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La Crisis de La Multiplicación
La Crisis de La Multiplicación
La Crisis de La Multiplicación
especial, 38-64
ISSN: 2215-8421
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Una reciente encuesta adelantada por los autores de este artculo con treinta grupos de
grados primero a tercero en colegios de la comuna trece de Medelln (Lotero Botero y Andrade
Londoo, 2011) revel que el gusto por la materia matemticas disminuye drsticamente en el
grado tercero (figura 1). Una posible explicacin puede deberse a la insistencia en la
memorizacin de las tablas de multiplicar. Dado que usualmente los estudiantes ingresan de
lleno al trabajo con la multiplicacin al final del grado segundo y comienzos de tercero (Garca,
2003), la insistencia en la memorizacin de las tablas de multiplicar plantea una gran presin
emocional, tanto a los nios aprendices como a sus padres, quienes tratan de apelar a toda
suerte de prcticas mnemotcnicas. Algunos autores han llegado a proponer diferentes
maniobras de operaciones con el nmero para dar con el resultado de las tablas (Kaplan,
Yamamoto y Ginsburg, 2007).
60%
50%
40%
30%
20%
10% SEGUNDO
0%
TERCERO
Artculos
tradiciones ms generalizadas y persistentes de la matemtica escolar (Block, Moscoso,
Ramrez y Solares, 2007), solo tiene sentido cuando el propsito del aprendizaje de la
multiplicacin es resolver rpida y eficientemente expresiones como las siguientes:
Medelln que acababan de ingresar a grado tercero (Lotero Botero y Andrade Londoo, 2011).
Cuando los nmeros que componen las tablas de multiplicar no tienen sentido en el
contexto de situaciones de vida, sino que tales nmeros pueden representar cualquier cosa, no
es de extraar que para el nio revista gran dificultad un enunciado de problema que no
conduzca de manera inmediata a proponer una operacin de multiplicacin.
Artculos
explicacin y su aparente logro, y fuimos confrontados por la riqueza y diversidad de
significados matemticos que encierra la formalizacin sucinta: a b = c. En nuestro estudio
cuidadoso que, de aqu en adelante expondremos, acerca del significado de los tres trminos
que entran en juego en este proceso matemtico (a b = c), en apariencia simple, encontramos
la necesidad de un prolongado camino de experimentaciones por parte del nio. A lo largo de
estas, el sujeto infantil podr ir, paso a paso, cimentando el significado en el contexto de
muchas situaciones que deben imbricarse en un todo sistemtico de pensamiento constructivo.
En este artculo expondremos cuatro de estas situaciones.
dificultades y apoyar el aprendizaje con significado (Lotero Botero et l., 2010). Como se
Artculos
evidenciar, las situaciones de aprendizaje propuestas por los tutores ayudaran a superar esas
dificultades.
Las experiencias prcticas en el Centro Tutorial se desarrollaron empleando materiales
tangibles. La utilizacin de esta clase de recursos para el aprendizaje matemtico de los nios
ha sido evaluada en diversos proyectos de investigacin (Clements, 1999; Kaplan et al., 2007;
Manches y OMalley, 2011; Uttal, Scudder y DeLoache, 1997). En el caso de la propuesta que
aqu se expone, los tangibles se asumen como mediadores para formar cantidades concretas,
transformarlas activamente, experimentar y modelar (figura 2). Es indudable que la versatilidad
o la limitacin de estos materiales no se hallan en s mismos, sino en los propsitos de
enseanza-aprendizaje que se plantean para su aprovechamiento y en el andamiaje necesario
para aprender a relacionarlos con los conceptos matemticos que representan (Baquero, 2008)
As es como en el Centro Tutorial cada actividad con materiales tangibles fue orientada
por un propsito de enseanza-aprendizaje. No obstante, tal propsito no fue necesariamente
el de iniciar con una conceptualizacin ya completa y expresada como una frmula o, menos
an, la ilustracin o ejemplo de una definicin. Ms bien, el propsito se orient a establecer
Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educacin, Vol. 2, No. especial, 38-64 43
Artculos
espacialmente las cantidades concretas.
El propsito se presenta en una gua por medio de textos cortos y una grfica de
determinada organizacin de las cantidades. Aunque pudiera parecer obvio, es necesario
resaltar aqu que la relacin matemtica no surge nicamente de visualizar la disposicin o la
organizacin espacial de los objetos, sino que esta debe ser una construccin en el
pensamiento del nio. Entonces, el nio expresa esta relacin en la gua por medio de
pictogramas, palabras y smbolos. Los smbolos son la ltima y ms elaborada expresin de los
conceptos. Los materiales, por el contrario, estn en el origen, en la concrecin (Bruner, 1965;
Hawkins y Blakeslee, 2005; Piaget, 1983 y 1985; Piaget y Garca, 1982). Pero la relacin la
establece el pensamiento del nio y la expresa por escrito en la gua correspondiente. El nio es
quien dispone y organiza sus materiales conforme a las pautas dadas en la gua, y es quien
establece las relaciones matemticas.
Este modelo de intervencin pedaggica, con retroalimentacin tutorial (Wood, 2000;
David Wood y Wood, 1996), se ha mostrado sumamente favorable al trabajo autnomo del
nio, al tiempo que permite identificar dificultades de comprensin (Lotero Botero et l., 2010;
Lotero Botero, Andrade Londoo y Andrade Lotero, 2011). Ms adelante se har referencia a lo
que aqu se entiende por dificultades de comprensin en el caso de la multiplicacin.
A continuacin, se presentan cuatro requerimientos para la construccin conceptual de
la multiplicacin, surgidos del anlisis de las dificultades reveladas por los nios. Luego se
expondrn cuatro situaciones de aprendizaje propuestas para cada uno de los requerimientos
conceptuales definidos y la manera como fueron validadas en este estudio de caso. Finalmente,
se discutirn las conclusiones referentes a esta propuesta
En este estudio se han identificado cuatro procesos de significacin, que se llamarn aqu
requerimientos para la construccin conceptual. Adems, se entender la comprensin como
una superacin de dificultades para integrar, como un todo con significado, varios elementos o
experiencias que en un principio estn aisladas. Cada elemento o experiencia deber, a su vez,
tener significado para el nio. Cada elemento o experiencia particular con significado se
constituye en un requerimiento que debe integrarse y coordinarse con los otros tres en una
totalidad de significacin (Lotero Botero et l., 2011). Se trata de una cadena de implicaciones
de significados que debe pensarse como un sistema ms comprehensivo, ms rico, como una
herramienta para futuras comprensiones. Puede asumirse este proceso de significaciones
implicadas como una construccin conceptual, un proceso continuado de equilibraciones o
logros (Piaget y Garca, 1997).
Cada requerimiento se refiere a demandas de orden lgico-matemtico implicadas en la
comprensin de una expresin de multiplicacin, y que son necesarias para construir
44 L. Lotero, E. Andrade, y L. Andrade
significado en el pensamiento infantil. En otras palabras, se trata de que el nio logre pensar
Artculos
una expresin del tipo a b = c, a la manera de una sntesis o cuadro de significacin que
implica los cuatro requerimientos como un todo sistmico. Adicionalmente, para el tutor ser
un indicador de que el nio ha construido significado o no, el observar el desempeo de este en
problemas de vida que impliquen la multiplicacin.
de multiplicar es decir, solo con smbolos numricos. Por el contrario, la hiptesis es que si
Artculos
procede a partir del hecho de aprender relacionando cantidades con grupos de cosas, es
posible que pueda equilibrar el invariante parte-todo. De esta manera, resulta vlido pensar que
si las experiencias de aprendizaje a que se ve expuesto el nio no le permiten la oportunidad de
relacionar cantidades de cosas agrupadas ordenadamente en una cantidad total o todo, muy
probablemente encontrar dificultades en su pensamiento de la multiplicacin.
Alguien podra preguntar, o afirmar, que aun sin el primer requerimiento, o sea, la
actividad de agrupamientos, el nio podra pensar las relaciones parte-todo (mltiplos-
submltiplos). Nosotros responderamos que s. La diferencia es operar con plena conciencia,
con un significado ms rico y complejo del sentido matemtico de lo que se est haciendo, del
por qu se procede as.
Artculos
DISEO DE SITUACIONES DE APRENDIZAJE PARA ALCANZAR LOS
REQUERIMIENTOS CONCEPTUALES
Esta situacin de aprendizaje se ilustra aqu por medio de un juego representativo del
tipo de experiencias planteadas a los nios del caso-estudio. Se trata del juego del tren, para el
que se emplean cubos. Aqu, el nio simplemente agrupar. El nio slo experimentar
cantidades agrupadas, esto es, unidades reunidas en un grupo. Estos grupos sern vagones.
Con esos grupos vagones, formar por agregados otro grupo mayor que contendr a los
agregados, o sea, el tren completo.
En esta actividad de juego resultan tres cantidades, que se expresarn matemticamente
por medio de tres smbolos numricos. En algunos casos, estos smbolos pueden ser iguales.
As, por ejemplo, tres cubos forman un vagn y tres vagones forman un tren, entonces
cuntos vagones en total tiene el tren? (figura 4
Aqu el mismo smbolo numrico 3 expresa el conteo de cosas que son diferentes como
objetos y con significado matemtico tambin diferente: por una parte, contar cubos o
unidades bsicas: 1, 2, 3 cubos y, por otra parte, contar grupos!: 1, 2, 3 grupos o vagones. Pero,
adems, resultan tres unos!, o sea, tres cosas diferentes que en matemticas se expresan
simblicamente como un uno (1): un (1) cubo, un (1) vagn, y un (1) tren.
Como si lo anterior fuera poca exigencia para el pensamiento del nio, se configura aqu
una situacin de inclusiones: cubos dentro de vagones y vagones dentro del tren. El tren tiene
vagones, pero tambin tiene cubos. Los cubos y los vagones estn dentro del tren, o, viceversa,
el tren contiene vagones, pero tambin contiene cubos.
48 L. Lotero, E. Andrade, y L. Andrade
que ya estuvieran familiarizados con la multiplicacin podran reconocer aqu en este juego tal
proceso, nosotros lo recomendamos solo como experiencia de significado bsico, como parte
de la accin inicial de componer y descomponer el nmero. An no debera nombrarse la
multiplicacin como consecuencia del juego. El nio ya tiene bastante tratando de equilibrar la
coordinacin de las tres cantidades que resultan de su accin de agrupar.
Artculos
Figura 5. Ejemplo de gua del juego de los que encajan y los que no, con cubos
representados como cuadros de una cuadrcula
1
En otros idiomas no ocurre lo mismo. Por ejemplo, en ingls 3 4 se lee como three times four, esto es, tres
veces cuatro.
Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educacin, Vol. 2, No. especial, 38-64 51
Para esta experimentacin, el nio debera asumir con solvencia la accin de organizar
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una cantidad total en varios grupos de cantidades iguales, es decir, conceptualizar la relacin
parte-todo de mltiplos y submltiplos. Esta accin operativa, que fuera la finalidad de la
conceptualizacin anterior, ahora es la base operativa para pensar tematizando la cantidad
cuntas veces cabe (est) (Piaget, 1985). Es importante explicitar cuantitativamente la
relacin de inclusin de la parte respecto del todo cuntas veces? en las situaciones de
aprendizaje. Si bien esta relacin estaba implcita en el requerimiento anterior de hacer
encajamientos mltiplo-submltiplo, este hacer est implicado aqu como operatividad de base.
De esta forma, ahora la cantidad de grupos o de submltiplos, el segundo nmero de la
tabla de multiplicar, se presenta como un sistema ms complejo. Aqu se organizan las
cantidades parte-todo de la misma manera, pero en este momento el nio deber entenderlo
de una manera ms amplia, explicitando la cantidad de veces que toman los grupos de
cantidades iguales. El pensamiento en torno a cuntas veces se multiplica una cantidad o en
cuntas cantidades iguales se divide otra cantidad total, ser para el nio la base de la
operatividad de multiplicar y dividir. Este pensamiento de progresin, al agregar sucesivamente
una cantidad igual en correspondencia o en dependencia con otra que indica cuntas veces,
ser la base para que posteriormente pueda pensar la relacin que se establece en una funcin,
el concepto fundamental de la matemtica moderna (Dieudonn, 1988). Por ejemplo, en la
figura 6 se espera que el nio pueda vivenciar cmo el nmero de grupos iguales de cubos
crece en funcin del nmero de rueditas de colores.
Ni uno solo de los 210 nios que trabajaron la prueba tuvo xito en la solucin, pese a que
algunos de ellos revelaron comprender el texto de la situacin del problema, no obstante que
se les anim a efectuar dibujos para buscar la solucin (Lotero Botero y Andrade Londoo,
2011).
Podra pensarse que la estrategia operativa ms comn para este enunciado sea la de
encontrar primero, por medio de una multiplicacin, la cantidad de puntillas que se utilizarn
en las siete mesas y, a continuacin, restar este resultado de la cantidad de puntillas de la caja.
Sin embargo, esta va de solucin no parece ser fcilmente vislumbrada por los nios. Llam
52 L. Lotero, E. Andrade, y L. Andrade
poderosamente la atencin que prcticamente ninguno de los nios que se enfrentaron a este
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problemas concretos, como el que se muestra en la figura 7 o como se mostrar en el apartado
relativo a la validacin. La situacin est encaminada a propiciar el establecimiento de
correspondencias entre subconjuntos, es decir, la cantidad que se multiplica y las unidades del
conjunto que indica cuntas veces. Para estas actividades de aprendizaje, los nios utilizan
materiales tangibles y, adems, trabajan con representaciones pictricas por medio de
diagramas de Venn y flechas, como se ilustra en la figura 7.
La construccin conceptual se asume como una manera de pensar de una sola vez, como
un solo significado de mayor nivel, una situacin previa que ahora integra de manera
consciente un aspecto nuevo. La situacin previa debi ser igualmente conceptualizada a partir
de una situacin antecedente (Piaget y Garca, 1982). Aunque se observa la misma realidad
concreta (en este caso los materiales concretos de cubos), se le podrn conferir significados
cada vez ms amplios a partir de un significado anterior (Piaget y Garca, 1997; Hawkins y
Blakeslee, 2005). En el caso de las matemticas, el significado anterior es una base operativa
que sirve para pensar en un sistema ms amplio la nueva (Bell, 2004; Hawking, 2008).
A continuacin, en la Tabla 1 se presenta un resumen de los cuatro requerimientos y sus
respectivas situaciones de aprendizaje, establecidos aqu para la construccin conceptual de la
multiplicacin.
54 L. Lotero, E. Andrade, y L Andrade
En el caso estudio, objeto del presente escrito, hemos asumido como criterio de
evaluacin el desempeo de los nios al resolver problemas de vida que se refieren a
situaciones de multiplicacin. En el diseo de esta propuesta, cada una de las situaciones de
aprendizaje con las cuales se ha experimentado y establecido relaciones con el nmero,
enfrenta a los nios a enunciados de problemas de vida que hemos denominado cuentajuegos.
En un primer momento, los enunciados de los cuentajuegos ensean pautas para
modelar la situacin matemtica que se plantea y, si se requiere, se acude a los materiales
tangibles para este propsito. Este tipo de experimentacin se adelanta pormenorizadamente,
solicitando a los nios que verbalicen sus modelamientos y justifiquen las soluciones. En estas
experiencias de aprendizaje, se trata de evaluar si el nio ha logrado dar significado a aquellas
situaciones que se han planteado como de estructuracin conceptual. En un segundo
momento, se espera que el nio represente y describa en un espacio en blanco lo que para l
significa una situacin de multiplicacin, al tiempo que revele las herramientas de pensamiento
que ha utilizado para hallar la solucin.
A continuacin, se examina un caso de un problema del carpintero (figura 8). El
enunciado del problema de vida es tpico de la clase de problemas que suele plantearse a
estudiantes de bsica primaria. Aqu se pregunta a los nios por la cantidad de puntillas que
sobran y no por el resultado de multiplicar dos cantidades. Si bien algunos estudiantes
examinados (22%) en la experiencia de Medelln (Lotero Botero y Andrade Londoo, 2011)
multiplicaron las puntillas y las mesas, estos nios no lograron avanzar ms en la solucin. El
espacio de la hoja en el que se les animaba a plantear la solucin con dibujos qued en blanco.
Por qu estos nios mostraron no poseer herramientas de pensamiento que les
permitieran plantear alguna estrategia de solucin? Aunque en el contexto del presente
artculo no es posible ofrecer una respuesta cierta a este interrogante, s se afirma que algo no
anda bien en la educacin matemtica de estos nios, opinin concordante con el resultado de
las evaluaciones nacionales (v. g. Pruebas Saber) e internacionales (v. g. pruebas TIMSS o PISA).
Contrasta con lo anterior la solucin sobresaliente que da Ray, aquel nio de complicado
diagnstico inicial, a este problema (figura 8). Esta solucin la trabaj Ray luego de haber
vivenciado las cuatro experiencias de aprendizaje antes descritas (en los anexos 1 y 2 se
presentan ejemplos adicionales de problemas y la manera como fueron abordados por algunos
de los nios del Centro Tutorial).
56 L. Lotero, E. Andrade, y L. Andrade
Artculos
Lo valioso de esta solucin grfica es que deja ver varios aspectos del pensamiento
matemtico all implicados, en los que unos son la base para otros de mayor complejidad:
Artculos
Divisin, porque el total de puntillas se reparte en grupos de cinco.
Figura 9. Planteamiento grfico de Ray para la correspondencia entre los dos conjuntos: mesas y puntillas
De esta ltima figura desatacamos la flecha doble que hace corresponder el 5 con el 0.
Esta relacin fue verbalizada por el nio de la siguiente manera: se acabaron las mesas, sobran
5 puntillas. Hay que agregar que, en el momento de esta solucin, Ray no saba de memoria
las tablas de multiplicar y que, cuatro aos antes, no haba ingresado a la escolaridad
trabajando con smbolos escritos de los nmeros.
A continuacin se presenta otro ejemplo de una nia mayor que Ray, quien tambin
logr superar sus grandes dificultades con la escolaridad convencional. En este caso, ya se hace
explcita la operacin, pero luego de que ha adquirido un significado para ella (figura 10).
58 L. Lotero, E. Andrade, y L. Andrade
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Estos ejemplos, de situaciones tpicas de vida en las que se precisa apelar a la aritmtica,
sirven para poner de relieve la importancia de ensear a los nios a pensar la multiplicacin
como una relacin de correspondencia entre dos conjuntos como una modelacin matemtica
que favorece la construccin de significado de la multiplicacin. Se puede observar la relacin
de correspondencia en los dibujos hechos por estos nios, al presentar grficamente dos
grupos de elementos y las flechas que indican tal relacin.
A diferencia de las operaciones de suma y resta, que son transformaciones de cantidades
efectuadas dentro de un mismo conjunto, en las situaciones de multiplicacin de un grupo de
cosas, se hace necesario considerar otro conjunto de cosas. Este ltimo conjunto se constituye
en un marco de referencia, en el indicador de cuntas veces, en un conjunto externo a la
cantidad de cosas que se multiplica.
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CONCLUSIONES
multiplicar. Adems, en este caso estudio, se encontr que los nios tutoriados pudieron
pensar con solvencia esta forma de relacin parte-todo, a partir de manipular grupos iguales de
unidades concretas, como un fundamento para la construccin conceptual de la operacin de
multiplicacin.
En lo referente a la tercera situacin, en las bitcoras de los autores se registran algunos
momentos en los que algunos nios manifestaron haber comprendido las tablas de multiplicar
luego de experimentar con la calculadora de cubitos. Esta forma de experimentacin result
ser muy motivante para los nios ms pequeos del grupo, novatos en cuanto al ingreso a la
multiplicacin, pues les facilit pensar los nmeros de la tabla; pero lo ms revelador fueron las
expresiones de aquellos nios del grupo que, antes de su ingreso al Centro Tutorial, haban sido
expuestos a la memorizacin de las tablas. Declararon que ahora s entendan las tablas de
multiplicar. El nio asume lgicamente la expresin cuntas veces, la cual plantea una
relacin parte-todo que luego puede ser expresada matemticamente como un cociente o
como un todo fraccionado. Adems, esta expresin estar presente en el principio lgico de
comparar tamaos de conjuntos que se expresarn algebraicamente como un coeficiente. Por
ejemplo, A tiene cuatro veces ms (o cuatro veces menos) canicas que B. Esta forma de
relacin se halla en la base del trnsito de la aritmtica al lgebra, y si no logra establecerse con
claridad, plantear dificultades para el ingreso a esta forma de pensamiento ms compleja
(Bednarz y Guzmn Hernndez, 2003).
La cuarta situacin demostr ser de gran ayuda para que el nio modelara el significado
matemtico de problemas de vida y pudiera, consecuentemente, planear la solucin. Se apoya
al nio para que identifique cada conjunto de manera consciente. Cada conjunto se
corresponde con cada trmino de la multiplicacin. Cada nmero de la tabla de multiplicar
ocupar su lugar en este contexto de conjuntos diferenciados. En este orden de ideas, de aqu
se colige que sea necesario hacer notar al nio que la conmutatividad de los factores de la
multiplicacin se refiere a nmeros abstractos, no a cosas de situaciones de vida.
La segunda reflexin se orienta en el sentido de que la investigacin educativa se debe
sustentar en la observacin directa y en la reflexin surgida del trabajo con nios de carne y
hueso, en experiencias claramente sistematizadas hacia un propsito de aprendizaje. Esta
manera de hacer investigacin educativa comienza a ser adoptada por un creciente nmero de
centros de investigacin y de esta modalidad se conocen varios resultados interesantes (Cobb,
Stephan, McClain y Gravemeijer, 2011; Hall y Rubin, 1998; Konold y Higgins, 2002; McClain, Cobb,
Gravemeijer y Estes, 1999).
Definitivamente, conceptualizar la multiplicacin es mucho ms que aprender de
memoria las tablas de multiplicar. Esta tradicional exigencia educativa, an considerada
indispensable por muchos, podra, al parecer, ser el primer escollo serio que enfrentan los nios
en su aprendizaje escolar de las matemticas y el origen de la bien documentada
animadversin entre los escolares por esta rea del conocimiento.
Finalmente, el caso estudio ha evidenciado la necesidad de un relativamente largo
proceso de construccin conceptual, para que los nios coordinen las tres cantidades en dos
planos de conceptualizacin, por as decirlo, implicadas en lo que significa la operacin de
Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educacin, Vol. 2, No. especial, 38-64 61
multiplicacin. Desdear esta dificultad, en opinin de los autores, est en el ncleo de los bien
Artculos
reconocidos problemas que afrontan los nios con esta operacin. La ms clara evidencia de
estas dificultades es la imposibilidad prctica por parte de nios de solucionar problemas en
situaciones de vida cotidiana, aun de aquellos que recitan de memoria las tablas de multiplicar.
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