Álgebra Elemental

lgebra elemental
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El lgebra elemental incluye los conceptos bsicos de lgebra, que es una de la ramas
principales de las matemticas. Mientras que en la aritmtica solo ocurren los nmeros y
sus operaciones aritmticas elementales (como +, -, , ), en lgebra tambin se utilizan
smbolos para denotar nmeros (como x, y, a y b). stos se denominan variables. El
trmino lgebra elemental se usa para distinguir este campo del lgebra abstracta, la parte
de la matemtica que estudia las estructuras algebraicas.
Lo anterior es til porque:
permite la generalizacin de ecuaciones aritmticas (y de inecuaciones) para ser
indicadas como leyes (por ejemplo para toda y ), y es as el
primer paso rumbo al estudio sistemtico de las propiedades del sistema de los
nmeros reales;
permite la referencia a nmeros que no se conocen; en el contexto de un problema,
una variable puede representar cierto valor que todava no se conoce, pero que
puede ser encontrado con la formulacin y la manipulacin de las ecuaciones;
permite la exploracin de relaciones matemticas entre las cantidades (por ejemplo,
si usted vende x boletos, entonces, su beneficio ser 3x - 10 dlares).
Estas tres son los hilos principales del lgebra elemental, que deben distinguirse del lgebra
abstracta, un tema ms avanzado que generalmente se ensea a los estudiantes
universitarios.
En lgebra elemental, una expresin puede contener nmeros, variables y operaciones
aritmticas. Por convencin, stos generalmente se escriben con los trminos con
exponente ms altos a la izquierda (ver polinomio); algunos ejemplos son:

En un lgebra ms avanzada, una expresin tambin puede incluir funciones elementales.
Una ecuacin es la aseveracin de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son
verdades para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo );
tales ecuaciones son llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para
solamente algunos valores de las variables implicadas: . Los valores de las
variables que hacen la ecuacin verdadera se llaman las soluciones de la ecuacin.
ndice
1 Signos algebraicos
o 1.1 Signos de operacin
o 1.2 Signos de relacin
o 1.3 Signos de agrupacin
2 Expresiones algebraicas
o 2.1 Trmino
2.1.1 Trmino independiente
2.1.2 Trminos semejantes
2.1.3 Grado de un trmino
o 2.2 Polinomio
2.2.1 Valor numrico de un polinomio
3 Leyes del lgebra elemental
o 3.1 Propiedades de las operaciones
o 3.2 Orden de las operaciones
o 3.3 Propiedades de la igualdad
o 3.4 Leyes de la igualdad
o 3.5 Leyes de la desigualdad
o 3.6 Regla de los signos
4 Vase tambin
5 Referencias
o 5.1 Bibliografa
Signos algebraicos
Signos de operacin
Al igual que en la aritmtica, en el lgebra se usan las operaciones de suma, resta,
multiplicacin, y divisin. Adicionalmente estn las operaciones de potenciacin,
radicacin y logaritmos.
Los signos de operacin son:
suma: +:
.
resta: -:

multiplicacin: o , o es implcito entre las variables:

divisin: /, : o :

potenciacin: es un pequeo nmero o letra que aparece arriba y a la derecha de una
cantidad:

radicacin:

logaritmos:

Signos de relacin
Indican la relacin que hay entre dos expresiones. Los signos de relacin son:
menor que: <
mayor que: >
igual a: =
Signos de agrupacin
Los signos de agrupacin se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las
operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.
Los signos de agrupacin son:
los parntesis: ()
los corchetes: []
las llaves: {}
las barras: II
Si no aparece signo entre el nmero y el signo de agrupacin, se tiene que realizar una
multiplicacin; por ejemplo:
15 (3-2) = 15
Otro ejemplo seria:
8 + (5+4) = (5+4) + 8
Expresiones algebraicas
Trmino
Un trmino es una expresin algebraica elemental donde se encuentran solo operaciones de
multiplicacin y divisin de nmeros y letras. El nmero se llama coeficiente y las letras
conforman la parte literal. Tanto el nmero como cada letra pueden estar elevados a una
potencia. En una expresin algebraica con varios trminos, stos estn separados con signos
de suma y resta.
Trmino independiente
El trmino independiente es el que consta de solo un valor numrico y no tiene parte literal.
Trminos semejantes
Los trminos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las
mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varan solo en el coeficiente. Solo se
pueden sumar y restar trminos semejantes. No se pueden sumar y restar trminos que no
sean semejantes; sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de trminos. Si en
una expresin algebraica hay varios trminos semejantes, stos se pueden simplificar
sumndolos o restndolos.
Grado de un trmino
El grado de un trmino puede ser de dos tipos: grado absoluto y grado relativo.
Polinomio
Artculo principal: Polinomio.
Un polinomio es una expresin algebraica en la cual solo intervienen las operaciones de
suma, resta y multiplicacin, as como exponentes enteros positivos.
1
Cuando el polinomio
consta de uno, de dos o de tres trminos se llama monomio, binomio o trinomio,
respectivamente. Generalmente, un polinomio P en la variable x se expresa como:

Valor numrico de un polinomio
Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numricos y luego realizar las
operaciones del polinomio.
Leyes del lgebra elemental
Propiedades de las operaciones
La operacin de adicin (+)
o se escribe
o es conmutativa:
o es asociativa:
o tiene una operacin inversa llamada sustraccin: , que es
igual a sumar un nmero negativo,
o tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma:
La operacin de multiplicacin ()
o se escribe
o es conmutativa: =
o es asociativa:
o es abreviada por yuxtaposicin:
o tiene una operacin inversa, para nmeros diferentes a cero, llamada
divisin: , que es igual a multiplicar por el recproco,

o tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicacin:
o es distributiva respecto la adicin:
La operacin de potenciacin
o se escribe
o es una multiplicacin repetida: (n veces)
o no es ni comutativa ni asociativa: en general y
o tiene una operacin inversa, llamada logaritmo:
o puede ser escrita en trminos de raz n-sima: y por lo
tanto las races pares de nmeros negativos no existen en el sistema de los
nmeros reales. (Ver: sistema de nmeros complejos)
o es distributiva con respecto a la multiplicacin:
o tiene la propiedad:
o tiene la propiedad:
2

Orden de las operaciones
Para completar el valor de una expresin, es necesario calcular partes de ella en un orden
particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las
operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de
agrupacin (parntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por
ltimo, las sumas y las restas.
Propiedades de la igualdad
La relacin de igualdad (=) es:
reflexiva:
simtrica: si entonces
transitiva: si y entonces
Leyes de la igualdad
La relacin de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:
si y entonces y
si entonces
si dos smbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
regularidad de la suma: trabajando con nmeros reales o complejos sucede que si
entonces .
regularidad condicional de la multiplicacin: si y no es cero,
entonces .
Leyes de la desigualdad
La relacin de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:
de transitividad: si y entonces
si y entonces
si y entonces
si y entonces
Regla de los signos
En el producto y en el cociente de nmeros positivos (+) y negativos (-) se cumplen las
siguientes reglas:

Vase tambin
lgebra
ecuacin
eliminacin de Gauss-Jordan
polinomio
recta numrica
teorema fundamental del lgebra
Referencias
1. Polinomio, sitio Mathwords (en ingls).
2. Mirsky, Lawrence, 1990, p.72-3
Bibliografa
Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press,
2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [1] 2006, [2] 1822.
Mirsky, Lawrence (1990): An Introduction to Linear Algebra, Library of Congress.
p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical
Math Monographs.
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