Este documento presenta diferentes criterios para factorizar polinomios, incluyendo: (1) trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos, polinomios de Stevin, polinomios trinómicos de Arrhenius, y polinomios de Gauss. También explica cómo aplicar técnicas como cambio de variables y sumar/restar términos simultáneamente para facilitar la factorización.
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Criterio de las Identidades
A) Trinomio Cuadrado Perfecto
Es aquel polinomio de tres trminos que tiene raz cuadrada exacta, que se caracteriza porque sus trminos extremos son cuadrados perfectos, y el trmino central es igual al doble de las races cuadradas de dichos trminos extremos. Forma General: T central = 2 ! m " # n " E$emplos explicati%os& ' (ea& T central = 2 2x" )y" = *2xy +or lo tanto & + x,y" = 2x , )y" 2 ' -ado& T central = 2 .x ) " /yz 0 " = *21x ) yz 0 +or lo tanto& 2 x,y,z" = .x ) 3 /yz 0 " 2 B) Diferencia de Cuadrados Forma General: E$emplos explicati%os& ' (ea& +or lo tanto& 4 x,y" = 5x , 0y" 5x 3 0y" ' -ado& 6uego& T a,b,c" = .a ) , **bc 2 " .a ) 3 **bc 2 " ' (e tiene& 7 m,n" =201m 5 8 n 5 -irectamente, tomando como trminos de los factores a descomponer, las races cuadradas de los trminos propuestos& 7 m,n" = *1m 9 , n 9 " *1m 9 3 n 9 " 2actorizando el segundo de los factores& 7 m,n" = *1m 9 , n 9 " 9m 2 ,n 2 " 9m 2 3 n 2 " -el mismo modo, el tercer factor& 7 m,n" = *1m 9 ,n 9 "9m 2 ,n 2 "2m,n"2m3n" C) Suma y Diferencia de Cubos Forma General: E$emplos explicati%os& ' (ea& + x,y" = )x , 2y" .x 2 8 1xy , 9y 2 " ' -ado& 4 c" = *:c 2 , *" *::c 9 8 *:c 2 , *" Forma General: E$emplos explicati%os& ' (ea& 2 a,b,c" = 0a ) 8 bc 9 " 20a 1 , 0a ) bc 9 , b 2 c 5 " Siempre debemos tener en cuenta lo siguiente: a ) , b ) = a , b" a 2 8 ab , b 2 " a ) 8 b ) = a 8 b" a 2 , ab , b 2 " a ) , * = a , *" a 2 8 a , *" a ) 8 * = a 8 *" a 2 , a , *" D) Polinomio de Stevin E$emplos& ' 2actorice& + x" = x 2 , 5x , *0 + x" = x 2 , 0,)"x , 0" )" + x" = x , 0" x , )" ' 2actorice& 2 a" = a 2 8 **a , ): 2 a" = a 2 , 3180"a , 31" 30" 2 a" = a 3 1" a 3 0" ' 2actorice& ; m" = m 9 , 9m 2 3 2* ; m" = m 9 , /8)"m 2 , /" 3)" ; m" = m 2 , /" m 2 3 )" ' 2actorice& 2 c" = c 1 8 c ) 8 /2 2 c" = c 1 , 8.,5"c ) , 3." 5" 2 c" = c ) 3 ." c ) , 5" El segundo factor es una suma de cubos. 2 c" = c ) 3 ." c , 2" c 2 3 2c , 9" ' 2actorice& 2 x" = x 2 , ax , bx , cx , ac , bc 2 x" = x 2 , a,b,c"x , a,b" c" 2 x" = x,a,b" x,c" 2actorice& 4 y" = y 2 , 2my , m 2 3 * 4 y" = y 2 ,<m,*",m8*"=y,m,*"m3*" 4 y" = y , m , *" y , m 3 *" E) Polinomio Trinmico de Ar!and E$emplos& ' 2actorice& + a,b" = a 5 , a 9 b 9 , b 5 >denti?cando m=2 y n=2. -escomponiendo& + a,b" = a 9 , a 2 b 2 , b 9 " a 9 8 a 2 b 2 , b 9 " +ara el primer factor m=* y n=*. 6uego& + a,b" = a 2 ,ab,b 2 " a 2 8ab,b 2 " a 9 8a 2 b 2 ,b 9 " ' 2actorice& + x,y" = x 25 , x *9 y *: , y 2: +or comparaci@n se deduce que& m=/ y n=0 2actorizando, se tiene& + x,y" = x *9 , x / y 0 , y *: " x *9 8 x / y 0 , y *: " ' 2actorice& 2 m" = m )2 , m *1 , * 2 m" = m *1 , m 5 , *" m *1 3 m 5 , *" 2 m" = m 5 ,m 9 ,*" m 5 3m 9 ,*" m *1 3m 5 ,*" 2 m" = m 9 ,m 2 ,*" m 9 3m 2 ,*" m 5 3m 9 ,*" m *1 3m 5 ,*" 2 m" = m 2 ,m,*"m 2 3m,*"m 9 3m 2 ,*" m 5 3m 9 ,*"m *1 3m 5 ,*" F) Polinomio de Gauss E$emplos& ' 2actorizar& + x,y" = x ) , y ) , 1xy 3 5 -Andole la forma general, se tiene& + x,y" = x ) , y ) , 32" ) 3 )xy 32" >denti?cando& a=x, b=y, c=32 6os factores resultantes serAn& + x,y" = <x,y,32"= <x 2 ,y 2 ,32" 2 8x"y"3y"32"332"x"= +or lo tanto& + x,y" = x , y 3 2" x 2 , y 2 , 9 3 xy , 2y , 2x" Teorema N 14.- Todo polinomio cuadrAtico de coe?cientes enteros de la forma general& + x" = !x 2 , #x , B C ! : es factorizable racionalmente, si y solo s, el discriminante = # 2 3 9!B es un cuadrado perfecto. E$emplos explicati%os& ' El polinomio 0x 2 , /x 3 1" es factorizableD Balculemos el %alor del discriminante& = /" 2 3 9 0" 31" = 9. , *2: = *1. ;esult@ un cuadrado perfecto. +or lo tanto, la expresi@n podrA ser descompuesta en factores racionales. ' E6a expresi@n 5x 2 3 22xy , *0y 2 " podrA ser factorizada racionalmente D !plicando el Teorema *9, se tiene& = 322" 2 3 9 5" *0" = 959 3 95: = 9 (e ha obtenido un cuadrado perfecto. +or lo tanto, es factorizable en 4. ' Es factorizable /x 2 , x , 5" en el con$unto 4D !plicando la propiedad& = *" 2 3 9 /" 5" = * 3 229 = 322) (e obser%a que 322)" no es un cuadrado perfecto. +or lo tanto, el polinomio no es factorizable en 4. ' -emostrar que , el polinomio& <x 2 , F,*" x , F= es factorizable en 4D Balculemos su discriminante& - = F , *" 2 3 9 *" F" = F 3 *" 2 Es e%idente que F 3 *" 2 es un cuadrado perfecto . +or lo tanto, el polinomio siempre serA factorizable. I"# Criterios $ara a$licar arti%cios A) Cambio de "ariable Gos permite encontrar una expresi@n equi%alente mAs sencilla, para lo cual la parte repetiti%a de la expresi@n original, se debe (H(T>TH>; por una nue%a %ariable simple. E$emplos explicati%os& ' 2actorice& + x" = x ) , )x 2 , )x , 2 2ormando el desarrollo del cubo de un binomio& + x" = x ) , )x 2 , )x , *" ,* + x" = x , *" ) , * (ustituyendo& x , * = a ;esulta como equi%alente& + = a ) ,* +or teora& + = a , *" a 2 3 a , *" ;egresando a su %ariable original, se tiene& + x" = <x,*" , *= < x,*" 2 3 x,*" , *= +or lo tanto& + x" = x , 2" x 2 , x , *" ' 2actorice& 2 a" = a , )" 2 , 2a , / 2ormando la expresi@n repetiti%a a,)", as& 2 a" = a , )" 2 , 2 a , )" ,* (ustituyendo& a , ) = h ;esulta& 2 = h 2 , 2h , * hemos obtenido un trinomio cuadrado perfecto& 2 = h ,*" 2 ;egresando& 2 a" = a,),*" 2 = a,9" 2 ' 2actorice& ; m" = m 2 ,0m,0" 2 3 *2mm,0" 3 9. Efectuando con%enientemente el 2do. grupo de trminos y descomponiendo& 39. = 31: , **. (e tendrA& ; m" = m 2 ,0m,0" 2 3 *2m 2 ,0m" 3 1: , ** factorizando 3*2" en la demarcaci@n, resulta& ; m" = m 2 ,0m,0" 2 3 *2m 2 ,0m,0" , ** (ustituyendo& m 2 , 0m , 0 = x (e obtiene& ; = x 2 3 *2x , ** +olinomio de (te%in" Es decir& ; = x 2 , 3**3*" x , 3**" 3*" +or lo tanto& ; = x 3 **" x 3 *" ;egresando& ; m" = m 2 , 0m , 0 8 **" m 2 , 0m , 0 3 *" ; m" = m 2 , 0m 3 1" m 2 , 0m , 9" -e nue%o, dos polinomios de (te%in& ; m" = m , 1" m 3 *" m , *" m , 9" B) Sumar y restar simult&neamente B'# Para Polinomios de Grado $ar (e trata de sumar y restar un mismo trmino en un polinomio, con la ?nalidad de formar un trinomio cuadrado perfecto TB+", para luego expresar dicho polinomio, como una diferencia de cuadrados. E$emplos explicati%os& ' 2actorice& T c = 2 x 2 " 0" = *:x 2 -ebemos sumar y restar *:x 2 , as& P (x) = (x 2 + 5) 2 (4x) 2 -escomponiendo la diferencia de cuadrados& + x" = x 2 , 0 , 9x" x 2 , 0 3 9x" ordenando& + x" = x 2 , 9x , 0" x 2 3 9x , 0" ' 2actorice& T c = 2 a 2 " 2b 2 " = (umando y restando 9a 2 b 2 , se tiene& 2 a,b" = a 2 , 2b 2 " 2 3 2ab" 2 -escomponiendo la diferencia de cuadrados& 2 a,b" = a 2 , 2b 2 , 2ab" a 2 , 2b 2 3 2ab" ordenando, se tiene& 2 a,b" = a 2 , 2ab,2b 2 " a 2 32ab,2b 2 " ' 2actorice& T c = 2 *::m 9 " *" = 2::m 9
(umando y restando 2::m 9 , resulta& ; m" = *::m 9 , *" 2 3 *9m 2 " 2 ; m" = *::m 9 , * , *9m 2 " *::m 9 , * 3 *9m 2 " 2inalmente& ; m" = *::m 9 , *9m 2 , *" *::m 9 3 *9m 2 , *" B(# Para Polinomios de Grado im$ar 6uego de sumar y restar un trmino, se debe agrupar con%enientemente. +ara esto, serA necesario considerar las siguientes equi%alencias & x ) , * = x , *" x 2 3 x , *" x ) 3 * = x 3 *" x 2 , x , *" x 9 , x 2 , * = x 2 , x , *" x 2 3 x , *" E$emplos explicati%os& ' 2actorice& + x" = x 0 , x , * ;estando y sumando x 2 , se tiene& + x" = x 0 3 x 2 , x 2 , x , * + x" = x 2 x ) 3 *" , x 2 , x , *" + x" = x 2 x 3 *" x 2 , x , *" , x 2 , x , *" Extrayendo el 2B+ = x 2 , x , *, se tiene& + x" = x 2 , x , *" < x 2 x 8 *" , * = Efectuando& + x" = x 2 , x , *" x ) 3 x 2 , *" ' 2actorice& + x" = x 0 , x 9 , * ;estando y sumando x 2 , se tiene& + x" = x 0 3 x 2 , x 9 , x 2 , * + x" = x 2 x ) 8 *" , x 9 , x 2 , *" + x" = x 2 x8*" x 2 ,x,*" , x 2 ,x,*" x 2 3x,*" Extrayendo el 2B+ = x 2 , x , *, resulta& + x" = x 2 , x , *" <x 2 x 3 *" , x 2 3 x , *= +or lo tanto& + x" = x 2 , x , *" x ) 3 x , *" ' 2actorice& + x" = x / , x 2 , * ;estando y sumando x 9 , tal como sigue& + x" = x / 3 x 9 , x 9 , x 2 , * + x" = x 9 x ) 3 *" , x 9 , x 2 , *" + x" = x 9 x3*" x 2 ,x,*" , x 2 ,x,*" x 2 3x,*" Extrayendo el 2B+ = x 2 , x , *, resulta& + x" = x 2 , x , *" <x 9 x 3 *" , x 2 3 x , *= 2inalmente& + x" = x 2 , x , *" x 0 3 x 9 , x 2 3 x , *" ' 2actorice& + x" = x / , x 0 , * ;estando y sumando x 9 , se tiene& + x" = x / 3 x 9 , x 0 , x 9 , * + x" = x 9 x ) 3 *" , x 0 , x 9 , *" ;ecordando el e$emplo 2, se muestra& + x" = x 9 x3*" x 2 ,x,*" , x 2 ,x,*" x ) 3x,*" Extrayendo el 2B+ = x 2 , x , *, queda& + x" = x 2 , x , *" <x 9 x 8 *" , x ) 3 x , *= ;educiendo& + x" = x 2 , x , *" x 0 3 x 9 , x ) 3 x , *"