Modulo Fisica Cuantica

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

CONTENIDO DEL CURSO: 401588 FSICA CUNTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
401588 FSICA CUANTICA
ANGELO ALBANO REYES CARVAJAL
Abril 2012
COMIT DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Gloria Herrera
Vicerrectora Acadmica
Roberto Salazar Ramos
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas
Maribel Crdoba Guerrero
Secretaria General
MDULO
CURSO FSICA CUNTICA

PRIMERA EDICIN
Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Colombia
ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente mdulo fue diseado por Angelo Albano Reyes Carvajal, Ingeniero Fsico
egresado de la Universidad del Cauca, docente de la UNAD desde el ao 2011.
NDICE
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FSICA CUNTICA
1.1 Capitulo 1: Radiacin Cuntica
Leccin 1: Fsica Clsica vs Fsica Cuntica.

Leccin 2: Radiacin Trmica.
Leccin 3: La radiacin del cuerpo negro.
Leccin 4: Ley del desplazamiento de Wien.
Leccin 5: Ley de Stefan-Boltzmann.
Leccin 6: Ley de Rayleigh y Jeans.
Leccin 7: La solucin Final. Hiptesis de Planck de la
cavidad.
Leccin 8: El Postulado de Planck.
1.2 Capitulo 2: Partculas y ondas
Leccin 9: Emisin electrnica.

Leccin 10: El efecto fotoelctrico.
Leccin 11: El efecto Compton.
Leccin 12: La naturaleza dual de la radiacin
electromagntica.
Leccin 13: Rayos X.
Leccin 14: Produccin y aniquilacin de pares.
1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atmico

de Bohr
Leccin 15: Ondas de materia.

Leccin 16: Dualidad onda partcula.
Leccin 17: Principio de incertidumbre.
Leccin 18: El modelo atmico de Thomson.
Leccin 19: El modelo atmico de Rutherford.
Leccin 20: Espectros atmicos.
Leccin 21: Modelo de Bohr
Leccin 22: El principio de correspondencia.
UNIDAD 2. ECUACIN DE SCHRDINGER
2.1 Capitulo 4: La Ecuacin de Schrdinger I
Leccin 23: Introduccin a la Ecuacin de Schrdinger.

Leccin 24: Deduccin de la Ecuacin de Schrdinger.
Leccin 25: Densidad de Probabilidad.
Leccin 26: La ecuacin de Schrdinger independiente del
tiempo.
Leccin 27: Cuantizacin de la Energa en la teora de
Schrdinger.
2.2 Captulo 5: La Ecuacin de Schrdinger II
Leccin 28: El Hamiltoniano y operadores.

Leccin 29: Valores Promedio o esperados.
Leccin 30: El potencial cero.
Leccin 31: El potencial Escaln.
Leccin 32: La barrera de potencial.
2.3 Capitulo 6: Algunas aplicaciones de la Ecuacin de

Schrdinger
Leccin 33: Potencial de pozo cuadrado.

Leccin 34: Potencial de pozo cuadrado infinito.
Leccin 35: El potencial del oscilador armnico simple.
Leccin 36: tomos con un electrn.
Leccin 37: Ecuacin de Schrdinger tridimensional.
Leccin 38: Separacin de variables para la ecuacin de
Schrdinger tridimensional y estacionaria.
Leccin 39: Solucin de las ecuaciones (azimutal, polar y
radial, para tomos con un solo electrn)
INTRODUCCIN
El curso de FSICA CUNTICA para los estudiantes del Programa de Qumica de

la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD), se encuentra justificado por
los grandes desarrollos que de manera progresiva ha tenido la Ciencia en este
campo y que se ven reflejados en aplicaciones o desarrollos tecnolgicos. Cuando
se menciona Fsica Cuntica se puede pensar en un tema extrao, que no tiene
sentido en la vida diaria, pero este concepto es errneo, puesto que la Fsica
Cuntica est en todas partes. En la actualidad, es muy comn hablar de
computadoras, telfonos, comunicacin y dems aplicaciones que han facilitado
nuestro vivir, y que han sido desarrollados gracias a la invencin de los diodos,
transistores, chips, nuevos materiales, y en fin, un sin nmero de materiales y de
dispositivos, los cuales no se podran disear, explicar, ni realizar sin la FSICA
CUNTICA. Un ejemplo claro de la importancia de Fsica Cuntica en nuestra
vida diaria, se encuentra en uno de los medios de transporte ms importantes en
nuestro mundo actual el automvil, este necesita de la fsica del siglo XIX para el
diseo mecnico bsico, incluso empleando aleaciones, plsticos y pinturas, pero
cuando, por ejemplo, nos fijamos en la tecnologa para comunicarse y procesar la
informacin hemos sido obligados a trasladarnos a la Fsica Cuntica. Es tan
amplia la aplicacin de la Fsica Cuntica, que este curso abordar los temas ms
importantes para la comprensin del tema.
Para este curso, los estudiantes estn familiarizados con nociones de la fsica
clsica (mecnica, electricidad y magnetismo), clculo, y fsica moderna. Los
propsitos del curso son reconocer y aplicar los fundamentos de la Fsica Cuntica
en la explicacin de algunos fenmenos naturales.
El mdulo est dividido en dos unidades:
Fundamentos de Fsica Cuntica: Este captulo es de gran importancia

puesto que permite afianzar las nociones bsicas que se deben tener
durante el curso y que permitirn la comprensin de la Cuntica. Se
empezar a desarrollar temas como la radiacin cuntica, seguiremos con
partculas y ondas, y por ltimo el postulado de Louis de Broglie.
Ecuacin de Schrdinger: Este captulo dar estudio a la dinmica cuntica,

en la cual se presentar la ecuacin de Schrdinger, la solucin y
aplicaciones.
Este mdulo se encuentra diseado para que el lector, se apropie en forma

sencilla de los fundamentos y mtodos del campo cientfico que permitirn
entender muchos de los avances tecnolgicos de nuestra poca. Al finalizar cada
aparte, se proponen algunos problemas y bibliografa.
Es fundamental que el estudiante se apropie del uso de las Tecnologas de la

Informacin y Comunicacin (TICs) como herramienta de apoyo al proceso de
aprendizaje. En este sentido, el curso de Fsica Cuntica articular a su desarrollo
actividades mediadas por las TICs, como interactividades sincrnicas y
asincrnicas, para orientar acciones de acompaamiento individual o de pequeo
grupo colaborativo y acceso a la informacin disponible en la plataforma virtual de
la Universidad.
UNIDAD 1.
Nombre de la Unidad Fundamentos de fsica cuntica

Introduccin Se estudiarn los conceptos bsicos de la Fsica
Cuntica
Justificacin Esta unidad proporciona el entendimiento de los
fenmenos fsicos introductorios a la fsica cuntica.
Intencionalidades Que el estudiante pueda comprender los fenmenos
Formativas fsicos que dan origen a la fsica cuntica.
Denominacin de Captulo 1: Radiacin Cuntica
captulos Captulo 2: Partculas y ondas
Captulo 3: Postulado de Luis de Broglie
NDICE
INTRODUCCIN
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FSICA CUNTICA
1.1 Capitulo 1: Radiacin Cuntica
Leccin 1: Fsica Clsica vs Fsica Cuntica.

Leccin 2: Radiacin Trmica.
Leccin 3: La radiacin del cuerpo negro.
Leccin 4: Ley del desplazamiento de Wien.
Leccin 5: Ley de Stefan-Boltzmann.
Leccin 6: Ley de Rayleigh y Jeans.
Leccin 7: La solucin Final. Hiptesis de Planck de la
cavidad.
1.2 Capitulo 2: Partculas y ondas

Leccin 10: El efecto fotoelctrico.
Leccin 11: El efecto Compton.
Leccin 12: La naturaleza dual de la radiacin

electromagntica.
Leccin 13: Rayos X.
Leccin 14: Produccin y aniquilacin de pares.
1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atmico

de Bohr
Leccin 15: Ondas de materia.

Leccin 16: Dualidad onda partcula.
Leccin 17: Principio de incertidumbre.
Leccin 18: El modelo atmico de Thomson.
Leccin 20: Espectros atmicos.
Leccin 22: El principio de correspondencia.
INTRODUCCIN
La Fsica cuntica se encuentra inmersa en varios aspectos de nuestra vida
cotidiana como computadores, telfonos inteligentes, autos, y dems dispositivos
tecnolgicos. Sin embargo, para entender estas aplicaciones es necesario conocer
algunos fenmenos fsicos y nociones bsicas que sern los fundamentos de la
Fsica cuntica, para tal fin, se iniciar con una descripcin de la radiacin
cuntica, seguido por algunos fenmenos enmarcados en el captulo de partculas
y ondas, y por ltimo comprenderemos el postulado de Louis de Broglie
CAPTULO 1. RADIACIN CUNTICA
Leccin 1: Fsica Clsica vs Fsica Cuntica
La Fsica Cuntica trata de dar explicacin a todos los fenmenos no explicables

por medio de la Fsica clsica. Los fenmenos cunticos frecuentemente estn
enmarcados dentro del mundo microscpico, pero a continuacin daremos
algunos ejemplos donde la cuntica est inmersa en el mundo macroscpico:
La superfluidez, la superconductividad, el estudio del carcter conductor o

aislante de los materiales, etc., son fenmenos macroscpicos que
solamente son entendibles utilizando mtodos cunticos.
La conductividad elctrica puede entenderse como sistema clsico, pero

para una adecuada explicacin se requieren conceptos de resistividad
elctrica, calor especfico de un slido, etc., que hacen uso necesario de la
Fsica Cuntica.
Los anteriores ejemplos muestran claramente que la Fsica Cuntica es una

ciencia con dominio sobre todo tipo de fenmenos. Ahora, vamos a conocer el
lmite clsico de lo cuntico.
Antes de ello, retomemos el curso de fsica moderna donde se estableci que

podemos utilizar la Fsica no relativista en lugar de la relativista si las velocidades
3 10 ), es decir, la eleccin de la fsica relativista o no

puestas en juego en el sistema son mucho menores que la velocidad de la luz en
el vaco (
relativista depende de la contante universal .
Al igual que en el mundo clsico, existe una constante universal para el cuntico,
que se denomina constante de Planck ( ), cuyo valor es:
6.626 10
Esta constante permite determinar la aplicabilidad de la Fsica Cuntica frente a la

Clsica, es decir, la constante de Planck, con dimensiones de accin (energa x
tiempo) permite concebir que:
Si las acciones del sistema son mucho mayores que , entonces para
describir ese sistema es solamente necesario la teora de la Fsica clsica.
Ahora, si las acciones del sistema son comparables con , entonces, se

debe aplicar la Fsica Cuntica.
Un claro ejemplo de la aplicabilidad de la Fsica Cuntica dada por la constante de

Planck es el siguiente:
Ejemplo:
Calcule la accin de un pndulo simple formado por una masa de 1 , con un

periodo de 1 y una energa de 1 .
Solucin:
Entonces, su accin ser:
1 1 1
Y ya que 6,626 10 se tiene que:
1 1 1.5 10
6.626 10
Es decir, se observa que el resultado es mucho mayor que la constante de Planck,

entonces podemos decir que nos encontramos frente a un problema clsico.
Leccin 2: Radiacin Trmica
Se conoce como radiacin trmica, a la radiacin que emite un cuerpo como

consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta clase de
radiacin a su alrededor, y la absorben de l; esta radiacin no es ms que
radiacin electromagntica (ondas electromagnticas de espectro muy ancho). En
principio, si un cuerpo se encuentra a una temperatura mayor que su alrededor,
ste se enfriar, ya que la rapidez con la que emite energa exceder la rapidez
con la que absorbe, llegando a un equilibrio trmico (igual temperatura), es decir,
no es que dejen de radiar ondas electromagnticas sino que la energa emitida por
ellos es igual a la que absorben (equilibrio dinmico), tal y como lo expreso el

fsico y filsofo Prvost en 1792:
Ley de Prvost: Todos los objetos estn constantemente radiando y

recibiendo energa trmica del entorno, pero en el estado de equilibrio trmico, la
cantidad de energa trmica que pierde un cuerpo por unidad de tiempo es igual a
la absorbida durante el mismo intervalo en forma de radiaciones idnticas
procedentes de los otros cuerpos que lo rodean.
La materia en estado slido o lquido (estado condensado) emite un espectro de

radiacin continuo depende mas de la temperatura que de la composicin del
mismo. Ahora bien, vamos a suponer que una fuente de radiacin esta
caracterizada por la emitancia radiante , que es la cantidad de energa por
unidad de tiempo que radia al espacio; aunque nos concentraremos en saber en
que longitudes de onda esta concentrada la energa que emite la fuente, es decir
en un intervalo de longitudes , ! " o, de manera similar podemos referirnos

la distribucin espectral que indica, la energa por unidad de tiempo radiada
a la distribucin espectral # referida en un intervalo de frecuencias $, $ !$".

Estas dos funciones estn relacionadas por la ecuacin:

#
$
Entonces, siempre nos referiremos a # o como el espectro, el cual brinda

informacin sobre el tipo de radiacin que se esta estudiando.
Figura 1. Espectro de radiacin del cuerpo negro.

Al estudiar el espectro de diferentes sustancias a una temperatura elevada y fija,
un valor mximo. Representando los diferentes valores de la cota %# & se obtiene

se observa que el valor de la emisin a cada frecuencia est siempre acotado por
ideal capaz de irradiar lo mximo a todas las frecuencias. Por lo tanto, la curva %#
una distribucin que se puede considerar como el espectro que tendra un cuerpo
&, como se observa en la figura 1. En Dicha figura, se muestra el espectro de

es la envolvente de todos los posibles espectros de emisin a la temperatura dada
radiacin del cuerpo negro, representado por tres diferentes temperaturas, en la

cual se aprecia que existe un mximo de longitud de onda para cada temperatura.
En el cuadro pequeo de ella, se muestra la distribucin espectral de una lmpara
de mercurio de bajo rendimiento de calor, el cual, es muy diferente al espectro de
un cuerpo negro.
Leccin 3: La radiacin de cuerpo negro
Un cuerpo negro es aquel que se caracteriza por absorber toda la radiacin

trmica que incide sobre l, es decir, un cuerpo negro no refleja radiacin en
absoluto. Tambin, es necesario dar a conocer que todos los cuerpos negros a
una misma temperatura e independientemente de su composicin emiten
radiacin trmica con el mismo espectro.
Ahora, definiremos la radiancia espectral '( $ , la cual especifica la distribucin
superficie radia energa por unidad de rea, a la temperatura &, para frecuencias
espectral de la radiacin de un cuerpo negro, y es la rapidez con la que la
de radiacin entre $ y $ !$.
A partir de la radiancia espectral e integrndola sobre todas las frecuencias

tenemos que:
*
'( ) '( $ !$
+
y se conoce como la radiancia '( y define la energa o potencia total radiada de

un cuerpo negro a una temperatura & dada y sus unidades son watt sobre metro
cuadrado (,/ ). La figura 2 muestra la dependencia de la radiancia espectral
con la temperatura y la frecuencia. En esta figura se aprecia claramente que a
medida que aumenta la frecuencia existe un mximo de radiancia para cada
temperatura, es decir, el espectro se desplaza hacia frecuencias mayores a
mediad que la temperatura aumenta, y que cuando se aumenta la temperatura, la

frecuencia donde ocurren los mximos de radiancia crecen de forma de lineal.
Figura 2. Radiancia espectral de un cuerpo negro radiante como funcin de la

frecuencia de radiacin.
La ley de Kirchhoff, la cual indica que la envolvente de toda emisin trmica %. , es

igual a la curva de emisin espectral del cuerpo negro, es decir, esto implica que a
de cualquier sustancia, # & , esta acotada por el valor %# & (vase la figura 1 y
una temperatura y frecuencia (o longitud de onda) dadas, la emisividad espectral
2), de manera que el cuerpo negro constituye un sistema que radia de manera
universal, independientemente de las condiciones fsicas concretas a las que
estn sujetos los cuerpos negros y sustancias comunes.
Estudios experimentales (como la medicin de cuerpos calientes, estrellas, etc.)

permitieron establecer que el espectro de un cuerpo negro (ver figuras 1 y 2) tiene
un mximo para una cierta longitud de onda (o frecuencia), que se puede llamar
como /01 , y se sita de manea tal que se cumple la ley del desplazamiento de
Wien.
Leccin 4: Ley del desplazamiento de Wien
La ley del desplazamiento de Wien establece que: La longitud de onda de la
relaciona con la temperatura &, de la siguiente manera:

radiacin en la que un cuerpo negro tiene un mximo de emisividad espectral, se
/01 & 2
2 2.898 10 7
Donde
5
Y se conoce como la constante de Wien.
Ejemplo:
Determine la temperatura de la superficie de la estrella polar, si se sabe que las
de 3,500 8.
estrella se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda mxima
Solucin:
Antes de solucionar el problema debemos recordar que:
9: ;: < = 18 10 >+
10
Por lo tanto
>+
3,500 8 3.5 10
18
/01
A partir de la ley del desplazamiento de Wien se tiene que:
2 2.898 10 5 7
& 8,3007
/01 3.5 10
Entonces, a 8,2807 la estrella polar irradia a una la longitud de onda mxima de

3,500 8.
Leccin 5: Ley de Stefan-Boltzmann
A partir de la figura 2 se aprecia que a medida que la temperatura aumenta la

radiancia espectral aumenta, esta dependencia la explica la ley de Stefan-
negro es proporcional a la potencia cuarta de la temperatura &, es decir:

Boltzmann, la cual establece que la energa o potencia total radiada de un cuerpo
'( @& A
@ 5.67 10 ,C
Donde
7 A
y se conoce como la constante de Stefan-Boltzmann.
Ejemplo:
cuerpo negro (estrella polar) por 1

Utilizando la informacin del ejercicio anterior, calcular la energa irradiada del
de superficie.
Solucin:
Utilizando la ley de de Stefan-Boltzmann se tiene que:
'( @& A 5.67 10 ,C 7 A 83007 A

2.71 10 ,C
2,7000 ,C
Leccin 6: Ley de Rayleigh y Jeans
Antes de explicar la ley de Rayleigh y Jeans, tomaremos como ejemplo de un

cuerpo negro un objeto que contiene una cavidad y que se comunica con el
exterior por medio de un pequeo agujero tal, donde toda la radiacin que ingresa
o incide en el agujero es absorbida de manera completa por las paredes internas
de la cavidad, comportndose como un cuerpo negro, tal y como se observa en la
figura 3.
Figura 3: Representacin de un cuerpo negro.
A partir de este ejemplo, se define la densidad de energa de radiacin D( $ ,

como la energa contenida en unidad de volumen de la cavidad a temperatura &,
en el intervalo de frecuencias $, $ !$".
energa de radiacin D( $ en una cavidad cuerpo negro estaba dada por:

A principios del siglo XX, Rayleigh y Jeans, establecieron que la densidad de
8F$
D( E !$ 5
G& !$
donde G 1.38 10 5 H 7 > y se llama la constante de Boltzmann, es la

velocidad de la luz. A partir de esta definicin se entro en un serio conflicto entre la
fsica clsica y los resultados experimentales. Es decir, esta ley se ajustaba a los
datos experimentales en la regin de frecuencias muy bajas, pero a medida que
se acercaba a frecuencias altas (frecuencias de la zona ultravioleta y superiores)
la teora tiende a infinito, en efecto la integral sobre todas las frecuencias, que da
la densidad de energa total expresada por:
8F *
D( $ 5
G& ) $ !$
+
diverge, puesto que crece de manera indefinida, lo cual contradice los resultados
experimentales y la conservacin de la energa. Este comportamiento se aprecia
en la figura 4, y a este hecho se le conoce como la catstrofe ultravioleta.
Figura 4. Comparacin de los resultados experimentales con tericos para la

densidad de energa en una cavidad cuerpo negro.
A partir de la catstrofe ultravioleta y de dar solucin a esta problemtica empieza

el nacimiento de una nueva fsica, que se consider en aos mas tarde como
fsica cuntica.
Leccin 7: La solucin Final. Hiptesis de Planck de la cavidad.
Para dar solucin a la problemtica entre la discrepancia de los hallazgos

experimentales y tericos, Planck consider que era posible violar la ley de
equiparticin de la energa, la cual establece que para un sistema de molculas
de un gas, que se encuentra en equilibrio trmico a una temperatura dada, la
energa cintica promedio de una molcula por cada grado de libertad es KT/2,
donde K es la constante de Boltzmann (esta ley se cumple para cualquier sistema
clsico que contenga en equilibrio partculas de la misma clase).
energa total promedio K tiende a & a medida que la frecuencia tiende a cero (
La ley de Rayleigh y Jeans funciona para bajas frecuencias, es decir, que la
K G& si $ 0), para las frecuencias altas la discrepancia se puede resolver si

existe un corte, tal que la energa total promedio K tienda a cero si la frecuencia
tiende a infinito ( K 0 si $ ), con ello, Planck sugiri que la energa promedio
sea funcin de la frecuencia K $ , lo cual contrasta con la equiparticin de la
energa que asigna un nico valor a todas las frecuencias.
Planck logro el anterior corte tratando la energa como una variable discreta en
lugar de continua, es decir, l supuso que la energa poda tomar ciertos valores
discretos y que ellos estaban distribuidos de forma uniforme, es decir, tomo:
0, , 2 , 3 , 4 ,
como el conjuntos de valores permitidos de la energa.
Para este caso, el intervalo de los valores sucesivos es: . Ahora, a partir de los
valores que puede tomar , se establece que: si se presenta que G& se
obtiene que K G&, es decir, el resultado clsico, y si se tiene que G& se
obtiene que K G&. Lo anterior indica que si la diferencia entre energas
adyacentes es pequea K G& (resultado clsico) y si la diferencia es
grande K 0, el primer resultado corresponde para frecuencias bajas y el
segundo corresponde para frecuencias altas.
Planck determin que la relacin entre y $ debe ser proporcional, es decir, l

supuso, que $, y escribiendo esta relacin en forma de ecuacin obtuvo
que:
donde es la constante de proporcionalidad y se conoce como la constante de

Planck y tiene un valor experimental de :
6.63 10 5A
H
A partir de los resultados anteriores Planck obtuvo que K es:
$
K $
R# S( T1
0 se obtiene que K $ G& y si

Observemos que esta relacin cumple con las condiciones para resolver las
el
R# R#
S( S(
y por tanto K $ 0.
discrepancias, si el trmino
R# S(
trmino
Y obtuvo para la densidad de energa total en el espectro del cuerpo negro que:
8F$ $
D( E !$ !$
5 R.S( T1
O en trminos de la longitud de onda es:

8F 1
D( ! !
U R. S( T1
Y se conoce como el espectro del cuerpo negro de Planck. Esta ecuacin si

explicaba el espectro negro no solo en los casos de bajas frecuencias sino
tambin los de altas frecuencias. En la figura 5 se muestra el resultado
experimental en comparacin con los resultados tericos, en ella la lnea continua
muestra el resultado terico y los puntos indican los experimentales para la
densidad de un cuerpo negro a una temperatura de T=1595K.
Figura 5. Densidad de un cuerpo negro.
Es de recordar que Planck no alter la distribucin de Boltzmann, slo consider a

la energa de ondas estacionarias, oscilando sinodalmente en el tiempo, como una
discreta en lugar de continua.
El postulado de Planck se indica como: Cualquier ente fsico con un grado de

libertad que realiza oscilaciones armnicas-simples slo puede tener energas
que satisfacen la relacin:
: $
Con : 0, 1, 2, 3, y donde E es la frecuencia de la oscilacin y es una

constante universal.
Este postulado indica que si la energa de un ente cualquiera obedece este
energa permitidos se llaman estados cunticos, y : se conoce como el nmero

postulado, se dice que dicha energa se encuentra cuantizada, y los niveles de
cuntico del estado de energa permitido.
Ejemplo:
energa de los fotones en V irradiados por la fuente.

Una fuente de luz ultravioleta irradia a una longitud de onda de 400nm, calcule la
Solucin:
A partir del postulado de Planck tenemos que la energa de los fotones esta dada
por:
$
Y ya que
$
se obtiene que:
Remplazando la informacin dada se tiene:
6.63 10 5A H 3.0 10
4.972 10 >W
H
400 10 W
Ahora convirtamos esta cantidad a electronvoltios V , sabiendo que:
1 V 1.6022 10 >W
H
1 V
Entonces,
4.972 10 >W
H 3.10323 V
1.6022 10 >W H
de 3.10323 V.
Y por lo tanto, la energa de los fotones irradiados a la longitud de onda dada es
Ejercicios
1. Determine la temperatura de la superficie del sol, si se sabe que el sol se
5,100 8. Rta: T=5,700K.

comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda mxima de
2. Con la temperatura del ejercicio anterior y utilizando la ley de Stefan-

Boltzmann determine la potencia radiada RT por 1cm2 de superficie estelar.
Rta: aproximadamente 6000W/cm2.
energa de los fotones en eV irradiados por la fuente. Rta: 1.774 eV

3. Una fuente de luz irradia a una longitud de onda de 700nm, calcule la
4. Un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura de 6000K, a que

longitud de onda radiar ms por unidad de longitud de onda? Rta: 4,830 .
5. Supongamos que la tierra es un cuerpo negro que irradia energa al espacio

en una cantidad de 355W/m2, Cul es la temperatura de la superficie de la
tierra? Rta: 281 K.
Capitulo 2. Partculas y ondas
La emisin electrnica es el proceso en el cual se logra la liberacin de electrones

de una masa o material hacia un espacio adyacente, la extraccin o liberacin de
electrones se puede lograr por medio de los siguientes mecanismos:
La emisin termoinica (Efecto Edison): el calentamiento de la superficie

de un metal causa la emisin de electrones.
La emisin secundaria: la liberacin de electrones de la superficie de un
metal es causada por partculas energticas que se inciden sobre el
material.
La emisin de campo: la extraccin de electrones causado por un campo
elctrico intenso.
El efecto fotoelctrico: la expulsin de electrones de un metal causado por
la luz incidente sobre el material.
En 1887 Hertz cuando se encontraba investigando las ondas electromagnticas

predichas por la teora de Maxwell del campo electromagntico, descubri de
manera accidental el efecto fotoelctrico.
Leccin 10: El efecto fotoelctrico
En la figura 6 se muestra un esquema de un efecto fotoelctrico experimental. El

estudio realizado por Philipp Lenard a este fenmeno mostro que:
Al incidir luz de frecuencia $ Z 10U [\ sobre un metal (placa M en la figura 6),

se emiten partculas cargadas negativamente y viajan hacia el electrodo
positivo (electrodo P en la figura 6).
La emisin se produce cuando el tubo es altamente evacuado (es decir, un
espacio al vaco), de tal manera, que los portadores no son iones gaseosos.
Un campo magntico aplicado entre la placa y el electrodo positivo desva los
portadores cargados como si fuesen negativos.
1.76 10 >> ] 7 y este coincide con el valor encontrado para el

La razn medida entre la carga y la masa para los portadores cargados es:
electrn.
Por lo anterior, a los portadores se les identifico como fotoelectrones.
Figura 6. Esquema experimental del efecto fotoelctrico.
Lenard, utilizando luz monocromtica de intensidad constante, obtuvo graficas

para la corriente fotoelctrica (es decir, el nmero de electrones emitidos por el
l encontr, que exista una corriente de saturacin mxima para una intensidad ^
metal que llegan al electrodo positivo) contra el potencial acelerador o de frenado.
de la luz incidente, y sta se daba, cuando todos los electrones emitidos por el
potencial vala cero (V 0), todava exista una corriente elctrica, lo que
material llegaban al electrodo positivo. Tambin descubri, que cuando el
significaba que algunos de los electrones emitidos tenan una velocidad finita.
Adems, se estableci que el potencial puede hacerse negativo (V TV+ ) hasta

que slo los electrones con mayor energa puedan llegar al electrodo positivo, y
para este punto la energa cintica mxima de los electrones emitidos es:
7/01 V+
Donde V+ es el potencial de frenado.
Cuando se aumenta la intensidad de la luz incidente, la corriente de saturacin

aumenta, es decir, se emiten ms electrones, pero los electrones presentan
siempre la misma energa ya que el potencial de frenado es el mismo. El potencial
de frenado es independiente de la intensidad de la luz incidente.
Si se cambia la frecuencia de la luz incidente pero se conserva la intensidad, se

emite el mismo nmero de electrones, pero los electrones son ms energticos
por si la frecuencia es mayor.
En general, la corriente de saturacin depende de la intensidad pero no de la

frecuencia, mientras que el potencial de frenado se hace mayor a medida que se
incrementa la frecuencia incidente.
La teora clsica predice que cuando mayor es la intensidad de radiacin de la luz

incidente se espera que los electrones emitidos sean ms energticos y tambin,
que si la intensidad de la radiacin incidente es dbil, se espera que ocurra un
tiempo prudente para que el metal almacene suficiente energa para expulsar
electrones. Sin embargo, como se ha denotado anteriormente, los experimentos
demuestran que la teora clsica es inadecuada y se ha demostrado que la
energa cintica de los electrones no depende de la intensidad de la radiacin,
sino que esa aumenta al aumentarla frecuencia incidente, y no existe un tiempo
prudente para que los electrones sean emitidos an si la intensidad es muy dbil.
$ que viajan a la velocidad de la luz. Cuando

Einstein en 1905 supuso que la radiacin incidente consista de paquetes o
cuantos de energa de valor
estos fotones chocan con una superficie metlica pueden reflejarse o bien pueden
desaparecer cediendo su propia energa para expulsar los electrones. Ahora, se
redefine la energa cintica mxima de los electrones en trminos de la frecuencia
as:
7/01 V+ $T_
Donde _ es la funcin de trabajo y es la cantidad mnima de energa necesaria

para extraer un electrn de la superficie de un metal y depende de las
$ es igual a $+ y se conoce como la frecuencia umbral que es la mnima frecuencia

caractersticas del metal. Cuando la energa cintica mxima es cero, la frecuencia
de la luz a la cual se empiezan a emitir los electrones de la superficie del metal, y

por tanto se tiene que:
_ $+
entonces, rescribiendo la ecuacin para la energa cintica mxima:
7/01 $ T $+
Esto indica que para una frecuencia $ ` $+ o en trminos de longitud de onda

+ a E+ , no hay la energa incidente suficiente para remover electrones del
metal y por tanto no ocurre el fenmeno fotoelctrico.
A partir de lo descrito en esta leccin se tiene que:

La cantidad de electrones liberados es proporcional a la intensidad de luz
incidente.
La mxima energa cintica con que se desprenden los electrones
depende de la frecuencia y no de la intensidad de la radiacin.
La mxima energa cintica con que se desprenden los electrones esta
relacionada la frecuencia en forma lineal, tal y como se demostr en la
El potencial de frenado V+ depende de la funcin de trabajo _.

ltima ecuacin.
Existe una frecuencia umbral E+ por debajo de la cual no ocurre el efecto
La emisin de electrones empieza sin retardo para cuando $ a $+ an para

estudiado.
luz de baja intensidad.
Ejemplo:
Sobre una superficie metlica se hace incidir luz de longitud de onda de 20008
y para extraer un electrn de la superficie metlica se necesitan 4.2 eV. Cul es la
energa cintica mxima de los fotones emitidos? Cul es le potencial de
frenado?
Solucin:
Para encontrar la energa cintica mxima tenemos que 7/01 $ T _, pero

antes de aplicar esta formula, debemos hacer las siguientes conversiones:
10 >+
20008 2 10 m
18
Y ya que la funcin de trabajo es la energa mnima necesaria para extraer un

electrn se tiene que:
_ 4.2eV 6.7284 10 >W

J
utilizando la expresin $
e
Ahora, debemos expresar la energa mxima en trminos de la longitud de onda
, se tiene:
7/01 $T_ T_
Remplazando los valores se tiene la energa cintica mxima:
3.0 10
7/01 6.626 10 >W
H T 6.7284 10 >W
H
2 10
K ghi 3,2037 10 >W

J
Ahora para calcular el potencial de frenado V+ se tiene que 7/01 V+ y

despejndolo es:
7/01 3,2037 10 >W J

V+ 2V
1.602 10 >W]
Entonces se obtiene que:
V+ 2V
Leccin 11: El efecto Compton
espectro electromagntico de longitudes de onda menores a 18) mostraron que

Estudios experimentales realizados a los rayos x (que son radiaciones en el
cuando ellos eran dispersados, los rayos x secundarios implicados eran menos
penetrantes que los rayos x primarios. Se descubri que los rayos x secundarios
presentan las siguientes propiedades del proceso dispersor:
La radiacin que se dispersa presenta dos longitudes de onda, una es la

original llamada + y la otra es una longitud de onda adicional j .
j es casi del mismo valor que + pero es siempre mayor que la longitud de
+ presenta dependencia del ngulo de dispersin k y no del medio

onda original.

dispersor.
Figura 7. Dispersin Compton de un fotn causado por un electrn estacionario.
Luego de este descubrimiento, Compton en el ao 1923 propuso que los fotones

de los rayos x tienen momento y que el proceso dispersor es un choque elstico
entre un fotn y un electrn. Al cambio en la longitud de onda de los fotones de
rayos x como consecuencia de la dispersin elstica con los electrones se le llam
efecto Compton.
Entonces, Compton encontr el momento del fotn de la siguiente manera:
La energa de un fotn (partcula cuya masa es cero) es

donde l es el momento y esta dado por l v, pero la energa de un fotn

tambin se puede expresar en termino de la frecuencia $ como
$ utilizando estas dos expresiones se obtiene que:
l $
Y por tanto
$
l
utilizando $
e
Ahora podemos expresar el momento en trminos de la longitud de onda
se tiene que:
En la figura 6, se muestra la dispersin del fotn de rayos x cuando choca

elsticamente con un electrn estacionario.
Aplicando conservacin del momento en el eje x para nuestra figura 6 se tiene

que:
l+ lj cos k lq cos r
Y para el eje y es:
lj sin k T lq sin r 0
Recordemos que lj es el momento del fotn dispersado, lq es el momento del

electrn dispersado y l+ es el momento del fotn inicial.
Ahora aplicando la conservacin de la energa se tiene que:
: ; v:v v;w : ; xv:;w
Entonces la energa inicial esta dada por la energa del fotn incidente (E0) mas la
masa de reposo del electrn (m0c2), y la energa final esta dada por la energa del
fotn dispersada (Es) mas la energa total del electrn dispersado que esta dada
por la masa de reposo del electrn (m0c2) mas la energa cintica de l (K), es
decir, la conservacin de la energa estar dada por:
+ + j + 7
Ahora cancelando los trminos semejantes y despejando 7 se tiene:
7 + T j $+ T $j $+ T $j
Ahora, podemos escribir la ecuacin
l+ lj cos k lq cos r
como:
l+ T lj cos k lq cos r
Y elevando esta expresin al cuadrado se tiene:
l+ T lj cos k lq cos r
l+ T 2l+ lj cos k lj cos k lq cos r
Ahora elevemos al cuadrado la expresin
lj sin k T lq sin r 0
Se tiene que:
lj sin k lq sin r
Sumando la expresin anterior con:
l+ T 2l+ lj cos k lj cos k lq cos r
se tiene que:
l+ T 2l+ lj cos k lj lq
Ya que + $+ l+ y j $j lj , entonces la ecuacin

7 + T j $+ T $j $+ T $j
la podemos escribir como:
7 l+ T lj
un electrn en trminos del momento l se puede expresar como:

Ahora, recordando del curso de fsica moderna que la energa relativista total para
+ lq
Y ya que 7 + (Energa relativista total en trminos de la energa

cintica).
Entonces, remplazando el trmino en la ecuacin anterior se tiene que:
7 + + lq
7
Y resolviendo tenemos:
27 + lq
Ahora utilizando 7 de la ecuacin
7 l+ T lj
y lq de la ecuacin
+ lq
y multiplicando todo por la ecuacin
7
27 + lq
queda como:
T 1 T cos k
lj l+ +
Y finalmente podemos rescribir esta ecuacin en trminos de la longitud de onda

original y adicional as:
j T + 1 T cos k
+
e 1 T cos k
0.0248 y se define como la longitud de onda Compton para el

R
Donde e /y e
electrn. Al trmino de la ltima ecuacin se le llama corrimiento de onda
Compton y solo depende del ngulo de dispersin k y no de la longitud de onda
incidente. Este corrimiento varia desde cero, es decir cuando k 0 que significa
incidente regresa por la misma trayectoria por donde incide y para el cual k 180
que corresponde a un choque rasante hasta una colisin de frente donde el fotn
y 0.0498.
Los diferentes experimentos realizados por esa poca que fundamentan la

ecuacin obtenida se describen como:
En 1923 Compton confirmo estos resultados de forma experimental.

En 1923 Bothe y Wilson observaron el electrn en retroceso y mostraron
que el fotn dispersado y el electrn aparecan simultneamente.
Ejemplo:
10008, si la radiacin dispersada por los electrones se observa a un ngulo de

Calcule el corrimiento de la longitud de onda Compton para un haz de rayos de
k 90.
Utilizando la ecuacin 1 T cos k se tiene que:

Solucin:
e
6.63 10 5A H
1 T cos k 1 T cos 90
+ 9.11 10 5A G 3.0 10
2.43 10 >
0.0243 8
Observe que este resultado es independiente de la radiacin incidente.

Leccin 12: La naturaleza dual de la radiacin electromagntica
Existe la necesidad de interpretar la interaccin entre la radiacin y la materia

para un fotn; pero tambin es necesaria una teora ondulatoria para poder
comprender el fenmeno de interferencia y difraccin. Es por ello, que la radiacin
no debe entenderse solamente como un fenmeno ondulatorio, ni como un chorro
de partculas, esta tiene comportamiento ondulatorio en algunas circunstancias y
corpuscular en otras.
Compton preciso este fenmeno en la que:
La medicin de la longitud de los rayos x las mediciones se interpretan

mediante la teora ondulatoria de la difraccin.
Y las dispersiones afectan la longitud de onda de tal manera que slo se
explica si se tratan los rayos x como partculas.
Entonces, es necesario considerar la dualidad en la naturaleza onda-partcula de

la radiacin.
Leccin 13: Rayos X.
Los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm Roentgen, y como lo nombramos en

las lecciones 11 y 12, son radiaciones en el espectro electromagntico de muy
corta longitud de onda, estos son causados cuando electrones a altas velocidades
se frenan al chocar con un blanco de metal.
velocidad (presenta una energa cintica 7> inicial) es desacelerado mediante un

Observemos este fenmeno de ms cerca. Imaginemos que un electrn a alta
choque o colisin con un ncleo pesado, este choque hace que energa que
pierde el electrn (perdida de energa cintica) aparezca como en forma de
radiacin como un fotn de rayos X. Al colisionar el electrn interacta con el
Ahora considerando como 7 le energa cintica del electrn despus de chocar,

ncleo pesado mediante el campo de Coulomb y se transfiere impulso al ncleo.
por medio de la conservacin de energa se establece que la energa del fotn
$ 7> T 7
resultante es:

7> T 7
A partir de esta ecuacin se puede determinar que la longitud de onda mnima

/z{ a la cual se producen los fotones de rayos X es:
V
/z{
/z{
V
Esta ecuacin muestra que si 0 entonces /z{ 0, lo cual es lo que predijo la

fsica clsica. Esto demuestra que la existencia de una longitud de onda mnima
es un fenmeno cuntico. La produccin de fotones de rayos X da como resultado
un espectro continuo y se conoce como bremsstrahlung (es la radiacin
producida cuando un electrn energtico es desacelerado a medida que
interacciona con la materia para producir fotones), este proceso ocurre tambin
para los rayos csmicos, los grandes aceleradores, entre otros.
Ejemplo:
La longitud de onda mnima de rayos X producida por electrones de 40 V es

3.11 10 >> . A partir de ello, determinar la constante de Planck.
Solucin:
A partir de la ecuacin
/z{
V
se tiene que:
V /z{
Remplazando los valores se obtiene que:
1.6 10 >W
] 4.0 10A V 3.11 10 >>
6.64 10 5A
H
3.0 10
Leccin 14: Produccin y aniquilacin de pares
Adems de los efectos estudiados hasta el momento, existe otro fenmeno

mediante el cual los fotones pierden su energa e interactan con la materia, este
se llama produccin de pares. Este fenmeno convierte energa radiante en
consiste en que un fotn de alta energa pierde toda su energa ( $) al chocar con
energa de masa en reposo y cintica. El fenmeno de produccin de pares
ncleo, el producto de este choque genera un electrn y positrn (el par) y les
proporciona energa cintica. El positrn es una partcula que es idntica en
todas las propiedades a un electrn con excepcin de la carga (y en el momento
magntico) ya que su carga es positiva, es decir, un positrn es un electrn
cargado positivamente.
El fenmeno contrario al de produccin de pares se conoce como aniquilacin de

pares, este fenmeno consiste en que un electrn y positrn que se encuentran
inicialmente en reposo y muy cerca se unen y se aniquilan. El producto de esta
aniquilacin da como resultado la creacin dos fotones, estos fotones tienen como
caracterstica principal que son opuestos en su direccin pero iguales en
magnitud.
Ejercicios
1. Calcule la energa mnima necesaria para extraer un electrn de una

superficie metlica si se conoce que la frecuencia mnima de la luz a la
cual se empiezan a emitir electrones en la superficie del metal es de
4.39x1014/sg. Rta: 1.82eV
2. Calcule la longitud de onda de corte para la emisin fotoelctrica del sodio

si la energa necesaria para extraer un electrn del elemento es de 2.3eV.
Rta: 5394.3
3. Fotones de longitud de onda de 0,024 inciden sobre electrones libres. a)

encontrar la longitud de onda de un fotn que es dispersado a 30 grados de
la direccin incidente y b) calcule la energa cintica suministrada al
electrn en retroceso. Rta: a) 0.02721 , b)0.061 Mev.
4. Determinar el voltaje aplicado a un tubo de rayos x que dar un lmite de

1.0 a las longitudes de onda corta. Rta: 12450V
5. Calcule la mxima frecuencia de los rayos x producidos por electrones

acelerados a travs de una diferencia de potencial de 25.000V. Rta: 0.05nm
Capitulo 3. Postulado de Louis de Broglie y el modelo atmico de

Bohr
Leccin 15: Ondas de materia
Louis de Broglie en 1934 propuso que el comportamiento dual de la radiacin

(onda-partcula) debera aplicarse a la materia. l planteo que los aspectos
ondulatorios de la materia estn relacionados con los aspectos corpusculares en
la misma forma cuantitativa que la radiacin. Entonces, tanto para la materia
frecuencia $ de la onda asociada a su movimiento por medio de

como para la radiacin, le energa total de un ente se relaciona con la
Y el momento l del ente se relaciona con la longitud de onda de la onda

asociada por
l
conceptos corpusculares energa , y momento l, se relacionan con los

Entonces se puede observar que por medio de la constante de Planck los
fenmenos ondulatorios frecuencia $ y longitud de onda .
Ahora si se despeja de la ecuacin anterior se obtiene la relacin de de Broglie:
Lo cual indica que las partculas, como los electrones, pueden poseer
caractersticas ondulatorias.
Leccin 16: Dualidad onda partcula
En el siguiente apartado se proporciona una fuerte evidencia de que los

electrones presentan un carcter ondulatorio y corpuscular:
Un haz de electrones que poseen una energa cintica de 7 54 V produca un

aumento en la cantidad de electrones emitidos a un ngulo de _ 50. A partir de
esta informacin encontremos la longitud de onda de de Broglie:
y sabiendo que l }2 + 7, 7 54 V 54 1.6 10 H

R >W
|
Utilizando y
+ 9.11 10 5>
7 se tiene que:
6.63 10 5A
H
1.67 10>+
l }2 +7 } 2 9.11 10 5> G 54 1.6 10 >W H
Entonces, la longitud de onda de de Broglie asociada es:
18
1.67 10>+ 1.678
10 >+
Ahora, utilizando una onda difractada de primer orden (: 1) por los planos de
Bragg dentro de un cristal de nquel con una separacin entre planos de ! 0.918
y utilizando la relacin de Bragg : 2! sin ~ , con ~ 65 dar una longitud de
onda de:
2! sin ~ 2 0.918 sin 65 1.678
Es la longitud de onda difractada, este resultado proporciona la confirmacin

cuantitativa de la dualidad onda-partcula.
Existen diversos experimentos con los cuales se comprob la naturaleza

ondulatoria de las partculas (por ejemplo Johnson en 1931 demostr los efectos
de la difraccin de los haces de hidrgeno difractados por cristales).
Ya que la naturaleza ondulatoria no explicaba satisfactoriamente fenmenos como

el fotoelctrico, el Compton y el viaje a la velocidad de la luz de los electrones,
Bohr sugiri el principio de complementariedad para resolver esas contradicciones
de la onda-partcula. Este principio estableci que en un solo experimentos no es
posible que ni las ondas ni las partculas exhiban simultneamente sus
caractersticas ondulatorias y corpusculares, es decir, esto indica que si un
experimento prueba el carcter ondulatorio de la radiacin o la materia, entonces
va ser imposible probar la naturaleza corpuscular en el mismo experimento y
viceversa.
Leccin 17: Principio de incertidumbre
El alemn Werner Heisenberg en 1927 adiciono al fenmeno onda-partcula el

principio de incertidumbre o de indeterminacin, ste impone un lmite a la
determinacin en forma simultanea de variables como la posicin y la velocidad. El
de una componente del momento (por ejemplo l1 o l o l ) de una partcula y el

principio afirma que no es posible en forma simultanea determinar el valor exacto
valor exacto de su posicin ( o o \). La exactitud de la medicin estar limitada

por el proceso de medida en s, de tal forma que

l1 Z
2
Donde . Esto indica que la incertidumbre en una de las variables l1 o fija

R

un lmite a la exactitud de la medida de la otra.
Como se defini anterior mente la incertidumbre entre el momento y el

desplazamiento, tambin se puede definir la incertidumbre entre la energa y el
tiempo de la siguiente manera:

< Z
2
Ejemplo:
La incertidumbre en el momento de un electrn es de 2.7 10 5 G , Cual

es la exactitud con la cual se podra medir la posicin del electrn?
Solucin:
9.1 10 G , entonces de la ecuacin l Z

5>
La masa del electro es se
tiene que:
6.6 10 5A
H
Z 2 10 5
2l 4Fl 4F 2.7 10 5 G
Este resultado indica que podemos medir la posicin del electrn con una
exactitud aproximadamente de 0,2 cm que para este caso es 107 veces el
dimetro de un tomo.
Leccin 18: El modelo atmico de Thomson
Por el ao de 1898 experimentos como el efecto fotoelctrico, la dispersin de

rayos X, entre otros, evidenciaban que los tomos contenan electrones. Dichos
() y que es aproximadamente igual al peso atmico qumico del tomo

experimentos proporcionan una estimacin del nmero de electrones de un tomo

dividido entre dos, es decir, a . Ya que normalmente los tomos son neutros,
estos deben contener carga positiva en la misma cantidad de la carga negativa
que proporcionan los electrones. Thomson que descubri el electrn en esa
poca, propuso un modelo fsico para el tomo conocido como pastel de pasas,
el cual consista en que los electrones se encontraban localizados dentro de una
distribucin continua de carga positiva, como se aprecia en la figura 8:
Figura 8. Modelo atmico de Thomson.
un radio de orden de magnitud de 10 >+

La distribucin de carga positiva que planteaba Thomson tena forma esfrica con
(radio de un tomo) y dentro de l se
experimentos sobre la dispersin de partculas (que son un ncleo de Helio y

encontraban los electrones. Aos mas tarde, Ernest Rutherford al efectuar
consiste de dos protones y dos neutrones) por una delgada hoja de oro, mostro
que el modelo de Thomson era inadecuado. Rutherford demostr que la carga
positiva no se encontraba distribuida sobre todo el tomo (propuesta de
Thomson), sino que se encontraba distribuida en una regin muy pequea
denominada ncleo del tomo. Este descubrimiento fue uno de los desarrollos
ms relevantes de la fsica atmica y tambin fue el punto de partida del estudio
de la fsica nuclear.
Como se menciono en la leccin 18 el modelo propuesto por Rutherford expresa
con radio del orden de magnitud de 10 >A ) en el cual se encuentra toda la

que el tomo est constituido por un ncleo pequeo (ncleo de forma esfrica
carga positiva (y por ende la mayor parte de la masa), y por una nube de
electrones cargados negativamente que rodean al ncleo, tal como se aprecia en
es del orden de 10 >+

la figura 9. A partir del tamao del ncleo propuesto y del tamao del tomo que
se puede apreciar que la mayor parte del espacio dentro
del tomo se encuentra vaco.
Rutherford estudio el ngulo k de dispersin de las partculas y compar el

modelo de l con el de Thomson descubriendo que una partcula que penetre un
cada 105U++ partculas presentaban una deflexin de Z 90) debido a que el

tomo como el modelo de Thomson experimentaba pequeas deflexiones (una de
modelo propuesta por l, las partculas presentaban una desviacin mayor

campo elctrico dentro del tomo era muy dbil; mientras que si se utilizaba el
experimentales demostraron que una de cada 8000 partculas se desviaban a

debido a que el campo elctrico era mucho mayor en su modelo. Los resultados
graves de un ngulo de Z 90. Estos resultados concordaban con el modelo

propuesto por Rutherford y por ello provocaron su aceptacin.
Figura 9. Modelo atmico de Rutherford.

Luego, se demostr que el modelo propuesto por Rutherford afectaba la

estabilidad del tomo, y se empezaron a surgir dudas como por ejemplo: si se
considera el modelo como esttico (es decir, todos los electrones que rodean al
ncleo estn estacionarios) estos se vern atrados hacia el ncleo debido a la
fuerza de Coulomb entre el ncleo y los electrones y pronto sufrir un colapso,
volviendo a caer en el modelo de Thomson; Ahora si se considera dinmico, los
electrones giran alrededor del ncleo lo cual mecnicamente es estable, pero a el
problema es que: como los electrones cargados se encuentran acelerados en su
movimiento alrededor del ncleo y como todo cuerpo cargado acelerado radia
energa (en forma de radiacin electromagntica), los electrones nuevamente van
a caer hacia al ncleo, debido a la perdida de energa.
El problema de la estabilidad de los tomos fue resuelto por el modelo del tomo
propuesto por Niels Bohr en 1913. Antes de conocer este modelo es importante
estudiar primero los espectros atmicos.
Leccin 20: Espectros atmicos
La luz procedente de una descarga elctrica que se hace pasar a travs de una
regin que contiene un gas monoatmico exhibe una serie de lneas cuando es
analiza por medio de un espectrmetro de prisma. Estas lneas caractersticas del
gas utilizado se conocen como espectro de lneas o espectro atmico. En la
descarga elctrica que se le realiza al gas, algunos de los tomos del gas quedan
en un estado de energa mayor que el normal y al regresar al estado de energa
normal producen la liberacin de energa en forma de radiacin electromagntica,
y es sta radiacin que al estudiarla por medio del instrumento anteriormente
nombrado genera el espectro atmico.
El espectro de hidrogeno es el mas sencillo de estudiar, ya que el tomo solo

presenta un electrn. La frmula emprica que representa la longitud de onda del
espectro de lneas fue descubierta por Balmer y esta dada por:
:
3646
: T4
donde : 3 para [ , : 4 para [ , etc.

En 1890 Rydberg encontr la frmula emprica de la cual se puede determinar las

longitudes de onda de la serie de Balmer, la cual fue:
1 1 1
' T =: : 2, 4, 5,
2 :
Donde ' 10967757,6 y se conoce como la constante de Rydeberg para el

hidrgeno. La tabla 1 muestra las series espectrales encontradas para el
hidrgeno en las regiones ultravioleta e infrarroja.
Tabla 1. Series espectrales para el Hidrgeno.
( ), (8)
Nombre de la serie Regin Ecuacin de la Lmite de la serie
1 1 1
(ao) espectral serie
' T
1 :
Lyman (1906) Ultravioleta 911.27
: 2, 3, 4, 5, 6,
1 1 1
' T
2 :
Balmer(1885) Visible 3645.1
: 3, 4, 5, 6,
1 1 1
' T
3 :
Paschen (1908) Infrarrojo 8201.4
: 4, 5, 6,
1 1 1
' T
4 :
Brackett (1922) Infrarrojo 14580
: 5, 6, 7,
1 1 1
' T
5 :
Pfund (1924) Infrarrojo 22.782
: 6, 7, 8,
Como se nombro en la leccin 20, el problema de la estabilidad de los tomos

presentado por el modelo atmico de Rutherford fue resuelto por Bohr. Para
corregir las fallas del modelo planetario del tomo propuesto por Rutherford, Bohr
baso su nuevo modelo atmico en los siguientes postulados:
Un electrn en un tomo gira alrededor del ncleo con movimiento circular,

debido a la atraccin de Coulomb presente entre el electrn y el ncleo y en
acuerdo con las leyes de fsica clsica.

angular , es mltiplo entero de 2F. Los momentos angulares de las
Un electrn solo se puede mover en una orbita para la cual el momento
orbitas permitidas estn dados por:
: E : con : 1, 2, 3, 4,
R

Si un electrn se encuentra en una rbita permitida, el tomo no radiar

energa electromagntica.

( z a ), se emite radiacin
Si existe un salto de un electrn que se encuentra en un orbital de energa
z a un orbital de energa inferior
electromagntica. La frecuencia del fotn emitido ser:
T
$
z
Ahora, a partir de estos postulados vamos a derivar algunas expresiones que nos
demostrarn que los radios de los orbitales, la velocidad orbital de un electrn y la
energa estn cuantizada.
De la segunda ley de Newton que expresa que la x ; se tiene que:
La atraccin de Coulomb entre el ncleo y el electrn proporcionan que
1
x
4F+
donde es el radio de la rbita, y es nmero atmico (nmero de electrones de

un tomo). Ahora, ya que el movimiento es circular la aceleracin esta dada por la
E
aceleracin centrpeta:
; ;
donde E es la velocidad del electrn en la rbita. Aplicando estos resultados a la
x ;
ley de newton
1 E
se tiene que:
4F+
Ahora, considerando el postulado que expresa que el momento angular se

: E se tiene que E
{
/
encuentra cuantizado y remplazando este
valor en la ecuacin anterior se tiene que:
:
1 :
4F+
1 :
Y simplificando se tiene:
4F+
:
Despejando para r se tiene:
4F+

Con : 1, 2, 3, 4, que es el nmero cuntico. Esto des muestra que el radio

orbital se encuentra cuantizado.
1 E
Ahora de la Ecuacin
4F+
1
se tiene que:
E
4F+
Y tomando el resultado de se tiene que la anterior expresin es:
1
E
4F+ :
4F+

Resolviendo
1 A
E
16F + :
Despejando para E se obtiene la expresin que indica que la velocidad orbital del
electrn se encuentra cuantizada:
1
E
4F+ :
Con : 1, 2, 3, 4, que es el nmero cuntico.
7
La energa total del electrn esta dada por la suma de la energa cintica ms la
potencial, es decir, , donde:
hata y considerando que la energa potencial

La energa potencial se calcula integrando el trabajo que hace la fuerza de
Coulomb que acta desde
cuando el electrn esta en el infinito es cero se tiene:
*
1 1
) ! T

4F+ 4F+
Y la energa cintica se encuentra despejando primero a E de la ecuacin:

1 E
4F+
1
y remplazndola en
7 E
2
1
se obtiene que:
7
8F+
Entonces la energa total del sistema
7
Esta dada por:
1 1 1
T T
8F+ 4F+ 8F+
Y remplazando el valor del radio orbital cuantizado obtenido anteriormente se
A 1
tiene:
T
4F+ 2 :
Con : 1, 2, 3, 4, que es el nmero cuntico.
Entonces se puede observar que el postulado de la cuantizacin del momento

angular orbital tiene como consecuencia la cuantizacin de la energa, es decir,
que la energa solo puede tomar valor discretos dados por el nmero cuntico o
expresado de otra forma el modelo de Bohr restringe los valores que puede tener
la energa del tomo, tal y como se ha deducido en la ltima ecuacin presentada.
Figura 10. Diagrama de niveles de energa para el tomo de hidrgeno.
La cuantizacin de la energa se puede observar en la figura 10, que muestra los

niveles de energa para el tomo de hidrgeno, donde en la parte derecha se
muestra el nmero cuntico del nivel y en la parte izquierda estn los niveles de
energa en forma cuantizada. Observe que el estado mas estable para el electrn
es cuando el estado de energa es la mnima y ocurre cuando el electrn se
encuentra en : 1. Tambin, se observa que a medida que se aumenta en el

nmero cuntico, es decir, : la energa total se acerca a cero.
Ahora, cuando el electrn se mueve desde un estado cuntico :z a un estado

cuntico : la frecuencia de radiacin electromagntica emitida estar dada por:
T T 1 A 1 1
$ T
z z
2F 4+ 4F5 : :z
Y ya que
$
O de otra forma
1 $
Entonces, en trminos de la longitud de onda, se puede rescribir:
1 1 A
1 1
T
4F+ 4F 5 : :z
Ahora, podemos expresar esta ecuacin como
1 1 1
'* T
: :z
1
donde
A
'*
4F+ 4F5
Y nf y ni son siempre enteros. Observe que '* es el valor terico de la constante

de Rydberg y remplazando o evaluando los valore numricos Bohr encontr que
'* 1.0974 10
el valor es de:
>
Y concordaba con el valor experimental de ' dado en la leccin 20.
El modelo descrito anteriormente se conoce como la fsica cuntica antigua, el

cual presentaba algunas limitaciones como por ejemplo:
El modelo de Bohr solo tiene xito para tomos monoelectrnicos, ya que

al aplicarla tomos con dos o ms electrones la teora predice resultados
errneos. En los espectros realizados para otros tomos se observaba que
electrones de un mismo nivel energtico tenan distinta energa, lo cual
predeca que haban errores en el modelo.
La teora predice o establece la manera de calcular las energas de los
estados permitidos y lasa frecuencias de los fotones emitidos o absorbidos
cuando el sistema sufre transiciones entre estados permitidos, pero no
establece la forma de calcular las velocidades de dichas transiciones.
Los postulados de Bohr eran una mezcla de la mecnica clsica con la
cuntica lo cual los hacen incoherentes. Adems, el segundo postulado es
bastante arbitrario ya que la nica forma de deducir la constante de
Rydberg era introduciendo.
El modelo de Bohr fue refinado por Schrdinger quien describi un modelo

atmico que abarca no solo el tomo de hidrgeno sino muchos ms tomos. A
partir de este nuevo modelo se le llama la fsica cuntica moderna, la cual se
estudiar en la Unidad 2.
Leccin 22: El principio de correspondencia
Este principio fue enunciado por Bohr el cual dice:
En el lmite cuando los estados cunticos se hacen muy grandes el

comportamiento de la fsica cuntica de cualquier sistema fsico debe
corresponder a la fsica clsica.
Esto indica que la teora cuntica debe corresponder con la teora clsica en el
lmite en el cual todo sistema fsico se comporta clsicamente.
Ejercicios
1. Calcule la longitud de onda de de Broglie para un electrn si su energa

cintica es de 120eV. Rta: 1.1x10-10m
2. Calcule el momento de un electrn que tiene una longitud de onda de 2.0 .

Rta: 3.3x10-24 kg m/s
3. Un electrn que se mueve en lnea recta tiene una incertidumbre en la

posicin de 10 , calcule la incertidumbre en su momento. Rta: 5.25x10-26
kg m/s.
4. A partir de la deduccin planteada por el modelo de Bohr para la energa,

calcule la energa de enlace del tomo de hidrgeno, es decir, la energa
que liga al electrn con el ncleo. Recuerde que la energa de enlace es la
energa del estado ms bajo que corresponde a n=1 y utilice Z=1. Rta: -
13.6eV.
5. Un electrn que se mueve en lnea recta tiene una incertidumbre en su

momento de 1.05x10-25, calcule la incertidumbre en su posicin. Rta: 5.0 .
Problemas para la autoevaluacin unidad 1.
1. Determine la temperatura de la superficie de una estrella, si se sabe que las
mxima de 7100 8. Adems calcule la energa irradiada de la estrella (cuerpo

estrella se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda
negro) por 1 de superficie.
2. a que longitud de onda, una cavidad a 8000K ra diar mas por unidad de
longitud de onda?
3. Calcular le energa en eV de los fotones correspondientes a la luz de 850nm.
4. Si la funcin de trabajo para un material es 4.3 eV. Calcule la energa cintica

mxima de los electrones expulsados de la superficie pulida del material por la
lnea ultravioleta de 25378 del material. Calcule el potencial de frenado.
5. Utilizando el postulado de de Broglie, calcule la longitud de onda para los

siguientes casos:
a) Una pelota de masa 1.5 kg que se mueve con una rapidez de v= 30 m/s
b)Un electrn que tiene una energa cintica de 98 eV.
Compare los resultados.
6. Determine el momento y la energa para un fotn de rayos X que tiene una

longitud de onda de 1 . Rta: 6.6x10-24 kg m /s, 1.24 x 104eV
7. A partir de la ecuacin v d d y sabiendo que c

>
muestre el procedimiento para llegar a d d.

>
>
Adems, utilice esta ltima expresin para derivar ley de Sfefan-Boltzmann y
la ley de Wien.
UNIDAD 2
Nombre de la Unidad ECUACIN DE SCHRDINGER

Introduccin En esta unidad se desarrollarn algunos conceptos
fundamentes correspondientes a la fsica cuntica
moderna. Se empezar desarrollando la ecuacin de
Schrdinger independiente del tiempo en una
dimensin y estacionaria para finalmente concluir
con la ecuacin tridimensional e independiente del
tiempo. En el desarrollo de esta unidad se citaran
algunos ejemplos de potenciales que servirn para la
compresin del tema.
Justificacin Esta unidad proporciona al estudiante desarrollar
habilidades en el tratamiento de la fsica cuntica.
Intencionalidades Que el estudiante pueda comprender y entender el
Formativas comportamiento del model atmico de Schrdinger.
Denominacin de Capitulo 4. La Ecuacin de Schrdinger I
captulos Captulo 5. La Ecuacin de Schrdinger II
Capitulo 6. Algunas aplicaciones de la Ecuacin de
Schrdinger
UNIDAD 2. ECUACIN DE SCHRDINGER
2.1 Capitulo 4: La Ecuacin de Schrdinger I
Leccin 23: Introduccin a la Ecuacin de Schrdinger.

Leccin 24: Deduccin de la Ecuacin de Schrdinger.
Leccin 25: Densidad de Probabilidad.
Leccin 26: La ecuacin de Schrdinger independiente del
tiempo.
Leccin 27: Cuantizacin de la Energa en la teora de
Schrdinger.
2.2 Captulo 5: La Ecuacin de Schrdinger II

Leccin 30: El potencial cero.

Leccin 32: La barrera de potencial.
2.3 Capitulo 6: Algunas aplicaciones de la Ecuacin de

Schrdinger
Leccin 33: Potencial de pozo cuadrado.

Leccin 34: Potencial de pozo cuadrado infinito.
Leccin 35: El potencial del oscilador armnico simple.
Leccin 36: tomos con un electrn.
Leccin 38: Separacin de variables para la ecuacin de
Schrdinger tridimensional y estacionaria.
Leccin 39: Solucin de las ecuaciones (azimutal, polar y
radial, para tomos con un solo electrn)
INTRODUCCIN
En esta Unidad se desarrollarn los conceptos fundamentales de la fsica cuntica
que permiten entender el comportamiento de los sistemas fsicos a nivel
microscpico. Para ello se desarrollar la Ecuacin de Schrdinger cuya solucin
describe el comportamiento del sistema, tambin se desarrollan ejemplos que a
medida que incursionamos en esta unidad pasarn de los ms bsicos hasta
entrar a ejemplos que describen conceptos un poco ms complejos, pero cuya
nica finalidad es entender el funcionamiento de las partculas.
Capitulo 4. Ecuacin de Schrdinger I
Leccin 23: Introduccin a la Ecuacin de Schrdinger
En la unidad anterior se estudiaron varios fenmenos que demostraron que los

sistemas microscpicos presentan comportamiento como onda en ciertos
aspectos y como partcula en otros (Dualidad onda-partcula). En ella, se
estudiaron casos o modelos atmicos que solo abarcaban el tomo de hidrgeno,
es decir tomos monoelectrnicos, pero surge la pregunta estos modelos (en
especial el de Bohr) funciona para tomos diferentes al de hidrgeno o para
tomos que no sean monoelectrnicos?, la respuesta es no. Es por ello que
existi la necesidad de encontrar un modelo ms general para describir el
comportamiento de las partculas de cualquier sistema microscpico. En el ao de
1926 Erwing Schrdinger desarrollo una teora que es una extensin de algunos
postulados visto en la unidad anterior, conocida como la teora de Schrdinger de
la fsica cuntica que proporcion describir el comportamiento de las partculas de
cualquier sistema microscpico. Schrdinger utiliz para su planteamiento la
ecuacin que rige el comportamiento de la funcin de onda para cada sistema y
especific la conexin que hay entre el comportamiento de la funcin de onda y
el comportamiento de la partcula.
Ante de deducir la ecuacin de Schrdinger se nombrar cuatro suposiciones

claves que se deben cumplir, concernientes a las propiedades que debe tener la
Ecuacin de Schrdinger, que rige el comportamiento de las partculas de un
sistema microscpico:
1. Debe coincidir con los postulados de de Broglie y Einstein, es decir:
l y $
2. Debe coincidir con la energa total de una partcula de masa m, es decir la
l 2 V
ecuacin:
El trmino l 2 es la energa cintica y V es la energa potencial.
onda , < y que depende del tiempo y del espacio debe ser lineal. Esto
3. La solucin de la ecuacin de Schrdinger que se denota por la funcin de
implica, que si existen dos o mas soluciones diferentes de la ecuacin de

Schrdinger, una combinacin de ellas tambin es solucin de la ecuacin, es

decir:
> , < , , < , 5 , < , , { , <

Si las funciones
Son soluciones de la ecuacin de Schrdinger, entonces, la combinacin

lineal:
, < > > , < , < 5 5 , < { { , <
Es tambin solucin de la ecuacin de Schrdinger.
4. La energa potencial V es una funcin del espacio y el tiempo, que se

considerar como constante, que es el caso de una partcula libre.
V , < V+
Una vez trados a colacin las cuatro suposiciones anteriores, es necesario que
recordemos algunas cantidades complejas que sern de gran ayuda en la
deduccin y posterior solucin de la Ecuacin de Schrdinger:
El nmero imaginario v se define como:
v T1 o v T1
v T Tv
De aqu que:
> >
z z
o
En general un nmero complejo por ejemplo \ se escribe de la siguiente manera:
\ ; v2
Donde ; y 2 son nmeros reales. Al nmero ; se le llama parte real de \ y al

nmero 2 se le llama parte imaginaria de \.
El complejo conjugado del nmero \ ; v2 se denota por \ y estar dado
\ ; T v2
por:
A partir de esta definicin se puede obtener el producto \ \ que es:
\ \ ; T v2 ; v2 ; v;2 T v;2 T v 2 ; Tv 2
Y ya que v T1 se tiene que:
\\ ; 2
Eso indica que el producto de un nmero complejo por su complejo conjugado

siempre da un nmero real.
Otra cantidad necesaria que se utilizar en nuestros procedimientos es el

exponencial complejo que esta dado por:
z
= k v v: k
Y su negativo como
z
= k T v v: k
Al igual como se defini el exponencial complejo, podemos definir el coseno y

seno de un ngulo en trminos de estos exponenciales complejos as:
z z
= k
2
T
Y
z z
v: k
2v
Leccin 24: Deduccin de la Ecuacin de Schrdinger
de cursos anteriores que el nmero de onda k se define por:

Para deducir la ecuacin de onda vamos primero introduciremos o recordaremos
G 2F
Y la frecuencia angular de una onda por:
2F$
Ahora empecemos a deducir la ecuacin de Schrdinger.
Remplazando la suposicin 1 que es:
l y $
En la suposicin 2 que era:

l 2 V
Se tiene que:
$ 2 V , <
Ahora, multiplicando y dividiendo el trmino de la izquierda por 2 y el primer

trmino de la derecha por 4 , se tiene que la expresin anterior es:
2F 4F
$ V , <
2F 2 4F
Utilizando la frecuencia angular y el nmero de onda definido anteriormente la

expresin anterior es:
G
V , <
2F 2 4F
Y ahora ya que

2F
G
Obtenemos que:
V , <
2
G
o
V , <
2
Ahora, haciendo uso de la 3 y 4 suposicin, vamos a introducir la siguiente
ecuacin diferencial, que debe cumplir con las suposiciones nombradas:
, < , <
V , < , <
<
Donde las constantes y se determinarn. Recordemos que la solucin de esta
ecuacin diferencial es la funcin de onda , < y esta debe cumplir con las
suposiciones anteriores. Ahora, la funcin de onda o solucin de la ecuacin
diferencial que cumple con las suposiciones esta dada por:
, < cos G T < r sin G T <
Donde r es otra constante a determinar. Ahora, vamos a derivar parcialmente

esta funcin cuantas veces sea necesario y los resultados los remplazaremos en
la ecuacin diferencial, as:
, <
TG sin G T < Gr cos G T <

, <
TG cos G T < T G r sin G T <

, <
sin G T < T r cos G T <
<
Ahora remplazando, recordando que V , < V+ se tiene:
, < , <
V+ , <
<
TG cos G T < T G r sin G T < " V+ cos G T < r sin G T < "
sin G T < T r cos G T < "
Ahora resolviendo los corchetes:
TG cos G T < T G r sin G T < V+ cos G T < V+ r sin G T <

sin G T < T r cos G T <
Agrupando trminos semejantes:
TG V+ r" cos G T < TG r V+ r T " sin G T < 0
Ahora como la ecuacin debe cumplirse se tiene:
TG V+ r" 0
TG V+ Tr
de lo cual:
TG r V+ r T " 0
Y
TG r V+ r
de lo cual:
TG V+
r
Restando estas dos ecuaciones tenemos:

S y

S y

+

1
Por lo tanto
r T
r
r T1
O
r T1 v
Y de aqu que:
Remplazando este resultado en:
TG V+ Tr
TG V+ v
Se tiene:
Comparando este resultado directamente con
G
V , <
2

Se deduce que:
T
2
v
Y
Utilizando las propiedades del imaginario y utilizando solo la parte positiva
Una vez encontradas todas nuestras constantes, las remplazamos en nuestra

ecuacin diferencial
, < , <
V , < , <
<
para obtener finalmente la ecuacin:
, < , <
T V , < , < v
2 <
Que es la ecuacin diferencial que satisface las suposiciones nombradas en el

captulo anterior, y se conoce como la ECUACIN DE SCHRDINGER.
Leccin 25: Densidad de Probabilidad
La densidad de probabilidad especifica la probabilidad de encontrar una partcula

en una cierta regin en el eje x al tiempo t. Recordemos que el principio de
incertidumbre establece que no es posible conocer la ubicacin de una partcula
con exactitud y su momento, de aqu, que la densidad de probabilidad es una
medida estadstica. Esta densidad esta dada por
, < , < , <
Donde el asterisco que aparece en la funcin es el complejo conjugado, que se

obtiene de la misma forma como se expreso en las cantidades complejas
estudiadas anteriormente.
Ejemplo:
Encontrar la densidad de probabilidad de la funcin de onda

, < / 1 z }//
, que representa la funcin de estado de
menor energa de un oscilador armnico simple, que tiene masa m y que es
actuado por una fuerza de restitucin C lineal y constante. Para el punto de
V , < V ] 2.
equilibrio del oscilador la energa potencial independiente del tiempo esta dada por
Solucin:
Como tenemos que evaluar la expresin para la densidad es necesario encontrar

el conjugado de la funcin que esta dado por:

z
, <

/ 1 /
Entonces la densidad de probabilidad esta dada por:

z z
, < , < , <

/ 1 /
/ 1 /

, < / 1
Entonces, observe que en el resultado del ejemplo la densidad de probabilidad es

independiente del tiempo.
A partir de la densidad de probabilidad, se define la probabilidad total de encontrar

una partcula en toda la regin. Ahora, suponemos que la partcula se encuentra
en algn lugar desde - hasta +, entonces la probabilidad de encontrar la
partcula en toda la regin es de 1 y estar dada por la ecuacin:
* *
) , < ! ) , < , < ! 1
* *
Ejemplo:
Encontrar la variable del ejemplo anterior utilizando el concepto de probabilidad

total. Cabe resaltar que al hecho de encontrar la constante se conoce como
normalizar la funcin de onda.
, <
Ya que:
/ 1
Entonces tenemos que la probabilidad total es:

* *
) , < ! ) /1
! 1
* *
Como A es una constante tenemos que:

*
) /1
! 1
*
Entonces para encontrar la integral que aparece es necesario que recordemos

algunos conceptos tiles para poder afrontarla:
Funcin simtrica: una funcin es simtrica respecto al eje y si la funcin es par,

es decir si se cumple que:
Para nuestro ejemplo se puede apreciar que la funcin / 1

es par y la
grfica de esta se muestra en la figura 11.
Figura 11. Simetra de la funcin de probabilidad.
A partir de esta simetra podemos expresar nuestra integral como:

* *
) /1
! 2 ) /1
! 1
* +
Ahora, recordando de nuestro curso de clculo integral que:

*
1 F
) 0
!
+ 2 ;
Se tiene que:
*
1 F
2 ) /1
! 2 1
+ 2 ]
Por lo tanto se obtiene que:
] >

F >A
Entonces, nuestra funcin normalizada esta dada por:
] >
, < / 1 z }//
F >A
Leccin 26: La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo
Para deducir la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo vamos a partir

de la ecuacin dependiente del tiempo:
, < , <
T V , < , < v
2 <
y vamos a encontrar una funcin que sea solucin de esta ecuacin y que sea de
, < ~ <
la forma:
Podemos observar que va ser una funcin de onda compuesta por dos funciones
una que sea dependiente del espacio y otra que sea dependiente del tiempo. Para
dicho fin, vamos a considerar que la energa potencial de una partcula no
dependa del tiempo y por lo tanto vamos a tener:
V , < V
Partamos de la funcin solucin y remplacemos la solucin planteada en ella, as:
~ < ~ <
T V ~ < v
2 <
Ahora, encontremos algunas derivadas necesarias:
, < ~ <
~ <
~ <

~ < ~ <

< <
Y ya que la funciones solo dependen de la variable independiente podemos hacer:
~ < !
~ <
!
~ < !~ <

< !<
Ahora remplazando estos ltimos valores en la ecuacin:
~ < ~ <
T V ~ < v
2 <
Tenemos que:
! !~ <
T ~ < V ~ < v
2 ! !<
Ahora dividiendo el resultado anterior entre ~ <
T ~ < V ~ < v
> 1 > >
1 / 1 1 1
Tenemos que:
1 ! v !~ <
T V
2 ! ~ < !<
Hemos llegado a una ecuacin diferencial independiente del tiempo en el lado

izquierdo de la igual y en lado derecho tenemos una ecuacin diferencial
independiente del espacio. Ahora vamos a separar estas dos ecuaciones y las
vamos igualar cada una a un valor comn:
1 !
T V
2 !
v !~ <
Y

~ < !<
Esta ltima ecuacin es una ecuacin diferencial de variables separables de

grado 1 y la podemos resolver haciendo uso de nuestro curso de Ecuaciones
Diferenciales as:
v !~ <

~ < !<
Separando las variables tenemos:
!~ < v
T !<
~ <
Ahora para solucionar integramos a ambos lados:

!~ < v
) )T !<
~ <
v
ln ~ < T <

Aplicando Euler a cada lado de nuestra igualdad tenemos y la propiedad

:
z

~ <
Entonces, la solucin a la ecuacin diferencial es la anterior expresin y haciendo

uso de las cantidades complejas estudiadas en las lecciones anteriores la
podemos rescribir como:
z

~ < cos < T v sin <
Podemos mirar que esta funcin es oscilante en el tiempo cuya frecuencia es
Y ya recordando de los postulados de de Broglie que la frecuencia es:
$
Tenemos que
De lo que se tiene el valor de nuestra constante:
Y ahora remplazando este valor en la ecuacin diferencial:

1 !
T V
2 !
!
Se tiene que:
T V
2 !
Que se conoce como LA ECUACIN DE SCHRDINGER INDEPENDIENTE DEL

TIEMPO.
Recordemos que nuestra solucin planteada de la ecuacin de Schrdinger

dependiente del tiempo queda como:
z
, < ~ <

Leccin 27: Cuantizacin de la Energa en la teora de Schrdinger
En los captulos siguientes se demostrar que para una partcula que es actuada
por un potencial que es independiente del tiempo, la solucin de la ecuacin de
Schrdinger independiente del tiempo tiene soluciones si solamente la energa de
la partcula se encuentra cuantizada, esto es, que la energa pueda tomar valores
independiente del tiempo > , , 5 , , { y para cada funcin habr

E1, E2, E3,, En y a cada valor de la energa le corresponder una solucin
una funcin de onda correspondiente > , , 5 , , { .

Ejercicios
1. Si se conoce que las funciones de onda > , < , , < , 5 , < son
V , < , compruebe que una combinacin lineal de la forma , <

soluciones de la ecuacin de Schrdinger para un potencial particular
c> > , < c , < c5 5 , < es tambin solucin de la ecuacin de

Schrdinger.
2. Utilice la condicin de normalizacin para encontrar el valor de la constante

B si la funcin de onda sin
{1 zy

se define en el intervalo
0 .
en la regin de 0 4 para n=0, 2, 4, 6, 8,

3. Para el ejercicio anterior determine la probabilidad de encontrar la partcula
Captulo 5. La ecuacin de Schrdinger II
Ahora podemos representar la energa del sistema haciendo uso del Hamiltoniano
o tambin conocido como el operador de energa, entonces, se puede expresar la
energa (E) como:
[ l, l 2 V
Donde [ l, se conoce como el Hamiltoniano.
Esta funcin nos servir para escribir la ecuacin de Schrdinger de forma

abreviada, para ello es necesario establecer algunos operadores.
Operadores: un operador es una expresin que como su nombre lo indica opera

sobre una funcin, por ejemplo podemos considerar el nmero 5 como operador,
puesto que ste puede operar como multiplicador a una funcin cualquiera
haciendo que los valores del dominio de la funcin sean 5 veces ese valor en el
rango.
Vamos a definir algunos operadores, por ejemplo, consideremos la ecuacin de

Schrdinger independiente del tiempo:
!
T V
2 !
Esta la podemos escribir como:
!
T V
2 !
Y a la expresin entre parntesis se le llama el operador Hamiltoniano y se denota
!
como:
|H T V
2 !
Entonces podemos utilizar ste operador para abreviar la ecuacin de Schrdinger

independiente del tiempo como:
|H
Cabe destacar que no debemos cancelar la funcin de nuestra funcin,

puesto que el operador Hamiltoniano no es un multiplicador escalar simple, esta
se debe leer como:
el operador |H que actua sobre la funcin Energa total que multiplica a
No solamente podemos definir ese operador, sino que va de ser gran utilidad
definir otros operadores como los siguientes:

El operador momento esta dado por:
|P Tv

El operador energa como:

|E v
<
Utilizando los anteriores operadores ahora podemos escribir la ecuacin de

Schrdinger dependiente del tiempo
, < , <
T V , < , < v
2 <
Como
|[ , < | , <
Recuerden que no podemos cancelar la funcin, puesto que estamos utilizando

operadores y no simples multiplicadores.
Hasta el momento hemos mirado que la densidad de probabilidad nos permite

conocer la posicin y el momento ms probables de una partcula en un tiempo
dado. Ahora vamos a calcular valores probables de otras cantidades dinmicas

observables con las que a menudo nos enfrentamos.
Para calcular los valores esperados de cualquier funcin o cantidad dinmica

utilizamos la siguiente formula siempre:
*
, l, < , l, < ) , < | , l, < , < !
*
Donde | , l, < es una cantidad dinmica u operador arbitrario que puede

depender del espacio, momento o tiempo.
Miremos algunos ejemplos del valor promedio o esperado de algunas funciones:
El valor esperado de la posicin de una partcula esta dado por:
*
) , < , < !
*
Y se define como el promedio de los valores observados para especificar la

posicin de una partcula asociada con la funcin de onda.
El valor esperado del momento de una partcula esta dado por:
* *

l ) , < |P , < !

) , < Tv , < !
* *
*
, <
l Tv ) , < !
*
El valor esperado de la energa la podemos escribir como:

* *

) , < |E , < ! ) , < v , < !
* * <
*
, <
v ) , < !
*
O en trminos del momento y el potencial como:

* *

) , < |[ , < ! ) , < T V , < !
* * 2
Y finalmente el valor esperado de la energa potencial la podemos expresar como:

*
V , ) V , , < , < !
*
Ya que el potencial es una cantidad algebraica.
Analicemos el siguiente ejemplo donde se verificar que la energa cintica se

encuentra cuantizada.
Ejemplo:
Una partcula se encuentra encerrada en una caja de longitud L, calcular el valor

esperado de su energa cintica K si su funcin de onda es:
2 :F
{ v sin

Solucin:
Ya que la energa cintica de la partcula la podemos escribir en funcin del

momento tenemos que:
l
7
2
Entonces el valor esperado de la energa cintica es:

l2
7 )
!
+ 2
Ahora analicemos que el factor 2m lo podemos sacar de nuestra integral

quedando:
1
7 ) { l2 { !
2 +
Y sabemos que el memento tiene expresado como operador es:

|P Tv

Pero como lo tenemos elevada al cuadrado se tiene:

|P Tv T

Por lo tanto remplazando este ltimo se obtiene:
1

7 ) { T { !
2 +

7 T ) { { !
2 +
Ahora encontremos el complejo conjugado de la funcin que es:
2 :F
{ Tv sin

Remplazado finalmente el complejo conjugado de la funcin y la funcin se tiene:

2 :F 2 :F
7 T ) Tv sin v sin !
2 +
Derivando la funcin
2 :F 2 : F :F
v sin Tv sin

Remplazando

2 :F 2 : F :F
7 T ) Tv sin Tv sin !
2 +
Y operando tenemos:
: F :F
7 ) sin !
5
+
e integrando:
: F 1 :F
7 T sin
5 2 4:F +
Y finalmente evaluando se tiene que:
: F 1
7
5 2
Por lo tanto el valor esperado de la energa cintica es de:
: F
7
2
Se puede apreciar que la energa cintica depende de n y que solo puede tomar
valores de n=1,2,3,4, por lo tanto se observa que la energa cintica se
encuentra cuantizada en valores discretos.
Para finalizar este captulo vamos a estudiar el comportamiento de sistemas

microscpicos, considerando potenciales de forma sencilla cuya caracterstica
principal es que no pueden ligar a una partcula, estos servirn como introduccin
a los potenciales enlazantes.
Leccin 30: El potencial cero
Vamos a considerar el caso ms elemental de la ecuacin de Schrdinger

independiente del tiempo, y es para cual la partcula se mueve libremente, es
decir, que la fuerza que acta sobre ella es cero. Entonces, encontraremos el
comportamiento de la partcula libre predicha por la fsica cuntica, para ello es
necesario resolver la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo haciendo
el potencial como cero.
Consideremos la ecuacin haciendo V 0
!
T
2 !
Cuya solucin esta dada por la combinacin lineal:
A zS1
zS1
Donde
2
G

y las constantes arbitrarias A y B. Analicemos con ms detalle este resultado. La

combinacin lineal presenta dos casos, uno para el cual el exponentes es positivo,
lo que indica que la onda viaja en la direccin en que x crece y el segundo es para
el cul el exponente es negativo que indicara que la onda viaja en el sentido en
que x decrece. Entonces, para el caso en que la onda viaja en direccin en la que
crece x, se tiene que la funcin es:
A zS1
Y la respectiva funcin de onda ser:
z
, < ~ <

A vG z
A v GT
Lo cual nos indicar que si un la partcula tiene o presenta movimiento dado por
las ecuaciones anteriores, entonces, esa partcula viajar en la que x crece.
Calculemos el valor esperado de la partcula:
*
l ) , < |P , < ! 2
*
Este resultado es el valor esperado del momento de una partcula cuyo

movimiento es en la direccin en que x crece con energa total E en una regin
donde la energa potencial es cero.
Para el segundo caso en el cul el exponente es negativo que indicara que la

onda viaja en el sentido en que x decrece se tiene que:
A zS1
Y la respectiva funcin de onda ser:
z
, < ~ <

A TvG z
A v TGT
Y obteniendo el valor esperado del momento de la partcula se tiene:
*
l ) , < |P , < ! T2
*
Lo cual indica el movimiento de la partcula que se dirige en la direccin en que x

decrece. Recuerde que los resultados anteriores son los valores del momento
esperado de la partcula y tenga claro que la posicin exacta se desconoce.
Vamos a considerar dos casos para este tipo de potencial. Observe la figura 12.
la cual nos permitir apreciar el potencial escaln (figura (a)) y los dos casos a
tratar (figuras (b) y (c)).
En ella se observa que se tratarn casos en los cuales la energa potencial

presenta o tiene valores distintos para los diferentes intervalos de x. En la
naturaleza no existen este tipo de potenciales, pero son muy tiles puesto que
muchos fenmenos naturales se pueden idealizar de esta forma para ser
tratados. La parte (a) de la figura 12 describe el potencial de una partcula que a
medida que se aproxima a la posicin x=0 el potencial cambia de cero a un
potencial V0 de una forma abrupta, ms adelante miraremos que esta clase de
potenciales son muy parecidos a la energa potencial de un electrn que se
encuentra cerca de la superficie de un metal.
Figura 12. (a) potencial escaln, el potencial cambia bruscamente cuando x=0. (b)
potencial escaln donde la energa E es menor que el potencial V0. (c) potencial
escaln donde la energa E es mayor que el potencial V0.
Caso I: EL potencial escaln para el cual la energa es menor que el potencial V0:
Vamos a considerar el caso en que la partcula se mueve libremente de izquierda
a derecha, este movimiento viene dado por la solucin de la Ecuacin de
Schrdinger independiente del tiempo, es decir, la funcin de onda. En la figura
siguiente vamos a observar el caso a tratar.
Figura 13. Partcula que se mueve de izquierda a derecha, incidente en un

potencial escaln, con energa total menor que la altura del escaln.
Como se aprecia en la figura 13, la energa de la partcula puede tomar cualquier

valor (es un parmetro ms), pero recuerde que esta relacionada con el momento
y masa. Segn nuestra grfica, se aprecia que el eje x se divide en dos regiones
una para x<0 y la otra para x>0, entonces como se divide en dos regiones es
necesario conocer el comportamiento de la partcula para cada una de ellas y por
tanto se deben encontrar dos funciones de onda o lo que es lo mismo dos
soluciones de la Ecuacin de Schrdinger para cada regin. Las ecuaciones a
resolver son las siguientes:
Para el caso donde x<0 se tiene:
!
T
2 !
Y para el caso donde x>0 se tiene que:
!
T V+
2 !
Entremos a resolverlas. Observe que para el caso donde x<0 se presenta el

mismo caso estudiado en la seccin anterior (potencial cero), para lo cual nos
arroj que la solucin de esta ecuacin es:
A zS 1
zS 1
Donde
2
G>

Para cuando x>0 tenemos la ecuacin:
!
T V+
2 !
Rescribiendo esta ecuacin tenemos una ecuacin diferencial de segundo orden

lineal y de coeficientes constantes:
! 2
T V+ T 0
!
Desarrollando esta ecuacin, tenemos que la solucin esta dada por:
C S 1
S 1
V0 T
Donde
}2
G

Recuerde que el valor de K2 es positivo puesto hemos considerado que el

potencial V0 es mayor que la energa E, para el caso que x>0. Ahora, como
hemos encontrado las soluciones de las Ecuaciones de Schrdinger para las dos
regiones es necesario que establezcamos algunas condiciones de frontera que
nos permita encontrar las constantes A, B, C, D. Es necesario que dichos valores
de las constantes deban satisfacer los siguientes criterios para las funciones o
soluciones:
Las funciones deben estar definidas, es decir, finitas.

Las funciones deben ser continuas en todas las regiones.
La segunda derivada de la funcin debe estar definida y continua, es decir,
debe existir.
La derivada temporal debe existir.
Para cumplir las condiciones anteriores analicemos lo siguiente: cuando x tiende a

infinito para la regin x>0 la funcin obtenida tambin crece hacia el infinito,
entonces, para que la funcin sea finita la constante C que acompaa el trmino
que produce dicha irregularidad debe ser cero. La funcin que se tendr es:
S 1
para x>0
Ahora, como la funcin en toda regin debe ser continua, las dos funciones en el
punto x=0 se deben unir, da tal manera que se cumplan las condiciones
anteriores, es decir, que la funcin y su primera derivada sean continuas.
Entonces para satisfacer la continuidad de la funcin se debe satisfacer que las
dos funciones en ese punto deben ser iguales:
|1+ para x a 0 |1+ l; ; ` 0
Entonces se tiene la relacin:
S 1
|1+ A zS 1
|1+ zS 1
|1+

Evaluando tenemos:
Ahora, miremos la continuidad de la derivada de las dos funciones, para ello es

necesario que encontremos las dos derivadas:
Para el caso cuando x<0 tenemos:
! !A zS 1
zS 1

vG> A zS 1
T vG> zS 1
! !
Y para cuando x>0:
! ! S 1
TG S 1
! !
Entonces, estas derivadas deben ser continuas en el punto x=0, por lo tanto,
deben ser iguales en ese punto, as:
! !
| |
! 1+ ! 1+
TG S 1
|1+ vG> A zS 1
|1+ T vG> zS 1
|1+
Evaluando:
TG vG> T vG> vG> T
vG
Por lo tanto
T
G>
Para encontrar el valor de A y B vamos a sumar las ecuaciones encontradas:

vG
T
G>
vG
1 2
G>
vG
De ah que
1
2 G>
Ahora, para el valor de B, restamos las dos ecuaciones:

vG
T
G>
vG
1 T 2
G>
vG
De ah que
1 T
2 G>
Entonces, la funcin para toda la regin o lo que es lo mismo para nuestro

potencial donde la energa es menor que el potencial, la podemos expresar en
trminos de D:
vG vG
1 zS 1 1 T zS 1 0
2 G> 2 G>
S 1 Z 0
Observe, que la constante D va a determinar la amplitud de la funcin. Entonces

ahora podemos expresar la funcin de onda de nuestro potencial como:
z z z
~ < A vG1
TvG1

v G1

v TG1
0
, < z
~ < TG2

Z 0
Observe que para cuando x<0 la funcin de onda presenta dos trminos, el
primero de ellos indica es una onda que viaja propagndose en la direccin en que
x crece y describe a una partcula viajando en esa direccin; el segundo tambin
es una onda viajera pero se propaga en la direccin en que x decrece y describe
una partcula moviendo en esa direccin. Lo anterior nos indica que podemos
asociar el primer trmino con la incidencia de la partcula con el potencial escaln,
y el segundo con la reflexin de la partcula con el mismo. A partir de ello,
podemos calcular el coeficiente de reflexin R que nos indicar la amplitud de la
parte reflejada de la funcin de onda incidente y estar dada por:
E>
'
E>
Donde E> es la velocidad de la partcula en la regin. Ahora remplazando los

trminos encontrados anteriormente se tiene que el coeficiente de reflexin es:
vG2 vG
1 1 T 2
G1 G1
' 1
vG2
1 T 1
vG2

G1 G1
Los que nos arroj que el coeficiente de reflexin para la funcin de onda sea 1, y
lo que indica es que una partcula al chocar contra este potencial escaln siempre
se va a reflejar, lo cual es cierto o concuerda con la fsica clsica.
Analicemos estos resultados de otro punto de vista. Podemos expresar la funcin

para el pozo de potencial en trminos de:
zS 1
cos G> v sin G>
Entonces quedara de la forma

G
cos G> T sin G> 0
G>
S 1 Z 0
Si ahora, encontramos la funcin de onda asociada y la graficamos para cuando

x<0, tenemos lo siguiente (ver figura 14):
Figura 14. Representacin de la funcin de onda para cuando x<0.
La figura 14 nos muestra el comportamiento de la funcin de onda y por tanto el

movimiento de la partcula para la regin cuando x<0, en la parte superior de ella
se encuentra la onda incidente en el punto x=0 del potencial, en la parte media se
encuentra la onda reflejada despus del choque con la barrera de potencial y
finalmente en la parte inferior se muestra la suma de las dos ondas anteriores que
producen o dan como resultado una onda estacionaria. Para el caso cuando x>0
la figura 15 muestra el comportamiento:
Figura 15. Grfica de la funcin para el potencial escaln.
En esta se a graficado solamente la funcin que es real si se toma la constante D

como real, ahora encontremos la densidad de probabilidad para la funcin de onda
encontrada para la regin donde x>0:
z z
, < , < TG2

TG2
T2G2
La grfica de la densidad de probabilidad se muestra en la figura 16, en la cual se

puede apreciar que a partir del punto x=0, la funcin de onda empieza a decrecer
y por lo tanto existe una probabilidad finita en la cual se puede encontrar a la
partcula en la regin de x>0. Analizando este resultado de forma clsica es
imposible que ocurra, ya que la energa total de la partcula es menor que la
energa potencial o lo que es lo mismo, si una partcula cuya energa es menor
que la energa de un potencial repulsivo siempre va a rebotar contra la barrera de
potencial que se le imponga. Ahora, cunticamente existe la probabilidad de la
partcula que tiene menor energa que el potencial pueda atravesarlo, a este
fenmeno se le conoce como penetracin de potencial. Dicha penetracin puede
ser calculada mediante la frmula:

}2 V0 T
Donde a la variacin de x se le conoce como la distancia de penetracin.

Figura 16. Densidad de probabilidad para el potencial escaln.
Caso II: EL potencial escaln para el cual la energa es mayor que el potencial V0:
ahora vamos a considerar el caso mostrado en la parte (c) de la figura 12. La
partcula se mover con una energa E mayor (este valor es arbitrario) que la del
potencial tal y como se muestra en la figura 17.
Figura 17. Partcula que se mueve de izquierda a derecha, incidente en un

potencial escaln, con energa total mayor que la altura del escaln.
Clsicamente se tendra que la partcula sigue el trayecto de la lnea punteada,

puesto que la energa total de ella es mayor que el potencial y por tanto no se
ver afectada. Vamos a mirar o a demostrar que cunticamente existe la
probabilidad de que la partcula se devuelva cuando se encuentre en el punto
x=0. Al igual que en el potencial anterior vamos a tener dos regiones una para
x>0 y otra para x<0, entonces tenemos una ecuacin de Schrdinger para cada
regin:
!
Para el caso donde x<0 se tiene:
T
2 !
Y para el caso donde x>0 ahora la energa E>V0 se tiene que:
!
T V+
2 !
Entonces, para el caso donde x<0 tenemos nuevamente una partcula libre y la
solucin de la ecuacin es:
A zS 1
zS 1
Donde
2 l>
G>

Para la segunda regin, es decir, x>0 tenemos que la ecuacin la podemos
! 2
escribir como:
T V+ 0
!
Desarrollando la ecuacin se tiene:
C zS 1
zS 1
T V0
Donde
}2 l
G

Recuerde que el valor de K2 aqu tambin es positivo puesto hemos considerado

que la energa E es mayor que el potencial V0, para el caso que x>0. Ahora,
nuevamente debemos encontrar las constantes A, B, C, D, de tal manera que las
soluciones cumplas las mismas condiciones que en el caso anterior.
Entonces, analicemos que el segundo trmino de la ltima solucin describe una

onda que viaja en la direccin en que x decrece para la regin x>0, lo cual indica
que debe haber un punto ms all del punto x=0 que cause dicha reflexin de la
onda, pero como en realidad no existe entonces se debe hacer a D=0 y por lo
tanto tenemos que la solucin para esta regin es:
C zS 1
Ahora debe cumplirse que en el punto x=0 las funciones y sus derivadas deben
ser continuas, por lo tanto y siguiendo el mismo procedimiento para el potencial
escaln anterior se tiene que satisfacer que:
|1+ para x a 0 |1+ l; ; ` 0
Entonces se tiene la relacin:
] zS 1
|1+ A zS 1
|1+ zS 1
|1+
Evaluando
Para el caso de las derivadas se debe cumplir que:
! !
| |
! 1+ ! 1+
Entonces
vG> A zS 1
|1+ T vG> zS 1
|1+ vG ] zS 1
|1+
vG> T vG> vG> T vG ]

Evaluando:
G> T G ]
G
Por lo tanto
T ]
G>
Sumando y restando los resultados podemos llegar a encontrar a B y C en

trminos de A, as:
G> T G

G> G
Y
2G>
]
G> G
Entonces, la funcin para toda la regin la podemos expresar en trminos de A:
G> T G
zS 1
zS 1
0
G> G

2G> zS 1
Z 0
G> G
La funcin de onda de nuestro potencial es:
z z z
~ < A vG1
TvG1

v G1

v TG1

0
, < z
~ < ] TvG2

Z 0
Se observa que para la regin x<0, el primer trmino corresponde a la onda

viajera incidente y el segundo trmino representa la onda reflejada en el punto
x=0, lo cual nos indica que cunticamente existe la posibilidad de que la onda se
refleje a pesar de que la energa E sea mayor que el potencial V0. El segundo
trmino nos indica la onda transmitida desde la regin x<0 hacia la regin x>0.
La probabilidad de que la partcula sea reflejada por el potencial escaln esta dada
E>
por el coeficiente de reflexin:
'
E>
Recuerde que E>V0, remplazando tenemos que:
G1 T G2
'
G1 G2
De aqu se tiene que el coeficiente de reflexin es menor que 1 cuando la energa

E es mayor que el potencial, lo cual nos indica tal y como se nombr
anteriormente, existe la probabilidad de que la onda ser reflejada, esto visto de
una forma clsica es imposible que suceda ya que no existe ninguna barrera que
cause dicho efecto. Ahora miremos que ocurre con la onda transmitida y para ello
es necesario que analicemos el coeficiente de transmisin que indica la
probabilidad de que la partcula sea transmitida desde la regin x<0 hasta la
regin x>0, el cual esta dado por:
E ]] E 2G1
&
E> E> G1 G2
Donde ahora E es la velocidad de la partcula en la regin donde x>0. Entonces,

escribiendo a las velocidades en trminos de los nmeros de onda:
l> G1
E>
Y
l G2
E
Remplazando en el coeficiente de transmisin:
E ] ] E 2G1 4G1 G2
&
E> E> G1 G2 G1 G2
Ahora tomando el resultado del coeficiente de reflexin y transmisin se tiene que:
' & 1
Ahora, ya que vimos que el coeficiente de reflexin es menor que 1 o lo que es lo

mismos mayor que cero, entonces el coeficiente de transmisin es menor que uno,
lo que nos indica que existe la probabilidad de que la onda sea reflejada o de que
no penetre la regin x>0.
Cabe resaltar que si tenemos potenciales escaln en el sentido contrario de la

figura 12, los resultados expuestos en esta leccin son los mismos.
Leccin 32: La barrera de potencial
Ahora vamos a considerar una barrera de potencial tal y como se muestra en la

siguiente figura 18.
Figura 18. Barrera de potencial.
De la figura se observa que vamos a tener tres regiones para la cual el potencial
estar entre 0 y V0, as:
0 ` 0
V V+ 0 ` `
0 a
Clsicamente la partcula que se mueve de la regin 1 hacia la regin 2 al chocar

con el potencial no tiene la probabilidad de atravesarla, es decir, la partcula no se
puede encontrar en la regin 2 o 3, claro esta, esto ocurre si la energa total de la
partcula es menor que el potencial (V0>E). En caso contrario cuando la energa
de la partcula es mayor que el potencial (E >V0), la fsica clsica nos predice que
la partcula cruzar el potencial y se encontrar en la regin 3.
Cunticamente vamos a mirar que lo pronosticado por la fsica clsica no es el

comportamiento de la partcula. La cuntica predice que si la energa de partcula
es menor que el potencial (V0>E) existe la probabilidad de encontrar a la partcula
en la regin 3, es decir, que la partcula puede atravesar la regin 2, a esto se le
conoce como tunelamiento. Tambin se demostrar que cuando le energa es
mayor que el potencial (E >V0) existe la probabilidad de que la partcula sea
reflejada.
Al igual que en las lecciones anteriores vamos a escribir las funciones o

soluciones a las ecuaciones de Schrdinger de las tres regiones y segn la
grfica 19:
Figura 19. A) Energa total de la partcula menor que el potencial. B) Energa total
de la partcula mayor que el potencial.
Observe la figura anterior, la regin 1 y la regin 3 para los dos esquemas

representan una partcula movindose libremente y por lo tanto la funcin para
estas dos regiones o las soluciones de las ecuaciones de Schrdinger
independiente del tiempo son:
v ` 0
zS 1 zS 1

] zS 1
zS 1
v a
Analicemos este resultado un poco, recuerde que estamos considerando una

partcula que se mueve de izquierda a derecha, entonces para la regin 3 el
segundo trmino de la funcin nos expresa una onda que es reflejada, pero
realmente no existe nada que provoque que la onda se refleje, por lo tanto es
necesario que la constante D sea cero, por lo tanto tenemos:
0
Y las funciones sern:
zS1 v ` 0
zS 1

] zS 1
v a
2
Donde
Ahora analicemos la regin 2: observe que vamos a tener dos casos tal y como lo
muestra la figura anterior, el primero ser cuando la energa de la partcula sea
menor que el potencial, y el otro caso ser cuando la energa sea mayor que el
potencial, entonces para cada caso habr una solucin de la ecuacin de
Schrdinger independiente del tiempo de la siguiente forma:
Caso I: E<V0
La funcin esta dada por:
x G
TG
V0 T
Donde:
}2
G

Caso II: E>V0 (Figura 19. Parte B)
La funcin esta dada por:
x G
TG
T V0
Donde:
}2
G

Analicemos lo obtenido hasta ahora, es necesario que lo hagamos para cada

caso:
Caso I: E<V0 (Figura 19. Parte A)
La funcin para este caso ser:
Ae i
Be i
si x ` 0
x x G
TG
v 0 ` `
Ce i
si x a L
Como en las lecciones anteriores la funcin y su derivada deben ser continuas

para los puntos x=0 y x=L, evaluando estas condiciones se pueden obtener las
constantes en trminos de A. La figura 20 muestra la densidad de probabilidad
para este caso, la cual nos indicar que existe la probabilidad de encontrar a la
partcula en la regin 3.
Figura 20. Densidad de probabilidad para el caso de penetracin de barrera.
Para la regin 1 la funcin de onda es estacionaria pero tiene una componente

viajera debido a la reflexin de la onda con amplitud menor que la incidente, es por
ello que la densidad de probabilidad en la regin oscila. Para la regin 2, la funcin
de onda es una exponencial decreciente tal y como se observa en la figura o en la
densidad de probabilidad. Para la regin 3, la funcin de onda es netamente
viajera y por tanto la densidad de probabilidad es una constante.
La probabilidad de penetrar una barrera de potencial de longitud L por parte de

una partcula de masa m y energa E menor que el potencial V0 esta dada por el
coeficiente de transmisin T. Este fenmeno se le conoce como penetracin de
barrera y comnmente se expresa, que la partcula realizo un tnel a travs de la
berrera del potencial.
El coeficiente de transmisin que determina la probabilidad de que la partcula

atraviese el potencial esta dada por:
> >
>] ] T sinh G
G TG
& 1 1
>

16 V 1 T V 4 V 1 T V
+ + + +
Donde
}2 V0 T
G

Ahora si los exponentes son demasiado grandes, entonces podemos expresar el

coeficiente de transmisin como:
2
& 16 1 T T2G
16 1 T T

}2 y
V+ V+ V+ V+
Donde L es el espesor fsico de la barrera y recuerde que la energa es menor que el

potencial.
Caso II: E<V0 (Figura 19. Parte B)
La funcin para este caso ser:
Ae i
Be i
si x ` 0
x x G TG v 0 ` `
Ce i si x a L
Recuerde nuevamente que la funcin y su primera derivada debe ser continuas

para los puntos x=0 y x=L, se pueden evaluar las condiciones y encontrar las
constantes en trminos de A, esto nos permite graficar la densidad de
probabilidad, la cual se muestra en la figura 21. En esta se aprecia que para la
primera regin la densidad de probabilidad es oscilatoria debido a que la funcin
de onda es estacionaria pero con una componente viajera debido al reflexin
producida en el punto x=0, tal y como se expreso en la leccin anterior. Para la
regin 2 la funcin de onda es estacionaria y con una componente viajera debido a
la reflexin de la onda en el punto x=L y por lo tanto la densidad de probabilidad
tiene nuevamente comportamiento ondulatorio. Y Finalmente, en la regin tres la
densidad de probabilidad es constante debido a que la funcin de onda es viajera
pura.
Figura 21. Densidad de probabilidad para cuando la E>V0

Para el caso estudiado el coeficiente de transmisin estar dada por:
> >
>] ] T sin GI
vGI TvGI
& 1T 1
> 16 V V T 1 4 V V T 1
+ + + +
T V0
Donde
}2
G

Y recuerde que la energa de la partcula es mayor que el potencial.
Ejemplo:
Si un electrn de 2eV penetra una barrera de potencial de 3eV que tiene un ancho
de 3 , calcule la probabilidad de que electrn atraviese la barrera del potencial.
Solucin:
Observe que la energa del electrn es mayor que la del potencial por lo tanto nos
encontramos en el caso I estudiado, por lo tanto el coeficiente de transmisin esta
dado por:
2
& 16 1 T T

}2 y
V+ V+
Remplazando nuestras cantidades y teniendo en cuenta las correspondientes

unidades, se tiene que:
2 V 2 V T
23 10T10
2 9.1 10T31 7 5 1.6 10T19 H
& 16 1 T 1.05 10T34 H
3 V 3 V
& 0.163
Este resultado nos indica que aproximadamente 16 electrones de 2eV de cada

100 penetran la barrera de potencial.
Ejercicios
1. Demuestre que el valor esperado del momento es cero para una partcula
que se halla dentro de una caja de longitud L, si su funcin de onda es:
v v:
{1

2. Encuentre el coeficiente de transmisin para un electrn de energa 2 eV

que incide sobre una barrera de potencial de altura 4eV y de ancho de 1 .
Rta: 93.38%
3. Para el ejercicio anterior realice el mismo clculo pero si ahora el ancho de

la barrera es de 10-9m.
4. Calcule la probabilidad de que un deutern cruce con xito una barrera de

potencial de 10MeV y de ancho de 10-14m si el deutern tiene una energa
de 3MeV. Rta: 2.32x10-7
Capitulo 6. Algunas aplicaciones de la Ecuacin de Schrdinger
Leccin 33: Potencial de pozo cuadrado
El potencial de pozo cuadrado tiene como principal caracterstica ligar electrones

y es uno de los potenciales ms simples de estudiar. Cabe recordar que hasta el
momento no se han tratado esta clase de potenciales capaces de ligar electrones.
La figura 21 muestra el potencial de pozo cuadrado a estudiar.
Figura 21. Pozo de potencial y sus regiones de inters.
De la figura anterior se observa que vamos a tener tres regiones de inters, la

primera es la regin 1 donde x<-L/2, la regin 2 es para cuando x se encuentra
entre L/2<x<L/2 y la tercera para cuando x>L/2. El potencial en el pozo esta
dado por:
V+ si ` T/2
V 0 si T /2 ` ` /2
V+ si a /2
Cuando la E<V0 la fsica clsica establece que la partcula solo puede estar
confinada dentro del pozo, es decir, solo se encuentra dentro de la regin 2, esto
significar que la partcula esta ligada a esta regin, y su movimiento ser

producto de los choques elsticos entre las paredes. Tambin, establece que la
partcula puede tener cualquier valor de energa E>0. Vamos a observar que la
cuntica estable que la partcula solo podr tener ciertos valores permitidos de
energa E.
Establezcamos las soluciones de la Ecuacin de Schrdinger para cada una de

las regiones considerando que la energa de la partcula es menor que el potencial
V0>E, ya que una energa mayor que el potencial establecera que existe cualquier
valor de energa permitido, entonces se establece de la siguiente manera:
Para cuando la partcula se encuentra confinada o dentro de la regin L/2<x<L/2

el potencial es cero y por lo tanto al igual que de nuestras lecciones anteriores la
funcin es:
zS 1
zS 1

2
donde
Utilizando los nmeros complejos vistos a principios de la segunda unidad

podemos rescribir la ecuacin anterior:
zS 1
zS 1

cos G v sin G cos G T v sin G
cos G v sin G cos G T v sin G
T v sin G cos G
Factorizando
La cual la podemos escribir como:
sin G cos G
T v
Donde

2
G

Para cuando L/2<x<L/2. Para le regin 1 la solucin esta dada por:
] S 1
S 1
Y para le regin 3 ser:
x S 1
S 1
}2 V+ T
Donde KII para las dos regiones es:
Como en los casos anteriores las funciones y sus derivadas deben ser continuas e
todas las regiones, entonces observe que cuando:

La funcin de la regin 3
x S 1
S 1

Para que no ocurra esto es necesario que F=0 que es el que introduce la
discontinuidad. Ocurre algo muy similar en la regin 1 cuando:
T
La funcin de la regin 1
T ] S 1
S 1

Nuevamente para evitar la discontinuidad es necesario que D=0. Las funciones

para estas dos regiones seran:
] S 1
v ` T/2

S 1
v a /2
Un desarrollo ms exhaustivo que no se desarrollar en esta leccin nos

demostrar que la energa de la partcula se encuentra cuantizada, es decir, que
solo puede tomar algunos valores, un ejemplo tpico se presenta en la figura 22, la
cual nos muestra los valores permitidos E1, E2, E3 de la energa de partcula que
se encuentra dentro del pozo.
Figura 22. Valores permitidos de la energa para el pozo de potencial.
Leccin 34: Potencial de pozo cuadrado infinito
Ahora vamos a considerar otro ejemplo sencillo de la ecuacin de Schrdinger de

estado estacionario (ecuacin independiente del tiempo), este ser el pozo de
potencial infinito tal y como se observa en la figura 23. La partcula se encontrar
confinada dentro del pozo o comnmente llamada caja movindose a lo largo del
eje x y chocando con las paredes de forma elstica.
Figura 23. Partcula movindose en pozo de potencial de paredes de potencial

infinito.
Como se observa en la figura 23 tendremos nuevamente tres regiones, entonces

establezcamos el potencial para ellas:
v 0
V 0 v 0 ` `
v Z
Debido a que la partcula se encuentra dentro del pozo y ya que no existe

posibilidad de que este fuera de l, entonces podemos establecer para funcin o
solucin de la ecuacin de Schrdinger las condiciones:
0
0 l; ;
Z
Y la probabilidad de encontrar la partcula dentro de la regin 2 ser:

) ! 1
+
Para la regin donde se encuentra la partcula (V0=0) la solucin de la ecuacin

de Schrdinger esta dada por:
sin G cos G
2
Donde
Recuerde que la funcin anterior nos representa una onda estacionaria. Ahora
utilicemos las condiciones de frontera para encontrar las constantes A y B as:
En las fronteras del pozo tenemos que
0
Para
Evaluamos la funcin en las condiciones de fronteras anteriores tenemos que :

0 sin 0 cos 0 0
Para x=0
0
De lo cual tenemos que
Entonces la funcin la podemos escribir como:
sin G
Para la segunda condicin de frontera x=L y sabemos que B=0, se tiene que:
sin G 0
De aqu podemos deducir lo siguiente: como A es diferente de cero entonces
sin G 0
tenemos que:
Para que se cumpla esta igualdad debemos hacer
G :F =: : 1,2,3,4
:F
De lo cual tenemos que
G

Con este resultado y a partir de la ecuacin
2
G

:F 2
Se obtiene que
Y despejando E tenemos:
: F
=: : 1, 2, 3,
{
2
Lo cual nos indica que la energa de la partcula se encuentra cuantizada en

ciertos valores de forma discreta y la partcula puede estar en algn de estos
valores, la figura 24 muestra algunos valores de la energa de un pozo de

potencial cuadrado infinito, en ella se muestra un ejemplo de una partcula que
se encuentra en el nivel de energa E3
Figura 24. Algunos de los valores permitidos para la energa de la partcula de un

pozo de potencial cuadrado infinito.
Finalmente podemos expresar la funcin en trminos de L, as:
:F
sin

Es de resaltar, que si la partcula se encuentra en el nivel de energa E3 como lo

vemos en la figura 24 (ejemplo particular), para que esta pase a un nivel superior o
inferior se debe recibir o perder energa y esta energa debe ser la suficiente para
que pueda ocurrir dicho suceso. Adems debemos resaltar que la partcula no
pude tomar el nivel igual a cero, por lo tanto el mnimo nivel debe ser E1. A este
valor de mnima energa que puede tomar la partcula se le conoce como energa
del punto cero.
Ahora, miremos que el momento de la partcula tambin se encuentra cuantizado.

De lecciones anteriores tenamos que la energa la podemos expresar como:
l{
{
2
Igualando esta ecuacin con el resultado anterior y despejando el momento
l{ : F
tenemos:
2 2
:F
l{ =: : 1, 2, 3, .

Lo que demuestra que tanto la energa como el momento de una partcula se

encuentran cuantizada.
Otro dato importante que podemos calcular es la densidad de probabilidad de la

partcula y para ello es necesario que recordemos que la densidad esta dada por:
Entonces tenemos que la funcin es:
:F
sin

Y su conjugado esta dado por:
:F
sin

Entonces la densidad de probabilidad es:
:F :F
sin sin

:F
sin

Ahora normalizando, es decir que

) ! 1
+
Se tiene que:

:F
:F
) ! ) sin ! ) sin ! 1
+ + +
Resolviendo esta integral tenemos que:
2:F
T sin 1
2 4:F +
Y evaluando

1
2
De lo cual
2

Entonces la ecuacin o la solucin de la ecuacin de Schrdinger independiente

del tiempo normalizada para nuestro pozo de potencial cuadrado infinito esta
dada por:
2 :F
sin

Finalmente podemos utilizar el resultado anterior para calcular la probabilidad de

encontrar a una partcula dentro de un intervalo x=a y x=b que se encuentre
dentro del pozo de potencial infinito como:
2 :F
) ! ) sin !
0 0
Leccin 35: El potencial del oscilador armnico simple
Ahora consideraremos el potencial del oscilador armnico simple ya que es una

muy buena aproximacin a cualquier sistema oscilatorio. Este tiene muchas
aplicaciones como por ejemplo en el estudio de vibraciones de tomos en
molculas diatmicas, en las propiedades magnticas de los slidos, en las
propiedades acsticas y trmicas de slidos, entre otras aplicaciones. En general
este se aplica a cualquier sistema donde hallan procesos de vibraciones
alrededor de un punto de equilibrio.
De la fsica clsica recordemos que un oscilador armnico simple se puede

representar por una partcula que bajo la influencia de una fuerza restauradora
presenta un movimiento armnico simple cuando esta se desplaza fuera de la
posicin de equilibrio ocasionado por la fuerza. Clsicamente la fuerza esta dada
por la ley de Hooke:
x TG
Y las oscilaciones presentes sobre el punto de equilibrio presentan una frecuencia

de la forma:
1 G
$
2F
Donde m es la masa y kF es la constante de fuerza. La energa potencial del
1
oscilador esta dado por:
V G
2
1
Y la energa cintica es
7 E
2
Cunticamente vamos a imponer que el potencial del oscilador armnico simple
1
esta dado por:
V G
2
Este potencial se encuentra representado en la figura 25. Entonces el problema

es encontrar soluciones de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo
que describan el movimiento de la partcula y las posibles energas que pueda
tomar. Entonces, para nuestro potencial la ecuacin de Schrdinger a resolver
ser:
! G
T
2 ! 2
Figura 25. Potencial del oscilador armnico simple.
La solucin de esta ecuacin se presenta en el apndice A, para que el

estudiante indague un poco sobre ella. Solo vamos a presentar los resultados, los
cuales establecen que la energa para el oscilador de esta clase se encuentra
cuantizada, es decir, que los valores permitidos para la energa estn dados por:
{ : 12 $ =: : 0, 1, 2, 3,
Donde $ es la frecuencia de oscilacin de la partcula. En la figura 26 se muestran

los algunos estados de energa permitidos.
Figura 26. Primeros 4 estados de energa permitidos para el potencial.

Observe que para este caso la energa mnima que puede tener el sistema, o
expresado de otra manera, la energa mnima posible para una partcula ligada al
potencial es cuando n=0 y equivale a
1
$
+
2
que se conoce como la energa del punto cero para el potencial. Este resultado
indica que la partcula no puede tener energa igual a cero.
En la figura 27 se muestra la probabilidad por unidad de longitud de encontrar la

partcula en una regin cualquiera en el eje x, adems, se muestran algunos
niveles de energa permitidos que fueron mostrados en la figura 26.
Figura 27. Densidad de probabilidad asociada a cada nivel de energa permitido.

Observe que en la figura 27, existe la probabilidad de encontrar la partcula mas

all o por fuera de la curva del potencial del oscilador armnico, algo que a nivel
de la fsica clsica sera imposible de ocurrir.
Leccin 36: tomos con un electrn
A partir de este momento y en las lecciones siguientes vamos a estudiar tomos

con un electrn, para este caso vamos a tener sistemas con dos partculas, cabe
resaltar que hasta el momento solo hemos tratado sistemas con una sola
partcula, para poder tratar esta clase de sistemas debemos considerar el tomo
real como un sistema modelado en el cual el ncleo ahora pasa a tener masa
infinita y su electrn tendr una masa reducida (ver figura 27) establecida por:
Donde m y M son las masas reales del electrn y del ncleo respectivamente.
Dentro del sistema modelado se considerar al ncleo del tomo como
estacionario y el nico movimiento presente ser el del electrn de masa
reducida, esto conduce a la simplificacin de nuestro trabajo puesto que nos
consideramos dos partculas en movimiento sino solamente una. Ahora el primer
paso ser conocer la ecuacin de Schrdinger tridimensional.
Figura 27. A) tomo real con un solo electrn de masa m y ncleo de masa M. B)
tomo sistema equivalente, la partcula de masa reducida se mueve alrededor
del ncleo que se encuentra estacionario.
Utilizando conceptos anteriormente visto como los operadores, habamos

establecido que la ecuacin de Schrdinger se expresaba en trminos del
operador Hamiltoniano como:
|H
Ahora, si establecemos el operador Hamiltoniano pero tridimensional como:

|H T V , , \
2 \
Entonces este operador actuando sobre la funcin de onda que depende de las
coordenadas x, y, z, nos da como resultado:
|H , , \ , , \

Entonces

T , , \ V , , \ , , \ , , \
2 \
Lo cual obtendramos
, , \ , , \ , , \
T V , , \ , , \ , , \
2 \
Que es la ecuacin de Schrdinger tridimensional independiente del tiempo.

Ahora si introducimos el operador Laplaciano que esta dado por:
Entonces podemos finalmente escribir nuestra ecuacin de Schrdinger

estacionaria como:

T , , \ V , , \ , , \ , , \
2
Esta ecuacin es general, ahora vamos a considerarla para nuestro sistema

equivalente, para ello el electrn de masa reducida se encuentra bajo el potencial
de Coulomb dado por:
T
V V , , \
4F+ } \
Observe que este potencial se encuentra en tres dimensiones x, y, z, y donde e

es la carga del electrn. El trmino de la raz que aparece en el denominador es
el radio de separacin que hay entre el electrn y el ncleo y Z es l nmero
atmico. Ahora como la masa es reducida nuestra ecuacin de Schrdinger
independiente del tiempo la podemos escribir en trminos de esta nueva masa

as:
T , , \ V , , \ , , \ , , \
2
Observe que el nico cambio que hicimos fue:
Y por lo tanto encontramos la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo

en trminos de la masa reducida y las coordenadas rectangulares x, y, z. Para
resolver esta ecuacin es necesario transformar las coordenadas rectangulares a
coordenadas esfricas, este cambio nos permite separar la ecuacin de
Schrdinger en tres ecuaciones de variables independientes que a usa vez va a
facilitar los clculos para resolver la ecuacin para tomos con un solo electrn,
es decir, dos partculas.
Leccin 38: Separacin de variables para la ecuacin de Schrdinger

tridimensional y estacionaria.
Recordemos que el modelo atmico de Bohr no dio explicacin satisfactoria a

acontecimientos como: - transiciones entre ciertos valores de energa permitidos,
- la no radiacin electromagntica del electrn cuando cae hacia el ncleo por la
perdida de energa, y el origen de los espectros atmicos del helio y el litio. El
modelo de Schrdinger si satisface o da explicacin a tales fenmenos.
Retomemos el potencial de la leccin anterior y para hacer el cambio de

coordenadas debemos expresarlo en trminos del radio, as:
T
V
4F+
Donde + es la permitividad del vaco cuyo valor es 8.85X10-12C2/Nm2. Ahora

vamos hacer le cambio de coordenadas rectangulares a esfricas (La figura 28
muestra la representacin del sistema equivalente en coordenadas esfricas y
rectangulares).
Figura 28. Representacin del sistema equivalente para un punto P cualquiera de

las coordenadas esfricas y rectangulares.
Las coordenadas esfricas son:
k, el ngulo polar.
, radio del vector.
_, el ngulo azimutal.
Y estn relacionadas por medio de las ecuaciones

sin k cos _
sin k sin _
\ = k
A partir de estas ecuaciones y de la utilizacin de algunas tcnicas matemticas

se puede escribir la ecuacin de Schrdinger de la forma:

T , k, V , k, _ , k, _
2
Donde el Laplaciano es:
1 1 1
sin k
sin k k k sin k _
Observe que se encuentra en coordenadas esfricas, entonces la ecuacin de

Schrdinger es:
1 1 1
T sin k V
2 sin k k k sin k _
, k, _
Donde
A partir de la transformacin anterior la ecuacin tendr soluciones que son

productos de funciones de las tres coordenadas, as:
, k, _ ' k _ '
Utilizando la expresin anterior y multiplicando por
2
T

La ecuacin la podemos escribir como:
' 1 ' 1 ' 2

sin k T V '
sin k k k sin k _
2
T '

Y realizando las derivadas parciales tenemos:
! !' R ! ! ' ! 2 2
sin k T V ' T '
! ! sin k !k !k sin k !_
Ahora si multiplicamos toda la ecuacin por
sin k
'
Reorganizando tenemos:
sin k ! !' sin k ! ! 1! 2

sin k sin k TV " 0
' ! ! !k !k !_
Y reordenndola se tiene:
1! sin k ! !' sin k ! ! 2

T T sin k T sin k TV "
!_ ' ! ! !k !k
Observe que hemos podido dividir esta ecuacin en dos partes, el primer termino
del lado izquierdo que solamente depende del ngulo azimutal y el segundo
trmino que solamente depende del radio y del ngulo polar. Ahora, por
conveniencia establecemos que podemos asegurar que ambos miembros de la
T
igual son iguales a una constante
de lo cual tenemos dos ecuaciones:
1!
0
!_
sin k ! !' sin k ! ! 2

Y
T T sin k T sin k TV " T

' ! ! !k !k
A esta ltima ecuacin las podemos separar nuevamente de forma tal que cada
trmino dependa solamente del radio y del ngulo polar, para ello dividimos toda la
ecuacin por el factor:
sin k
obteniendo
1 ! !' 1 ! ! 2
T T sin k T TV " T
'! ! sin k !k !k sin k
Ahora reorganizando
1 ! ! 1 ! !' 2
T sin k TV "
sin k sin k !k !k '! !
Observe nuevamente que hemos logrado que la parte izquierda de la igualdad sea
dependiente solamente del ngulo polar y la parte derecha del radio, esto nos
lleva nuevamente a que ambos miembros sean iguales a una constante, la cual
w w 1
ser:
Entonces tenemos que
1 ! !' 2
TV " w w 1
'! !
Y
1 ! !
T sin k w w 1
sin k sin k !k !k
Observe que finalmente la ecuacin de onda de Schrdinger independiente del

tiempo para tomos con un solo electrn se ha separado en tres ecuaciones, las
cuales son:
Ecuacin 1, conocida como la ecuacin azimutal:
1!
0
!_
Ecuacin 2, conocida como la ecuacin polar:

1 ! !
T sin k w w 1
sin k sin k !k !k
Y la Ecuacin 3, conocida como la ecuacin radial:
1 ! !' 2
TV " w w 1
'! !
Leccin 39: Solucin de las ecuaciones (azimutal, polar y radial, para tomos
con un solo electrn)
La ecuacin Azimutal: esta describe el comportamiento del sistema equivalente, a

medida que el electrn de masa reducida gira entorno al ele z y las soluciones de
dicha ecuacin estn dadas por:
/ _ z/
0, 1, 2, 3,
Donde
Donde a la constante se le conoce como nmero cuntico magntico.
La ecuacin polar: las soluciones aceptables de esta ecuacin estn dadas por:
/ sin k |/ | x |/ | cos k
Donde los nmeros cunticos orbital y magntico estn dados respectivamente
w 0, 1, 2, 3, ..
por
0, 1, 2, 3,
x |/ | cos k
Y
orbital w.
Son polinomios en trminos del coseno, y dependen del valor del nmero cuntico
La ecuacin Radial: la solucin va a estar dada por:
'{ {
{,
Donde
{,
Es un polinomio de Laguerre y el nmero cuntico total esta dado por:
: w 1 , w 2 , w 3 , ..
Observe que a partir de estas tres soluciones se han encontrado tres nmeros
cunticos, el total, el orbital y el magntico.
Finalmente uno de los resultados ms importantes obtenidos por Schrdinger para

tomos con un electrn es que cuando el electrn se encuentra ligado, es decir,
que la energa total sea menor que el potencial, los valores permitidos de la
energa estn dados por:
T A 1
T13,6 V !=:! : 1,2,3,4
{
4F+ 2 : :
Observe y compare con los resultados del modelo de Bohr se podr dar cuenta
que este resultado se encuentra de acuerdo con lo predicho de por Bohr.
Ejercicios
1. Estime la energa del punto cero para un electrn que se encuentra en un

pozo cuadrado infinito de ancho L=2 .
2. Para el ejercicio anterior calcule la diferencia de energa T >
3. Encuentre la energa del punto cero para un gramo de arena con masa de
1x10-7 Kg que se encuentra en un pozo cuadrado infinito cuya dimensin
es de 0.001m.
4. Demuestre que el valor esperado de la energa cintica del oscilador
$
armnico cuntico para el estado n=0 es:
7
4
Problemas para la autoevaluacin.
1. El potencial de un oscilador armnico simple de masa m esta dado por la

funcin

V , < V ]
2
Donde C es la constate de fuerza. Demuestre que la funcin

z
, <
/

1 /
es solucin de la Ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo, donde A

pude tomar cualquier valor.
2. Una partcula de masa de 3.8X10-14Kg se mueve (de izquierda a derecha) a

una velocidad de 1.2X10-2m/s chocando contra un potencial escaln de altura
igual al doble de la energa cintica de la partcula, entonces calcule la
penetracin de dicha partcula en el potencial.
3. Suponga que un electrn se encuentra confinado en un potencial de pozo

cuadrado infinito que tiene una longitud de 20X10-10m, Calcule los dos primeros
niveles de energa mnimos posibles.
4. Para el ejercicio anterior calcule el momento del electrn para cada nivel
encontrado.
2:F
5. Dada la funcin
{ sin

Si esta slo esta definida de 0 a L, es decir que 0<x<L, entonces utilice o
normalice para encontrar el valor de { .
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
DOCUMENTOS IMPRESOS:
MILLER, David. Quantum Mechanics for Scientists and Engineers. Cambridge.

Stanford 2007.
McMAHON, David. Quantum Mechanics. McGraw Hill. USA 2006.
LEVI, A. Applied Quantum Mechanics. Cambridge 2006.
BOEYENS, Jan. Chemistry from First Principles. Springer 2008.
AULETTA, Gennaro. FORTUNATO, Mauro. PARISI, Mauro. Quantum

Mechanics into a Modern Perspective. Cambridge University Press 2009.
FELIX, Julin. Notas para una introduccin a La Teora Cuntica. El cid.

Argentina 2005.
GILLESPIE, D. introduccin a La Mecnica Cuntica. Revert S. A. Barcelona

2002.
ACOSTA, Virgilio. COWAN, Clyde. GRAM, B. Curso de Fsica Moderna.

Oxford.
DIRECCIONES DE SITIOS WEB:
http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm
http://www.ugr.es/~bosca/WebFCenRed/indexFC.htm
http://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/cuantica/
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica
http://www.mecanicacuantica.com/introduction.htm
http://es.scribd.com/doc/25134188/CURSO-FISICA-CUANTICA
http://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/cuant1.html
APNDICE A
En este apndice se obtendr la solucin de la ecuacin de Schrdinger para el

oscilador armnico simple. La primera consideracin a tener en cuenta es que el
potencial oscilador armnico simple es de la forma:
>
V G A-1
A partir de este potencial podemos establecer la ecuacin de Schrdinger

independiente del tiempo que describe el movimiento de la partcula y las posibles
energas que ella puede tomar. El problema entonces se reduce a encontrar la
solucin de la siguiente ecuacin:
1 S1
T
/ 1
A-2
Ahora rescribamos la ecuacin anterior:
! 2 G
T 0
!
Ahora, utilicemos las siguientes cantidades para facilitar los clculos:
2

Donde
G

y
G

Donde
De esta forma la ecuacin queda de la siguiente manera:

T

0
1
A-3
Ahora es necesario hacer un cambio de variables de la siguiente manera:
Haciendo uso de la regla de la cadena obtenemos que:
! ! !r !r

! !r ! !
! ! ! !r ! !r !r !

! !r ! ! !r ! ! !r
Entonces la ecuacin A-3 queda de la forma:
!
T r 0
!r
Y realizando la cancelacin de trminos tenemos que:
T r

0 A-4
Para resolver esta ecuacin diferencial es necesario utilizar el mtodo de

expansin asntota, es decir, vamos a observar el comportamiento de la funcin
para valores de r que tienden al finito tanto para positivos como negativos.
Observe, que si tomamos valores grandes para r y como solo depende de E,

entonces podemos despreciar a , quedando la ecuacin de la forma:

T r * 0

A-5
La solucin de esta ecuacin es de la forma:
Ahora, obteniendo la primera derivada obtenemos que:

!
2r@
!r
Y la segunda derivada es:
!
2@ 4@ r
!r
Ahora sustituyendo este resultado en la ecuacin A-5 tenemos que:
2@ 4@ r
Tr
0
Cancelando los trminos homogneos y despreciando el primer trmino entre los

parntesis tenemos:
@ r r
De lo que se tiene que:
1
@
2
Por lo tanto podemos escribir la solucin como:
Ahora observe que al evaluar r cuando tiende a el segundo trmino tiende

al infinito por lo tato es necesario despreciarlo. La ecuacin ahora toma la forma
de:

*
valor de 1. A partir de ello el comportamiento asinttico de esta dado por:

Donde A es una constante arbitraria y por conveniencia la podemos hacer tomar el
*
A-6
puede tomar r. Es necesario observar el comportamiento para los valores

Recuerde que hasta el momento se han tenido en cuenta los valores grandes que
pequeos que puede tomar r tanto positivos como negativos. Para ello vamos a
asociar a nuestra funcin asinttica con una nueva funcin que tiene como
caracterstica describir el comportamiento adecuado en las regiones cercanas y
regular el comportamiento de la funcin en las regiones lejanas. Entonces se
propone la funcin:
* [ r
[ r A-7
escribiendo a [ r simplemente como H tenemos que:

Ahora obteniendo la primera y segunda derivada de la ecuacin anterior y
! ![

T r[
!r !r
Y
! ! [ ![

T 2r r [ T [
!r !r !r
Ahora, si sustituimos estos dos resultados en la ecuacin A-4 tenemos:
! [ ![
T 2r r [ T [
[
T r [
0
!r !r
Simplificando llegamos a:

T 2r T1 [ 0

A-8
A este resultado obtenido o a esta ecuacin se le conoce como la ecuacin

diferencial de Hermite. Ahora utilicemos series de potencia para resolverla as:
/ r T 9
/
[ ! + >r r
/+
Ahora obteniendo las derivadas tenemos que:
![
*
/ r
/ >
!r
!
/+
Y ya que en la ecuacin de Hermite tenemos el valor de T2r multiplica la primera

derivada entonces:
*
![
T2r ! T2 /r
/
0 T 2 >r T 4 r T
!r
/+
La segunda derivada es:
*
! [
1 2 r / 2 6 5r
!r
! /
/+
Y finalmente el ltimo trmino de la ecuacin de Hermite es:
/ r
/
T1 [ ! T1 + >r r
/+
Ahora, remplazando todos estos resultados en la ecuacin de Hermite se tiene:
* * *
! 1 2 / r / ! T2 /r
/
! T 1 / r
/
0
/+ /+ /+
Reordenando este resultado:
!" 1 2 / T1 T2 " /# r
/
0
/+
Ahora, es necesario que el coeficiente de cada potencia de r sea cero para que la
ecuacin anterior tienda a cero para cualquier valor de r, de esta forma se hace
que H sea solucin de la ecuacin de Hermite. A partir de lo anterior se obtiene la
siguiente relacin:
/>
/ /> / / A-10
A partir de la ecuacin o serie anterior es necesario imponerle ciertos lmites ya

que no se debe permitir que la serie sea divergente y para ello es necesario
establecer una cierta potencia mxima dada por:
T1
:
/01
2
2 {
De lo cual
2: 1

Y como
2F$
2
Tenemos que:
2: 1
{
$
Y despejando { encontramos los valores permitidos de la energa total dados por:
1
: $ =: : 0, 1, 2, 3,
{
2
Observe que existe una energa base o energa de punto cero para el potencial
oscilador armnico y esto ocurre cuando n=0. Este resultado nos indica que la
partcula no puede tener una energa igual a cero.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

401588 FSICA CUANTICA

ANGELO ALBANO REYES CARVAJAL

Jaime Alberto Leal Afanador

Roberto Salazar Ramos

Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas

Maribel Crdoba Guerrero

CURSO FSICA CUNTICA

ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FSICA CUNTICA

1.1 Capitulo 1: Radiacin Cuntica

Leccin 1: Fsica Clsica vs Fsica Cuntica.

1.2 Capitulo 2: Partculas y ondas

Leccin 9: Emisin electrnica.

1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atmico

Leccin 15: Ondas de materia.

UNIDAD 2. ECUACIN DE SCHRDINGER

2.1 Capitulo 4: La Ecuacin de Schrdinger I

Leccin 23: Introduccin a la Ecuacin de Schrdinger.

2.2 Captulo 5: La Ecuacin de Schrdinger II

Leccin 28: El Hamiltoniano y operadores.

2.3 Capitulo 6: Algunas aplicaciones de la Ecuacin de

Leccin 33: Potencial de pozo cuadrado.

El curso de FSICA CUNTICA para los estudiantes del Programa de Qumica de

El mdulo est dividido en dos unidades:

Fundamentos de Fsica Cuntica: Este captulo es de gran importancia

Ecuacin de Schrdinger: Este captulo dar estudio a la dinmica cuntica,

Este mdulo se encuentra diseado para que el lector, se apropie en forma

Es fundamental que el estudiante se apropie del uso de las Tecnologas de la

Nombre de la Unidad Fundamentos de fsica cuntica

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FSICA CUNTICA

1.1 Capitulo 1: Radiacin Cuntica

Leccin 1: Fsica Clsica vs Fsica Cuntica.

1.2 Capitulo 2: Partculas y ondas

Leccin 9: Emisin electrnica.

Leccin 12: La naturaleza dual de la radiacin

1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atmico

Leccin 15: Ondas de materia.

CAPTULO 1. RADIACIN CUNTICA

Leccin 1: Fsica Clsica vs Fsica Cuntica

La Fsica Cuntica trata de dar explicacin a todos los fenmenos no explicables

La superfluidez, la superconductividad, el estudio del carcter conductor o

La conductividad elctrica puede entenderse como sistema clsico, pero

Los anteriores ejemplos muestran claramente que la Fsica Cuntica es una

Antes de ello, retomemos el curso de fsica moderna donde se estableci que

3 10 ), es decir, la eleccin de la fsica relativista o no

Esta constante permite determinar la aplicabilidad de la Fsica Cuntica frente a la

Ahora, si las acciones del sistema son comparables con , entonces, se

Un claro ejemplo de la aplicabilidad de la Fsica Cuntica dada por la constante de

Calcule la accin de un pndulo simple formado por una masa de 1 , con un

Entonces, su accin ser:

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