Las ecuaciones paramétricas representan una recta mediante variables (parámetros) que describen las coordenadas de puntos a lo largo de la recta. Se pueden obtener ecuaciones paramétricas para una recta dada dos puntos o un punto y un vector paralelo a la recta. Las ecuaciones vectoriales también representan rectas usando vectores de dirección, diferenciándose de las paramétricas en que especifican la forma del vector en lugar de las coordenadas.
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Las ecuaciones paramétricas representan una recta mediante variables (parámetros) que describen las coordenadas de puntos a lo largo de la recta. Se pueden obtener ecuaciones paramétricas para una recta dada dos puntos o un punto y un vector paralelo a la recta. Las ecuaciones vectoriales también representan rectas usando vectores de dirección, diferenciándose de las paramétricas en que especifican la forma del vector en lugar de las coordenadas.
Las ecuaciones paramétricas representan una recta mediante variables (parámetros) que describen las coordenadas de puntos a lo largo de la recta. Se pueden obtener ecuaciones paramétricas para una recta dada dos puntos o un punto y un vector paralelo a la recta. Las ecuaciones vectoriales también representan rectas usando vectores de dirección, diferenciándose de las paramétricas en que especifican la forma del vector en lugar de las coordenadas.
Las ecuaciones paramétricas representan una recta mediante variables (parámetros) que describen las coordenadas de puntos a lo largo de la recta. Se pueden obtener ecuaciones paramétricas para una recta dada dos puntos o un punto y un vector paralelo a la recta. Las ecuaciones vectoriales también representan rectas usando vectores de dirección, diferenciándose de las paramétricas en que especifican la forma del vector en lugar de las coordenadas.
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Ecuaciones paramtricas de la lnea recta.
La recta constituye una parte fundamental de las matemticas. Existen numerosas
formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramtrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuacin vectorial que denote una lnea recta. El parmetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relacin particular con la ayuda de los parmetros. Por tanto, una ecuacin paramtrica es una ecuacin que est basada en una variable en particular. Una ecuacin paramtrica, en trminos generales, se conoce tambin como representacin paramtrica. Ejemplo: Considere la ecuacin 3t. + 2 = x En esta ecuacin, t denota el parmetro y la ecuacin se conoce como ecuacin paramtrica en trminos de . t
Si as consta, por lo general, las ecuaciones de la forma tc + z0 = z tb; + y0 = y ta; + x0 = x representan las ecuaciones paramtricas de lnea recta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuacin. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta.
Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuacin paramtrica para una recta entre los puntos 1) (1, y 3) (-1, . Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a 3) (-1, como punto inicial. Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que 1 - est a 2 unidades de distancia del 1. Por lo tanto 2t + 1 - = x .
Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 est a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, 2t - 3 = y
Por consiguiente, las ecuaciones paramtricas para la recta entre los puntos 3) (-1, y 1) (1, son 2t. - 3 = y e 2t + 1 - = x Otra forma de ecuacin paramtrica en el campo del clculo vectorial se denomina ecuacin vectorial. El clculo de la ecuacin vectorial se basa en el concepto del clculo de la ecuacin paramtrica.
Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuacin vectorial para una lnea entre los puntos 1). (1, y 3) (-1,
Se procede de la siguiente manera:
Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a 3) (-1, como punto inicial.
Paso 2: Un vector de direccin es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto 1), (1, debemos mover a x he y y a 2 y 2 unidades, respectivamente. Por lo tanto, el vector de direccin viene a ser 2). - (2,
Paso 3: Por consiguiente, la ecuacin vectorial toma la forma de: t. 2) - (2, + 3) (-1, La principal diferencia entre la ecuacin paramtrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuacin vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramtrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.
Rectas determinadas por un punto y vector.
Una recta en los espacios 2D o 3D pueden determinarse de manera nica especificando un punto sobre ella y un vector diferente de cero paralelo a la recta. Por ejemplo, considerando una recta L en el espacio 3D que pasa por el punto 0 0 0 0 , , z y x P y es paralela al vector c b a v , , diferente de cero. Entonces L consiste exactamente en aquellos puntos , , , z y x P para los cuales el vector P P 0 es paralelo av en otras palabras, el punto z y x P , , esta sobre L si y solo si P P 0 es un mltiplo escalar de v; es decir. tv P P
0
Esta ecuacin puede escribirse como tc tb ta z z y y x x , , , , 0 0 0
As, L puede describirse mediante las ecuaciones paramtricas at x x 0 bt y y 0 ct z z 0
Una descripcin similar se aplica a rectas en el espacio 3D. Estas descripciones se resumen en el siguiente teorema.
Teorema. a) La recta en el espacio 2D que pasa por el punto 0 0 0 , y x P y es paralelo al vector bj ai b a v , diferente de cero tiene las ecuaciones paramtricas. , 0 at x x bt y y 0
b) La recta en el espacio 3D que pasa por el punto 0 0 0 , , z y x P o y es paralela al vector ck bj ai c b a v , , diferente de cero tiene las ecuaciones paramtricas. at x x 0 bt y y 0 ct z z 0
Atención: Hay Una NUEVA Versión Ampliada y Corregida en HTTP://WWW - Tec-Digital - Itcr.ac - Cr/revistamatematica/libros/. Está en El Segundo Capiítulo Del Libro de Cálculo en Varias Variables.