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Problemas Probabilidades Resueltos
Problemas Probabilidades Resueltos
Problemas Probabilidades Resueltos
PROBABILIDADES Y ESTADSTICA
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); ( 2,1); (2,2); ( 2,3); ( 2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (4,1); ( 4,2); ( 4,3); ( 4,4
Est conformado por todos los posibles pares de nmero que pueden
obtenerse al lanzar dos veces la perinola.
c) Cul sera el espacio muestral al lanzar dos pirinolas iguales a la antes
descrita, de una manera simultanea? Comente el resultado.
d) Se lanza una vez un dardo a un blanco constituido por una circunferencia
de rea r 2 ( suponemos que el dardo siempre caer dentro de la
circunferencia)
Experimento aleatorio:
del blanco.
Espacio muestral
................................................................(vivienda99, vivienda100)
h) Una caja con ampolletas tiene r (r<N) unidades con filamento rotos. Esas se
prueban una a una, hasta que se encuentra una defectuosa.
D: ampolleta con filamento roto
B: ampolleta con filamento bueno.
ii)
A2 ( mujer , mujer , hom bre ); ( mujer , hom bre , mujer ); (hom bre , mujer , mujer )
iii)
A3 ( mujer , mujer , hom bre ); ( mujer , hom bre , mujer ); (hom bre , mujer , mujer ); ( mujer , mujer , mujer )
3.- Un lote consta de 10 artculos buenos (b), 4 con pequeos defectos (dp)
y 2 con defectos graves (dg).
i)
b, dp, dg
A el _ artculo _ es _ bueno
P ( A B ) P ( A) P ( B )
10 2 12
16 16 16
10 4 10 2
4 10 2 10
*
*
0,5
16 15 16 15 16 15 16 15
P( D)
4.-
P (d ) P( d ) P (d
) P(d
) 0,00476
d
d d
d d d
b) La 6 extraccin.
_ _ _ _ _ d el computador que sale en la sexta extraccin
corresponde al ltimo defectuoso. Luego, en las 5 posiciones anteriores
se tienen que acomodar 3 computadores defectuosos y 2 buenos. Lo cual
se podra obtener usando combinatoria:
5
= 10
5.-
4 32651
)10 0,04761
10 9 8 7 6 5
Se selecciona al azar una de las cajas; se elige una ficha de ella y se coloca
en la otra caja; luego se selecciona al azar una ficha de la segunda caja. Hallar
la probabilidad de que las dos fichas elegidas sean del mismo color.
A Se _ selecciona _ la _ caja _ A
B Se _ selecciona _ la _ caja _ B
3/8
5/8
R
0,6
1/4
3/4
A
0,5
0,4
W
2/3
1/3
R
2/7
0,5
B
R
5/7
0,5
W
0,5
Dado que hay cuatro alternativas que llevan a dos fichas del mismo color:
P( D)
133 1 23 1 22 151
0,5363
258 25 4 27 3 27 2
6.- Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento aleatorio. Supngase que
P ( A) 0, 4 mientras que P ( A B ) 0,7 . Sea P ( B ) p .
a) Para qu valor de p son los sucesos A y B mutuamente excluyentes?
Dos sucesos son mutuamente excluyentes si la interseccin entre ellos es vaca.
Luego:
P ( A B ) 0
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )
0,7= 0,4 + p -0
P = 0,3
b) Para que valor de p son los sucesos A y B independientes?
Los sucesos son independientes si:
P ( A B ) P ( A) P ( B )
Luego,
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
7.-
P ( B1 A1 ) 0,35
P ( B2 ) 0,5
P ( B2 A2 ) 0,5
P ( B3 ) 0,1
c
a) Encuentre P ( A1 B3 ) e interprete el resultado.
P( A1 B3 ) c 1 P( A1 B3 ) 1 P( A1 ) P( B3 ) P ( A1 B3 )
= 1-
A1
B1
B2
B3
A2
0,21
0,30
0,09
0,60
0,19
0,20
0,01
0,40
0,40
0,50
0,10
1,00
P ( A1 B1 ) P ( A1 ) * P ( B1
P( A2 B2 ) P( A2 ) * P
B2
)
A1 =0,6*0,35=0,21
A2
P ( A2 ) 1 P ( A1 ) 1 0,6 0,4
Luego, se completa el cuadro con las probabilidades complementarias y
considerando que la suma total de las probabilidades de la misma
caracterstica en estudio debe dar 1.
Interpretacin del resultado:
La probabilidad de que una familia no tenga automvil, ni un ingreso superior
a 10.000 dlares es de un 39%.
b) Encuentre P (( A1 B2 ) ( A1 B3 ) ) e interprete el resultado.
P (( A1 B2 ) ( A1 B3 ) P ( A1 B2 ) P ( A1 B3 ) 0, 21 0, 09 0,30
P ( B3 A2 )
P ( B3 A2 )
P ( B3 A2 )
P ( A2 )
0,01
0, 025
0, 40
0, 21 0,60*0, 40
No son independientes.
8.- En cierta ciudad del sur de Chile se publican tres peridicos: A, B y C:
Suponga que el 60% de las familias estn suscrita al peridico A; el 50% al B y
el 50% al C. Tambin se sabe que el 30% estn suscrito a A y B; el 20% en B y
C; 30% en A y C, y el 10% en los tres. Calcule la probabilidad que una familia
escogida al azar:
c)
P( A B c ) 0,3
0,6
0,5
P( B c )
0,1+0,1+0,1=0,3
c) est suscrita al peridico A, si se sabe que lo est en por lo menos dos
peridicos.
P( A
0,7
10
A1 A2c
0,5
A3c
0,3
0,6
A3
A A2
c
1
0,3
A3c
0,4
0,2
A1 A2
A3
0,8
0,2
A3c
( probabilidad total)
P ( A A2
c
1
A3
P( A1c A2 ) * P(
A3
A1c A2
P( A3 )
0,3 * 0,6
0,26
0,69
10.- Una agencia de viajes, organiz tres tipos de excursiones al viejo continente:
Europa pintoresca , Europa deportiva y Europa Cultural, que los turistas
adquirieron en las siguientes proporciones 45% , 30% y 25%, respectivamente. Para el
traslado a dicha zona geogrfica se ofrecieron tres alternativas areas ( LAN, (AA)
Aerolnea Argentina e IBERIA), cuyos respectivos porcentajes de excursionistas para
cada uno de los tipos de excursiones ofrecidas, se entregan en el siguiente cuadro:
Lnea Area
LAN
AA
IBERIA
E. Pintoresca
50%
15%
35%
E. Deportiva
10%
80%
10%
E. Cultural
40%
5%
55%
11
Solucin:
A1
A2 =
A3 =
B1 =
B2 =
B3 =
a)
P( B1 ) = 0,45*0,5+0,30*0,1+0,25*0,4 = 0,355
P( B2 ) = 0,45*0,15+0,30*0,80 +0,25*0,05 = 0,32
P( B3 ) = 0,45*0,35+0,30*0,10+0,25*0,55 = 0,325
P(( A1 A3 ) / B3 ) P ( A1 / B3 ) P ( A3 / B3 ) = 0,9077
P ( A1 / B3 )
0,45 * 0,35
= 0,4846
0,45 * 0,35 0,30 * 0,1 0,25 * 0,55
P ( A3 / B3 )
0,25 * 0,55
= 0,4231
0,45 * 0,35 0,30 * 0,1 0,25 * 0,55
11.-
Solucin:
A=
B=
C=
P ( A B C ) 0,12
P ( A C ) 0,30
P ( B C ) 0,24
0,12 P ( A) * 0,24
0,12 P ( B ) * 0,30
0,12 P (C ) * 0,2
P ( A) 0,5
P (( B ) 0,4
P (C ) 0,6
P( A B / C )
0,7
P (C )
P (C )
0,6
P( I) 0,25
I 0,10
PT
P (C) 0,35
C 0,20
PT
P(L) 0,40
L 0,30
PT
Se pide :
P C
07
C
T P T 0,10 0,25 00,,2020 00,,3535 0,30 0,40 00,,215
0,3256
PC
PT
13
b)
T1: El primer estudiante observado se titula.
T2: El segundo estudiante observado se titula.
T3: El tercer estudiante observado se titula.
T1, T2, T3 sucesos independientes.
i.
Se pide ;
10
Para que la suma sea impar, una carta tiene que ser par y la otra impar.
Luego:
5
1
5
Por lo tanto: tengo 5*5 =25 maneras de elegir una carta par y la otra
impar, sin importar el orden.
As, la probabilidad de elegir un par de carta que la suma sea impar es:
25
45
14
10!
P10
9*10 90
2
8!
pares.
50
90
50
0,5
100
14.- Un banco local revisa su poltica de tarjetas de crdito, con el objetivo de cancelar
algunas de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha pasado a ser
moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda.
Adems, el banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente normal se
atrase en un pago es de 0.2. Naturalmente, la probabilidad de que un cliente moroso
se atrase en un pago es 1.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
Comenzamos identificando el experimento aleatorio. En este caso consiste en elegir al
azar a un cliente del banco que tenga tarjeta de crdito y preguntarnos por los
siguientes sucesos.
Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:
M: el cliente es moroso,
A : el cliente se ha atrasado en un pago mensual.
Los conjuntos de sucesos {M,Mc } y {A,Ac} son dos sistemas completos de sucesos. A
continuacin reescribimos los datos que nos proporciona el enunciado en trminos de
probabilidades.
15
P(M) = 0.05,
P(A| Mc) = 0.2, P(A|M) = 1.
P, T, A
P(B) = 20/36.
d) Calcular la probabilidad de seleccionar un trabajador que pertenezca el
segmento de los profesionales o al segmento de los tcnicos ( construya
los sucesos, asgneles probabilidades y realice las operaciones que
correspondan ).
C=
D =
Parte II
Si de esta poblacin se eligen dos trabajadores al azar, uno a uno, sin
reposicin.
a) Identifique el experimento aleatorio y construya un espacio muestral
considerando la segmentacin.
Se seleccionan dos trabajadores al azar , uno a uno.
=
17
( T, T)
18
Usando combinatoria
20
36
P(F) = C
/ C
3
3
O=
T=
P(O
'
0,24
0,774
0,31
19
17.- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo da. La probabilidad de que pase la
primera es 0,6, la probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas
es 0,5. Se pide determinar:
a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.
Llamemos A = {pasar primera prueba} y B = {pasar segunda prueba}. Se nos
proporcionan tres probabilidades: P(A) = 0,6, P(B) = 0,8 y P(A B) = 0,5.
P(A B) = P(A) + P(B) + P(A B) = 0,6 + 0,8 0,5 = 0,9
b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.
P(Ac Bc ) = P(A B)c = 1 P(A B) = 1 0,9 = 0,1
c) Son ambas pruebas son sucesos independientes?
P(A B) = 0,5 P(A) P(B) = 0,6 0,8 = 0,48 A y B no son independientes
d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la
primera.
P(B/Ac ) =
P ( Ac B )
P ( Ac )
0, 3
0, 75
0, 4
18.- Juan y Pedro lanzan una pelota a un blanco. La probabilidad de que Juan d en el
blanco es 1/3 y la probabilidad de que d Pedro es 1/4. Supngase que Juan lanza
primero y que los dos chicos se van turnando para lanzar:
a) Calcula la probabilidad de que el primer lanzamiento que d en el blanco sea el
segundo de Juan.
Llamemos A = {Juan da en el blanco} y B = {Pedro da en el blanco}. Entonces
1
P(A) = 3 y P(B) = 4
Adems los sucesos A y B son independientes pues el hecho
de Juan d o no en el blanco no influye para que Pedro d o no en el blanco.
Debe de ocurrir que Juan, que es el primero que lanza, no d en el blanco, que
luego tampoco d Pedro y finalmente, en el siguiente lanzamiento, Juan consiga
dar en el blanco. Este suceso se puede simbolizar as Ac Bc A, cuya
2 3 1
20
Suceso: Juan da en el
blanco antes
que Pedro
A
AC B C A
AC B C AC B C A
4
..
k
Probabilidad
1
3
2 3 1 1 1
* * *
3 4 3 2 3
1 2 1
*
2
3
3
1
1
*
2
3
1 k 1 1
*
2
3
Por tanto la probabilidad de que Juan d en el blanco antes que Pedro debe de
calcularse, sumando todos los resultados de la ltima columna.
k 1 k 1 1
*
3
i 1 2
F el _ sistema _ falla
Construir diagrama de rbol
P( F ) 0,4 * 0,2 0,4 2 * 0,8 * 0,5 0,43 * 0,82 * 0,5 0,4 2 * 0,82 * 0,6
0,6 * 0,4 * 0,5 0,6 * 0,4 2 * 0,5 * 0,8 0,6 2 * 0,4 * 0,8 0,49952
21.- Se sabe que un paciente responder al tratamiento de una afeccin en
particular con una probabilidad igual a 0,9. Si se trata a tres pacientes en una
forma independiente, encuentre la probabilidad de que al menos uno responda
al tratamiento.
21.- Supngase que dos televisores defectuosos han sido incluidos en un envo
de seis televisores. El comprador empieza a probar los seis televisores uno por
uno.
a) Cul es la probabilidad de que se encuentre el ltimo televisor defectuoso
en la cuarta prueba?
Determinacin de casos que cumplen con la condicin.
22
1*4*3*1*2*1= 24
4*1*3*1*2*1 = 24
4*3*1*1*2*1=24
144
0,2
720
23
b d b d b b
b b dd b b
Ahora, los defectuosos tiene que permutarse de lugar y se tendra un total
de 12 casos en que ellos ocupan dos de los cuatro primeros lugares.
En el caso de los televisores buenos se ordenara de
diferentes en los 4 lugares que no ocupan los defectuosos.
24 maneras
288
0,4
720
24
25
Carretera
I
II
III I y II I y III II y III I, II y III
Probabilidad 0,40 0,35 0,30 0,25 0,15 0,10
0,05
a) En un da lluvioso una persona de la ciudad A desea transitar a la
ciudad B, y volver el mismo da. Cul es la probabilidad de que
pueda cumplir con su objetivo?
Sean los eventos:
I: Carretera de A a C est cortada.
II: Carretera de C a B est cortada.
III: Carretera de B a A est cortada.
a)
I c II c III c M Es el evento que las
carreteras I , II y III no estn cortadas.
P( I ) P( II ) P( III ) P( I II ) P( I III )
P( II III ) P( I II III )
II
III c I A
24.- Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de ltex y esmaltes.
Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre ltex
es 75%, que compre esmalte es 60%. De los que compran pintura de ltex, 60%
26
compran rodillos para pintar, de los compran esmalte el 70% compra rodillos y de
aquellos que compran los dos tipos de pintura solo el 50% compra rodillos. Suponga
que una persona que entra a la tienda compra al menos uno de los tipos de pintura.
2/ Datos:
Adems, como la persona que entra a la tienda compra por lo menos uno de
los tipos de pintura, tenemos que:
3/ Piden
4/
Finalmente:
b) Si
= 1, 2
27
2/
3/ Piden P(slo uno de los clientes compre los dos tipos de pintura)
P(slo el cliente 1 slo el cliente 2 compran los dos tipos de pintura)
28