Logica y Funciones
Logica y Funciones
Logica y Funciones
Curso 2013-2014
Apellidos_____________________Nombre_________
Este cuaderno recoge casi todos los ejemplos y ejercicios que se proponen en los
apuntes. Su objetivo es que vuelvas a hacer los ejemplos resueltos para asegurar que
has entendido la dinmica del problema y que puedas hacer todos los ejercicios, tanto
los que se han visto en clase como los que no se han visto. Slo hay una forma de
entender bien los conceptos y ejercicios y es ir hacindolos poco a poco.
.
Contenido
1 Proposiciones...................................................................................................... 2
2 Las Funciones de verdad .................................................................................... 7
3 La valoracin de las funciones de verdad .......................................................... 9
4 Tablas parciales de verdad ............................................................................... 15
6 La deduccin .................................................................................................... 17
7. Lgica aristotlica ........................................................................................... 52
8 Algunos ejercicios de exmenes ...................................................................... 56
9 Recopilacin de las leyes de lgica proposicional y silogismos ...................... 60
1 Proposiciones
Ejercicio 2
Cules de las siguientes frases son proposiciones? Exponed porqu no son
proposiciones cuando no las consideris tales.
1. La leche es cida.
2. Tienes cinco minutos para m?
3. El sbado Juan est siempre ocupado.
4. 2 + 2 = 7
5. Cmprate un Volvo!
6. La ciudad x es famosa por el Coliseo.
7. Habla continuamente sobre la crisis del dlar.
8. 42.
9. David venci a Goliat con una honda.
10. Probablemente el barco a vapor es.
11. Menos mal que ha dejado de llover!
12. Hasta el siglo XVII se crey en una relacin entre las fases lunares y las
enfermedades.
13. El inicio de la escuela es a mitad de septiembre.
14. La balanza es imprecisa.
15. Un hombre trabaja cuando piensa?
16. Llueve.
Cuaderno de lgica, 2
17.
18.
19.
20.
Ejercicio 2.1
Formaliza cuanto sigue:
1. Othmar es organista.
2. El viernes comeremos pescado.
3. Al fin llega la primavera!
4. Las piedras preciosas se han ofendido.
5. Se esfuerza siempre con los ejercicios.
6. Antes de ayer la encontr nuevamente en la estacin.
7. Debo repetirlo otra vez?
8. A la tercera copa se puso a cantar en medio de la fiesta.
9. La direccin es del todo ilegible.
10. El ltimo verano tiene.
11. No hay rosa sin espina.
12. Qu bueno que el to Nando haya encontrado una nueva mujer!
13. Alicia est disgustada porque los espaguetis estn recocidos.
14. Todo est perdido!
15. Ferrero tiene un problema crnico de dinero.
16. Toalla se dice en italiano asciugamano.
17. Atencin a la puerta!
18. Quieres apostar si el Alcalde tendr un discurso?
19. El Cdice 914 de St. Gallen es la fuente ms importante para las ediciones
crticas de la Regla benedictina.
Ejercicio 2.2
1) Formaliza cuanto sigue:
1. Herodoto no era un msico.
2. Fumar es nocivo para la salud y el chocolate engorda.
3. Si los bomberos llegan a tiempo, entonces el viejo edificio se
salvar.
4. Paga los impuestos anticipadamente si y slo si lo multan.
5. Se queda en casa o su mujer no juega al Bridge.
6. Si el perro no se siente bien, entonces no mueve la cola.
7. El juego del ajedrez es excitante y trabajoso.
8. Francisco y Antonio son cantantes.
Cuaderno de lgica, 3
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
2) Completa la formalizacin:
1. No p sino q
2. Ni p ni q
3. p, si q
4. Slo p, si q
5. p es una condicin suficiente de q
6. p es una condicin necesaria de q
3) Traduce los siguientes conectivos proposicionales haciendo uso de este
vocabulario:
T = la temperatura sube
P = ha llovido
C = el cerezo florece
1. (T P) C
Cuaderno de lgica, 4
2.
(T P) ( T P)
3.
(C P)
4.
T (C P)
5.
TC
6.
C (P T)
Ejercicio 2.3
Formaliza lo que sigue:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Cuaderno de lgica, 5
(Q R)P P(Q R)
P(Q R) *
a
b
c
d
e
f
Cuaderno de lgica, 6
Formaliza:
-De haber tomado medidas en su momento (P), no se hubieran propagado los
incendios forestales (Q). -Si los elefantes se fugan (P), entonces el domador se
quedar muy triste (Q).
-Quien a hierro mata (P), a hierro muere (Q).
-Slo si estudias (P), aprobars (Q).
-Te traer flores (P), siempre que vaya a Valencia (Q).
1) Si la figura es redonda, entonces es un crculo.
2) Si y slo si el auricular no es colgado, la conversacin se interrumpe.
2 Las Funciones de verdad
p q pq pq pq pq
1 1
1 0
0 1
0 0
Ejercicio 2.4.5
1) Qu proposiciones son verdaderas?
1. (Londres est sobre el Rin).
2. (4 + 9 = 12) (los claveles tienen perfume).
3. (La nieve es negra) (la nieve es blanca).
4. (5 es un nmero primo) (algunos Suizos aman el juego de las cartas).
5. (Las palomas comen serpientes) (Pars est en la Selva negra).
6. (Hay rosas rojas) (a veces llueve en Boloa).
7. (La abuela va de paseo) (el 4 es un nmero cuadrado).
8. (Francisco posee una casa) (Francisco paga muchos impuestos).
9. (Todas las chicas se llaman Rita) (Einstein era un gran fsico).
2) Formaliza los siguientes conectivos proposicionales y averigua su valor de
verdad:
1. Las moscas son insectos y el Mar Muerto est salado.
2.
3.
4.
Cuaderno de lgica, 7
5.
6.
7.
8.
9.
AX
3.
AX
4.
AZ
5.
BY
6.
( A Y)
7.
(A Z) ( Y B)
8.
A B (Y Z)
9.
[A (B (Y (Z A)))]
10.
AY
11.
AZ
12.
(A B) X
13.
A Z (A B)
14.
AY
15.
YA
Cuaderno de lgica, 8
16.
A (B Z)
17.
(Z A) ( A B Z)
18.
B [Y (Z B)]
( R K) P
2.
[ (K A)]
3.
(A K) (P R)
4.
P ( A K)
5.
KR
6.
( P K) (A R)
7.
( P A) R
8.
A ( K R)
SS
Cuaderno de lgica, 9
(p q) (q p)
p (p p)
p p
p (p q)
(p q) p q
(p q) [(p m) (q m)]
Ejercicio 2.5
1) Demuestra con la ayuda de las tablas de los valores de verdad la validez de los
siguientes conectivos proposicionales:
1. (p p) p
Cuaderno de lgica, 10
2.
q (p q)
3.
(p q) (q p)
4.
[p (q r)] [q (p r)]
5.
(q r) [(p q) (p r)]
4a (p q) [(r p) (r q)]
Cuaderno de lgica, 11
7.
[p (q r)] [q (p r)]
8.
9.
(p q) ( q p)
10.
pp
11.
pp
Cuaderno de lgica, 12
3)
1. Si Aldo va de paseo, lleva siempre el perro consigo.
Formaliza la proposicin anterior y revisa si dice lo mismo que esta otra: Si
Aldo no va de paseo, no lleva el perro consigo.
5. [p (p q) q] [p ((p q) q)]
Cuaderno de lgica, 13
2.
3.
4.
q
6.
pq
7.
qp
8.
pq
pq
pq
2.
(p q) ( p q)
4.
(p q) (p q)
Cuaderno de lgica, 14
5.
(p q) ( q p)
(p q) (p q)
((T C) T) (C T)
Ejercicio 2.5.2
1) Verifica la verdad de los siguientes conectivos proposicionales con la ayuda de
las tablas parciales de los valores de verdad.
1. (p p) (p p)
4. [p ( q r)] [(p r) q]
2. (p q) ( p q)
5. [p ( q p)] (q p)
3. (p q) ( p q)
6. (p q) (p q) (p r)
Cuaderno de lgica, 15
Cuaderno de lgica, 16
6 La deduccin
Ejercicio 2.6.1
1)
1. Si el nio duerme, es feliz.
2. El nio duerme.
3. Por tanto es feliz.
Cuaderno de lgica, 17
2)
1. Si el queso tiene agujeros, entonces es Emmentaler.
2. El queso es Emmentaler.
3. Por tanto tiene agujeros.
3)
1. ((p q) r) (f s)
2. ((p q) r)
/ .
Cuaderno de lgica, 18
Ejercicio 2.6.2
1) Si Gabriela contina jugando, llega tarde. Gabriela no llega tarde. Luego no
contina jugando.
2) Si nieva, los turistas no van a Engadin. Los turistas van a Engadin. Entonces?
3)
1. (p q) (r s)
2. r s
/ .
Cuaderno de lgica, 19
Ejercicio2.6.2
5) Cmo debe ser la segunda premisa del ltimo ejemplo para efectuar una
deduccin vlida?
Cuaderno de lgica, 20
2. Son equivalentes?
Cuaderno de lgica, 21
Ejercicio 2.6.3
1) Si Gerardo es invitado a una copa, est contento. Se muestra agresivo con la
secretaria y no est contento. Entonces?
Cuaderno de lgica, 22
3) Si Churchill era francs, beba Champagne, pero si era ingls beba Whisky. Era
ingls. Entonces beba Whisky.
4) Los tejones excavan agujeros, los zorros viven en ellos y los cazadores van de
caza. Si los tejones no se han ido, los zorros no viven en los agujeros. Por tanto los
tejones se han ido.
Cuaderno de lgica, 23
Ejercicio 2.6.4
1) Hay castaas y hay conversacin. Hay bocadillos y la cena es a las ocho. Si la
cena es a las ocho y hay castaas, entonces es la vigilia de Navidad. Por tanto es la
vigilia de Navidad y hay conversacin.
Cuaderno de lgica, 24
2)
1. t
2. p q
3. r p
4. (r q) (s t)
/ps
Indicad en los ejercicios siguientes los pasos efectuados y las reglas utilizadas:
3)
1. p q
2. ((r s) z) ( t u)
3. (v w) ( t x)
4. (v w) p
5. y t
6. p
/ q y
7. q
8. t u
9. t
10. y
11. q y
4)
1. (p q) r
2. (s t) u
3. (v w) (t r) ( x y)
4. z s
5. t r
/ u (p q)
6. r
7. (p q)
8. s
Cuaderno de lgica, 25
9. t
10. s t
11. u
12. u (p q)
Ejercicio 2.6.5
1) Si el prroco tiene prisa, pronuncia una homila descentrada. Si hace una
homila descentrada, no por esto es ms breve. Por tanto si el prroco tiene prisa, la
homila no es ms breve.
Cuaderno de lgica, 26
Cuaderno de lgica, 27
7) Donde hay fe, hay amor; donde hay amor, hay paz; donde hay paz, hay
prosperidad; donde hay prosperidad, est Dios; donde est Dios, no hay necesidad.
Qu se sigue de esto?
8)
1. p q
2. r s t
3. u p
4. z
5. t u
Cuaderno de lgica, 28
9)
1.
2.
3.
4.
p (q r)
(q r) (r s)
(q s) [t (s u)]
tp
/qu
Ejercicio 2.6.6
1) La demostracin es sofstica o Aquiles adelanta a la tortuga. Si Aquiles adelanta
a la tortuga, entonces la lgica tiene alguna contradiccin. Los matemticos han
verificado el total y la lgica no tiene ninguna contradiccin. Por tanto la
demostracin es sofstica.
Cuaderno de lgica, 29
Cuaderno de lgica, 30
Cuaderno de lgica, 31
1. La Luna es redonda.
2. Por tanto o la Luna es redonda o los pinos son de madera.
Cuaderno de lgica, 32
Ejercicio 2.6.7
1)
1. (p q) r
2. (s r) t
3. t u
4. u q s
qt
2)
1. p q
2. p r
3. r (r s)
4. q
/ sq
3)
1. p q
2. q (r s)
3. (r s) (s p)
/ sp
Cuaderno de lgica, 33
4)
1. p q
2. r s
3. (q r) (p t)
4. s p
/ st
1. Si el padre llega pronto, Aldo hace los deberes con tiempo, y si la madre vuelve
tarde, Aldo juega con Gabriela.
2. Aldo no juega con Gabriela.
3. El padre llega pronto o la madre tarde.
4. Por tanto Aldo hace los deberes con tiempo.
Cuaderno de lgica, 34
Ejercicio 2.6.8
1) Si Pa hace horas extraordinarias, se cansa, y si vive en la ciudad, tiene poco
aire. Hace horas extraordinarias o vive en la ciudad. Por tanto se cansa o tiene poco
aire.
Cuaderno de lgica, 35
4)
1. s t
2. p r
3. p q r s
4. (u t) (p q r)
5. q u
Cuaderno de lgica, 36
Ejercicio 2.6.9
1)
1. p
2. r s
3. p q
4. q s
5. (t u) r
/ (t u)
2)
Cuaderno de lgica, 37
1. ( p r t) z
2. r q
3. s
4. p s
/ z
3) Para el ejercicio 2) existe un camino ms corto sin utilizar la regla DD. Cmo
proceder?
4)
1. t r
2. p
3. ( s t) (p m)
4. p q r
5. s q
/ m
Cuaderno de lgica, 38
Ejercicio 2.6.13
1. s
2. (p q) (q q)
3. p q s
/ q
Ejercicio 2.6.14
1) Si suena el cuerno, los huspedes no duermen. Si hay silencio, los huspedes
duermen. Por tanto cuando suena el cuerno, no hay silencio.
2)
1. ( p q r) [ s (t u)]
2. p
3. p [(t u) (u v)]
4. ( p q) [(u v) w]
/ ws
Cuaderno de lgica, 39
Ejercicio 2.6.15
1)
1. p q
2. r q
3. p
/ r
2) Gustavo toca la trompa o el piano. Toca el trombn o bien no toca el piano. Por
tanto toca la trompa o el trombn.
3)
1. v (q x)
2. (t u) v
3. p (q r)
4. s (q x)
5. (q r) s
/ p (t u)
Cuaderno de lgica, 40
4) O bajan las tarifas, o se reducen los ingresos o la industria lctea florece. Si las
tarifas disminuyen, los ingresos se reducen. Por tanto la industria lctea florece o los
ingresos se reducen.
Ejercicio 2.6.16
1)
1. p (q r)
2. r (p q)
/ r
2)
1. (p q) (r s)
2. ( p s) ( p q)
/ pr
Cuaderno de lgica, 41
Ejercicio 2.6.17
1) Las violetas perfuman slo cuando florecen. Ahora no perfuman. Por tanto no
florecen.
2)
1. (r s) (t v)
2. ( q r) p
3. ( q s) (p t)
4. p s
/ qu
Ejercicio 2.6.18
1) No se da el caso que los Americanos y los Belgas revaloricen sus monedas o los
Alemanes se queden mirando el cambio. Por tanto si los Americanos revalorizan su
moneda, entonces los Belgas no la revalorizan o los Alemanes se quedan mirando el
cambio.
Cuaderno de lgica, 42
Ejercicio 2.6.19
1)
1. p (q p)
2. q r
3. (p q) r
/ (p q) ( p q)
Ejercicio 2.6.20
1) No se da el caso que un caracol no se pueda enrollar y no pueda nadar. Es cierto
que no puede nadar. Por tanto se puede enrollar.
2) Si el diputado tiene los votos de los campesinos, gana en el campo, y si tiene los
votos de los obreros gana en la ciudad. Si tiene de su lado a ambas partes, campo y
ciudad, entonces viene elegido con toda seguridad. Pero no es elegido con seguridad.
Por tanto le faltan los votos de los obreros si gana los de los campesinos.
Cuaderno de lgica, 43
Ejercicio 2.6.21
1) Si las Olimpadas se celebran en Davos o Zermatt, los Suizos y la Asociacin de
los comerciantes estn contentos. La Asociacin de los comerciantes no est
contenta. Por tanto las Olimpadas no se celebran en Zermatt.
3) Si trabajo, gano, pero si soy perezoso, estoy en paz. O trabajo o soy perezoso.
Pero si trabajo, no estoy en paz, y si soy perezoso, no gano. Por tanto estoy en paz
exactamente si no gano.
Cuaderno de lgica, 44
4) En Suiza cuando baja el viento del Norte y se levanta el Fhn, hay tempestad. El
viento del Norte baja y ponemos la vela. No se da el caso que con el Fhn la cubierta
permanezca seca. Si tenemos tempestad, no se da el caso que no observemos las
alarmas o que no pongamos la vela. Por tanto se levanta el Fhn y observamos las
alarmas.
6) Franco lee a Goethe y Schiller o Marcel y Camus. No lee a Goethe. Por tanto lee
a Camus.
Cuaderno de lgica, 45
/rw
7. q p
8. p q
9. r
10. ( v w)
11. v w
12. w
13. r w
10)
1. p (q p)
2. p q
3. p ( q p)
/pq
4. ( q p) p
5. q ( p p)
6. q p
7. p q
8. (p q) ( p q)
9. (p q)
10. p q
11)
Cuaderno de lgica, 46
1. s s
2. p (q s)
3. (t p) (u q)
4. s s
/tu
5. s
6. (p q) s
7. (p q)
8. p q
9. t u
10. t u
12)
1. ( p q) (r s)
2. t (u v)
3. ( w s) (x q)
4. ( y t) ( p w)
5. (u v)
6. y (u v)
7. x q
/xr
8. p q
9. q p
10. (u v) t
11. t
12. u v
13. y ( u v)
14. y
15. y t
16. p w
17. p w
18. w s
19. r s
Cuaderno de lgica, 47
20. s r
21. x r
13) He aqu un texto extrado de 1Cor 15, 12-20.
Si no hay resurreccin de los muertos, entonces ni siquiera Cristo ha resucitado!
(v. 13)
Pero si Cristo no ha resucitado, entonces es vana nuestra predicacin y vana
tambin nuestra fe (v. 14).
a) Qu se puede deducir de estas dos premisas?
(v. 13)
(v. 20)
Cuaderno de lgica, 48
16)
1. ( q y) [z (s t)]
2. ( p q) (x z)
3. ( q p) ((s t) x)
/ ( x z)
17)
1. p q
2. p s
3. h s
/ (h q) p
Cuaderno de lgica, 49
18)
1. p (q r)
2. s p
3. s (t q)
4. p
5. s
/ (t r)
19)
1. p (q r)
2. (s t) ( t p)
3. (t s) r
/ r
Cuaderno de lgica, 50
20)
1. p ( q p)
2. q ( p q)
/ (p q) ( p q)
Cuaderno de lgica, 51
7. Lgica aristotlica
2
Todos los jugadores de ajedrez son lgicos
Algunos polticos no son lgicos
Luego, algunos polticos no juegan al ajedrez
3
Todos los filsofos son pensadores
Algunos pensadores estn en las nubes
Por tanto algunos filsofos estn en las nubes
Ejercicio 3.3
Indica para cada silogismo la figura y la palabra mnemotcnica (ejemplo: I,
Barbara), si es falso, slo la figura y las vocales (ejemplo: I, EEI).
1
Cuaderno de lgica, 52
Cuaderno de lgica, 53
10
11
Cuaderno de lgica, 54
12
13
14 Todos los mamferos son caballos ya que todos los solpedos son mamferos y
todos los caballos son solpedos.
15
Todas las naves que se desplazan bajo el agua son submarinos; por lo tanto,
ningn submarino es un buque de placer puesto que ningn buque de placer
es una nave que se desplaza bajo el agua.
16
Cuaderno de lgica, 55
17
18
Todos los telfonos mviles son instrumentos delicados y caros, pero ningn
instrumento delicado y caro puede ser un juguete infantil; en consecuencia,
ningn telfono mvil puede ser un juguete infantil.
Formalizar y deducir:
1. Si Csar recibi el e-mail, entonces cogi el avin; y si cogi el avin, entonces
no llegar tarde a la reunin. Si el e-mail tena la direccin equivocada, entonces
Csar llegar tarde a la reunin. O bien Csar recibi el e-mail, o bien el e-mail tena
una direccin equivocada. Por lo tanto, o bien Csar cogi el avin o bien llegar
tarde a la reunin. (R, A, T, E)
Cuaderno de lgica, 56
2. O bien el ladrn entr por la puerta, o el robo fue cometido desde dentro y uno
de los sirvientes debe estar involucrado en l. El ladrn pudo entrar por la puerta slo
si el cerrojo fue levantado desde dentro; pero uno de los sirvientes se halla implicado
en el robo, si el cerrojo fue levantado desde dentro. Por tanto, uno de los sirvientes
est involucrado en el robo. (P, D, S, C)
Cuaderno de lgica, 57
Cuaderno de lgica, 58
Formalizar:
a) Si el mal existe en el mundo (P) y no se origina en las acciones de los
seres humanos (Q), entonces Dios no quiere (R) o no puede (S) impedirlo.
Cuaderno de lgica, 59
MP
MT
Simp
Con
HS
DS
Add
CD
DD
DN
Com
Assoc
Idemp
Contr
Impl
Dist
Equiv
Exp
Abs
De M
2
3
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Cuaderno de lgica, 60
II figura
III figura
IV figura
Las figuras se pueden recordar fcilmente: juntas pueden ser interpretadas como
una W estilizada: \/
Modos vlidos del silogismo
I figura
II figura
III figura
IV figura
AAA
AEE
AAI*
AAI*
AAI*
AEO*
AII
AEE
AII
AOO
EAO*
AEO*
EAE
EAE
EIO
EAO*
EAO*
EAO*
IAI
EIO
EIO
EIO
OAO
IAI
Cuaderno de lgica, 61