Taller Geoplana Trigonometria
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3. Tringulos
3.1. Clasificacin de tringulos 3.2. Permetro y rea de un tringulo 3.3. Rectas y puntos notables en un tringulo 3.4. Tringulos congruentes 3.5. Semejanza de tringulos
4. Paralelogramos
4.1. Definicin y clasificacin de cuadrilteros 4.2. Propiedades del paralelogramo 4.3. Rectngulo, cuadrado, rombo. Caractersticas y propiedades 4.4. Permetro y rea de paralelogramos
5. La circunferencia
5.1. Definiciones 5.2. Tangentes y secantes en una circunferencia 5.3. ngulos en una circunferencia
6. Funciones trigonomtricas
6.1. Definiciones 6.2. Funciones de ngulos complementarios y suplementarios 6.3. Funciones de ngulos conocidos (30, 45 y 60) 6.4. Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo
BIBLIOGRAFA 1. Matemticas 3
Trigonometra y Geometra analtica bsicas May Alberto, Pech Juan , Reyna Luis Universidad Autnoma de Yucatn (Pgs. 41 146)
2. Preclculo
Stewart James, Redlin Lothar, Watson Saleem. 3ra. Ed. Ed. Thomson (Pgs. 350 468)
4. Geometra
Rich Barnett, Serie Schaum Ed. Mac Graw Hill (Pgs. 1 - 138 y 195 242)
CALENDARIO DE ACTIVIDADES
Del 16 al 20 de julio
Del 23 al 27 de julio
PRECLCULO
Del 6 al 10 de agosto
2. NGULOS
2.1 Definicin y clasificacin de ngulos Definicin: Un ngulo es la figura formada por dos semirrectas que se interceptan en un punto. Las semirrectas son los lados del ngulo y el punto de interseccin es su vrtice.
Julio, 2007
Los ngulos se clasifican segn su medida en: ngulo Definicin ngulo agudo 0 < < 90 ngulo recto = 90 ngulo obtuso 90 < < 180 ngulo llano o rectilneo = 180 ngulo reflejo o entrante 180 < < 360 Pares de ngulo son: Pares de ngulos ngulos complementarios y ngulos suplementarios y ngulos conjugados y 2.2 ngulos en grados y radianes.
Ejemplos 21, 79; 0, 90 ; 45, 45 115, 65 ; 2, 178 ; 50, 130 36, 324 ; 103, 257 ; 180, 180
Existen dos sistemas generalmente usados para medir los ngulos. En matemticas elementales el sistema ms empleado es el de la medida en grados, en ste la unidad es el grado, el cual es igual al 1 de la longitud de la ngulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a 360 circunferencia. El grado se subdivide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.
Otro sistema es el de medida circular, en ste la unidad es el radin. Un radin es la medida del ngulo central de una circunferencia subtendido por un arco igual en longitud al radio de la circunferencia. Para hallar la medida en radianes correspondientes a 360, se debe encontrar el nmero de veces que se puede trazar un arco circular de longitud r a lo largo de la circunferencia. Este nmero no es racional. Como el permetro de la circunferencia es 2 r, el nmero de veces que r unidades se pueden trazar es 2 radianes corresponden a 360. Relaciones entre grados y radianes 2) 1 = radin .0175 radin 180
1) 180 = radianes
3) 1 radin =
180 57.29
Cuando se usa la medida angular en radianes, no debe indicarse unidades; en consecuencia, si un ngulo mide 5 radianes, se escribe = 5, en lugar de = 5 radianes.
Ejercicios. Los ngulos siguientes estn dados en medida circular (radianes), expresarlos en grados.
1)
2)
7 5 1 2
3)
5 6
4)
5)
6)
4 3
7 ) 1.6
8)
9 )3
10 )
3 + 2 5
11 )
+1 4 1 12 ) 6 3
Julio, 2007
Expresar los ngulos siguientes en radianes. 13) 22.5 18) 125 23 19 23) 120 17) 142 43 2 22) 243.87 16) 990 21) 45.6 15) 100.28 20) -720 14) 135 19) 60 24) 205 35 4
2.3 ngulos en rectas paralelas cortadas por un transversal. Definicin. Llmese transversal o secante de dos o ms rectas a toda recta que las corta.
Sea XY la transversal que corta a las rectas AB y CD, as se forman 8 ngulos que se muestran en la siguiente figura:
Los ngulos a, d, f, g se llaman ngulos internos; los b, c, h, e, ngulos externos. Tomados en pares, d y f, a y g, se llaman ngulos alternos internos; b y h, c y e, alternos externos; b y f, c y g, e y a, h y d, correspondientes. En particular, cuando las rectas AB y CD de la figura anterior son paralelas, se cumplen las siguientes propiedades:
Los ngulos alternos internos son iguales. Los ngulos alternos externos son iguales. Los ngulos correspondientes son iguales. Los ngulos externos situados de un mismo lado de la transversal, as como los internos, son suplementarios (en la figura, los pares e y b, h y c, f y a, d y g, son suplementarios).
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E inversamente, dadas dos rectas cortadas por una transversal, si alguna de las propiedades anteriores se cumple, esas dos rectas son paralelas.
Ejercicios. 1. Considere dos rectas paralelas cortadas por una transversal tal y como se muestra en la siguiente figura:
2. Consideremos la figura siguiente en donde AB es paralela a CD, XY es la transversal que las corta en los puntos P y Q respectivamente:
, cul es el valor en grados de cada a) Si APQ = 1 2 QPB uno de los 8 ngulos? b) Si DQY = 135 , cul es el valor de los otros ngulos? c) Supngase que DQP = x y DQY = y . Cules son los valores de x e y, si y x = 100 ? d) Dados CQY = x, APX = y, x =
1 5
y , calclese x e y.
3. En la figura siguiente:
a) Si x = 72, y =
3 2
3. TRINGULOS
3.1 Conceptos bsicos y clasificacin de tringulos
Un tringulo es un rea plana delimitado por tres segmentos de recta. Los elementos del tringulo son: tres vrtices, tres lados y tres ngulos. La suma de la medida de los tres ngulos es 180. A cada ngulo del tringulo le corresponde un ngulo exterior. La medida de cada ngulo exterior es igual a la suma de la medida de los dos ngulos interiores no adyacentes. La suma de la medida de los tres ngulos exteriores es 360. Clasificacin de los tringulos segn sus lados Tringulo escaleno: Es un tringulo que tiene sus tres lados diferentes. Tringulo issceles: Es un tringulo que tiene al menos dos de sus lados iguales. Tringulo equiltero: Es un tringulo que tiene sus tres lados iguales.
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Clasificacin de los tringulos segn sus ngulos Tringulo rectngulo: Es un tringulo que tiene un ngulo recto. Tringulo obtusngulo: Es un tringulo que tiene un ngulo obtuso Tringulo acutngulo: Es un tringulo que tiene sus tres ngulos agudos. Tringulo equingulo: Es un tringulo que tiene sus tres ngulos iguales.
Ejercicio. Analiza la siguiente figura y clasifica a los tringulos ABC, ACD, BCE, BFE, AGC y ACE segn sus lados y sus ngulos (los nmeros que aparecen representan las medidas de los ngulos en grados).
3.2 Permetro y rea de un tringulo Ejercicios 1. Determine las reas de los tringulos cuyas bases y alturas son las siguientes respectivamente: a) 45mm y 2cm (en cm2) b) 48Dm y 275m (en Dm2) 2. Hllense las alturas de los tringulos cuyas reas y bases son respectivamente: a) 0.06dm2 y 4cm (en cm.) b) 150000cm2 y 0.5Dm (en Dm) 3. Calcular los permetros de los tringulos segn los casos siguientes: a) La mitad de la longitud de la base del tringulo issceles es 3.5cm y su rea es de 6300mm2 (en cm.) b) Un tringulo rectngulo con base 3m, y rea 12m2 (la base no es la hipotenusa). c) Suponiendo que los tringulos del ejercicio 1 son issceles, hallar los permetros de dichos tringulos con unidades de medida segn sus bases. 4. En un tringulo ABC, el ngulo BAC es congruente con el ngulo BCA, si AB = 5x, BC = 2x +18 y AC = x + 4, encontrar las longitudes de los lados, hallar el permetro y el rea de dicho tringulo. Formula de Hern Una forma alternativa de calcular el rea de un tringulo en funcin de sus lados, es por medio de la frmula siguiente:
p ( p a )( p b)( p c)
En donde p es el semipermetro y a, b, c, son los lados del tringulo.
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Ejercicios 1. Determinar el rea de los tringulos cuyos lados son: a) 4, 5, 6. b) 5, 6, 7. 2. Sabiendo que el rea de un tringulo con lados 1 y 2 es
15 , hallar la longitud del tercer lado 4 (dos soluciones). Qu tipo de tringulos son cada uno de ellos con respecto a sus lados?
3. Sabiendo que el rea de un tringulo con lados 3 y 4 es 6, hallar la longitud del tercer lado. Qu tipo de tringulo es segn sus ngulos?
3.3 Rectas y puntos notables en un tringulo Mediana. En un tringulo la mediana es el segmento trazado desde el vrtice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de interseccin de las tres medianas de un tringulo se llama baricentro. Altura. En un tringulo la altura es la perpendicular trazada desde un vrtice, hasta el lado opuesto o a su prolongacin. El punto donde concurren las tres alturas de un tringulo se llama ortocentro. Bisectriz. Recta que divide al ngulo en dos partes iguales. El punto donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. Mediatriz. Es la perpendicular en el punto medio de cada lado del tringulo. El punto donde concurren las tres mediatrices se le conoce como circuncentro.
3.4 Tringulos congruentes Dos tringulos se dicen que son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamao. Si dos tringulos son congruentes sus lados y sus ngulos correspondientes son iguales. El smbolo de congruencia es .
Si el ABC A' B ' C ' entonces: AB = AB, BC = BC, AC = AC; A = A B = B C = C Para establecer que dos tringulos son congruentes se utilizan los criterios siguientes:
Criterio LAL. Si dos lados de un tringulo y el ngulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales entonces los tringulos son congruentes.
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Criterio ALA. Si dos tringulos tienen iguales respectivamente un lado y los ngulos adyacentes a l, entonces los dos tringulos son congruentes. Criterio LLL. Si tres lados de un tringulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes. Criterio Hipotenusa-Cateto. Si la hipotenusa y un cateto de un tringulo rectngulo son respectivamente congruentes con la hipotenusa y el cateto de otro tringulo rectngulo, entonces los tringulos rectngulos son congruentes. Ejercicios Demuestra los teoremas siguientes. 1. Si dos segmentos AD y BE se cortan en C, de modo que C es punto medio de AD y BE, entonces los tringulos ABC y DEC son congruentes. 2. La altura correspondiente a la base de un tringulo issceles es tambin mediana, bisectriz y mediatriz. 3. Dos tringulos rectngulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes los dos catetos. 4. En un tringulo, a lados congruentes se oponen ngulos congruentes. 5. En un tringulo, a ngulos congruentes se oponen lados congruentes. 6. Todo tringulo equiltero es equingulo. 7. Todo tringulo equingulo es equiltero. 8. Los puntos medios de los lados de un tringulo equiltero forman otro tringulo equiltero. 9. Si en los lados opuestos de una misma base se construyen dos tringulos issceles, demustrese que la recta que une los vrtices de los ngulos opuestos a la base es la bisectriz de dichos ngulos. 10. Demustrese que si las perpendiculares PN y PM a los lados del ngulo AOB son iguales, el punto P est en la bisectriz del ngulo.
c se les conoce como antecedentes, y las cantidades b y d, consecuentes. Respecto a su posicin, las cantidades a y d reciben el nombre de extremos, y las cantidades b y c, reciben el nombre de medios.
Una proporcin continua es aquella en donde los medios son iguales y al medio comn de esta proporcin se le conoce como media proporcional. Si a los segmentos a y b les corresponden los segmentos a ' y b' de manera que formen la proporcin
Dos tringulos se dicen que son semejantes si sus ngulos son iguales y sus lados respectivos son proporcionales.
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El smbolo de semejanza es
A = A B = B C = C y
Para establecer que dos tringulos son semejantes se emplean los criterios siguientes:
Criterio AAA. Si dos tringulos tienen sus ngulos respectivos iguales, entonces son semejantes. Criterio LAL. Si dos tringulos tienen un ngulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos tringulos son semejantes. Criterio LLL. Si los tres lados de un tringulo son respectivamente proporcionales a los de otro, entonces los dos tringulos son semejantes. Ejercicios Demuestra los teoremas siguientes T 1. Si una recta es paralela a uno de los lados de un tringulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. T. 2. Si una recta divide dos lados de un tringulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. T. 3. La bisectriz de un ngulo interior de un tringulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados. T. 4. Si dos ngulos de un tringulo son congruentes con dos ngulos de otro, entonces los tringulos son semejantes. T. 5. Dos tringulos rectngulos que tienen sus catetos proporcionales, son semejantes. T. 6. Dos tringulos rectngulos que tienen un ngulo agudo de uno, congruente con un ngulo agudo del otro, son semejantes. T. 7. Dos tringulos rectngulos que tienen la hipotenusa y un cateto de uno, proporcionales con la hipotenusa y un cateto del otro, son semejantes. T. 8. Sea ABC un tringulo, en BA tmese un punto D y trace una paralela a BC por D, de manera que corte a AC en E, por C trace una paralela a AB y sea F el punto de corte de sta con DE (su prolongacin). Demuestre que los tringulos ADE y FCE son semejantes. T. 9.Toda recta paralela a uno de los lados de un tringulo, que corta a los otros dos lados en puntos diferentes, determina un tringulo semejante al primero. T. 10. En un tringulo rectngulo, la altura correspondiente a la hipotenusa, divide al tringulo dado en dos tringulos semejantes a ste y semejantes entre s. T. 11. En un tringulo rectngulo, la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa es la media proporcional entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa (los determinados por esa misma altura). T. 12. Las alturas correspondientes de dos tringulos semejantes son proporcionales a los lados homlogos (las bases). T. 13. Las alturas correspondientes entre dos tringulos semejantes son proporcionales entre s.
4. PARALELOGRAMOS
4.1. Definicin y clasificacin de cuadrilteros Cuadriltero.- Es cualquier polgono de cuatro lados. Los cuadrilteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.
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Paralelogramo.- Es un cuadriltero cuyos lados opuestos son paralelos. Trapecio.- Cuadriltero que tiene dos, y solamente dos, lados opuestos paralelos. En particular un trapecio cuyos lados NO paralelos son iguales recibe el nombre de trapecio issceles. Trapezoide.- Cuadriltero que no tiene lados opuestos paralelos.
Figura 3 Propiedad 1.- Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. En la figura 3, AB // DC. Propiedad 2.- Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos tringulos congruentes. En la figura 3, ADC es congruente con ABC Propiedad 3.- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. En la figura 3. AB es congruente con DC y Ad es congruente con BC. Propiedad 4.- Los ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales. En la figura 3, A = C y B = D Propiedad 5.- Los ngulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. Entonces en la figura 3 se cumple que_____________________________________ Propiedad 6.- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. En la figura 3, se tiene que: AP = PC y DP = PB
Ejercicios. 1.- En los casos siguientes, el cuadriltero ABCD dado es un paralelogramo. Aplicando las propiedades mencionadas, halla los valores de x e y.
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