833490 _ 0303-0326.

qxd

2/9/08

15:09

Pgina 306

12 Trabajo y energa
1.

Calcula el trabajo que realiza la fuerza peso cuando un cuerpo de 3 kg de

masa cae desde una altura de 10 m.

W = F s = mgh = 3 kg 9,8 m/s2 10 m = 294 J

2.

Razona si realizan trabajo las personas del dibujo:

a) Mantiene 150 kg
a una altura de
2 m durante 4 s.

b) Mantiene estirado
el resorte durante
10 s.

c) La patinadora
de 60 kg se desliza
10 m sin rozamiento
a velocidad constante.

a) No. No hay desplazamiento.

b) No. No hay desplazamiento.
c) No. La fuerza peso es perpendicular al desplazamiento.
3.

Un cuerpo se mueve con movimiento

circular y uniforme (ver figura).
Realiza trabajo la fuerza responsable
de este movimiento? Por qu?
No. La fuerza centrpeta es
perpendicular al desplazamiento.

4.

Una fuerza de 100 N que forma un ngulo de 30 con la horizontal tira

de un cuerpo. Si el cuerpo se desplaza 2,6 m a lo largo del plano,
calcula el trabajo realizado por esta fuerza. Si la fuerza de rozamiento
es de 1,2 N, calcula tambin el trabajo realizado por dicha fuerza
y el trabajo total realizado por ambas.
F = 100 N

F
= 30

F = F cos =
= 100 cos 30 = 86,6 N

WF = (F + F)
r = F s = 86,6 2,6 m = 225,16 J
WFR = FR s = 1,2 m 2,6 N = 3,12 J

306

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 307

SOLUCIONARIO

Por tanto:

WT = WF + WFR = 225,16 J 3,12 J = 222,04 J

5.

Calcula la potencia de una gra capaz de elevar un cuerpo de masa 500 kg

con una velocidad constante de 0,5 m/s.
P=

6.

W
F s
=
= F v = mgv = 500 kg 9, 8 m/s2 0, 5 m = 2450 J
t
t

Calcula el consumo medido en kWh de una lmpara de 60 W de potencia

enchufada 50 minutos. Compralo con el consumo de una lmpara
de bajo consumo de 12 W que proporciona la misma intensidad luminosa.
P =

W
J
W = P t = 60
3000 s = 180 000 J
t
s

1 kWh = 1000

3600 s = 3600 000 J

Por tanto:
Consumo =

18 000 J
= 5 103 kWh
3600 000 J/kWh

60
= 5 veces menor.
El consumo de la lmpara de bajo consumo es
12
que el de la lmpara de 60 W.

7.

Un atleta levanta unas pesas de 150 kg a una altura de 2 m en 3 s.

a) Qu fuerza tiene que hacer para subir las pesas?
b) Qu trabajo realiza?
c) Calcula la potencia del atleta.
F

Sobre las pesas actan dos fuerzas:

el peso y la que ejerce el atleta (F ).
Primero se va a calcular la aceleracin de las pesas:
s =

1 2
at a =
2

2s
=
t2

22
= 0,67 m/s2
9

a) Aplicando la 2. ley de Newton:

F P = ma F = mg + ma = m (g + a) =
= 150 kg (9,8 m/s2 + 0,67) = 1570,5 N

307

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 308

12 Trabajo y energa
b) W = F s = 1570,5 2 m = 3141 J
c) R =

8.

W
3141 J
=
= 1047 W
t
3S

Una mquina bombea agua desde un depsito situado 4 m bajo el suelo.

Para bombear 1000 L de agua hasta la superficie consume 10 0 000 J.
a) Cul es el rendimiento de la mquina?
b) Qu ocurre con la energa que no se aprovecha?
a) Wrealizado = F h = mgh = 1000 N 9,8 m/s2 4 cm = 39 200 J

Wconsumido = 100 000 J

P =

Wrealizado
39 200 J
100 =
100 = 39, 2 %
Wconsumido
10 000 J

b) La energa que no se aprovecha se transforma en calor

(energa trmica).
9.

Un transformador urbano de energa elctrica es una mquina muy

eficiente; tiene un rendimiento de un 98, 5 %.
a) Cunta energa se puede usar por cada MWh que llega
al transformador?
b) Qu pasa con el resto?
a) Por cada MWh se utiliza el 98,5%, es decir:
0,985 MWh

10 3 kWh
1 MWh

3,6 106 J
1 kWh

= 3,5 109 J

b) Se transforma en calor (energa trmica).

10.

Qu objeto tiene ms energa cintica: un coche de 1200 kg de masa

que se mueve con una velocidad de 80 km/h o un proyectil de 40 kg
disparado con una velocidad de 200 m/s?
Coche:
E coche =

80 2
1
1
(m/s)2 = 296296, 30 J
mv 2 = 1200 kg
3,6
2
2

Proyectil:
E proyectil =

200 2
1
1
(m/s)2 = 61 728, 43 J
mv 2 =
40 kg
3,6
2
2

Por tanto:

Ecoche > Eproyectil

308

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 309

SOLUCIONARIO

11.

Una partcula (42H2+) penetra en una regin donde otras car gas
elctricas ejercen sobre ella una fuerza constante de 5 10114 N.
Qu variacin de energa cintica se produce en la partcula despus
de recorrer 3 cm?
La variacin de la energa cintica es igual al trabajo
de las fuerzas elctricas.

W = EC
Por tanto:
EC = F s EC = 5 1014N 3 102 m
EC = 1,5 1015 J

12.

Observa el dibujo e indica

quin tiene ms energa
cintica.

m2 = 2m1

m1
v1 = 2
v2

Para el coche:
1
EC coche =
m1v 12
2

v2

Para el camin:
v 1 2 1
1
m1v 12
EC camin =
(2m1) =
2
2
4
As:

13.

ECcamin =

E Ccoche
2

Un cuerpo de 0,5 kg de masa se mueve por una superficie horizontal

a 5 m/s y se detiene tras recorrer 10 m. Halla la fuerza de rozamiento
mediante consideraciones energticas.
v
F

FR

v=0

FR

Aplicando el teorema de la energa cintica:

W = EC W = FR s FR s = 0
FR =

1
mv 2
2

mv 2
0,5 kg 52 (m/s)2
=

2s
2 10 m
FR = 0,62 N

309

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 310

12 Trabajo y energa
14.

Calcula la energa cintica en cada caso y el tiempo que tarda cada

uno en alcanzar la velocidad punta partiendo del reposo.
Frmula 1

Moto GP

Rally

Velocidad mxima (km/h)

Prestaciones

345

320

240

Potencia (CV)

800

180

350

Masa (kg)

500

130

1200

66

33

100

2 29 6 006

51 3 580

2 66 6 667

Consumo (L/100 km)

Energa cintica (J)

(En todos los casos, para pasar una velocidad de km/h a m/s
se divide entre 3,6.)

EC F1 =

345 2
1
1
(m/s)2 = 2 296 006,1 J
m v 2 = 500 kg
3,6
2
2

EC Moto =

320 2
1
1
(m/s)2 = 513 580,2 J
m v 2 = 130 kg
3,6
2
2

EC Rally =

240 2
1
1
(m/s)2 = 2 666 666,7 J
m v 2 = 1200 kg
3,6
2
2

El tiempo depende de la aceleracin de cada mvil:

v
t =
a
15.

Calcula la energa potencial de una maceta de 2 kg de masa colocada

en la terraza de un edificio a 20 m de altura y la velocidad
con la que llegara al suelo si cayese.
La energa potencial es:

EP = mgh = 2 9,8 20 = 392 J

Aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica se halla
la velocidad con que llega al suelo.
m gh =

16.

1
mv 2 v =
2

2gh =

2 9, 8 20 = 19, 8 m/s

Calcula la energa potencial de una lmina de cristal de 80 kg que est

en un andamio situado a 12 m del suelo. Qu le puede ocurrir
si no se sujeta con seguridad? Justifcalo con datos sobre la velocidad
con la que impactara el cristal contra el suelo.
Que se caiga y se rompa. Teniendo en cuenta lo dicho en el problema
anterior:
v =

310

2gh =

2 12 9, 8 = 15, 3 m/s

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 311

SOLUCIONARIO

17.

Roco opina que la energa potencial de la piedra del dibujo es de 400 J,

y David calcula que vale 1000 J. Quin tiene razn?
Justifica tu respuesta.
Roco

David

Depende
20 kg

2m

5m

Roco

David

Ambos tienen razn, depende del sistema de referencia que se elija.

Desde la posicin de David:

EP = mgh1 = 20 kg 9,8 m/s2 5 m = 9803 J

Desde la posicin de Roco:

EP = mgh2 = 20 kg 9,8 m/s2 2 m = 3923 J

18.

Contesta:
a) A qu altura hay que elevar el carrito para que al pasar por el punto
ms bajo su velocidad sea de 20 m/s?
b) Y si se duplica la masa del carrito?

v=0
A

EP = mgh
h

311

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 312

12 Trabajo y energa
a) A partir del principio de conservacin de la energia mecnica.

1
1
m v A2 + mgh A = m v B2 + mghB
2
2
0
m ghA =

0
2
B

1
v
20 (m/s)2
m v B2 hA =
=
= 20, 4 m
2
2g
2 9, 8 m/s2
2

b) La masa no influye en el valor de la velocidad.

En el apartado a) se ve que la masa se simplifica; esto solo
ocurre si no hay rozamiento.
19.

Un pndulo est formado de un hilo de 2 m de longitud y una bolita

de 100 g de masa. Cuando el pndulo pasa por su punto ms bajo,
lleva una velocidad de 5 m/s.
a) Qu altura mxima alcanzar
la bolita?
b) Cul ser entonces
su energa potencial?
v=0

h
F

a) Aplicando el principio de conservacin de la energa mecnica:

v2
52 (m/s)2
1
=
= 1, 30 m
mv 2 = m gh h =
2g
2 9, 8 m/s2
2
b) La energa potencial es la misma que la energa cintica que tena
en el punto ms bajo.
1
1
E P = E C = mv 2 =
0,1 kg 25 (m/s)2 = 1,25 J
2
2
20.

Deja caer un baln de baloncesto, una pelota de tenis y una bola saltarina
desde 1 metro de altura y anota la altura a la que rebota cada una.
Calcula la EP inicial y la EP final en cada caso.
Cul es ms elstica?
Qu ha pasado con la energa perdida?
Actividad prctica. La energa perdida se ha transformado
en energa trmica.

312

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 313

SOLUCIONARIO

21.

Un paracaidista desciende con velocidad constante.

a) Qu ocurre con su energa potencial?
b) En qu se transforma?
a) Va disminuyendo con el tiempo a medida que cae.
b) Se transforma en energa trmica debido a la fuerza de rozamiento
del paracadas con el aire.

22.

Cuando se deja caer una pelota desde una altura h no alcanza la misma
altura tras rebotar con el suelo. Por qu?
Porque parte de su energa mecnica, en este caso potencial,
se transforma en calor (energa trmica).
El cuerpo va perdiendo energa por rozamiento con el aire y en los
sucesivos choques, por lo que cada vez la altura alcanzada es menor.

23.

Se deja caer una caja de 2 kg desde la parte superior de un plano inclinado

de 3 m de altura que forma un ngulo de 30 con la horizontal.
Si la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano es de 2 N, calcula
la velocidad de la caja al final del plano, cuando ha recorrido 6 m.
A partir del teorema
de la energa cintica.

FR = 2 N

1
mv2 = (mg sen FR) s

P cos
h=3m

W = EC = (mg sen FR) s

sen

P
= 30

v=
24.

2 (mg sen FR ) s
=
m

2 (2 9, 8 sen 30 2) 6
= 6, 84 m/s
2

Siempre que una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo,

aumenta su energa?
No. Puede disminuir si la fuerza tiene sentido opuesto
al desplazamiento. Un ejemplo es la fuerza de rozamiento,
que hace que disminuya la energa mecnica.

25.

Observa la figura y di
qu representa el rea
sombreada.

s1

s2

313

833490 _ 0303-0326.qxd

23/9/08

09:09

Pgina 314

12 Trabajo y energa
a) El trabajo realizado por una fuerza constante.
b) El trabajo realizado por una fuerza que no es constante.
c) No representa ningn trabajo, ya que la fuerza
no es constante.
b) Representa el trabajo de una fuerza cuyo mdulo vara
con la posicin (no constante).
Indica cul de las tres fuerzas realiza ms trabajo.
F
v

26.

60
F

30

El trabajo se calcula as:

W = F
r = F s = F cos s

Componente de la fuerza
paralela al desplazamiento

El trabajo de una fuerza es mayor si la fuerza es paralela

al desplazamiento.
Se realiza ms trabajo en el caso primero, ya que
= 0 y cos 0 = 1
F

27.

Indica si las fuerzas dibujadas realizan trabajo.

F
F

F
G

S, ambas fuerzas son paralelas al desplazamiento y, como son

iguales, realizan el mismo trabajo. El trabajo de la primera es positivo,
y el de la segunda es negativo.

314

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 315

SOLUCIONARIO

28.

En una piedra que gira en un plano vertical atada a una cuerda:

a) La tensin de la cuerda no realiza trabajo.
b) La tensin de la cuerda s realiza trabajo.
c) Necesitamos conocer el valor de la tensin para decir si hay
trabajo o no.
a) La tensin de la cuerda es una fuerza perpendicular a la velocidad
y, por tanto, no realiza trabajo.

29.

Trabajando con unidades, demuestra que la energa cintica se expresa

en julios.
1
m2
m
mv 2 kg 2 = kg 2 m = N m = J
2
s
s

EC =

30.

Si la velocidad de un cuerpo se hace cuatro veces mayor,

cmo vara su energa cintica?
a) Aumenta 4 veces.
b) Aumenta 16 veces.
c) No vara; la energa se conserva.
1
mv 2 Si v se multiplica por 4, la energa cintica
2
se multiplica por 42 = 16.

b) E C =

31.

Puede tener un valor negativo la energa cintica? Y la energa potencial?

1
mv 2 . No hay nada
La energa cintica siempre es positiva, E C =

2
en la ecuacin anterior que la pueda hacer negativa. La masa
es una magnitud positiva, al igual que el cuadrado de la velocidad.
La energa potencial puede ser positiva o negativa dependiendo
de la eleccin del cero de energa potencial (h = 0).
m

EP = mgh > 0

h
h=0

h=0

EP = mg (h) = mgh < 0

315

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 316

12 Trabajo y energa
32.

Indica las transformaciones energticas que tienen lugar cuando se deja

caer una pelota y rebota varias veces hasta pararse.
Al principio toda la energa es potencial. Segn cae se va
transformando en cintica, a la vez que disminuye la potencial. Debido
al rozamiento con el aire y a los choques contra el suelo (no elsticos),
parte de la energa mecnica se transforma en energa trmica hasta
que finalmente la pelota se para.

33.

Una piedra cae desde una azotea. Si tenemos en cuenta el rozamiento:

a) La energa cintica al llegar al suelo es igual que la energa potencial
inicial de la piedra.
b) La energa cintica al llegar al suelo es menor que la energa potencial
inicial de la piedra.
c) La energa cintica al llegar al suelo es mayor que la energa potencial
inicial de la piedra.
b) La EC al llegar al suelo es menor que la potencia inicial. A partir
del teorema de la energa cintica: EM = W FR.
Como W FR < 0:
EM < 0 EP i > EC suelo

34.

Calcula, utilizando razonamientos energticos, la altura mxima

que alcanza un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba
con una velocidad v0. Se corresponde el resulta do con lo que
se obtendra aplicando lo que recuerdas de los temas de cinemtica?
Si no se considera el rozamiento se cumple,
a partir del principio de conservacin de la energa
mecnica, que la altura alcanzada es.
1
v2
mv 02 = mgy y = 0
2
2g
Esta expresin es la misma que se deduce de las
ecuaciones de la cinemtica para el movimiento
vertical con aceleracin constante.
Partiendo de las ecuaciones del movimiento con
aceleracin constante para un cuerpo lanzado
verticalmente hacia arriba:

hmx
v0

1
gt2
2
Al hacer v = 0 se obtiene el tiempo que se tarda en alcanzar el punto:
v
t = 0
g

v = v0 gt; y = v0t

316

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 317

SOLUCIONARIO

Y al sustituir en y queda:
v0
v 02
v 02
v 02
1 v 02
g
=

=
g
g
g
2
2g
2g
Ambos resultados son iguales.
y = v0

35.

Una canica choca contra una pelota de plastilina inicialmente en reposo

y se incrusta en ella. Elige la afirmacin correcta:

v
F

a) Como el momento lineal se conserva en el choque, la energa cintica

tambin se conserva.
b) El momento se conserva, pero la energa cintica del sistema disminuye.
c) El momento no se conserva, pero la energa cintica, s.
b) El momento lineal se conserva siempre (en ausencia de fuerzas
exteriores), pero la energa cintica, no. Solo se conserva la energa
cintica en choques elsticos entre cuerpos duros
que no se deforman en el choque.
En el caso del problema se conserva el momento, pero la energa
cintica total disminuye.
36.

Un satlite gira en una rbita circular en torno a la Tierra.

a) Realiza trabajo la fuerza peso? Haz un dibujo.
b) Qu puedes decir de su energa cintica y potencial?
a) La fuerza-peso (P) es perpendicular
a la velocidad y, por tanto, al desplazamiento,
por lo que W = 0.

b) Ya que F v, W = 0, y como W = EC,

entonces EC = 0 EC = cte.
La energa cintica no vara. Como se trata de un sistema
conservativo, la energa total es constante y, por tanto, tambin
la EP (EP = E EC).
37.

Depende la energa mecnica de un cuerpo del sistema

de referencia elegido?
S. La dependencia es debida a la EP. Su valor es relativo al punto
de referencia elegido, es decir, el punto en el cual EP = 0.

317

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 318

12 Trabajo y energa
38.

Se tienen dos muelles idnticos. Si despus de estirados uno tiene

el doble de longitud que el otro, tendr tambin el doble de energa
potencial?
1
La EP de un muelle es E P = k l 2 .
2
Muelle 1: pasa de l 0 a l 0 + l .
Muelle 2: pasa de l 0 a l 0 + l '.
Si despus de estirarlos el muelle 2 tiene doble longitud
que el muelle 1, se cumple:
l 0 + l ' = 2 (l 0 + l )
l0 + l' = 2 l0 + 2 l l' = l0 + 2 l
La energa potencial del muelle 1 es:
E P1 =

1
k l 2
2

Y la del muelle 2:
1
1
1
k (l )2 = k (l 0 + 2l )2 = k l o2 + 2k l o l + 2k l 2
2
2
2
Por tanto, EP2 EP1.
E P2 =

39.

El carrito se deja caer desde A . Contesta:

C

Si no existe rozamiento:

Si existe rozamiento:

a) El vagn llega a B.

a) El vagn no llega a C.

b) El vagn llega a C.

b) El vagn llega a C.

c) El vagn llega a A.

c) El vagn llega a C, pero al volver

con menos energa de la que tena
inicialmente.

Si no existe rozamiento debido al principio de conservacin

de la energa mecnica, el vagn va de A hasta C pasando por B,
ya que A y C estn a la misma altura. Luego volver hacia
atrs y alcanzar de nuevo el punto A.
Si hay rozamiento hay prdida de energa mecnica y el vagn
no llega a C.

318

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 319

SOLUCIONARIO

40.

En un pueblo se consumen 10 000 L de agua cada hora. Si la altura

desde el pozo donde se extrae hasta el depsito de distribucin
es de 30 m, calcula la potencia de la bomba. d (agua) = 1000 kg/m3.
El trabajo necesario para elevar 10 000 L de agua a 30 m de altura es:

W = mgh = 10 000 kg 9,8 m/s2 30 m = 2 940 000 J

Y la potencia de la bomba es:
P =

41.

La lectura del contador de una vivienda marca un consumo de 40 kWh.

Calcula la velocidad que alcanzara un cuerpo de masa 10 kg si esta
energa se utilizase en aumentar su velocidad partiendo del reposo.
3, 6 106 J
= 1,44 108 J. Entonces:
1KWh

40 kWh
EC =

42.

W
2 940 000 J
=
= 816, 6 W
t
3 600 S

1
mv 2 v =
2

2E C
=
m

2 1, 44 10 8
= 5366, 56 m/s
10

Se lanza un cuerpo de 500 g por un plano horizontal rugoso ( = 0,4)

con una velocidad de 10 m/s. Despus de recorrer una distancia
de 2 m comienza a ascender por un plano inclinado sin rozamiento.

a) Calcula la altura que alcanza.

b) Cunto vale la energa potencial del cuerpo en ese instante?
v=0
C

m = 0,5 kg
A

FR

v = 10 m/s

hC

2m

Tramo horizontal: WA = EC; FR = mg.

ECB ECA = FR sAB ECB = ECA FR sAB = EC A mg sAB =
B

1
0,5 102 0,4 0,5 9,8 2 = 25 3,92 = 21,08 J
2

319

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 320

12 Trabajo y energa
E CB

1
mv B2 v B =
2

2E CB
=
m

2 21, 08
= 9,2 m/s
0,5

a) En el plano inclinado se cumple el principio de conservacin

de la energa mecnica, ya que no hay rozamiento.
9,22 m/s2
v B2
1
= 4, 3 m
mv B2 = mghC hC =
=
2 9, 8 m/s2
2
2g
b) EPC = mghC = 0,5 kg 9,8 m/s2 4,3 m = 21,08 J
La EPC es la misma que la EPB.
43.

Un proyectil de 80 g que se mueve con una velocidad de 200 m/s se

incrusta en un bloque de madera en el que penetra cierta distancia antes
de pararse. Si la fuerza de resistencia que opone el bloque es de 3000 N,
halla la distancia que se empotra el proyectil.

A partir del teorema de la energa cintica:

W = E C FR s = 0
s =

1
mv 2
2

mv 2
0, 08 kg 2002 (m/s)2
=
= 0,53 m
2FR
2 3000 N
s

FR

44.

Sobre un cuerpo acta una fuerza constante que lo detiene despus

de recorrer 3 m. Con qu velocidad se mova?
v=0
v

s=3m

De la misma forma que en el ejercicio anterior:

2F s
1
mv 2 v =
=
2
m
La velocidad depende de la fuerza aplicada de la masa.
W = E C F s = 0

320

2F 3 m
m

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 321

SOLUCIONARIO

45.

Cuntos julios de energa elctrica se convierten en luz y calor

en una lmpara de 100 W en 5 horas?

W = P t = 100

46.

J
s

5 3600 s = 1800 000 J

Qu trabajo es capaz de realizar una mquina de 150 CV en media hora?

W = P t = 150 CV

47.

735 W
1 CV

1800 s = 198 450 000 J

Un automvil de 1 300 kg se mueve con una velocidad de 100 km/h.

a) Calcula el trabajo que realizan los frenos para detenerlo completamente.
b) Si se ha detenido despus de recorrer 80 m, halla la fuerza
de rozamiento de los frenos. W = EC.
a) El trabajo realizado por los frenos es igual a la disminucin
de la energa cintica. W = EC.
100 2
1
1
(m/s)2 = 501 543,2 J
W = 0 mv 2 =
1300 kg
3,6
2
2
b) W = FR s FR =

48.

501 543, 2 J
W
=
= 6269, 3 N
80 m
s

Sabiendo que el rendimiento de un motor es el porcentaje de energa

que se transforma en trabajo til, calcula la potencia de una
bomba que eleva 1 m3 de agua por minuto hasta la azotea de un edificio
de 15 m de altura si se supone un rendimiento del 60 %.
Wtil = mgh = 1000 9, 8 (m/s)2 15 m = 147 000 J
Por tanto:
Ptil =
R =

49.

147 000 J
Wtil
=
= 2450 W
60 s
t

Ptil
P
2450 W
Pterica = til =
= 4083, 33 W
Pterica
R
0,6

Se hacer girar verticalmente un cuerpo que est unido a una cuerda

de 1,5 m de longitud.
a) Si la velocidad en el punto ms bajo es de 10 m/s, halla su valor
en el punto ms alto.
b) Qu velocidad mnima debe llevar en el punto ms bajo
para completar la circunferencia?

321

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 322

12 Trabajo y energa
Se cumple el principio de conservacin
de la energa mecnica.
De las dos fuerzas que actan,
una, el peso, es conservativa,
y la otra, la tensin de la cuerda,
no realiza trabajo.

l = 1,5 m

1
1
a)
mv 2 = m g (2l ) + mv ' 2
2
2
v 2 = 4 gl + v 12 v ' =
=

102 4 9, 8 1, 5 =

v 2 4 gl =
100 58, 8 = 6, 4 m/s

b) Para que complete la trayectoria

circular con velocidad mnima
la tensin de la cuerda en el punto
ms alto debe ser nula. La nica
fuerza que acta sobre el cuerpo
en ese punto ser el peso.
FN = mg = m
v =

gl =

v = 10 m/s

v
P

v2
v2
mg = m

R
l
9, 8 1, 5 = 3, 8 m/s

vmin

Del principio de conservacin de la energa:

1
1
mv m2 n = m g (2l ) + mv 2 v m2 n = 4 gl + v 2
2
2
v m2 n = 4 9, 8 m/s2 1,5 m + 3, 82 (m2/s)2 = 73,24 m2/s2 v m n = 8,5 m/s
50.

Se dice que un choque es elstico cuando se conserva la energa cintica.

Un ejemplo de choque elstico es el que se produce entre dos bolas
de billar. Supn que una bola de billar choca frontalmente con otra
que se encuentra en reposo. Teniendo en cuenta lo dicho, calcula
la velocidad de las bolas despus del choque.
Nota: es conveniente usar la expresin de la energa cintica
en funcin del momento lineal. La direccin en que se mueven
los cuerpos despus del impacto es la misma que la que tena el cuerpo
antes de chocar.
v
m

EC =

322

v=0
m

p 1 = p'1 + p'2

E C1 = E'C1 + E'C2

p2
p 21
p'12
p' 22

=
+
p 21 = p'12 + p' 22
2m
2m
2m
2m

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 323

SOLUCIONARIO

mv 1 = mv '1 + mv '2
p 1 = p'1 + p'2

v 1 = v '1 + v '2
2
p1 = p'12 + p'22 m 2 v 2 = m 2v ' 2 + m 2 v ' 2 v 12 = v '12 + v '22
1
1
2

v '1 + v '2 + 2v '1 v '2 = v '12 + v '22 2v '1 v '2 = 0

Hay dos soluciones.
v '2 = 0 y v '1 = v 1 (fsicamente imposible)
v '1 = 0 y v '2 = v 1
La bola que choca queda en reposo y la que recibe el impacto sale
con la misma velocidad que tena la que choc con ella.
51.

La altura mxima de una montaa rusa es 40 m. Los coches

que transportan a las personas son elevados hasta esta altura y despus
se les deja deslizar hasta completar el recorrido.
a) Halla la velocidad del carrito en dos puntos cuyas alturas son 30 m
y 10 m, despreciando el rozamiento.
b) Por qu la altura inicial del coche es la mxima de todo el recorrido?
Se cumple el principio de consecucin de la energa mecnica.
a) mg h =

1
mv ' 2 + mg h' v ' 2 = 2g (h h') v' = 2g (h h')
2

A 30 m v ' =

2 9, 8 (40 30) = 14 m/s

A 10 m v ' =

2 9, 8 (40 10) = 24, 2 m/s

b) Porque el principio de conservacin de la energa mecnica

prohbe alcanzar una altura mayor.
52.

Una pelota golpea a otra inicialmente en reposo. Tras el choque, la primera

pelota se para y la segunda comienza a moverse.
a) Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento es de 0,15,
calcula la distancia recorrida por la segunda pelota hasta pararse.
b) Si el choque se produce en una superficie ms rugosa,
cmo se modifica el resultado?
c) Se conserva la energa?
a) Tras el choque, la nica fuerza que acta es la de rozamiento,
por lo que:
mg = ma a = g = 0,15 9, 8 m/s2 = 1, 47 m/s2
La distancia recorrida ser: v 02 v 2 = 2a s s =

v 02
2a

b) Si FR aumenta recorre menos espacio hasta pararse.

c) La energa mecnica no; la energa, en general, s.

323

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 324

12 Trabajo y energa
53.

A qu velocidad debera subir una persona de 60 kg por una escalera

para desarrollar una potencia de 1 kW?
W
F s
P
=
= F v v =
t
t
F
La fuerza mnima que tiene que hacer es la que necesita para subir
su propia masa.

P =

F = mg v =

54.

P
1000 J/s
=
= 1, 7 m/s
mg
60 kg 9,8 N

Qu altura mxima alcanzar la bolita

de un pndulo si la velocidad
en la parte ms baja es de 2 m/s?
Se cumple el principio
de conservacin de la energa mecnica.
1
mv 2 = mgh
2
h =

4 (m/s)2
v2
=
= 0, 2 m
2g
2 9, 8 m/s2

h
h=0

v = 2 m/s

55.

Qu tiene ms energa potencial, un cuerpo de 10 kg a una altura

de 5 m o un muelle con k = 30 N/cm deformado 40 cm?
E P cuerpo = mgh = 10 kg 9, 8 m/s2 5 m = 490 J
E P muelle =

1 2
1
kx =
3000 N/m 0, 4 m2 = 240 J
2
2

Por tanto: E P cuerpo > E P muelle .

56.

Dos cuerpos de la misma masa que estn unidos con una cuerda que pasa
por la garganta de una polea se mueven con velocidad constante.
Demuestra que en estas condiciones la energa potencial del sistema
formado por las dos masas es constante.
La energa potencial gravitaroria no vara
porque lo que aumenta la energa potencial
de una masa al subir disminuye la de la otra
al bajar. Ambas masas son iguales,
y lo que asciende una lo desciende la otra.

324

833490 _ 0303-0326.qxd

2/9/08

15:09

Pgina 325

SOLUCIONARIO

57.

Un tractor tira de un carro de 400 kg con una fuerza de 800 N

(para vencer el rozamiento), recorriendo 15 m. Una gra levanta el mismo
carro a lo alto de un edificio de 15 m.
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Los dos realizan el mismo trabajo.
b) El tractor realiza un trabajo de 12 000 J, y la gra, 6 0 000 J.
c) Es imposible que el tractor mueva un carro que pesa 4000 N
con una fuerza de 800 N.
d) El tractor no realiza trabajo porque no sube el carro ni un solo metro.
b) Wtractor = F s = 800 N 15 m = 12 000 J
Wgra = mgh = 400 kg 9, 8 m/s2 15 m = 58 800 J  60 000 J
As: Wgra > Wtractor .
Las otras (a, b y d) son falsas.

58.

Un Airbs de 560 toneladas vuela a 0,85 Mach (1 Mach equivale

a 340 m/s) a una altura de 10 km.
a) Calcula su energa cintica, la potencial y la mecnica.
b) Si no asciende a ms altura ni incrementa su velocidad, necesita
combustible para mantenerse? Por qu?
a) E C =

1
1
mv 2 =
560 000 kg (0, 85 340)2 (m/s)2 = 2, 3 1010 J
2
2

E P = mgh = 560 000 kg 9, 8 m/s2 10 000 (m/s)2 = 5, 5 1010 J

E T = E C + E P = 2, 3 1010 J + 5,5 1010 J = 17,8 1010 J
b) Evidentemente, un avin necesita una velocidad mnima para
sustentarse en el aire, pero para mantener esa velocidad necesita
vencer la fuerza de rozamiento con el aire y, por tanto, gastar
energa que proviene del combustible que consume.

325