Soluciones Aja Cap1
Soluciones Aja Cap1
Soluciones Aja Cap1
a
j
a
|
Soluciones ingeniosas para 100
problemas en apariencia difciles
b i b l i o t e c a
ESTMULOS MATEMTICOS
Martin Erickson
Debido a la naturaleza dinmica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse por los cambios o
las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que se remite en este libro.
ISBN: 978-84-675-6347-4
Depsito legal: M-20644-2013
Impreso en Espaa / Printed in Spain
Imprime:
Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra solo puede
ser realizada con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista por la ley. Dirjase a CEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de esta obra.
03/02/14 10:00
NDICE
Prefacio .................................................................................................................................................................... 13
Captulo 1 - Problemas elementales .......................................................................................................... 15
1.1 Aritmtica ......................................................................................................................................................... 17
ndice
03/02/14 10:00
Es irracional? .......................................................................................................................................... 52
Extra: Irracionalidad de 2 ............................................................................................................... 53
ndice
03/02/14 10:00
Pi es pi .............................................................................................................................................................. 112
Extra: La irracionalidad de ............................................................................................................. 113
ndice
03/02/14 10:00
ndice
03/02/14 10:00
ndice
03/02/14 10:00
10
ndice
03/02/14 10:00
11
03/02/14 10:00
03/02/14 10:00
Prefacio
A todos los matemticos (principiantes, aficionados y profesionales) les emociona
encontrar soluciones simples y elegantes a problemas aparentemente complicados.
A ese tipo de soluciones se las denomina soluciones Aj!, una expresin que populariz el matemtico y divulgador Martin Gardner en sus libros Aj! Paradojas que
hacen pensar y Aj! Inspiracin. Las soluciones Aj! son sorprendentes, maravillosas y brillantes: revelan la belleza de las matemticas.
Este libro es una coleccin de problemas con soluciones Aj! que me han hecho
disfrutar y que espero que tambin disfrutes t. Los problemas tienen un nivel de
estudiante de grado universitario, pero deberan tener tambin inters para estudiantes de Secundaria, profesores de Matemticas, aficionados a las mismas y cualquiera que se sienta atrado por los desafos matemticos.
Cuando comenc a estudiar matemticas, me sirvieron de inspiracin los trabajos de
Martin Gardner y los del divulgador matemtico Ross Honsberger (siguen hacindolo). Una de las mejores maneras de atraer la atencin de los jvenes y hacer que se
interesen por las matemticas es enganchndolos con problemas irresistibles. Este
mtodo es muy adecuado, ya que un componente importante del estudio y de la
investigacin en matemticas es la resolucin de problemas. A veces la resolucin
de un problema requiere un nivel avanzado y otras es algo que descubrimos e introducimos en nuestra vida matemtica diaria.
Para esta coleccin he seleccionado cien problemas repartidos entre aritmtica,
geometra, lgebra, clculo, probabilidad y combinatoria. Algunos de los problemas han sido creados por m y otros son ms clsicos y merecen ser conocidos
mejor. Los problemas empiezan siendo fciles aunque se vuelven, por lo general,
ms complicados a medida que avanza el libro. Algunas soluciones requieren
el uso de un ordenador. Una caracterstica importante del libro es la discusin
de conceptos matemticos adicionales (Extras) relacionados con la solucin de
cada problema. Ese material est ah para entretenerte, informarte o proponerte
nuevos problemas. Si no recuerdas un concepto o definicin matemtica, hay
Prefacio
13
03/02/14 10:00
14
Prefacio
03/02/14 10:00
Captulo 1
Problemas elementales
Vamos a comenzar con algunos problemas relativamente fciles. El desafo se volver gradualmente ms difcil a medida que avances a lo largo del libro. Los problemas
de este captulo se pueden resolver sin utilizar matemticas avanzadas. El conocimiento de aritmtica bsica, lgebra y geometra ser de utilidad, as como tu propio
pensamiento creativo.
Te recomiendo que intentes resolver todos los problemas, incluso si ya sabes la respuesta, porque puedes descubrir nuevos e interesantes aspectos de las soluciones.
Despus de cada solucin encontrars un apartado con material extra en el que se
comenta algn resultado matemtico relacionado con el problema. Recuerda, todos
los problemas tienen una solucin Aj!
Captulo 1
15
03/02/14 10:00
03/02/14 10:00
1.1 Aritmtica
Reparto justo
Ana tiene quince galletas y Berta tiene nueve. Carla, que no tiene ninguna galleta,
paga a Ana y a Berta 24 cntimos por compartir sus galletas. Cada chica se come
un tercio de las galletas. Berta dice que ella y Ana se deberan repartir los 24 cntimos a partes iguales, 12 para cada una. Ana dice que como ella ha aportado quince
galletas y Berta solo nueve, ella debera quedarse quince cntimos y Berta nueve.
Cul es la forma ms justa de repartir los 24 cntimos entre Ana y Berta?
Solucin
La clave del problema est en determinar el valor de una galleta. Cada chica se ha
comido ocho galletas. Como Carla ha pagado 24 cntimos por ocho galletas, cada
galleta se valora en 3 cntimos. Entonces Ana, que empieza con quince galletas y
vende siete a Carla, debera recibir 21 cntimos, y Berta, que empieza con nueve
galletas y vende una a Carla, debera recibir 3 cntimos.
Extra: Reparto de cajas de galletas
Ana, Berta y Carla tienen 21 cajas de galletas (todas del mismo tamao). Siete estn llenas, siete estn por la mitad y siete estn vacas; por el peso saben cules son. Las chicas
quieren repartirse las cajas de tal forma que cada una se lleve el mismo nmero de cajas
y la misma cantidad de galletas. Cmo pueden lograrlo sin abrir ninguna de las cajas?
Hay dos formas diferentes, tal y como se muestra a continuacin.
Ana
Ana
M M M
Berta
Berta
M M M
Carla
M M M M M
Carla
Captulo 1
17
03/02/14 10:00
Hemos llamado L a las cajas llenas, M a las cajas que estn por la mitad y V a las
vacas. En ambas soluciones, cada chica se lleva siete cajas y una cantidad de galletas equivalente a tres cajas y media. No hemos contado como soluciones distintas
las que se obtienen permutando los nombres de las chicas.
Como veremos ms adelante (en Tringulos enteros, pgina 239), cada solucin se
corresponde con un tringulo de lados enteros y permetro siete, como ves en la figura de debajo. La longitud de los lados del tringulo se corresponde con el nmero
de cajas llenas que le toca a cada chica en el reparto.
3
1
3
2
3
Solucin
A. Como 3 < 3
1
< 4, tomando recprocos, obtenemos las desigualdades
2
1
2
1
<
<
4
7
3
18
Captulo 1
03/02/14 10:00
1+ 1
2
=
4 + 3
7
Servir el mismo truco para 7/10 y 5/7? Vamos a probar con la posible respuesta
7 +5
12
=
10 + 7
17
Verificamos las desigualdades
7
12
5
<
<
10
17
7
multiplicando en cruz
7
12
porque 7 17 < 10 12
<
10
17
y
12
5
< porque 12 7 < 17 5.
15
7
Puedes comprobar que 12/17 es la nica solucin probando todas las dems posibilidades.
Extra: Fracciones mediadoras
Las respuestas dadas en A. y B. se denominan fracciones mediadoras o mediaciones1. La mediacin de a/b y c/d es (a + c)/(b + d). Por ejemplo, la mediacin de 1/4
y 1/3 es 2/7 y la mediacin de 7/10 y 5/7 es 12/17. Si a/b < c/d (con b y d positivos), entonces
a
a +c
c
<
<
b
b +d
d
Comprueba estas desigualdades multiplicando los trminos en cruz.
Aqu damos una demostracin Aj! de las desigualdades que satisface la mediacin.
Si a, b, c y d son todos positivos, podemos interpretar las fracciones como concentraciones de sal en agua. Supongamos que tenemos dos disoluciones de agua salada, la primera con a cucharaditas de sal en b litros de agua, y la segunda con c cucharaditas de sal en d litros de agua.
La concentracin de sal en la primera disolucin es a/b cucharaditas/litro, mientras que la
concentracin de sal en la segunda es c/d cucharaditas/litro. Supn que la primera disolucin est menos salada que la segunda, es decir, que a/b < c/d. Ahora, si combinamos
1
Captulo 1
19
03/02/14 10:00
Solucin
Observa que los nmeros se pueden emparejar de la siguiente manera
1 y
2 y
3 y
50 y
100,
99,
98,
51.
Tenemos 50 parejas y cada pareja suma 101, por lo que nuestra suma vale 50 101
= 5050.
Esta solucin funciona en general para la suma
1 + 2 + 3 + + n,
donde n es un nmero par. Emparejamos los nmeros como antes
1
2
3
n/2
20
y n,
y n - 1,
y n - 2,
y n/2 + 1.
Captulo 1
03/02/14 10:00
Tenemos un total de n/2 parejas y cada una suma n + 1, por lo que nuestra suma
vale n/2 (n+1) = n(n+1)/2.
Qu sucede si n es impar? No podemos emparejar los nmeros como antes (el
trmino central no tiene pareja). Sin embargo, aadiendo un 0 no se cambia el resultado final
0 + 1 + 2 + 3 + + n.
Ahora tenemos un nmero par de trminos, y pueden ser emparejados de la forma
0 y n,
1 y n - 1,
2 y n - 2,
(n - 1)/2 y (n - 1)/2 + 1.
Tenemos (n + 1)/2 parejas y cada una suma n por lo que nuestra suma vale, de
nuevo, n(n+1)/2.
Hay un mtodo de duplicacin que funciona tanto para n par como impar. Si S es
el valor de la suma, introducimos un duplicado de S escribiendo los sumandos al
revs
S=
S=
1
n
+
+
2
(n-1)
+
+
3
(n-2)
n.
1.
Suma las dos expresiones de S, agrupando los primeros trminos, despus los segundos trminos, y as sucesivamente
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1).
Como el trmino n+1 aparece n veces esta expresin se reduce a
2S = n(n + 1),
es decir,
S =
n (n + 1)
.
2
Captulo 1
21
03/02/14 10:00
Calcula la siguiente suma: 81297 + 81495 + 81693 + + 100899, donde la diferencia entre dos nmeros es siempre la misma (en este caso 198) y se tiene que
sumar un nmero determinado de trminos (en este caso 100).
El problema mencionado por Bell consiste en realizar la suma de una progresin
aritmtica. Podemos calcular la suma usando nuestra frmula para la suma de los n
primeros enteros. El clculo es:
81297 + 81495 + 81693 + + 100899 = 81297 100 + 198 (1 + 2 + + 99)
99 100
= 8129700 + 198
2
= 9109800
Solucin
Considera la tercera identidad
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
Si sumamos 4 a cada uno de los tres nmeros de la izquierda (9, 10 y 11), entonces
obtenemos los tres nmeros de la derecha (13, 14 y 15). Hemos sumado 4 3 = 12
al lado izquierdo de la igualdad, que es justo el valor del cuarto nmero que aparece
a la izquierda.
La n-sima identidad (para n 1) es
n2 + (n2 +1) + + (n2 + n) = (n2 + n + 1) + (n2 + n + 2) + + (n2 + n + n).
2
Roger B. Nelsen da una demostracin sin palabras de este problema en el nmero de febrero
de 1990 de Mathematics Magazine.
22
Captulo 1
03/02/14 10:00
n 2 + (n 2 + n)
n (n + 1) (2n + 1)
.
=
2
2
15,
27,
21,
42,
48,
27,
6,
6,
6,
=
2
0
1
2
3
Este polinomio da los valores de nuestra sucesin empezando en p(0). Como nosotros queremos empezar en p(1), tenemos que reemplazar n por n - 1 en la frmula
para obtener el polinomio
p(n) = n (n + 1) (2n + 1)/2.
Captulo 1
23
03/02/14 10:00
Sumas y restas
Calcula
1002 - 992 + 982 - 972 + 962 - 952 + + 22 - 12.
Solucin
Usando la frmula de la diferencia de cuadrados x2 - y2 = (x + y) (x - y), la expresin se puede escribir de la forma
(100 + 99)(100 - 99) + (98 + 97)(98 - 97) + (96 + 95)(96 - 95) + + (2 + 1)(2 - 1).
Como cada segundo trmino de los parntesis es igual a 1, esta expresin se simplifica para dar
100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + + 2 + 1.
En el problema Una larga suma vimos que esta suma vala 5050.
Extra: Identidades curiosas3
Puedes explicar el patrn que siguen las identidades
32 + 42 = 52
10 + 112 + 122 = 132 + 142
2
21 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442?
2
Vamos a probar la ltima identidad de una manera que sugerir cmo se demuestra
el caso general. Llevando a la derecha de la igualdad todos los trminos de la izquierda excepto el 362 se obtiene
362 = (412 - 402) + (422 - 392) + (432 - 382) + (442 - 372).
Fjate en que hemos emparejado el mayor y el menor trmino, el segundo ms grande con el segundo ms pequeo, etc. Ahora, usando nuestra frmula de la diferencia
de cuadrados, tenemos
362 = (41 + 40)(41 - 40) + (42 + 39)(41 - 39) +
= + (43 + 38)(43 - 38) + (44 + 37)(41 - 37)
= 81 1 + 81 3 + 81 5 + 81 7
= 81 (1+ 3 + 5 + 7)
= 81 16
3
Michael Boardman da una demostracin sin palabras de este problema en el nmero de febrero de 2000 de Mathematics Magazine.
24
Captulo 1
03/02/14 10:00
Usando nuestra frmula para la suma de los n primeros nmeros impares, nuestra
identidad se convierte en:
[n(2n + 1)]2 = (2n + 1)2 n2,
que, evidentemente, es cierta.
Captulo 1
25
03/02/14 10:00
Cul es mayor?
Qu nmero es mayor,
6 +
10 o
5 +
12?
Podramos calcular las races, pero buscamos una solucin Aj! que nos d la respuesta de manera inmediata.
Solucin
La idea clave consiste en comparar los cuadrados de los dos nmeros (eliminando
as algunas de las races cuadradas). El mayor nmero tendr el cuadrado mayor.
Los cuadrados de los nmeros dados son
2
6 +
10 ) = 6 + 2 60 + 10 = 16 + 2 60
5 +
12 ) = 5 + 2 60 + 12 = 17 + 2 60
y
2
5 +
12 es mayor que
6 +
10 .
26
Captulo 1
03/02/14 10:00
x2 + 1 = y2
(x, y)
(0, 1)
El punto (0, 1) est en la hiprbola, por lo que ya tenemos una solucin racional. Si
(x, y) es otra solucin racional (con x 0), entonces la pendiente de la recta que
pasa por (0, 1) y (x, y) es tambin racional. Vamos a llamar m a esa pendiente. Entonces
m =
y 1
.
x 0
2m
1 m2
y =
1 + m2
.
1 m2
y, por tanto,
Captulo 1
27
03/02/14 10:00
Reducir el tamao
Encuentra dos nmeros enteros mayores que 1 cuyo producto sea 999991.
Solucin
Observa que
999 991 =
1 000 000 - 9
= 10002 - 32.
La regla algebraica para factorizar la diferencia de cuadrados nos viene bien ahora:
x2 - y2 = (x - y)(x + y).
Aplicando esta regla con x = 1000 e y = 3, obtenemos:
999 991 =
10002 - 32
= (1000 - 3) (1000 + 3)
= 997 1003.
Extra: Buscando la descomposicin en factores primos
Hemos encontrado dos nmeros, 997 y 1003, cuyo producto es 999 991. Pueden
esos factores descomponerse an ms (es decir, tienen divisores propios?) o son
nmeros primos (busca en la Caja de herramientas que se encuentra al final del libro)? Podemos ir dividiendo 997 y 1003 por otros nmeros, como 2, 3, etc., para
comprobar si los cocientes son enteros, pero, cuntos intentos tendramos que hacer?
Cuando buscamos divisores propios de n solo necesitamos dividir n por nmeros
primos, porque si n tiene un divisor propio entonces ese divisor tiene a su vez un
factor primo. A medida que vamos probando posibles divisores, 2, 3, 5, etc., los cocientes, n/2, n/3, n/5, etc., se van volviendo ms pequeos. El punto crtico se alcanza con n, ya que n / n = n . Por lo tanto solo necesitamos buscar divisores
primos menores que n. Si no hay ningn divisor de este tipo, entonces n es un
nmero primo.
28
Captulo 1
03/02/14 10:00
Como 31 < 997 < 32, los nicos nmeros primos que tenemos que comprobar
como posibles divisores de 997 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y 31. Despus
de dividir, comprobamos que ninguno de esos primos divide a 997 de manera exacta, por lo que 997 es un nmero primo. Para factorizar 1003, trabajamos con el mismo conjunto de primos, ya que 31 < 1003 < 32. Comprobando esos nmeros,
damos en el blanco con el 17 y encontramos que 1003 = 17 59, el producto de
dos primos. Para verificar que 59 es un nmero primo, solo hace falta comprobar que
59 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7, ya que 7 < 59 < 8.
Por tanto, la descomposicin en factores primos de 999 991 es 17 59 997.
Dgitos ordenados
Cuntos enteros positivos tienen la propiedad de que sus dgitos van creciendo
segn se leen de izquierda a derecha? Ejemplos: 19 , 357 y 2589.
Solucin
Cada subconjunto no vaco del conjunto de enteros {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} da forma
a uno de esos nmeros. Por ejemplo, el subconjunto {2, 5, 8, 9} forma el nmero
2589. Un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos (incluyendo al conjunto
vaco). En nuestro problema, n = 9 y excluimos al conjunto vaco, por lo que hay un
total de 29 - 1 = 551 nmeros con esa propiedad.
Extra: Dgitos ordenados en un cuadrado
Cuntos cuadrados tienen la propiedad de que sus dgitos estn en orden no decreciente cuando se leen de izquierda a derecha? Ejemplos: 122 = 144, 132 = 169
y 832 = 6889.
Donald Knuth atac este problema en 1985 en una de sus Sesiones Aj!, que eran
clases en las que l y sus estudiantes se enfrentaban a desafos matemticos. Puedes encontrar vdeos de las sesiones en la pgina web del Stanford Center for Professional Development (<<http://scpd.stanford.edu/knuth>>).
Vamos a demostrar la existencia de una coleccin infinita de cuadrados perfectos
cuyos dgitos estn en orden. Esta coleccin fue encontrada por Anil Gangolli.
Demostraremos que
(6 67)2 = 4 4 8 89,
n
n +1
n 1.
Captulo 1
29
03/02/14 10:00
2 n +1
1
+ ,
10
3
3
tenemos que
4 2n + 2
4
1
+ 10n +1 +
10
9
9
9
4
4
1
= 44 +
+ 44 +
+
9
9
9
2n + 2
n +1
(6 67)2 =
n
= 4 4 8 89.
n +1
n +1
n 1.
(b)
(c)
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5,
(d)
0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7,
(e)
Solucin
Para cada sucesin, intenta relacionar los nmeros con un patrn que hayas visto antes.
(a) Los trminos son los cuadrados perfectos, n2. Por tanto, el siguiente trmino es
102 = 100.
(b) Los trminos forman la famosa sucesin de Fibonacci, {fn}, definida por f0 = 0,
f1 = 1, fn = fn - 1 + fn - 2, para n 2. Por tanto, el siguiente trmino es 144.
30
Captulo 1
03/02/14 10:00
(c) Los trminos son los coeficientes del tringulo de Pascal (busca en la Caja de
herramientas), ledos de izquierda a derecha y de arriba abajo. Por tanto, el
siguiente trmino es 10.
(d) Los trminos son los valores de p(n), el nmero de primos menores o iguales
que n. Por lo tanto, el siguiente trmino es p(19) = 8.
(e) Los trminos son los nmeros enteros ms pequeos que tienen n divisores
positivos. Por lo tanto, el siguiente trmino es el menor nmero con 13 divisores positivos. Este nmero es 212 = 4096.
Extra: La enciclopedia on-line de sucesiones de enteros
Un buen recurso para trabajar con sucesiones de enteros es The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, dirigida por Neil J. A. Sloane (la direccin on-line es
<<http://oeis.org/>>). Simplemente escribe los primeros trminos de la sucesin
en la que ests interesado y el motor de bsqueda te ensear las sucesiones con
las que coincide. Por ejemplo, si introducimos los trminos de la sucesin (e) de
arriba,
1, 2, 4, 6, 16, 12, 24, 36, 48, 1024, 60,
entonces la bsqueda nos da la sucesin A005179 (el menor nmero con n divisores).
Captulo 1
31
03/02/14 10:00