Algebra Julio
Algebra Julio
Algebra Julio
Del colegio a la
Universidad
LGEBRA
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA N 01
SEGUNDO GRADO
PARTE TERICA
Divisin de polinomios
D IV ID EN D O
R ESID U O
D IV ISO R
P (x)
R (x)
S(x)
Q (x)
CO CIENTE
Ejemplos:
ORD ENANDO
P (x) = x3 + 2x2 + 5x + 3
CO M PLETAN D O
O RD EN ANDO
Y
CO M PLE TA N D O
siguientes elementos:
D IVID EN D O
RESIDU O
2 1
2 0
1
5
4
DIVISO R
CO CIEN T E
J (x ) = 3 x4 + 0 x3 - x2 + 2 x + 5
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
1
Del colegio a la
Universidad CD OI VE I FDI EC NI EDNOT E S
OJO
A qu va el
c o e fi c ie n t e
i n d e p e n d ie n t e
d e l d iv is o r,
p e ro c o n s ig n o
o p u e s to .
Innova Schools
DEL
-a
CO EFIC IEN T ES D EL
CO CIEN T E
d(x) = x + a
R ESID U O
x + 3 = 0
x = -3
12
-3
-1 2
S
U
M
A
CO LO CAN D O EL
PRODUCTO
Cociente: Q(x) = 1x + 4 = x + 4
Residuo: R(x) = 0
2. Dividir:
x3 27
x3 ; x - 3
Ejemplo: Dividir:
3x4 2x3 5x2 x 1
x1
;
Resolucin:
Completando y ordenando el dividendo:
x1
Solucin:
Completamos el diagrama con los
teniendo mucho cuidado con los signos.
x3 0x2 0x 27
x3
; x - 3
coeficientes,
-5
0
x + 3 = 0
x = -3
3
+1
5
1
5
27
-3
-2 7
-3
3. Dividir:
x3 3x2 3x 1
x 1
;x1
Resolucin:
0
3
0
x - 1 = 0
x = 1
R(x) = 2
PROBLEMAS RESUELTOS
-3
-1
-2
-2
Q(x) = 1x2 - 2x + 1 = x2 - 2x + 1
R(x) = 0
1. Dividir:
x2 7x 12
x 3
4.
Dividir:
;x-3
x3 x 4x2 8
x 4
;x4
Resolucin:
Resolucin:
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
2
Innova Schools
Del colegio a la
Universidad
x3 4x2 x 8
x 4
0
x - 4 = 0
x = 4
Residuo: R(x) = -4
-4
-8
-4
TALLER DE APRENDIZAJE
1. Hallar el resto en la siguiente divisin:
x5 x3 x 30
x2
; x2
x5 x4 x3 x2 x 2
x 2
;x2
x4 3x3 2x2 x n
x1
Es 15; x 1
2x3 x2 5x n
x2
6. Si la divisin:
tiene residuo nulo,
hallar el valor de "n; x 2
x4 x3 x2 x 1
x1
3. Dividir:
e indicar el trmino
independiente de su cociente. ; x 1
2x5 1
x 1 ; x - 1
4. Calcular el residuo al efectuar la divisin:
x3
x3
;x3
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
3
8.
Del colegio a la
Calcular el polinomio
Universidad
3
2
Innova Schools
cociente
en
la
divisin:
x 4x x 12
x3
;x-3
4x3 5x2 3x 3
x 1
, e indicar su residuo; x 1
a) 1
b) -1
c) 1/2
d) -1/2
e) 0
a) 0
d) 14
a) -12
d) 16
12
c) 8
0 +1
-3
-8
-4
-6
-4
b) 12
e) 0
c) 1
;x-2
e indicar la suma de coeficientes del cociente.
x1
; sea exacta; x 1
c) 2
a) 1
d) 4
-2
-3
c) 6
x2
a) 5
d) -10
-2
4. Dividir:
x2 2x3 5x 2
b) -1
e) 0
9 -1 2
b) 20
e) 12
;x1
e indicar el trmino independiente de su cociente.
a) 1
d) -2
x1
b) 4
e) 10
c) 2x3 + 1
3. Dividir:
x3 x2 2x 2
a) 2
d) 8
-5
6x3 x 2x4 3
x3
;x-3
b) 2x4 + 1
e) 2x4 1
-3
a) 2x2 + 1
d) 2x3 - 1
b) 2
e) 5
c) 3
c) -5
a) 9
d) 8
b) 2
e) 7
c) 5
x1
; es exacta, x - 1
b) 2
c) 3
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
4
Innova Schools
Del colegio a la
d) 4
e) 5
Universidad
d)
11. Si en la divisin:
3
2x 3
2
; x
el residuo es numricamente igual a la suma de
coeficientes del cociente, hallar "m"
3 3
c)
e) 5 3
4x4 x2 3x m
a)
b) 2 3
TAREA DOMICILIARIA N 01
1. Hallar el trmino independiente del cociente, luego de
dividir:
4
128x4 40x3 2x 8
2x 1
; x
a) 128x3 - 24x2 + 12x - 8
b) 64x3 - 12x2 + 6x - 4
6x 4x x 10x 2
3x 1
; x -1/3
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
e) 12
a) 1
d) 4
; x
b) 2
e) 5
c) 3
a) 1
d) -2
3. Efectuar:
; x
Calcular la suma de coeficientes del cociente.
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
x3 ax2 ax a2
x a 2
; xa+2
sea: 5a + 11
c) 8
a) 1
d) 4
6x4 3x3 x2 6x 1
a) 1
d) -4
; x
b) -2
e) -8
b) 2
e) 5
c) 3
9. Luego de dividir:
c) -3
3x 2
; x 3
Proporcionar la suma de coeficientes del cociente.
a) 3x2 + 2x - 1
c) 3x2 - 2x + 1
e) 3x2 - 2x - 1
c) 3
b) 2
e) -1
a) 3 + 22
d) 2 - 2
b) 2 + 32
e) 4 + 32
c) 1 + 2
6x3 5x2 mx 1
2x 1
; x -1/2
b) -3x2 - 2x - 1
d) 6x2 + 4x - 2
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
5
Innova Schools
Del colegio a la
Sabiendo que su cociente toma el valor numrico de 2
Universidad
para: x = 1
a) -4
d) 3
b) -3
e) 4
c) 0
11. Dividir:
3x 5x 2
x 2
; x - 2
;y3
Hallar el residuo.
12. Dividir:
Recuerda
Resto = 2 . 1 + 1 + 4
Resto = R(x) = 7
Ejemplo:
Hallar el resto en la siguiente divisin:
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
6
Innova Schools
Del colegio a la
Universidad
Ejemplo:
Hallar el resto en la siguiente divisin:
Paso 1 : x - 2 = 0
Paso 2 : x - 2 = 0 x = 2
Paso 3 : R(x) = D(2) = 2(2)3 4(2)2 + 3(2) + 4
R(x) = 2 . 8 4 . 4 + 6 + 4
Resto = R(x) = 10
Ejemplo:
Paso 1 : 2x - 1 = 0
Paso 2 : 2x - 1 = 0 x =
Paso 3 : R(x) = D(
) = 13(
) + 6(
)2 - 5
R(x) =
R(x) =
R(x) = 8 5 = 3
Ejemplo:
Halla el residuo en:
Paso 1 : 3x - 2 = 0
Paso 2 :
Paso 3 : R(x) =
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
7
Innova Schools
Del colegio a la
Universidad
R(x) =
R(x) =
R(x) = 9
Paso 1 : 3x - 2 = 0
Paso 2 : x =
Paso 3 : R(x) = 5(
R(x) =
)2 - 16(
)+4
4.
1.
a) 5
d) 4
b) -1
e) 5
a) 9
d) 11
b) 8
e) 3
c) -1
a) 4
d) -5
b) 5
e) -6
c) 6
a) -1
d) 1
b) -3
e) 3
c) 7
a) 1
d) -1
b) 2
e) 0
c) 3
c) 7
5.
2.
a) -4
d) 2
b) -1
e) 3
c) 5
6.
3.
a) 1
d) 5
b) 2
e) 9
c) 3
7.
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
8
Innova Schools
Del colegio a la
Universidad
d) -1
12.
e) 4
8.
a) 0
d) 4
9.
b) -1
e) 1
c) 3
13.
b) 7
e) 1
La siguiente divisin:
Hallar: b
a) -2
d) -5
11.
b) -1
e) -7
es 27.
a) 4
d) 3
b) 2
e) 1
c) 5
a) 3
d) 0
c) 6
14.
10.
divisin:
b) 2
e) 1
c) 7
tiene resto 5
a) 1
d) 2003
c) -4
15.
b) 2
e) -1
c) 0
a) 0
d) 3
Si el resto es 3.
a) 1
b) 2
b) 2
e) 4
c) 1
a) 3
d) 0
b) 4
e) 1
c) -1
a) 3
d) 0
b) 5
e) -1
c) -2
c) 3
TAREA DOMICILIARIA N 02
I.
3.
1.
a) 4
d) -1
b) 5
e) 2
c) 3
4.
2.
a) -2
d) 2
b) 8
e) 0
c) -8
5.
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
9
Del colegio a la
Universidad
a) 2
d) 3
Innova Schools
b) 4
e) -8
11.
c) 5
si el resto es 5.
a) 0
d) -1
6.
a) -4
d) 1
b) 4
e) -1
7.
a) -1
d) -2
b) 2
e) 1
c) 0
a) 2
d) 3
b) -2
e) -3
c) 0
13.
10.
14.
15.
La siguiente divisin:
Hallar: b
tiene resto 7.
a) 8
d) -5
c) 0
b) -2
e) 4
c) 2
b) 7
e) 5
c) 0
a) 1
d) -1
c) 0
b) 4
e) 5
es
a) -1
d) 2
8.
a) -3
d) 2
c) 3
c) 0
12.
9.
b) 4
e) -7
b) 4
e) 0
c) 8
a) 2
d) 1
b) 3
e) 0
c) 2
COCIENTES
NOTABLES I
En la divisin de polinomios existen algunos cocientes que se escribe directamente sin la necesidad de ser efectuada la
divisin. Veamos los casos especiales:
xn an xn an xn an
xn an
;
;
y
xa
x a
x a
x a
Donde "n" es entero positivo mayor que uno.
A.
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
10
Innova Schools
Del colegio a la
n
xUniversidad
an
xa
de x2 - a2 = (x + a) (x - a), se deduce:
x2 a2
x a
x a
de x3 - a3 = (x - a) (x2 + xa + a2), se deduce:
x3 a3
x2 xa a2
xa
De los dos ejemplos podemos observar que los exponentes de "x" disminuyen de 1 en 1 mientras que los exponentes de "a"
aumentan de 1 en 1, adems, todos sus trminos tienen signo positivo y el nmero de trminos del cociente es igual al
exponente.
Utilizando el criterio anterior podemos escribir:
x4 a4
3
2
2
3
x
x a xa
a
xa
4 tr min os
x5 a5
4
3
2 2 xa3 a4
x
x a x a
xa
5 tr minos
2 6
3 6
( x ) (a )
2
x a
10
8 3 x6a6 x4a9 x2a12 a15
x
x a
6 tr minos
En general:
x n an
x n1 xn2a x n3a2 .......... ... an1
xa
B.
xn an
xa
Para que genere cociente notable la divisin debe ser exacta esto ocurre cuando el exponente "n" es impar. As, tenemos:
x3 a3
2 xa a2
x
x a
3 tr minos
x a
4
3
2 2
3
4
x
x a x a xa
a
x a
5 tr min os
x7 a7
6
4
5
x
x5 a x4a2 x3
a3
x 2a
xa
a 6
x a
7 tr minos
Observamos que los signos de los trminos del cociente son alternados (+, -, +,.............)
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
11
Innova Schools
Del colegio a la
En general:
Universidad
n
n
x a
x n1 xn2a xn3a2 .......... an1
xa
C.
x2 a2 x4 a4 x6 a6
;
;
x a
x a
x a
xn an
Analizando el cociente de la divisin: x a
Estos cocientes son exactos nicamente cuando el exponente "n" es par. As tenemos:
x2 a2
xa
x a
2 tr minos
x4 a4
3
2
2
3
x
x a xa
a
x a
4 tr min os
x6 a6
5
4
3 2
2 3
4
5
x
x a x
a
x a xa
a
x a
6 tr min os
Observa que los signos de los trminos del cociente son alternados (+ - + - ...........)
En general:
x n an
xn1 xn2a x n3a2 .......... . an1
xa
x3 a3 x5 a5 x7 a7
;
;
;
xa
xa
Para impares como: x a
etc. No son cocientes notables, porque no son divisiones exactas.
D.
xn an
Analizamos el cociente de la divisin: x a
x2 a2 x3 a3 x4 a4 x5 a5
;
;
;
;
x a
x a
x a
De modo que: x a
etc. No son cocientes notables.
TALLER DE APRENDIZAJE
m12 1
1. Dado el cociente notable: m 1 indica el nmero de
trminos de su desarrollo
a45 b54
a5 b6
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
12
Innova Schools
Del colegio a la
Universidad
2
3
6. Dado el C.N.: x y
trmino central.
, desarrollar e indicar su
x3 y3
3. Desarrollar el C.N. x y , e indicar el producto de
todos sus trminos.
a9 1
a1
x3 y3
4. Desarrollar: x y e indicar el trmino central.
a10 b15
2
3
desarrollo de: a b
x5 1
C.N.: x 1
x3 y3
1. Desarrollar el cociente notable: x y
;
Indicar el producto de sus trminos.
a) xy
d) x3y
b) xy3
e) x3y3
b) xy3
e) -xy3
c) y5
x30 y45
c) x3y2
x2 y3
x5 y5
2. Desarrollar el cociente notable: x y ;
a) xy11
d) x11y9
b) x9y22
e) x22y9
c) x12y9
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
13
4.
Del colegio a la
Cul es el tercer trmino del desarrollo de:
Universidad
10
5
Innova Schools
d) 2x10
e) 8x15
x2 y ?
a) x2y2
d) x2y4
256x16 y8
b) x3y
e) x4y2
2x2 y
c) xy3
a) 4x2y5
d) 4x4y5
b) 2x4
e) 3x6
c) 2x4y5
x3 3
a) 3
d) x6
b) 8x2y5
e) 4x4y10
c) 3x2
5x3 a6
a) 25x6a6
d) a6
x7 y7
6. Desarrollar el cociente notable: x y
b) a18
e) 25x3a6
c) 5x3a12
b) x2y2
e) x5y5
m n
11. El trmino de posicin "4" es de la forma: "x .y " en el
c) x3y3
x30 y36
siguiente C.N.
a)
d)
x4 y4
x3 x2y xy2 y3
x y
a)
d)
III.
x3 y3
x2 xy y2
x y
b) VFV
e) FFV
, hallar "m+n".
24 b)
25 e)
26 c)
23
28
6 6
a b
2 12
12. Si se sabe que: . . . + x y + x y + x y + . . .
son tres trminos consecutivos de un C.N.,
Hallar el valor de "a + b"
x y
II.
a) VVV
d) FFF
xa y6
13 b)
14 e)
15 c)
10
12
16x28 1
c) VFF
2x7 1
a)
8. Indicar uno de sus trminos al desarrollar:
d)
16x20 1
8x21
1
4x14
b) 2x7
c)
e) 16x21
2x5 1
a) 4x5
b) 2x4
c) 4x15
TAREA DOMICILIARIA N 03
2do Grado de
Secundaria
Lideres en Educacin
14
2.
x5 32
x2
3.
x30 y30
x10 y10
4.
x15 y15
x3 y3
5.
x10 y10
x y
64x6 1
2x 1
x14 128y7
x2 2y
x4 1
12. El cociente notable de: x 1 ; es:
243x
30
3x y
4 xy 2xy
8x
16 x y
2x y
I. Al desarrollar
Todos sus trminos son positivos?
x13 1
II. Al desarrollar x 1
es "xy".