
simo subintervalo, es decir xi xi xi1. Para cada i escogemos ci tal que xi1 ci xi.
En cila fuerza est dada por F(ci). Dado que F es continua y suponiendo que n es
grande, xi es pequeo. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [xi1, xi] y
podemos concluir que el trabajo realizado wi al mover el objeto por el subintervalo i-simo
(desde xi1 hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). xi
cuando n resulta w
Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la accin de una fuerza que vara
continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se
PRESIN DE UN FLUIDO
Los nadadores saben que cuanto ms profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor
es la presin sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen ms gruesas
en la base que en la parte superior porque la presin ejercida contra ellas se incrementa
con la profundidad. Para calcular la presin de un fluido se emplea una ley fsica
importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal
fueron intuitivos y carentes de rigor matemtico pero anticiparon muchos resultados
importantes. El principio de Pascal establece que la presin ejercida por un fluido a una
profundidad h es la misma en todas direcciones. La presin en cualquier punto depende
nicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la
presin p a una profundidad h es equivalente a la densidad wdel fluido por la
profundidad, p w . h. Definimos la presin como la fuerza que acta por unidad de rea
sobre la superficie de un cuerpo.
rea, p , la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base
plana horizontal se puede calcular multiplicando el rea de la base por la presin sobre
ella F p . A presin . rea . Teniendo en cuenta la frmula para calcular la presin
resulta el valor de la fuerza F w . h . A
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FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON
PROFUNDIDAD VARIABLE
Formula
d d
At f ( x)dx axb dx
e e
Ejemplo N 1
Despus de observar las primeras 400 unidades de su producto, una empresa determina
que el tiempo de mano de obra requerido a fin de ensamblar la unidad (x+1) fue de
f ( x) 500 x 1 / 2 . Calcule el total de horas de mano de horas requeridas con el objeto de
producir 500 unidades adicionales
Solucin:
( f ( x)dx
900
400
900
(500 x )dx
1 / 2
400
900
x 1 / 21
500
1 / 2 1 400
12
500
1/ 2
(900)1 / 2 ( 400)1 / 2
100030 20
100010 10000 R//
Ejemplo N 2
22 785.4586
T 20,572 horas-hombre.
0.84
Ejemplo N 3
La tasa de costo C(t) es pequea al principio , pero se incrementa con el tiempo por costo
de extraccin mas altos ,etc. En tales operaciones existe un instante en el que el
administrador debera cerrar la fabrica antes de perder dinero, lo que resultara en la utilidad
mxima obtenida.
Formula
P(t1 ) P(t )dt R(t ) C`(t )dt
t t
0 0
Ejemplo N 1
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La funcin costo marginal e ingreso marginal, de una empresa C( x) 5 x 2 y
I( x) 37 4x , en donde X denota el # de unidades producidas y los costos fijos son de
25$
a) Encuentre el nivel de produccin que maximizara las utilidades de la
empresa.
b) Calcule la utilidad total de la empresa con este nivel de produccin
c) Determine la utilidad si el nivel de produccin se incrementa en 2 unidades,
mas all del nivel de utilidad mxima
Solucin
I(x)=C(x) U=I-C
4
x 4x 37 5 0 (37 4x) (5 x )dx
2 2
0
4
x2 4x 32 0 (x 4x 32)dx
2
0
4
x3 x2
( x 8)(x 4) 4 32 x
3 2 0
43 42
x=-8 x=4 r // 4 32(4)
3 2
643
32 128
3
= 74.6 r//
6
x3 x2
4 32 x
3 2 0
63 62
4 32(6)
3 2
-72-72+192 = 48r//
Ejemplo N 2
El costo marginal de cierta empresa est dado por C( x) 15.7 0.002 x . Calcular el
incremento en el costo total de fabricacin si la produccin se incrementa de 500 a 600
unidades.
C x dx 15.7 0.002 x dx 15.7 x 0.001x2 500 9, 060 7, 600 $1, 460.00
600 600 600
C
500 500
Donde un ingreso est repartido a lo largo de un nmero de aos futuros, a veces es til
calcular el valor presente de este ingreso. Esto puede ser particularmente valioso cuando
una compaa tiene que elegir entre tasas alternativas para explotar recursos.
Como en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un periodo, es necesario
utilizar descuentos continuos para calcular el valor presente.
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Formula
t
VP =
0
f (t )e rt dt
Ejemplo N 1
Una inversin inicial de P dlares, crece continuamente a una tasa anual del 6%. Si la
inversin tiene un valor de 26997 $ despus de 5 Aos, determina la inversin inicial
Solucin
5
26997e
0.06t
dt
0
449950e 449950e
0
0.3 0
(-33333.1)-(-449950)
116618.85 r//
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Probabilidad como rea bajo una curva
EJERCICIOS PROPUESTOS
PROBLEMA N 1
16
La grfica representa la
velocidad en durante un
perodo de 10 minutos.
PROBLEMA N 2
Una compaa est considerando un nuevo proceso de fabricacin. Se sabe que la razn
de ahorros del proceso est dada por s(t) 1000 (t + 2) donde t es el nmero de aos que
se ha usado el proceso. Encuentre los ahorros totales durante el primer ao y durante los
primeros seis aos.
Respuesta: los ahorros totales durante el primer ao ascienden a $2500 y durante los
primeros seis aos a 30000.
PROBLEMA N 3
PROBLEMA N 4
Un carpintero compr una nueva mquina para colocar clavos. Estima que la razn de
ahorros s(x) de la mquina est aproximada por la expresin s(x) 3 + 2x donde x
representa el nmero de aos que la clavadora ha estado en uso. Si la mquina cuesta $
88 se pagara por s misma en seis aos? En caso negativo en cuntos aos la mquina
se pagar por s misma?
Respuesta: no se pagar en seis aos dado que slo ahorra $ 54. Se pagar en ocho aos.
PROBLEMA N 5
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Una compaa manufacturera est considerando un nuevo proceso par la fabricacin de
zapatos en una de sus plantas. La nueva mquina producir una razn de ahorros anuales
en dlares dada por s(x) 150 x2 donde x es el nmero de aos de operacin de la
mquina, en tanto que produce una razn de costos anuales en dlares de c(x) x2 +
x.
b) Cules son los ahorros netos totales durante el primer ao de uso de la mquina?
c) Cules son los ahorros netos totales durante todo el perodo en el que el uso de la
mquina resulta rentable?
PROBLEMA N 6
Luego de t aos una mina est produciendo a razn de p(t) toneladas por ao. Al
mismo tiempo el mineral producido se est consumiendo a razn de c(t) 0,1 t + 2 toneladas
por ao.
PROBLEMA N 7
PROBLEMA N 8
PROBLEMA N 9
a) Determine la funcin costo c(x) si los costos fijos de la empresa son de $2000 por mes.
PROBLEMA N 10
PROBLEMA N 11
Durante el verano en cierta ciudad el consumo de agua en millones de litros por hora est
dado por la siguiente funcin:
f(t) donde t es el tiempo en horas durante el da (24 horas). Determine el consumo total
entre las seis y las nueve de la maana y el consumo total durante un da completo.
Respuesta: entre las seis y las nueve se consumen 10,5 millones de litros de agua y el
consumo total durante un da completa es de 104 millones de litros de agua.
PROBLEMA N 12
Respuesta:
PROBLEMA N 13
Despus de que una persona ha estado trabajando durante t horas con una mquina en
particular rinde n unidades. La tasa de rendimiento (nmero de unidades por hora) est
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dada por n(t) . Cuntas unidades de rendimiento alcanzar la persona en
sus primeras 50 horas?
PROBLEMA N 14
La funcin de ingreso marginal de una empresa est dada por i' (x) 12,5 0,02x.
PROBLEMA N 15
Desde 1970 la razn de consumo de petrleo en cierto pas ha sido dada en millones de
barriles por ao por la siguiente funcin:
PROBLEMA N 16
Respuesta: 117 m3
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PROBLEMA N 17
Al comienzo de los aos 70, la tasa anual mundial de consumo de petrleo era p(x) 16,1
e 0,07t miles de millones de barriles de petrleo al ao, donde t es el nmero de aos
contados a partir de 1970.
PROBLEMA N 18
Se lanza una piedra hacia arriba con una aceleracin de 32 , y se sabe que la
PROBLEMA N 19
Una epidemia de gripe ataca una poblacin. Sea p(t) el nmero de personas enfermas de
gripe al tiempo t, donde t se mide en das a partir del inicio de la epidemia y p(0) 100.
Suponga que despus de t das la gripe se est extendiendo a razn de 120t 3t2 personas
por da.
21
b) Indique cuntas personas afectadas habra 4 das despus de haber comenzado la
epidemia.
PROBLEMA N 20
Se necesita una fuerza de 200 dinas para mantener comprimidos ocho centmetros menos
de su longitud natural un resorte de diez centmetros. Encuentre el trabajo realizado al
comprimir el resorte seis centmetros a partir de su longitud normal. Recuerde que la ley de
Hooke se aplica tanto a la compresin como al estiramiento.
PROBLEMA N 21
El consumo total de gas oil para el transporte en Estados Unidos desde 1970 hasta 1979
sigue un modelo de crecimiento segn la ley t(t)0,000433t2 + 0,0962t + 2,76 donde
0 t 9 y f(t) se mide en miles de millones de barriles en t aos desde el primero de enero
del a 1970. Dado un importante aumento en los precios del crudo a fines de la dcada del
70 el modelo de crecimiento del consumo cambi y comenz a comportarse segn
g(t)0,00831t2 + 0,152t + 2,81 donde 9 t 16 y g(t) medido tambin en miles de
millones de barriles. Calcule la cantidad total de gas oil ahorrada entre 1979 y 1985 como
resultado de este cambio en el ritmo de consumo.
PROBLEMA N 22
Un mvil se desplaza por un camino. Se sabe que su aceleracin en el instante t viene dada
por:
Respuesta: s(t)
PROBLEMA N 23
Una pelota es lanzada hacia arriba desde una altura de 256 pies sobre el nivel del suelo
con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. Por las leyes fsicas se sabe que la
velocidad al tiempo t es v(t) 96 32t pies por segundo.
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b) Cunto tiempo tardar la pelota en llegar al piso?
PROBLEMA N 24
Respuesta: $ 325.
PROBLEMA N 25
Durante los 10 primeros das de diciembre, una clula vegetal modific su tamao de
manera tal que t das despus del primero de diciembre, el volumen de la misma estuvo
creciendo a razn de (12 t)2 micras cbicas por da. Si el 3 de diciembre el volumen de
la clula era de 3 m3, determine el volumen el da 8 del mismo mes.
PROBLEMA N 26
El volumen de un globo crece a razn de cm3 por segundo. Si a los tres segundos
el volumen es 3 cm3.
Respuestas: a) b) 34 cm3
PROBLEMA N 27
b) Halle cul fue el espacio recorrido por el mvil entre t 1 seg. y t 3 seg.
Respuestas: a) b) 28,67 m.
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PROBLEMA N 28
Una partcula cuya velocidad es v f(t) (medida en metros por segundo), se mueve en lnea
recta segn se indica en el grfico.
Respuesta: 27 m.
PROBLEMA N 29
PROBLEMA N 30
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PROBLEMA N 31
La funcin oferta para un artculo est dada por s(q) . Se sabe que la oferta
y la demanda estn en equilibrio en q 9. Encuentre el supervit de los productores.
Respuesta: $ 1999,54
PROBLEMA N 32
Respuesta: $40,50
PROBLEMA N 33
Un fabricante de un video juego analiza qu ocurre con el producto durante los tres primeros
aos de produccin. Si transcurrieron x aos desde que el video juego se introdujo en el
mercado se puede definir, sabiendo que la misma se ajusta a los datos para los tres
primeros aos, la funcin que describe la razn de produccin f(x) 60 + 288x2. Halle la
produccin total entre el primer y segundo ao que el producto fue puesto en el mercado.
PROBLEMA N 34
Un bidn de agua destilada de cinco litros tiene un orificio en el fondo y se observa que se
vaca a razn de (5 0,002t) cm3 por minuto. Encuentre la cantidad de agua que queda
en el bidn transcurridas diez horas.
PROBLEMA N 35
Si la longitud de un resorte es de diez pulgadas y se requiere una fuerza de tres libras para
estirarlo dos pulgadas, encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte desde su longitud
normal a una distancia de quince pulgadas.
PROBLEMA N 36
Una persona ha sufrido un accidente con su moto el da domingo y como consecuencia del
mismo queda con una herida en su brazo izquierdo. Esta herida se est curando de manera
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que y das despus a partir del accidente ha disminuido a razn de centmetros
cuadrados por da. Si el da lunes el rea de la herida fue de 3 cm2.
PROBLEMA N 37
PROBLEMA N 38
PROBLEMA N 39
Al pasar un pas por una crisis econmica reciente el porcentaje de desempleo creci a
Respuesta: 5,52%.
MISCELANIA DE PROBLEMAS
2. Una compaa tiene un nmero muy grande de automviles para uso de sus
empleados. Los registros del tiempo cuando cada auto est fuera de servicio por
descompostura, sirven como base para decidir cuando se deber vender un
vehculo. La funcin densidad de probabilidad f8x) para el tiempo x (en das) que un
auto est fuera de servicio, antes de ser considerada muy costosa su reparacin y
tenga que ser vendido, est dada por f ( x) 0,2e 0, 2 x , 0 x . Halle la probabilidad
de que un auto est fuera de servicio un total de ms de 30 das antes de ser
desechado y determine la probabilidad de que un auto est fuera de servicio un total
de menos de 5 das antes de ser vendido. (Nota: esta variable siempre toma valores
enteros no negativos)
27
12. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en un mercado de monopolio, estn
determinados por la funcin de demandar = 45 -x2 y el costo marginal y' = 6 + {x2/4)
de modo que se maximice la utilidad. Calcule el excedente del consumidor.
**************
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