Transito Hidraulico 1
Transito Hidraulico 1
Transito Hidraulico 1
x
Figura N 1: Descarga a travs de un volumen de control elemental
Q
h
A , T
ECUACIN DE CONSERVACIN DE MASA
2
x
x
Q
Q
+
Con referencia al volumen de control de la Figura 1: Q, h, A y T son la
descarga, el tirante, el rea mojada y el espejo de agua en el centro del
volumen de control respectivamente en el instante t. El principio de
conservacin de masa implica que el flujo neto a travs del volumen de
control en el intervalo t debe ser igual al cambio en volumen del volumen
de control en el mismo intervalo:
t
t
x A
t x
x
Q
t
2
x
x
Q
Q
2
x
x
Q
Q
) (
Por lo tanto, la ecuacin de conservacin de masa resulta:
0 =
t
h
B
x
Q
t
A
x
Q
En trminos de la velocidad: Q = UA, se obtiene:
0
x
h
BU
x
U
A
t
h
B
x
AU
t
A
=
) (
Para un canal rectangular: A = Bh, por lo que la ecuacin (3) se reduce a:
0
t
h
x
U
h
x
h
U
t
h
x
Uh
= + + = +
) (
) ( ) (
) (
ECUACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
x
Figura N 2: Esquema para la deduccin de la ecuacin de momento
Y
h
A , P
z
Nivel de referencia
Fondo
Q
Es conocido que la aceleracin
total en la direccin del flujo es:
x
U
U
t
U
a
+ =
La ecuacin de movimiento
para el tramo considerado es:
x P Y gA
x
U
U
t
U
x A
0
+
Teniendo en consideracin que:
0
= gRS
f
, P = A/R ,
Y/x Y/x , Y = z + h y z/x = - S
o
la ecuacin anterior
se transforma en trminos de la velocidad y profundidad en:
{
{
( ) 0
= + + +
43 42 1
3 2 1 3 2 1
friccion
fuerza
o f
gravedad
fuerza
presion
fuerza
convectiva
n aceleracio
local
n aceleracio
S S g
x
h
g
x
U
U
t
U
Onda de Difusa
171
h
g
TS 30
2
1
o
<
Onda Dinmica
30
h
g
TS
2
1
o
<
Conservacin
de Momento
( ) 0 =
o f
S S
Relacin General
entre A y Q
Q A=
Conservacin
de masa
5 / 3
5 / 3
3 / 2
Q
S
nP
Q A
o
= =
Ecuacin de
Manning
Derivando la ecuacin que relaciona
A y Q con respecto a t, se tiene:
t
Q
Q
t
A
1
Reemplazando en la ecuacin de
conservacin de masa
q
t
Q
Q
x
Q
=
=
Dividiendo esta ecuacin por dx y
reordenando se llega a:
dx
dQ
t
Q
dx
dt
x
Q
=
=
Q dt
dx
Diferenciando la ecuacin que
relaciona A y Q y reordenando
adecuadamente e tiene:
1
1
=
Q dA
dQ
Comparando la dos ecuaciones
anteriores, puede verse que:
dt
dx
dA
dQ
c = =
Donde c es la celeridad de onda cinemtica. Esto implica que
un observador movindose a una velocidad c = dx/dt vera
que el caudal se incrementa a una tasa de dQ/dA = q. Si q =
0, el observador vera un caudal constante. Las ecuaciones
dQ/dx = q y dQ/dA = dx/dt son ecuaciones caractersticas
para una onda cinemtica, dos ecuaciones diferenciales
ordinarias que son matemticamente equivalentes a las
ecuaciones de continuidad y de momento.
La solucin de las ecuaciones de onda cinemtica permite
determinar la distribucin del flujo como una funcin de la
distancia, x, y del tiempo t. La solucin puede obtenerse
numricamente utilizando aproximaciones de diferencias
finitas o analticamente resolviendo en forma simultnea las
ecuaciones caractersticas anteriores.
Solucin Numrica de la Onda Cinemtica
Tal como se muestra en el anlisis anterior, pueden
combinarse las ecuaciones de continuidad y momento de la
onda cinemtica para producir una ecuacin con Q como la
nica variable dependiente:
q
t
Q
Q
x
Q
=
+ +
+
1 1
1
La forma en diferencias finitas de la
derivada temporal se encuentra de
manera similar al sustituir los valores de
Q en la (j+1)-sima lnea de distancia.
t
Q Q
t
Q
j
i
j
i
+
+
+ 1
1
1
Con el fin de plantear las ecuaciones de
diferencias finitas se usa un mtodo de
diferencias regresivas o hacia atrs. La
forma de diferencias finitas de la
derivada espacial de se encuentra
sustituyendo los valores de Q en la (j+1)-
sima lnea de tiempo.
1 + j
i
Q
1
1
+
+
j
i
Q
1
1
+
+
j
i
Q
1
1
+
+
j
i
Q
1
1
+
+
j
i
Q
t
x
jt
(j+1)t
ix (i+1)x
Q
t
x
Figura 4: Esquema de Diferencias Finitas para la Solucin de
la Ecuacin de Onda Cinemtica
x
Q
j
i
Q
j
i
Q
1 +
1 + j
i
Q
t
Q
Si se utilizara el valor Q
i+1
j+1
en lugar de Q en el
trmino Q
-1
de la ecuacin de onda, la ecuacin
resultante sera no lineal en Q
i+1
j+1
. Para crear una
ecuacin lineal, el valor de Q usado en el trmino
Q
-1
es el promedio de los valores de la diagonal:
2
1
1
+
+
+
j
i
j
i
Q Q
Q
El valor del caudal lateral, q, se encuentra
promediando los valores en la (i + 1)-sima lnea de
distancia (dados en el problema):
2
1
1
1
j
i
j
i
q q
q
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2 2
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i j
i
j
i
j
i
Q Q
x
t
q q
t
Q Q
Q Q
x
t
Q