NSR10 Cimientos

DISEO Y CONSTRUCCION DE CIMENTACIONES
LUIS GARZA VASQUEZ., I.C. M.I.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLN
FACULTAD NACIONAL DE MINAS
MEDELLN
JUNIO , 2000
i
PROLOGO
El diseo estructural de las cimentaciones, por si mismo, representa la frontera

y unin del diseo estructural y la mecnica de suelos. Como tal, comparte las
hiptesis, suposiciones y modelos de ambas disciplinas, que no siempre
coinciden.
La razn de ser de estas notas, as como del curso que se imparte como parte
del programa de la carrera de Ingeniera Civil en la Facultad de Minas de la
Universidad Nacional, Sede Medelln, es la de hacer una versin crtica de los
conceptos convencionales del diseo de los elementos estructurales de la
cimentacin, desde el punto de vista de la Mecnica de Suelos y el Anlisis de
Estructuras, con el objeto de hacer ms compatibles los modelos que ambas
disciplinas manejan en sus respectivas reas.
La poca bibliografa que integre estos dos modelos, as como el hecho de que
el autor haya sido formado en las dos disciplinas, ha sido la razn de la
elaboracin de estas notas.
Especial agradecimiento merecen los Ingenieros Jorge Alberto Lpez, Juan

Diego Rodrguez y Doralba Valencia por la recoleccin del material y su
ordenamiento, los estudiantes Camilo Ramrez y Guillermo Gaviria por la
correccion de los ejemplos, el Tecnlogo Luis Fernando Usme por los dibujos y la
seorita Beatriz Elena Carvajal por las correcciones. Sin ellos, no hubiera sido
posible poner en blanco y negro las notas dispersas.
ii
CONTENIDO
Pg.
LISTA DE FIGURAS VI
RESUMEN
1. INTRODUCCIN 10
2 GENERALIDADES DE LOS SISTEMAS DE CIMENTACIN 12
2.1 CIMENTACIONES SUPERFICIALES 12
2.2 CIMENTACIONES PROFUNDAS 14
3 DISEO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES 16
3.1 VIGAS DE FUNDACIN 16
3.1.1 La Reduccin de asentamientos diferenciales. 17
3.1.2 Atencin de momentos generados por excentricidades no consideradas
en el diseo. 18
3.1.3 El mejoramiento del comportamiento ssmico de la estructura. 19
3.1.4 El arriostramiento en laderas. 22
3.1.5 La disminucin de la esbeltez en columnas. 23
3.1.7 Dimensiones mnimas. 23
3.1.8 Refuerzo longitudinal. 24
3.1.9 Refuerzo transversal. 24
3
3.2 DISEO DE ZAPATAS 25
3.2.1 Zapata concntrica. 25
3.2.1.1 Obtener la carga de servicio P. 25
3.2.1.2 Determinar el ancho B de la zapata. 26
3.2.1.3 Suponer espesor h de la zapata. 26
3.2.1.4 Revisar punzonamiento o cortante bidireccional. 28
3.2.1.5 Revisar cortante unidireccional. 30
3.2.1.6 Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo. 32
3.2.1.7 Revisar el aplastamiento. 34
3.2.1.8 Detalles del refuerzo. 35
3.2.2 Zapatas con Mu 0, Pu 0 47
3.2.2.1 Procedimiento de diseo 49
3.2.3 Zapatas con Pu 0, Mx 0, My 0 64
3.2.4 Zapata medianera 77
3.2.4.1 Caso de carga axial liviana: Anlisis de zapata medianera
recomendado por Enrique Kerpel 78
3.2.4.2 Caso de carga axial mediana: Anlisis de zapata medianera con viga
area, recomendado por Jos Calavera. 79
3.2.4.2.1 Zapata medianera con distribucin uniforme de presiones y reaccin
mediante viga area. 79
3.2.4.2.2 Zapata medianera con distribucin variable de presiones y reaccin
mediante viga area. 81
3.2.5 Zapata esquineras 107
3.2.6 Zapata enlazadas 125
3.2.7 ZAPATAS CONTINUAS 128
3.2.8 LOSAS DE CIMENTACIN 134
3.2.8.1 Losas de cimentacin por contacto 134
3.2.8.2 Placas de flotacin. 139
3.2.8.3 Cajones de flotacin 139
3.2.9 PILAS CORTAS 141
3.2.10 PILOTES 142
3.2.11 PILAS LARGAS (CAISSONS) 145
4 MODELACIN DEL ANLISIS INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA
(ISE) 147
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ERROR! MARCADOR NO
DEFINIDO.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
LISTA DE FIGURAS
Pg.
FIGURA 1. Cimentacin con viga de fundacin 16

FIGURA 2. Momento inducido en un extremo de la viga de fundacin por el
asentamiento diferencial 18
FIGURA 3. La viga de fundacin toma los momentos resultantes del anlisis
estructural y la zapata la carga axial. 18
FIGURA 4. Vigas para arriostramiento en edificios construidos en laderas. 23
FIGURA 5. Zapata concntrica 25
FIGURA 6. Cortante bidireccional en zapata que soporta columna, pedestal o
muro de concreto. 28
FIGURA 7. Cortante bidireccional en zapata que soporta columna metlica. 29
FIGURA 8. Cortante unidireccional en zapata que soporta columna, pedestal o
muro de concreto. 31
FIGURA 9. Cortante unidireccional en zapata que soporta columna metlica. 31
FIGURA 10. Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soporta
columna, pedestal o muro de concreto. 32
FIGURA 11. Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soporta
columna metlica (a) y muro de mampostera estructural (b).
33
FIGURA 12. Modelo Geomtrico y estructural par la verificacin del
aplastamiento. 34
FIGURA 13. Modelo estructural en zapata con Mu 0, Pu 0. Cuando e < L/6. 48
FIGURA 14. Zapata con Mu 0, Pu 0. Cuando e > L/6 48
FIGURA 15. Zapata con Pu 0, Mx 0, My 0 64
FIGURA 16. Zapata Medianera. 77
FIGURA 17. Modelo estructural de la zapata medianera sin momento aplicado en
la columna presentado por Enrique Kerpel. 78
FIGURA 18. Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin uniforme
de presiones con viga area, presentada por Jos Calavera. 80
FIGURA 19. Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin variable
de presiones con viga area, presentada por Jos Calavera. 81
FIGURA 20. Modelo del giro y del asentamiento en zapata medianera con viga
area presentado por Jos Calavera. 82
FIGURA 21. Geometra del modelo estructural de la zapata esquinera con dos
vigas areas presentado por Jos Calavera. 107
FIGURA 22. Modelo estructural de la zapata esquinera con distribucin variable
de presiones y dos vigas areas. 108
FIGURA 23. Momentos que actan sobre la zapata esquinera. 110
FIGURA 24. Distribucin del acero de refuerzo en la zapata esquinera. 111
FIGURA 25. Geometra y modelo estructural de la zapata enlazada. 126
FIGURA 26. Apoyo de la viga de enlace en la zapata central. 127
FIGURA 27. Alternativa de apoyo de la viga de enlace en la zapata medianera.
128
FIGURA 28. Seccin crtica para el clculo del momento en zapata continua. 130
FIGURA 29. Alternativa de cimentacin consistente en un sistema o entramado de
zapatas continuas en dos direcciones. 131
FIGURA 30. Detalle donde se indica la interrupcin del apoyo en una zapata
continua cuando se presentan vanos en la mampostera. 133
FIGURA 31. Diversas formas de disear y construir una losa de cimentacin. 136
vii
FIGURA 32. Detalle donde se indica la no conveniencia de losas de cimentacin
muy alargadas, debido a la generacin de momentos muy altos en el centro de la
losa. 138
FIGURA 33. Articulacin en la losa realizada mediante la configuracin
y colocacin del acero de refuerzo. 138
FIGURA 34. Detalle de una pila corta 141
FIGURA 35. Trabajo de los pilotes apoyados en estratos de diferente calidad 143
FIGURA 36. Aporte de resistencia por punta y por friccin en los pilotes 143
FIGURA 37. Pilotes por friccin construidos monolticamente con una losa de
cimentacin 144
viii
ix
1. INTRODUCCIN
El hecho de que el alto grado de especializacin con que se realiza el diseo
hoy en da haga que los ingenieros estructurales y los ingenieros de suelos
tengan diferentes enfoques, afecta en cierto modo el producto final en que se
encuentran estas dos disciplinas: el diseo de la cimentacin.
En efecto, para el trabajo normal el anlisis estructural se realiza normalmente

con las hiptesis de que la estructura de los edificios est empotrada en el suelo,
es decir, apoyada en un material indeformable. Esta,desgraciadamente, no es
una condicin comn en fundaciones.
De otro lado, el ingeniero de suelos, para el clculo de las condiciones de servicio

por asentamiento del suelo, desprecia la estructura, cuyo modelo son solo fuerzas
como resultante de las reacciones.
La realidad es que ni el suelo es indeformable ni la estructura tan flexible como

para que sus efectos no estn interrelacionados. Al final de cuentas, el sistema
suelo-estructura es un continuo cuyas deformaciones del uno dependen del otro.
Sin embargo, por facilidad en los clculos, se suele hacer caso omiso de esta
dependencia. El caso ms reciente es el que se utiliza para el diseo de zapatas
comunes. El procedimiento normal casi universalmente aceptado es que se
diseen todas para transmitir la misma presin admisible que recomienda el
Ingeniero de Suelos. Basado en este valor, que es con mucho la nica liga de los
Ingenieros de suelos y estructuras, se dimensionan las zapatas para todos los
tamaos, sobre la premisa comn de la resistencia de materiales de que a
iguales presiones corresponden iguales deformaciones.
10
Es una cosa sabida en la Mecnica de Suelos, que lo anterior no es as, ya que
por ser el suelo un continuo, las deformaciones, adems de la presin, dependen
del tamao de la fundacin. A mayor tamao, mayor asentamiento para iguales
presiones. Luego entonces, con el procedimiento anterior, se estn diseando
las zapatas para que se generen asentamientos diferenciales. Sera ms
compatible con la hiptesis de diseo, disear para iguales asentamientos en
lugar de iguales presiones. El ejemplo anterior solo ilustra una de las muchas
incongruencias que se presentan por el manejo de hiptesis de trabajo distintos
en ambas disciplinas,en el diseo rutinario, pero que por los criterios
conservadores que usualmente estn incluidos en la determinacin de la
capacidad de carga admisible, no necesariamente desembocan en patologas en
la mayora de los casos.
El ingeniero G.P. Tschebotarioff, quien dedic gran parte de su vida a la Patologa

de Cimentaciones, deca que ms del 80% de los casos patolgicos que l haba
estudiado haban sido causados principalmente por las siguientes causas: los
ingenieros estructurales no comprendan adecuadamente los problemas de
suelos; los ingenieros de suelos no tenan claros despreciaban los conceptos
estructurales; los ingenieros constructores no tuvieron en cuenta las
recomendaciones de los Ingenieros de Suelos los Estructurales.
La apreciacin anterior puede seguir siendo vlida si no se hacen esfuerzos para

aclarar los conceptos que ambas disciplinas deben manejar relacionadas con su
problema comn: la Ingeniera de Cimentaciones, y es la motivacin principal que
se pretende subsanar con este trabajo.
2. GENERALIDADES DE LOS SISTEMAS DE CIMENTACIN
Se entiende por cimentacin a la parte de la estructura que transmite las cargas

al suelo. Cada edificacin demanda la necesidad de resolver un problema de
cimentacin. En la prctica se usan cimentaciones superficiales o cimentaciones
profundas, las cuales presentan importantes diferencias en cuanto a su
geometra, al comportamiento del suelo, a su funcionalidad estructural y a
sus sistemas constructivos.
2.1 CIMENTACIONES SUPERFICIALES
Una cimentacin superficial es un elemento estructural cuya seccin transversal

es de dimensiones grandes con respecto a la altura y cuya funcin es trasladar
las cargas de una edificacin a profundidades relativamente cortas, menores de 4
m aproximadamente con respecto al nivel de la superficie natural de un terreno o
de un stano.
En una cimentacin superficial la reaccin del suelo equilibra la fuerza transmitida

por la estructura. Esta reaccin de fuerzas, que no tiene un patrn
determinado de distribucin, se realiza en la interfase entre el suelo y la seccin
transversal de la cimentacin que est en contacto con l. En este caso, el
estado de esfuerzos laterales no reviste mayor importancia. En consecuencia, el
comportamiento estructural, de una cimentacin superficial tiene las
caractersticas de una viga o de una placa.
Las cimentaciones superficiales, cuyos sistemas constructivos generalmente no
presentan mayores dificultades pueden ser de varios tipos, segn su funcin:
zapata aislada, zapata combinada, zapata corrida o losa de cimentacin.
En una estructura, una zapata aislada, que puede ser concntrica, medianera o
esquinera se caracteriza por soportar y trasladar al suelo la carga de un apoyo
individual; una zapata combinada por soportar y trasladar al suelo la carga de
varios apoyos y una losa de cimentacin o placa por sostener y transferir al
suelo la carga de todos los apoyos.
Las zapatas individuales se plantean como solucin en casos sencillos, en suelos

de poca compresibilidad, suelos duros, con cargas de la estructura moderadas:
edificios hasta de 7 pisos.
Con el fin de darle rigidez lateral al sistema de cimentacin, las zapatas aisladas
siempre deben interconectarse en ambos sentidos por medio de vigas de amarre.
Las zapatas combinadas se plantean en casos intermedios, esto es, suelos de

mediana compresibilidad y cargas no muy altas. Con esta solucin se busca una
reduccin de esfuerzos, dndole cierta rigidez a la estructura, de modo que se
restrinjan algunos movimientos relativos.
La losa de cimentacin por lo general ocupa toda el rea de la edificacin.

Mediante esta solucin se disminuyen los esfuerzos en el suelo y se minimizan
los asentamientos diferenciales.
Cuando se trata de atender y transmitir al suelo las fuerzas de un muro de
carga, se usa una zapata continua o corrida, cuyo comportamiento es similar al de
una viga.
2.2 CIMENTACIONES PROFUNDAS
Una cimentacin profunda es una estructura cuya seccin transversal es pequea

con respecto a la altura y cuya funcin es trasladar las cargas de una edificacin
a profundidades comprendidas aproximadamente entre 4 m y 40 m.
A diferencia de las cimentaciones superficiales, en una cimentacin profunda, no

solamente se presentan reacciones de compresin en el extremo inferior del
elemento sino tambin laterales. En efecto, la cimentacin profunda puede estar
sometida a momentos y fuerzas horizontales, en cuyo caso, no solo se
desarrollar una distribucin de esfuerzos en el extremo inferior del elemento,
sino tambin lateralmente, de modo que se equilibren las fuerzas aplicadas. En
consecuencia, el comportamiento estructural de una cimentacin profunda se
asimila al de una columna.
Las cimentaciones profundas pueden ser de dos tipos: Pilotes o pilas
Los pilotes, que tienen mximo un dimetro del orden de 0.80 m, son
comparativamente ms flexibles que las pilas cuyo dimetro es superior a
los
0.80 m. La respuesta frente a solicitaciones tipo sismo o carga vertical es
diferente en cada una de estas dos estructuras.
Por las limitaciones de carga de un pilote individual, frecuentemente es necesario
utilizar varios elementos para un mismo apoyo de la estructura, este es caso de
una zapata aislada apoyada en varios pilotes. En otros casos, la situacin puede
ser an ms compleja: zapatas combinadas o losas de cimentacin apoyadas en
varios pilotes.
Cuando se utilizan pilas como sistema de cimentacin, generalmente se

emplea un elemento por apoyo. Las pilas estn asociadas a cargas muy altas, a
condiciones del suelo superficialmente desfavorables y a condiciones aceptables
en los estratos profundos del suelo, a donde se transmitirn las cargas de la
estructura.
En cuanto a los sistemas constructivos, los pilotes pueden ser preexcavados y

vaciados en el sitio o hincados o prefabricados e instalados a golpes o mediante
vibracin o presin mecnica.
Cuando un pilote se hinca, a medida que se clava se est compactando el suelo,

y por ende mejorando sus condiciones, en cambio, cuando el pilote se vaca, las
caractersticas del suelo pueden relajarse.
Generalmente los elementos hincados son reforzados
Las pilas siempre son preexcavadas y vaciadas en el sitio. El sistema

constructivo empleado, tendr incidencia en el diseo.
Las pilas pueden o no ser reforzadas. En las zonas con riesgo ssmico
importante conviene reforzarlas, al menos nominalmente.
3 DISEO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES
3.1 VIGAS DE FUNDACIN
Las vigas de fundacin (Figura 1) son los elementos estructurales que se

emplean para amarrar estructuras de cimentacin tales como zapatas, dados de
pilotes, pilas o caissons, etc.
Figura 1. Cimentacin con viga de fundacin
A las vigas de fundacin tradicionalmente se les han asignado las

siguientes funciones principales:
La reduccin de los asentamientos diferenciales
La atencin de momentos generados por excentricidades no consideradas
en el diseo.
El mejoramiento del comportamiento ssmico de la estructura
Y las siguientes funciones secundarias:

El arriostramiento en laderas
La disminucin de la esbeltez en columnas
El aporte a la estabilizacin de zapatas medianeras
3.1.1 La reduccin de asentamientos diferenciales. El efecto de las vigas de
fundacin como elementos que sirven para el control de asentamientos
diferenciales depende de su rigidez. En nuestro medio, el tamao de las
secciones de las vigas de fundacin que normalmente se emplean (mx L/20),
permite descartar cualquier posibilidad de transmisin de cargas entre una
zapata y la otra. No se puede garantizar que una viga de fundacin transmita
momentos debidos a los asentamientos diferenciales de las zapatas, a menos que
para ello tenga la suficiente rigidez.
Cuando una viga de fundacin se proyecta con rigidez suficiente para controlar
asentamientos diferenciales de la estructura, es necesario considerar la
interaccin suelo estructura (ISE).
Un mtodo que en ocasiones se ha empleado con el propsito de que la viga de

fundacin controle asentamientos diferenciales, es el de suministrar, como
dato del ingeniero de suelos, el valor del asentamiento diferencial que sufre la
cimentacin correspondiente a uno de los extremos de la viga; el cual induce
sobre el otro extremo un momento M dado por:
6EI (1)
M
2
L
En este caso, ilustrado en la Figura 2, para un valor determinado de , se tiene

que a mayor seccin transversal de la viga, mayor ser el momento inducido M.
Aqu la rigidez de la viga no estara controlando el asentamiento diferencial (que
para el caso, es un dato y no una variable) sino el valor del momento,
generando un diseo dicotmico, es decir que a mayor rigidez, se requiere ms
acero, lo cual no tiene sentido prctico, y por lo tanto no se recomienda. En este
sentido, una viga de fundacin no expresamente diseada para reducir los
asentamientos
diferenciales y sin la suficiente rigidez no se recomienda considerarla en el diseo
para atender este efecto.
Figura 2. Momento inducido en un extremo de la viga de fundacin por el

asentamiento diferencial
3.1.2 Atencin de momentos generados por excentricidades no

consideradas en el diseo. Esta funcin la ejerce la viga de fundacin
dependiendo del criterio que se adopte para su diseo.
Criterio 1: Disear la viga de fundacin para que tome los momentos y

la zapata slo atienda carga axial. En este caso, se debe considerar la
viga
en el anlisis estructural, tal como se ilustra en la Figura 3.
Es importante considerar
que la viga de fundacin
est apoyada sobre el suelo,
no en el aire como se
supone en el anlisis.
Figura 3. La viga de fundacin toma los momentos resultantes del anlisis

estructural y la zapata la carga axial.
Algunos diseadores no incluyen la viga en el anlisis estructural, pero
arbitrariamente la disean con los momentos obtenidos en los nudos
columna zapata.
Criterio 2: Disear la zapata para que atienda el momento biaxial (o al

menos en una direccin), criterio que se ajusta con mayor precisin a la
suposicin inicial de empotramiento entre la columna y la zapata. En este
caso la viga de fundacin se disea nicamente para carga axial.
3.1.3 El mejoramiento del comportamiento ssmico de la estructura. Este

criterio, de acuerdo con el artculo A.3.6.4.2 de la NSR-98 (1), establece que las
vigas de fundacin deben resistir una fuerza ya sea de traccin o de compresin
(C T), dada por la expresin:
C T = 0.25 Aa Pu (2)
Donde:
Aa : Coeficiente que representa la aceleracin pico efectiva para diseo. El valor
de este coeficiente debe determinarse de acuerdo con lo estipulado en las
secciones A.2.2.2 y A2.2.3 de las NSR98 (1).
Pu: Valor de la fuerza axial mayorada o carga ltima correspondiente a la
columna ms cargada (comparando las dos fuerzas axiales a las cuales
estn sometidas las dos columnas unidas por la viga de amarre).
Por ejemplo, para la ciudad de Medelln el valor de Aa es de 0.20; por lo tanto,

para este caso particular, C T = 0.05 Pu. Esto significa que una viga de
fundacin en Medelln debe resistir, a traccin o a compresin, una fuerza axial
equivalente al 5% de la fuerza axial (Pu) que acta sobre la columna ms cargada
que une la viga.
Para el valor de la fuerza Pu que se presenta en la mayora de los casos
prcticos, la fuerza de traccin o de compresin (C T) que acta sobre la viga de
fundacin es muy inferior al valor de la fuerza a traccin o a compresin que
puede resistir una viga de seccin pequea que usualmente se utiliza, por
ejemplo, una viga de
300 mm X 300 mm reforzada de acuerdo con el criterio de refuerzo longitudinal
mnimo para columnas (artculo C.10.14.8 (f) de la NSR-98 (1)), el cual especifica:
As,min = 0.01 Ag (3)
Donde:
2
Ag = rea bruta de la seccin, expresada en mm . Para este caso,
2
Ag = 90000 mm
Remplazando se tiene:
2 2
As,min = 0.01 x 90000 mm = 900 mm
2
As,min 4 3/4 = 1136 mm
Esta afirmacin se puede corroborar as:

Supngase que la viga de fundacin est sometida a una fuerza axial de
compresin C. De acuerdo con el artculo C.10.3.5.2 de las NSR-98 (1),
la resistencia de diseo a fuerza axial de un elemento no preesforzado,
reforzado
con estribos cerrados, sometido a compresin, est dada por la expresin:
g
St
C 0.80 0.85 f ' A - f y A St
c (4)
Donde:
= Coeficiente de reduccin de resistencia, que para elementos reforzados
con estribos cerrados es igual a 0.70.
'
fc = Resistencia nominal del concreto a la compresin, expresada en MPa.
21 MPa .
Supngase f c'
2
Ag = rea bruta de la seccin, expresada en mm . Para el caso,
2
Ag = 90000 mm .
2
Ast = rea total del refuerzo longitudinal, expresada en mm . Para el caso
2
Ast = 1136 mm .
Fy = Resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo, expresada en
MPa. Supngase Fy = 420 MPa.
Remplazando para los valores particulares del ejercicio, se tiene:

2
C =0.80 x 0.70 x 0.85 x 21 x (300 1136) + 420 x 1136 =1155.472 N = 116 ton.
De acuerdo con lo expresado en la ecuacin (2) para el caso particular de la

ciudad de Medelln, una fuerza ssmica axial de compresin de 116 ton en la viga
de amarre, implica una fuerza axial (Pu) en la columna ms cargada
de
116/0.05 = 2320 toneladas. Para cargas superiores a este valor tendra que
aumentarse la seccin de la viga.
Anlogamente, supngase que la viga de fundacin est sometida a una fuerza

axial de traccin T. En este caso, la resistencia de diseo a fuerza axial de la
viga (despreciando la resistencia a traccin del concreto), est dada por la
expresin:
T = 0.90 Fy Ast (5)

T = 0.90 x 420 x 1136 =429.408 N 43 ton.
Una fuerza axial de traccin de 43 ton actuando sobre la viga de amarre implica
una fuerza axial (Pu) igual a 43/0.05 =860 toneladas sobre la columna ms
cargada.
Este resultado indica que una viga de fundacin de 300 mm x 300 mm, reforzada
con 4 3/4, funciona adecuadamente siempre y cuando, la fuerza axial (Pu) que
acta sobre la columna ms cargada no sea superior a 860 toneladas,
equivalente a la carga gravitacional que sobre esta columna transmitira un
edificio de aproximadamente 25 pisos. A partir de este valor, sera necesario
modificar la seccin transversal de la viga de fundacin, por este concepto.
En conclusin, para la mayora de los casos prcticos la viga de fundacin

de
300 mm x 300 mm, reforzada con 4 3/4, resiste la carga ssmica en forma
eficiente. Sin embargo, es importante advertir que concebida de esta manera, la
viga de fundacin no toma momentos del empotramiento columna zapata; y que
por lo tanto la zapata requiere disearse a flexin biaxial.
La viga de fundacin de 300 mm x 300 mm, reforzada con 4 3/4, tiene sentido
en suelos buenos, donde es poco probable la rotacin de la fundacin, y por lo
tanto tiene mayor garanta de cumplimiento la condicin de
empotramiento columna fundacin. En suelos blandos es preferible
concebir las vigas de amarre como elementos estructurales que toman
momento, y esto obligara a aumentar la seccin.
3.1.4 El arriostramiento en laderas. Esta funcin de las vigas de fundacin

tiene bastante aplicacin por las caractersticas topogrficas de nuestro entorno
geogrfico.
Por el desnivel del terreno, un edificio puede presentar irregularidad en altura,

configuracin geomtrica que favorece la generacin de esfuerzos de flexin
en las columnas que pueden ser atendidos mediante vigas de fundacin en
direccin diagonal (Figura 4), las cuales al arriostrar el edificio, aportan rigidez
a la zona ms flexible y vulnerable. Debe cerciorarse que la edificacin quede
rgida en todas las direcciones.
Figura 4. Vigas para arriostramiento en edificios construidos en laderas.
3.1.5 La disminucin de la esbeltez en columnas. Una funcin estructural

importante presenta la viga de fundacin cuando se disea y construye a cierta
altura con respecto a la cara superior de las zapatas que une. La viga en este
evento, al interceptar las columnas inferiores en su longitud, las biseca
disminuyendo su esbeltez. En trminos generales, debe procurarse que la viga
de fundacin sea lo ms superficialmente posible para lograr menor excavacin (y
por ende mayor estabilidad lateral del suelo), mayor facilidad en la colocacin
del acero de refuerzo y en el vaciado del hormign. En este caso el suelo sirve
de formaleta, lo que constituye una gran ventaja econmica.
3.1.6 El aporte a la estabilizacin de zapatas medianeras. En el caso de

zapatas medianeras una viga de amarre no slo ayuda a disminuir el valor de los
asentamientos sino que tambin ayuda a mantener su estabilidad, ya sea
actuando como un elemento tensor que se opone al momento volcador que le
transfiere la columna a la zapata, o como un elemento relativamente pesado que
a manera de palanca impide la rotacin de la zapata al centrar la fuerza
desequilibrante de la reaccin en la fundacin y la carga que baja por la columna.
23
3.1.7 Dimensiones mnimas. En el artculo C.15.13.3 de la NSR-98 (1) se
establece que las vigas de amarre deben tener una seccin tal que su
mayor
24
dimensin debe ser mayor o igual a la luz dividida entre 20 para estructuras con
capacidad especial de disipacin de energa (DES), a la luz dividida entre 30 para
estructuras con capacidad moderada de disipacin de energa (DMO) y a la luz
dividida por 40 para estructuras con capacidad mnima de disipacin de energa
(DMI).
La norma no menciona si la dimensin mxima especificada en el este artculo se

refiere a la dimensin horizontal o a la vertical. En Medelln (DMO) por ejemplo,
la mxima dimensin de una viga de amarre de 6 m de longitud
sera L/30 = 6000/30 = 200 mm. Esta viga, con una dimensin mnima de 100 mm,
podra eventualmente desaparecer como elemento viga al quedar embebida en la
losa de piso; situacin que obliga a disear la zapata por flexin biaxial.
3.1.8 Refuerzo longitudinal. El acero de refuerzo longitudinal debe ser

continuo. Las varillas de 3/4 en nuestro ejemplo pasan de una zapata a otra con
el fin de garantizar el trabajo de tensin. Este refuerzo debe ser capaz de
desarrollar fy por medio de anclaje en la columna exterior del vano final.
3.1.9 Refuerzo transversal. Deben colocarse estribos cerrados en toda su

longitud, con una separacin que no exceda la mitad de la menor dimensin de la
seccin o 300 mm. Para la viga mnima de 300 mm x 300 mm, la separacin ser
entonces de 150 mm. Esta afirmacin es vlida cuando la zapata se disea a
flexin biaxial; en caso de que la viga de fundacin resista momentos flectores
provenientes de columna, debe cumplir los requisitos de separacin y cantidad
del refuerzo transversal que fije la Norma para el nivel de capacidad de disipacin
de energa en el rango inelstico del sistema de resistencia ssmica.
3.2 DISEO DE ZAPATAS
Para la localizacin de las secciones crticas de momento, cortante y desarrollo

del refuerzo de las zapatas, en columnas o pedestales de concreto no cuadrados,
la NSR 98 en su artculo C.15.3.1, permite, por simplicidad, trabajar con
columnas o pedestales cuadrados equivalentes en rea.
3.2.1 Zapata concntrica. Para el diseo de una zapata concntrica (Figura

5)
se deben llevar a cabo los siguientes pasos:
Figura 5. Zapata concntrica
3.2.1.1 Obtener la carga de servicio P. Esto significa que se debe desmayorar

la carga ltima Pu obtenida del anlisis estructural, dividindola por el factor de
seguridad FG, el cual vale aproximadamente 1.5 para estructuras de concreto y
1.4
para estructuras de acero, o calcularla con cargas de servicio.
Pu (6)
P
FG
La carga ltima se desmayora con el propsito de hacerla conceptualmente

compatible con la capacidad admisible del suelo qa, calculada por el ingeniero de
suelos a partir de qu (presin ltima que causa la falla por cortante en la
estructura
del suelo), en la cual ya se involucra el factor de seguridad, de acuerdo con
expresiones del siguiente tipo (vlidas para suelos cohesivos):
qu cNc Df (7)
c Nc
qa Df (8)
Fs
Donde:
2
c (ton/m ) = Cohesin del suelo.
Nc = Factor de capacidad de carga.
3
(ton/m ) = Peso volumtrico de la masa del suelo.
Df (m) = Profundidad de desplante de la zapata.
Fs = Factor de seguridad.
Df se compensa con el peso propio de la zapata, por lo tanto, no hay necesidad

de considerar un porcentaje de P como peso propio, y en general se
puede despreciar.
3.2.1.2 Determinar el ancho B de la zapata. Para ello se emplea la expresin:
B Ps (9)
qa
3.2.1.3 Suponer espesor h de la zapata. Esta suposicin se hace sobre las

siguientes bases conceptuales, estipuladas en la NSR 98:
El espesor efectivo de la zapata por encima del refuerzo inferior no puede

ser menor de 150 mm (dmin>150 mm, para zapatas apoyadas sobre suelo)
(Artculo C.15.7.1).
El recubrimiento mnimo debe ser de 70 mm, para el caso en que la zapata
est apoyada sobre suelo natural. (Artculo C.7.7.1 a)
est apoyada sobre suelo de relleno y el acero de refuerzo que se deba
recubrir sea >5/8. (Artculo C.7.7.1 b).
est apoyada sobre suelo de relleno y el acero de refuerzo que se deba
recubrir sea 5/8. (Artculo C.7.7.1 b).
De acuerdo con estos conceptos, el espesor mnimo de una zapata ser 190
mm, y corresponde al caso de una zapata reforzada con varillas con dimetro
inferior a
5/8, apoyada sobre un suelo de relleno (150 mm + 40 mm).
Con respecto a lo anterior se pueden hacer los siguientes comentarios:

El recubrimiento funciona como una capa que rompe la capilaridad,
protegiendo el acero de refuerzo. Cuando la zapata se apoya sobre un
suelo de relleno granular como arenilla o grava, donde el fenmeno de la
capilaridad no es tan importante, podra optarse por un recubrimiento
menor.
El solado que normalmente se vaca como actividad preliminar
y preparatoria de la superficie sobre la cual se colocar la zapata, no es
suficiente recubrimiento.
Cuando se da un cambio de rigidez brusco entre los estratos del suelo se
disminuyen las deformaciones horizontales; propiedad que se constituye
en una forma indirecta de confinar el suelo por friccin. Esta ventaja
se aprovecha en muchos casos prcticos, por ejemplo, cuando al construir
un lleno se intercalan capas de geotextil con arenilla o con otro material
de lleno. El resultado final es un aumento en la capacidad portante del
suelo. (Aunque por costos, en este caso particular, puede resultar ms
favorable mezclarle cemento a la arenilla, lo que se conoce como suelo -
cemento).
3.2.1.4 Revisar punzonamiento o cortante bidireccional. (Artculo C.11.12.1.2.
de la NSR 98 (1) ). Se refiere al efecto en que la zapata trata de fallar por una
superficie piramidal, como respuesta a la carga vertical que le transfiere la
columna o pedestal (Figura 6a).
En la prctica, para simplificar el problema, se trabaja con una superficie de falla

o seccin crtica perpendicular al plano de la zapata y localizada a d/2 de la cara
de la columna, pedestal o muro si son de concreto (Figuras 6b,6c y 6d), o a partir
de la distancia media de la cara de la columna y el borde de la placa de acero si
este
es el caso (Figura 7); con una traza en la planta igual al permetro mnimo
b o.
Figura 6. Cortante bidireccional en zapata que soporta columna,

pedestal o muro de concreto.
Figura 7. Cortante bidireccional en zapata que soporta columna metlica.
Para el caso supuesto de zapata cuadrada, si se asume que debajo de ella

2
se presenta una reaccin uniforme del suelo dada por q = P/B , el esfuerzo
cortante
bidireccional, ubd, ser:
Pu (B2 - (b1 d) (b2 (10)

d))
ubd 2
B 2 (b1 d b2 d) d
Donde:
Pu = Carga ltima, que se transfiere a la zapata a travs de la columna
o
pedestal.
B = Ancho de la zapata, expresado en mm .
d = Distancia desde la fibra extrema a compresin hasta el centroide del
refuerzo a traccin (d = h-recubrimiento), expresada en mm.
b1 = Lado corto de la columna o pedestal, expresado en mm.
b2 = Lado largo de la columna o pedestal, expresado en mm.
De acuerdo con el Artculo C.11.12.2.1, se deben cumplir las siguientes

relaciones:
f' c (11)
3
f' c sd (12)
ubd (1 )
6 2 bo
f' c 2 (13)
(1 )
6 c
Donde:
= Coeficiente de reduccin de resistencia. Para esfuerzos de cortante,
=0.85.
f' c = raz cuadrada de la resistencia nominal del concreto a la compresin,
expresada en Mpa.
s = Factor que depende de la posicin de la columna o pedestal en la
zapata (no de la posicin de la columna o pedestal en el edificio); se
considera igual a 40 cuando la columna o pedestal est al interior de la
zapata, 30 cuando la columna o pedestal est al borde de la zapata y 20
cuando la columna o pedestal est en una de las esquinas de la zapata.
bo = Permetro de la seccin crtica
c = b2/b1, Es la relacin entre el lado largo y el lado corto de la columna
o pedestal. Si la columna o pedestal es cuadrada, c =1
3.2.1.5 Revisar cortante unidireccional. (Artculo C.11.12.1.1) Se refiere al

efecto en el comportamiento de la zapata como elemento viga, con una seccin
crtica que se extiende en un plano a travs del ancho total y est localizada a
una distancia d de la cara de la columna, pedestal o muro si son de concreto
(Figura
8)., o a partir de la distancia media de la cara de la columna y el borde de la
placa de acero si este es el caso (Figura 9).
Figura 8. Cortante unidireccional en zapata que soporta columna, pedestal o muro
de concreto.
Figura 9. Cortante unidireccional en zapata que soporta columna metlica.
Para el caso supuesto de zapata cuadrada, el esfuerzo cortante unidireccional,

uud, est dada por:
B b1 B b1
B - -d - -d
PU 2 2 PU 2 2 (14)
uud 2
B Bd B d
2
Se debe cumplir que:

f' c Con: = 0.85 (15)
uud
6
3.2.1.6 Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo. (Artculo

C.15.4.2). La seccin crtica en la cual se calcula el momento mayorado
mximo se determina pasando un plano vertical a travs de la zapata, justo en la
cara de la columna, pedestal o muro si estos son de concreto (Figura 10). Para
los apoyos de columnas con placas de acero, en la mitad de la distancia entre la
cara de la columna y el borde de la placa (Figura 11a) y para mampostera
estructural, en la mitad de la distancia entre el centro y el borde del muro (Figura
11b).
El momento mayorado mximo ser igual al momento de las fuerzas que actan
sobre la totalidad del rea de la zapata, en un lado de ese plano vertical. Se
puede expresar entonces:
2 2
Pu B B - b1 Pu B b1
-
(16)
M
u
B2 2 2 2 2B 2 2
Figura 10. Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que
soporta columna, pedestal o muro de concreto.
(a) (b)
Figura 11. Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soporta
columna metlica (a) y muro de mampostera estructural (b).
De acuerdo con los artculos C.15.4.3 y C15.4.4, el refuerzo resultante debe

repartirse uniformemente a todo lo ancho de la zapata, con excepcin del
refuerzo transversal de zapata rectangulares, en donde una banda central de
ancho igual al menor de la zapata debe tener uniformemente repartida una
porcin del refuerzo
total dada por la ecuacin C.15-1, que se transcribe a
continuacin:
refuerzo en el ancho de la 2 (17)

banda
refuerzo total en la direccin corta ( 1)
Donde:
longitud larga (18)
longitud corta
En cualquier caso, el refuerzo a flexin debe tener una cuanta mnima de

0.0018 en ambas direcciones.
En el evento en que la zapata pueda quedar sometida a solicitaciones de

tensin, debe considerarse un refuerzo para flexin en su parte superior (o parrilla
de acero
superior), en la cuanta requerida o mnima y revisarse el acero que pasa a la
columna a tensin.
3.2.1.7 Revisar el aplastamiento. Como se observa en la Figura 12 se suele

considerar que la presin de compresin que transmite la columna o pedestal
se va disipando con el espesor h de la zapata, a razn de 2 horizontal por 1
vertical, desde el rea A1 en su cara superior (rea de contacto columna o
pedestal zapata), hasta el rea A2 en su cara inferior.
La capacidad de carga por aplastamiento debe ser tal

que:
A2 Con: = 0.70 (19)

Pu 0.85 f' c A1
A1
En esta expresin se debe cumplir:

A2 (20)
2
A1
Figura 12. Modelo Geomtrico y estructural para la verificacin del aplastamiento.
Tiene sentido hablar de aplastamiento cuando la resistencia nominal del

concreto a la compresin de la columna (fc de la columna), sea mayor que la
resistencia
nominal del concreto de la zapata (fc de la zapata), y es ms importante cuando
la carga es transmitida por una columna de acero.
Si la capacidad de aplastamiento del concreto no es suficiente, el exceso se

puede trasladar por el acero de refuerzo de la columna o dovelas si se requieren.
3.2.1.8 Detalles del refuerzo. De acuerdo con los artculos C.15.4.6 y C.15.4.7
el refuerzo longitudinal de la columna debe llevarse hasta el refuerzo inferior de la
fundacin, y debe terminarse con un gancho horizontal. En la suposicin usual
de columna empotrada en la zapata, este gancho horizontal debe orientarse hacia
el centro de la columna, disposicin que en la practica pocas veces se
cumple, quizs por la dificultad de acomodar en poco espacio la cantidad de
varillas que llegan a la zapata, muchas veces de dimetros grandes.
En el caso de zapatas medianeras, de acuerdo con los requisitos estipulados en el

artculo C.21, se recomienda que las columnas tengan estribos en la porcin
embebida en la zapata para garantizar el confinamiento, de acuerdo con los
requisitos estipulados en el artculo C.21.
De conformidad con lo establecido en el artculo C.15.8.2.1, la cuanta de

refuerzo de la columna o pedestal que pasa a la zapata debe ser al menos
0.005, lmite que equivale a la mitad de la cuanta mnima de la columna o
pedestal.
En general, se debe revisar la longitud de desarrollo con respecto a la seccin

crtica. Si se seccionan varillas de refuerzo de dimetrtos pequeos la longitud de
desarrollo se suele garantizar sin necesidad de ganchos.
Otros detalles importantes relacionados con el traslapo de las dovelas de

transferencia, si se requieren, deben ser consultados en la norma.
EJEMPLO DE ZAPATA AISLADA.
Se desea disear una zapata concntrica con la siguiente informacin
bsica:
P = 344 kN
qa = 100 kN/m2
f c = 21MPa
Fy = 420 MPa
b1 = 300 mm
b2 = 400 mm
Los elementos de la fundacin se dimensionan para que resistan las

cargas mayoradas y las reacciones inducidas. El rea de apoyo de la base
de la fundacin se determina a partir de las fuerzas sin mayorar y el esfuerzo
permisible sobre el suelo.
Dimensionamiento
La carga de servicio es:
Ps 344kN
La capacidad admisible del suelo es:
2
100kN / m
qa
Por lo tanto B estara dado por la ecuacion (9):
Ps
B
qa
344 kN
B 2
100 kN / m
B 1.85 m
Cortante por punzonamiento seccin crtica a d/2 de la columna (cortante

bidireccional)
El espesor de la zapata por encima del refuerzo inferior no puede ser menor de
150 mm para zapatas sobre el suelo (C.15.7.1, NSR-98). Se supone
inicialmente un espesor de zapata de:
h 250 mm
La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:
d h 70 mm
d 250 mm 70 mm
d 180 mm 150 mm OK
De conformidad con la seccin 3.2.1.1, por tratarse de una estructura de

concreto, la carga ltima es aproximadamente igual a la carga de servicio
multiplicada por
1.5; esto es:
Pu 1.5 P 516 kN
El esfuerzo ltimo aplicado sobre el suelo de cimentacin para el diseo

estructural de la zapata es:
Pu
qu
B2
516 kN
q
u 1.85 m
2
2
qu 151 kN / m
Para la superficie de falla indicada en la figura que se presenta a continuacin, se

determinan los esfuerzos cortantes up aplicando la ecuacin (10) y verificando
luego el cumplimiento de las ecuaciones (11), (12) y (13):
La fuerza total por punzonamiento que hace el pedestal sobre la placa es:
Pu 2 b1 d b2 d
Vup 2 B
B
Tomando b1 = 30cm y b2 = 40cm
2 0.30 m 0.18 m 0.40 m 0.18 m

516 kN (1.85 m)
Vup
(1.85 m)
2 Vup 474 kN
El esfuerzo cortante por punzonamiento es:
Vup
up
bo d
Donde:
bo 2 b1 b2 2d
bo 2 0.30 m 0.40 m 2(0.18 m)
Luego: b
2.12 m
o
473000 N
up
2120 mm (180 mm)
up 1.24 MPa
Debe cumplirse que:
v fc
3
40 Columna interior
v fc
1 sd 30 Columna borde
up , s
6 2bo 20 Columna esquina
fc b2
v 2
1 , c b1
6 c
Con v = 0.85, s= 40, c =1.33 y fc 21MPa se obtiene:
1.30 MPa Cumple

1.24 MPa 1.75 MPa Cumple
1.62 MPa Cumple
Con este espesor de zapata se cumplen todos los requerimientos necesarios para
que la zapata no falle por punzonamiento, sea que la columna con el pedestal
se separe de la zapata y se hunda, produciendo as posibles asentamientos
diferenciales.
Cortante directo seccin crtica a d del pedestal (cortante unidireccional)
La fuerza cortante vertical que acta sobre el voladizo por la ecuacion (14) es:
Pu B B b1
Vud 2
d
B 2
516 kN 1.85 m 0.30 m 0.18 m
Vud
1.85 m 2
Vud 166 kN
El esfuerzo cortante es:

Vud
ud
Bd
167000 N
ud
(1850 mm )(180 mm)
ud 0.50 MPa
ste debe ser menor que el resistido por el concreto:
v fc
ud
6
Con v =0.85 y Fc = 21 MPa , se obtiene:
0.85 21 MPa
0.50 MPa
6
0.50 MPa 0.65 MPa OK
Finalmente las dimensiones de la zapata seran : B =1 .85 m, L = 1.85 m y

h = 0.25 m.
Diseo a flexin seccin crtica cara de la columna
El momento externo en cualquier seccin de una zapata se determina pasando

un plano vertical a travs de la zapata, y calculando el momento de las fuerzas
que actan sobre la totalidad del rea de la zapata, en un lado de ese plano
vertical (C.15.4.1-NSR 98).
En las zapatas cuadradas que trabajan en dos direcciones, el refuerzo debe
distribuirse uniformemente a todo su ancho (C.15.4.3-NSR
98). De acuerdo con la ecuacin (16), se tiene:
2
Pu B b1
Mu B
2B2 2
1.85 m 0.30 m 2
Mu 516 kN
2(1.85 m) 2
Mu 83.8 kN m
El rea de refuerzo a flexin con:
1.85 cm
B
d 18 cm
0.00387 > min
0.0018 (C.15.4.5, NSR-98) OK
Es:
As Bd
As 0.00387 (185 cm)(18 cm)
2
As 12.9 cm
El rea de refuerzo a flexin se logra con el siguiente arreglo de barras: 11 N4 @

17 cm.
La longitud de desarrollo de las barras corrugadas expresada en mm es:
12 f y
ld db
25 f c
Con =1, =1 y d =12.7 mm (N4), fc 21MPa y f y 420 se obtiene:

b
MPa
ld 560 mm <1850 / 300 / 2 70 705 mm No requiere gancho

2
Se hace notar que, si por ejemplo, se hubieran seleccionado 5 barras #6, la

longitud de desarrollo sera 840 mm, y se requerira gancho.
En la figura que se presenta a continuacin se muestra el detalle final del refuerzo.

Es importante resaltar que no requiere gancho en los extremos de los
emparrillados.
Resistencia a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)
La resistencia de diseo del concreto a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)

0.85 f c A1 ; excepto cuando la superficie de apoyo sea ms
no debe exceder de
ancha en todos los lados que el rea cargada, la resistencia de diseo al

aplastamiento sobre el rea cargada puede multiplicarse por:
A2 / A1 2, (C.10.13.2 NSR-98).
En la siguiente figura, se indican los elementos geomtricos para calcular las

expresiones que permiten verificar el aplastamiento de la zapata.
La condicin de aplastamiento en la zapata es fundamental cuando existe un
cambio de resistencia entre sta y el pedestal. Debido a que esta situacin no
se
presenta, esta condicin ser verificada nicamente para efectos ilustrativos.
A1 b1 b2
A1 (0.30 m)(0.40 m)
0.120 10 6 mm 2
A1 0.120 m
2
2 h b2 2 h
A2 b1
A2 (0.80 m)(0.90 m)
6 2
2 0.720 10 mm
A2 0.720 m
A2 0.720 m
2 2.45 2
A1 2
0.120 m
Se toma 2 de acuerdo con la ecuacion (20)

A2
Pn 0.85 f c A1
A1
6 2
10 mm )(2)
Pn (0.7)(0.85)(21 MPa )(0.120
Pn 3000 kN
Pn 3000 kN
Pu 516 kN
Solo requiere pedestal para cumplir con recubrimientos dentro del suelo, lo cul
se cumple con 50mm ms que la columna a cada lado.
3.2.2 Zapatas con flexin en una direccin. Esta situacin corresponde al caso
de una zapata que transmite una carga de servicio P con una excentricidad e, de
modo que M=P.e. En este caso, puede analizarse la distribucin de presiones
de una manera simplista asumiendo que las presiones tienen una variacin lineal
en la direccin L.
Se analizan dos situaciones:

Cuando la excentricidad es menor o igual que un sexto del ancho de la
zapata (e L/6), se presenta compresin bajo toda el rea de la
zapata (Figura 13 a y b). En este caso:
P 6eP P (21)
qmax 2
1
BL BL 6e
BL L
P 6eP P 6e (22)
qmin (1-
)
2
BL BL BL L
Cuando la excentricidad es mayor que un sexto del ancho de la zapata

(e>L/6), una parte de sta se encuentra exenta de presiones y para garantizar su
estabilidad, se debe cumplir la condicin que se explica con la Figura 14 en
la
cual, se deduce por equilibrio esttico que:
3qm (23)
P
B
2
Despejando q, se tiene:
2P
(24)
q
3mB
Donde:
m = L/2 e (25)
(a)
(b)
Figura 13. Modelo estructural en zapata con flexin uniaxial, cuando e < L/6.
Figura 14. Zapata con flexin uniaxial, cuando e > L/6

3.2.2.1 Procedimiento de diseo.
Se selecciona L de tal manera que L sea mayor que 6e (L>6e) y se despeja

B, suponiendo que qmx = qa (valor obtenido en el estudio de suelos).
P 6e (26)
B (1 L )
qa
Las parejas de L y B se determinan, de modo que la relacin L/B est

comprendida entre 1.5 y 2.0 (relacin que normalmente se utiliza).
Es importante advertir que si para la determinacin de la carga de servicio P, se

incluyeron combinaciones de sismo y de viento, la capacidad de carga
del
, puede ser incrementada en un 33%.
suelo, qa
Se mayoran las cargas de servicio.

Se revisa el punzonamiento, utilizando para ello la presin promedia q
. Se revisa la cortante bidireccional
Se calcula el acero longitudinal, es decir, en el sentido del momento (acero
principal).
Se calcula el acero transversal. Teniendo como base el acero mnimo
(0.0018 Bd), concebido como si fuera en una sola direccin.
EJEMPLO DE DISEO DE ZAPATA CON FLEXION EN UNA DIRECCION
Se requiere disear la siguiente zapata mostrada en la figura con la siguiente

informacin bsica.
Dimensionamiento

permisible
sobre el suelo.
Las cargas de servicio son:

Ps 1000 kN
Ms 200 kN m
Ms
La excentricidad es: e
Ps
200 kN m
e
1000 kN
e 0.2m
La excentricidad calculada con las cargas de servicio es igual a la calculada
con las cargas mayoradas.
La zapata se dimensiona mediante las siguientes expresiones:
Ps 6e
q max s 1 qa
BL L
Ps 6e
q min s 1 0
BL L
Para que se cumplan las expresiones anteriores se requiere que la resultante

L / 6 . Se dimensiona la zapata asumiendo
caiga en el tercio medio de la base: e
1.5B .
un L mucho mayor que 6*e. Se tomar inicialmente:
L
Ps 6e
B 1
1.5Bq a 1.5B
1000 kN 6 ( 0 .2 m )
B 2 1
1.5B(150 kN / m ) 1.5B
B 2.6 m
Para B = 2.6 m se obtiene L = 3.9 m. A continuacin se verifican las expresiones

L/6:
(3.2) y (3.3) y la condicin e
6( 0. 2 m ) 2 2
1000 kN
q max s 1 (3.9 m) 129 kN / m q a 150 kN / cumple
(2.6m)(3.9m) m
2 2
1000 kN 6 ( 0 .2 m ) 68 kN / m 0 kN / m cumple
q min s 1
(2.6 m)(3.9 m) (3.9 m)
L 3 .9 m 0.65 m e 0.2 m OK
6 6
Como estas dimensiones cumplen las condiciones exigidas, la zapata

se construir con
L = 3.9 m y B = 2.6 m
Cortante por punzonamiento seccin crtica a d/2 del pedestal

(cortante bidireccional)
Cortante por punzonamiento.
El espesor de la zapata sobre el suelo por encima del refuerzo inferior no

puede ser menor de 150 mm (C.15.7.1, NSR-98). Se supone inicialmente un
espesor de
zapata de:
h 400 mm
d h 70 mm
d 400 mm 70 mm
d 330 mm 150 mm
Las cargas mayoradas son:
Pu 1500 kN
Mu 300 kN m
q u max q u min d bc d
Vup Pu lc
2
1500 kN 194 kN / m 2 102 kN / m2 0.5 m 0.33 m 0.4 m 0.33 m

Vup
2
Vup 1410 kN
up
Vup
bo d
Donde:
bo 2 bc
lc 2d
bo 2 0.4 m 0.5 m 2(0.33)
bo 3.12 m
Luego:
1410000 N
up
(3120 mm)(330 mm)
up
1.37 MPa
Debe cumplirse que:

v
fc
3
40 Columna interior
fc d 30 Columna borde
up
v
1 s
, s
fc lc
v 2
1 , c bc
6 c
Con v
= 0.85, = 40, =1.25 y f c 21MPa se obtiene:
s c
1.30 MPa No Cumple

1.37 MPa 2.02MPa Cumple
1.69 MPa Cumple
Como no se cumple una de las condiciones de cortante se debe aumentar el valor

de h ; tomando un valor de:
h 500 mm
d h 70 mm
d 500 mm 70 mm
d 430 mm 150 mm
De esta manera se tiene que:

Vup 1386 kN
bo 3.52 m
up 0.92 MPa
1.30 MPa Cumple
1.63 MPa Cumple
Cortante directo seccin crtica a d del pedestal (cortante unidireccional)
El cortante unidireccional se chequea tanto para el sentido longitudinal como

para el transversal.
Sentido longitudinal
Cortante directo sentido longitudinal.
La fuerza cortante vertical en sentido longitudinal es:
q u max q u min B bc
Vud d L
2 2
194 kN / m 2 102 kN / m2 2. 6 m 0 .40 m 0.43 m 3.9 m

Vud
2 2
Vud 387 kN
Vud
ud
Ld
387000 N
ud
(2600 mm)(430 mm)
ud
0.23
v
f
c ud
6
Con v
=0.85 y f 21MPa se obtiene:
c
0.85 21 MPa
0.23 MPa
6
Sentido transversal
Cortante directo sentido transversal.

q u max q u max q u min L lc
q ud d
L 2
194 kN / m
2 194 kN / m 2 102 kN / m2 3.9 m 0.50 m 0.43 m
q ud
3.9 m 2
qud 164 kN / m
2
La fuerza cortante vertical en sentido transversal es:
q ud q u max L lc
Vud d B
2 2
164 kN / m 2 194 kN / m2 3. 9 m 0. 5 m 0.43 m 2.6 m

Vud
2 2
Vud 590 kN

Vud
ud
Bd
590000 N
ud
(3900 mm)(430 mm)
0.53 MPa
ud
v
f
c ud
6
Con v
=0.85 y f 21MPa se obtiene:
c
0.85 21 MPa
0.53 MPa
6
0.65 MPa Cumple
0.53 MPa
Finalmente las dimensiones de la zapata son:

B = 2.6 m, L = 3.9 m y h = 0.5 m.
Diseo a flexin seccin critica cara del pedestal

Refuerzo en sentido longitudinal o largo
2 2
q u max q uf 2 Lv Lv
Mu q uf B
2 3 2
Donde:
q u max q u min L lc
q uf q u max
L 2
194 kN / m
2 194 kN / m 2 102 kN / m2 3 .9 m 0.50 m
q uf
3.9 m 2
q uf 154 kN / m
2
L lc
Lv
2
3.9 m 0.50 m
Lv
2
Lv 1.7 m
Luego:
194 kN / m2 154 kN / m2 2 1. 7 m 2
1.7 m 2 .2.6 m
Mu 154 kN / m 2
2 3 2
Mu 677 kN m
El rea de refuerzo a flexin en direccin larga con:
B 260 cm
d 43 cm
0.0039 > min 0.0018 (C.15.4.5,NSR-98) OK
es:
As l Bd (3.20)
As l 0.0039(260 cm)43 cm
2
43.67 cm
As l
El refuerzo en la direccin larga debe distribuirse uniformemente a todo

lo ancho de la zapata (C.15.4.4a-NSR-98).
Dicho refuerzo se logra con el siguiente arreglo de barras:

35 N4 @ 0.07 m
12 f y
ld db
25 f c
Con =1, =1 y d b =12.7 mm (N4), f c 21MPa y f y 420 MPa se obtiene:
ld 560 mm < 1700 mm 70 mm 1630 mm No requiere
Finalmente el refuerzo longitudinal de acero distribuido uniformemente a todo

lo ancho de la zapata es:
35 N4 @ 0.07 m, Lb = 3.76 m
Refuerzo en sentido transversal o corto
2
q u max q u min Lv
Mu L
2 2
Donde:
B bc
Lv
2
2.6 m 0.40m
Lv
2
Lv 1.1 m
Luego:
129 kN / m 2 68 kN / m2 1.1 m 2
.3.9 m
Mu
2 2
Mu 349 KN m
El rea de refuerzo a flexin en el sentido transversal con:
L 390 cm
d 43 cm
0.0013 < min 0.0018 (C.15.4.5,NSR-98)
es:
As t Ld (3.23)
Ast 0.0018(390 cm)(43 cm)

As t 30.2 cm
2
Para el refuerzo en la direccin corta, una porcin del refuerzo total dado por la
ecuacin (3.24) debe distribuirse uniformemente sobre un ancho de banda
centrada sobre el eje de la columna o pedestal, igual a la longitud del lado corto
de la zapata. El resto del refuerzo que se requiere en la direccin corta, debe
distribuirse uniformemente por fuera del ancho de la banda central de la zapata
(C.15.4.4a-NSR-98).
refuerzo en el ancho de la banda 2

refuerzo total en la direccin corta 1
Donde:
: relacin del lado largo al lado corto de la zapata.

L
B
1.5
El refuerzo en el ancho de banda de 2.6 m es:
2
refuerzo en el ancho de la banda refuerzo total en la direccin corta
1
2 30.2 cm 2
refuerzo en el ancho de la banda
(1.5 1)
2
refuerzo en el ancho de la banda 24.15 cm
El refuerzo en el ancho de la banda, distribuido uniformemente se logra

con el siguiente arreglo de barras: 20 N4 @ 0.13 m
El resto del refuerzo que se requiere en la direccin corta, se distribuye

uniformemente por fuera del ancho de la banda central de la zapata.
refuerzo por fuera del ancho de la banda 30.2 cm

2
24.15 cm
2
6.04 cm
2
Este refuerzo se consigue con 5 barras nmero 4, pero para que sea simtrico
se colocaran 3 a cada lado por fuera del ancho de banda.
12 f y
ld db
25 f c
ld 560 mm 1100 mm 70 mm 1030 mm No Requiere gancho
Por lo tanto, el refuerzo por fuera del ancho de la banda, distribuido

uniformemente se logra con el siguiente arreglo de barras:
6 N4 @ 0.19 m, Lb=2.44m

0.85 f c A1 ; Excepto cuando la superficie de apoyo sea ms
no debe exceder de

A2 / A1 2, (C.10.13.2 NSR-98.
La condicin de aplastamiento en la zapata es fundamental cuando existe un

cambio de resistencia entre sta y el pedestal. Debido a que esta situacin no
se
presenta, dicha condicin no ser verificada.
Requerimiento de pedestal
A1 bc hc
A1 (0.40 m)(0.50 m)
0.200 10 6 mm 2
A1 0.20 m 2
Pn 0.85 f c A1
Pn (0.7)(0.85)(21 MPa )(0.20 10 6 mm 2 )
Pn 2499000 2499 kN
Pu 1500 kN N Pn 2499 No requiere pedestal
kN
Despiece de la zapata 6.
3.2.3 Zapatas con flexin biaxial. Esta situacin se presenta cuando la viga de
amarre no toma momentos. La zapata entonces trabaja a carga axial y
a
momentos flectores sobre los ejes x y y, como se indica en la Figura 15.
(a) (b)
Figura 15. Zapata con Pu 0, Mx 0, My 0

De acuerdo con la Figura 15 (b) la carga de servicio P acta a la distancia ex del
eje y y ey del eje x; de modo que:
M
y
e
x (27)
P
Mx (28)
ey
P
Si ex L/6 y ey B/6 toda la superficie bajo la zapata estar sometida a

compresin con una distribucin de presiones en forma de prisma rectangular
truncado o rebanado por un plano inclinado, tal como se muestra en la
Figura 15 (a); lo cual dificulta el diseo de la zapata.
La distribucin de presiones debajo de la zapata se pude expresar como

:
P 6ey (29)
q (1 6ex ) qa
BL L B
Existen infinitos valores de B y L que cumplen esta desigualdad. Para facilitar la

solucin se supone q = qa (resultado del estudio de suelos) y B 6ey, datos que
2
reemplazados en la ecuacin permiten despejar L , dos races para la solucin
de L, de las cuales se elige la solucin correcta.
En el evento de que ey = 2ex, la longitud en la direccin Y debe ser el doble de la

direccin en X (B = 2L). Sin embargo, para evitar errores en la colocacin
del acero de refuerzo durante la construccin de la zapata, se recomienda
considerar B = L.
EJEMPLO DE DISEO DE ZAPATA AISLADA CON FLEXION BIAXIAL
Se requiere disear la zapata mostrada en la figura con la siguiente informacin

bsica:
Dimensionamiento

permisible
sobre el suelo.

Ps 1000kN
M ys 250 kN m
M xs 300 kN m
Por lo tanto las excentricidades son:

M xs
ey
Ps
250 kN m
e
y
1000 kN
ey 0.25 m
M ys
ex
Ps
ex 300 kN m
1000 kN
e x 0.30 m
Las excentricidades calculadas con las cargas de servicio son iguales a las
calculadas con las cargas mayoradas.
La zapata se dimensiona segn las siguientes expresiones mediante ensayo

y error:
En el punto 1:
6e y
q1s q min s Ps 6e x 0
1 B
BL L
En el punto 2 :
Ps 6e y
q2 s 6e x 0
1 B
BL L
En el punto 3 :
Ps 6e y
q3 s q max s 6e x qa
1 B
BL L
En el punto 4:
Ps 6e x 6e y
q4 s 1 0
BL L B
Para satisfacer las ecuaciones anteriores se requiere que: e B / 6 y ex L/6.

y
Se dimensiona la zapata asumiendo L igual a B, debido a que la diferencia entre

el momento en direccin x, y el momento en la direccin y, no es muy grande.
La siguiente tabla resume los resultados obtenidos para diferentes tanteos.
qs (kN/m^2)
B condicion1 condicion2 condicion3 condicion4
2 -163 213 663 228
3 -11 100 233 122
3,5 5 75 159 89
3,6 6 71 148 84
Resultados obtenidos para tanteos de B.
Por lo tanto se toma B = L = 3.6 m
Se verifican las condiciones e B / 6 y ex L/6:

y
L 3 .6 m 0.60 m e 0.30 m OK
6 6 x
B 3 .6 m 0.25 m OK
0.60 m e
6 6 y
Debido a que el tanteo 3 satisface las condiciones exigidas, las dimensiones de

la zapata sern: L =3.6 m y B = 3.6 m.
La siguiente tabla contiene los valores de q1 , q 2 , q3 y q 4 para el estado ltimo de
carga:
2 2 2 2
Tanteo B (m) L (m) q1 (kN/m ) q2 (kN/m ) q3 (kN/m ) q4 (kN/m )
4 3.6 3.6 9 107 222 126
Valores de q1 , q 2 , q3 y q 4 para el estado ltimo de carga.
Cortante por punzonamiento seccin critica a d/2 del pedestal (cortante

bidireccional)
El cortante por punzonamiento se evala para la condicin de carga ms alta. El

espesor de la zapata sobre el suelo por encima del refuerzo inferior no puede ser
menor de 150 mm (C.15.7.1, NSR-98). Se supone inicialmente un espesor de
zapata de:
h 400 mm
d h 70mm
70 mm
d 400 mm
d 330 mm 150 mm OK
Co
rtante por punzonamiento.
Las cargas mayoradas son:

Pu 1000 kN
M yu 450 kN m
M xu 375 kN m
q 4u q u max d lc d
V up Pu
b c
2
1000 kN 222 kN / m2 125 kN / m2 0.50 m 0.33 m 0.50 m 0.33 m

V up
2
1387 kN
Vup
Vup
up
bo d
Donde:
bo 2 bc d lc d
0.50 m 0.33 m 0.50 m 0.33 m

bo 2
bo 3.32 m
1380000 N
Luego: up
(3320 mm )(330 mm )
up
1.27 MPa
Debe cumplirse que:
v
fc
3
40 Columna interior
up
v
1 s
, s
bp
v fc 2
1 , c lp
6 c
Con v
= 0.85, = 40, =1 y f c 21MPa se obtiene:
s c
1.30 MPa Cumple

1.95 MPa Cumple
Cortante directo seccin critica a G del pedestal (cortante unidireccional)
El cortante directo se evala para la condicin de carga ms alta.

Cortante directo.
q u max q 4u B bc
q ud q u max d
B 2
222 kN / m
2 222 kN / m 2 125 kN / m2 3. 6 m 0.50 m 0.330 m
q ud
3.6 m 2
qud 189 kN / m
2
La fuerza cortante vertical que acta sobre el voladizo es:
q ud q u max B bc
V ud d L
2 2
189 kN / m 2 222 kN / m2 3. 6 m 0.50 m 0.330 m 3.6 m

V ud
2 2
Vud 903 kN

Vud
ud
Ld
903000 N
ud
(3600 mm )(330 mm
)
ud 0.76 MPa

ud v
fc
6
fc 21MPa se obtiene:
Con v
=0.85 y
0.85 21 MPa
0.76 MPa
6
0.65 MPa No Cumple
0.76 MPa
Por lo tanto hay que aumentar el valor de h. Tomando:

h 450 mm

d h 70mm
70 mm
d 450 mm
d 380 mm 150 mm OK
Con esto se tiene que:
Vud 868 kN
ud
0.63 MPa
Con v
=0.85 y
0.85 21 MPa
0.63 MPa
6
0.65 MPa Cumple
0.63 MPa
Finalmente las dimensiones de la zapata son: B = 3.6 m, L = 3.6 m y

h = 0.45 m.
Diseo a flexin seccin critica cara de la columna

El voladizo crtico para flexin es el ms cargado. El momento externo en
cualquier seccin de una zapata se determina pasando un plano vertical a travs
de la zapata, y calculando el momento de las fuerzas que actan sobre la totalidad
del rea de la zapata, en un lado de ese plano vertical (C.15.4.1-NSR 98).
En las zapatas cuadradas que trabajan en dos direcciones, el refuerzo debe

distribuirse uniformemente a todo su ancho.
2 2
q u max q uf 2L v Lv
Mu q uf L
2 3 2
Donde:
q u max q4 B bc
q uf q u max u
2
B
2 222 kN / m 2 125 kN / m2 3.6 m 0.50 m

q uf 222 kN / m
3.6 m 2
q uf 180 kN / m
2
B bc
Lv
2
3.6 m 0.50 m
Lv
2
Lv 1.55 m
Luego:
2 2
222 kN / m 180 kN / m
2
2 1.55 m
2
180 kN / m 1.55 m
2 3.6 m
Mu
2 3 2
Mu 899 kN m
El rea de refuerzo a flexin con:
L 360 cm
d 38 cm
min
0.0049 > 0.0018 (C.15.4.5,NSR-98) OK
Es:
As Ld
As 0.0049(360 cm)(38 cm)
2
As 66.4 cm
El refuerzo a flexin se logra con el siguiente arreglo de barras:

34 N5 @ 0.10 m
ste refuerzo se distribuye uniformemente en las dos direcciones.
La longitud de desarrollo de las barras corrugadas, expresada en mm es:
12 f y
ld db
25 f c
Con: =1, =1, d b =16 mm (N5), f c 21MPa y f y 420 MPa se obtiene:
ld 704 mm > 1550 mm 70 mm 1480 mm No Requiere gancho.
Por lo tanto se toman ganchos con una longitud de 250mm y el refuerzo de

acero distribuido uniformemente en las dos direcciones es: 34 N5 @ 0.10
m, Lb =
3.4m

0.85 f c A1 ; excepto cuando la superficie de apoyo sea ms
no debe exceder de

A2 / A1 2, (C.10.13.2 NSR-98).
Requerimiento de pedestal
A1 bc hc
A1 (0.50 m)(0.50 m)
A1 0.25 m 2 0.25 10 6 mm 2
Pn 0.85 f c
A1
Pn (0.7)(0.85)(21 MPa )(0.25 10 6 mm 2 )
3124 kN
Pn 3124000 N
Pu 1500 kN Pn 3124 kN No requiere pedestal

Despiece de la zapata 3.
3.2.4 Zapatas medianeras. Las zapatas medianeras (Figura 32) son aquellas
que soportan una columna dispuesta de tal forma que una de sus caras coincida
con el borde de la zapata. La necesidad de su uso es muy frecuente debido a las
limitaciones de colindancia con las edificaciones
adyacentes.
Figura 16. Zapata Medianera.

A continuacin se expondrn las teoras expuestas por algunos autores para
modelar y resolver el problema de las zapatas medianeras.
3.2.4.1 Caso de carga axial liviana: Anlisis de zapata medianera
recomendado por Enrique Kerpel. Enrique Kerpel (10) hace las siguientes
suposiciones:
El equilibrio exige que la resultante de las presiones sobre el terreno se

igual y opuesta a la carga vertical que acta sobre la columna.
Como la zapata no es simtrica con respecto a la columna y la condicin
anterior debe cumplirse de todas maneras, es evidente que se deben tener
presiones mayores del lado izquierdo que del lado derecho, como se
muestra en la Figura 17, o sea que no habr reaccin uniforme. La
presin mxima se obtendr en el lado de la columna.
No se toma en cuenta el peso propio de la
zapata.
Figura 17. Modelo estructural de la zapata medianera sin momento aplicado en la

columna presentado por Enrique Kerpel.
El mtodo propuesto por Enrique Kerpel es aplicable para cargas

axiales pequeas. Para el dimensionamiento se utilizan las siguientes
expresiones:
3 (30)
B b2
2
6e
P ) =0 (31)
qmin (1 B
BL
P 6e (32)
qmax (1 ) qa
BL B
B
Para que qmin = 0, se debe cumplir que e . Remplazando este valor en la
6
expresin de qmax y despejando L se obtiene:
2P (33)
L
B qa
El diseo de una zapata medianera siguiendo el criterio de Kerpel, da

como resultado zapatas muy alargadas, poco prcticas y antieconmicas. No
requieren de viga de fundacin, para efectos de estabilizacin.
3.2.4.2 Caso de carga axial mediana: Anlisis de zapata medianera con viga
area, recomendado por Jos Calavera. Este autor (5) supone que bajo la
cimentacin existe una distribucin de presiones uniforme o linealmente variable,
y realiza el anlisis de cada una de ellas tal como se muestra en los siguientes
numerales.
3.2.4.2.1 Zapata medianera con distribucin uniforme de presiones y

reaccin mediante viga area. El equilibrio de la zapata medianera se
obtiene de la fuerza T, ya que sta centra la reaccin bajo la zapata (Figura 18).
Figura 18. Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin uniforme
de presiones con viga area, presentada por Jos Calavera.
Las ecuaciones de equilibrio son:
Fy ( ) 0 P N-R 0 P N R (34)
Pb 2 NB RB (35)
Mo 0 T (C h) - M 0
2 2 2
Reemplazando la ecuacin (34) en la ecuacin (35) se tiene:
b2 B T (C h) M 0 (36)
P( - )
2 2
Despejando T
P (B - b 2 ) - (37)
T
2M
2 (C h)
3.2.4.2.2 Zapata medianera con distribucin variable de presiones y reaccin
mediante viga area. Un diseo de zapata medianera siguiendo el modelo
descrito en el numeral anterior, concibe la viga area trabajando a una
determinada tensin T que garantiza una distribucin uniforme de presiones q.
A continuacin se explicar una alternativa de diseo que se ajusta a los

resultados obtenidos con un anlisis de interaccin suelo estructura (ISE) la
cual considera que la accin del momento trata de volcar la zapata, produciendo
como efecto una reaccin lineal no uniforme, con mayor intensidad de presiones
en el vrtice o de la zapata (Figura 19).
A diferencia del modelo con distribucin uniforme de presiones, presentado en el

numeral anterior, donde el nmero de ecuaciones son suficientes para despejar la
incgnita del problema T, en este caso, dado que las incgnitas son tres (T, qmax
y
F y ( ) 0 y Mo 0 , el
qmin ) y el nmero de ecuaciones son dos
problema no tiene solucin directa, es preciso entonces recurrir a una ecuacin

de compatibilidad de deformaciones, utilizando para su deduccin la Figura 20.
Figura 19. Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin variable

de presiones con viga area, presentada por Jos Calavera.
Figura 20. Modelo del giro y del asentamiento en zapata medianera con viga
area presentado por Jos Calavera.
En la Figura 20 se tiene:
qmax
(38)
Desplazamiento en el punto 0: 0 K
qmin (39)
Desplazamiento en el punto 1: 1
K
- qmax - qmin (40)

Giro en la zapata: s 0 1
B KB
En estas expresiones, K representa el mdulo de reaccin del suelo,

conocido tambin como mdulo de balasto.
De otro lado, utilizando la frmula para calcular la deformacin de un voladizo

con carga concentrada en el extremo T, se deduce para el clculo del giro
de la
columna la siguiente expresin:
( TC M) 2
C
2
Giro en la zapata: C (41)
3 E IC
Donde,
= Coeficiente que depende del grado de empotramiento de la columna y la

viga area, con valores = 1 para articulacin (tipo cable) y = 0.75
para empotramiento.
IC = Inercia de la columna.
E = Mdulo de elasticidad de la columna.
Igualando los giros de la zapata y de la columna, se obtiene una de las tres

ecuaciones que permite resolver el problema:
TC 2 C 2 q max - q min (42)

3EIC KB
Las otras dos ecuaciones, se obtienen por equilibrio esttico:
q max q min
Fy ( ) 0 P N R BL (43)
2
T(C h) 1 Pb 2 ) - (qmax 2q min ) B 2L M 0 (44)

Mo 0 ( NB
2 6
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos las expresiones:
B-b2
P( )-M (45)
T 2
2 2
K C B3 L
C h
36 E I C
P K 2
C2 B (46)
qmax T qa
BL 6 E IC
P K C2 B
2
(47)
qmax T 0
BL 6 E IC
Con respecto a la ecuacin (45), es importante observar que:

A mayor brazo de palanca (valor de C), menor ser el valor de T.
Si el sentido del momento M es antihorario, es decir, hacia afuera, tratando
de abrir las columnas, mayor ser el valor de T.
Debido a que los resultados obtenidos mediante la aplicacin de esta
expresin son inferiores a los obtenidos mediante un anlisis de
Interaccin suelo estructura, se recomienda, para el clculo del acero de
refuerzo de la viga, duplicar este valor.
El valor del coeficiente de balasto K est dado por la expresin:
f (48)
K Kl
0.67
Donde:
b
1 0.50
L (49)
f
1.5
ES (50)
Kl
2
B (1- )
En esta ltima expresin, el trmino ES representa el mdulo de elasticidad del
2
suelo, que se expresa en kg/cm y es igual al inverso del mdulo de
compresibilidad volumtrica mv, el cual se determina mediante el ensayo
de
consolidacin. Por consiguiente, se puede
escribir:
1 (51)
ES
m
V
El trmino representa la relacin de Poisson del suelo de fundacin; su valor es

de 0.35 para suelos arcillosos y de 0.25 para arenas.
En la aplicacin del sistema de ecuaciones (45), (46) y (47), se presentan en la

prctica dos casos para el anlisis: En el primero, se fijan las dimensiones de la
zapata B, L y h y con el valor del coeficiente de balasto K, el cual se debe
conocer previamente, se obtienen, mediante la solucin del sistema de
ecuaciones, las tensiones qmax y qmin y la fuerza T.
En el segundo caso, fijando las presiones qmax y qmin y la altura total de la zapata h,
se determinan las dimensiones B y L de la zapata, mediante tanteos.
Para la determinacin de las dimensiones de la zapata medianera con viga area

se recomienda una relacin de forma L/B igual a 2, pues sta optimiza la cuanta
total de refuerzo en ambas direcciones de la placas de este tipo de cimentacin.
EJEMPLO ZAPATA MEDIANERA.
Se requiere disear la zapata medianera que se representa en la siguiente figura,

en la cual se anota la informacin Bsica.
Dimensionamiento

permisible sobre el suelo.
Ps 344 kN
Ms 37.8 kN m
La excentricidad es:
Ms
e
Ps
37 .8 kN m
e
344
kN
e 0.11 m
La excentricidad calculada con las cargas de servicio es igual a la calculada

con las cargas mayoradas.
Para dimensionar la zapata se utiliza la expresin dada por Meyerhof (4):
Ps
qmax s qa
B 2e L
La relacin largo ancho ms eficiente para zapatas medianeras con viga area es
2.
L
2
B
Sustituyendo esta relacin en la expresin dada por Meyerhof se obtiene:
Ps
B
2 B 2e q a
344 kN
B 2
2B 2(0.11 m) 100 kN / m
B 1.4 m
Tomando B = 1.5 m se obtiene L = 3.0 m. A continuacin se verifica si la
B/6.
resultante cae en el tercio medio de la base: e
B 1. 5 m 0.25 m e 0.11m OK
6 6
espesor de
zapata de:
h 400 mm
d h 70 mm
d 400 mm 70 mm
d 330 mm 150 mm OK
Segn J. Calavera (5), la tensin en la viga area y las presiones mxima
y mnima ejercidas por el suelo sobre la cara inferior de la zapata medianera
estn
dadas por las expresiones (45), (46) y (47), las cuales se rescriben a continuacin:
B b2
Ps Ms
2
Ts
k 2
c2 3
c h B
L
36 EI
c
Ps k 2c 2 B
qS max Ts qa
BL 6EI c
2 2
Ps k c B
qS min T 0
BL 6EI c s
Expresiones en las cuales:
: 1 para conexin viga columna articulada (tipo cable) y 0.75 para

conexin viga columna empotrada. Para el caso en estudio corresponde a
0.75.
Segn Aguirre y Amaris (1), el valor del coeficiente de balasto K se puede

determinar mediante el empleo de las expresiones (48), (49) y (50), las cuales por
facilidad nuevamente se presentan a continuacin:
k : coeficiente de balasto dado por:
f
k1
k 0.67
B
0.5
1
Con: f L
1.5
Es
k1 2
B1
Donde 0.35 para arcillas 0.25 para arenas y:
1
Es
mv
E : modulo de elasticidad del concreto. Segn C.8.5.4.1-NSR-98, E es:
E 3900 f c
I c : momento de inercia de la columna, dado por:

1 3
Ic lb
12
Sustituyendo los valores correspondientes en las expresiones anteriores se
obtiene:
1.5 m
1 0.5
3m 0.83
f
1.5
1 N
Es 2 10 2
0.1 mm / N mm
10 N / mm 2 3 N
k
(1500 mm) 1 0.252 7.1 10 mm3
0.83 7.1 3 N 8.8 3 N
k 10 3 10 3
0.67 mm mm
21MPa N
E 3900 17872 2
mm
1 1600 10 6 mm 4
Ic 300( 400mm) 3
12
Finalmente:
10 3 N 1500 mm 400 mm 37.8 10 6 N mm

(344 )
2
Ts
3 N 2 2
8.8 10 0.75 1000mm
400mm mm 3
1000mm (1500mm) 3 (3000mm)
N (1600 10 6 mm 4 )
36 17872 2
mm
Ts 156.7 kN
2 2
3 N 0.75 1000mm (1500mm)
3
8.8 10 3
344 10 N mm 156.7 10 3 N
q S max
(1500mm)(3000mm) N (1600 10 6 mm 4 )
6 17872 2
mm
q S max 83 kN / m 100 kN / m
2
OK
2
2 2
3 N 0.75 1000mm (1500mm)
3
8.8 10
3440 10 N mm 156.7 10 3 N
q S min
(1500mm)(3000mm) N (1600 10 6 mm 4 )
6 17872 2
mm
q S min 70 kN / m
2
0 kN / m
2
OK
Los valores de qmax y qmin para estado ltimo de carga son:
qmax u 1.5qmax s
q max u 1.5 83 kN / m
2
q max u 125 kN / m
2
qmin u 1.5qmin s
q min u 1.5 70 kN / m
2
q min u 105 kN / m
2
Cortante por punzonamiento seccin critica a d/2 de la columna (cortante

bidireccional)
Las Cargas mayoradas son:

Pu 516 kN
Mu 56.7 kN m
qu max qu min d
qd qu max b2
2
u B 2
125 kN / m 2 105 kN / m2 0.40 m 0.33 m

qd 125 kN / m 2
2
u 1.5 m 2
qd 117 kN / m
2
u
2
La fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:
qu max qd / 2 u d
Vup Pu b2 d b1
2 2
2
516 kN 125 kN /m 117 kN / m 2 0.40m 0.33 m 0.30 m 0.33 m
Vup
2 2
Vup 473kN

Vup
up
bo d
Donde:
d
bo b1 2 b2
2
d
0.33 2 0.40 0.33 m
bo 0.30 m m m 2
bo 1.76 m
473000 N 0.81 MPa
Luego: up
(1760 mm)(330 mm) up
Debe cumplirse que:

v fc
3
40 Columna interior
v fc sd 30 Columna borde
up 1 , s
fc 2 b
v
1 , c l
6 c
Con v = 0.85, s= 30, c =1.33 y fc 21MPa se obtiene:
1.30 MPa Cumple

1.62 MPa Cumple
Cortante directo seccin critica a G de la columna (cortante unidireccional)

El cortante unidireccional se chequea para el sentido longitudinal (L) y transversal
(B).
Sentido longitudinal (L)

qu min qu max qu min
qud B b2 d
B
105kN / m
2 125 kN / m2 105 kN / m2 0.40 m 0.33 m
q ud 1.5
m
1.5 m
2
qud 115 kN / m
La fuerza cortante vertical en sentido longitudinal es:
qu min qud
Vud B b2 d L
2
105 kN / m 2 115 kN / m 2 0.40 m 0.33 m 3.0 m

Vud 1.5 m
2
Vud 253 kN / m
2

Vud
ud
Ld
253000 N
ud
(3000 mm)(330 mm)
ud 0.26 MPa

ud v
fc
6
Con v =0.85 y
0.85 21 MPa
0.26MPa
6
0.65 MPa OK
0.26 MPa
Sentido transversal (B)
La fuerza cortante vertical en sentido transversal es:
q u min q u max L b1
Vud d B
2 2
105 kN / m 2 125 kN / m2 3 .0 m 0.30 m 0.33 m 1.5 m

Vud
2 2
Vud 175.2 kN
Vud
ud
Bd
175200 N
ud
(1500 mm)(330 mm)
ud 0.35 MPa
ud v
fc
6
Con v
=0.85 y
0.85 21 MPa
0.35 MPa
6
0.65 MPa OK
0.35 MPa
Finalmente las dimensiones de la zapata son: B = 1.5 m, L=3.0 m y h = 0.40m
Diseo a flexin seccin critica cara de la columna

Refuerzo en sentido longitudinal o largo
qu min qu max Lv2

Mu B
2 2
Donde:
L b1
Lv
2 2
0.3
3.0 m m
L v 2
2
Lv 1.35 m
Luego:
105 kN / m 2 125 kN / m2 1.35 m 2

1.5 m
Mu
2 2
Mu 157 kN m
El rea de refuerzo a flexin en direccin larga con:
B 1.50 m
d 33 cm
0.0026 > min
0.0018 (C.15.4.5,NSR-98) OK
es:
As l Bd
As l 0.0026(150 cm)(33 cm)
2
12.9 cm
As l
El refuerzo en la direccin larga debe distribuirse uniformemente a todo

lo ancho de la zapata (C.15.4.4a-NSR-98).
Dicho refuerzo se logra con el siguiente arreglo de barras:11 N4 @ 13 cm,

Lb = 2.86m
12 f y
ld db
25 f c
ld 559 mm < 1350 mm 70 mm 1280 mm No requiere gancho
Finalmente el refuerzo de acero distribuido uniformemente a todo lo

ancho de la zapata es:
11 N @ 130 mm, Lb = 2860mm
Refuerzo en sentido transversal o corto
qu min qu max qu min

quf B b
B
105 kN / m 125 kN / m2 105 kN / m2 0.40 m
q uf 2 1.50
m
1.5 m
quf 119 kN / m
2
2 2
Lv quf qu min Lv
Mu q u min L
2 2 3
Donde:
Lv B b2
Lv 1.5 m 0.40 m
Lv 1.10 m
Luego:
1.10 m 2 119 kN / m 2 105 kN / m2 1.10 m 2
Mu 105kN / m 2 1.5 m
2 2 3
Mu 199 kN m
El rea de refuerzo a flexin en el sentido transversal con:
L 300 cm
d 33 cm
0.00163 < min 0.0018 (C.15.4.5,NSR-98) Se toma la 0.0018
Es:
As t Ld
Ast 0.0018(300 cm)(33 cm)
As t 17.82 cm
2
Para el refuerzo en la direccin corta, una porcin del refuerzo total

obtenido debe distribuirse uniformemente sobre un ancho de
banda
centrada sobre el eje de la columna o pedestal, igual a la longitud del lado
corto de la zapata. El resto del refuerzo que se requiere en la direccin
corta, debe distribuirse uniformemente por fuera del ancho de la
banda
central de la zapata (C.15.4.4a-NSR-98).
refuerzo en el ancho de la banda 2

refuerzo total en la direccin corta 1
Donde:
: relacin del lado largo al lado corto de la zapata.

L
B
3.0 m
1.5 m
2
El refuerzo en el ancho de banda de 1.5 m es:
2
refuerzo en el ancho de la banda refuerzo total en la direccin corta
1
2 2
(2 1)
2
El refuerzo en el ancho de la banda, distribuido uniformemente se logra

con el siguiente arreglo de barras: 11 N4 @ 16 c m, Lb = 1.36 m.
El resto del refuerzo que se requiere en la
direccin corta, se distribuye uniformemente
por fuera del ancho de la banda central de la
zapata.
refuerzo por fuera del ancho de la banda 17.82 cm

2
11.88 cm
2
5.94 cm
2
Este refuerzo se consigue con tres barras nmero 4 colocadas a lado y lado
por fuera del ancho de banda: 3 N4 @ 26 c m, Lb = 1.36 m.
12 f y
ld db
25 f c
Con =1, =1 y d b =12.7 mm (N4), f c 21MPa y f y 420 se obtiene:

MPa
ld 559 mm < 1100 mm 70 mm 1030 mm No requiere gancho

Por lo tanto, el refuerzo en el ancho de la banda y por fuera de l,
distribuido uniformemente se logra con el siguiente arreglo de barras:
En el ancho de banda: 11 N4 @ 150 mm, Lb = 1350 mm

Fuera del ancho de banda: 6 N4 @ 260 mm, Lb =1350 mm.
Revisin del cortante en la columna
Tu genera un esfuerzo cortante en la base de la columna, el cual se estudia a

continuacin teniendo en cuenta la recomendacin que implica duplicar el valor
de Tu para realizar dicho estudio.
Tu 1.5 2Ts
Tu 1.5 2 156.7 kN
Tu 470 kN
La fuerza cortante en la base de un pedestal de 400x500 mm es:
Vu Tu 470 kN
El esfuerzo cortante en la base de la columna es:
Vu
u
b 2 b1
470000 N
u
400 mm 500 mm
u 2.35MPa
Debido a que el esfuerzo cortante en la base de la columna supera la resistencia a

f c 0.65 MPa , se requiere la colocacin de
cortante del concreto cu
v
estribos al pedestal o el aumento de seccion del

mismo.
Se opta por la segunda alternativa, esto es, la colocacin de pedestal. Con la

inclusin del pedestal debera revisarse nuevamente las condiciones de
punzonamiento y cortante directo, sin embargo, stas serian satisfechas con
holgura, por lo tanto no sern revisadas, a pesar de que esto implique un
sobredimensionamiento.
Tomando como ancho del pedestal la misma longitud que el ancho de la columna.
A continuacin se revisa el esfuerzo cortante en el pedestal:
Vu
u
Bl p
470000 N
u
1500 mm 300 mm
u 1.04 MPa
La resistencia a cortante que debe contribuir el refuerzo es:
su u cu
su 1.04 MPa 0.65 MPa

su
0.39 MPa
El refuerzo de cortante consiste en estribos N4 en dos ramas, dispuestos

perpendicularmente al eje del pedestal. La separacin entre stos es:
Av f y
s
su lp
Donde:
Av : es el rea del refuerzo a cortante expresada en mm dentro de la
distancia s. Para estribos N3 en dos ramas Av 142 mm 2 .
Luego:
2
0.85 142 mm 420 MPa
s
0.39 MPa 300 mm
s 433mm
Finalmente el refuerzo a cortante en el pedestal es:
4E N3 @ 40 cm
DISEO DE LA VIGA DE FUNDACIN
Se disear una viga de fundacin de 400 mm x 400 mm (>L/40), proyectada

para unir la zapata concntrica del ejemplo 1 y la zapata medianera del ejemplo 2.
De acuerdo con la informacin disponible, la fuerza axial (carga ltima)
correspondiente a la columna ms cargada es Pu max = 516 kN.
Para que la viga de fundacin se comporte como un elemento eficiente

para mejorar el comportamiento ssmico, se debe disear para una compresin o
traccin, dada por la ecuacin (2):
C T = 0.25 Aa Pu = 0.25 x 0.2 x 516 = 0.05 x 516 = 25.8 kN
Adicionalmente debe resistir la tensin generada por la excentricidad de la

zapata medianera ya calculada.
Tum = 235 kN x 2 = 470 kN (por recomendacin de diseo).
La Tensin total mayorada para combinacin de sismo es
Tu = 470 x 0.75 + 25.8 = 378 kN < 470 kN, por lo que gobierna la combinacin
de
cargas verticales.
2
Tu 470000 1243 mm
A sreq
fy 0.9 x 420
2
As min = 0.01 x 400 x 400 = 1600 mm (como columna)
Colocar 4 #7 continuas con estribos #4 @ 400/2 = 200 mm

3.2.5 Zapata esquineras. Se estudiar en este curso el caso de zapatas
esquineras con dos vigas areas, considerando que bajo la cimentacin existe una
distribucin de presiones linealmente variable, presentando para este propsito el
fundamento terico expuesto por Jos Calavera en su referencia (5).
Jos Calavera presenta un anlisis partiendo del hecho de que la complejidad del
modelo es muy grande si la columna y la zapata no son cuadrados. Puesto
que en el caso de zapatas de esquina no existe ninguna restriccin preferente
para hacerlas mayores en una direccin que en la otra, en lo que sigue, el
mtodo se
expondr para el caso de zapata cuadrada.
FIGURA 21. Geometra del modelo estructural de la zapata esquinera con dos
vigas areas presentado por Jos Calavera.
En la Figura 21 se muestra el esquema estructural y las fuerzas en equilibrio.

En la Figura 22 se muestra una seccin transversal trazada justo por la diagonal
de la zapata, con base en la cual se determinan las ecuaciones de equilibrio
suponiendo que todo el terreno bajo la zapata est comprimido.
2 qmax qmin (52)

P N B
2
b 2 B 2 2 5 qmax 7qmin (53)

3
B
T(C h) P N
2 2 24
FIGURA 22. Modelo estructural de la zapata esquinera con distribucin

variable de presiones y dos vigas areas.
La tercera ecuacin necesaria para resolver el problema es obtenida de la

compatibilidad de deformaciones, igualando el giro de la zapata al de la columna,
suponiendo un mdulo de balasto K:
q max q min T 2 L2
(54)
KB 2 3EI
De la solucin del sistema de ecuaciones (52), (53) y (54) resultan las

expresiones necesarias para resolver el problema:
2
P (B - b) Mr
2 2
T Mr M 12 M 2
T0 T (55)
4 2 2
2 2
KB C
C h
36 E I
P KB 2 2 L2 (56)
qmax T qa
B2 6EI
P KB 2 2 L2 (57)
qmin T 0
B2 6EI
En la aplicacin prctica del sistema de ecuaciones (55), (56) y (57), se presentan

dos casos para el anlisis: En el primero, se fijan las dimensiones de la zapata
B y h, y con el valor del coeficiente de balasto K, determinado mediante la
ecuacin
48, se obtienen las tensiones qmax y qmin y la fuerza T. La obtencin de valores
aceptables por la estructura y por el coeficiente de balasto zapata suelo, puede
requerir la realizacin de algn tanteo. La fuerza de traccin T resultante puede
descomponerse ortogonal mente en dos fuerzas iguales To.
2 (58)
To T
2
En el segundo caso, se fijan las tensiones qmax y qmin y se estima el valor de K, lo

cual equivale a estimar las dimensiones del cimiento, y esto puede tambin
requerir algn tanteo.
En la Figura 23 se representa el comportamiento de la zapata esquinera frente a

los momentos que sobre ella actan.
Calavera (5) supone que la placa (zapata) est apoyada sobre dos vigas virtuales
en voladizo. Otros autores han encontrado que la placa est sometida a dos
momentos mximos, uno (MT) en direccin de la diagonal que pasa por la
columna y que produce tracciones en la cara superior de la zapata (Figura 23 (b)),
y otro (ML) en direccin ortogonal a la anterior, que produce tracciones en la cara
inferior (Figura 23 (c)). La magnitud de estos momentos es prcticamente la
misma,
siendo por unidad de ancho igual a:
qB (59)
ML MT 2
4.8
(a) (b) (c)
FIGURA 23. Momentos que actan sobre la zapata esquinera.
Para el refuerzo en el centro de la placa (Figura 24 a) se colocan dos parrillas

arriba y abajo de modo que cada una resista ML = MT.
El diseo de las vigas virtuales se realiza para el momento:
qB3 (60)
Mv
3.0
En las expresiones (59) y (60) q representa la presin promedia bajo la zapata, es
decir:
qmax qmin
q (61)
2
(a) (b)
FIGURA 24. Distribucin del acero de refuerzo en la zapata esquinera.
EJEMPLO DE ZAPATA ESQUINERA.
Se desea disear una zapata esquinera con la siguiente informacin bsica:

2
P = 933 kN mv = 0.1 N/mm
M1 = 9.7 kN.m = 0.25
M2 = 8.3 kN.m Fc = 21 MPa
2
qa = 150 kN / m Fy = 420 MPa
b = 0.45 m
PB b 2
Mr
2 2T T
T 4 2 2 Mr M 12 M 2
0
kB c 2
c h 2
36EI 0
P k B 2 2 c2 qmin P k B 22 c2
qmax T T
B
2
6EI B
2
6EI
A continuacin, se sigue el mismo procedimiento que se indic para la zapata

medianera. Cabe anotar que para el anlisis planteado por Calavera tanto la
zapata como la columna se trabajan cuadradas por facilidad en las
expresiones, por lo que s se tiene una columna rectangular, se debe aumentar
una de sus dimensiones para que sea cuadrada al entrar a conectarse con la
zapata.
Tomando como momento resultante en l diagonal a:
2 2
Mr 8.3 9.7 12.8 kN . m
La excentricidad equivalente en la diagonal ser:
MR 12.8 kN m 0.014 m
e
PS 933 kN
La comprobacin de qa por Meyerhof (4) debe realizarse a partir de qsmax y qsmin
tal como en las zapatas medianeras. Sin embargo con una excentricidad tan
pequea B podra estar dado por:
Ps
B
qa
933kN
B
150 kN / m 2
B 2.5 m
En las expresiones anteriores se tiene que:
=1 para conexin viga columna articulada (tipo cable) y 0.75 para

conexin viga columna empotrada. Para el caso en estudio corresponde a
0.75.
k = coeficiente de balasto dado por:

f
k1
k 0.67
Con:
B
1 0.5
f L
1.5
Es
k1
B1 2
donde:
1
Es
mv
E : mdulo de elasticidad del concreto. Segn C.8.5.4.1-NSR-98, E es:
E 3900 f c
I c : momento de inercia de la columna, dado por:

1 3
Ic lb
12
Tomando un B = 2.6 m, definiendo un C = 1.0 m. Se trabaja con un

2
Mv = 0.1 mm / N y se supone un = 0.25 para encontrar el coeficiente de
balasto k.
Sustituyendo los valores correspondientes en las expresiones anteriores se

obtiene:
2.6 m
1 0.5
2.6 m 1.0
f
1.5
1 N
Es 10
0.1 mm 2 / N mm
2
2
10 N / mm N
k1 2
4.1 10 3 mm 3
(2600 mm) 1 0.25
1.0 4.1 3 N 6.12 3 N

k 10 3 10 3
0.67 mm mm
21MPa 17872 N
E 3900
2
mm
1 3417 106 mm 4
Ic 450( 450mm)3
12

espesor de
zapata de:
h 500 mm
d h 70 mm
d 500 mm 70 mm
d 430 mm 150 mm OK
10 3 N 2600 mm 450 mm 12.8 10 6 N mm

(933 )
2
Ts
3 N 2 2
6.12 10 0.75 1000mm
1000mm mm 3
500mm (2600mm) 4
N (3417 10 6 mm 4 )
36 17872 2
mm
Ts 894 kN
2 2
3 N 0.75 1000mm (2600mm)
3
6.12 10
933 10 N mm 3 886 10 3 N
q maxs 2
(2600mm) N (3417 10 6 mm 4 )
6 17872 2
mm
qmaxs 169 kN / m
2
150 kN / m
2
No Cumple
2 2
3 N 0.75 1000mm (2600mm)
3
6.12 10
933 10 N mm 3 3
q mins 2
886 10 N
(2600mm) N (3417 10 6 mm 4 )
6 17872 2
mm
q min s 107 kN / m
2
150 kN / m
2
OK
Como las dimensiones propuestas para la zapata no cumplen una de las
condiciones de capacidad de carga por lo que toca modificarlas. En la siguiente
tabla se presentan los resultados obtenidos para diferentes valores de B.
B (m) Ts (kN) qmin (kN/m^2) qmax (kN/m^2)

2.7 923 96 160
2.8 959 86 152
2.9 995 77 145
Valores de qmin y qmax para diferentes valores de B
De la tabla se puede observar que para un valor de B = 2.9 m se cumplen las
condiciones necesarias de capacidad de carga sin embargo B = 2.8 m se acerca
mucho al limite, por lo que seria mejor trabajar al limite y tomar este valor de B
y ver que pasa si se tuviera que variar h por restricciones de punzonamiento
unidireccional.
Cortante directo seccin critica a d/2 de la cara de la columna (cortante
bidireccional)
Cortante Bidireccional
Las cargas admisibles ltimas en la zapata son:

2
q 229 kN/m
max u
q 2
min u 128 kN / m
Se evala la carga ltima de reaccin promedio en la zapata q um (en toda la

diagonal) al igual que la carga ultima de reaccin promedio en el cuadrado de lado
b+d/2 q ux .
q umax q umin
q um
2
kN kN
229 128
2 2
qum m m
2
kN
qum 179 2
m
q max q min d
qux qmax b
2 B 2
229 kN
kN 128 2 0.43
q 229 m 0.45 m
ux 2
m 2 2.8 m 2
kN
qux 217 2
m
La fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:
2
Vux q B2 q b d
um ux 2
kN kN 0.45 0 .43
Vup 179 2.8 m 2 217 m2
m 2 m2 2
Vup 1304 kN

Vup
up
bo d
Donde:
bo 2 b d
0.45 2m 0.43 m
bo 2
2
bo 1.33 m
1304000 N
Luego: up
(1330 mm)(430 mm)
up 2.28 MPa
Debe cumplirse que:
v
fc
3
40 Columna interior
up
v
1 s
, s
6 2b
o
20 Columna esquina
v fc 2 b
1 , c
6 c l
Con v
= 0.85, = 20, =1 y f c 21MPa se obtiene:
s c
1.30 MPa No Cumple

1.95 MPa No Cumple
Como la zapata no cumple la condiciones de cortante hay que aumentar el valor

de h, tomando un h = 0.75m tenemos:
Ts 836 kN
q smax 148 kN / m 150 kN / m 2 OK
2
q smin 150 kN / m 2 OK
90 kN / m 2
kN kN
179 2 q ux 209
q um m m2
up 1.18 MPa
Vup 1269 kN
1.30 MPa Cumple
1.95 MPa Cumple
Cortante directo seccin critica a d de la columna
cortante unidireccional
Como se parte de que la distribucin de presiones en la zapata linealmente en la

diagonal se vuelve complejo hallar la reaccin resultante exacta en las
pociones indicada de la zapata por lo que se utiliza la siguiente expresin ms
sencilla
aunque ms conservadora:
Vud q um B B b d
kN
Vud 179 2 2.8 m 2.8 0.45 0.68 m
m
Vud 835 kN
Vud
ud
B d
835000 N 0.44MPa
ud
2800mm *
680mm
v fc
ud
6
Con v
=0.85 y
0.85 21 MPa 0.65MPa Cumple

0.44 MPa
6
Diseo a flexin de la zapata
En la referencia (5) se supone que la placa
121
(zapata) se encuentra apoyada sobre dos vigas
122
virtuales en voladizo. El caso ha sido objeto de
estudio por otros autores y se ha encontrado que la
placa esta sometida a dos momentos mximos
uno en direccin de la diagonal que pasa por
la columna (produce tracciones en la cara inferior
de la zapata) y otro en direccin ortogonal a la
anterior (produce tracciones en la cara superior).
La magnitud de estos momentos es
prcticamente la
misma, obtenindose por unidad de ancho.
2
qB
Mp
4.8
El refuerzo en la placa se coloca en las dos direcciones ortogonales de modo que

cada parrilla resista Mp.
3
qB
El diseo de las vigas virtuales se realiza para el momento: Mv
3
Momento en la parrilla:
q prom B3 qumax qumin

ML M con: q prom
4.8 2
P
kN kN
228 129
m2 m2 2.93
Mu 907 kN .m
2 4.8
Utilizando la ecuacin de momento ultimo para la seccin de la viga que se

ha venido utilizando en todos los diseos de flexin:
Fy Con: 0.59
Mu b d2 1
Fc
Fy
Resolviendo para el rea de refuerzo a flexin en direccin perpendicular a la

viga con:
B 280 cm
d 68 cm
0.0018 (C.15.4.5, NSR-98) Se debe poner la mnima
0.0012 > min
Es:
Bd
As
0.0018(280 cm)(68 cm)
As
2
28.8 cm
As
Esta rea se lograra con el siguiente arreglo de barras: 23 N5 @ 0.09 m, Lb =

2.66 m
Estas barras estaran ubicadas en la regin de la zapata entre las vigas virtuales
tanto arriba como abajo.
Momento en las vigas virtuales:
3
q prom B
Mv
3
kN kN
222 135
m2 m2 2.83
Mv * 1306 kN .m
2 3
El rea de refuerzo a flexin en la seccin de las vigas virtuales con:
b 45 cm
d 68 cm
0.0227 > min
0.0018 (C.15.4.5, NSR-98) OK
Es:
Bd
As
0.00227(45 cm)(68 cm)
As
2
As 69.4 cm
Esta rea se lograra con: 10 barras N10, Lb = 2.66 m

3.2.6 Zapatas enlazadas. En este caso se estudiar el modelo de zapata
enlazada que se representa en la Figura 25, en la cual trabaja una zapata
medianera con su momento, en conjunto con una zapata central.
Se busca en el modelo que la viga de enlace pese y sea lo suficientemente rgida

con el objeto de formar una balanza o palanca y tomar parte del momento
que trata de voltear la zapata.
El objeto de este sistema estructural tiene las siguientes

ventajas: Contrarrestar el momento volador de la zapata
medianera. Obtener reacciones uniformes bajo la zapata
medianera.
FIGURA 25. Geometra y modelo estructural de la zapata enlazada.
De acuerdo con la Figura 25 al establecer las ecuaciones de equilibrio se tiene:

P1 l -
- P l R c M 0 R (62)
Mz 2 0 1 1
M
1
c
Fy ( ) 0 - P1 R 1 - P2 R 2 0 R2 P2 - R 1 (63)
P1
Donde:
R1 (64)
qa
BL
Para el clculo del acero de refuerzo de la viga de enlace se considerarn los

valores mximos de cortante y momento que se indican en la Figura 25.
En este modelo, la viga de enlace no debe conectarse a la columna de la zapata

central, ya que no debe tomar los momentos que se transmiten a travs de esta
columna tal como se representa en la Figura 26.
FIGURA 26. Apoyo de la viga de enlace en la zapata central.
En este caso, debido a las condiciones de apoyo, la viga no atiende

asentamientos diferenciales, pero si puede considerarse en el diseo como un
elemento estructural capaz de atender fuerzas ssmicas. Esta viga no
debe interactuar con las dems vigas que eventualmente lleguen a la zapata.
En algunos casos la viga de enlace no se apoya directamente sobre la cara

superior de la zapata, sino que se apoya sobre un muro del mismo ancho de
la viga de fundacin, tal como se indica en la Figura 27. Concebida as, la viga
trabajara bajo las mismas condiciones del modelo de Calavera y su construccin
sera ms econmica, al diminuirse el volumen de excavacin.
FIGURA 27. Alternativa de apoyo de la viga de enlace en la zapata medianera.
Para el clculo del refuerzo de la zapata medianera en sentido transversal a la

viga de fundacin se evala el momento en la respectiva seccin crtica utilizando
para ello la carga distribuida q, dada por la ecuacin 64.
En el sentido paralelo a la viga de fundacin se utiliza la cantidad mnima de

acero de refuerzo, dada por 0.0018 L d.
Para facilitar el diseo se recomienda escoger B = L
3.2.7 ZAPATAS CONTINUAS. Los sistemas estructurales que usualmente se

cimientan en zapatas continuas o corridas son los prticos y la mampostera
estructural.
En general, Si el rea requerida para la cimentacin es mayor del 30% pero menor
del 50 % del rea de la planta del edificio o estructura, se puede pensar en una
viga continua como posible sistema de cimentacin.
El algoritmo de la metodologa tradicional para calcular una viga de fundacin

en un edificio de mampostera, asumiendo una distribucin uniforme de presiones
debajo de la zapata igual a la capacidad admisible del suelo qa ,es el siguiente:
1 Se determina el ancho de la viga:

B = P/q a (P lineal de servicio)
(65)
2 Se determina el peralte de la viga. Como una aproximacin emprica para

calcular la altura de la viga de fundacin, se recomienda considerar 10 cm por
cada piso, esto es:
h = 10 cm x # de pisos (66)
3 Se calcula la cortante unidireccional (se hace por metro lineal)
B Pu (67)
V - L
b
2 4 L
B b
-
V Pu 2 4 (68)
AV B d
Se debe cumplir que:
f' c
(69)
6
Donde = 0.85
4 Se calcula el momento. Se utiliza la seccin crtica indicada en la

Figura 28
2
B b
-
Pu 2 4 (70)
M L
B 2
FIGURA 28. Seccin crtica para el clculo del momento en zapata continua.
En el sentido longitudinal de la viga, el acero de refuerzo que se coloca es el

mnimo, dado por la expresin 0.0018 B d
La aplicacin de este algoritmo produce resultados aceptables cuando se trata de

cimentar sistemas de mampostera estructural (muros reforzados), donde el
asentamiento, como se ver ms adelante, no depende de la rigidez de la
fundacin, sino de la rigidez de los muros del edificio y en donde no se justifica
un estudio profundo de Interaccin Suelo Estructura (ISE).
Una edificacin puede ser concebida de modo que los muros estructurales se
apoyen en un sistema o entramado de vigas continuas en dos direcciones, tal
como se ilustra en la Figura 29. Este sistema se caracteriza por su
alta
hiperestaticidad y rigidez (deseable). En este caso las rigieses debern ser
aproximadamente iguales en ambas direcciones.
FIGURA 29. Alternativa de cimentacin consistente en un sistema o entramado

de zapatas continuas en dos direcciones.
Los sistemas estructurales aporticado y de mampostera estructural apoyados en

vigas continuas fueron estudiados por Wilson de J. Herrn Durn (9). En este
trabajo se sistematizaron los algoritmos del mtodo interaccin suelo estructura,
en el PROGRAMA DE INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA Versin 2.0,
utilidad que facilit la comparacin con los mtodos clsicos de anlisis y permiti
la observacin del comportamiento de las estructuras en funcin de las ms
importantes variables que intervienen en el problema: compresibilidad del suelo
(mv), rigidez de la zapata, rigidez y configuracin de la superestructura.
Con respecto al estudio de los sistemas aporticados apoyados en zapatas

continuas, Herrn Durn presenta importantes conclusiones, algunas de las cuales
se relacionan a continuacin:
Para el clculo de los elementos mecnicos (fuerza axial, momento
y cortante) de la zapata continua, cuando sta sirve de cimentacin a un
prtico, la precisin en la compresibilidad del suelo (mdulo de
compresibilidad mv), no es determinante. En efecto, cuando la variacin de
la compresibilidad en el estrato inmediatamente debajo de la
cimentacin es aproximadamente un 50%, el diagrama de momentos
permanece prcticamente igual para fines ingenieriles. Cuando la
variacin de mv es mucho mayor (del orden de 1000%), el momento sufre
una variacin considerable, evento en el cual es mejor optar por una
cimentacin ms econmica: la zapata aislada.
Los asentamientos total y diferencial de la estructura si varan en forma
directa con la variacin de la compresibilidad.
El aumento de la rigidez de la zapata continua implica un aumento en el
diagrama de momentos y simultneamente un mayor control de los
asentamientos diferenciales.
El aporte de rigidez que hace la superestructura a la cimentacin es muy
poca. En la mayora de los casos es despreciable, ya que el resultado
obtenido al analizar la viga de cimentacin sin tener en cuenta la rigidez
de la superestructura es igual, para efectos de diseo, al obtenido cuando
se considera toda la estructura.
No es conveniente utilizar el mtodo tradicional que parte de la suposicin
de reaccin uniforme y lineal, ya que casi siempre este mtodo
aumenta los valores de los momentos, haciendo ms costoso el diseo, o
los subestima, hacindolo inseguro.
Cuanto mayor sea el nmero de luces que presente un prtico apoyado
en zapata continua, mayor ser la justificacin para realizar un anlisis ISE.
Cuanto mayor sea la separacin de las columnas de un prtico apoyado en
zapata continua, mayor ser la justificacin para realizar un anlisis ISE.
Los resultados de la ISE son ms coherentes con el comportamiento fsico
suelo estructura que cualquier otro mtodo tradicional, proporcionando
generalmente un diseo ms econmico y seguro.
Las conclusiones ms relevantes con respecto al estudio de sistemas de

muros estructurales apoyados en zapatas continuas, presentadas por Herrn
Durn son:
La cimentacin de una mampostera estructural sin vanos (garaje,

pasadizo, etc) debe proveer la rigidez suficiente para impedir que el muro
absorba las solicitaciones inducidas por asentamientos diferenciales. Esto
se logra proporcionando un peralte importante a la seccin y una cuanta
mnima de acero de refuerzo.
Se recomienda (y este es un aporte innovador de Herrn Garza), para la
zapata continua que sirve de cimentacin a una mampostera con vanos
(garaje, pasadizo, etc), no apoyarla en la zona donde el muro no le trasmite
carga, tal y como se ilustra en la Figura 30. Este modelo controla mucho
mejor los asentamientos diferenciales y rebaja considerablemente el
diagrama de momentos en un porcentaje que puede llegar a ser del 500%,
segn sea la carga que transmite el muro y la longitud del hueco,
pudindose entonces utilizar zapatas ms flexibles y eficientes.
FIGURA 30. Detalle donde se indica la interrupcin del apoyo en una

zapata continua cuando se presentan vanos en la mampostera.
La variacin de la rigidez de la zapata continua que sirve de cimiento a
una mampostera estructural, en la mayora de los casos, no vara
sustancialmente el rgimen de momentos. Es posible trabajar con la
rigidez mnima exigida por la Norma, puesto que da asentamientos
diferenciales tolerables.
La influencia de la compresibilidad del estrato en los elementos mecnicos
de la estructura de cimentacin es muy poca, casi despreciable. Esta
variable afecta en forma casi directa el valor del asentamiento total.
Estas conclusiones del trabajo de Herrn Durn (9) fueron posteriormente

verificadas y ratificadas por Juan Carlos Botero Martnez y Juan Carlos Gmez
Zuluaga (0).
3.2.8 LOSAS DE CIMENTACIN
3.2.8.1 Losas de cimentacin por contacto El uso de losas de cimentacin es

general en el caso de edificios en altura, en suelos compresibles y en ciertos
sistemas estructurales, sobretodo en muros de carga.
En trminos generales, si el rea requerida para cimentar una estructura ocupa

ms del 50 % del rea de la planta del edificio o estructura, se debe
cimentar sobre una losa de cimentacin como alternativa, ya que puede resultar
ms econmica.
Al utilizar losas de cimentacin de buena rigidez se reducen los asentamientos

diferenciales y se admiten mayores asentamientos totales.
Para el estudio de las losas de cimentacin se debe:

Cumplir que en sentido horizontal, debajo de la losa, se presenta
una estratigrafa uniforme.
Cumplir que el centro de gravedad de la placa coincida o est cercano al
punto de aplicacin de la resultante de las cargas.
Disponer de un estudio de suelos confiable.
Considerar en el diseo estructural la interaccin suelo estructura
(ISE).
Si el centro geomtrico de la losa no coincide con el centro de cargas, se

genera un par que modifica las presiones y se producen rotaciones de la
cimentacin.
Las losas de cimentacin pueden ser diseadas y construidas de

diferentes formas, las cuales se explican a continuacin y se ilustran en la Figura
31.
Cajn: Con diafragma superior e inferior (contacto), aligerada.

Exige construccin por etapas: Inicialmente la placa de contacto,
posteriormente el cuerpo de las vigas y por ltimo el diafragma superior.
Maciza: (Con refuerzo en dos lechos). Exige mayor volumen de hormign

e incluso de refuerzo; no requiere aligeramiento; atienden grandes
esfuerzos de cortante. Como desventaja se anota la dificultad que
ofrece la reparacin de instalaciones embebidas en su masa.
FIGURA 31. Diversas formas de disear y construir una losa de cimentacin.
Aligeradas con contacto a travs del sistema de vigas a un suelo mejorado

que redistribuye las cargas al suelo de cimentacin.
Maciza con elementos de rigidez fundidos en brechas excavadas en el

suelo de cimentacin: La placa es de menor espesor que en el caso de
placa maciza sin rigidizantes y stos pueden tener profundidad
considerable sin mayor extra-costo, pues no requieren formaleta.
Presentan una desventaja de funcionamiento por la tendencia a falla de la
cua del suelo entre el alma de la viga y la placa horizontal. Adems
presentan el problema anotado con las instalaciones en el caso de losa
maciza.
Aligerada con relleno estructural: Mediante formaletas especiales se

funde la parte principal de las vigas y se realiza un relleno en las celdas
con material seleccionado y sobre ste se funde la placa estructuradle
contrapiso a la que se le supone slo una transferencia de carga menor por
el efecto de cua.
Con respecto a las losas de cimentacin, aunque el diseo se cie en todo al

contenido general del titulo C de la NSR 98 (1), se hace la advertencia de no
utilizar el mtodo directo del captulo C.13, debido a la influencia de la Interaccin
Suelo Estructura, que toma en cuenta las caractersticas de deformabilidad del
suelo y la estructura, para este tipo de fundaciones as como para zapatas
combinadas y continuas en sistemas aporticados. La determinacin de los
esfuerzos de contacto, y por lo tanto, los elementos mecnicos, deben ser
determinados por medio de un anlisis conjunto del suelo y la estructura, con
hiptesis de aproximacin razonable.
En general debe evitarse el diseo de losas muy alargados en las cuales se

generan momentos muy altos, tal y como se ilustra en la Figura 32. Para
disminuir los momentos se pueden hacer articulaciones como la que se indica
en la Figura
33.
FIGURA 32. Detalle donde se indica la no conveniencia de losas de cimentacin
muy alargadas, debido a la generacin de momentos muy altos en el centro de
la
losa.
FIGURA 33. Articulacin en la losa realizada mediante la configuracin

y colocacin del acero de refuerzo.
Las viviendas de inters social, que generalmente tienen luces pequeas

(usualmente de 2.80 m), se suelen cimentar en losas macizas de poco espesor
(ms o menos de 7 cm), ya que la rigidez de la edificacin se la dan los muros
y no el espesor de la losa. En nuestro medio, para este caso tan comn
en viviendas hasta de dos pisos, se utiliza como acero de refuerzo la malla
electrosoldada D84.
Otra alternativa muy utilizada en vivienda de inters social consiste en construir

bloques de cuatro casitas, apoyados en una losa de cimentacin. Para optar por
esta solucin se hace necesario un buen estudio de suelos que permita obtener
datos del mdulo de compresibilidad volumtrico hasta una profundidad igual al
doble del ancho de la losa de cimentacin, es decir, hasta una profundidad
aproximada de 20 m, a partir de la cual ya no tiene incidencia el bulbo de
presiones.
3.2.8.2 Placas de flotacin. Cuando por la compresibilidad del suelo no es

posible utilizar una placa superficial de contacto, se emplea una caja formada por
los stanos de la construccin, de manera que el suelo de cimentacin quede
sometido a presiones anlogas a las debidas al suelo que lo subyaca. Se
pretende, en algunos casos, aprovechar el efecto de Arqumedes para el edificio,
desalojando un peso de suelo mayor al impuesto por el edificio, de manera que
ste experimente un empuje vertical igual a su peso; en este sentido sera
necesario que el suelo estuviera saturado para que en la fase lquida se presente
tal empuje y el restante requerido se absorbera por la capacidad del suelo en
su fase slida. El asentamiento total mximo del edificio sera del orden de la
recuperacin elstica del suelo, lo que exigira suelos al menos parcialmente
consolidados, pues en realidad el desplazamiento total es el debido al rebote
elstico y a la deformacin por carga correspondiente a la fase slida.
A su vez las cimentaciones por flotacin o compensacin pueden ser de los tipos
constructivos planteados en las placas de contacto. Naturalmente, si se
prefiere, se pueden utilizar los muros laterales como rigidizacin
adicional de la cimentacin, lo que da lugar a los cajones de flotacin
(caissons).
3.2.8.3 Cajones de flotacin Este sistema de cimentacin ofrece notorias

ventajas en muchos tipos de suelos compresibles: Elimina casi totalmente el
rebote elstico, realiza simultneamente los sistemas de contencin, los cuales
resultan econmicos pues trabajan en cortina y se aprovechan en la cimentacin
como rigidizantes, y sobre todo, no requieren control de taludes de excavacin,
imposibles en casos de excavaciones en arenas finas saturadas.
El proceso constructivo, con variantes segn el tipo de cajn, es el siguiente:
Se ejecuta en la superficie el mdulo inferior del edificio, realizando las

paredes y la primera placa, en forma monoltica. Las paredes en la parte
inferior poseen unas cuchillas, metlicas o en hormign de refuerzo
especial, que sirven para penetracin del muro en el suelo.
Seguidamente se realiza la excavacin en el interior del
mdulo, evacuando el suelo y controlando la nivelacin vertical de la
estructura, la cual se va hundiendo a medida que se desaloja el suelo.
Una vez se ha excavado lo suficiente para que el mdulo haya penetrado
hasta que la placa est a nivel del suelo original, se construye el segundo
stano superficialmente con lo que se aumenta el peso de la penetracin y
se procede de la misma forma hasta que los stanos lleguen a los niveles
definitivos.
Finalmente se vaca la placa de contrapiso ( si se requiere) de forma que
las paredes del stano queden apoyadas en ella, as como todos los
elementos verticales, aunque la primera placa puede usarse como placa de
cimentacin vaciada una vez que se ha enterrado el primer cuerpo.
Los tipos de cajones de flotacin son cajones abiertos, cajones neumticos

y cajones especiales.
Los cajones abiertos son aquellos en los cuales no se tiene tapa o

fondo; se utilizan como proteccin de excavaciones. Son muy utilizados
en pilas de puentes o de edificios.
Los cajones neumticos son aquellos que llevan de forma permanente o

provisional una placa, prxima al fondo, de forma que el personal pueda
trabajar en el aire comprimido bajo sta. Aunque su construccin obedece
ms a la prctica profesional que a la teora, se han desarrollado
mtodos
eficaces de trabajo mediante diseos extraordinarios de este sistema. La
prctica ms usual es la de que la primera placa que se construye
(posterior a la hinca del primer tramo) sirva de soporte al sistema
vertical de la estructura. El mantener aire comprimido, contrarresta la
presin del lodo y el agua en el borde de la cuchilla; la suspensin de la
presin es equivalente a empujarlo hacia abajo; repitiendo el proceso
se pueden hincar cajones hasta de 35 m bajo el agua, lo que da
presiones de trabajo
2
hasta de 3.5 kgf/cm en el aire a presin en la zona de trabajo,
necesaria
para hacer descender el agua del fondo de la excavacin.
Los cajones especiales actan como muros o diques de contencin en

zonas marinas o lacustres, o como falso fondo en pilas de puentes.
3.2.9 PILAS CORTAS. Se utiliza el sistema de pilas cortas como la que

se ilustra en la Figura 34 para trasladar cargas a estratos medianamente
profundos de alta resistencia. La capacidad de una pila corta est asociada a la
capacidad de soporte del suelo en la base ya que la friccin de los estratos que
atraviesa se desprecia o se utiliza para soportar el peso propio.
FIGURA 34. Detalle de una pila corta

La excavacin, cuando se realiza manualmente, se protege mediante anillos de
hormign simple hasta el principio de las campana, la cual se realiza con
excavacin de pendiente negativa 2V a 1H generalmente. En casos especiales
se utiliza refuerzo en el fuste para darle capacidad de resistencias a fuerzas
laterales. El fuste generalmente tiene un dimetro de 1.20 m, en caso de
excavacin manual.
3.2.10 PILOTES. Los pilotes de cimentacin pueden ser de madera adecuada

(eucaliptus, mangle, etc), hormign reforzado o metlicos. En los pilotes
de madera debe inmunizarse la zona que est por fuera del nivel fretico con
algn funguicida. En Colombia hay experiencia de fundaciones en pilotes de
madera hasta de ochenta aos con buenos resultados a la fecha. Sin
embargo, con la progresiva tala de bosques y las regulaciones ecolgicas, el uso
de este tipo de pilotes tiende a reducirse.
Aunque son ms costosos, los pilotes de hormign dan mayor capacidad por su
mayor dimetro y su durabilidad. Los pilotes prefabricados en hormign armado
o pretensionado, son de excelente calidad. Para cargas muy altas en subsuelo
rocoso se utilizan pilotes de perfiles metlicos con revestimientos anticorrosivos,
incluso en hormign.
La capacidad de los pilotes, sin embargo, est vinculada a la capacidad

del subsuelo. Un pilote puede trabajar de punta cuando atraviesa estratos muy
blandos y se apoya en un estrato de poca compresibilidad y gran firmeza; trabaja
por friccin mediante el rozamiento de la superficie del pilote y estratos
cohesivos o que ofrezcan resistencia apreciable al corte; pueden finalmente
trabajar por friccin y punta, combinando las situaciones anteriores.
En la Figura 35 se indica el trabajo de un pilote apoyado en estratos de diferente

calidad. La Figura 35(a) representa el caso en el cual el pilote
trabaja
primordialmente de punta, tal y como se ilustra en la correspondiente grfica de
resistencia Q versus deformacin . En la Figura 35(b) se ilustra el caso en el cual
predomina el trabajo por friccin.
(a)
(b)
FIGURA 35. Trabajo de los pilotes apoyados en estratos de diferente calidad
El aporte de resistencias por punta o por friccin se pueden sumar siempre y

cuando ambas estn referidas al mismo material, es decir, evaluadas en el mismo
estrato, situacin que se ilustra en la Figura 36.
FIGURA 36. Aporte de resistencia por punta y por friccin en los pilotes
En una zona ssmica nunca se deben poner pilotes de friccin a trabajar
aisladamente. Conviene en esta caso que trabajen mancomunadamente
anclados a una losa de cimentacin, segn se ilustra en la Figura 37. En este
evento, con el propsito de que la losa siempre est en contacto con el suelo, los
pilotes se deben disear a la falla y colocar menos pilotes de los que se
requieren para cargar toda la estructura con un factor de seguridad de 1. Debe
procurarse que los pilotes se repartan uniformemente.
FIGURA 37. Pilotes por friccin construidos monolticamente con una losa de
cimentacin
Los pilotes hincados a percusin utilizan sistemas especiales de hinca, mediante

energa dinmica suministrada por un martinete. De acuerdo con los parmetros
de hinca, se puede determinar la capacidad del pilote, mediante la aplicacin de
ecuaciones bien conocidas. En arenas se puede presentar resistencia aparente a
la penetracin, por reacomodamiento de los granos en direccin de las lneas de
compresin. En zonas urbanas muy pobladas, el ruido de hinca limita su uso. La
longitud predeterminada de pilotes mediante el estudio de suelos pocas veces es
exacta en la realidad y se hace necesario la descabezada de la longitud sobrante
o el recalzado en hormign fundido, con lo cual se elevan los costos. De otro lado,
una limitacin importante en el diseo mismo del pilote en su longitud y peso
lo que obliga a pilotes esbeltos que tienen capacidad individual limitada por lo que
casi siempre se utilizan en grupo con la consecuente prdida de capacidad de
conjunto, debido a la interferencia de bulbos individuales, disminuyendo la
eficiencia.
El desarrollo de equipos de construccin presenta los pilotes preexcavados

mecnicamente, de muchas ventajas con relacin a los hincados : No hay
ruido de hinca, la longitud es exacta y no hay desperdicio, virtualmente no hay
limitacin en la longitud y el dimetro, no presenta resistencia aparente en
arenas. Con todo, presentan inconvenientes en suelos arenosos saturados en los
cuales se utilizan lodos bentonticos y tubos tremmi qu aumentan los costos, son
ineficientes los equipos en zonas con algn tipo de cantos rocosos y no se les
mide uno a uno su capacidad por hinca.
3.2.11 PILAS LARGAS (CAISSONS). Las pilas largas, pata de elefante o

caissons (por el sistema constructivo) se emplean cuando el estrato firme est a
gran profundidad. La capacidad de una pila est limitada por su capacidad
estructural y por la capacidad de soporte del suelo de cimentacin, siendo la
capacidad la menor de las anteriores.
El diseo estructural debe tener en cuenta las condiciones de confinamiento para

efectos de esbeltez. En suelos muy blandos como turba, suelos orgnicos, arcilla
plstica, etc. El grado de confinamiento es bajo y la pila se considera esbelta, as
como en agua o aire. En otros suelos la pila se puede considerar como
intermedia o corta. El anillo debe ir reforzado con el fin de prevenir in-
homogeneidad del suelo que obliga a un comportamiento de concha dicho anillo.
Igualmente, las pilas largas deben llevar refuerzo en la corona, el fuste y en la
pata. Se deben tener en cuenta en el diseo las caractersticas de los materiales
(acero y hormign) en cuanto a resistencia mecnica y propiedades de
rigidez y
deformabilidad, la longitud no soportada de la pila, la magnitud de la carga axial y
su excentricidad, la forma y el tamao de la seccin, la accin de cargas
horizontales y los efectos de segundo orden. Igualmente se deben tener en
cuenta los aspectos de construccin (esviaje o distorsin del eje) y deformacin
del suelo.
En el pargrafo C.15.11 de las NSR 98 (1) se establecen criterios para el anclaje

de los pilotes y caissons en los cabezales, cuyo desarrollo debe ser igual a la
longitud requerida a traccin.
Tambin se establecen los esfuerzos axiales mximos sobre el pilote, o sobre el

fuste, as como las cuantas longitudinales, transversales, y longitud mnimas de
la armadura, para casos en que los pilotes no queden trabajando a momentos y
cortantes debido a cargas ssmicas, deslizamientos, presiones activas pasivas,
etc.
4 MODELACIN DEL ANLISIS INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA
(ISE)
Como herramienta prctica para la modelacin del mtodo de anlisis interaccin

suelo estructura (ISE) se han desarrollado bajo la direccin del profesor Garza
Vsquez varias versiones de programas, entre las cuales se destacan el ISE 93 y
el ISE 94.
La interaccin suelo estructura por el ISE 93, desarrollado por Juan Carlos
Botero Martinez y Juan Carlos Gmez Zuluaga (0) utiliza el mtodo directo de
rigidez, el cual realiza un anlisis plano de la estructura completa
(superestructura y cimentacin) y el suelo de cimentacin; y en forma
conjunta determina los desplazamientos en los nudos, los asentamientos en
los apoyos, las reacciones del suelo, y todos los elementos mecnicos
necesarios para el diseo. Todo esto en forma directa y empleando mtodos
matriciales exactos sin aplicar el concepto del mdulo de cimentacin o
coeficiente de balasto.
De otra parte, El programa ISE 94 desarrollado por Wiston Echavarra y

Francisco Hoyos (7) permite por medio de un proceso interactivo y con la
utilizacin de los paquetes comerciales de anlisis estructural por elementos
finitos SAP 80 (12) o SAP 90 (13) obtener la solucin de todas las estructuras
planas o espaciales, que puedan enmarcarse dentro de los grandes grupos de
elementos manejados por la serie SAP (FRAME, QUAD (SHELL), ASOLID y
SOLID) y apoyada sobre cualquiera de los sistemas de cimentacin superficial
(zapatas aisladas, zapatas continuas y losas
de fundacin).
147
Para el anlisis y diseo de zapatas continuas apoyadas en suelos arcillosos, el
mtodo de Winkler, conocido tambin como teora clsica de la viga sobre
fundacin elstica, el cual idealiza al suelo como resortes elsticos, es inseguro,
pero no puede descartarse. El ISE 94 (anlisis tridimensional) ofrece resultados
seguros pero su aplicacin es compleja. El ISE 93 (plano) da resultados seguros y
conservadores.
Para el anlisis y diseo de zapatas continuas apoyadas en suelos arenosos,

el
ISE 93 (plano) resulta funcional, conservador y
suficiente.
Para losas apoyadas en suelos arenosos los resultados obtenidos mediante la

aplicacin del mtodo de Winkler son razonables. En este caso, la variabilidad
con la profundidad del modulo de compresibilidad mv, no reviste
importancia, pudindose prescindir en el anlisis de la Interaccin Suelo
Estructura (ISE).
Para el diseo de losas de cimentacin apoyadas en suelos cohesivos, se

justifica realizar anlisis de interaccin suelo estructura tridimensional para lo
cual se recomienda utilizar el programa de anlisis ISE 94. La idealizacin del
suelo como resortes elsticos (Mtodo de Winkler) no es recomendable.
En el anexo 2 del presente trabajo, se incluye un ejemplo de un sistema

aporticado apoyado sobre una zapata continua para el cual se utiliz en la
modelacin de la interaccin suelo - estructura la herramienta ISE 93.
As mismo, en el anexo 2 se presenta un ejemplo de estructura tridimensional

apoyada sobre una losa de fundacin. En este caso, se utiliz para el anlisis de
interaccin suelo - estructura el programa ISE 94.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
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Anlisis Estructural de Zapatas Medianeras. Tesis ingeniera civil, Universidad
Nacional de Colombia Seccional Medelln, 1997.
2. ASOCIACIN COLOMBIANA DE INGENIERA SSMICA. Normas

Colombianas de Construccin y diseo Sismorresistente, Santaf de Bogot,
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Mtodo General de Interaccin Suelo - Estructura. Tesis ingeniera civil,
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4. BOWLES, Joseph. Foundation Anlisis and Design. 4 ed. Singapore. Mc

Graw Hill, 1988. 1004p.
5. CALAVERA, Jos. Clculo de Estructuras de Cimentacin. Madrid,

Espaa, Intemac, 1991. 375p.
6. CASTRILLN OBERNDORFER, Elkin. Ejercicios, Tablas y Diagramas

de diseo. Universidad Nacional de Colombia Seccional Medelln, 2000
7. ECHAVARRA GALLEGO, Wiston y HOYOS CHICA, Francisco. Efecto
Tridimensional en el Anlisis de Sistemas de Cimentacin Superficial por el
mtodo de Interaccin Esttica Suelo Estructura. Tesis ingeniera civil,
Universidad Nacional de Colombia Seccional Medelln, 1995
8. GARZA VSQUEZ, Luis. Diseo de Estructuras de Cimentacin de

acuerdo con las NSR 98, Borrador para Trabajo de Promocin. Universidad
Nacional de Colombia, Sede Medelln, Facultad de Minas, 2002.
9. HERRN DURN, Wilson. Diseo de Zapatas Continuas por el Mtodo

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10. KERPEL, Enrique. Conferencias de Concreto II. Santaf de Bogot,

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para el Diseo y Revisin en Hormign Pretensado y no Pretensado de
Secciones , , y Rectangulares Sometidas a Flexin . Tesis ingeniera civil,
Universidad Nacional de Colombia Seccional Medelln, 1988.
12. WILSON, Eduard and HABIBULLAH, Ashrat. SAP80 Structural Analysis

Programs: a Series of Computer Programs for the Static and Dinamic Finite
Element Analysis of Structures. California, U.S.A. : Computers & Structures
inc., 1984.
13. WILSON, Eduard and HABIBULLAH, Ashrat. SAP80 Structural Analysis

Programs: a Series of Computer Programs for the Static and Dinamic Finite
Element Analysis of Structures. California, U.S.A. : Computers & Structures
inc., 1992.
14. ZEEVAERT W, Leonardo. Foundation Engineering for Dificult Subsoil
Conditions. 2da. Ed., New York. Van Nostrand Reinold, Company, 1973.
676p.
ANEXO 2
EJEMPLOS DE DISEO
ZAPATAS CONTINUAS (APLICACIN DE ISE 93)
LOSAS DE FUNDACIN (APLICACIN DE ISE 94)

1 ZAPATA CONTINUA:
Se disear la zapata continua para cimentar un prtico de dos luces iguales de 8

m, considerando la siguiente informacin:
Datos iniciales:
Estratigrafa de la cimentacin:
153
Seccin Columnas: 40 cm 40 cm
Seccin Vigas: 40 cm 45 cm
2
qa = 10 t/m
fc = 21 MPa
fy = 420 MPa
Para el diseo de la zapata continua se utiliz el programa de computador ISE93.

A continuacin se muestra la numeracin de nudos y elementos.
Nmero de nudos: 26
154
Nmero de Dovelas: 17
Nmero de elementos: 28 (18 en la cimentacin)
Altura de piso: 3.0 m (Primer piso), 2.5 m (Segundo
piso). Nmero de nudos rgidos: 19
Nmero de restricciones: 19
Luces de Pisos: 8.0 m
Cargas sobre la estructura:

De acuerdo con el anlisis estructural realizado anteriormente se tienen las
siguientes cargas concentradas en los nudos:
P1 =(DS + LS) *4 m * 8 m/2 = (439 + 200) *4 m * 8 m/2 =10224 kgf = 10.22 ton
P2 =(DS + LS) *8 m * 8 m/2 = (439 + 200) *8 m * 8 m/2 = 20448 kgf = 20.45 ton
P3 =(DI + LI) *4 m * 8 m/2 + Mc * 8 m/2 = (780 + 200) *4 m * 8 m/2 + 487.5 * 8m/2

= 17630 kgf = 17.63 ton
P4 =(DI + LI) *8 m * 8 m/2 = (780 + 200) *8 m * 8 m/2 = 31360 kgf = 31.36 ton
w1 = 487.5 kgf/m = 0.49 ton/m

La carga total que desciende a la cimentacin
Vigas transversales superiores:

0.4 * 0.45 * 2.4 * P2 0.4 * 0.45 * 2.4 * 8/2
2 P1 8/2
Vigas transversales inferiores:

2 P3 0.4 * 0.45 * 2.4 * P4 0.4 * 0.45 * 2.4 *
8/2 8/2
Vigas longitudinales superiores: 0.4 * 0.45 * 2.4 * 16
Vigas longitudinales inferiores: w1 0.4 * 0.45 * * 16

2.4
Columnas : 0.4 * 0.40 * 2.4 * 5.5 * 3
Cerramiento sobre zapatas: 1.3 * 0.15 * 3.0 * 16

Pt = 155.24 ton
El ancho de la cimentacin es:
Pt 155.24ton 0.91m
B
2
qa L 10ton/m 17m
2
Con: qa = 10 ton/m L = 17 m
Se elige B = 1.90 m
Secciones y propiedades de los elementos:
Columna
2
A = 1600cm
0.4 4 5 2
Ix = Iy =40 /12 =2.133 x 10 cm
0.4 m
Vigas
2
0.45 A = 1800cm
5 2
Ix = 3.038 x 10 cm
5 2
Iy = 2.400 x 10 cm
0.4
Zapata continua
1.9
0.4
Mdulo de elasticidad del hormign: Se recomienda tomar la mitad del valor

estipulado en la norma.
'
3900 fc
E 8936MPa 89.4ton/cm2
2
Los siguientes son los datos y correspondientes resultados del ISE93:
NOMBRE DEL PROYECTO: TRABAJO DE CIMENTACIONES
ESPECIALES UNIDADES USADAS: Toneladas-Metros-Radianes
D A T O S D E L A E S T R U C T U R A (ZAPATA CONTINUA)
NMERO DE ELEMENTOS = 28
NMERO DE NUDOS = 25
NMERO DE RESTRICCIONES = 19
NMERO DE NUDOS RESTRINGIDOS = 19
Tabla 1
NUDO COORDENADA-X COORDENADA-Y REST-X REST-Y REST-Z
1 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
2 0.50 0.00 1.00 0.00 0.00
3 1.50 0.00 1.00 0.00 0.00
4 2.50 0.00 1.00 0.00 0.00
5 3.50 0.00 1.00 0.00 0.00
6 4.50 0.00 1.00 0.00 0.00
7 5.50 0.00 1.00 0.00 0.00
8 6.50 0.00 1.00 0.00 0.00
9 7.50 0.00 1.00 0.00 0.00
10 8.50 0.00 1.00 0.00 0.00
11 9.50 0.00 1.00 0.00 0.00
12 10.50 0.00 1.00 0.00 0.00
13 11.50 0.00 1.00 0.00 0.00
14 12.50 0.00 1.00 0.00 0.00
15 13.50 0.00 1.00 0.00 0.00
16 14.50 0.00 1.00 0.00 0.00
17 15.50 0.00 1.00 0.00 0.00
18 16.50 0.00 1.00 0.00 0.00
19 17.00 0.00 1.00 0.00 0.00
20 0.50 3.00 0.00 0.00 0.00
21 8.50 3.00 0.00 0.00 0.00
22 16.50 3.00 0.00 0.00 0.00
23 0.50 5.50 0.00 0.00 0.00
24 8.50 5.50 0.00 0.00 0.00
25 16.50 5.50 0.00 0.00 0.00
Tabla 2
MOD REA MTO.
ELEMENTO N.I N.F LONGITUD CX CY
ELAST SECCIN INERCIA
1 1 2 894E+3 0.40 5.33E-03 0.50 1.000 0.000
159
2 2 3 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
3 3 4 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
4 4 5 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
5 5 6 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
6 6 7 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
7 7 8 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
8 8 9 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
9 9 10 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
10 10 11 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
11 11 12 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
12 12 13 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
13 13 14 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
14 14 15 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
15 15 16 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
16 16 17 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
17 17 18 894E+3 0.40 5.33E-03 1.00 1.000 0.000
18 18 19 894E+3 0.40 5.33E-03 0.50 1.000 0.000
19 2 20 894E+3 0.16 2.13E-03 3.00 0.000 1.000
20 10 21 894E+3 0.16 2.13E-03 3.00 0.000 1.000
21 18 22 894E+3 0.16 2.13E-03 3.00 0.000 1.000
22 20 23 894E+3 0.16 2.13E-03 2.50 0.000 1.000
23 21 24 894E+3 0.16 2.13E-03 2.50 0.000 1.000
24 22 25 894E+3 0.16 2.13E-03 2.50 0.000 1.000
25 20 21 894E+3 0.18 3.04E-03 8.00 1.000 0.000
26 21 22 894E+3 0.18 3.04E-03 8.00 1.000 0.000
27 23 24 894E+3 0.18 3.04E-03 8.00 1.000 0.000
28 24 25 894E+3 0.18 3.04E-03 8.00 1.000 0.000
DATOS DEL S U E L O (ZONA URBANA ALICANTE)
160
NMERO DE ESTRATOS = 10
NMERO DE DOVELAS = 17
2
CAPACIDAD ULT [T/m ] = 30.00
Tabla 3
ALFA PROFUNDIDAD
ESTRATO ESPESOR Mv [m2/T] 3
[m /T] 1/2
1 0.5 8.00E-04 4.00E-04 0.25
2 0.5 8.00E-04 4.00E-04 0.75
3 0.5 8.00E-04 4.00E-04 1.25
4 0.5 8.00E-04 4.00E-04 1.75
5 0.5 5.00E-04 2.50E-04 2.25
6 0.5 5.00E-04 2.50E-04 2.75
7 0.5 5.00E-04 2.50E-04 3.25
8 0.5 5.00E-04 2.50E-04 3.75
9 0.5 5.00E-04 2.50E-04 4.25
10 0.5 5.00E-04 2.50E-04 4.75
DIMENSIONES DE LAS DOVELAS
Tabla 4
DOVELA LONGITUD ANCHO
1 1.00 1.90
2 1.00 1.90
161
3 1.00 1.90
4 1.00 1.90
5 1.00 1.90
6 1.00 1.90
7 1.00 1.90
8 1.00 1.90
9 1.00 1.90
10 1.00 1.90
11 1.00 1.90
12 1.00 1.90
13 1.00 1.90
14 1.00 1.90
15 1.00 1.90
16 1.00 1.90
17 1.00 1.90
D A T O S D E C A R G A (SERVICIO (PP + D + L))
NUMERO DE NUDOS CARGADOS =6

DE ELEMENTOS CARGADOS =2
FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO
Tabla 5
ELEMENTO ACCION 1 ACCION 2 ACCION 3 ACCION 4 ACCION 5 ACCION 6
1 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
2 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
3 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
4 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
5 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
6 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
7 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
8 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
9 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
10 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
11 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
12 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
13 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
14 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
16 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
17 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
18 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
19 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
20 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
21 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
22 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
23 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
24 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
25 0.00E+00 1.96E+00 2.61E+00 0.00E+00 1.96E+00 -2.61E+00
26 0.00E+00 1.96E+00 2.61E+00 0.00E+00 1.96E+00 -2.61E+00
27 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
28 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00
163
ACCIONES EN LOS NUDOS
Tabla 6
ACCION ACCION ACCION
NUDO
EN X EN Y EN Z
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
6 0 0 0
7 0 0 0
8 0 0 0
9 0 0 0
10 0 0 0
11 0 0 0
12 0 0 0
13 0 0 0
14 0 0 0
15 0 0 0
16 0 0 0
17 0 0 0
18 0 0 0
19 0 0 0
20 0 -17.630 0
21 0 -31.360 0
22 0 -17.630 0
23 0 -10.220 0
24 0 -20.450 0
25 0 -10.220 0
164
RESULTADOS
DESPLAZAMIENTO DE LOS NUDOS
Tabla 7
NUDO DESP X DESP Y DESP Z
1 0.00E+00 -1.26E-02 3.50E-03
2 0.00E+00 -1.09E-02 3.50E-03
3 0.00E+00 -7.01E-03 3.84E-03
4 0.00E+00 -3.71E-03 2.64E-03
5 0.00E+00 -1.89E-03 1.00E-03
6 0.00E+00 -1.72E-03 -6.63E-04
7 0.00E+00 -3.18E-03 -2.22E-03
8 0.00E+00 -6.03E-03 -3.38E-03
9 0.00E+00 -9.50E-03 -3.25E-03
10 0.00E+00 -1.15E-02 -8.37E-18
11 0.00E+00 -9.50E-03 3.25E-03
12 0.00E+00 -6.03E-03 3.38E-03
13 0.00E+00 -3.18E-03 2.22E-03
14 0.00E+00 -1.72E-03 6.63E-04
15 0.00E+00 -1.89E-03 -1.00E-03
16 0.00E+00 -3.71E-03 -2.64E-03
17 0.00E+00 -7.01E-03 -3.84E-03
18 0.00E+00 -1.09E-02 -3.50E-03
19 0.00E+00 -1.26E-02 -3.50E-03
20 -2.06E-04 -1.15E-02 -1.14E-03
21 1.88E-15 -1.27E-02 -5.30E-16
22 2.06E-04 -1.15E-02 1.14E-03
23 6.52E-05 -1.17E-02 2.04E-04
24 2.76E-15 -1.30E-02 -2.65E-16
25 -6.52E-05 -1.17E-02 -2.04E-04
DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONES DEL SUELO
Tabla 8
REACCIONES Q .LIN Q .DIST
DOVELA DESP 2
[T] [T/m] [T/m ]
1 -1.09E-02 18.59 18.58 9.78
2 -7.01E-03 7.56 7.56 3.98
3 -3.71E-03 3.08 3.08 1.62
4 -1.89E-03 0.00 0.74 0.39
5 -1.72E-03 0.00 0.53 0.28
6 -3.18E-03 2.34 2.34 1.23
7 -6.03E-03 6.09 6.09 3.21
8 -9.50E-03 11.29 11.29 5.94
9 -1.15E-02 14.92 14.92 7.85
10 -9.50E-03 11.29 11.29 5.94
11 -6.03E-03 6.09 6.09 3.21
12 -3.18E-03 2.34 2.34 1.23
13 -1.72E-03 0.00 0.53 0.28
14 -1.89E-03 0.00 0.74 0.39
15 -3.71E-03 3.08 3.08 1.62
16 -7.01E-03 7.56 7.56 3.98
17 -1.09E-02 18.59 18.58 9.78
ELEMENTOS MECANICOS DE LA SUPERESTRUCTURA

Tabla 9
AXIAL MOMEN AXIAL CORT MOMEN
ELEMENTO N.I N.F CORT N.I
N.I N.I N.F N.F N.F
19 2 20 29.73 2.83 7.19 -29.73 -2.83 1.3
20 10 21 55.89 0 0 -55.89 0 0
21 18 22 29.73 -2.83 -7.19 -29.73 2.83 -1.3
22 20 23 10.36 -1.31 -2.66 -10.36 1.31 -0.62
23 21 24 20.18 0 0 -20.18 0 0
24 22 25 10.36 1.31 2.66 -10.36 -1.31 0.62
25 20 21 -4.14 1.74 1.36 4.14 2.18 -3.09
26 21 22 -4.14 2.18 3.09 4.14 1.74 -1.36
27 23 24 1.31 0.14 0.62 -1.31 -0.14 0.48
28 24 25 1.31 -0.14 -0.48 -1.31 0.14 -0.62
ELEMENTOS MECANICOS DE LA CIMENTACIN
Tabla 10
WW .LIN Q .LIN
CS en X VI VD MI MD P [T] M [T*m]
[T/m] [T/m]
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18.58 0.00 0.00
0.50 9.29 -20.44 2.32 2.32 0.00 18.58 -29.73 -7.19
1.00 -11.15 -11.15 -12.77 -12.77 0.00 7.56 0.00 0.00
1.50 -7.37 -7.37 -17.40 -17.40 0.00 7.56 0.00 0.00
2.00 -3.59 -3.59 -20.13 -20.13 0.00 3.08 0.00 0.00
2.50 -2.05 -2.05 -21.54 -21.54 0.00 3.08 0.00 0.00
3.00 -0.51 -0.51 -22.18 -22.18 0.00 0.74 0.00 0.00
3.50 -0.14 -0.14 -22.34 -22.34 0.00 0.74 0.00 0.00
4.00 0.23 0.23 -22.32 -22.32 0.00 0.53 0.00 0.00
4.50 0.50 0.50 -22.14 -22.14 0.00 0.53 0.00 0.00
5.00 0.76 0.76 -21.83 -21.83 0.00 2.34 0.00 0.00
5.50 1.93 1.93 -21.15 -21.15 0.00 2.34 0.00 0.00
6.00 3.10 3.10 -19.90 -19.90 0.00 6.09 0.00 0.00
6.50 6.14 6.14 -17.59 -17.59 0.00 6.09 0.00 0.00
7.00 9.19 9.19 -13.75 -13.75 0.00 11.29 0.00 0.00
7.50 14.84 14.84 -7.75 -7.75 0.00 11.29 0.00 0.00
8.00 20.48 20.48 1.09 1.09 0.00 14.92 0.00 0.00
8.50 27.94 -27.94 13.19 13.19 0.00 14.92 -55.89 0.00
9.00 -20.48 -20.48 1.09 1.09 0.00 11.29 0.00 0.00
9.50 -14.84 -14.84 -7.75 -7.75 0.00 11.29 0.00 0.00
10.00 -9.19 -9.19 -13.75 -13.75 0.00 6.09 0.00 0.00
10.50 -6.14 -6.14 -17.59 -17.59 0.00 6.09 0.00 0.00
11.00 -3.10 -3.10 -19.90 -19.90 0.00 2.34 0.00 0.00
11.50 -1.93 -1.93 -21.15 -21.15 0.00 2.34 0.00 0.00
12.00 -0.76 -0.76 -21.83 -21.83 0.00 0.53 0.00 0.00
12.50 -0.50 -0.50 -22.14 -22.14 0.00 0.53 0.00 0.00
13.00 -0.23 -0.23 -22.32 -22.32 0.00 0.74 0.00 0.00
13.50 0.14 0.14 -22.34 -22.34 0.00 0.74 0.00 0.00
14.00 0.51 0.51 -22.18 -22.18 0.00 3.08 0.00 0.00
14.50 2.05 2.05 -21.54 -21.54 0.00 3.08 0.00 0.00
15.00 3.59 3.59 -20.13 -20.13 0.00 7.56 0.00 0.00
15.50 7.37 7.37 -17.40 -17.40 0.00 7.56 0.00 0.00
16.00 11.15 11.15 -12.77 -12.77 0.00 18.58 0.00 0.00
16.50 20.44 -9.29 -4.87 -4.87 0.00 18.58 -29.73 7.19
17.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
168
169
ASENTAMIENTOS EN LA CIMENTACIN
Coordenadas de los nudos (m)
0,0E+00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-1,72E-03 -1,72E-03
-2,0E-03 -1,8 9E-03 -1,89E-03
-3,71E-03 -3,18E-03 -3,18E-03 -3,71E-03
-6,0E-03 -6,03E-03 -6,03E-03

Asentamientos (m)
-7,01E-03 -7,01E-03
-8,0E-03
-9,50E-03 -9,50E-03
-1,0E-02
-1,09E-02 -1,09E-02
-1,15E-02
-1,2E-02
-1,26E-02 -1,26E-02
-1,4E-02
170
REACCIONES EN EL SUELO
12
Reacciones (ton/m )
2
10
9,78 9,78
7,85
8
5,94 5,94
6
3,98 3,98
4 3,21 3,21
2 1,62 1,23 1,23 1,62

0,39 0,28 0,28 0,39
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Dovelas
CORTANTE EN LA CIMENTACIN
40,00
30,00 27,94
20,00 20,48 20,44
14,84
11,15
10,00 9,29 9,19
7,37
6,14
Cortante (m)
3,10 3,59
1,93 2,05
0,50 0,76 0,51
0,00 -0,51-0,14 0,23 -0,76-0,50-0,230,14 0,00
0,00 -2,05 -1,93
0,00 2,00-3,59 4,00 6,00 8,00 10,00 -3,1102,00 14,00 18,00
16,00
-7,37
-6,14
-10,00 -11,15 -9,19 -9,29
-14,84
-20,00 -20,44 -20,48
-27,94
-30,00
-40,00
MOMENTO EN LA CIMENTACIN

15,00
13,19
10,00
Momento (tonm)
5,00
2,32 1,09 1,09 2,32
0,00 0,00 0,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00
-5,00 -4,87 -4,87
-7,75 -7,75
-10,00
-12,77 -13,75 -13,75 -12,77

-15,00
-17,59 -17,59
-17,40 -17,40
-19,90 -19,90
-20,00 -20,13 -21,15 -21,15 -20,13
-21,54 -21,54
-22,1-282,3-242,3- -21,8-232,1 4
-2 2,3-222,3-242,18
22,1-241,83
-25,00
Punzonamiento:
Se revisar la columna ms desfavorable, que en este caso es la de la mitad;

segn los resultados obtenidos la carga que baja es de 55.89 ton (columna 7 tabla
2
10) a la dovela 9 donde existe una capacidad de carga q = 7.85 ton/m (columna
5 tabla 8).
NOTA: Las cargas que se ingresan al ISE 93 son de servicio.
h = 40 cm d = 33 cm b = 40 cm Bdovela = 190 m Ldovela = 100 cm
bo = 4 (b + d) = 4 (400 + 330)mm = 2920 mm

q b d 2 77.56 ton
Vu 1.5 P 5
2
Vu 77.56 ton 80.5 ton/m 0.805 MPa
u
bo d 2.92 m 0.33 m
fc 0.85 21 MPa 1.30 MPa OK !

3 3
fc sd 0.85 21 MPa 40 330 2.12 MPa OK!
u
0.805 MPa 1 1
6 2bo 6 2 2920
fc 2 0.85 21 MPa 2 OK !
1 1 1.95 MPa
6 c 6 1
Donde: = 0.85 s = 40 (columna centrada en la zapata) c = b2/b1 = 1
Cortante Unidireccional en L:
174
Vu 1.5 Ai q i 1.5 * B/2 b/2 d * L qi 1.5 * 1.9/2 0.4/2 0.33 * 1 60.71 38.25ton
* *
38.25ton 6.82ton/m
2
0.068MPa
u
17m * 0.33m
fc 0.85 21MPa 0.65 MPa OK!

u 0.068 MPa
6 6
Cortante Unidireccional en la dovela ms esforzada:
Vu 1.5 q1 Bdovela /2 b/2 d Ldovela 2

1.5 9.78 ton/m 1.9/2 0.2 0.33 1 m
2
6.16 ton
Vu 6.16 ton 18.67 ton/m
2
0.19 MPa
u
Ld 1 m 0.33 m
fc 0.85 21MPa 0.65 MPa OK!

u 0.19 MPa
6 6
Cortante Unidireccional en B:
Del diagrama de cortante, se tiene que la cortante mxima es:
27.94 ton = 279400 N
Vu = 1.5 x 279400 N = 419100 N
Vu 419100 N 0.66 MPa
u
Bd 1900 mm 330 mm
fc 0.85 21MPa 0.65 MPa (NO!), La cercana de valores

u 0.66 MPa
6 6
no amerita redisear.
Momento en L (Acero transversal):

2
En la esquina de la zapata con q1 = q17 = 9.78 ton/m
2
q1 B b 6
Mu 1.5 Ldovela 4.13 ton.m 41.3 x10 N.mm
8
Clculo del Acero transversal:
fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa

6
R = Ldoveladfcu = 1000 mm 330 mm 17.85 MPa = 5.8910 N
6
Mu 41.3 10 N.mm 0.024
m
6
R d 0.9 5.89 10 N 330mm
m = 0.024 < mO = 0.307 Seccin Simplemente Reforzada!
1 1 2m 1 1 2 0.024 0.024
R 0.024 5.89 10 6 N 2
As 335.1 mm
f 420MPa
y
2
ASmin = 0.0018Ldovelad = 0.0018 1000 mm 330mm = 594 mm
2 2
AS = 335.1 mm < ASmin = 594 mm
2
Por lo tanto: AS = 594 mm por metro.
2 2
Para los 17 m: 17 5.94 cm = 100.98 cm .
o 2
Se pondrn 51 N 5 (AS = 101.49 cm ) @ 33 cm, empezando a contar a 25 cm

del borde respectivo, de una longitud de 1.9 m incluyendo ganchos a 90 .
Momento en B (Acero longitudinal):
Del diagrama de momentos se tiene:
Para momento positivo en la mitad de la luz:
M = 13.19 ton.m
Mu = 1.5 13.19 ton.m = 19.79 ton.m
Clculo del Acero longitudinal (momento positivo):
fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa

6
R = Bdfcu = 1900mm 330mm 17.85 MPa = 11.1910 N
7
Mu 19.79 10 N.mm
m 0.0595
6
R d 0.9 11.19 10 N 330mm
1 1 2m 1 1 2 0.0595 0.0614
2
0.0614 11.19 10 N 1637 mm
6
R
As
fy 420MPa
2
ASmin = 0.0018Bd = 0.00181900mm 330mm = 1129 mm
2 2
AS = 1637 mm > ASmin = 1129 mm
2 2
Por lo tanto: AS = 1637 mm = 16.37 cm
o 2
del borde respectivo.
acero longitudinal para momento negativo:
M = 22.34 ton.m
Mu = 1.5 12.22 ton.m = 33.51 ton.m
Clculo del Acero:

fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa
6
R = Bdfcu = 1900 mm 330 mm 17.85 MPa = 11.1910 N
7
Mu 33.51 10 N.mm
m 0.101
6
R d 0.9 11.19 10 N 330mm
1 1 2m 1 1 2 0.101 0.106
6 2
R 0.106 11.19 10 N 2825 mm
As
fy 420MPa
2
ASmin = 0.0018Bd = 0.00181900mm 330mm = 1129 mm
2 2
AS = 2825 mm > ASmin = 1129 mm
2 2
Por lo tanto: AS = 2825 mm = 28.25 cm
o 2
del borde respectivo.
A la hora de poner el acero se tendr en cuenta la longitud de desarrollo de las

barras y los consiguientes puntos donde se pueden interrumpir as:.
No. Barra Long.desarrollo

6 42 cm
5 35 cm
En conclusin la zapata continua a construir tendr las siguientes dimensiones

y especificaciones de materiales:
Lado zapata: B = 1.9 m

Longitud zapata: L = 17 m (Dos volados de 0.5 m en los
extremos) Altura: h = 40 cm
Altura efectiva: d = 33 cm
Materiales: fc = 21 MPa fy = 420 MPa
Acero transversal: 51 No 5 @ 33 cm, empezando a contar a 25 cm del
borde respectivo, de una longitud de 1.9 m incluyendo ganchos a 90.
Acero longitudinal: 10 No 6 (refuerzo superior) @ 17 cm, empezando a contar a 18

cm del borde respectivo.
o
9 N 5 (refuerzo inferior) @ 19 cm, empezando a contar a 19 cm del
borde respectivo.
2 LOSA DE CIMENTACIN
Se requiere disear la losa de cimentacin para el edificio cuya geometra

en planta y en alzado se presentan a continuacin, conjuntamente con las
caractersticas del suelo.
Datos iniciales:
Estratigrafa de la cimentacin:
180
NUMERACIN DE NUDOS Y ELEMENTOS.
NUMERACIN DE NUDOS Y ELEMENTOS EN LA LOSA DE CIMENTACIN.
181
NUMERACIN DE NUDOS Y ELEMENTOS EN EL PRTICO
Para el desarrollo de este numeral se utiliz el programa ISE-94, realizando

previamente un modelo de la estructura (superestructura y subestructura) en el
SAP-90. La superestructura (prtico en tres dimensiones) se model con
elementos frame y la subestructura (losa de cimentacin) se model con
elementos shell considerando el peso propio, la carga viva y la carga muerta.
ARCHIVO DE DATOS DE ENTRADA

A continuacin se presenta el archivo de datos en el cual se indican las
cargas que actan sobra la estructura, la seccin y las propiedades de los
elementos. Al igual que en el caso de la zapata continua el mdulo de elasticidad
del hormign que se utiliza es igual a la mitad del recomendado en la NSR-98.
LOSA DE CIMENTACIN
C UNIDADES kN
SYSTEM
L=1
JOINTS
1 X=0 Y= 0 Z=0
5 X=8 Y= 0 Z=0
41 X=0 Y=16 Z=0
45 X=8 Y=16 Z=0 Q= 1,5,41,45,1,5
46 X=0 Y= 0 Z=3
47 X=8 Y= 0 Z=3
48 X=0 Y= 8 Z=3
49 X=8 Y= 8 Z=3
50 X=0 Y=16 Z=3
51 X=8 Y=16 Z=3
52 X=0 Y= 0 Z=5.5
53 X=8 Y= 0 Z=5.5
54 X=0 Y= 8 Z=5.5
55 X=8 Y= 8 Z=5.5
56 X=0 Y=16 Z=5.5
57 X=8 Y=16 Z=5.5
FRAME
NM=2 NL=5 Z=-1
1 A=0.16 I=2.133E-3,2.133E-3 E=8.94E+06 W=3.84:COLUMNAS
2 A=0.18 I=3.038E-3,2.400E-3 E=8.94E+06 W=4.32:VIGAS
1 WG=0,0, -25.56:VIGAS SUPERIORES TRANSVERSALES EXTREMAS
2 WG=0,0,-51.12:VIGA SUPERIOR TRANSVERSAL INTERMEDIA
3 WG=0,0,-44.08:VIGAS INFERIORES TRANSVERSALES EXTREMAS
4 WG=0,0,-78.4:VIGA INFERIOR TRANSVERSAL INTERMEDIA
5 WG=0,0,-4.88:VIGAS LONGITUDINALES INFERIORES
C
C COLUMNAS PRIMER PISO
1 1 46 M=1 LP=3,0
183
2 5 47 M=1 LP=3,0
3 21 48 M=1 LP=3,0
4 25 49 M=1 LP=3,0
5 41 50 M=1 LP=3,0
6 45 51 M=1 LP=3,0
C
C COLUMNAS SEGUNDO PISO
7 46 52 M=1 LP=3,0
8 47 53 M=1 LP=3,0
9 48 54 M=1 LP=3,0
9 48 54 M=1 LP=3,0
10 49 55 M=1 LP=3,0
11 50 56 M=1 LP=3,0
12 51 57 M=1 LP=3,0
C
C VIGAS TRANSVERSALES
13 46 47 M=2 LP=2,0 NSL=3
14 48 49 M=2 LP=2,0 NSL=4
15 50 51 M=2 LP=2,0 NSL=3
16 52 53 M=2 LP=2,0 NSL=1
17 54 55 M=2 LP=2,0 NSL=2
18 56 57 M=2 LP=2,0 NSL=1
C
C VIGAS LONGITUDINALES
19 46 48 M=2 LP=3,0 NSL=5
20 48 50 M=2 LP=3,0 NSL=5
21 47 49 M=2 LP=3,0 NSL=5
22 49 51 M=2 LP=3,0 NSL=5
23 52 54 M=2 LP=3,0
24 54 56 M=2 LP=3,0
25 53 55 M=2 LP=3,0
26 55 57 M=2 LP=3,0
SHELL
NM=1 Z=-1
1 E=8.94E+06 U=0.2 W=24
1 JQ=1,2,6,7 ETYPE=2 M=1 TH=0.40 G=4,8
POTENTIAL
1 45 1 P=-7.6,-7.6
RESTRAINTS
1 45 1 R=1,1,0,0,0,1
SPRINGS
1 K= 0, 0, 10
2 K= 0, 0, 10
3 K= 0, 0, 10
4 K= 0, 0, 10
5 K= 0, 0, 10
6 K= 0, 0, 10
7 K= 0, 0, 10
8 K= 0, 0, 10
9 K= 0, 0, 10
10 K= 0, 0, 10
11 K= 0, 0, 10
12 K= 0, 0, 10
13 K= 0, 0, 10
14 K= 0, 0, 10
15 K= 0, 0, 10
16 K= 0, 0, 10
17 K= 0, 0, 10
18 K= 0, 0, 10
19 K= 0, 0, 10
20 K= 0, 0, 10
21 K= 0, 0, 10
22 K= 0, 0, 10
23 K= 0, 0, 10
24 K= 0, 0, 10
25 K= 0, 0, 10
26 K= 0, 0, 10
27 K= 0, 0, 10
28 K= 0, 0, 10
29 K= 0, 0, 10
30 K= 0, 0, 10
31 K= 0, 0, 10
32 K= 0, 0, 10
33 K= 0, 0, 10
34 K= 0, 0, 10
35 K= 0, 0, 10
36 K= 0, 0, 10
37 K= 0, 0, 10
38 K= 0, 0, 10
39 K= 0, 0, 10
40 K= 0, 0, 10
41 K= 0, 0, 10
42 K= 0, 0, 10
43 K= 0, 0, 10
44 K= 0, 0, 10
45 K= 0, 0, 10
CONSTANTES DE RESORTE CORREGIDA

SPRINGS
1 K= 0, 0, 11881.7265625
2 K= 0, 0, 11301.0332031
3 K= 0, 0, 10621.9531250
4 K= 0, 0, 11301.0371094
5 K= 0, 0, 11881.7275391
6 K= 0, 0, 11427.7685547
7 K= 0, 0, 9379.2363281
8 K= 0, 0, 7571.5039063
9 K= 0, 0, 9379.2265625
10 K= 0, 0, 11427.7695313
11 K= 0, 0, 11045.4218750
12 K= 0, 0, 9085.2939453
13 K= 0, 0, 7323.8076172
14 K= 0, 0, 9085.2929688
15 K= 0, 0, 11045.4238281
16 K= 0, 0, 13830.4765625
17 K= 0, 0, 11471.3437500
18 K= 0, 0, 9295.6699219
19 K= 0, 0, 11471.3437500
20 K= 0, 0, 13830.4765625
21 K= 0, 0, 16936.3789063
22 K= 0, 0, 12210.9804688
23 K= 0, 0, 8533.1474609
24 K= 0, 0, 12210.9824219
25 K= 0, 0, 16936.3789063
26 K= 0, 0, 13830.4775391
27 K= 0, 0, 11471.3417969
28 K= 0, 0, 9295.6738281
29 K= 0, 0, 11471.3437500
30 K= 0, 0, 13830.4765625
31 K= 0, 0, 11045.4199219
32 K= 0, 0, 9085.2919922
33 K= 0, 0, 7323.8090820
34 K= 0, 0, 9085.2910156
35 K= 0, 0, 11045.4257813
36 K= 0, 0, 11427.7656250
37 K= 0, 0, 9379.2353516
38 K= 0, 0, 7571.5000000
39 K= 0, 0, 9379.2343750
40 K= 0, 0, 11427.7617188
41 K= 0, 0, 11881.7255859
42 K= 0, 0, 11301.0341797
43 K= 0, 0, 10621.9550781
44 K= 0, 0, 11301.0371094
45 K= 0, 0, 11881.7265625
GRFICAS DE LOS RESULTADOS
ISE94 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE MINAS

DESPLAZAMIENTOS DE LAS DOVELAS
Xc Yc DESP.(L) DOV
1 1 0.0119 * 1
3 1 0.0065 * 2
5 1 0.0065 * 3
7 1 0.0119 * 4
1 3 0.007 * 5
3 3 0.0048 * 6
5 3 0.0048 * 7
7 3 0.007 * 8
1 5 0.0075 * 9
3 5 0.0051 * 10
5 5 0.0051 * 11
7 5 0.0075 * 12
1 7 0.0111 * 13
3 7 0.0062 * 14
5 7 0.0062 * 15
7 7 0.0111 * 16
1 9 0.0111 * 17
3 9 0.0062 * 18
5 9 0.0062 * 19
7 9 0.0111 * 20
1 11 0.0075 * 21
3 11 0.0051 * 22
5 11 0.0051 * 23
7 11 0.0075 * 24
1 13 0.007 * 25
3 13 0.0048 * 26
5 13 0.0048 * 27
7 13 0.007 * 28
1 15 0.0119 * 29
3 15 0.0065 * 30
5 15 0.0065 * 31
7 15 0.0119 * 32
189
ASENTAMIENTOS EN LA CIMENTACIN
0,014
0,012
Asentamiento (m)
0,01
0,008 X=1
X=2
X=3
0,006 X=4
0,004
0,002
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Coordenada en y (m)
190
191
MOMENTO M11 (Acero transversal)
Xn(m) Yn(m) M11(kN*m) NUDO

0 0 65.673 1
2 0 -85.333 2
4 0 -68.128 3
6 0 -85.333 4
8 0 65.673 5
0 2 -18.12 6
2 2 -29.655 7
4 2 -43.694 8
6 2 -29.655 9
8 2 -18.12 10
0 4 4.7656 11
2 4 -21.871 12
4 4 -26.225 13
6 4 -21.871 14
8 4 4.7656 15
0 6 -10.674 16
2 6 -27.846 17
4 6 -42.964 18
6 6 -27.846 19
8 6 -10.674 20
0 8 27.156 21
2 8 -70.163 22
4 8 -44.51 23
6 8 -70.163 24
8 8 27.156 25
0 10 -10.674 26
2 10 -27.846 27
192
4 10 -42.964 28
6 10 -27.846 29
8 10 -10.674 30
0 12 4.7656 31
2 12 -21.871 32
4 12 -26.225 33
6 12 -21.871 34
8 12 4.7656 35
0 14 -18.12 36
2 14 -29.655 37
4 14 -43.694 38
6 14 -29.655 39
8 14 -18.12 40
0 16 65.673 41
2 16 -85.333 42
4 16 -68.128 43
6 16 -85.333 44
8 16 65.673 45
193
M11
MOMENTO (kN m) 80.00
60.00
40.00
20.00
Y=
0.00
Y=
-20.00
0 2 4 6 8 10 Y=
-40.00 Y=
-60.00 Y=
-80.00
-100.00
COORDENADA EN X (m)
MOMENTO M22 (Acero longitudinal)
Xn Yn M22(kN.m) NUDO
0 0 97.815 1
0 2 -91.295 6
0 4 -69.702 11
0 6 -84.172 16
0 8 237.18 21
0 10 -84.172 26
0 12 -69.702 31
0 14 -91.295 36
0 16 97.815 41
2 0 -26.285 2
2 2 -26.968 7
2 4 -42.387 12
2 6 -7.7474 17
2 8 30.849 22
194
2 10 -7.7474 27
2 12 -42.387 32
2 14 -26.968 37
2 16 -26.285 42
4 0 10.909 3
4 2 -24.761 8
4 4 -22.476 13
4 6 -4.2097 18
4 8 6.7001 23
4 10 -4.2097 28
4 12 -22.476 33
4 14 -24.761 38
4 16 10.909 43
6 0 -26.285 4
6 2 -26.968 9
6 4 -42.387 14
6 6 -7.7474 19
6 8 30.849 24
6 10 -7.7474 29
6 12 -42.387 34
6 14 -26.968 39
6 16 -26.285 44
8 0 97.815 5
8 2 -91.295 10
8 4 -69.702 15
8 6 -84.172 20
8 8 237.18 25
8 10 -84.172 30
8 12 -69.702 35
8 14 -91.295 40
195
8 16 97.815 45
M22
300
250
200
M( kN m)
150
X=0
100
X=2
50 X=4
0
0 5 10 15 20
-50
-100
-150
COORDENADAS EN Y (m)
196
REACCIONES EN LA CIMENTACIN:
ESF(kN
Xc Yc m) DOV
1 1 76.0864 1
1 3 28.0498 5
1 5 32.941 9
1 7 59.4629 13
1 9 59.4629 17
1 11 32.941 21
1 13 28.0498 25
1 15 76.0864 29
3 1 24.6604 2
3 3 9.871 6
3 5 12.2342 10
3 7 15.8149 14
3 9 15.8149 18
3 11 12.2342 22
3 13 9.871 26
3 15 24.6604 30
5 1 24.6604 3
5 3 9.871 7
5 5 12.2342 11
5 7 15.8149 15
5 9 15.8149 19
5 11 12.2342 23
5 13 9.871 27
5 15 24.6604 31
7 1 76.0864 4
7 3 28.0498 8
7 5 32.941 12
197
7 7 59.4629 16
7 9 59.4629 20
7 11 32.941 24
7 13 28.0498 28
7 15 76.0864 32
198
REACCIONES EN LA CIMENTACIN X=1
X=3
X=5
X=7
80
70
60
50
2
Reaccines (kN/m )
40
30
20
10
8
7 0
6
5 X=1
4
Coordenadas en y (m) 3 X=5 X=3
Coordenadas en x (m)
2
1 X=7
199
Momento 11 (Acero transversal):
Para simplificar se tomaran los momentos positivos y negativos
ms desfavorables.
De la tabla de momento 11 se tiene:
LA SECCINES CRTICAS CORRESPONDEN A LOS EXTREMOS DE LA LOSA.
Para momento positivo: M = 65.673 kN.m
Mu = 1.5 65.673 kN.m = 98.51 kN.m
fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa

6
6
Mu 98.51 10 N.mm 0.028
m
6
R d 0.9 11.8 10 N 330mm
1 1 2m 0.029
R 0.029 11.8 10 6 N 2
As 807.2 mm
f 420MPa
y
2
2 2
AS = 807.2 mm < ASmin = 1188 mm
2
Por lo tanto: AS = 1188 mm @ dos metros.
2 2
Para los 16 m: 8 1188 mm = 9504 mm .
o 2
Se pondrn 48 N 5 (AS = 9552 mm ) @ 33 cm, empezando a contar a 25 cm del
borde respectivo
Para momento negativo: M = 85.333 kN.m
200
Mu = 1.5 85.333 kN.m = 128 kN.m
fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa

6
6
Mu 128 10 N.mm 0.037
m
6
R d 0.9 11.8 10 N 330mm
1 1 2m 0.037
R 0.037 11.8 106 N 2

As 1046 mm
f 420MPa
y
2
2 2
AS = 1046 mm < ASmin = 1188 mm
2
2 2
Para los 16 m: 8 1188 mm = 9504 mm .
o 2
borde respectivo
Momento 22 (Acero longitudinal):

Para simplificar se tomaran los momentos positivos y negativos
ms desfavorables.
De la tabla de momento 22 se tiene:
LA SECCINES CRTICAS CORRESPONDEN A LOS EXTREMOS DE LA LOSA.
Para momento positivo: M = 237.18 kN.m
Mu = 1.5 237.18 kN.m = 355.8 kN.m

Clculo del Acero longitudinal:
fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa

6
Mu
m 0.102
R d
1 1 2m 0.107
R 3014 2
As mm
f
y
2
2 2
AS = 3014 mm > ASmin = 1188 mm
2
2 2
Para los 8 m: 4 3014 mm = 12056 mm .
o 2
Se pondrn 43 N 6 (AS = 12212 mm ) @ 18 cm, empezando a contar a 22 cm
del borde respectivo
Para momento negativo: M = 91.295 kN.m
Mu = 1.5 91.295 kN.m = 137 kN.m
Clculo del Acero longitudinal:
fcu = 0.85 fc = 0.85 21MPa = 17.85 MPa

6
Mu
m 0.039
R d
1 1 2m 0.03995
R 0.03995 11.8 10 6 N 1121 2
As mm
f 420MPa
y
2
2 2
AS = 1121 mm < ASmin = 1188 mm
2
2 2
Para los 8 m: 4 1188 mm = 4752 mm .
o 2
borde respectivo
A la hora de poner el acero se tendr en cuenta la longitud de desarrollo de las
barras y los consiguientes puntos donde se pueden interrumpir as:.
No. Barra Long.desarrollo

6 42 cm
5 35 cm
En conclusin la losa de fundacin a construir tendr las siguientes dimensiones

y especificaciones de materiales:
Ancho: B = 8.0 m
Longitud: L = 16 m
Altura: h = 40 cm
Altura efectiva: d = 33 cm
Materiales: fc = 21 MPa fy = 420 MPa
o
Acero transversal: 48 N 5 @ 33 cm, empezando a contar a 25 cm del borde
respectivo, arriba y abajo.
o
Acero longitudinal: 43 N 6 (refuerzo inferior) @ 18 cm, empezando a contar a
22 cm del borde respectivo.
o
24 N 5 (refuerzo superior) @ 33 cm, empezando a contar a 21 cm del borde
respectivo.
204
3

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DISEO Y CONSTRUCCION DE CIMENTACIONES

LUIS GARZA VASQUEZ., I.C. M.I.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD NACIONAL DE MINAS

El diseo estructural de las cimentaciones, por si mismo, representa la frontera

Especial agradecimiento merecen los Ingenieros Jorge Alberto Lpez, Juan

FIGURA 1. Cimentacin con viga de fundacin 16

En efecto, para el trabajo normal el anlisis estructural se realiza normalmente

De otro lado, el ingeniero de suelos, para el clculo de las condiciones de servicio

La realidad es que ni el suelo es indeformable ni la estructura tan flexible como

El ingeniero G.P. Tschebotarioff, quien dedic gran parte de su vida a la Patologa

La apreciacin anterior puede seguir siendo vlida si no se hacen esfuerzos para

Se entiende por cimentacin a la parte de la estructura que transmite las cargas

2.1 CIMENTACIONES SUPERFICIALES

Una cimentacin superficial es un elemento estructural cuya seccin transversal

En una cimentacin superficial la reaccin del suelo equilibra la fuerza transmitida

Las zapatas individuales se plantean como solucin en casos sencillos, en suelos

Las zapatas combinadas se plantean en casos intermedios, esto es, suelos de

La losa de cimentacin por lo general ocupa toda el rea de la edificacin.

2.2 CIMENTACIONES PROFUNDAS

Una cimentacin profunda es una estructura cuya seccin transversal es pequea

A diferencia de las cimentaciones superficiales, en una cimentacin profunda, no

Las cimentaciones profundas pueden ser de dos tipos: Pilotes o pilas

Cuando se utilizan pilas como sistema de cimentacin, generalmente se

En cuanto a los sistemas constructivos, los pilotes pueden ser preexcavados y

Cuando un pilote se hinca, a medida que se clava se est compactando el suelo,

Generalmente los elementos hincados son reforzados

Las pilas siempre son preexcavadas y vaciadas en el sitio. El sistema

3.1 VIGAS DE FUNDACIN

Las vigas de fundacin (Figura 1) son los elementos estructurales que se

Figura 1. Cimentacin con viga de fundacin

A las vigas de fundacin tradicionalmente se les han asignado las

Y las siguientes funciones secundarias:

Un mtodo que en ocasiones se ha empleado con el propsito de que la viga de

En este caso, ilustrado en la Figura 2, para un valor determinado de , se tiene

Figura 2. Momento inducido en un extremo de la viga de fundacin por el

3.1.2 Atencin de momentos generados por excentricidades no

Criterio 1: Disear la viga de fundacin para que tome los momentos y

Figura 3. La viga de fundacin toma los momentos resultantes del anlisis

Criterio 2: Disear la zapata para que atienda el momento biaxial (o al

3.1.3 El mejoramiento del comportamiento ssmico de la estructura. Este

Por ejemplo, para la ciudad de Medelln el valor de Aa es de 0.20; por lo tanto,

Esta afirmacin se puede corroborar as:

Remplazando para los valores particulares del ejercicio, se tiene:

De acuerdo con lo expresado en la ecuacin (2) para el caso particular de la

Anlogamente, supngase que la viga de fundacin est sometida a una fuerza

T = 0.90 Fy Ast (5)

En conclusin, para la mayora de los casos prcticos la viga de fundacin

3.1.4 El arriostramiento en laderas. Esta funcin de las vigas de fundacin

Por el desnivel del terreno, un edificio puede presentar irregularidad en altura,

3.1.5 La disminucin de la esbeltez en columnas. Una funcin estructural

3.1.6 El aporte a la estabilizacin de zapatas medianeras. En el caso de

La norma no menciona si la dimensin mxima especificada en el este artculo se

3.1.8 Refuerzo longitudinal. El acero de refuerzo longitudinal debe ser

3.1.9 Refuerzo transversal. Deben colocarse estribos cerrados en toda su

Para la localizacin de las secciones crticas de momento, cortante y desarrollo

3.2.1 Zapata concntrica. Para el diseo de una zapata concntrica (Figura

Figura 5. Zapata concntrica