INSTITUCIN UNIVERSITARIA ANTONIO JOS CAMACHO

TALLER DISTRIBUCIN NORMAL

Temas:
Distribucin normal estndar
Aplicaciones de la distribucin normal

La primera parte de la gua de este tema contiene orientaciones sobre la distribucin normal, en la segunda se
proponen ejercicios a desarrollar en el foro pensamiento aleatorio y aquellos para resolver en el segundo encuentro.

1 2
/ 2 2
f(X ) e ( x ) , - <x<
2
DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD NORMAL (Lectura
En esta ecuacin:
independiente, puede recurrir a algn texto)

La distribucin normal fue reconocida por primera vez por e=2.71828 y =3.1416 son las constantes que se
el francs Abraham de Moivre (1667-1754). utilizan frecuentemente en matemticas.
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elabor Los dos parmetros que definen la distribucin normal
desarrollos ms profundos y formul la ecuacin de la son (la media) y 2 (Varianza), de este parmetro se
curva; de ah que tambin se la conozca, ms obtiene con ayuda de la raz cuadrada la (la
comnmente, como la "campana de Gauss". desviacin estndar)
Se denota Z N (,2).
Una de las distribuciones tericas mejor estudiadas en los
textos de estadstica y ms utilizada en la prctica es la Las siguientes son algunas de las caractersticas ms
distribucin normal, tambin llamada Distribucin importantes de la distribucin normal:
Gaussiana o Campana de Gauss. Su importancia se debe
fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas 1. Es simtrica respecto a su media (): La curva hacia
variables asociadas a fenmenos naturales y cotidianos cualquiera de los lados de es una imagen de espejo
siguen, aproximadamente, est distribucin.
de la del otro lado. Segn esto, para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50% de
Como se mencion anteriormente, algunas distribuciones
observar un dato mayor que la media, y un 50% de
de datos de la vida real tienen la forma de una montaa,
observar un dato menor.
es decir se pueden aproximar por una distribucin de
2. La media, la mediana y la moda son iguales y
frecuencias con formas de una campana que se conoce
coinciden con el pico ms alto de la distribucin.
como la curva normal. Ver la figura 1.
3. El rea total bajo la curva sobre el eje X es igual al
100%. Si juntamos esto con el dato de la simetra, el
50% del rea est a la derecha de la media, y el otro
50% est a la izquierda.
4. Si se levantan lneas perpendiculares a una distancia
de una desviacin estndar desde la media hacia
ambos lados, el rea delimitada ser
aproximadamente, 68% del rea total (ver figura 2). De
Figura 1. Forma de la Distribucin normal, curva normal o la misma manera a 2 desviaciones estndar se
campana de Gauss. encuentra aproximadamente el 95.5% de los datos (ver
figura 3) y a 3 desviaciones estndar el 99.7% de los
La distribucin normal es la ms importante en la datos (ver figura 4).
estadstica. La comprensin de los conceptos relacionados
con esta distribucin constituye un gran avance en los
conocimientos de probabilidad y estadstica. La funcin de
densidad normal est dada por:

1
 DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR (Trabajar con la
tabla Normal Estndar (Z))

68% Tiene una media igual a cero (=0) y una varianza igual a
1 (2=1). Se denota Z N (0, 1). La ecuacin para la
distribucin normal estndar, z, se escribe:

1 2
f ( z) e z /2 , - < z<
Figura 2. En una distribucin normal aproximadamente el 68% 2
de los datos se encuentra a una desviacin estndar de la
media.
Para calcular la probabilidad de que z tome un valor entre
dos puntos cualesquiera sobre el eje horizontal, por
ejemplo, z0 y z1, se debe calcular el rea bajo una curva.
Esto debe hacerse por medio de clculo integral. En el
caso de la normal univariada, para calcular el rea entre
0.2 y 0.7, es necesario calcular la siguiente integral:
0. 7

95.5% 0.2 f ( z) dz

Por fortuna, no es necesario efectuar est operacin,

- 2 +2 porque existen tablas disponibles que proporcionan los
resultados de todas las integraciones en las que se pueda
estr interesado. Ests tablas estn incluidas en
Figura 3. En una distribucin normal aproximadamente el
cualquiera de los textos de probabilidad y estadstica.
95.5% de los datos se encuentra a dos desviaciones estndar de
la media.
Para trabajar los siguientes ejemplos, utilizaremos la Tabla
de la distribucin normal estndar Z. Est tabla presenta
reas de la curva normal P ( z z0 ). Los valores en el
cuerpo de la tabla son reas entre - y z0.

Ejemplo 1:
99.7%
Para utilizar la tabla normal estndar, el primer paso es
graficar el rea solicitada.
-3 +3
Dada la distribucin normal estndar, calcular:
Figura 4. En una distribucin normal aproximadamente el
99.7% de los datos se encuentra a tres desviaciones estndar de P (Z < 2.33) =?
la media

5. La distribucin normal es realmente una familia de

distribuciones. Los parmetros y 2 determinan
completamente la distribucin normal. Es decir, por
cada valor diferente de y 2 se especifica una
distribucin normal diferente. Los valores diferentes de 2.33
trasladan la grfica de la distribucin a lo largo del eje =0
de la variable x. Los valores de 2 determinan el grado Solucin: como el z0 solicitado es mayor que cero,
de aplanamiento o levantamiento de la grfica de la buscamos en la Tabla los valores de Z positivos: En la
distribucin. (Entre ms pequea 2 ms puntuda ser columna marcada como z nos ubicamos en la fila
la grfica y entre menos valor tenga 2 ms aplanada correspondiente al nmero 2.30; estando en dicha fila nos
ser la grfica) vamos hacia la derecha y nos ubicamos en la columna
marcada al inicio como 0.03 (2.30 + 0.03 = 2.33); el valor
que intercepta la fila 2.30 y la columna 0.03, es el rea
solicitada.

Es decir, P (Z < 2.33 ) = 0.9901.

2
Ejemplo 2:
a) Para hallar una probabilidad o rea intermedia, es
Veamos la simetra de la distribucin normal: decir: P(z0 < Z < z1), al rea mayor se le rest el rea
menor. En general:
Calcular P (Z < - 0.55 ) y P (Z > 0.55)
P(z0 < Z < z1) = P(Z < z1) - P(Z< z0)

a) P(-1.96 < Z < 1.96) = P(Z < -1.96) P(Z < 1.96)
= 0.9750 0.025 = 0.95

b) P(0 < Z < 1.77) = P(Z < 1.77) P(Z < 0)

= 0.9616 0.5000 = 0.4616

-0.55 c) P(-2.05 < Z < -1.10) = P(Z < -1.10) P(Z < -2.05)
= 0.1357 0.0202 = 0.1155

b) Para hallar un valor de Z, dada el rea:

a) P(Z < 1.96) = 0.9750 Z0.9750 = 1.96

b) P(Z < -1.64) = 0.0505 Z0.0505 = -1.64
c) P(Z < -0.86) = 0.1949 Z0.1949 = -0.86
d) P(Z < 1.05) = 0.8531 Z0.8531 = 1.05
e) P(Z < -2.57) = 0.0051 Z0.0051 = -2.57
0.55
f) P(Z < 2.9) = 0.9981 Z0.9981 = 2.9
Solucin:

APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIN NORMAL

P (Z < -0.55) = 0.2912. Bsquese en la Tabla para valores
ESTNDAR (Trabajo en el aula y de forma independiente)
de Z negativos la interseccin de la fila -0.50 con la
columna 0.05.
Estandarizar una variable es convertir una variable
P (Z > 0.55) = 1 - P (Z < 0.55 ) = 1 0.7088 = 0.2912 aleatoria con distribucin normal, con cualquier media y
cualquier varianza a una normal estndar con media 0 y
Por la simetra de la distribucin normal, se cumple que: P varianza 1.
(Z < - 0.55) = P (Z > 0.55) = 0.2912.
Generalmente, los investigadores despus de medir
Ejemplo 3: variables cuantitativas, desean hacer "extrapolaciones" a
la poblacin de donde obtuvieron las muestras de
Calcular la probabilidad de que una Z, sacada al azar, mediciones que representan sus datos. Ests
tenga un valor entre -2.87 y 2.64. extrapolaciones implican poder estimar las probabilidades
de ocurrencia de algunos eventos de inters dentro del
rango de valores que toma su variable cuantitativa. Para
poder hacer esto, se debe primero establecer la forma de
distribucin que tienen los datos (para esto existen
pruebas estadstica especficas que no trataremos en este
curso). Cuando se sabe que las mediciones recogidas se
ajustan a una distribucin normal de probabilidades, se
puede "estandarizar" dicha variable, es decir; se llevan los
datos a la forma de una normal estndar aplicando el
-2.87 0 2.64 siguiente cambio de variable con la ecuacin:
x
Solucin: Al dibujar el rea solicitada, nos damos cuenta z

que es necesaria la siguiente operacin:
Donde es la media aritmtica que toma la variable en la
P (-2.87 < Z < 2.64) = P (Z < 2.64) - P (Z < - 2.87).
poblacin y es su desviacin estndar poblacional.
Por tanto, P (-2.87 < z < 2.64) = 0.9959 - 0.0021 = 0.9938.
Ejemplo 4:

3
La vida media de una lmpara, segn el fabricante, es de 75 68
68 meses, con una desviacin tpica de 5 meses. Se = P (Z ) - P (Z
5
supone que se distribuye segn una distribucin normal en
un lote de 10.000 lmparas. 65 68
)
5
a) cul es la variable aleatoria? cules son los = P ( Z < 1,40) - P ( Z < -0,60)
parmetros? Qu porcentaje de lmparas se = 0,9192 0,2743
estropearn antes de 60 meses? = 0,6450
b) Cuntas lmparas superarn previsiblemente los 75
meses? El 64,5% de las lmparas duraran entre 65 y 75 meses.
c) Qu porcentaje de lmparas duraran entre 65 y 75
meses?
d) Cunto tiempo durar el 10% de las lmparas menos d) Cunto tiempo durar el 10% de las lmparas menos
duraderas? duraderas?

Solucin: Llamemos k el valor a encontrar, luego:

a) Llamando X la variable aleatoria de la vida de una P(X < k) = 0.10

lmpara (en meses), tenemos que: X N (68, 25) y
necesitamos calcular la P( X < 60). k 68
Por otro lado: P (Z ) = 0.10
5
De esta distribucin normal no tenemos tabla, pero
x
creando la variable aleatoria z , la convertiremos De la tabla de la normal estndar se sabe que:
P(Z < -1.28) = 0.10, luego
en una distribucin normal estndar. Entonces:
k 68
60 68 = -1.28, y al despejar k se tiene k = 61,6 meses.
P( X < 60 ) = P ( Z ) 5
5
= P ( Z 1,60) = 0,0548 La frmula que se utiliza en estos casos es despejar x de
As, se estima que 5.48% del total de lmparas duraran x
menos de 60 meses. la ecuacin: z

b) Necesitamos calcular la P( X > 75). Entonces: x z

Siguiendo el mismo proceso de estandarizacin, se tiene Ejemplo 5:

que:
Supngase que los dimetros de los rboles de ciertas
P( X > 75 ) = 1 - P ( Z < 75 ) especies de un bosque, distribuyen normalmente con
75 68 media de 8 pulgadas y desviacin estndar de 2 pulgadas.
= 1-P(Z )
5 Si se define que un rbol tiene un dimetro inusualmente
= 1 - P ( Z < 1,40) = 1 0,9192 = 0,0808 grande cuando tiene ms de 12 pulgadas: calcule la
probabilidad de encontrar un rbol de dimetro
Luego, el 8,08% de las lmparas duraran al menos 75 inusualmente grande.
meses. De las 10.000 lmparas aproximadamente 808
duraran ms de 75 meses (multiplique n * la probabilidad
encontrada).

c) Qu porcentaje de lmparas duraran entre 65 y 75

meses? P (65 < X < 75) = ?

Estandarizando en ambos lados de la ecuacin se tiene

que:

P( 65 < X < 75 ) = P(X < 75 ) - P(X < 65 ) =8 12

= P (del mayor) P (del menor)

4
Solucin: Llamando X la variable aleatoria de las medidas 12 8
de los dimetros, tenemos que: X N ( 8, 4 ) y = 1- P ( Z )
2
necesitamos calcular la P( X > 12 ). = 1- P ( Z 2 ) = 1 - 0.977 = 0.023
De esta distribucin normal no tenemos tabla, pero
As, se estima que 2.3% del total de rboles de esta rea
x tienen un dimetro inusualmente grande.
creando la variable aleatoria z , la convertiremos

en una distribucin normal estndar. Entonces:

P( X > 12 ) = 1 - P ( X 12 )

EJERCICIOS DEL TALLER

Resolver los ejercicios pares y publicar en la plataforma de acuerdo con los tiempos y la
asignacin realizada por el docente.
Ejercicio # 1: Verifique los siguientes resultados:

En general, para una probabilidad o rea menor que Z,

es decir: P(Z < z 0), se busca directamente el valor de
la tabla, indique Cul de los tres resultados est Ejercicio # 4:
errado?:
Completar:
a) P(Z < 1.25) = 0.8944
b) P(Z < -2.57) = 0.0851 a) Alrededor del 68% del rea por debajo de la curva
c) P(Z < -0.86) = 0.1949 normal se encuentra dentro de una desviacin
d) Ninguno estndar de la media.
b) Aproximadamente 95.5% del rea por debajo de la
Ejercicio # 2: Verifique los siguientes resultados: curva normal se encuentra dentro de dos
desviaciones estndar de la media.
Para hallar una probabilidad o rea mayor que Z, es decir:
P(Z > z0), a la unidad (1) se le resta el valor de la tabla, Ejercicio #5:
indique Cul de los tres resultados est errado?:
El tiempo promedio (en minutos) que tardaron 15
operarios en familiarizarse con el manejo de una nueva
a) P(Z > 1.25)=0.1056 mquina adquirida por la empresa fue de 5.4 con una
b) P (Z > -1.96)=0.9550 desviacin estndar de 2.2. Cul es la varianza del
c) P (Z > 0.75)=0.2266 tiempo que tardan los operarios en aprender a operar la
d) Ninguno nueva mquina?

Ejercicio 6
Ejercicio # 3: Considere el experimento que consiste en lanzar un dado
en dos ocasiones consecutivas
Indique, cul de los siguientes es verdadero?:
a. Escriba el espacio muestral:
a) P (Z < 0.55)=0.5088
b) P (Z > 1.25)=0.2056 P{1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6,
c) P (-1.64 < Z < 1.64)=0.9495-0.0505=0.899 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6,
d. Ninguno 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6,
4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6

5
 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, c) P (0.55 < Z < 2.55)=0.9946-0.6088=0.2858
6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6.}=36 e) Ninguno.

b. Realice la suma de las probabilidades de cada uno Ejercicio # 11:

de los eventos del espacio muestral.
a) Cerca del ________% del rea por debajo de la
curva normal est dentro de tres desviaciones
R: p(s)= p (1.1) + (1.2) + (1.3) + (1.4) + (1.5) + (1.6) estndar de la media.
(2.1) + (2.2) + (2.3) + (2.4) + (2.5) + (2.6) b) Indique falso o verdadero a la siguiente
(3.1) + (3.2) + (3.3) + (3.4) + (3.5) + (3.6) afirmacin: el rea bajo la curva de la distribucin
(4.1) + (4.2) + (4.3) + (4.4) + (4.5) + (4.6) de probabilidad normal estndar menos a uno
(5.1) + (5.2) + (5.3) + (5.4) + (5.5) + (5.6)
Ejercicio # 12:

P (s)= 1/36= 0.0277 Los puntajes logrados en una prueba de aptitud para
P (s)=0.0277 x 36= 1 estudiantes de Administracin siguen una distribucin
aproximadamente normal, con una media de 500 y una
varianza de 10.000. Cul es la desviacin estndar de
los puntajes?
Ejercicio # 7:
R: p x=10.000
Un estudio sobre el colesterol en hombres entre 20 y 24 =500
aos de edad revel un nivel promedio de 180 mg/dl con =?
una desviacin estndar de 15. Si se selecciona un
trabajador aleatoriamente, cul es la probabilidad de que
su nivel de colesterol sea Inferior a 170 mg/dl? 10.000=100
La desviacin estndar de los puntajes de es 100

Ejercicio 13
Ejercicio # 8: Verifique los siguientes resultados:
Considere el experimento que consiste repartir dos
En general, para una probabilidad o rea menor que Z, es premios entre tres personas (Juan, Carlos, Andrs) de
decir: P(Z < z0), se busca directamente el valor de la tabla forma aleatoria.
indique Cul de los tres resultados est errado?
a. Escriba el espacio muestral
a) P(Z < -0.20) = 0.6207 b. Realice la suma de las probabilidades de cada uno
b) P(Z < 1.05) = 0.8531 de los eventos del espacio muestral.
c) P(Z < 2.9) = 0.9981
d) Ninguno. Ejercicio # 14:
Un estudio sobre el colesterol en hombres entre 20 y 24
Ejercicio # 9: Verifique los siguientes resultados: aos de edad revel un nivel promedio de 180 mg/dl con
una desviacin estndar de 15. Si se selecciona un
Para hallar una probabilidad o rea mayor que Z, es decir: trabajador aleatoriamente, cul es la probabilidad de que
P(Z > z0), a la unidad (1) se le resta el valor de la tabla, su nivel de colesterol ea superior a 190 mg/dl?
indique Cul de los tres resultados est errado?:
R: P (Z>0.66) = 0.2578= 25.78% la probabilidad de
a) P(Z > 1.25) = 1 - P(Z < 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056 que su nivel de colesterol sea superior a 190 es del
b) P(Z > -2.57) = 1 - P(Z < -2.57) = 1 - 0.0051= 0.9949 25.78%
c) P(Z > -0.86) = 1 - P(Z < -0.86) = 1 - 0.2549= 0.7451
d) Ninguno.

Ejercicio # 15: Verifique los siguientes resultados:

Ejercicio # 10:
En general, para una probabilidad o rea menor que Z, es
Indique, cul de los siguientes es verdadero?:
decir: P(Z < z0), se busca directamente el valor de la tabla
indique, Cul de los tres resultados est errado?:
a) P (Z < 2.04)=0.500
b) P (Z > 0.75)=0.2266
a) P(Z < -0.86) = 0.1949
6
 b) P(Z < -0.20) = 0.4207 Considere el experimento que consiste en el resultado de
c) P(Z < 1.05) = 0.3531 un partido de futbol.
d) Ninguno
a. Escriba el espacio muestral
Ejercicio # 16: Verifique los siguientes resultados: R: P (s) {Ganar (1), perder (0), empatar (1.1)}
Para hallar una probabilidad o rea mayor que Z, es decir: b. Realice la suma de las probabilidades de cada uno
P(Z > z0), a la unidad (1) se le resta el valor de la tabla, de los eventos del espacio muestral.
indique Cul de los tres resultados est errado?:

a) P(Z > -0.20) = 1 - P(Z < -0.20) = 1 - 0.107= 0.893

b) P(Z > 1.05) = 1 - P(Z < 1.05) = 1 - 0.8531= 0.1469
R: P (1) + (0) + (1.1)
c) P(Z > 2.9) = 1 - P(Z < 2.9) = 1 - 0.9981= 0.0019 P (s) = 1/3=0.333333333
d) Ninguno P (s) = 0.333333333x=1
Ejercicio # 17: c. Realice la suma de las probabilidades de cada uno
de los eventos del espacio muestral.
Indique cul de los siguientes es verdadero?:
Ejercicio 21:
a) P (Z < -0.55)=0.2912 Un estudio sobre el colesterol en hombres entre 20 y 24
b) P (Z > 0.75)=0.2966 aos de edad revel un nivel promedio de 180 mg/dl con
c) P(0.45 < Z < 1.58)=0.8429-0.6736=0.2693 una desviacin estndar de 15. Si se selecciona un
d) Ninguno trabajador aleatoriamente, cul es la probabilidad de que
su nivel de colesterol se encuentre entre 170 mg/dl y 195
Ejercicio # 18: mg/dl?

a) Qu diferencia hay entre la distribucin normal y

la distribucin normal estndar?

R: En la distribucin normal los dos

parmetros que la definen son la media y la
Varianza, mientras que para la distribucin
normal estndar estos valores estn
comprendidos entre 0 y 1 as: para la media =0
y para la varianza = 1

b) Menciona al menos 3 caractersticas de la

distribucin normal.

R: a. Es simtrica respecto a su media.

c. La media, la mediana y la moda son iguales y

coinciden con el pico ms alto de la distribucin

c. El rea total bajo la curva sobre el eje X es igual al

100%.

Ejercicio # 19:

Los puntajes logrados en una prueba de aptitud para

estudiantes de Administracin siguen una distribucin
aproximadamente normal, con una media de 25 y una
varianza de 9. Cul es la desviacin estndar de los
puntajes?

Ejercicio 20: