Sucesiones y Progresiones

SUCESIONES
Una sucesin es un conjunto de nmeros dispuestos uno a

continuacin de otro.
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n
Los nmeros a 1 , a 2 , a 3 , ...; se llaman trminos de la
sucesin.
El subndice indica el lugar que el trmino ocupa en la
sucesin.
El trmino general es a n es un criterio que nos permite
determinar cualquier trmino de la sucesin.
Determinacin de una sucesin
Por el trmino general

a n = 2n-1
Por una ley de recurrencia

Los trminos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones a n y b n :
a n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
b n = b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n
Suma con sucesiones:
(a n ) + (b n ) = (a n + b n )
(a n ) + (b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n )
Propiedades
1 Asociativa:
(a n + b n ) + c n = a n + (b n + c n )
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a
3 Elementoneutro
(0) = (0, 0, 0, ..)
an + 0 = an
4 Sucesin opuesta
(-a n ) = (-a 1 , -a 2 , -a 3 , ..., -a n )
a n + (-a n ) = 0
Diferencia con sucesiones:
(a n ) - (b n ) = (a n - b n )
(a n ) - (b n ) = (a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n )
Producto con sucesiones:
(a n ) (b n ) = (a n b n )
(a n ) (b n ) = (a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 , ..., a n b n )
Propiedades
1 Asociativa:
(a n b n ) c
= a n (b n c n )
2 Conmutativa:
an bn = bn a
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an 1 = an
4 Distributiva respecto a la suma
a n (b n + c n ) = a n b n + a n c
Sucesin inversible
Una sucesin es inversible o invertible si todos sus trminos son

distintos de cero. Si la sucesin b n es inversible, su inversa es:
Cociente
Slo es posible el cociente

denominador es inversible.
entre
dos
sucesiones
si
el
Lmite de una sucesin

Es el nmero al cual se van aproximando los trminos de una
sucesin
Sucesiones convergentes
Son las que tienen lmite.
Sucesiones divergentes
Son las sucesiones que no tienen lmite finito.
Tipos de sucesiones
Sucesiones montonas
Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesin es estrictamente creciente
si cada trmino es mayor o igual que el anterior .
a n + 1 >a n
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesin es creciente si cada trmino es
mayor o igual que el anterior .
an+1 an
Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesin es estrictamente decreciente si
cada trmino de la sucesin es menor que el anterior.
a n + 1 <a n
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesin es decreciente si c ada trmino
de la sucesin es menor o igual que el anterior.
an+1 an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesin es constante si todos su trminos
son iguales, a n = k.
an = an+1
Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesin est acotada inferiormente si todos sus
trminos son mayores o iguales que un cierto nmero K,
que llamaremos cota inferior de la sucesin.
an k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo
inferior o nfimo .
Si el nfimo de una sucesin es uno de sus trminos se le
llama mnimo.
Toda sucesin acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesin est acotada superiormente si todos sus
trminos son menores o iguales que un cierto nmero K',
que llamaremos cota superior de la sucesin.
a n k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo
superior o supremo .
Si el supremo de una sucesin es uno de sus trminos se
llama mximo.
Toda sucesin
decreciente.
acotada
superiormente
es
montona
Sucesiones acotadas
Una sucesin se dice acotada si est acotada superior e
inferiormente. Es decir si ha y un nmero k menor o igual
que todos los trminos de la sucesin y otro K' mayor o
igual que todos los trminos de la sucesin. Por lo
que todos los trminos de la sucesin estn comprendidos
entre k y K'.
k a n K'
PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros tales que
cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior ms un
nmero fijo llamado diferencia que se representa por d.
Trmino general de una progresin aritmtica
1 Si conocemos el 1 e r trmino.
a n = a 1 + (n - 1) d
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la
progresin.
a n = a k + (n - k) d
Interpolacin de trminos
Interpolar medios diferenciales o aritmticos entre dos nmeros,

es construir una progresin aritmtica que tenga por extremos
los nmeros dados.
Sean los extremos a y b, y el nmero de medios a interpolar m.
Suma de trminos equidistantes
Sean a i y a j dos trminos equidistantes de los extremos , se

cumple que la suma de trminos equidistantes es igual a la suma
de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n trminos consecutivos
Progresiones geomtricas
Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cada
trmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r,
llamada razn.
Trmino general de una progresin geomtrica
1 Si conocemos el 1 e r trmino.
an = a1 rn-1
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la
progresin.
an = ak rn-k
Interpolacin de trminos
Interpolar medios geomtricos o proporcionales entre dos

nmeros, es construir una progresin geomtrica que tenga por
extremos los nmeros dados.
Suma de n trminos consecutivos
Suma de los
decreciente
Producto de dos trminos equidistantes
trminos
de
una
progresin
geomtrica
Sean a i y a j dos trminos equidistantes de los extremos, se

cumple que el producto de trminos equidistantes es igual al
producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a 3 a n - 2 = a 2 a n - 1 = ... = a 1 a n
Producto de n trminos equidistantes
Trmino general de una sucesin

1. Comprobar si es una progresin aritmtica .
2. Comprobar si es una progresin geomtrica .
3. Comprobar si los trminos son cuadrados perfectos .
Tambin nos podemos encontrar con sucesiones cuyos trminos

son nmeros prximos a cuadrados perfectos.
4. Si los trminos de la sucesin cambian consecutivamente de
signo.
Si los trminos impares son negativos y los pares positivos:
Multiplicamos a n por (-1) n .
Si los trminos impares son positivos y los pares negativos:
Multiplicamos a n por (-1) n - 1 .
5. Si los trminos de la sucesin son fraccionarios (no siendo
una progresin).
Se calcula el trmino general del numerador y denominador por
separado.

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SUCESIONES

Una sucesin es un conjunto de nmeros dispuestos uno a

Determinacin de una sucesin

Por el trmino general

Por una ley de recurrencia

Operaciones con sucesiones

Suma con sucesiones:

Diferencia con sucesiones:

Producto con sucesiones:

Una sucesin es inversible o invertible si todos sus trminos son

Slo es posible el cociente

Lmite de una sucesin

Sucesiones estrictamente crecientes

Sucesiones estrictamente decrecientes

Sucesiones acotadas inferiormente

Toda sucesin acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Trmino general de una progresin aritmtica

Interpolar medios diferenciales o aritmticos entre dos nmeros,

Suma de trminos equidistantes

Sean a i y a j dos trminos equidistantes de los extremos , se

Suma de n trminos consecutivos

Trmino general de una progresin geomtrica

Interpolar medios geomtricos o proporcionales entre dos

Suma de n trminos consecutivos

Producto de dos trminos equidistantes

Sean a i y a j dos trminos equidistantes de los extremos, se

Producto de n trminos equidistantes

Trmino general de una sucesin

Tambin nos podemos encontrar con sucesiones cuyos trminos

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