Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

RO BOTICA:
Control, deteccin, visin e inteligencia

~' o
r:
.)
() 11
./
'
K. S. FU
R. C. GONZALEZ
C. S. G. LEE
Traduccin
SEBASTIAN DORMIDO BENCOMO
Catedrtico lnfonntica y Automtica
Facultad de Ciencias Fsicas
UNED (Madrid)
Re,isin tcnica
ANTONIO VAQUERO SANCHEZ
Catedrtico Informtica y Automtica
Facultad de Ciencias Fsicas
Universidad Complutense de Madrid
.. RO DE CORTESlJ.
11
McGraw-Hill
MADRID BOGOTA BUENOS AIRES GUATEMALA LISBOA MEXICO
NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTIAGO SAO PAULO
AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MONTREAL
NUEVA DELHI PARIS SAN FRANCISCO SINGAPUR
ST. LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO
CONTENIDO
Prlogo
l.
Introduccin
l.l.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
2.
3.
xi
Antecedentes
1
Desarrollo histrico
4
Cinemtica y dinmica del brazo del robot
6
Planificacin de la trayectoria y control del movimiento del manipulador 7
Sensores del robot
9
Lenguajes de programacin de robots
10
Inteligencia del robot
11
11
Referencias
Cinemtica del brazo del robot
13
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
13
Introduccin
El problema cinemtico directo
El problema cinemtico inverso
Observaciones finales
Referencias
Problemas
Dinmica del brazo del robot

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Introduccin
Formulacin de Lagrange-Euler
Formulacin de Newton-Euler
Ecuaciones de movimiento generalizadas de d'Alernbert
Referencias
Problemas
15
54
78
79
79
85
128
85
146
146
147
87
106
viii
CONTENIDO
4. Planificacin de trayectorias de un manipulador

4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Introduccin
Consideraciones generales sobre la planificacin de trayectoria
Trayectorias de articulacin interpoladas
Planificacin de trayectorias de caminos
cartesianos del manipulador
Referencias
Problemas
5. Control de manipuladores de robot

5.1.
152
152
155
157
178
201
201
203
206
Introduccin
206
5.2.
Control del brazo del robot PUMA
5.3.
Tcnica del par calculado
5.4.
Control subptimo de tiempo mnimo
5.5.
Control de estructura variable
5.6.
Control por realimentacin desacoplado no lineal
5.7.
Control de movimiento resuelto
5.8.
Control adaptativo
5.9.
208
210
228
232
234
239
251
272
Referencias
Problemas
273
274
6.
Deteccin
275
6.1.
Introduccin
275
CONTENIDO
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
Segmentacin y descripcin
Reconocimiento
Interpretacin
Referencias
Problemas
de estructuras
tridimensionales
9. Lenguajes de programacin del robot

9.1. Introduccin
9.2. Caractersticas de los lenguajes de nivel de robots
9.3.
Caractersticas de los lenguajes a nivel de tarea
9.4. Observaciones finales
Referencias
Problemas
10. Inteligencia de robot y planificacin de tareas

!O. l.
431
440
456
460
460
462
465
465
467
478
487
489
489
491
Introduccin
Bsqueda del espacio de estados
!0.3.
Reduccin del problema
10.4. Uso de la lgica de predicados
!0.5. Anlisis rneans-ends
!0.6.
Resolucin del problema
!0.7.
Aprendizaje del robot
10.8.
Planificacin de tareas de robot
10.9.
Problemas bsicos en la planificacin de tareas
!0.10. Sistemas expertos e ingeniera del conocimiento
!O.! l. Observaciones finales
Referencias
Problemas
540
540
Apndices
542
10.2.
A Vectores y matrices
B Jacobiano del manipulador
Bibliografia
Indice
491
492
502
507
512
515
523
525
528
536
539
542
564
576
591
CAPITULO
UNO
INTRODUCCION
Una mquina puede hacer el trabajo

de cien hombres normales, pero ninguna
mquina puede hacer el trabajo
de un hombre extraordinario.
Elbert Hubbard
1.1
ANTECEDENTES.
1 ,
_ - La necesidad cada vez ms resionante de aumentar la productividad y conseguir

' '... productos acabados de una calida um orrne, est hacendo que la industria gire
cada vez ms hacia una automatizacin basada en computador. En el momento
actual, la mayora de las tareas de fabricacin automatizadas se realizan mediante mquinas de uso especial diseadas para realizar funciones predeterminadas en
un proceso de manufacturacin. La inflexibilidad y generalmente el alto coste de
estas mquinas, a menudo llamadas sistemas de automatizacin duros, han llevado a un inters creciente en el uso de robots capaces de efectuar una variedad de
funciones de fabricacin en un entorno de trabajo ms flexible y a un menor coste
de produccin.
La palabra robot proviene de la palabra checa r_obota, que significa trabajo. El \
diccionario Webster define a un robot como un disQositivo automtico que," /
efecta funciones ordinariamente
asignadas
a~~los seres humanos. Con esta ,. f
~
definicin, se pueden considerar que las lavadoras son robots. Una definicin
utilizada por el Robot Institute of America da una descripcin ms precisa de los
,
,,
robots industriales: un robot es un man ulador reprogramable multifuncional - ~
diseado para mover materiales, piezas o dis ositivos es cializados, a travs de 'I '
movimientos programados variables para la realizacin de una diversidad de
tareas. Ensuma, un robot es un maipu a or reprogramable de uso general con
sensores externos que pueden efectuar diferentes tareas de montaje. Con esta
definicin, un robot debe poseer inteligencia que se debe normalmente a los
algoritmos de computador asociados con su sistema de control y sensorial.
Un robot industrial es un manipulador de uso general controlado por computador que consiste en algunos elementos rgidos conectados en serie mediante
articulaciones prismticas o de revolucin. El final de la cadena est fijo a una
base soporte, mientras el otro extremo est libre y equipado con una herramienta
para manipular objetos o realizar tareas de montaje. El movimiento de las
articulaciones resulta en, o produce, un movimiento relativo de los distintos
elementos. Mecnicamente, un robot se compone de un brazo y una mueca ms
ROBOTICA: COSTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA
una herramienta. Se disea para alcanzar una pieza de trabajo localizada dentro
de su volumen de trabajo. El volumen de trabajo es la esfera de influencia de un
robot cuyo brazo puede colocar el submontaje de la mueca en cualquier punto
dentro de la esfera. El brazo generalmente se puede mover con tres grados de
libertad. La combinacin de los movimientos posiciona a la mueca sobre la
pieza de trabajo. La mueca normalmente consta. de tres movimientos giratorios.
La combinacin de estos movimientos orienta a la pieza de acuerdo a la configuracin del objeto para facilitar su recogida. Estos tres ltimos movimientos se
denominan a menudo elevacin (pitch), desviacin (yaw) y giro (roll). Por tanto,
para un robot con seis articulaciones, el brazo es el mecanismo de posicionamiento, mientras que la mueca es el mecanismo de orientacin. Estos conceptos se
ilustran para el robot Cincinnati Milacron T3 y el robot PUMA de Unimation
que se muestran en la figura 1.1.
Barrido
del brazo
G iro
a)
Rotacin de cintura 320c

J
Rotacin del hombro C(r
Rotacin del codo 270
'
,
17 0i~
\
/
Doblado de mueca
200'
Montaje de la pinza
b)
Figura 1.1
a) Robot Cincinnati Milacron T3. b) Robot de la serie PUMA 560
INTRODUCCION
Muchos robots industriales, que estn disponibles comercialmente, se utilizan

ampliamente en tareas de fabricacin y de ensamblaje, tales como manejo de
malerial, soldaduras por arco y de punto, montajes de piezas, pintura al spray,
carga y descarga de mquinas controladas numricamente, exploraciones espaciales y submarinas, investigacin de brazos protsicos y en el manejo de materia- \
)es peligrosos. Estos robots caen en una de las cuatro categoras ue definen-,.
movimientos bsicos (Fig. 1.2):
1
Coordenadas cartesianas ~jes lineales) (eje lo: robot RS-1 de IBM y
el robot Sigma de Olive"tti).
Coordenadas cilndricas (dos ejes lineales y un eje rotacional) (ejemplo: robot
Versatran 600 de Prab).
Coordenadas esf cas un ee lineal y dos ejes rotacionales) (ejemplo: Unimate
2000B de Unimation Inc.).
Coordenadas de revolucin articuladas (tres ejes rotacionales) (ejemplo: robot
- T de Cincinnati Mlacron y el PUMA de Unimation lnc.).
La mayora de los robots industriales de hoy da, aunque estn controlados
por mini y microcomputadores, son bsicamente simples mquinas posicionales.
Cilndrico
De revolucin
Cartesiano o xy:
Esfrico
Figura 1.2 Diversas categoras de robots.
4 ROIJOTICA: CO~TROL, DETECCIO~. VIS!O~ E l~TELIGENCIA
Ejecutan una tarea dada mediante la grabacin de secuencias prerregistradas o

preprogramadas de movimientos que han sido previamente guiadas o enseadas
por el usuario con un control de mando porttil. Ms an, estos robots estn
equipados con pocos o ningn sensor externo para obtener la informacin vital
en su entorno de trabajo. Como resultado de esto, los robots se utilizan principalmente en tareas repetitivas relativamente simples. Se est dedicando un gran
esfuerzo de investigacin para mejorar el rendimiento global de los sistemas
manipuladores, y un camino es a travs del estudio de las diversas reas importantes tratadas en este libro. 6
1.2 DESARROLLO HISTORICO

La palabra robot se introdujo en la lengua inglesa en 1921 con el drama satrico
R.U.R. de Karel Capek (Rossum Universal Robots). En este trabajo, los robots
son mquinas que se asemejan a los seres humanos, pero que trabajan sin
descanso. Inicialmente, los robots se fabricaron como ayudas para sustituir a los
operarios humanos, pero posteriormente los robots se vuelven contra sus creadores, aniquilando a toda la raza humana. La obra de Capek es en gran medida
responsable de algunas de las creencias mantenidas popularmente acerca de los
mismos en nuestro tiempo, incluyendo la perfeccin de los robots como mquinas humanoides dotadas con inteligencia y personalidades individuales. Esta
imagen se reforz en la pelcula alemana de robots Metropolis, de 1926, con el
robot andador elctrico y su perro Sparko, representada en 1939 en la Feria
Mundial de Nueva York, y ms recientemente por el robot C3PO, protagonista
en la pelcula de 1977, La Guerra de las Galaxias. Ciertamente los robots industriales modernos parecen primitivos cuando se comparan con las expectativas
creadas por los medios de comunicacin durante las pasadas dcadas.
Los primeros trabajos que condujeron a los robots industriales de hoy da se
remontan al perodo que sigui inmediatamente a la Segunda Guerra Mundial.
Durante los aos finales de la dcada de los cuarenta, comenzaron programas de
investigacin en Oak Ridge y Argonne National Laboratories para desarrollar
manipuladores mecnicos controlados de forma remota para manejar materiales
radiactivos. Estos sistemas eran del tipo maestro-esclavo, diseados para reproducir fielmente los movimientos de mano y brazos realizados por un operario
humano. El manipulador maestro era guiado por el usuario a travs de una
secuencia de movimientos, mientras que el manipulador esclavo duplicaba a la
unidad maestra tan fidedignamente tal como le era posible. Posteriormente se
aadi la realimentacin de la fuerza acoplando mecnicamente el movimiento
de las unidades maestro y esclavo de forma que el operador poda sentir las
fuerzas que se desarrollaban entre el manipulador esclavo y su entorno. A
mediados de los aos cincuenta, el acoplo mecnico se sustituy por sistemas
elctricos e hidrulicos en manipuladores tales como el Handyman de General
Electric y el Minotaur I construido por General Milis.
El trabajo sobre manipuladores maestro-esclavo fue seguido rpidamente por
sistemas ms sofisticados capaces de operaciones repetitivas autnomas. A me-
INTRODUCCION
diados de los aos cincuenta, George C. Dcvol desarroll un dispositivo que l

llam dispositivo de transferencia programada articulada, un manipulador
cuya operacin poda ser programada (y, por tanto, cambiada) y que poda seguir
una secuencia de pasos de movimientos determinados por las instrucciones en el
programa. Posteriores desarrollos de este concepto por Devol y Joseph F. Engelberger condujo al primer robot industrial, introducido por Unimation Inc. en
1959.La clave de este dispositivo era el uso de una computadora en conjuncin
con
un manipulador para producir una mquina que poda ser enseada para
realizar una variedad de tareas de forma automtica. Al contrario que las mquinas de automatizacin de uso dedicado, estos robots se podan reprogramar y
cambiar de herramienta a un coste relativamente bajo para efectuar otros trabajos cuando cambiaban los requisitos de fabricacin.
Aunque los robots programados ofrecan una herramienta de fabricacin
nueva y potente, se hizo patente en los aos sesenta que la flexibilidad de estas
mquinas se podan mejorar significativamente mediante el uso de una realimentacin sensorial. Al comienzo de esa dcada, H. A. Ernst [1962] public el
desarrollo de una mano mecnica controlada por computador con sensores
tctiles. Este dispositivo, llamado el MH-1, poda sentir bloques y usar esta
informacin para controlar la mano de manera que apilaba los bloques sin la
ayuda de un operario. Este trabajo es uno de los primeros ejemplos de un robot
capaz de conducta adaptativa en un entorno razonablemente no estructurado. El
sistema manipulativo consista en un manipulador ANL, modelo 8, con 6 grados
de libertad, controlado por una computadora TX-0 mediante un dispositivo de
interfase. Este programa de investigacin posteriormente evolucion como parte
del proyecto MAC, y se le aadi una cmara de televisin para comenzar la
investigacin sobre la percepcin en la mquina. Durante el mismo perodo,
Tomovic y Boni [ 1962] desarrollaron una mano prototipo provista con un
sensor de presin que detectaba el objeto y proporcionaba una seal de realimentacin de entrada a un motor para iniciar uno de dos modelos de aprehensin.
Una vez que la mano estaba en contacto con el objeto, se enviaba a una computadora informacin proporcional a su tamao y peso mediante estos elementos
sensibles a la presin. En 1963, la American Machine y Foundry Company
(AMF) introdujo el robot comercial VERSATRAN. Comenzando en este mismo
ao, se desarrollaron diversos diseos de brazos para manipuladores, tales como
el brazo Roehampton y el Edinburgh.
A finales de los aos sesenta, McCarthy [1968] y sus colegas en el Stanford
Artificial Intelligence Laboratory publicaron el desarrollo de una computadora con
manos, ojos y odos (es decir, manipuladores, cmaras de TV y micrfonos).
Demostraron un sistema que reconoca mensajes hablados, vea bloques distribuidos sobre una mesa, y los manipulaba de acuerdo con instrucciones. Durante
este perodo, Pieper [1968] estudi el problema cinemtico de un manipulador
controlado por computadora, mientras que Kahn y Roth [1971] analizaban la
dinmica y el control de un brazo restringido utilizando control bang-bang (casi
de tiempo mnimo).
Mientras tanto, otros pases (en particular Japn) comenzaron a ver el potencial de los robots industriales. Ya en 1968, la compaa japonesa Kawasaki
1
RODOTICA:
CONTROL,
DETECCION,
VISJO:-,. E INTELIGENCIA
Heavy Industries negoci una licencia con Unimation para sus robots. Uno de
los desarrollos ms poco usuales en robots sucedi en 1969, cuando se desarroll
un camin experimental por la General Electric para la Armada Americana. En
el mismo ao se desarroll el brazo Boston y al ao siguiente el brazo Stanford,
que estaba equipado con una cmara y controlado por computadora. Algunos de
los trabajos ms serios en robtica comenzaron cuando estos brazos se utilizaron
como robots manipuladores. Un experimento en el brazo Stanford consista en
apilar automticamente bloques de acuerdo con diversas estrategias. Esto era un
trabajo muy sofisticado para un robot automatizado de esa poca. En 1974,
Cincinnati Milacron introdujo su primer robot industrial controlado por computadora. Lo llam The Tomorrow Tool (la herramienta del maana) o T3, que
poda levantar ms de 100 libras as como seguir a objetos mviles en una linea
de montaje.
Durante los aos setenta se centr un gran esfuerzo de investigacin sobre el
uso de sensores externos para facilitar las operaciones manipulativas. En Stanford, Bolles y Paul [ 1973], utilizando realimentacin tanto visual como de fuerza,
demostraron que un brazo Stanford controlado por computadora, conectado a
una PDP-10, efectuaba el montaje de bombas de agua de automvil. Hacia la
misma poca, Will y Grossman [1975] en IBM desarrollaron un manipulador
controlado por computadora con sensores de contacto y fuerza para realizar
montajes mecnicos en una mquina de escribir de veinte piezas. Inoue [1974],
en el Artificial Intelligence Laboratory del MIT, trabaj sobre los aspectos de
inteligencia artificial de la realimentacin de fuerzas. Se utiliz una tcnica de
bsqueda de aterrizajes. propia ~ la navegacin area, para realizar el posicionado inicial de una tarea de montaje precisa. En el Draper Laboratory, Nevins y
colaboradores [1974] investigaron tcnicas sensoriales basadas en el control
coordinado de fuerza y posicin. Este trabajo desarroll la instrumentacin de un
dispositivo remote center compliance (RCC) (centro remoto de control coordinado de fuerza y posicin) que se uni a la placa de montaje de la ltima articulacin del manipulador para cerrar el conjunto de coincidencias de piezas. Bejczy
[ 1974], en el Jet Propulsion Laboratory, desarroll una tcnica de control de par
basada en computadora sobre su brazo Stanford ampliado para proyectos de
exploracin espacial. Desde entonces han sido propuestos diversos mtodos para
manipuladores mecnicos.
Hoy da vemos la robtica como un campo de trabajo mucho ms amplio
que el que tenamos simplemente hace unos pocos aos, tratando con investigacin y desarrollo en una serie de reas interdisciplinarias, que incluyen cinemtica, dinmica, planificacin de sistemas, control, sensores, lenguajes de programacin e inteligencia de mquina. Estos tpicos, introducidos brevemente en las
secciones que siguen, constituyen el ncleo del material de este libro.
(i
)
1.3 CINEMATICA Y DIN AMICA DEL BRAZO DEL ROBOT
,/
"'. ,- La cinemtica del brazo del robot trata con el estudio analtico de la geometra
' 1
~ovimiento de un brazo de robot con respecto a un sistema de coor enaaas
lNTRODuCCIOS
de referencia fijo sin C.Q!!_siderar las fuerzas. o momentos que originan el movimiento. A.fil, la ~nemtica se interesa por la descripcin analtica del desplazamiento espacial del robot comoua funcin del tiempo, en particular de las
relaciones en re la posicin aelasvariables de articulacin y la posiciny
oentac1aeJ-efecror ma -del razo ael rooor.. -Hay dos pro6 emas fundamentales en la cinemtica del robot. El primer.
problema se suele conocer c~mo el problema cinemtico directo, mientras que el
seg_ulao es e --rob!eiacinemtico inverso. Como las variables indepenciien es en
ti"n robot son las variables"' e articulacin, y una tarea se suele dar en trminos
del sistema de coordenadas de referencia, se utiliza de manera ms frecuente el
problema cinemtico inverso. Denavit y Hartenberg [1955] propusieron un enfoque sistemtico y generalizado de utilizar lgebra matricial para describir y
representar la geometra espacial de los elementos del brazo del robot con
respecto a un sistema de referencia fijo. Este mtodo utiliza una matriz de
transformacin homognea 4 x 4 para describir la relacin espacial entre dos
elementos mecnicos rgidos adyacentes y reduce el problema cinemtico directo
a encontrar una matriz de transformacin homognea 4 x 4 que relaciona el
desplazamiento espacial del sistema de coordenadas de la mano al sistema de
coordenadas de referencia. Estas matrices de transformacin homogneas son
tambin tiles en derivar las ecuaciones dinmicas de movimiento del brazo del
robot. En general, el problema cinemtico inverso se puede resolver mediante
algunas tcnicas. Los mtodos utilizados ms comnmente son el algebraico
matricial, iterativo, o geomtrico. En el captulo 2 se da un tratamiento detallado
{ de los problemas cinemticos directo e inverso.
'
- La dinmica del robot, por otra 2arte, trata con la formulacin matemtica
I
l de las ecuaciones del movirmento del brazo. Las ecuaciones c!inmicas de movI='
miento de un manipula or son un conjunto de ecuaciones matemticas que
descrben la conducta dinmica del manipulador. Tales ecuaciones de movimienson ut1les para simulacin en computadora ae'J movimiento del brazo, el diseo
de ecuaciones de control apropiadas para el robot y la evaluacin del diseo y
estructura cinemtica del robot. El modelo dinmico real de un brazo se puede
obtener de leyes fisicas conocidas tales como las leyes de Newton y la mecnica
Iagrangiana. Esto conduce al desarrollo de las ecuaciones dinmicas de movimiento para las distintas articulaciones del manipulador en trminos de los
parmetros geomtricos e inerciales especificados para los distintos elementos. Se
pueden aplicar sistemticamente enfoques convencionales como las formulaciones de Lagrange-Euler y de Newton-Euler para desarrollar las ecuaciones de
movimientos del robot. En el capitulo 3 se presenta una discusin detallada de la
dinmica del brazo del robot. ~
to
1 -1.4
PLANIFICACION DE LA TRAYECTORIA (>

Y CONTROL DEL MOVIMIENTO DEL MANIPULADOR
Con el conocimiento de la cinemtica y la dinmica de un manipulador con

elementos series, sera interesante mover los actuadores de sus articulaciones para
ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA
cumplir una tarea deseada controlando al manipulador para que siga un camino
previsto. Antes de mover el brazo, es de inters saber si hay algn obstculo
presente en la trayectoria que el robot tiene que atravesar (ligaduras de obstculos) y si la mano del manipulador necesita viajar a Jo largo de una trayectoria
especificada (ligaduras de trayectoria). El problema de control de un manipulador
se puede dividir convenientemente en dos subproblemas coherentes: el subproblema de planificacin de movimiento (o trayectoria) y el subproblema de control
del movimiento.
La curva espacial que la mano del manipulador sigue desde una localizacin
inicial (posicin y orientacin) hasta una final se llama la trayectoria o camino. La
planificacin de la trayectoria (o planificador de trayectoria) interpola y/o aproxima la trayectoria deseada por una clase de funciones polinomiales y genera una
secuencia de puntos de consignas de control en funcin del tiempo para el
control del manipulador desde la posicin inicial hasta el destino. El captulo 4
discute los distintos sistemas de planificacin de trayectoria para movimientos
libres de obstculo, as como el formalismo para describir el movimiento deseado
del manipulador en trminos de la secuencia de puntos en el espacio a travs de
los cuales debe pasar y la curva espacial que recorre.
CCN~L
En general, el problema de control de movimientos consiste en: 1) obtener los
modelos dinmicos del manipulador, 2) utilizar estos modelos para determinar
leyes o estrategias de control para conseguir la respuesta y el funcionamiento del
sistema deseado. Como la primera parte del problema de control se discute
extensivamente en el captulo 3, el captulo 5 se concentra sobre la segunda parte
del problema de control. Desde el punto de vista de anlisis de control, el
movimiento del brazo de un robot se suele realizar en dos fases de control
distintas. La primera es el control de movimiento de aproximacin en el cual el
brazo se mueve desde una posicin/orientacin inicial hasta la vecindad de la
posicin/orientacin del destino deseado a lo largo de una trayectoria planificada. El segundo es el control del movimiento fino en el cual el efector final del
brazo interacciona dinmicamente con el objeto utilizando informacin obtenida
a travs de la realimentacin sensorial para completar la tarea.
Los enfoques industriales actuales para controlar el brazo del robot tratan
cada articulacin del brazo como un servomecanismo de articulacin simple.
Este planteamiento modela la dinmica de un manipulador de forma inadecuada
porque desprecia el movimiento y la configuracin del mecanismo del brazo de
forma global. Estos cambios en los parmetros del sistema controlado algunas
veces son bastante significativos para hacer ineficaces las estrategias de control
por realimentacin convencionales. El resultado de ello es una velocidad de
respuesta y un amortiguamiento del servo reducido, limitando as la precisin y
velocidad del efector final y hacindolo apropiado solamente para limitadas
tareas de precisin. Los manipuladores controlados de esta forma se mueven a
velocidades lentas con vibraciones innecesarias. Cualquier ganancia significativa
en el rendimiento en esta y otras reas del control del brazo del robot requieren
la consideracin de modelos dinmicos ms eficientes, enfoques de control
sofisticados y el uso de arquitecturas de computadoras dedicadas y tcnicas
de procesamiento en paralelo. El captulo 5 est enfocado a deducir las leyes
INTRODUCCION
de control del movimiento de aproximacin y las estrategias que utilizan los

modelos dinmicos analizados en el captulo 3 para controlar eficazmente un
manipulador. @
i.s
SENSORES DEL ROBOT
La utilizacin de mecanismos sensores externos permite a un robot interaccionar

con su entorno de una manera flexible, esto est en contraste con operaciones
preprogramadas en las cuales a un robot se le ensea para efectuar tareas
repetitivas mediante un conjunto de funciones programadas. Aunque esto ltimo
es con mucho la forma ms predominante de operacin de los robots industriales
actuales, la utilizacin de tecnologa sensorial para dotar a las mquinas con un
mayor grado de inteligencia al tratar con su entorno es realmente un tema de
investigacin y desarrollo activo en el campo de la robtica.
La funcin de los sensores del robot se pueden dividir en dos categoras
principales: estado interno y estado externo. Los sensores del estado interno
tratan con la deteccin de variables tales como la posicin de la articulacin del
brazo, que se utiliza para controlar el robot. Por otra parte, los sensores de
estado externo tratan con la deteccin de variables tales como alcance, proximidad y contacto. Los sensores externos, que se estudian en los captulos 6 al 8, se
utilizan para guiado de robots, as como para la identificacin y manejo de
objetos. El enfoque del captulo 6 es sobre sensores de alcance, proximidad,
contacto y de fuerza-par. En los captulos 7 y 8 se a'nalizan en detalle los sensores
y tcnicas de visin. Aunque los sensores de proxirriidad, contacto y fuerza juegan
un papel significativo en la mejora del funcionamiento del robot, se reconoce que
la visin es la capacidad sensorial ms potente del robot. La visin del robot se
puede definir como el proceso de extraer, caracterizar e interpretar informacin
de imgenes de un mundo tridimensional. Este proceso, tambin comnmente
conocido como visin de mquina o de computadora, se puede subdividir en seis
reas principales: 1) sensor, 2) preprocesamiento, 3) segmentacin, 4) descripcin,
5) reconocimiento, 6) interpretacin.
Es conveniente agrupar estas diversas reas de visin de acuerdo con la
sofisticacin que lleva su desarrollo. Consideramos tres niveles de procesamiento:
visin de bajo, medio y alto nivel. Aunque no existen fronteras ntidas entre estas
subdivisiones, proporcionan un marco til para categorizar los distintos procesos
que son componentes inherentes de un sistema de visin por mquina. En
nuestra discusin, trataremos los sensores y el preprocesamiento como funciones
de visin de bajo nivel. Esto nos llevar desde el propio proceso de formacin de
imagen hasta compensaciones tales como reduccin de ruido, y finalmente a la
extraccin de caractersticas primitivas de imgenes tales como discontinuidades
en la intensidad. Asociaremos con la visin de medio nivel aquellos procesos que
extraen, caracterizan y etiquetan componentes en una imagen resultante de la
visin de bajo nivel. En trminos de nuestras seis subdivisiones, trataremos la
segmentacin, descripcin y reconocimiento de objetos individuales como funciones de visin de medio nivel. La visin de alto nivel se refiere a procesos que
10 ROllOTICA: CONTROL. DETECCION, VJSI01' E INTELIGE:,./CIA
intentan emular el conocimiento. El material del captulo 7 trata de los sensores,

preprocesamiento y con conceptos y tcnicas necesitadas para realizar funciones
de visin de bajo nivel. Los temas de visin de los niveles superiores se estudian
en el captulo 8.
1.6
LENGUAJES DE PROGRAMACION
DE ROBOTS
Un gran obstculo en la utilizacin de los manipuladores como mquinas de uso

general es la falta de comunicacin eficaz y apropiada entre el usuario y el
sistema robtico, de forma que ste pueda dirigir al manipulador para cumplir
una tarea dada. Hay algunas formas de comunicarse con un robot, y los tres
grandes enfoques para lograrlo son: el reconocimiento de palabra discreta, ensear y reproducir y lenguajes de programacin de alto nivel.
El estado actual del reconocimiento de la voz es bastante primitivo y generalmente depende del orador. Pueden reconocer un conjunto de palabras discretas
de un vocabulario limitado y normalmente requiere que el usuario pare entre
palabras. Aunque es posible ahora reconocer palabras en tiempo real debido a
componentes de computadora ms rpidos y algoritmos de procesamientos eficientes, la utilidad del reconocimiento de palabras discretas para describir una
tarea es limitada. Ms an, requiere una gran cantidad de memoria para almacenar el discurso, y normalmente se necesita un perodo de entrenamiento para
incorporar patrones de voz con fines de reconocimiento.
El mtodo de ensear y reproducir lleva consigo el instruir al robot al
dirigirlo a travs de los movimientos que va a realizar. Esto se suele efectuar en
los pasos siguientes: 1) dirigir al robot en movimiento lento utilizando control
manual a travs de la tarea de montaje completa, siendo grabados los ngulos de
las articulaciones del robot en posiciones apropiadas con el fin de reproducir el
movimiento; 2) edicin y reproducin del movimiento enseado, y 3) si el movimiento enseado es correcto, entonces el robot lo ejecuta a una velocidad apropiada de forma repetitiva. Este mtodo se conoce tambin como guiado y es el
enfoque ms comnmente utilizado en los robots industriales de hoy da.
Un planteamiento ms general para resolver los problemas de comunicacin
hombre-robot es la utilizacin de programacin de alto nivel. Los robots se
utilizan comnmente en reas tales como soldadura por arco, soldadura de punto
y pintura al spray. Estas tareas no requieren interaccin entre el robot y el
entorno y se pueden programar fcilmente mediante guiado. Sin embargo, el uso
de robots para efectuar tareas de montajes requiere generalmente tcnicas de
programacin de alto nivel. Se necesita este esfuerzo porque el manipulador se
controla normalmente por una computadora, y la manera ms efectiva para que los
humanos se comuniquen con las computadoras es a travs de un lenguaje de
programacin de alto nivel. Ms an, al utilizar programas para describir tareas
de montaje, permite a un robot efectuar trabajos diferentes simplemente ejecutando el programa apropiado. Esto aumenta la flexibilidad y versatibilidad del
robot. El captulo 9 presenta el uso de tcnicas de programacin de alto nivel
para lograr una comunicacin efectiva con un sistema robtico.
INTRODUCCION
t.7 INTELIGENCIA
11
DEL ROBOT
Un problema bsico en robtica es la planificacin de movimiento para resolver

alguna tarea preespecificada, y luego controlar al robot cuando ejecuta las rdenes necesarias para conseguir esas acciones. Aqu planificacin significa decidir
un curso de accin antes de actuar. Esta parte de sntesis de accin del problema
del robot se puede lograr mediante un sistema de resolucin de problemas que
lograr algn objetivo marcado, dada alguna situacin inicial. Un plan es as una
representacn de un curso de accin para lograr un objetivo dado.
La investigacin sobre resolucin de problemas con robots ha conducido a
muchas ideas acerca de los sistemas para la resolucin de problemas en inteligencia artificial. En una formulacin tpica de un problema de robot tenemos un
robot que est equipado con sensores y un conjunto de acciones primitivas que
puede realizar en algn mundo fcil de comprender. Las acciones del robot
cambian un estado o configuracin del mundo en otro. En el mundo de bloques, por ejemplo, imaginamos un mundo de algunos bloques etiquetados
colocados en una mesa o uno sobre otro y un robot consistente en una cmara de
tele..-isiny un brazo y mano mvil que es capaz de tomar y mover bloques. En
algunas situaciones, el robot es un vehculo mvil con una cmara de TV que
efecta tareas tales como empujar objetos de un sitio a otro en un entorno que
contiene otros objetos.
En el captulo 10 introducimos algunos mtodos bsicos para la resolucin de
problemas y sus aplicaciones a la planificacin de robots. La discusin hace
nfasis en la resolucin del problema o aspectos de planificacin de un robot. Un
planificador de robot intenta encontrar una trayectoria desde nuestro mundo del
robot inicial hasta un mundo del robot final. El camino consiste en una secuencia
de operaciones que se consideran primitivas para el sistema. Una solucin a un
problema podra ser la base de una secuencia correspondiente de acciones fsicas
en el mundo fisico. La planificacin de robots, que proporciona la inteligencia y
la capacidad de resolucin de problemas a un sistema robtica, es todava un
rea de investigacin muy activa. Para aplicaciones de robots en tiempo real,
necesitaremos algoritmos de planificacin potentes y eficaces que se ejecutarn
por sistemas de computadoras de uso especial a alta velocidad.
1.8
REFERENCIAS
las referencias generales citadas a continuacin son representativas de publicaciones que tratan con temas de inters en robtica y en campos relacionados. Las
referencias que se dan al final de los captulos que siguen se clasifican segn los
ternas especficos que se estudian en el texto. La bibliografa al final del libro se
Organiza en orden alfabtico por autores, y contiene toda la informacin pertinente para cada referencia citada en el texto.
Algunas de las mejores revistas y actas de conferencia que de forma rutinaria
contienen artculos sobre los diversos aspectos de la robtica incluyen:
IEEE Journal o( Robotics and Automation: International Journal of Robotics
Research;
12 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA
Journal of Robotic Systems; Robotica: IEEE Transactions on Systems, Man and

Cybernetics; Artificial Intelligence: IEEE Transactions on Pattern Analysis and
Machine Intelligence; Compute, Graphics, Vsion, and Jmage Processing; Proceedings of the International Symposium on Industrial Robots; Proceedings of the
International Joint Conference on Artificial Intel/igence; Proceedings of IEEE
International Conference on Robotics and Automation; IEEE Transactions on
Automatic Control; Mechanism and Machine Theory; Proceedings of the Society
of Photo-Optical and Jnstrumentation Engineers; ASME Journal of Mechanical
Design; ASME Journal of Applied Mechanics: ASME Journal of Dynamic
Systems, Measurement and Control: and ASME Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design.
Lecturas complementarias al material de este libro se puede encontrar en los
libros de Dodd y Rossol [1979], Engelberger [1980], Paul [1981], Dorf [1983],
Snyder [1985], Lee, Gonzlez y Fu [1986], Tou [1985] y Craig [1986].
DOS
/
CINEMATICA DEL BRAZO DEL ROBOT
Y mire cmo se agita, se pone

en marcha, se desplaza y parece
sentir una emocin vital!
Henry Wadsworth Longfellow
2.1
INTRODUCCION
Un manipulador mecnico se puede modelar como una cadena articulada en lazo

abierto con algunos cuerpos rgidos (elementos) conectados en series por una
articulacin de revolucin o prismtica movida por actuadores. Un final de la
cadena se une a una base soporte mientras que el otro extremo est libre y unido
con una herramienta (el efector final) para manipular objetos o realizar tareas de
montaje. El movimiento relativo en las articulaciones resulta en el movimiento de
los elementos que posicionan la mano en una orientacin deseada. En la mayora
de fas aplicaciones de robtica, se est interesado en la descripcin espacial del
efector final del manipulador con respecto a un sistema de coordenadas de
referencia fija.
La cinemtica del brazo del robot trata con el estudio analtico de la geometra del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas de
referencia fijo como una funcin del tiempo sin considerar las fuerzas/momentos
que originan dicho movimiento. As pues. trata con la descripcin analtica del
desplazamiento espacial del robot como funcin del tiempo, en particular las
relaciones entre las variables espaciales de tipo articulacin y la posicin y
orientacin del efector final del robot. Este capitulo se plantea dos cuestiones
fundamentales, ambas de inters terico y prctico en la cinemtica del robot:
1.
2.
Para un manipulador determinado, dado el vector de ngulos de las

articulaciones q(t) = (q1(t), qi(t), ... , q.(t)f y los parmetros geomtricos
del elemento, donde n es el nmero de grados de libertad, cul es la
orientacin y la posicin del efector final del manipulador con respecto a
un sistema de coordenadas de referencia?
Dada una posicin y orientacin deseada del efector final del manipulador y los parmetros geomtricos de los elementos con respecto a un
C
A
P
I
T
U
L
O
sistema de coordenadas de referencia, puede el manipulador alcanzar la

posicin y orientacin de la mano que se desea? Y si puede, cuntas
configuraciones diferentes del manipulador satisfacern la misma condicin?
La primera pregunta se suele conocer como el problema cinemtico directo,

mientras la segunda es el problema cinemtico inverso ( o solucin del brazo).
Como las variables independientes en un brazo de robot son las variables de
articulacin y una tarea se suele dar en trminos de las coordenadas de referencia,
el problema cinemtico inverso se utiliza de forma ms frecuente. En la figura 2.l
se muestra un simple diagrama de bloques que indica las relaciones entre estos
dos problemas.
Como los elementos de un brazo pueden girar y/o trasladarse con respecto a
un sistema de coordenadas de referencia, el desplazamiento espacial total del
efector final se debe a las rotaciones angulares y traslaciones angulares de los
elementos. Denavit y Hartenberg [ 1955] propusieron un mtodo sistemtico y
generalizado de utilizar lgebra matricial para describir y representar la geometra espacial de los elementos de un brazo con respecto a un sistema de referencia
fijo. Este mtodo utiliza una matriz de transformacin homognea 4 x 4 para
describir la relacin espacial entre dos elementos mecnicos rgidos adyacentes y
reduce el problema cinemtico directo a encontrar una matriz de transformacin
homognea 4 x 4 equivalente que relaciona el desplazamiento espacial del sistema de coordenadas de la mano al sistema de coordenadas de referencia. Estas
matrices de transformacin homogneas son tambin tiles para derivar las
ecuaciones de movimiento dinmico de un brazo.
En general, el problema cinemtico inverso se puede resolver por algunas
tcnicas. Los mtodos utilizados ms comnmente son la matriz algebraica,
mtodos iterativos o geomtricos. Se presentar un enfoque geomtrico basado
en el sistema de coordenadas de los elementos y la configuracin del manipulador
para ol:itener una solucin de las articulaciones en forma cerrada para manipuladores simples con articulaciones giratorias. A continuacin se estudiar un planteamiento ms general utilizando matrices homogneas 4 x 4 para obtener una
solucin de la articulacin para manipuladores simples.
Parmetros
de los
elementos
Angules de
Cinemtica
directa
las articulaciones
-----.,.
q,(1) .....
q,(1)
---,...
Posicin y orientacin
del efector final
Parmetros
de los
elementos
Angulos de
las articulaciones
q,(I) .....
q,(1)
Figura 2.1
Cinemtica
inversa
~-----...J
Los problemas cinemticos directo e inverso.
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
15
z
p
Figura 2.2 Sistemas de coordenadas de referencia y ligado al cuerpo.
2.2
EL PROBLEMA CINEMA TICO DIRECTO
otz-"1=
Se utiliza
lgebra"
vectorial y matricial para desarrollar un mtodo
generalizado y sistemtico para describir y representar la localizacin de los
elementos de un brazo con respecto a un sistema de referencia fijo. Como los
elementos de un brazo pueden girar y /o trasladarse con respecto a un sistema
de coordenadas de referencia, se establecer un sistema de coordenadas ligado
al cuerpo a lo largo
del eje de la articulacin para cada elemento. El problema cinemtico directo se
.reduce a_encontrar una matriz de transformcin que relaciona el sistema
de
coordenadas ligado al cuerpo al sistema de coordenadas ae referencia. Se utiliza"
i1a matriz de rotacin 3 x 3 para describir las operaciones rotacionales del
sistema ligado al cuerpo con respecto al sistema de referencia. Se utilizan entonces las coordenadas homogneas para representar vectores de posicin en un
espacio tridimensional, y las matrices de rotacin se ampliarn a matrices de
transformacin homognea 4 x 4 para incluir las operaciones traslacionales del
sistema de coordenadas ligado al cuerpo. Esta representacin matricial de un
elemento mecnico rgido para describir la geometria espacial de un brazo fue
utilizada por primera vez por Denavit y Hartenberg [1955]. La ventaja de
utilizar la representacin de elementos de Denavit-Hartenberg es su universalidad algortmica para derivar las ecuaciones cinemticas de un brazo.
2.2.1
Matrices de rotacin (j)
P.i~
Una matriz de rotacin 3 x 3 se puede definir como una matriz de transformacin que opera sobre un vector de posicin en un espacio eucldeo tridimensional
y transforma sus coordenadas expresadas en un sistema de coordenadas rotado
OUVW (sistema ligado al cuerpo) a un sistema de coordenadas de referencia
OXYZ. En la figura 2.2 se dan dos sistemas de coordenadas rectangulares, uno el
Los vectores se representan en letras minsculas en negrita; las matrices en letras maysculas en
negrita.
16
ROBOTICA:
INTELIGENCIA
CONTROL,
DETECCION,
YISIO"'
sistema de coordenada OXYZ, con OX, OY y OZ como sus ejes de coordenadas,

y el sistema de coordenadas OUVW, con OU, OV, OW como sus ejes de coordenadas. Ambos sistemas de coordenadas tienen sus orgenes coincidentes en el
punto O. El sistema de coordenadas OXYZ est fijo en el espado tridimensional
y se considera que es el sistema de referencia. El sistema de coordenadas OUVW
est girando con respecto al sistema de referencia OXYZ. Fsicamente, uno puede
considerar que el sistema de coordenadas OUVW es un sistema de coordenadas
ligado al cuerpo. Esto es, est permanente y convenientemente unido al cuerpo
rgido (por ejemplo, un avin o un elemento del brazo del robot) y se mueve junto
con l. Sean (i_., , k:) y (iu, jv, kw) los vectores unitarios a lo largo de los ejes de
coordenadas de los sistemas OXYZ y OUVW, respectivamente. Un punto p en el
espacio se puede representar por sus coordenadas con respecto a ambos sistemas
de coordenadas. Para facilitar el anlisis, supondremos que p est en reposo y fijo
con respecto al sistema de coordenadas OUVW. Entonces el punto p se puede
representar por sus coordenadas con respecto al sistema de coordenadas OUVW
y OXYZ, respectivamente, como
Puvw
(p.,, p.; p.,.f
(2.2-1)
Px,z
donde Px,: y Pwvw representan el mismo punto p en el espacio con respecto a

diferentes sistemas de coordenadas y el superndice Ten los vectores y matrices
denota la operacin traspuesta.
Nos gustara encontrar una matriz R de transformacin 3 x 3 que transformara las coordenadas de Pwvw a las coordenadas expresadas con respecto al
sistema de coordenadas OXYZ, despus de que el sistema de coordenadas
OUVW ha sido girado. Esto es,
(2.2-2)
Obsrvese que fisicamente el punto Pwvw ha sido girado junto con el sistema de
coordenadas OUVW.
Recordando la definicin de las componentes de un vector tenemos
(2.2-3)
donde Px, p, y p, representan las componentes de palo largo de los ejes OX, O Y
y OZ, respectivamente, o las proyecciones de p sobre los ejes respectivos. As,
utilizando la definicin del producto escalar y la ecuacin (2.2-3),
Px
Py
= i, ' P = j.x iwPu + i_,: jvp . +

= l, P = t. iuPw + j, jvPv +
i_,: ' kwPw

j, ' kwPw
P,
k, ' P = k, ' iwPw
+ k, ' jvPv + k, ' kwPw
(2.2-4)
CINEMATICA
expresado en forma matricial,
[ J'.y" :
]
[
~.
i, .
jy .
k, i"
k,
p,
p,
J,
J,
'. " . k, .
) y
l
,
DEL BRAZO
DEL ROBOT
l [p "
17
(2.2-5)
P v
kz' k ,
p,.
Utilizando esta notacin, la matriz R en la ecuacin (2.2-2) est dada por
R =
[ i,
i,
)y . l."
k,
I"
i, .
J,
t.
jv
k, 'jv
i,
k,
k,
k, k ,
)y.
(2.2-6)
Anlogamente, se pueden obtener las coordenadas de Puv .. con las coordenadas

de p..,::
n ....
Puvw
p.,
p,.
j,.. ~
k,.. 1.,,
Qpxyz
, jyJ,
i.
k,. . jy '
l [;:]
Jv k,k,
i.
k., k,
(2.2-7)
(2.2-8)
Como los productos escalares son conmutativos, se puede ver de las ecuaciones (2.2-6) a (2.2-8) que
(2.2-9)
'Y
QR
(2.2-1 O)
donde 13 es la matriz identidad 3 x 3. La transformacin en la ecuacin (2.2-2) o

(2.2-7) se llama una transformacin ortogonal, y como los vectores en los productos escalares son todos vectores unitarios, se llama tambin una transformacin
ortonormal.
El inters primario en desarrollar la matriz de transformacin anterior es
encontrar las matrices de rotacin que representan rotaciones del sistema de
coordenadas OUVW respecto a cada uno de los tres ejes principales del sistema
de coordenadas de referencia OXYZ. Si el sistema de coordenadas OUVW se gira
un ngulo a respecto al eje OX para llegar a una nueva posicin en el espacio,
entonces el punto Puvw, que tiene coordenadas (p., p.,, p,.)7 con respecto al sistema
OUVW, tendr coordenadas diferentes (p.,,, P}~ Pzf con respecto al sistema de
referencia OXYZ. La matriz de transformacin necesaria R,,. se llama la matriz
de rotacin respecto al OX con ngulo a. R,,. se puede derivar del concepto de
rnatriz de transformacin anterior, esto es,
Pxyz
R.,,. Puvw
(2.2-11)
18 Rl!OTICA: CONTROL, DETffCION. VISION E INTELIGENCIA
con i, - i., y
i, . j.
-s~n
cos
J.: L
k, . j,,
Anlogamente, las matrices de

Y con ngulo <P y respecto
(vase figura 2.3),
cos <P
O
I
O
'Ry . .. = -sen </> o
[
e,.]
(2.2-12)
C1.
rotacin 3 x 3 para rotaciones respecto al eje O

al eje OZ con ngulo fJ son, respectivamente
sen
O
cos
</Jl
cos
R=.
<P
-sen
cos
O
= [ se~()
ee
O (2.2-13)
1
Las matrices Rx. ,, R, . .,. y R:. 6 se llaman las matrices de rotacin bsicas.
Se pueden obtener otras matrices de rotacin finitas a partir de estas matrices.
~
'
Ejemplo: Dado dos puntos a., .... = (4, 3, 2)7 y b.v,.. = (6, 2, 4)7 con respecto
al sistema de coordenadas girado OUVW, determinar los puntos correspondientes a_.y,, bxy: con respecto al sistema de coordenadas de referencia si
ha sido rotado 60 respecto del eje OZ.
SOLUCIN:
axy:
xyz
R:.
0,500
[ 0,~66
4(0,5)
60'
a.,...
] [ l
bxy:
- 0,866
0,~00 ~
R,.
+ 3( - 0,866) + 2(0)]
= [ 4(0,866) + 3(0,5) + 2(0)

4(0) + 3(0) + 2( 1)
bxy: =
0,500
[
0,~66
60 ~vw
-0.866
0,500 O
O
1
[6]
2
4
0,598
=
=
- l
4,964
2.0
[ 1,268]
6,196
4,0
As, ax,, y bxy, son iguales a (-0,598, 4,964, 2,0)7 y (1,268, 6,196, 4,0)7,
respectivamente, cuando se expresan en trminos del sistema de coordenadas de referencia.
O
Ejemplo: Si a_.y, = (4, 3, 2)7 y bx,: = (6, 2, 4)7 son las coordenadas con
respecto al sistema de coordenadas de referencia, determinar los puntos
correspondientes a.,. .,, b.,.,.. con respecto al sistema de coordenadas rotado
OUVW si ha sido girado 60 respecto del eje OZ.
u
o
X
1
1
1
1
lw
------y
<fJ
= -90
90
Figura 2.3 Sistemas de coordenadas en rotacin.
19
0,500 0,866 1] [4]

awvw
= [ - 0,866 0,500 0
2,0
0,500 0,866
h.,.... =
- o,~66 o,~oo
;J ln
2.2.2 Matriz de rotacin compuesta
3(0,866)
2(0)
4( - 0,866) + 3(0,5) + 2(0)

4(0) + 3(0) + 2(1)
3
2
= [- ~:~:]
[ 4(0,5)
[-!:I~Jj
(Pi~
Las matrices de rotacin bsicas se pueden multiplicar entre s para representar

una secuencia de rotacin finita respecto del eje principal del sistema de coordenadas OXYZ. Como las multiplicaciones de matrices no conmutan, es importante el orden o secuencia de realizacin de las rotaciones. Por ejemplo, para
desarrollar una matriz de rotacin que represente una rotacin de ngulo ix
respecto del eje OX seguida por una rotacin del ngulo 8 respecto del eje OZ
seguida por una rotacin del ngulo e respecto del eje OY, la matriz de rotacin
resultante que representa estas rotaciones es
R
Ry.~R,.eR.x,o
[ CO
-~</)
[ coca
SB
-S<j)CB
O SO][CO
I
O
so
C<j)
S S - C<j)S8Ca
CBCct
S<j)S8Ca
+ cos
-SO
CB
] [1
O
I
soca]
-~l
O
O
Six
cosos, +
- cesa
(2.2-14)
CdrCo: - S<j)S8Six
se
donde C<j) = cos </); S<j)

sen </); CB
cos 8;
sen 8; Ca.
cos ix; Sa
sen a. Esto es diferente de la matriz de rotacin que representa una rotacin de
ngulo </) respecto del eje O Y seguida por una rotacin de ngulo 8 respecto del
eje OZ seguida por una rotacin de ngulo ix respecto del eje OX. La matriz de
rotacin resultante es
R,.R,,R,,
o
= [~ c
s
coco
CaSBC<j) + SaS<j)
SctSBC<j) - Ca.S<j)
-SO
-~[C O]
-SO
C8
s o
o
Ca
COSO
O:x.CB
CctSBS<j) -
SixCB
SixSOS<j)
SixC</)
cecs
] tq s:]
o
-S<j)
C<j)
,, (2.2-15)
CINEMATICA
Adems de girar respecto
de los ejes principales
DEL BRAZO
21
DEL ROBOT
del sistema de referencia
OXYZ, el sistema de coordenadas giratorio OUVWpuede tambin rotar respecto

de su propio eje principal. En este caso, la matriz de rotacin
compuesta se puede obtener de las siguientes reglas simples:
1.
2.
3.
. _ Jr
resultante
Inicialmente ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, de aqu

que la matriz de rotacin es una matriz identidad 13 de 3 x 3.
Si el sistema de coordenadas giratorio OUVW est girando respecto de
uno de los ejes principales del sistema OXYZ, entonces premultiplicar la
matriz de rotacin previa (resultante) por una matriz de rotacin bsica
apropiada.
Si el sistema de coordenadas rotante OUVW est girando respecto de su
propio eje principal, entonces postmultiplicar la matriz de rotacin previa
(resultante) por una matriz de rotacin bsica apropiada.
Ejemplo:
\;
_ ;..
Encontrar la matriz de rotacin resultante que representa un giro

de ngulo </> respecto del eje O Y seguido por una rotacin de ngulo e
r~specto del eje O W seguido por una rotacin de ngulo ex respecto del
eje
OU.
SOLUCIN:
;"
R = R, .
'\
-[ c1
-S</>
[ csce
se
-S<f>C()
.,
13 R,..
o s1][ce -se
o se C()
o C</> O o
1
So S - C<f>SeC:1.
COC::r.
S</>SOC::r.
C</>Sx
= R, .
m~
Ru.
.,
R,.. Ru.
-s, ]-
Ccx
csses + s1c,]
-ces
C</>C':1. - S</>SOS::r.
Obsrvese que este ejemplo se escoge de forma que la matriz resultante es

la misma de la ecuacin (2.2-14), pero la secuencia de rotacin es diferente
de la que gener dicha ecuacin.
O
2.2.3 Matriz de rotacin respecto de un eje arbitrario
O~~
Algunas veces el sistema de coordenadas rotante OUVW puede girar un ngulo

respecto de un eje arbitrario r que es un vector unitario que tiene de componentes
r~ rY y r, y que pasa a travs del origen O. La ventaja es que para ciertos
movimientos angulares el sistema OUVW puede realizar una rotacin alrededor
del eje r en lugar de algunas rotaciones respecto de los ejes principales de los
sistemas de coordenadas OUVWy/o OXYZ..fra derivar esta matriz de roJaci.n.
~o~_em?_~J!:imero realizar algunas rotaciones respecto de los ejes principales
~istema
OXYZ para alinear el eje rcon el eie OZ. Luego hacemos la rotacin
22

Y. V
--------------------~
/1
,,
" '---/
l. R,.a
2. R,.-P
3. R,.
4. R,.~
5. K... -a
1
1
1
1
1
1
11
1
1
<,
---..
/'
jI
-,
----------~--1
s -
1
1
1
1
1
1
1
"
,.
'
-2
-~-~-~-------4-
2.
W
Figura 2.4 Rotacin respecto de un eje arbitrario.
respecto de r con ngulo </> y giramos el eje principal del sistema OXYZ para
volver el eje r otra vez a su posicin original. Con referencia a la figura 2.4, el
alineamiento del eje 02 con el eje r se puede hacer girando respecto del eje OX
con ngulo IX (el eje r est en el plano XZ), seguido por una rotacin de ngulo
- f3 respecto del eje O Y (el eje r ahora se alinea con el eje 02). Despus de la
rotacin del ngulo </> respecto del eje OZ o eje r, invertir las secuencias de
rotaciones anteriores con sus respectivos ngulos opuestos. La matriz de rotacin
resultante es
R,.<1>
Rx,
-: Ry.p
R,.<1> Ry. _11 R.... =

cp
o] [ O
[i
C1X
SIX
+S
-S{J
CIX
[cpO o1 -:P] [~
S{J
C{J
e~.
C{J
sp]
o
C1X
S1X
-S</>
S</>
-~]
C</>
CIX
De la figura 2.4 encontramos fcilmente que
sen
IX
Jr;
r,
+ ,2
%
COS
IX
Jr;
r.
+ ,2
%
,2
;]
sen
f3 ==
cos
f3
Jr;
CINEMA TICA DEL BRAZO
DEL ROBOT
23
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores,
rxryV</> - r,S</> rxr,V</> +

,;V</> + C</> ryS</>l ryr,V</> ryr,V</> + rxS<I> rxS<f> r;V</> +
C</>
donde
V</> = vers </> =
(2.2-16)
- cos </>. Esta es una matriz de rotacin muy til.
Ejemplo: Encontrar la matriz de rotacin R,. ~ que representa la rotacin

de ngulo </> respecto del vector r = ( l, l, l )r.
SOLUCIN: Como el vector r no es un vector unitario, necesitamos normalizarlo y encontrar sus componentes a lo largo del eje principal del sistema
OXYZ. Por tanto,
r,
1
'" =
J r;
+ r; + r; =
J3'
=-,
y
J3
l
J3
Sustituyendo en la ecuacin (2.2-16), obtenemos la matriz R,, ~:

1
i3V</> + C</>
l
-S </>
/3V4> -
/) V</> +~:
S</>
i3V</> + C</>
v3
1/3
V</> -
/3
J3
'
R,.~
j3 S</>
/3
V</> +
J3l S</>
V</> +
3V</>-
1/
J31 S</>
fiS</>
i3V4> + C</>
~
2.2.4
Matriz de rotacin con representacin de ngulos de Euler
La representacin matricial para la representacin de un cuerpo rgido simplifica

muchas operaciones, pero necesita nueve elementos para describir completamente la rotacin de un cuerpo rgido rotante. No conduce directamente a un
conjunto completo de coordenadas generalizadas. Tal conjunto de coordenadas
generalizadas pueden describir la orientacin de un cuerpo rgido rotante con
respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Pueden ser proporcionadas
por los llamados tres ngulos de Euler </>, () y 1/1. Aunque los ngulos de Euler
describen la orientacin de un cuerpo rgido con respecto a un sistema de
referencia fijo, hay muchos tipos diferentes de representaciones de ngulos de
Euler. Las tres representaciones ms ampliamente utilizadas de los ngulos de
Euler se tabulan en la tabla 2.1.
la primera representacin de ngulos de Euler en la tabla 2.1 se suele asociar
con el movimiento giroscpico. Esta representacin se suele llamar los ngulos
24
Tabla 2.1
Tres tipos de representaciones de ngulos de Euler
Secuencia
de
rotaciones
Sistema I ngulos
eulerianos
Sistema II ngulos
de Euler
Sistema III elevacin,

desviacin y giro
efJ respecto del eje OZ
(} respecto del eje O U

iJ respecto del eje O W
(} respecto del eje O V

iJ respecto del eje O W
iJ respecto del eje OX

(} respecto del eje O Y
eulerianos, y corresponde a las siguientes secuencias de rotaciones (vase figura 2.5):

l.
2.
3.
Una rotacin de ngulo </> respecto del eje OZ (R,, ~).

Una rotacin de ngulo 8 respecto del eje OU rotado (R 9).
Finalmente, una rotacin de ngulo 1/ respecto del eje rotado O W (R,., ,,),
La matriz de rotacin euleriana resultante es

R~.e."'
R,.~ Ru, 9 R,.,"' =

C<f>
O
C<J>Ci/ - S<f>COSI/
S<J>Ci/ + C<f>COSI/
iase
-~o]
[~! ~:"' ~]
ce
z. w
X.U
- C</>Si/1
- S<f>COCI/
1
- S<J>Si/
SOS!/
C<f>COCI/
S8Ci/
S<f>SO
-C<f>SO
ce
(2.2-17)
Figura 2.5 Sistemas de ngulos eulerianos l.
25
La matriz de rotacin de ngulos eulerianos anterior R.,, 8,"' se puede tambin

especificar en trminos de las rotaciones respecto de los ejes principales del sistema
de coordenadas de referencia: una rotacin del ngulo ,/ respecto del eje OZ
seguida por una rotacin de ngulo 8 respecto del eje OX y finalmente una
rotacin del ngulo <P respecto del eje OZ.
Con referencia a la figura 2.6, otro conjunto de representacin de ngulos de
Euler (/>, () y ,/ corresponde a la siguiente secuencia de rotaciones:
l.
2.
l
Una rotacin del ngulo <jJ respecto del eje OZ (R, . .,),
U na rotacin del ngulo 8 respecto del eje girado O V (R. 8).
Finalmente una rotacin de ngulo ,/ respecto del eje girado O W (R.... ,;),
La matriz de rotacin resultante es

R.;. 8,"' = R, . .; Ru, 8 R.,.,"' =
sol [e"'
O
C<j)C8C,J - S<j)S,J
S<j)C8C,J + C<j)S,J
[
-S8C,J
SI/
o C8 O
- C<j)COS,J - S<j)C,J
- S<j)C8S,J + C<j)C,J
SOS!/! /
] =
-SI/
C,J
C<j)S8]
S<j)S8
C8
(2.2- 18)
La matriz de rotacin de ngulos de Euler anterior R.;. 8,"' se puede tambin

especificar en trminos de las rotaciones respecto de los ejes principales del
sistema de coordenadas de referencia: una rotacin de ngulo <jJ respecto del eje
OZ seguida por una rotacin 8 respecto del eje O Y y finalmente una rotacin de
ngulo <jJ respecto del ngulo OZ.
Z, W
V'
X, U
u
Figura 2.6 Sistema de ngulos eulerianos 11.
26 ROBOTICA: CONTROL, DETECCIO:s.;, VISION E INTEUGE1'CIA
Otro conjunto de representacin de ngulos de Euler para la rotacin se

llama giro, elevacin y desviacin (roll, pitch, yaw) (RPY). Esta se utiliza principalmente en ingeniera aeronutica en el anlisis de vehculos espaciales. Corresponde a las siguientes rotaciones en secuencia:
l. Una rotacin de 1/ respecto del eje OX (Rx.,,)-desviacin.
2. Una rotacin de () respecto del eje O Y (Ry, 8)-elevacin.
3. Una rotacin de </> respecto del eje OZ (R,. 4i)-giro.
La matriz de rotacin resultante es
[e~s: ] [
c~ce
R4i,e,., = R,,4> Ry,e Rx.,i, =

=
C<f>
-S~
O
O
1
O
CO
-58
:][~
C8
Ci/
o
Si/
s~si
S</>Ci/ cssoc +
C<f>S8Si/
S</>C8 S</>S8Si/ + C<f>Ci/ S<j)S8Ci/ - C<j)Si/
-58
C8Si/
C8Ci/
~~-]-
(2.2-19)
La matriz de rotacin anterior R4i, 9 ., para el giro, elevacin y desviacin se

puede especificar en trminos de la rotacin respecto de los ejes principales del
sistema de coordenadas de referencia y del sistema de coordenadas giratorio: una
rotacin de ngulo </) respecto del eje OZ seguida por una rotacin de ngulo ()
respecto del eje girado'1 O V y finalmente una rotacin de ngulo respecto del eje
girado OU (vase Figi 2.7).
i:2.5
Interpretacin geomtrica de las matrices de rotacin
Es conveniente interpretar las matrices de rotacin bsica de forma geomtrica.

Escojamos un punto p fijo en el sistema de coordenadas OUVW que sea (1, O, O)",
esto es, p.,.,.. = i. Entonces la primera columna de la matriz de rotacin represenz
.: /
Giro
4>
>------Desviacin
y
Elevacin
Figura 2.7 Giro, elevacin y desviacin.
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
27
las coordenadas de este punto con respecto al sistema de coordenadas OXYZ.

: logarnente, escogiendo p como (0, 1, Of y (O, O, If, se puede identificar que
elementos de la segunda y tercera columna de una matriz de rotacin repre1;
sentan
)os ejes OV y OW, respectivamente, del sistema de coordenadas OUVW
con respecto al sistema de coordenadas OXYZ. As, dado un sistema de referencia oxrz y una matriz de rotacin, los vectores columna de la matriz de
rotacin representan los ejes principales del sistema de coordenadas OUVW con
respecto al sistema de referencia y se puede deducir la localizacin de todos los
ejes principales del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de
referencia. En otras palabras, una matriz de rotacin geomtricamente representa
los ejes principales del sistema de coordenadas rotado con respecto al sistema de
coordenadas de referencia.
Como la inversa de una matriz de rotacin es equivalente a su traspuesta,
los vectores fila de la matriz de rotacin representan los ejes principales del
sistema de referencia OXYZ con respecto al sistema de coordenadas rotado
OUVW. Esta interpretacin geomtrica de las matrices de rotacin es un concepto importante que proporciona indicaciones en muchos problemas cinemticos
del brazo del robot. Se dan a continuacin algunas propiedades tiles de las
matrices de rotacin:
t. Cada
vector columna de la matriz de rotacin es una representacin del

vector unitario del eje rotado expresado en trminos de los vectores
unitarios de los ejes del sistema de referencia, y cada vector fila es una
rep.resentacin del vector unitario de los ejes de referencia expresado en
funcin de los vectores unitarios de los ejes rotados del sistema OUVW.
2. Como cada fila y columna es una representacin de un vector unitario, la
magnitud de cada una de ellas debera ser igual a l. Esta es una propiedad directa de un sistema de coordenadas ortonormal. Ms an. el determinante de una matriz de rotacin es + 1 para un sistema de coordenadas
dextrgiro y - 1 para un sistema de coordenadas levgiro.
3. Como cada fila es una representacin vectorial de vectores ortonormales,
el producto interno (producto escalar) de cada fila por cualquier otra fila
es igual a cero. Anlogamente. el producto interno de cada columna por
cualquier otra columna tambin es igual a cero.
4. La inversa de una matriz de rotacin es la traspuesta de la matriz de
rotacin
y
donde
13 es una matriz identidad de 3 x 3.
Las propiedades 3 y 4 son especialmente tiles para comprobar los resultados de

multiplicc:lciones de matrices de rotacin y para determinar un vector columna
errneo.
Ejemplo: Si los ejes de coordenadas OU, OV y OW se fueran a girar un

ngulo
ex respecto del eje OX, cul sera la representacin de los ejes de
28 'lt,OBOTICA: CONTROL, DETECCION, VTSION E INTELIGENCIA
coordenadas del sistema de referencia en trminos del sistema de coordenadas rotado OUVW?
Los nuevos vectores unitarios de los ejes de coordenadas se
hacen i,. = (1, O, 0)7, i. = (O, 1, 0)7 y k, = (O, O, 1)7 puesto que se
expresan
en trminos de ellos mismos. Los vectores unitarios originales son entonces
SOLUCIN:
, = li. + Oj. + Ok; = (1, O, 0)7

j1
k,
= Oi, + cos exj.

= Oi. + sen exj. +
sen exk,..
(O, cos ex, -sen ex)7
cos exkw
(O, sen ex, cos ex)7
Aplicando la propiedad 1 y considerando

stos seno
como:x filas de la matriz de
o :x
rotacin, la matriz R se puede reconstruir como
cos
- sen ex
cos ex
que es la misma que la traspuesta de la ecuacin (2.2-12).
~~
2.2.6 Coordenadashomogneas y matrizde transformacin
Come, una matriz de rotacin 3 x 3 no nos da ninguna posibilidad para la

traslacin y el escalado, se introduce una cuarta coordenada o componente al
vector de posicin p = (px, pf p,)7 en un espacio tridimensional que lo transforma en p = (wp"' wp,. wpv w) . Decimos que el vector de posicin p se expresa en
coordenadas homogneas. En esta seccin utilizamos un circunflejo (es decir, p)
para indicar la representacin de un vector cartesiano en coordenadas homogneas.
Posteriormente, si no existe confusin, se eliminarn estos circunflejos. El
concepto de una representacin en coordenadas homogneas en un espacio
eucldeo tridimensional es til para desarrollar transformaciones matriciales que
incluyan rotacin, traslacin, escalado y transformacin de perspectiva. En general, la representacin de un vector de posicin de N componentes por un vector
de (N + 1) componentes se llama representacin en coordenadas homogneas. En
una representacin en coordenadas homogneas, la representacin de un vector
N-dimensional se efecta en el espacio (N + !)-dimensionar y el vector fisico
N-dimensional se obtiene dividiendo las coordenadas homogneas por la coordenada N + 1 que es w. As, en un espacio tridimensional, un vector de posicin
p = (p"' p1, P:f se representa por un vector ampliado (wp"' wp,,. wp" wf en la
representacin de coordenadas homogneas. Las coordenadas fisicas se relacionan a las coordenadas homogneas como sigue:
Px
P:
w,
"'
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
29
No existe una representacin en coordenadas homogneas nica para una

representacin en un espacio tridimensional. Por ejemplo, p1 = (w1p,.., w1p,.
w1p., w1)7 y p2 = (w2p,.., w2p,, w2pz, w2)7 son todas coordenadas homogneas
representando el mismo vector de posicin p = (p..., p.,, p,)7. As se puede ver a la
cuarta componente de las coordenadas homogneas w como un factor de escaJa.
Si esta coordenada es la unidad (w = 1), entonces las coordenadas homogneas
transformadas de un vector de posicin son las mismas que las coordenadas
fisicas del vector. J!n aplicacion~..du:obtica, este factor de escala ser siempre
igual a 1, aunque se utiliza normalmente en informtica grfica como un factor de
escala universal que toma cualquier valor positivo.
La matriz de transformacin homognea es una matriz 4 x 4 que transforma
un vector de posicin expresado en coordenadas homogneas desde un sistema
de coordenadas hasta otro sistema de coordenadas. Una matriz de transformacin
homognea se puede considerar que consiste en cuatro submatrices:
matriz de
vector de
rotacin
posicin
(2.2-20)
transformacin
de perspectiva
escalado
La submatriz 3 x 3 superior izquierda representa la matriz de rotacin; la

submatriz superior derecha 3 x I representa el vector de posicin del origen del
sistema de coordenada rotado con respecto al sistema de referencia; la submatriz
inferior izquierda 1 x 3 representa la transformacin de perspectiva; y el cuarto
elemento diagonal es el factor de escala global. La matriz de transformacin
homognea se puede utilizar para explicar la relacin geomtrica entre el sistema
ligado al cuerpo OUVW y el sistema de coordenadas de referencia OXYZ.
Si un vector de posicin p en un espacio tridimensional se expresa en coordenadas homogneas [es decir, p = (p,.., p,. Pz, 1 )7], entonces, utilizando el concepto
de matriz de transformacin, una matriz de rotacin 3 x 3 se puede ampliar a
una matriz de rotacin homognea 4 x 4 Trot para operaciones de rotacin pura.
As, las ecuaciones (2.2-12) y (2.2-13), expresadas como matrices de rotacin
homognea, se hacen
x, ~
[I O
=
O cos
O sen
o
T
. , -
sen
o
o
[oos 6
o
C(
C(
-sen
cos
-sen (}
cos e
o
o
C(
C(
o
o
1
~]
~]
T,.
~[ c;s~ o
sen 4>
o
o
cos 4>
-sen iJ>
o
o
~]
(2.2-21)
30
Estas matrices de rotacin 4 x 4 se llaman las matrices de rotacin homogneas

bsicas.
La submatriz superior derecha 3 x l de la matriz de transformacin homognea tiene el efecto de trasladar el sistema de coordenadas OUVW que tiene ejes
paralelos al sistema de coordenadas de referencia OXYZ, pero cuyo origen est
en (dx, dy, dz) del sistema de coordenadas de referencia:
Tt,ans
O O
dy
dz
o o o
(2.2-22)
Esta matriz de transformacin 4 x 4 se llama matriz de traslacin homognea

bsica.
La submatriz inferior izquierda l x 3 de la matriz de transformacin homognea representa la transformacin de perspectiva, que es til para visin por
computadora y la calibracin de modelos de cmara tal como se presenta en el
captulo 7. Por ahora, los elementos de esta matriz se fijan a cero para indicar la
transformacin de perspectiva nula.
Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformacin
homognea producen escalado local y global. Los primeros tres elementos diagonales producen un alargamiento o escalado local, como en
(2.2-23)
As, los valores de las coordenadas se alargan mediante los escalares a, b y e,

respectivamente. Obsrvese que las matrices de rotacin bsicas, T,01, no producen ningn efecto de escalado local.
El cuarto elemento diagonal produce escalado global como en
(2.2-24)
donde s > O. Las coordenadas cartesianas fisicas del vector son

X
P,
)'
P,
z
s
s
s
(2.2-25)
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
3)
Por tanto, el cuarto elemento diagonal en la matriz de transformacin homognea tiene el efecto de globalmente reducir las coordenadas si s > 1 y de alargar
tas coordenadas si O < s < 1.
En resumen, una matriz de transformacin homognea 4 x 4 transforma un
vector expresado en coordenadas homogneas con respecto al sistema de coordenadas OUVW en el sistema de coordenadas de referencia OXYZ. Esto es, con
w = 1,
Px)'Z
y
\,
2.2.7
(2.2-26a)
TPuvw
"-.. ;
j.;
["o o
Sx
ny
Sy
nz
Sz
"
P,J
ay
e,
az Pz
= [n
O
o o
~]
(2.2-26b)
Interpretacin geomtrica de las matrices

de transformacin homogneas
En general, una matriz de transformacin homognea para un espacio tridimensional se puede representar como en la ecuacin (2.2-26b). Escojamos un punto p
tjo en el sistema de coordenadas OUVW y expresado en coordenadas homogneas como (O, O, O, 1 )7; esto es, Puvw es el origen del sistema de coordenadas
OVVW. Entonces la submatriz superior derecha 3 x I indica la posicin del
origen del sistema OUVW con respecto al sistema de coordenadas de referencia
OXYZ. Escojamos el punto p como (1, O, O, 1)7; esto es, Puvw = iu. Ms an,
suponemos que los orgenes de ambos sistemas de coordenadas coinciden en un
punto O. Este tiene el efecto de hacer los elementos en la submatriz superior
derecha 3 x I un vector nulo. Entonces la primera columna (o vector n) de la
matriz de transformacin homognea representa las coordenadas del eje OU de
OUVW con respecto al sistema de coordenadas OXYZ. Anlogamente, cogiendo
p como (O, l, O, 1)7 y (O, O, 1, 1)7, se puede identificar que la segunda columna (o
vector s) o la tercera columna (o vector a) de los elementos de la matriz homognea representan, respectivamente, los ejes O V y O W del sistema de coordenadas
OUVW con respecto al sistema de coordenadas de referencia. As, dado un
sistema de referencia OXYZ y una matriz de transformacin homognea T, los
vectores columnas de la submatriz rotacin representan los ejes principales del
sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de coordenadas de
referencia, y se puede dibujar la orientacin de todos los ejes principales del
sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de coordenadas de
referencia. El vector cuarta columna de la matriz de transformacin homognea
representa la posicin del origen del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de referencia. En otras palabras, una matriz de transformacin
homognea geomtricamente representa la localizacion de un sistema de coorde-
nadas rotado (posicin y orientacin) con respecto a un sistema de coordenadas

de referencia.
Como la inversa de una submatriz de rotacin es equivalente a su traspuesta, los vectores fila de una submatriz rotacin representan los ejes principales del
sistema de coordenadas de referencia con respecto al sistema de coordenadas
OUVW. Sin embargo, la inversa de una matriz de. transformacin homognea no
es equivalente a su traspuesta. La posicin del origen en el sistema de coordenadas de referencia con respecto al sistema de coordenadas OUVW se puede
deducir solamente despus de que se determine la inversa de la matriz de transformacin homognea. En general, la inversa de una matriz de transformacin
homognea se puede encontrar que es
n"
T-1
S:,;
n1 n,
Sy
s,
(2.2-27)
[ a, ay a,
o o o
'--
As, de la ecuacin (2.2-27), los vectores columna de la inversa de una matriz de

transformacin homognea representan los ejes principales de los ejes de referencia con respecto al sistema de coordenada rotado OUVW, y la submatriz 3 x 1
superior derecha representa la posicin del origen del sistema de referencia con
respecto al sistema OUVW. Esta interpretacin geomtrica de las matrices de
transformacin homognea es un concepto importante utilizado frecuentemente
a lo largo de este libro.
2.2.8
Matriz de transformacin homognea compuesta
Las matrices de rotacin y traslacin homogneas se pueden multiplicar juntas

para obtener una matriz de transformacin homognea compuesta (la llamaremos la matriz T). Sin embargo, como la multiplicacin de matrices no es conmutativa, se debe prestar una atencin cuidadosa al orden en el cual se multiplican
estas matrices. Las reglas que siguen son tiles para determinar una matriz de
transformacin homognea compuesta:
l. Inicialmente, ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, ya que la
matriz de transformacin homognea es una matriz identidad 4 x 4, 14.
2. Si el sistema de coordenadas rotante OUVW est rotando/trasladndose
respecto de los ejes principales del sistema OXYZ, entonces premultiplicar
la matriz de la transformacin homognea previa (resultante) por una
matriz de traslacin/rotacin bsica apropiada.
3. Si el sistema de coordenadas rotantes OUVW est rotando/trasladndose
respecto de su propio eje principal, entonces postmultiplicar la matriz de
transformacin homognea (resultante) por una matriz de rotacin/traslacin bsica apropiada.
DEL ROBOT
33
\Ejemplo: Dos puntos aj. = (4, 3, 2f y b"""' = (6, 2, 4f se trasladan a una

~
distancia de + 5 unidades a lo largo del eje OX y - 3 unidades a lo largo
~ del eje OZ. Utilizando la matriz de transformacin homognea apropiada,
determinar los nuevos puntos xyz y bxyz
n
-f]
. SOLUCIN:
~
llxy=
o o
o
[~
o 1
o o
hxyz ~
~3(l)1)
1(05)
J [ 9J
3
~ = 2(1) 1(1~(-3) =
[~
o o
1 o
o 1
o o
Los puntos trasladados son axyz
-:
rn
)J
= (9, 3, - W Y bxyz = ( 11, 2, W.
Ejemplo: Se quiere determinar una matriz T que representa una rotacin de

ngulo ex respecto del eje OX, seguida por una traslacin de b unidades a lo
largo del eje girado O V.
SOLUCIN: Este problema puede ser engaoso, pero ilustra alguna de las
componentes fundamentales de la matriz T. Se utilizarn dos mtodos, uno
poco ortodoxo que es ilustrativo, y el otro ortodoxo que es ms simple.
Despus de la rotacin T ' el eje rotado O V es (en trmino de los vectores
unitarios ix, t-, k, del sistema de referencia) j.. = cos cxj.v + sen cxk,; es decir.
la columna 2 de la ecuacin (2.2-21). As, una traslacin a lo largo del eje
rotado O V de b unidades es biv = b cos ::xjy + b sen 'Ck,. As la matriz T es
[' o o
O
= r; .r,. = ~ ~
~
[~
sen ex
cos
C(
b cos
::X
coso
::X
o ex
- sen
sen
cl
cos
[~
b sen ex
b sen ex
(X
f] ~
cos
(X
-sen
e<
c~s ]
1
En el mtodo ortodoxo, siguiendo las reglas dichas anteriormente, hay que

darse cuenta que como la matriz T,. girar el eje O Y respecto del eje O
V,
entonces la traslacin a lo largo del eje O V cumplir el mismo objetivo,

esto es,
T - T T,,
-l~
-l~
o
cos
- sen a
cos (X
(X
sen a
cos (X
sen a
~]l~ ~]-
h
b sen
(X
(X
o 1
o o
,~so]
o
-sen
cos
o o
(X
Ejemplo: Encontrar una matriz de transformacin homognea T que represente una rotacin de ngulo '.l respecto del eje OX, seguida por una
traslacin de a unidades a lo largo del eje OX, seguida por una traslacin
de d unidades a lo largo del eje OZ, seguida por una rotacin de nguJo O
respecto del eje OZ.
SOLUCIN:
o
o 1
o
-sen (}
cos (}
sen &
-B
l' '
o
o
o
o
o o
1 o
o 1
o o
-l~
eos
sen (}
~H~
cos
cos
(X
(X
sen O
cos (}
] ll
o o
I
O
O
I
o 1
o o
cos
sen a
(X
-sen :x
cos (X
sen (X sen
-sen :x cos O
O
O
~]-
~]- ]
a cos
a sen (}
o
o
sen
(X
cos
(X
d
1
Hemos identificado dos sistemas de coordenadas, el sistema de coordenadas

de
referencia
OXYZ la elrelacin
sistema del
de coordenadas
mvil
(traslacin
rotacin)
OUVW.
Parafijo
describir
desplazamiento
espacial
entrey estos
dos
sistemas de coordenadas, se utiliza una matriz de transformacin homognea
4 x 4. Las matrices de transformacin homognea tienen el efecto combinado de

rotacin, traslacin, perspectiva y escalado global cuando operan sobre vectores
de posicin expresados en coordenadas homogneas.
Si estos dos sistemas de coordenadas se asignan a cada elemento del brazo del
robot, por ejemplo, el elemento i - 1 y el elemento i, respectivamente, entonces el
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
35
sistema de coordenadas del elemento i - 1 es el sistema de coordenadas de

referencia y el sistema de coordenadas del elemento i es el sistema de coordenadas mvil cuando se activa 'la articulacin i. Utilizando la matriz T, podemos
especificar un punto p en reposo en el elemento i y expresado en el sistema de
coordenadas del elemento i (u OUVW) en trminos del sistema de coordenadas
del elemento i - 1 (u OXYZ) como
Pi-1
donde:
(2.2-28)
Tp
T = matriz de transformacin homognea 4 x 4 que relaciona los dos

sistemas de coordenadas.
p = vector de posicin ampliado 4 x 1 (x, Y;, z., l)T que representa un
punto en el sistema de coordenadas del elemento i en coordenadas
homogneas.
Pi-t = es el vector de posicin ampliado 4 x 1 (x_1, Yi-l
Z_1,
tT que
representa el mismo punto p en trminos del sistema de coordenadas
del elemento i - 1.
2.2.9 Elementos, articulaciones y sus parmetros
Un manipulador mecnico consiste en una secuencia de cuerpos rgidos, llamados elementos, conectados mediante articulaciones prismticas o de revolucin
(vase Fig. 2.8). Cada par articulacin-elemento constituye un grado de libertad.
Articulacin
2
Elemento 1 <,
Articulacl<in !
Elemento 4
Articulac in 6
+,
Figura 2.8
Un robot PUMA ilustrando articulaciones y elementos.
36 ROBOTICA: CONTROL, DETECCJON, YJSION E INTELIGENCIA
De aqu que para un manipulador con N grados de libertad hay N pares

articulacin-elemento con el enlace O (no considerado parte del robot) unido a
una base soporte donde se suele establecer un sistema de coordenadas inercial
para este sistema dinmico, y el ltimo elemento est unido a la herramienta. Las
articulaciones y elementos se enumeran hacia afuera desde la base; as la articulacin I es el punto de conexin entre el elemento 1 y la base soporte. Cada
elemento se conecta, a lo ms, a otros dos, as pues no se forman lazos cerrados .
.,
En geilcral, dos elementos se conectan mediante un tipo de articulacin que
tiene dos superficies deslizantes, una sobre la otra, mientras permanecen en
contacto. Unicamente son posibles seis tipos diferentes de articulaciones: de
revolucin (giratoria), prismtica (deslizante), cilndrica, esfrica, de tornillo y
planar (vase Fig. 2.9). De stas, nicamente las articulaciones giratoria y prismtica son comunes en los manipuladores.
Un eje de articulacin se establece (para la articulacin 1) en la conexin de
dos elementos (vase Fig. 2.1 O). Este eje de articulacin tendr dos normales
conectadas a l, una para cada uno de los elementos. La posicin relativa de tales
elementos conectados (elemento i - 1 y elemento i) viene dada por d.; que es la
distancia medida a lo largo del eje de la articulacin entre las normales. El ngulo
de articulacin 8; entre las normales se mide en un plano normal al eje de la
articulacin. De aqu que d, y 8; se puedan llamar la distancia y el ngulo entre los
Revolucin
Planar
&7
Cilindrica
Prismtica
Eslerica
De tomiIIo
Figura 2.9 Tipos de articulaciones.
,.--...._,
'
37
Articulacin i + l
8,+ l
Figura 2.10 Sistema de coordenadas de elementos y sus parmetros.
elementos adyacentes, respectivamente. Determinan la posicin relativa de los

elementos vecinos.
Un elemento i (i = l, ... , 6) se conecta a lo ms a otros dos elementos (por
ejemplo, el elemento i - 1 y el elemento i + l); as se establecen dos ejes de
articulacin en ambos extremos de la conexin. El significado de los elementos,
desde una perspectiva cinemtica, es que mantienen una configuracin fija entre
sus articulaciones, que se pueden caracterizar por dos parmetros: a y 1X1 El
parmetro a es la distancia ms corta medida a lo largo de la normal comn
entre los ejes de la articulacin (es decir, los ejes Z_ 1 y Z para las articulaciones i
e i + 1, respectivamente), y IX; es el ngulo entre los ejes de articulacin medidos
en un plano perpendicular a a; As, a y IX se pueden llamar la longitud y el ngulo de torsin del elemento i, respectivamente. Determinan la estructura del ele-
mento i.
En resumen, se asocian cuatro parmetros, a.; IX, d, y 91, con cada elemento de
un manipulador. Si se ha establecido un convenio de signo para cada uno de
estos parmetros, entonces constituyen un conjunto suficiente para determinar
completamente la configuracin cinemtica de cada elemento del brazo del robot.
Obsrvese que estos cuatro parmetros van apareados: los parmetros del elemento (a;, IX;) que determinan la estructura del elemento y los parmetros de la
articulacin (d1, 9) que determinan la posicin relativa de los elementos vecinos.
2.2.10
La representacin de Denavit-Hartenberg
Para describir la relacin traslacional y rotacional entre elementos adyacentes,

Dcnavit y Hartenberg (1955] propusieron un mtodo matricial de establecer de
fonna sistemtica un sistema de coordenadas (sistema ligado al cuerpo) para cada
elemento de una cadena articulada. La representacin de Denavit-Hartenberg
(D-H) resulta en una matriz de transformacin homognea 4 x 4 que representa
cada uno de los sistemas de coordenadas de los elementos en la articulacin con

respecto al sistema de coordenadas del elemento previo. As, mediante transformaciones secuenciales, el efector final expresado en las coordenadas de la mano
se puede transformar y expresar en las coordenadas de base que constituyen el
sistema inercial de este sistema dinmico.
Se puede establecer para cada elemento en sus ejes de articulacin un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (x y, z.)", donde i = 1, 2, ... , n
(n = nmero de grados de libertad), ms el sistema de coordenadasde la base.
Como una articulacin giratoria tiene solamente un grado de libertad, cada
sistema de
coordenadas (x Y;, z;) del brazo de un robot corresponde a la articulacin i + 1
y est fija en el elemento i. Cuando el actuador de la articulacin activa la
articulacin i, el elemento i se mover con respecto al elemento i - 1. Como el
sistema de coordenadas i-simo est fijo en el elemento i, se mueve junto con el
elemento i. As pues, el sistema de coordenadas n-simo se mueve con la mano
(elemento n). Las coordenadas de la base se definen como el sistema de coordenadas nmero O (x0, y0, z0), que tambin es el sistema de coordenadas inercial del
brazo. As, para un brazo como el PUMA de seis ejes, tenemos siete sistemas de
coordenadas, que representarnos con (x0, Yo, z0), (x y 1, z1), ... , (x6, Y6, z6).
Cada sistema de coordenadas se determina y establece sobre la base de tres
reglas:
1. El eje z; _ 1 yace a lo largo del eje de la articulacin.
2. El eje X es normal al eje Z; _ 1 y apunta hacia afuera de l.
3. El eje y completa el sistema de coordenadas dextrgiro segn se requiera.
Mediante estas reglas, uno es libre de escoger la lbcalizacin del sistema de
coordenadas O en cualquier parte de la base soporte, rllientras que el eje z0 est a
lo largo del eje de movimiento de la primera articulacin. El ltimo sistema de
coordenadas (el n-simo) se puede colocar en cualquier parte de la mano, mientras que el eje x, sea normal al eje z~_ 1.
La representacin de D-H de un elemento rgido depende de cuatro parmetros geomtricos asociados con cada elemento. Estos cuatro parmetros describen completamente cualquier articulacin prismtica o de revolucin. Refirindonos a la figura 2.1 O, estos cuatro parmetros se definen como sigue:
O;:
Es el ngulo de la articulacin del eje X_ 1 al eje X respecto del eje z;_ 1

(utilizando la regla de la mano derecha).
d; Es la distancia desde el origen del sistema de coordenadas (i - 1)-simo
hasta la interseccin del eje z_ 1 con el eje X a lo largo del eje z1_ 1.
a1: Es la distancia de separacin desde la interseccin del eje Z-1 con el eje
X hasta el origen del sistema i-simo a lo largo del eje x1 ( o la distancia
ms corta entre los ejes Z_ 1 y z1).
1X1:
Es el ngulo de separacin del eje z, _ 1 al eje z, respecto del eje x
(utilizando la regla de la mano derecha).
(x1, Ji, z) realmente representan los vectores unitarios a lo largo de los ejes principales del
sistema de coordenadas i, respectivamente, pero se utilizan aqu para denotar el sistema de coordenadas i.
CINEMATICA
DEL BRAZO
39
DEL ROBOT
Para una articulacin giratoria, d.; a; y IX; son los parmetros de articulacin
y permanecen constantes para un robot, mientras que 8 es la variable articulacin que cambia cuando el elemento i se mueve (o gira) con respecto al elemento
; - l. Para una articulacin prismtica, 8, a y IX son los parmetros de la
articulacin y permanecen constantes para un robot, mientras que d es la variable de la articulacin. Para el resto de este libro, la variable de la articulacin se
refiere a 8 (o d), esto es, la cantidad que vara, y los parmetros de articulacin se
refieren a los restantes tres valores geomtricos constantes (d;, a., et) para una
a~ticulacin giratoria o (8;, a.; IX;) para una articulacin prismtica.
Con las tres reglas bsicas anteriores para establecer un sistema de coordenadas ortonormal en cada elemento y la interpretacin geomtrica de los parmetros de la articulacin y del elemento, se presenta en el algoritmo 2.1 un proced-
...E
<.
~~
!'86~
ll3
r::
Y6 (s)
z6
(a)
x6 (n)
Parmetros de coordenadas de los elementos

de un robot PUMA Ar1icuRango de la
d,
a;
articulacin
!acin ; 8
1
2
3
4
90
90
o
o
o
431.8 mm
149,09 mm
90
-90
90
-20,32 mm
-45 a 225
433,07 mm
-110 a 170
-100 a 100
-90
56,25 mm
-160 a +160
-225 a 45
-266 a 266
Figura 2.11 Establecimiento del sistema de coordenadas de elementos para un robot

~~
~
Y5
y6 (Barrido)
Centro de la mano OH
(Alcance) z6~
~z4
v
....._\
.J
(Elevacin) x6
~
Z3
84
d6~
Z5
X4
/,./
,-..:.---
,.,.,.
/---
---
x5
y4
------
los orgenes
coinciden
--
(d4 = ds = O)
x3~
x2
>-
d~~y2
82
/,,(,/~
d
e,
t=z
r \"'
f--=:
Yo--;-Y
=X
~o
Parmetros de las coordenadas

de los elementos de un robot Stanford
Articulacin i
a,
81 = -90
82 = -90
-90
-90
90
2
3
4
s
6
84 =
85 = O
116 = O
-90
90
a;
o
o
o
o
o
o
d
d,
d2
d
o
o
dt,
Figura 2.12 Establecimiento del sistema de coordenadas de elementos para un robot

Stanford.
miento para establecer un sistema de coordenadas ortonormal consistente para

un robot Ejemplos de aplicacin de este algoritmo a un robot tipo PUMA de
seis ejes y un brazo Stanford se dan, respectivamente, en las figuras 2.11 y 2.12.
Algoritmo 2.1: Asignacin del sistema de coordenadas de los elementos. Dado un
brazo con n grados de libertad, este algoritmo asigna un sistema de coordenadas
ortonormal a cada elemento del brazo de acuerdo a configuraciones de brazos
similar a aquellas de la geometra del brazo humano. El etiquetado del sistema de
coordenadas comienza desde la base soporte hasta el efector final del brazo. Las
relaciones entre elementos adyacentes se pueden representar mediante una matriz
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
41
de transformacin homognea 4 x 4. La importancia de esta asignacin es que

ayudar al desarrollo de un procedimiento consistente para derivar la solucin de
la articulacin tal como se presenta en secciones posteriores. (Obsrvese que la
asignacin de los sistemas de coordenadas no es nica.)
01.
Establecer el sistema de coordenadas de la base. Establecer un sistema

de coordenadas ortonormal dextrgiro (x0, Yo, z0) en la base soporte
con el eje z0 estando a lo largo del eje de movimiento de la articulacin 1 y apuntando hacia afuera del hombro del brazo del robot. Los
ejes x0 e Yo se pueden establecer convenientemente y son normales al
eje z0
02. Inicializar y repetir. Para cada t. i = I, ... , n - l, realizar los pasos
03 a 06.
03. Establecer los ejes de la articulacin. Alinear el Z con el eje de movimiento (giratorio o deslizante) de la articulacin i + l. Para robots
que tengan configuraciones de brazo levgiras, los ejes z1 y z2 estn
apuntando hacia afuera del hombro y el tronco del brazo del robot.
04. Establecer el origen del sistema de coordenadas i-simo. Localizar el
origen del sistema de coordenadas i-simo en la interseccin de los ejes
Z y z, _ 1 o en la interseccin de las normales comunes entre los ejes Z; y
z;_ 1 y el eje Z.
05. Establecer el eje X. Establecer X = (z_ 1 x z)/lz;-1 x z;I o a lo
largo de la normal comn entre los ejes z.; 1 y Z cuando son paralelos.
06. Establecer el eje Y; Asignar y = +(z; x x)/lz; x x;I para completar
el sistema de coordenadas dextrgiro. (Extender si es necesario los ejes
z, y X a los pasos 09 a 012.)
07. Establecer el sistema de coordenadas de la mano. Normalmente la
articulacin n-sima es de tipo giratorio. Establecer z, a lo largo de la
direccin del eje z, _ 1 y apuntando hacia afuera del robot. Establecer
x, tal que sea normal a ambos ejes z"_ 1 y z". Asignar Yn para completar el sistema de coordenadas dextrgiro. (Vase la seccin 2.2.11 para
ms detalle.)
08. Encontrar los parmetros de la articulacin y del elemento. Para i,
i = 1, ... ,n, realizar los pasos 09 a 012
09. Encontrar d; d, es la distancia del origen del sistema de coordenadas
(i - l}-simo a la interseccin del eje Z;- i y el eje X; a lo largo del eje
Z _ 1. Es la variable de la articulacin si i es prismtica.
D 1 O. Encontrar a.. a es la distancia de la interseccin del eje Z _ 1 y el eje X
al origen del sistema de coordenadas i-simo a lo largo del eje X.
DI l. Encontrar 81 81 es el ngulo de rotacin desde el eje X;_ 1 hasta el eje
x, respecto del eje Z_1 Es la variable de articulacin si i es giratoria.
D 12. Encontrar 1X1 IX es el ngulo de rotacin desde el eje Z;- 1 hasta el eje
z1 respecto del eje X.
Una vez establecido el sistema de coordenadas D-H para cada elemento,
se puede desarrollar fcilmente una matriz de transformacin homognea que
relacione el sistema de coordenadas i-simo con el sistema de coordenadas
42
(i - 1)-simo. Observando la figura 2.10, es obvio que n punto r, expresado en el
sistema de coordenadas i-simo se puede expresar en el sistema de coordenadas

(i - 1)-simo como r_ 1 realizando las siguientes transformaciones sucesivas:
l. Girar respecto del eje Z- 1 un ngulo de O para alinear el eje X;- 1 con el
eje X (el eje X_ 1 es paralelo a X y apunta en la misma direccin).
2. Trasladar a lo largo del eje Z_ 1 una distancia de d, para llevar en
coincidencia los ejes X_ 1 y x,
3. Trasladar a lo largo del eje x, una distancia de a, para traer en coincidencia tambin los dos orgenes de los ejes x.
4. Girar respecto del eje X un ngulo :x para traer en coincidencia a los
sistemas de coordenadas.
Cada una de estas cuatro operaciones se puede expresar mediante una matriz
rotacin-traslacin homognea bsica y el producto de estas cuatro matrices de
transformacin homogneas bsicas da una matriz de transformacin homognea compuesta, i- 1 A;, conocida como la matriz de transformacin D-H para
sistemas de coordenadas adyacentes i e i - l. As,
oo
i-1A
Tz. dT,. sTx. .r;
11
=[~
l
o
l
= [~
_
o l o
o o l
[cos
8;
sen O
o o
o
d ~]
[~
cos
(X
sen
tx1
~l
[cos 8;
-sen
sen 01
cos O
o
l
o
-sen
cos
~] =
tx
(X
8;1
- cos IX sen O;
cos (X tx
cos 8
sen
sen :X sen O;
-sen :X cos 8;
cos (X
a; cos
a sen 8
d,
(2.2-29)
Utilizando la ecuacin (2.2-27) se puede encontrar la inversa de esa transformacin como

-sae~
-cos
[i-
1 A]-1
sen 8
cos
cos 8
sen
[
A-1
cos 8;
sen
IX
IX
sen 81
sen 8;
- sen
(X
IX
cos 81
et
COS IX
-d
-d
tx
COS IX
(2.2-30)
donde tx, a1, d, son constantes mientras que 8 es la variable de la articulacin

para una articulacin tipo revolucin.
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
Para una articulacin prismtica, la variable articulacin es d.; mientras

y 8 son constantes. En este caso, i- t A se hace
: JI ,, 0.1
- cos 11 sen 8
sen 11 sen 8
N
43
que
- i
[' '
cos
11
cos
- sen
cos
!l
s en
8O;
T,. 9T,. dTx.11 -
A -
sen
.o
cos
11
fl
il
(2.2-31)
y su inversa es
;A-1
p-1A;]-1
sen
cos O;
- cos
11
sen 8
cos
11
cos 8
sen 1
cos
il
sen 8
- sen
!l
cos 8;
cos a
-d; ~en
>;l
-d cos
11
(2.2-32)
la matriz i - 1 A se puede relacionar un punto p en reposo en el
elemento i y expresado en coordenadas homogneas con respecto al sistema
de coordenadas i en el sistema de coordenadas i - 1 establecido en el elemento
Utilizando
i - 1 por
(2.2-33)
donde P;- i = (x.; 1, Y;-,:_ 1, l)r y P; = (x Y;, Z, lf.

1
Las. seis matrices de transformacin
iA; para el robot PUrytA de seis ejes
han sido determinadas sobre la base del sistema de coordenadas establecido en la
figura 2.11. Estas matrices ; - 1 A; se dan en la figura 2.13.
2.2.11 Ecuaciones cinemticas para los manipuladores
0~1,
La matriz homognea T que especifica la localizacin del sistema de coordenadas i-simo con respecto al sistema de coordenadas de la base es el producto en
cadena de matrices de transformacin de coordenadas sucesivas ;- 1 A y se expresa como
T
A11A2
...
i-1A
j-1A.
J
para i
1, 2, ... .n
[~
o o
~] =
j=
[~
~]
(2.2-34)
cos O
i-lA;
sen O
cos
o
o
o
o -1o
o o
[ e,S1
A1 =
C3
iA3
S3
o
o
- cos
S3
CL
a3S3
o
o
sen (}
sen
cos O
-sen
11
a cos O
sen O
cos O a sen O
11
o
o
a,c,
-C3
o l
o o
11
[ e,
S4
3~=
o
o
a,c,
aiS2
d
i
o
o
-S4
C4
o
o
-1
,-
._,..,
, .:
-s6
[ e,
c6
o
o
Ss
s
/ 4A -
s-
[ eSs, o
;1
-Cs
o o
-s,
[ e, e,,
T1 s A1
1Ai
iA3
Fipn
-a2S2
Ci3
n
-
d2S,
+ di
a3Si3
C4 Cs C6 - S4S6
-C4CsS6 - S4C6
C4Ss
d6C4S5
S4
-S4CsS6
+ C4C6
S4Ss
d6S4S
s
d6Cs + d4
donde C; cos .; S;
a2C1 C2 + a3C1 C23

a2S1 Ci + a3S1 Ci3
S1Si3 C,
o
o
-Sn
C,Si3
e,
S1 C23
o
T2 3~4Ass~
s~=
e, C6 + C4S6
-SsC6
SsS6
o
:11!
sen .; C;
o
,!!!!
cos(6;
6); S;
Cs
= sen(8;
8),
2.13 Matrices de transformacin de coordenadas de los elementos del robot
PUMA.
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
45
donde:
(X, y, zJ
= matriz
de orientacin del sistema de coordenadas i-simo establecido en el elemento i con respecto al sistema de coordenadas
de la base. Es la matriz particionada superior izquierda 3 x 3
de T.
p = vector de posicin que apunta desde el origen del sistema de
coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas i-simo. Es la matriz particionada superior derecha 3 x 1
de T.
Especficamente, para i = 6, obtenemos la matriz T, T = 0T6, que especifica la
posicin y orientacin del punto final del manipulador con respecto al sistema de
coordenadas de la base. Esta matriz T se utiliza tan frecuentemente en la cinemtica del brazo del robot que se llama la matriz del brazo. Considere que la
matriz T sea de la forma:
T
Y6 z6 ~6] [~6 0~6]

o
= [~6 o
=
["
p.]
s,. a,
n, s, a, P,
n, s, a, Pz
o o o
[~
a
o
(2.2-35)
donde (vase Fig. 2.14):
= vector
normal de la mano. Suponiendo una mano del tipo de mordaza

paralela que es ortogonal a los dedos del brazo del robot.
s = vector de deslizamiento de la mano. Est apuntando en la direccin del
movimiento de los dedos cuando la pinza se abre y se cierra.
a = vector de aproximacin de la mano. Est apuntando en la direccin
normal a la palma de la mano (es decir, normal a la placa de montaje de
la herramienta del robot).
p = vector de posicin de la mano. Apunta desde el origen del sistema de
coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas de la
mano, que se suele localizar en el punto central de los dedos totalmente
cerrados.
n
Si el manipulador se relaciona a un sistema de coordenadas de referencia

mediante una transformacin B y tiene una herramienta unida a la base de
montaje de la ltima erticulaciu descrita por H, entonces el punto final de la
herramienta se puede relacionar con el sistema de coordenadas de referencia
multiplicando las matrices B, T6 y H juntas como
(2.2-36)
46 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E

INTELIGENCIA
Figura 2.14 Sistema de coordenadas de la mano [o, s, a].
La solucin cinemtica directa de un manipulador de seis elementos es, por

tanto, simplemente un asunto de 1calcular T = 0 A6 mediante la multiplicacin en
cadena de las seis matrices i - A y evaluar cada elemento en la matriz T.
Obsrvese que la solucin cinemtica directa da una nica matriz T para un
q = (q1, q2, .. , q6)r y un conjunto de sistemas d coordenadas dados, donde q =
8
para una articulacin giratoria y q = d, para una articulacin prismtica. Las

nicas ligaduras son las acotaciones fsicas de 8 para cada articulacin del brazo
del robot. La tabla en la figura 2.11 da las ligaduras de articulacin de un robot
de la serie PUMA 560 basado en el sistema de coordenadas asignado en la figura 2.11.
Habiendo obtenido todas las matrices de transformacin de coordenadas
i- i A; para el brazo de un robot, la siguiente tarea es encontrar un mtodo eficaz
de calcular T utilizando una computadora digital de uso general. El mtodo ms
eficiente es multiplicando las seis matrices i- 1 A juntas manualmente y evaluando
los elementos de la matriz T explcitamente en un programa de computadora. Las
desventajas de este mtodo son: 1) es engorroso multiplicar juntas las seis matrices "' i A, 2) la matriz del brazo es aplicable solamente a un robot particular para
un conjunto especifico del sistema de coordenadas (no es bastante flexible). En. el
otro extremo se pueden meter las seis matrices "' 1 A y permitir que la computadora realice la multiplicacin. Este mtodo es muy flexible, pero con el coste de
tiempo del clculo en cuanto que la cuarta fila de i- i A consiste mayormente en
elementos nulos.
Un mtodo que tiene ambos, clculo rpido y flexibilidad, es multiplicar a
2
mano las tres primeras matrices - 1 A para formar T1 = 03A
11 A 2 A3 y
A/A/
tambin
las
ltimas
tres
matrices
i- i A para formar T2 =
A6, que es
una tarea
relativamente directa. A continuacin expresamos los elementos de T1 y T2
explcitamente en un programa y permitimos que la computadora los multiplique

para formar la matriz del brazo resultante T = T1 T2
DEL ROBOT
47
Para un robot de la serie PUMA 560, T1 se determina de la figura 2.13 como
[c,c,,
A3
T, =
S,C23
-S23
A11A/A3
-S,
C1
o
o
C1S23
S1S23
C23
a,C,C, + a,C,C,, - d,S,]

2S1C2 + a3S1C23 + d2C1
-a2S2 - a3S23
1
(2.2-37)
y la matriz T2 se encuentra que es
(2.2-38)
donde Cu
cos (8 + 8) y Si
sen (8 + 8).
La matriz del brazo T para el robot PUMA que se muestra en la figura 2.11
se encuentra que es
(2.2-39)
donde:
nx
C1[CdC4C5C6
n,
=
=
=
=
=
S1[CdC4C5C6
11,
-S2JCC4C5C6
+ C4S6)
- S4S6) - S23S5C6] + C,(S4C5C6 + C4S6)
- S4S6)
- S4S6]
S23S5C6]
- S1(S4C5C6
(2.2-40)
C23S5C6
P,.
=
=
+ S4C6) + S23SsS6] - S1(-S4C5S6 + C4C6)

S1[-C23(C4C5S6
+ S4C6) + S23SsS6] + C1(-S4C5S6 + C4C6)
S23(C4C5S6 + S4C6) + C23SsS6
(2.2-41)
C1(C23C4S5 + S23C5) - S1S4S5
S1(C23C4S5 + S23C5) + C1S4S,
(2.2-42)
-S23C4S5 + C23C5
C1[d6(C23C4S5 + S23C5) + S23d4 + a3C23 + a2C2] - S1(d6S4S5 + d2)
P,
S1[d6(C23C4S5
s"
s,
s,
ax ""
a, =
a,
P: =
C1[ -C23(C4C5S6
+ S23C5) + S23d4 + a3C23 + a2C2] + C1(d6S4S5 + d2)

d6(C23Cs - S23C4Ss) + C23d4 - a3S23 - a2S2
(2.2-43)
Como una comprobacin, si 81 = 90, 82 = O, 83

86 = O. entonces la matriz T es
-1
o o
o o
O,
-149,09]
O, 85
921,12
20,32
1
que est de acuerdo con el sistema de coordenadas establecido en la figura 2.11.

De las ecuaciones (2.2-40 a 2.2-43), la matriz del brazo T requiere doce
llamadas de funciones trascendentes, cuarenta multiplicaciones y veinte sumas
si solamente calculamos la submatriz superior derecha 3 x 3 de T y el vector
normal n se encuentra del producto vectorial de (n = s x a). Ms an, si
combinamos d con la longitud de la herramienta del dispositivo terminal, entonces d6 = O y la nueva longitud de la herramienta se incrementar en d unidades.
Esto reduce los clculos a doce llamadas de funciones trascendentes, treinta y
cinco multiplicaciones y diecisis sumas.
Ejemplo: Ha sido preparada una estacin de trabajo de un robot con una

cmara de TV (vase la figura que se muestra en la pgina 49). La cmara
puede ver el origen del sistema de coordenadas de la base donde est unido
un robot de seis articulaciones. Puede tambin ver el centro de un objeto
(supuesto que es un cubo) que va a ser manipulado por el robot. Si se ha
establecido un sistema de coordenadas local en el centro del cubo, este
objeto tal como lo ve la cmara se puede representar mediante una matriz
de transformacin homognea T 1 Si el origen del sistema de coordenadas
de la base tal como lo ve la cmara se puede expresar tambin mediante
una matriz de transformacin homognea T2 y
1]
OO 10
-1
-1
O 1200
-1
]
10
1
Cul es la posicin del centro del cubo con respecto al sistema de
coordenadas de la base?
b) Suponer que el cubo est dentro del alcance del brazo. Cul es la
matriz de orientacin [n, s, a] si necesita que la pinza (o los dedos) de
la mano se alineen con el eje y del objeto y al mismo tiempo coja el
objeto desde lo alto?
a)
DEL ROBOT
49
';r--x,
Y,/ !2
SOLUCIN:
CllmarTcubo
T,
-[~
o
o
o
o
o
-1
o
"'""T base -- T2 -[ ~O
o
Para encontrar
bmTcubo
-1
o
o
10
o
o
-1
-1100 1
2 0
1
utilizamos la regla de producto en cadena:
Utilizando la ecuacin (2.2-27) para invertir la matriz T2, obtenemos la
baseT
= [~
-1
~ ~ 1 [~ ~
1]
10
matriz de transformacin resultante:
cubo
o
o
o
-1
O
10
1
O O
O O
Oo
o1
o o
1
1
Por tanto, el cubo est en la posicin ( 11, 10, 1 )7 del sistema de coordenadas de la base. Sus ejes x, y y z son paralelos a los ejes -y, x y z del sistema
de coordenadas de la base, respectivamente.
Para encontrar [n, s, a], hacemos uso de
T6
s
O O
a
O
PJ1
donde p = (11, 10, 1)7 de la solucin anterior. De la figura anterior

necesitamos el vector de aproximacin a para alinear con la direccin
negativa del eje OZ del sistema de coordenadas de la base [es decir, a = (O,
O, - 1 )7]; el vector s se puede alinear en una o en otra direccin del eje y de
bmTcubo [es decir, s = ( 1, O, 0)7]; y el vector n se puede obtener del
producto vectorial des y a:
k
D
j
O
O
Hl
k
O
-1
Por tanto, la matriz de orientacin [n, s, a] se encuentra que es

O 1
-1
[n, s, a] = + 1 O
o
o
[
o o
~J
-1J
2.2.12 Otras especificaciones de la localizacin de efector final

En secciones anteriores analizamos las traslaciones y rotaciones de cuerpos
rgidos (o elementos) e introdujimos la matriz de transformacin homognea para
describir la posicin y orientacin de un sistema de coordenadas del elemento.
De particular inters es la matriz del brazo 0T6 que describe la posicin y
orientacin de la mano con respecto al sistema de coordenadas de la base. La
submatriz superior izquierda 3 x 3 de T6 describe la orientacin de la mano.
Esta submatriz de rotacin es equivalente a T6 Hay otras especificaciones que se
pueden utilizar para describir la localizacin del efector final.
Representacin del ngulo de Euler para orientacin. Como se indic en la
seccin 2.2.4, esta representacin matricial para la rotacin de un cuerpo rgido
simplifica muchas operaciones, pero no conduce directamente a n conjunto
completo de coordenadas generalizadas. Tal conjunto de coordenadas generalizadas se puede proporcionar mediante los tres ngulos de Euler (<P, {) y t/J).
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
51
Utilizando la matriz de rotacin con la representacin de los ngulos euleriano como en la ecuacin (2.2-17), la matriz del brazo 0T6 se puede expresar como:
C</JCt/1 S<jJCeStjJ - C</JSt/1 - S<jJCeCtjJ
p1
T = S<j}Ct/1 + C<jJCeStjJ -S</JSt/1 + C<jJCeCtjJ -C<j)Se
6
Pz
(2.2-44)
ses
[
sec
ssse
ce
Px]
I
Otra ventaja de utilizar la representacin de ngulos Euler para la orientacin es

que la memoria necesitada para almacenar la posicin y orientacin de un objeto
se reduce a un vector de seis elerr-c..tos XYZ<j)etjJ. A partir de este vector, se puede
construir la matriz del brazo 0T6 mediante la ecuacin (2.2-44).
Representacin de giro, elevacin y desviacin para la orientacin. Otro conjunto
de representacin de ngulos de Euler para la rotacin es el giro, elevacin y
des\'icin (roll, pitch y yaw) (RPY). Otra vez, utilizando la ecuacin (2.2-19), la
representacin matricial de la rotacin se puede utilizar para obtener la matriz del
brazo 0T6 como:
csce
T _
S<j)Ce
6
-se
o
C<J>SeStjJ - S<j}Ct/J
S<jJSeStjJ + C<j}Ct/J
CeStjJ
O
C<jJSeCtjJ +
S<j}St/J S<jJSeCtjJ C</JSt/1 CeCtjJ
O
Px]
P,
Pz
1
(2._2-45)
.
.
1
Tal como se discuti en el captulo 1, existen diferentes tipos de brazos de robot

de acuerdo al movimiento de sus articulaciones (XYZ, cilndricas, esfricas y de
brazo artculado). As se puede especificar la posicin de la mano (p:v P,~ p=f en
otras coordenadas tales como cilndricas o esfricas. La matriz de transformacin
del brazo resultante se puede obtener por
o
donde R6
(RPY).
JJ
(2.2-46)
matriz de rotacin expresada en los ngulos de Euler o [n, s, a] o
Coorcknadas clindricas para el subconjunto de posicionamiento. En una representacin de coordenadas cilndricas, la posicin del efector final se puede especificar
por las siguientes traslaciones/rotaciones (vase Fig. 2.15):
l.
2.
J.
Una traslacin de r unidades a lo largo del eje OX (Tx.,).

Una rotacin de ngulo :x alrededor del eje OZ (T=.,).
U na traslacin de d unidades a lo largo del eje OZ (T=. d).
52 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, YISION E INTELIGENCIA
Figura 2.15 Representacin del sistema de coordenadas cilndricas.
La matriz de transformacin homognea que representa las operaciones anteriores se puede expresar como:
He.
I O O
O I d
O O I
- T, ,T, ,T,, -[~

Tclindrica
[' o o '] [e"
O
O
-s o
O I O O = Srx
O O I O
O
O O O I
O
-Srx
Ca
o 1
o o
Ca
,cal
o
o
o 1
o o
rS
~l
(2.2-47)
Como solamente estamos interesados en los vectores de posicin (es decir, la cuarta
columna de Tcillndrical, la matriz de brazo 0T6 se puede obtener utilizando la
ecuacin (2.2-46):
T 6
,ex] [
o
= ['O oI o -s
o o o
y Px
= rCoc, py = rS, P:
(2.2-48)
R6
O
o ~]
d.
Coordenadas esfricas para el subconjunto de posicionamiento. Podemos utilizar

tambin el sistema de coordenadas esfricas para especificar la posicin del efector
final. Esto utiliza las siguientes traslaciones/rotaciones (vase Fig. 2.16):
l.
2.
3.
Una traslacin de r unidades a lo largo del eje OZ Cf:.

U na rotacin de ngulo f3 respecto del eje O Y (Ty, ),
Una rotacin de ngulo rx respecto del eje OZ (T,. ).
DEL ROBOT
53
figura 2.16 Representacin del sistema de coordenadas esfricas.
La matriz de transformacin para la operacin anterior es
lea
T,p1r = T,,aRy.{JT:,r =
O OH
-s
Sa
Ca.
O
O O
I O
O I
l~
o o
1o oo
o 1
O
r
_
-
rcp
-Sf3
O
=s
Sa.Cf3
-Sf3
ceO ol Sf3o
o Cf3
o o
,c,spl
CrxSfJ.
o
Ca. S':1.Sflo rSrxSf3
rCf3
o C{J
1
~1
(2.2-49)
Otra vez, nuestro inters es el vector de posicin con respecto al sistema de

coordenadas de la base; por tanto. la matriz del brazo T 6 cuyo vector de posicin
se expresa en coordenadas esfricas y la matriz de orientacin [n, s, a] o ngulos de
Euler o (RPY) se puede obtener:
T=
6
donde Px
rC'XS{3, py
l
=
o o
o o o
rS':XS{J, P:
rS'rXxSf{3Jl
rC{J
l
(2.2-50)
rC{J.
En resumen, existen algunos mtodos (o sistemas de coordenadas) que se

pueden escoger para describir la posicin y orientacin del efector final. Para
posicionamiento, el vector de posicin se puede expresar en coordenadas cartesianas (p,:, Py, P:f, cilndrica (rC':l, r Sx, d)7, o esfrica (rC'XS{3, rSa.Sf3, rC{3)7. Para
describir la orientacin del efector final con respecto al sistema de coordenadas de
la base, tenemos cartesianas [n. s, a], ngulos de Euler (</,, 8,

l'Csuhado de todo esto se tabula en la tabla 2.2.
1/J) y (RPY). El
54
Tabla 2.2 Diversas representaciones de posicionamiento/orientacin

Posicionamiento
Cartesiana (px, r; p,)7
Cilndrica (rCIX, rSa, d)7
Esfrica (rC1XS{3, rS'Y.S{J, rC{Jf
1
[
Tposicin
Px]
O
O P1
1 P:
~ ~
o o
Orientacin
Cartesiana [n, s, a]
Angulos de Euler (<P, 8, 1/1)
R,P, Y
rol
[[n, a]
R,p,8,.,
s,
~J
2.2.13 Clasificacin de los manipuladores

Un manipulador consiste en un grupo de cuerpos rgidos o elementos, con el
primero de ellos conectado a una base soporte y el ltimo conteniendo el dispositivo terminal (o herramienta). Adems, cada elemento se conecta a lo ms a otros
dos de manera que no se forman bucles cerrados. Hicimos la hiptesis de que la
conexin entre elementos (las articulaciones) tienen solamente un grado de libertad. ~
Con esta restriccin, son de inters dos tipos de articulaciones: de revolucin (o
giratorias) y prismticas. Una articulacin de revolucin solamente permite la
rotacin respecto de un eje, mientras que la articulacin prismtica permite el
deslizamiento a lo largo de un eje con ninguna rotacin (deslizamiento con rotacin se denomina una articulacin tipo tornillo). Estos elementos se conectan y se
accionan de forma tal que se fuerzan a moverse relativamente uno respecto de otro
con el fin de posicionar el efector final (una mano o herramienta) en una posicin y
orientacin particular.
Por tanto, un manipulador, considerado como una combinacin de elementos
y de articulaciones, con el primer elemento conectado a la base y el ltimo
conteniendo la mano, se puede clasificar por el tipo de articulaciones y su
orden (desde la base hasta la mano). Con este convenio, el robot PUMA se
puede clasificar como 6R y el brazo de Stanford como 2R-P-3R, donde R es una
articulacin de revolucin y P es una articulacin prismtica.
2.3
EL PROBLEMA CINEMATICO INVERSO
En esta seccin se plantea el segundo problema de la cinemtica del robot: la

cinemtica inversa o solucin del brazo para un manipulador con seis articulaciones. Los robots basados en computadora se suelen controlar en el espacio de las
variables de articulacin, mientras que los objetos que se manipulan se suelen
expresar en el sistema de coordenadas de mundo. Con el fin de controlar la

posicin y orientacin del efector final de un robot para alcanzar su objeto, es ms
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
55
irnportante la solucin cinemtica inversa. En otras palabras, dada la posicin y

orientacin del efector final de un brazo de robot de seis ejes 0T6 y sus parmetros
de articulacin y elementos, nos gustara encontrar los ngulos de articulacin
correspondientes q = (q1, q2, q3, q4, q5, q6)7 del robot de manera que pueda
p0sicionar como se desee el efector final.
En general, el problema cinemtico inverso se puede resolver por diversos
mtodos, tales como la transformacin inversa (Paul y col. [1981]), el lgebra de
tornillo (Kohli y Soni [1975]), matrices duales (Denavit [1956]), cuatemiones
duales (Yang y Freudenstein [1964]), iterativo (Uicker y col. [1964]), y mtodos
geomtricos (Lee y Ziegler [1984]). Pieper [1968] present la solucin cinemtica
para cualquier manipulador con seis grados de libertad que tiene pares de revolucin o prismticos para las tres primeras articulaciones y los ejes de las articulaciones de las ltimas otras tres se intersectan en un punto. La solucin se puede
expresar como un polinomio de cuarto grado en una incgnita y una solucin en
forma cerrada para las incgnitas restantes. Pau] y col. [1981] presentaron una
t~nica transformada inversa utilizando las matrices de <transformaciones homogneas 4 x 4 para resolver la solucin cinemtica para la misma clase de manipuladores simples que analizaba Pieper. Aunque la solucin resultante es correcta, tiene
el problema de que no da una indicacin clara sobre cmo seleccionar una
solucin apropiada de las diversas soluciones posibles para una configuracin de
brazo particular. El usuario a menudo necesita recurrir a su intuicin para tomar
la respuesta correcta. Presentaremos el mtodo de Pieper para resolver la solucin
inversa para ngulos de Euler. Uicker y col. [1964] y Milenkovic y Huang [1983]
presentaron soluciones iterativas para la mayora de los robots industriales. La
solucin iterativa a menudo requiere ms clculos y no garantiza la convergencia a
la solucin correcta especialmente en los casos singular y degenerado. Ms an,
como con la tcnica transformada inversa, no existe indicacin sobre cmo escoger
la solucin correcta para una configuracin de brazo particular.
Es deseable encontrar una solucin del brazo en forma cerrada para los
manipuladores. Afortunadamente, la mayora de los robots comerciales tienen
una u otra de las siguientes condiciones suficientes que hacen posible la solucin
del brazo en forma cerrada:
l. Tres ejes de articulacin adyacentes se interseccionan en un punto.
2. Tres ejes de articulacin adyacentes son paralelos entre s.
Ambos robots, el PUMA y el de Stanford, satisfacen la primera condicin, mientras que los robots ASEA y MINIMOVER satisfacen la segunda solucin para
encontrar la solucin en forma cerrada.
De la ecuacin (2.2-39) tenemos la matriz de transformacin de brazo dada
corno
s, ax. Px.]
s,
a,
P, - o A i A
s,
O
P,
1
2A
JA 4A sA
4
(2.3-1)
6
La ecuacin anterior indica que la matriz de brazo T es una funcin de senos y

cosenos de 81, 82, .. , 86 Por ejemplo, para un robot PUMA, igualando los
elementos de las ecuaciones matriciales como en las ecuaciones (2.2-40) a (2.2-43),
tenemos doce ecuaciones con seis incgnitas (ngulos de las articulaciones) y estas
ecuaciones tienen funciones trigonomtricas complejas. Como tenemos ms ecuaciones que incgnitas, se puede concluir inmediatamente que existen mltiples
soluciones para un robot como el PUMA. Exploraremos dos mtodos para encontrar la solucin inversa: la tcnica transformada inversa para encontrar la solucin
de los ngulos de Euler, que puede tambin utilizarse para encontrar la solucin de
las articulaciones de un robot como el PUMA, y un mtodo geomtrico que
proporciona ms comprensin en resolver manipuladores simples con articulaciones giratorias.
2.3.1 Tcnica transformada inversa para Ia solucin de ngulos de Euler

En esta seccin demostraremos el concepto bsico de la tcnica transformada
inversa aplicndola a resolver los ngulos de Euler. La matriz de rotacin 3 x 3 se
puede expresar en trminos de los ngulos de Euler (e/>, 8, i/1) como en la ecuacin
(2.2-17), dada por
Cc/>Ci/1 -
Scf>Ci/1
ssces
+ Ccf>C8Sif
S8Sif
- Ccf>Si/1 - ScpC8Cif
- Scf>Si/1 + CcpC8Cif
S8Cif
ScpS8]
- CcpS8
ce
(2.3-2)
Se desea encontrar el valor correspondiente de cp, 8, /J. Igualando los elementos

de la ecuacin matricial anterior, tenemos:
n" = Ccf>Ci/1 - ScpC8Sif

ny
n,
Scf>Ci/1
S"
sy
=
=
CcpC8Sif
(2.3-3a)
(2.3-3h)
S8Sif
(2.3-3c)
- C <J>Si/1 - ScpC8Cif
(2.3-3d)
-Scf>Si/1
CcpC8Cif
(2.3-3e)
S8Cif
(2.3-3/)
"
ScpS8
(2.3-3g)
ay
-CcpS8
(2.3-3h)
a, =
ce
(2.3-3,)
sz
DEL ROBOT
57
Utilizando las ecuaciones (2.3-31), (2.3-3f) y (2.3-3h), una solucin a las nueve
ecuaciones anteriores es:
(} =
cos - 1 (a?)
VI =
cos -
1)
(2.3-4)
(2.3-5)
cos - l
( ;~)
(~;y)
(2.3-6)
U solucin anterior es inconsistente y mal condicionada porque:

l. La funcin arco coseno no se comporta bien en cuanto a su precisin en la
determinacin del ngulo ya que es dependiente del valor del ngulo. Esto
es, cos ( 8) = cos ( - 8).
2. Cuando sen (8) se aproxima a cero, esto es, (} ~ O o (} ~ 180, las
ecuaciones (2.3-5) y (2.3-6) dan soluciones imprecisas o estn indefinidas.
Debemos, por tanto, encontrar un mtodo ms consistente para determinar la
solucin de los ngulos de Euler y una funcin arco trigonomtrica ms consistente para calcular la solucin del ngulo. Con el fin de evaluar (} para - n ~ (} ~
n, se utilizar una funcin arco tangente, are tg2 (y, x), que devuelve tg " 1
(y/x)
ajustada al cuadrante apropiado. Se define como:
are tg2 ( y, x)
O ~ 8 ~ 90
i 90 ~ (} ~ 180
-180 ~ (} ~ -90
i
-90 ~ 8 ~
oc
para +x y +
y
para -x y +y
para
-x
(2.3- 7)
y -y
para +x y -y
Utilizando la funcin arco tangente (are tg2) con dos argumentos, tendremos una
visin de la solucin general propuesta por Paul y col. [1981].
En la ecuacin matricial [ecuacin (2.3-2)] se dan los elementos de la matriz en
el lado izquierdo, mientras que los elementos de las tres matrices del lado derecho
son incgnitas y son dependientes de q>, 8, VI Paul y col. [1981] sugieren
premultiplicar la ecuacin matricial anterior por su transformada inversa desconocida
sucesivamente y de los elementos de la ecuacin matricial resultante determinan el
ngulo incgnita. Esto es, movemos una incgnita (por su transformada inversa)
del lado derecho de la ecuacin matricial al lado izquierdo y resolvemos para la
incgnita, a continuacin movemos la siguiente incgnita al lado izquierdo y
repetimos el proceso hasta que se resuelven todas las incgnitas.
Prernultiplicando la ecuz cin matricial anterior por R;: i tenemos una incgnila (q,) en el lado izquierdo y dos incgnitas (8, VI) en el lado derecho de la ecuacin
matricial, as tenemos
Sq> Cq> o
~]
=
SVI
nr
s,
a,
O C(} -S{}
O]} [nxnz
x] [l S(J
O C(}O ] [CVI
s,
s, a,
-SVI
CVI
58
ROBOTICA: CONTROL, DETECCJON, VISION E INTELIGENCIA
C<J)sx + S<J)sy
+ Sn ;
-S<J)sx + Ces;
- Sen, + C<J)n y
-St/1
C<J)nx
cec
s
sec
n~
-~e]ce
(2.3-8)
Igualando los elementos (1, 3) de ambas matrices en la ecuacin (2.3-8) tenemos:

(2.3-9)
que da
<J>
tg-1
~:J
are tg2 (ax, -ay)
(2.3-1 O)
Igualando los elementos (1, 1) y (1, 2) de ambas matrices tenemos:

Ct/1
St/1
= Con, +
= -C</>sx -
(2.3-1 la)
S</>n,
(2.3-1 lh)
S<J>s,
que conduce a la solucin para t/1,

.t,
"I'
(St/1)
CiJ
tg -i
are tg2 (- C</>sx - Sos ; Cdm,
= tg
(-C</>sx - S</>s,)
Cdm; + S</>n1
+ S<J>n)
(2.3-12),
se = Soa;
ce = a,
que nos da la solucin para
_1
(se )
-
ce
(2.3-13)
e,
= tg 1(S<l>ax-C<l>a>)
ull =tg
- C<J>a,
= are tg2 (S</>ax-C<l>ar a:) (2.3-14)
Como el concepto de la tcnica transformada inversa es mover una incgnita al

lado izquierdo de la ecuacin matricial a un tiempo y resolver para la incgnita.
podemos intentar resolver la ecuacin matricial anterior para </>, e, iJ por postmultiplicar dicha ecuacin matricial por su transformada inversa R~.1~
o
-S</> C</>
St/1
o
Ct/1
] [ o
cOe -seO
I
CO
]
S8
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
59
Multiplicando las matrices tenemos:

nxCi/1-sxSi/l
nyCi/1-sySi/l
[
n,Cij -s,Slj
nxSi/l+sxCi/1
nySi/1 + syCi/1
n,Si/1 + s,Ci/1
"']
[C<j)
ay
S<j)
=
a,
-S<j)C()
C<j)C()
se
S<J>SB]
- C<j)SB (2.3-15)
ce
Otra vez, igualando los elementos (3, 1) de ambas matrices en dicha ecuacin
matricial, tenemos:
(2.3-16)
que da
i/1
tg "
(n)
s.
are tg2 (n,, s,)
(2.3-17)
se =
C()
n,Si/1
(2.3-18a)
+ s,Cij
(2.3-18b)
a,
que nos conducen a la solucin para B,

1
()
tg "
(n,Sij
are tg2 (n,Sij
+ s,Cij, a,)
(2.3-19)
s,Ci/1)
Igualando los elementos ( 1, 1) y (2, 1) de ambas matrices tenemos:

C<j) = nxCi/1 - sxSi/1
S<j)
nyCi/1 - sySi/1
(2.3-20a)
(2.3-20b)
que da
<P = tg_1 (nYCiJ - sySi/1)
nxCi/1 - sxSi/1
are tg2 (nyCt/1 - sySt/1, nxCt/1 - sxSi/1)
(2.3-21)
Corresponde al usuario la libertad de premultiplicar o postmultiplicar una ecuacin matricial dada.

Apliquemos esta tcnica transformada inversa para resolver los ngulos de
Euler para un robot tipo PUMA (solucin OAT de un robot PUMA). Los robots
60
ROBOTICA: C01'TROL, DETECCJON, VISIO:-,/ E INTELIGENCIA
PUMA utilizan los smbolos O, A, T para indicar los ngulos de Euler y sus
definiciones se dan a continuacin (con referencia a la figura 2.17):
O (orientacin) es el ngulo formado desde el eje Yo hasta la proyeccin del
eje a de la herramienta sobre el plano XY respecto del eje z0.
A (altitud) es el ngulo formado desd_e.-etplanoXY hasta el eje a de la
herramienta respecto del eje s de 1.',.,herramienta.
T (herramienta) (tool) es el ngulo formado desde el plano XY hasta el ejes
de la herramienta respecto del eje a de la herramienta.
.. '!,.
~{j).....
. ...
,
,
<::: ; :; ,;:~\)
O, una medida del ngulo

formado entre el eje
MUNDO Y y una proyeccin
de la HERRAMIENTA Z
sobre el plano MUNDO XY
...
..
'D0 ::.
r
,
A una medida rdel ngulo formado
ent e la HERRAMIENTA Z y
un plano paralelo al plano

MUNDO XY
..
.....
..
' 'T v,'lJo. ,>..-, . ..,.,0....-~o
;-
HERRAMIENTA
'{
T. una medida del ngulo formado

entre la HERRAMIENTA Y y
un plano paralelo al plano
MUNDO XY
;-.
..
..
....
-,
'!,.
.. ~~{j)
Figura 2.17 Definicin de los ngulos de Euler O, A y T. (Tomado del manual del robot
PUMA 398H.)
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
61
Zo
figura 2.18 Alineamiento inicial del sistema de coordenadas de la herramienta.
Inicialmente el sistema de coordenadas de la herramienta (o el sistema de

coordenadas de la mano) est alineado con el sistema de coordenadas de la base
del robot, como se nos muestra en la figura 2.18. Esto es, cuando O = A = T = O,
los puntos de la mano en el eje y0 negativo con los dedos en un plano horizontal y
el eje s estn apuntando al eje x0 positivo. La transformacin necesaria que
describe la orientacin del sistema de coordenadas de la mano (n, s, a) con respecto
al sistema de coordenadas de la base (x0, y0, z0) est dado por
~
-1
~
O
~]
(2.3-22)
De la definicin de los ngulos OAT y la matriz de alineacin inicial [ecuacin (2.3-22)], la relacin entre la transformacin de la mano y los ngulos OA T
est dada por
l
r
~] u
a,
s,.
-so
so co
= ca
o
["'
>'
=
'1> Sy
n: s,
= R=.O
u]
-1
O1
o
o
[
[CST
-!]
.:
C
AI
R,
,R.'
O SA]
O
CA
-ST
CT
Postmultiplicando la ecuacin matricial anterior por la transformacin inversa

s, a,
CT ST
-so
T
nY sY ay
n, s. =
l[
-ST
CT
] ca
o = so
I
co
O
~] u
]o
-1
CA
-SA
o
1
s;]
CA
62
y multiplicando las matrices tenemos:

CO
SOCA]
SO -COCA
O
-SA
(2.3-23)
Igualando los elementos (3, 2) de dicha ecuacin matricial tenemos:

n,ST
s,CT = O
(2.3-24)
(2.3-25)
lo que la da solucin de T,
T
tg-1
( ~~.)
are tg2 (s,, -n,)
Igualando los elementos (3, l) y (3, 3) de ambas matrices tenemos:

SA = -a,
y
CA
= - n,CT +
(2.3-26a)
(2.3-266)
s,ST
entonces las ecuaciones anteriores dan

A
tg-1
-a,
)
- n,CT + s:ST , '
i=
are tg2 (-a,,
-n,CT
s,ST)
(2.3-27)
Igualando los elementos (l, 2) y (2, 2) de ambas matrices tenemos:

CO
SO
n.S]'
nyST
(2.3-28a)
(2.3-28b)
+ sxCT
+ s)'CT
que dan la solucin de O,

O
tg-
are tg2
+ syCT)
+ s.ct
(n,ST + syCT, nxST +
(nyST
nxST
sxCT)
(2.3-29)
La premultiplicacin o la postmultiplicacin anterior de las transformadas inversas desconocidas se pueden tambin aplicar para encontrar la solucin de las
articulaciones de un robot PUMA. Los detalles respecto a la solucin del robot
PUMA se pueden encontrar en Paul y col. [1981].
Aunque la tcnica de la transformada inversa proporciona un mtodo general
para determinar la solucin de las articulaciones de un manipulador, no da una
indicacin clara sobre cmo seleccionar una solucin apropiada de las diversas
soluciones posibles para una configuracin de brazo particular. Esto tiene que
descansar sobre la intuicin geomtrica del usuario. As, un mtodo geomtrico
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
63
es ms til para derivar una solucin de ngulos de articulacin consistentes,

dada la matriz del brazo como en la ecuacin (2.2-39), y proporciona un medio
para que el usuario pueda seleccionar una solucin nica para una configuracin
de brazo particular. Este mtodo se presenta en la seccin 2.3.2.
2.3.2 Un mtodo geomtrico

Esta seccin presenta un mtodo geomtrico para la resolucin del problema
cinemtico inverso de manipuladores de seis elementos con articulaciones giratorias. La discusin se enfoca sobre un manipulador tipo PUMA. Basado en el
sistema de coordenadas del elemento y en la geometra del brazo humano, se
pueden identificar diversas configuraciones de brazo de un robot tipo PUMA
(Fig. 2.11) con la ayuda de tres indicadores de configuracin (BRAZO, CODO y
MUl',IECA) -dos asociados con la solucin de las tres primeras articulaciones y
el otro con las tres ltimas-. Para un robot de seis ejes tipo PUMA, existen
cuatro soluciones posibles para las tres primeras articulaciones y para cada una
de las cuatro soluciones hay dos soluciones posibles para las tres ltimas. Los dos
primeros indicadores de configuracin permiten determinar una solucin de las
cuatro soluciones posibles para las tres primeras articulaciones. Anlogamente, el
tercer indicador selecciona una solucin de las dos posibles para las tres ltimas
articulaciones. Los indicadores de articulacin del brazo se especifican por el
usuario para encontrar la solucin inversa. La solucin se calcula en dos etapas.
Primero, se deriva un vector de posicin apuntando desde el hombro hasta la
mueca. Esto se utiliza para obtener la solucin de cada articulacin i (i = 1, 2, 3)
para las tres primeras articulaciones examinando la proyeccin del vector de
posicin sobre el plano X_ 1y_ 1. Las tres articulaciones ltimas se resuelven
utilizando la solucin de la articulacin calculada de las tres primeras articulaciones, las submatrices de orientacin de T; y i- 1 A (i = 4, 5, 6), y la proyeccin del
sistema de coordenadas de los elementos sobre el plano X;_ 1y_ 1. De la geometra se puede encontrar fcilmente la solucin del brazo de forma consistente.
Como una verificacin de la solucin de la articulacin, se pueden determinar los
indicadores de configuracin del brazo de las ecuaciones de decisin correspondientes, las cuales son funciones de los ngulos de la articulacin. Con modificaciones y ajustes apropiados se puede generalizar este mtodo para resolver el
problema cinemtico inverso de la mayora de los robots industriales de hoy da
con articulaciones giratorias.
Si se dan ,crThcrnmicnta entonces podemos encontrar 0T6 por premultiplicar y
postmultiplicar ,crThcrramicnta por B - 1 y H- 1, respectivamente, y la solucin del
ngulo de articulacin se puede aplicar a T6 como se desee.
T6
=-1~B
-1
ThcrramicnlaH
r
~
s,. a,.
s, a,
o o o
P,
n, s.
l
P,l
(2.3-30)
Pz
64 ROBOTICA: CONTROL, DETECCIO:S:, VISION E INTELIGENCIA
Definicin de las diversas configuraciones de brazo. Para un robot PUMA mostrado en la figura 2.11 (y otros robots giratorios), se definen diversas configuraciones
de brazo de acuerdo con la geometra del brazo humano y el sistema de coordenadas de elementos que se estableci utilizando el algoritmo 2.1 como (Fig. 2.19):
BRAZO DERECHO (hombro): 02 positivo mueve la mueca en la direccin z0
positivo mientras la articulacin tres no se activa.
BRAZO IZQUIERDO (hombro): 02 positivo mueve la mueca en la direccin
z0 negativa mientras la articulacin tres no se activa.
BRAZO ARRIBA (codo por encima de la mueca): Posicin de la mueca del
brazo { DERECHO} con respecto al si. stema de coordenadas del hombro
IZQUIERDO
. y2.
negativo} a lo largo del eje
tiene valor de coordenada {
.
.
posiuvo
BRAZO ABAJO (codo por debajo de la mueca): Posicin de la mueca del
.
de coordenadas del hombro
DERECHO} con respecto al sistema
brazo
{ IZQUIERDO
tiene valor de coordenada
positivo}
.
{ negativo
a lo largo del eje y 2
MUECA ABAJO: El vector unitario s del sistema de coordenadas de la mano

y el vector unitario y5 del sistema de coordenadas (x., Ys. z5) tienen un
producto escalar positivo.
MUECA ARRIBA: El vector unitario s del sistema de coordenadas de la
mano y el vector unitario y 5 del sistema de coordenadas (x., y 5, z5) tienen
un producto escalar negativo.
(Obsrvese que la definicin de las configuraciones del brazo con respecto al
sistema de coordenadas del elemento pueden tener que ser ligeramente modificadas si se utilizan diferentes sistemas de coordenadas para los elementos.)
Con respecto a la definicin anterior de las diversas configuraciones del
brazo, se definen dos indicadores de configuraciones de brazo (BRAZO y CODO)
para cada configuracin. Estos dos indicadores se combinan para dar una solucin de las cuatro posibles para las tres primeras articulaciones. Para cada una de
las cuatro configuraciones del brazo (Fig. 2.19) definidas por estos dos indicadores, el tercer indicador (MUECA) da una de las dos posibles soluciones de
articulacin para las tres ltimas articulaciones. Estos tres indicadores se pueden
definir como:
BRAZO= { + l
-1
brazo DERECHO
brazo IZQUIERDO
(2.3-31)
CODO
{+1
-1
brazo ARRIBA
brazo ABAJO
(2.3-32)
MUECA
{+1
-1
mueca ABAJO
mueca ARRIBA
(2.3-33)
Brazo izquierdo
65
y arriba
Brazo derecho y arriba
Brazo izquierdo y abajo
Brazo derecho y abajo
Figura 2.19 Definicin de diversas configuraciones de brazo.
Adems de estos indicadores, el usuario puede definir un conmutador FLIP

como:
F IP _
L
-
{+
1
_
Cambiar la orientacin de la mueca

No cambiar la orientacin de la mueca
(2.3-34)
Los valores sealados de estos indicadores y el conmutador se especifican por el

usuario para encontrar la solucin cinemtica inversa. Estos indicadores se pueden tambin fijar a partir del conocimiento de los ngulos de la articulacin del
brazo del robot utilizando las correspondientes ecuaciones de decisin. Posteriormente daremos las ecuaciones de decisin que determinan estos valores de los
indicadores. Las ecuaciones de decisin se pueden utilizar como una verificacin
de la solucin cinemtica inversa.
66
ROBOTICA: co;s;TROL, DETECCION,
v1s10:-.:
E 1:-;TELIGE:-.:CIA
Solucin del brazo para las tres primeras articulaciones. Del diagrama cinemtico del robot PUMA en la figura 2.11, definimos un vector de posicin p que
apunta desde el origen del sistema de coordenadas del hombro (x0, Yo, z0) hasta el
punto donde intersecciona el ltimo de los tres ejes de la articulacin como (vase
figura 2.14):
(2.3-35)
que corresponde al vector de posicin de 0T4:

(2.3-36)
Solucin de la articulacin J. Si proyectamos el vector de posicin p sobre el

plano x0y0 como en la figura 2.20, obtenemos las siguientes ecuaciones para
obtener 01:
()R1 =n+</)+t.
et=<P-l.
r = Jp;
p; - dzz
sen <P = P,
R
dz
sen l.
R
R = Jp;
(2.3-37)
+ p;
cos <P = P- x
R
COS IX
(2.3-38)
(2.3-39)
(2.3-40)
donde los superndices L y R sobre los ngulos de las articulaciones indican las
configuraciones de brazo IZQUIERDO/DERECHO. De las ecuaciones (2.3-37) a
(2.3-40) obtenemos las funciones seno y coseno de 01 para las configuraciones de
brazo IZQUIERDO/DERECHO:
sen
et
cos
et
= sen (<P - t.) = sen <P cos a - cos </) sen l.
cos (<P -
ix)
= cos <P cos
ix
+ sen </) sen a -- p,,r +R2pydz
(2.3-41)
(2.3-42)
sen
Of
cos
ef
= sen (n + <P + a)
cos (n
+ </) + a)
(2.3-43)
(2.3-44)
66
v1s10:-;
ROBOTICA: CONTROL, DETECCION,
E ISTELIGENCIA
Solucin del brazo para las tres primeras articulaciones. Del diagrama cinemtico del robot PUMA en la figura 2.11, definimos un vector de posicin p que
apunta desde el origen del sistema de coordenadas del hombro (x0, Yo, z0) hasta el
punto donde intersecciona el ltimo de los tres ejes de la articulacin como (vase
figura 2.14):
(2.3-35)
que corresponde al. vector de posicin de 0T4:

(2.3-36)
Solucin de la articulacin J. Si proyectamos el vector de posicin p sobre el

plano x0y0 como en la figura 2.20, obtenemos las siguientes ecuaciones para
obtener 81:
8Rl =1t+<j)+'Y.
8=</)-'Y.
r
Jp;
p; -
sen
<P
sen
IX
Py
R
d2
R
(2.3-37)
Jp; + p;
(2.3-38)
<P
Px
R
(2.3-39)
COS IX
r
R
(2.3-40)
d2
2
cos
donde los superndices L y R sobre los ngulos de las articulaciones indican las
configuraciones de brazo IZQUIERDO/DERECHO. De las ecuaciones (2.3-37) a
(2.3-40) obtenemos las funciones seno y coseno de 81 para las configuraciones de
brazo IZQUIERDO/DERECHO:
sen
ef =
cos
ra .
sen
= cos
(<P -
7.)
sen
<P
cos :x - cos
<P
sen 'Y.
(A.
IX)
= cos
,1,
'I'
cos a
+ sen
<P
sen a -
'I'
(2.3-41)
_
Px'
+R2
(2.3-42)
Pyd2
sen
ef
COS
e R
sen (1t
<P
IX)
(2.3-43)
COS
(1t
+ </)
IX)
- Px' + Pyd2
-----=~ -
R 2
(2.3-44)
67
Plano x0y0
OA = d2
A8
1
1
\
08 =
Brazo izquierdo
' ,....._
J p2,
J p2,
+ p2y -d22
+ p2y = R
./
//
....
Cilindro interior con radio d,
Yo
OA = di
(p,. p_,.)
,....-
A8 = r =
I
~=r+,t,+a
J P2
X
+ P~-d2
.'f
2
\
\
08 =
lfc"~~~.,...+-'-~~~~-xo
Jp; + p;
-,
Brazo derecho
Figura 2.20 Solucin para la articulacin 1.

Combinando las ecuaciones (2.3-41) a (2.3-44) y utilizando el indicador de BRAZO para indicar las configuraciones de brazo IZQUIERDO DERECHO, obtenemos, respectivamente, las funciones seno y coseno de 81:
sen 81
cos ll
- BRAZO pyj p;
p;
+ p; + p;
d -
Px'z
(2.3-45)
(2.3-46)
68 ROBOTICA: CONTROL, DETECCI01', VISION E 1'-'TELIGENCIA
ir..
p ; p,)
O AA = d1 EF = P.,
EG =
BBC = a1
P,. C = a.1
DE =
P,
D= d4
AD = R = J P: + P; + P; - di
E = r =
dl
pl
+ p2 -
,\'
donde se toma la raz cuadrada positiva en estas ecuaciones y se define BRAZO

como en la ecuacin (2.3-31). Con el fin de evaluar 81 para -n ~ 81 ~ n, se
utilizar tal como se defini en la ecuacin (2.3- 7) una funcin arco tangente. De
las ecuaciones (2.3-45) y (2.3-46), y utilizando la ecuacin (2.3-7), se encuentra que
81 es:
8 1)
81 = t g _ 1 (sen
cos 8
tg
_1
(-BRAZOpyjp; + p; - dJ - Pxdi)
- BRAZO PxJ p; + p; - d'f + pyd2
(2.3-47~
Solucin de la articulacin 2. Para encontrar la articulacin 2, proyectamos el

vector de posicin p sobre el plano x 1y 1 tal como se muestra en la figura 2.21. De
esta figura encontramos que tenemos cuatro configuraciones diferentes de brazo.
Cada una corresponde a valores diferentes de la articulacin 2 como se muestra
en la tabla 2.3, donde O ~ :x ~ 360 y oc ~ f3 ~ 90.
Tabla 2.3
Diversas configuraciones de brazo para la articulacin 2
Configuraciones
Brazo
Brazo
Brazo
Brazo
de brazo
IZQUIERDO
IZQUIERDO
DERECHO y
DERECHO y
y ARRIBA
y ABAJO
ARRIBA
ABAJO
82
f3
+ f3
+ f3
- f3
IX :X
IX
IX
BRAZO
CODO
BRAZO CODO
-1
-1
+I
-1
+l
+t
+I
-1
-1
+!
+t
-1
CINEMATICA DEL BRAZO DEL ROBOT 69
En la tabla anterior, 82 se puede expresar en una ecuacin para diferentes

configuraciones de brazo y codo utilizando los indicadores de BRAZO y CODO
como:
82
+ (BRAZO COD0)/3 = a + K /3
(2.3-48)
donde el indicador de configuracin de brazo combinado K = BRAZO CODO

dar un valor de signo apropiado y el punto representa una operacin de
multiplicacin sobre los indicadores. De la geometra del brazo en la figura 2.21
obtenemos:
r =
R = J p; + p; + p;
sen
P,
!X
Jp; + p; -
df
(2.3-49)
P,
J p; + p; + p; - df
= -- R =
(2.3-50)
2
BRAZO r
cosa
cos
BRAZO Jp;
2 + R2
2
P1
d2
(2.3-51)
Jp; + p2y + p2z _ d22
/3 =
(2.3-52)
(df + an
2a2R
-
p; + p; + p; + a~ - df - (d + a~)
2a2Jp; + p; + p; - df
sen
/3 = Ji
- cos2
(2.3-53)
De las ecuaciones (2.3-48) a (2.3-53) encontramos las funciones de seno y coseno

de 92:
sen (!X
cos 82
sen a cos
=
=
cos
/3) =
sen
!X
cos (K
/3) +
/3 + (BRAZO CODO) cos
cos
!X
sen (K
sen
/3
cos a cos /3 - (BRAZO CODO) sen a sen
/3
(!X
+ K /3)
!X
/3)
(2.3-54)
(2.3-55)
De las ecuaciones (2.3-54) y (2.3-55) obtenemos la solucin para 82:
8 2 -_ tg _
(s e n 82)
- cos 82
(2.3-56)
Solucin para la articulacin 3. Para la articulacin 3, proyectamos el vector de

P<>sicin p sobre el plano x2y2 tal como se muestra en la figura 2.22. De esta
fi~ura obtenemos cuatro configuraciones de brazos diferentes. Cada configuraCton corresponde a valores diferentes de la articulacin 3 como se muestra en la
tabla 2.4, donde (2p4)y es la componente y del vector de posicin desde el origen
70 ROBOTICA:
Plano
co;-;TROL.
UETEC'C'ION,
YISION
E INTELIGENCIA
,,y,
D
BD=~
AD=
o.,=
ef -
R =.l
Jp2 .{ + p2y + pl~ - di2
/3
~D
0.1
X_
ef, -
/3
90
Brazo izquierdo y arriba
de (x2, y 2, z2) hasta el punto donde se intersectan los ltimos tres ejes de
articulacin.
De la geometra del brazo en la figura 2.22 obtenemos las ecuaciones siguientes para encontrar la solucin a ('3:
(2.3-57)
+ p; - d
R=
cos
<P
Jp;
p;
ai + (d +
2a Jd
+
sen
<P
sen
/3
ai) - R2
+ ai
BRAZO CODO
Jd
d4
+
a~
(2.3-58)
jt
cos2 <j)
/3
laJI
+
cos
jd
a~
(2.3-59)
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
71
Tabla 2.4 Diversas configuraciones de brazos para la articulacin 3

Configuraciones de brazo
(2p4)y
03
BRAZO CODO BRAZOCODO
Brazo IZQUIERDO y ARRIBA
) o
tj)-{3
-1
+l
-1
Brazo IZQUIERDO y ABAJO
~o
tj)-{3
-l
-1
+l
Brazo DERECHO y ARRIBA
~o
tj)-{3
+I
+l
+l
Brazo DERECHO y ABAJO
)O
tj)-{3
+l
-1
-1
De la tabla 2.4 podemos expresar 83 en una ecuacin para configuraciones de

brazos diferentes:
(2.3-60)
De la ecuacin (2.3-60), las funciones seno y coseno de 83 son, respectivamente:

sen 83
sen (</> -
cos 83 = cos (</> -
/3) =
/3) =
sen
cos
</>
</>
cos
cos
/3 /3 +
cos
sen
</>
</>
/3
(2.3-61)
sen /3
(2.3-62)
sen
i
De las ecuaciones (2.3-6 l) y (2.3-62), y utilizando las ecuaciones (2.3-57) a (2.3-59),

encontramos la solucin para 83:
(2.3-63)
Solucin del brazo para las ltimas tres articulaciones. Conociendo

los tres
primeros ngulos de articulacin, podemos evaluar la matriz 0T3 que se utiliza
extensivamente para encontrar la solucin de las tres ltimas articulaciones. La
solucin de las tres ltimas articulaciones de un robot PUMA se pueden encontrar haciendo que estas articulaciones cumplan los criterios siguientes:
l.
2.
Fijar la articulacin 4 de forma tal que una rotacin respecto de la

rotacin 5 alinear el eje de movimiento de la articulacin 6 con el vector
de aproximacin dado (a de T).
Fijar la articulacin 5 para alinear el eje de movimiento de la articulacin
6 con el vector de aproximacin.
3.
Fijar la articulacin 6 para alinear el vector de orientacin dado (o vector

de deslizamiento o y6) y el vector normal.
72
ROBOTICA: CONTROL, OETECCION, \ 1SION E INTELIGENCIA
Matemticamente, los criterios anteriores significan. respectivamente:
a
s
=
=
dado a
(a,,, a1, a,)7
(2.3-64)
Z5
dado a
(a,,, a1, az)7
(2.3-65)
Y6
dado s
(s..,, s1, s.)7 y n
(n..,, n1, n.)7
(2.3-66)
En la ecuacin (2.3-64) se puede tomar el vector producto vectorial como

positivo o negativo. Como resultado de esto, existen dos soluciones posibles para
(}4. Si el vector producto vectorial es cero (es decir, z3 es paralelo a a), indica el
caso degenerado. Esto sucede cuando los ejes de rotacin son paralelos para las
articulaciones 4 y 6. Indica que en esta configuracin de brazo particular sera
suficiente un robot de cinco ejes en lugar de uno que tenga seis.
Solucin de la articulacin 4. Ambas orientaciones de la mueca (ARRIBA y
ABAJO) se definen observando la orientacin del sistema de coordenadas de la
mano (n, s, a) con respecto al sistema de coordenadas (x5, y5, z5). El signo del
vector producto vectorial en la ecuacin (2.3-64) no se puede determinar sin
referirse a la orientacin del vector unitario n o s con respecto al vector unitario
x5 o y 5, respectivamente, que tienen una relacin fija con respecto al vector
unitario z4 a partir de la asignacin del sistema de coordenadas del elemento. (De
la figura 2.11 tenernos el vector unitario z4 apuntando en la misma direccin que
el vector unitario y 5.)
Comenzaremos con la hiptesis que el producto vectorial en la ecuacin
(2.3-64) tiene signo positivo. Esto se puede indicar mediante un indicador de
orientacin n que se define como:
si se est en el caso degenerado
si s y 5 #- O
(2.3-67)
n
s ~ s,
n Ys
si s y5
De la figura 2.11, y5 = z4, y utilizando la ecuacin (2.3-64), se puede reescribir el

indicador de orientacin O cerno:
o
n=
(Z3 X
~Z3 X
(Z3 X
n
llz3 X
si se est en el caso degenerado

a)
I
a)
aI
si
(z , X a)
si S (Z3 X a)
,f.
(2.3-68)
Si nuestra hiptesis del signo Je! producto vectorial en la ecuacin (2.3-64) no es

correcta, se cambiar posteriesmente utilizando la combinacin de MUECA y
el indicador de orientacin O. La n se utiliza para indicar la orientacin inicial
CINEMATICA
1abla 2.5
DEL BRAZO
DEL ROBOT
73
Diversas orientaciones para la mueca
Or entacin de mueca
l=s y5 o n y5
MUECA
M=MUECA sign (Q)
ABAJO
ABAJO
ARRIBA
ARRIBA
~o
<o
~o
< o
+I
+1
-1
-1
+I
-1
-1
+1
z4 (direccin positiva) a partir de la asignacin de los sistemas

del vector nitario
u
das
de
los elementos, mientras que el indicador MUECA especifica
de coordena
a
del
usuario
en la orientacin del subsistema MUECA de acuerdo
la preferenci
icin
dada
en
la ecuacin (2.3-33). Si ambos indicadores tienen el
con la defin
,
entonces
la
hiptesis
del signo dl producto vectorial en la ecuacin
mismo signo
{2.3-64) es correcta. En la tabla 2.5 se tabulan diversas orientaciones de MUECA que resultan de la combinacin de algunos valores de los indicadores de
MUECA y su orientacin.
Otra vez, observando la proyeccin del sistema de coordenadas (x y4, z4)
sobre el plano x3y3 y de la tabla 2.5 y la figura 2.23, se puede demostrar que es
cierto lo siguiente (vase Fig. 2.23):
(2.3-69)
donde x3
0T3,
respectivamente,
M = MUe y3 son los vectores columnas x e y. de
ECA sigo (!l), y la funcin sigo se define como:
SI X ~
(2.3- 70)
.
s1 gn (x) = { _+ 1
SI X
1------
z,
1
1
sen 84 = - z,
(
1
~J)
Figura 2.23
Solucin para la articulacin 4.
<
As, la solucin para 84 con los indicadores de MUECA y orientacin es:
(2.3-71)
Si ocurre el caso degenerado, se puede escoger para 84 cualquier valor conveniente mientras se satisfaga la orientacin de la mueca (ARRIBA/ABAJO). Esto se
puede asegurar siempre fijando 84 igual al valor actual de 84. Adems de esto, el
usuario puede activar el conmutador FLIP para obtener la otra solucin de 84,
esto es, 84 = 84 + 180.
Solucin de la articulacin 5. Para encontrar 85, utilizamos el criterio que alinea
el eje de rotacin de la articulacin 6 con el vector de aproximacin (o a = z5).
Mirando la proyeccin del sistema de coordenadas (x5, y5, z5) sobre el plano
x4y4, se puede demostrar que es cierto lo siguiente (vase Fig. 2.24):
(2.3-72)
donde x4 e y4 son, respectivamente, los vectores columnas x e y de T4 y a es el
vector de aproximatn. As, la solucin a 85 es:
- 85
5)
tg " i (sen 8
cos 85
tg_1 [(C1C23C4 - S1S4)ax

C1S23a.,,
Si 85
7t ~
5~
7t
+ (S1C23C4 + C1S4)ay - C4S23a=J

+ S1S23a, + C23a:
(2.3- 73)
O, entonces ocurre el caso degenerado.
Solucin de la articulacin 6. Hasta ahora hemos alineado el eje de la articulacin 6 con el vector de aproximacin. A continuacin necesitamos alinear la
orientacin de la pinza para facilitar la recogida del objeto. El criterio para hacer
cos 9~ = -(a y4)
X.
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
75
esto es fijar s = y6. Mirando la proyeccin del sistema de coordenadas de la

mano (n, s, a) sobre el plano x5y 5, se puede demostrar que se cumple (vase figura 2.25):
sen 06
n y5
cos
()6
S .
Y5
(2.3-74)
donde y s es el vector columna de T5 y n y s son, respectivamente, los vectores

normal y de deslizamiento. As, la solucin a 06 es:
C1C23S4)nx
C1C23S4}sx
+
+
(C1C4
(C1C4
- S1C23S4)n1
- S1C23S4)s1
+
+
(S4S23)n=J
(S4S23)s,
(2.3- 75)
La derivacin anterior de la solucin cinemtica inversa de un robot PUMA se
basa en la interpretacin geomtrica de la posicin del punto final del elemento 3
y del requisito de orientacin de la mano (o herramienta). Existe un inconveniente en la derivacin anterior para 04, 05 y 06. El criterio para fijar el eje de
movimiento de la articulacin 5 que es igual al producto vectorial de z3 y a puede
no ser vlido cuando sen Os : : : : O, lo que significa que Os : : : : O. En este caso, el
manipulador se hace degenerado con los ejes de movimiento de las articulaciones
4 y 6 alineadas. En este estado, solamente es significativo la suma de 04 y 06. Si
ocurre el caso degenerado, entonces somos libres de escoger cualquier valor para
64, y normalmente se utiliza su valor actual y a continuacin nos gustara tener
64 + 06 igual al ngulo total necesitado para alinear el vector de deslizamiento s
y el vector normal n. Si el conmutador FLIP est activado (es decir, FLIP = 1),
entonces ()4 = ()4 + n, Os = - Os Y 06 = 06 + n.
En resumen, existen ocho soluciones al problema cinemtico inverso de un
robot tipo PUMA de seis articulaciones. La solucin de las tres primeras articu-
X1
FiRUra 2.25 Solucin para la articulacin 6.
laciones (81, 82, 83) posicionan el brazo mientras que las soluciones de las ltimas
tres articulaciones (84, 85, 86) proporcionan la orientacin apropiada de la mano.
Hay cuatro soluciones para las tres primeras articulaciones. Dos para la configuracin del brazo del hombro derecho y dos para la configuracin del brazo
del hombro izquierdo. Para cada configuracin de brazo, las ecuaciones (2.3-47),
(2.3-56),(2.3-63),(2.3-71 ), (2.3-73) y (2.3- 75) dan un conjunto de soluciones (81, 82, 83,
84, 85, 86) y (81, 82, 83, 84 + n, -85, 86 + rr) (con el conmutador FLIP activado)
da otro conjunto de soluciones.
Ecuaciones de decisin para los indicadores de configuracin de brazo. La solucin derivada para un brazo tipo PUMA en la seccin anterior no es nica y
depende de los indicadores de configuracin de brazo especificados por el usuario. Estos indicadores (BRAZO, CODO y MUECA) se pueden determinar
tambin a partir de los ngulos de las articulaciones. En este apartado deducimos
las ecuaciones de decisin respectivas para cada indicador de configuracin de
brazo. El signo de la ecuacin de decisin (positivo. cero o negativo) proporciona
una indicacin de la configuracin de brazo tal como se definieron en las ecuaciones (2.3-31) a (2.3-33).
Para el indicador BRAZO, siguiendo la definicin del brazo DERECHO/IZQUIERDO, se puede encontrar una ecuacin de decisin como:
Z X p'
k
+sen el
Zo. -ijz-,-x-p- Zo.
o [z x p'I
g(8, p)
='j
Px
O
-p>'
sen 81
p., cos 81
(2.3-76)
llz1 x p'I
donde p' = (p.,, py, 0)7 es la proyeccin del vector de posicin p [Ec. (2.3-36)]
sobre el plano x0y0, z1
(sen 1 cos 81, 0)7 del vector tercera columna de 0T1
, y z0 = (O, O, 1)7. Tenemos las posibilidades siguientes:
l.
2.
3.
Si g(8, p) > O, entonces el brazo est en la configuracin de brazo

DERECHO.
Si g(8, p) < O, entonces el brazo est en la configuracin de brazo
IZQUIERDO.
Si g(8, p) = O, entonces el criterio para encontrar la configuracin de
brazo IZQUIERDO/DERECHO no se puede determinar unvocamente.
El brazo est dentro del cilindro de radio d2 en el espacio de trabajo
(vase Fig. 2.19). En este caso se toma por defecto el brazo a la DERECHA (BRAZO = + 1).
Como el denominador de las ecuaciones de decisin anteriores es siempre

positivo, la determinacin de la configuracin del brazo IZQUIERDO/DERECHO se reduce a comprobar el signo del numerador de g(8, p):
BRAZO
sign [g(8, p)]
sigo (-Px cos 81
A sen 81)
(2.3-77)
CINEMATICA
DEL
BRAZO
DEL ROBOT
77
donde la funcin signo se defini en la ecuacin (2.3-70). Sustituyendo las componentes x e y de p de la ecuacin (2.3-36), la ecuacin (2.3-77) se hace:
BRAZO = sign [g(O, p)] = sign [g(O)] = sign ( -d4S23
a3C23
a2C2)
(2.3-78)
De aqu que a partir de la ecuacin de decisin en la ecuacin (2.3-78) se puede

relacionar su signo con el indicador de BRAZO para la configuracin DERECHO/IZQUIERDO como:
+1
{ -1
=>
=>
brazo DERECHO
brazo IZQUIERDO
(2.3-79)
Para el indicador de brazo CODO, seguimos la definicin de brazo ARRIBA/

ABAJO para formular la correspondiente ecuacin de decisin. Utilizando (2p4)>.
y el indicador BRAZO en la tabla 2.4, la ecuacin de decisin para el indicador
CODO se basa en el signo de la componente y el vector de posicin 2 A3 3 A4 y el
indicador de BRAZO:
=>
=>
CODO encima mueca

CODO debajo mueca
(2.3-80)
Para el indicador MUECA, seguimos la definicin de MUECA ARRIBA/

ABAJO para obtener un producto escalar positivo de los vectores unitarios se y 5
(O Z4):
+ 1 si S z4 > 0
{ -1 Si S Z4 <
MUECA
Anulos de articulacin
~------~
Cinemtica directa
Posicin y orientacin
del efector final
+
Ecuaciones de decisin
BRAZO, CODO, MUiil'ECA
Cinemtica inversa
Figura 2.26 Simulacin en computador de la solucin de la articulacin.
(2.3-81)
78 ROBOTICA: CONTROL, OETECCION, VISION E INTELIGENCIA
Si s z4 = O, entonces el indicador MUECA se puede encontrar de:

sin z4 > O
MUECA= { ~:
sign (n z 4)
(2.3-82)
sin z4 < O
Combinando las ecuaciones (2.3-81) y (2.3-82) tenemos:

si S. Z4 #-
+ 1 => MU~ECA ARRIBA
MUECA = {sign (s. z4)
sign (n Z4)
{ - 1 => MUNECA ABAJO
Si S' Z4 =
(2.3-83)
Estas ecuaciones de decisin proporcionan una verificacin de la solucin del
brazo. Las utilizamos para prefijar la configuracin de brazo en el problema
cinemtico directo y a continuacin utilizamos los indicadores de configuracin
de brazo para encontrar la solucin cinemtica inversa (vase Fig. 2.26).
Simulacin en computador. Se puede escribir un programa para verificar la
validez de la solucin inversa del robot PUMA mostrado en la figura 2.11. El
programa genera inicialmente todas las posiciones en el espacio de trabajo del
robot dentro de los lmites de ngulos de las articulaciones. Se introducen en la
rutina cinemtica directa para obtener la matriz de brazo T. Estos ngulos de las
articulaciones se utilizan tambin para calcular las ecuaciones de decisin para
obtener los tres indicadores de configuracin de brazo. Estos indicadores, junto
con la matriz de brazo T, se dan a la rutina de la solucin inversa para obtener la
solucin de los ngulos de las articulaciones que deberan estar de acuerdo con
los deducidos previamente en la rutina cinemtica directa. En la figura 2.26 se
muestra un diagrama de bloques de la simulacin en computador.
2.4 OBSERVACIONES FINALES

Hemos discutido en este captulo el problema cinemtico directo e inverso. Se
definieron los parmetros de los elementos y de las articulaciones del brazo de un
robot y se introdujo una matriz de transformacin homognea 4 x 4 para
describir la localizacin de un elemento con respecto a un sistema de coordenadas fijo. Se dedujeron las ecuaciones cinemticas directas para un robot tipo
PUMA de seis ejes.
Se introdujo el problema cinemtico inverso y se utiliz la tcnica transformada inversa para determinar la solucin de los ngulos de Euler. Esta tcnica se
puede utilizar tambin para encontrar la solucin inversa de robots simples. Sin
embargo, no proporciona una comprensin geomtrica del problema. As se
introdujo un mtodo geomtrico para encontrar la solucin inversa de un robot
con seis articulaciones de tipo giratorio. Se determin la solucin inversa con la
ayuda de tres indicadores de configuracin de brazo (BRAZO, CODO y MUE-
DEL ROBOT
79
CA). Hay ocho soluciones para un robot tipo PUMA -cuatro soluciones para
Jas tres primeras articulaciones y para la configuracin del brazo, dos soluciones
ms para las ltimas tres articulaciones-. Se puede verificar mediante simulacin en computadora la validez de las soluciones cinemticas directa e inversa.
Con modificaciones y ajustes apropiados se puede generalizar el mtodo geomtrico a otros robots industriales simples con articulaciones de tipo giratorio. Los
conceptos cinemticos que se han tratado en este capitulo se utilizarn de forma
amplia en el captulo 3 para deducir las ecuaciones de movimiento que describen
Ja conducta dinmica de un brazo de robot.
REFERENCIAS
Ms informacin sobre matrices se puede encontrar en Bellman [ 1970], Frazer y
colaboradores. (1960] y Gantmacher (1959]. La utilizacin de matrices para
describir la posicin de un elemento mecnico rgido se puede ver en el trabajo de
Denavit y Hartenberg (1955] y en su libro (Hartenberg y Denavit (1964]). Ms
informacin sobre coordenadas homogneas se puede ver en Duda y Hart [ 1973]
y Newman y Sproull (1979]. La discusin sobre cinemtica es una extensin de
un trabajo de Lee [ 1982]. Una ampliacin sobre cinemtica se puede encontrar
en Hartenberg y Denavit (1964] y Suh y RadclifTe(1978]. Aunque la representacin matricial de los elementos presenta un enfoque sistemtico para resolver el
problema cinemtico directo, el mtodo vectorial para el problema cinemtico
presenta una representacin ms concisa de los mismos. Esto se estudia en un
trabajo por Chase (1;963]. Otros libros de robtica que analizan el problema
cinemtico son Paul (1981], Lee, Gonzlez y Fu (1986] y Snyder (1985].
Pieper [ 1968], en su tesis doctoral, utiliz un mtodo geomtrico para resolver el problema cinemtico inverso. El estudio de la tcnica transformada inversa
para encontrar la solucin del brazo se bas en el trabajo de Paul y col. (1981].
El mtodo geomtrico para resolver la cinemtica inversa de un manipulador de
seis elementos con articulaciones giratorias se bas en el trabajo de Lee y Ziegler
(1984]. La solucin del brazo de un robot tipo Stanford se puede ver en un
informe de Lewis [ 1974]. Otras tcnicas para resolver la cinemtica inversa se
pueden ver en los artculos de Denavit (1956], Kohli y Soni (1975], Yang
Y Freudenstein ( 1964], Yang [ 1969], Yuan y Freudenstein [ 1971 ], DufTy y
R.ooney (1975], Uicker y col. (1964]. Finalmente, el libro tutorial editado
por Lee, Gonzlez y Fu (1986] contiene numerosos trabajos recientes sobre
robtica.
PROBLEMAS
('i)
Cul es la matriz de rotacin para una rotacin de 30'' respecto del eje OZ, seguida
una rotacin de 60" respecto del eje OX, seguida por una rotacin de 90 respecto del
CJC OY?
\~
80 ROBOTICA: CONTROL, DETECCI01', \llSION E INTELIGE~CIA
),Cul es la matriz de rotacin para una rotacin de ngulo rjJ respecto del eje OX,
(~i2
-segtida por una rotacin de ngulo i/J respecto del eje O W, seguida por una rotacin de
ngulo O respecto del eje O Y?
..13 Encontrar otra secuencia de rotaciones que sea diferente del problema 2.2, pero que
.,~~lle
en la misma matriz de rotacin.
2.4 Deducir la frmula para sen (rp + 8) y cos (rp + O) desarrollando simblicamente dos
rotaciones de rjJ y (} utilizando los conceptos de matriz de rotacin estudiados en este
captulo.
(:5) Determinar una matriz T que representa una rotacin de ngulo a. respecto del eje
seguida por una traslacin de b unidades de distancia a lo largo del eje OZ, seguida
por una rotacin de ngulo rjJ respecto del eje O V.
"oz,
'2~Para
la figura que se muestra a continuacin, encontrar las matrices de transforma= 1, 2, 3, 4, 5.
' -ein homognea 4 x 4 ;-1A; y A; para i
Y1
Yo
( ~
~n
Para la figura que _se muestra en la pgina 81, encontrar las matrices de transforma
homognea 4 x 4 - 1 A; y O A; para i = 1, 2, 3, 4.
/~
Se ha preparado una estacin de trabajo de robot con una cmara de TV, tal como
: s~uestra en la seccin 2.2.11. La cmara puede ver el origen del sistema de coordenadas
ele la base donde se fija un robot de seis elementos, y tambin el centro de un cubo que
tiene que ser manipulado por el robot. Si se ha establecido un sistema de coordenada local
en el centro del cubo, entonces este objeto, tal como lo ve la cmara, se puede representar
por una matriz de transformacin homognea T1. Tambin el origen del sistema de
CINEMATICADEL BRAZO DEL ROBOT
81
.,.,
?\
5 in
1
1
1
1
1
1
1
4in
.j---- --------
,, 1},\
/
~l
'
"/
, ,.,.,.
...
Y1
~ll
1---....,__
---(
3 in
coordenadas de la base tal como lo ve la cmara se puede expresar por una matriz de
transformacin homognea T2, donde
-[
'~]
T,
y
-ri
o
o
-1
o
o
-1
-IO]
20
10
a) Desgraciadamente, despus de que se ha colocado el equipo y se han tomado estos

sistemas de coordenadas, alguien gira la cmara 90 respecto del eje z de la cmara. Cul
es la posicin/orientacin de la cmara con respecto al sistema de coordenadas de la base
del robot? b) Despus de que haya calculado la respuesta a la pregunta a), la misma
persona gir el objeto 90 respecto del eje x del objeto y lo traslad cuatro unidades de
distancia a lo largo del eje y girado. Cul es la posicin/orientacin del objeto con
respcc10 al sistema de coordenadas de la base del robot? Y con respecto al sistema de
COordenadas de la cmara girada?
~9 Hemos estudiado un mtodo geomtrico para encontrar la solucin cinemtica

.. ,versa de un robot tipo PUMA. Encontrar los requisitos computacionales de la solucin
.
de la articulacin en trminos de operaciones de multiplicacin y suma y el nmero de

llarnadas trascendentes (si el mismo trmino aparece dos veces, el clculo se debera contar
SOiamente una vez).
82 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, YISION E INTELIGENCIA

1
2;0k:stablecer el sistema de coordenadas del elemento ortonormal (x., Y;, z.) para i = 1,
2-,- ... , 6 para el robot PUMA 260 que se muestra en la figura siguiente y completar la
tabla.
Rotacin de cintura 330
ffi
Rotacin de hombro 3 IO
8,0\ ~
Rotacin de codo
/~ci~
:.;:"' ~'(
~:
_>;;;!:'~ndc
13 in
Parmetrosde coordenadasde
los elementos del robot PUMA
Articulacin
11,
~,
d,
a,
2
3
4
5
6
/~
Establecer un sistema de coordenadas de elementos ortononnales (x Y;, z;) para
'~i--4= 1, 2, ... , 5 para el robot MINI MOVER que se muestra en la figura siguiente y
completar la tabla.
'
CINEMATICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
83
Parmetros de coordenadas de los

elementos del robot MINIMOVER
Articulacin
O,
~,
a,
d,
3
4
5
'i:ii).
~n robot tipo Stanf?rd se ha movid.~ a las posiciones que se_.muestran ,en I~ figu,ra.
= (90, - 120, 22 cm, O", 70, 90 )7.
Establecer el sistema de coordenadas del elemento ortogonal (X, y, z) para i = l, 2, ... , 6
para este brazo y completar la tabla.
't;a(vana bles de articulacin en esta posicion son: q
Parmetros de coordenadas de los

elementos del robot Stanford
Aniculacin ;
3
4
5
6
2.Jl Utilizando las seis matrices i- 1 A (i = l, 2, .... 6) del robot PYMA de la figura 2.13,
encontrar su error de posicin al final del elemento 3 debido al error de medida de los tres
P11meros ngulos de articulacin (601, 602, 603). Es suficiente una solucin aproximada
de primer orden.
2.14 Repetir el problema 2.13 para el robot Stanford que se muestra en la figura 2.12.
~n
la figura se muestra un manipulador con dos grados de libertad. Si la longitud
de cada elemento es de un metro, establecer sus sistemas de coordenadas de elementos y
encontrar O A I y I A2 Encontrar la solucin cinemtica inversa para este manipulador.
84 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION. VISION E INTELIGENCIA
/~
-\
'----lW
Para el robot PUMA que se muestra en la figura 2.J 1, suponer que hemos
encontra- do correctamente la solucin de las tres primeras articulaciones (81; 82, 83) y
que se dan
1
; A;, i = 1, 2, ... , 6 y T6. Utilizar la tcnica de transformacin inversa para encontrar la
solucin de los tres ltimos ngulos de las articulaciones (04, 05, 06). Compare
sus soluciones con las ecuaciones dadas (2.3-71 ). (2.3-73) y (2.3-75).
2.17 Para el robot Stanford de la figura 2.12, obtener la solucin de los tres primeros
ngulos de articulacin. Puede utilizar cualquier mtodo con el que se sienta cmodo.
2.18
Repetir el problema 2.16 para el robot Stanford de la figura 2.12.
CAPITULO
TRES
DINAMICA DEL BRAZO DEL ROBOT
Lo inevitable se supera mediante el esfuerzo
Olicer Wendell Holmes
3.l
INTRODUCCION
~}1
La dinmica del robot trata con las formulaciones matemticas de las ecuaciones
de movimiento del brazo. Las ecuaciones de movimiento de un manipulador son
un conjunto de ecuaciones matemticas que describen su conducta dinmica.
Tales ecuaciones son tiles para la simulacin en computadora del movimiento del
robot, el diseo de ecuaciones de control apropiadas para el robot y la evaluacin del diseo y estructura del brazo. En este captulo nos centraremos en la
formulacin, caractersticas y propiedades de las ecuaciones dinmicas de movimiento que son adecuadas con fines de control. El objetivo del control de un
manipulador basado en computadora es mantener la respuesta dinmica del
mismo de acuerdo con algn rendimiento del sistema preespecificado y objetivos
deseados. En general, el rendimiento dinmico de un manipulador depende directamente de la: eficacia de los algoritmos de control y de su modelo dinmico. El
problema de control consiste en obtener modelos dinmicos del brazo del robot
Iisico y a continuacin especificar leyes o estrategias de control correspondientes
para conseguir la respuesta y rendimiento del sistema deseado. Este captulo trata
principalmente con la primera parte del problema de control del manipulador;
esto es, la modelizacin y evaluacin de las propiedades y conducta dinmica de
robots controlados por computadora.
El modelo dinmico de un robot se puede obtener a partir de leyes fisicas
conocidas tales como las leyes de la mecnica newtoniana y lagrangiana, Esto
conduce al desarrollo de las ecuaciones de movimiento dinmico para las diversas articulaciones del manipulador en trminos de los parmetros geomtricos e
inerciales de los elementos. Mtodos convencionales como las formulaciones de
Lagrange-Euler (L-E) y Newton-Euler (N-E) se pueden aplicar entonces sistemticamente para desarrollar las ecuaciones de movimiento del robot. De estas dos
formulaciones se obtienen diferentes formas de describir la dinmica del brazo del
robot, tales como las ecuaciones de Lagrange-Euler de Uicker (Uicker [1965],
Bcjczy [1974]), las ecuaciones recursivas de Lagrange de Hollerbach (Hollerbach ;
[1980]), las ecuaciones de Newton-Euler de Luh (Luh y col. [1980a]) y las
ecuaciones generalizadas d' Alembert y Lee (Lee y col. [ 1983]). Estas ecuaciones
de movimiento son equivalentes unas a otras en el sentido de que describen la
Conducta dinmica del mismo robot fisico. Sin embargo, sus estructuras pueden
diferir porque se obtienen por diversas razones y objetivos. Algunas se obtienen

para lograr tiempos de clculo rpido en la evaluacin de los pares de las
articulaciones nominales para controlar el manipulador, otras se obtienen para
facilitar el anlisis y la sntesis de control, y todava otras se obtienen para
mejorar la simulacin en una computadora del movimiento del robot.
La obtencin del modelo dinmico de un manipulador basado en la formulacin de L-E es simple y sistemtica. Suponiendo el movimiento del cuerpo rgido,
las ecuaciones de movimiento resultante, excluyendo la dinmica de los dispositivos de control electrnico, huelgo y el rozamiento de los engranajes, son un
conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas de segundo orden.
Bejczy [1974], utilizando la representacin de la matriz de transformacin homognea 4 x 4 de la cadena cinemtica y la formulacin lagrangiana, ha demostrado que las ecuaciones de movimiento dinmico para un robot tipo Stanford de
seis articulaciones son fuertemente no lineales y constan de carga inercial, fuerzas
de reaccin de acoplo entre las articulaciones (Coriolis y centrfuga) y efectos de
carga de la gravedad. Ms an, estos pares/fuerzas dependen de los parmetros
fisicos del manipulador, de la configuracin instantnea de las articulaciones, de
la velocidad y aceleracin de las articulaciones y de la carga que est soportand~/
el robot. Las ecuaciones de movimiento L-E proporcionan ecuaciones de estado
explcitas para la dinmica del robot y se pueden utilizar para analizar y disear
estrategias de control avanzadas en el espacio de las variables de articulacin. En
una menor medida se estn utilizando para resolver el problema dinmico directo,
esto es, dadas las fuerzas/pares deseadas, se utilizan las ecuaciones dinmicas
para resolver las aceleraciones de las articulaciones, que se integran a continua
cin para obtener las coordenadas y velocidades generalizadas; o para el problema dinmico inverso, esto 'es, dadas las coordenadas generalizadas deseadas y sus
primeras dos derivadas respecto del tiempo, se calculan las fuerzas/pares generalizados. En ambos casos se puede necesitar calcular los coeficientes dinmicos D;,
h;k,,. y C; definidos en las ecuaciones (3.2-31), (3.2-33) y (3.2-34), respectivamente.
Desgraciadamente, el clculo de estos coeficientes requiere una relativa cantidad
de operaciones aritmticas. As las ecuaciones de L-E son muy dificiles de utilizar
con fines de cr .rol en tiempo real a menos que se simplifiquen.
Como una alternativa para derivar ecuaciones de movimientos ms eficientes,
se dirigi la atencin a desarrollar algoritmos para calcular las fuerzas/pares
generalizados basados en las ecuaciones de movimientos de N-E (Arrnstrong
[1979], Orn y col. [1979], Luh y col. [!980a]). La obtencin es simple, pero
engorrosa, e implica trminos de producto vectorial. Las ecuaciones dinmicas
resultantes, excluyendo la dinmica del dispositivo de control, huelgo y roza
miento de los engranajes, son un conjunto de ecuaciones recursivas hacia adelante y hacia atrs. Este conjunto de ecuaciones se puede aplicar secuencialmente a
los elementos del robot. La recursin hacia adelante propaga la informacin
cinemtica -tal como velocidades lineales, velocidades angulares, aceleraciones
angulares y aceleraciones lineales del centro de masa de cada elemento- desde el
sistema de coordenadas inercial hasta el sistema de coordenadas de la mano. La
recursin hacia atrs propaga las fuerzas y momentos ejercidos sobre cada
elemento desde el efector final del manipulador hasta el sistema de referencia de
DINAMICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
87
la base. El resultado ms significativo de esta formulacin es que el tiempo de

cl'culo de las fuerzas/pares generalizados se encuentra que es linealmente proporcional al nmero de articulaciones del brazo e independiente de la configuracin del mismo. Con este algoritmo se puede realizar el control en tiempo real
sirnple del robot en el espacio de las variables de articulacin.
La ineficacia de las ecuaciones de movimiento de L-E surge parcialmente de
las matrices homogneas 4 x 4 que describen la cadena cinemtica, mientras que
la eficacia de la formulacin de N-E se basa en la formulacin vectorial y en su
naturaleza recursiva. Para mejorar an ms el tiempo de clculo de la formulacin Iagrangiana. Hollerbach (1980] ha explotado la naturaleza recursiva de la
formulacin lagrangiana. Sin embargo, las ecuaciones recursivas destruyen la
estructura del modelo dinmico que es bastante til en darnos comprensin
para el diseo del controlador en el espacio de estados. Para el anlisis del
control en el espacio de estado, sera interesante obtener un conjunto explcito de
ecuaciones diferenciales en forma cerrada (ecuaciones de estado) que describan la
conducta dinmica del manipulador. Adems, se deberan identificar fcilmente
las fuerzas de interaccin y de reaccin de los acopios en las ecuaciones, de
manera que se pudiese disear un controlador apropiado para compensar sus
efectos (Huston y Kelly (1982]). Otro mtodo para obtener un conjunto eficiente
de ecuaciones de movimiento explcito se basa en el principio de d'Alembert
generalizado para deducir las ecuaciones de movimiento que se expresan explcitamente en forma vectorial matricial apropiadas para el anlisis del control. Adems, para permitir un clculo ms rpido de los coeficientes dinmicos que las
ecuaciones de L-E, las ecuaciones de movimiento de G-D explcitamente identifican las contribuciones de los efectos traslacionales y rotacionales de los elementos. Tal informacin es til para disear un controlador en el espacio de estado.
La eficacia computacional se consigue a partir de una formulacin compacta
utilizando matrices de transformacin de Euler (o matrices de rotacin) y vectores de posicin relativos entre articulaciones.
En este captulo se obtienen y analizan las ecuaciones de movimiento de L-E,
N-E y G-D de un robot y se estudia un manipulador con dos elementos para
ilustrar el uso de estas ecuaciones. Como el clculo de los coeficientes dinmicos
de las ecuaciones de movimiento es importante tanto en el anlisis del control
como en la simulacin por computadora, se tabulan las operaciones matemticas
Y la carga computacional de estas ecuaciones de movimientos. El clculo de las
fuerzas/pares aplicadas a partir de las ecuaciones de movimientos de d'Alembert
generalizadas es del orden O(n3), mientras que en las ecuaciones N-E son del
orden de O(n4) [o del orden O(n3) si se optimizan] y las ecuaciones de N-E son
del orden de O(n), donde n es el nmero de grados de libertad del brazo.
3.2 FORMULACION
DE LAGRANGE-EULER
{J~
las ecuaciones de movimiento general de un manipulador se pueden expresar

convenientemente mediante la aplicacin directa de la formulacin de LagrangeEuler a sistemas no conservativos. Muchos investigadores utilizan la representa-
88
cin matricial de Denavit-Hartenberg para describir el desplazamiento espacial

entre los sistemas de coordenadas de elementos vecinos para obtener la informa.
cin cinemtica del elemento, y emplean la tcnica dinmica lagrangiana para
deducir las ecuaciones dinmicas de un manipulador. La aplicacin directa de la
formulacin dinmica lagrangiana, junto con la representacin de coordenadas
de elementos de Denavit-Hartenberg,
resulta en una descripcin algortmica
conveniente y compacta de las ecuaciones de movimiento del manipulador. El
algoritmo se expresa mediante operaciones matriciales y facilita tanto el anlisis
como su realizacin en una computadora. La evaluacin de la dinmica y de las
ecuaciones de control en trminos funcionalmente explcitos se basar en el
algoritmo matricial compacto deducido en esta seccin.
La derivacin de las ecuaciones dinmicas de un manipulador con n grados
de libertad se basa en la comprensin de:
l. La matriz de transformacin de coordenadas homogneas 4 x 4, i - 1 A,
que describe la relacin espacial entre los sistemas de coordenadas del
elemento i-simo y el elemento (i - 1 )-simo. Relaciona un punto fijado
en el elemento i expresado en coordenadas homogneas con respecto al
sistema de coordenadas i-simo en el sistema de coordenadas (i - 1)simo.
2. La ecuacin de Lagrange-Euler
d (L)
dt
o~
oL
l, 2, ... , n
(3.21)
oq
donde
funcin lagrangiana = energa cintica K - energa potencial P",

energa cintica total del brazo;
energa potencial total de brazo;
q = coordenada generalizada del brazo;
<j1 = primera ierivada respecto al tiempo de la coordenada generaliza
da q1;
t; = fuerza (o par) generalizado aplicado al sistema en la articulacin i
para mover el elemento i.
L
K
P
=
=
De las ecuaciones de Lagrange-Euler anterior se requiere escoger adecuadamente

un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el sistema. Las coordenadas generalizadas se utilizan como un conjunto de coordenadas convenientes
que describen completamente la localizacin (posicin y orientacin) de un sistema con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Para un manipulador
simple con articulaciones giratorias-prismticas, estn disponibles diversos con
juntos de coordenadas generalizadas para describir el manipulador. Sin embargo,
como las posiciones angulares de las articulaciones estn disponibles rpida
mente porque se pueden medir mediante potencimetros o codificadores u otros
dispositivos sensores, proporcionan una correspondencia natural con las coorde
nadas generalizadas. Esto, en efecto, corresponde a las coordenadas generalizadas
DINAMICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
89
con las variables articulaciones definidas en cada una de las matrices de transformacin de coordenadas de elementos 4 x 4. As, en el caso de una articulacin
giratoria, q = O;, que es el margen del ngulo de la articulacin; mientras que
para una articulacin prismtica, q = d que es la distancia recorrida por la
articulacin.
La siguiente deduccin de las ecuaciones de movimiento de un manipulador
con n grados de libertad se basa en las matrices de transformacin de coordenadas homogneas desarrolladas en el captulo 2.
3.2.1
Velocidades de las articulaciones de un robot
~t
La formulacin de Lagrange-Euler requiere el conocimiento de la energa cintica
del sistema fsico, que a su vez requiere un conocimiento de la velocidad de cada

articulacin. En esta seccin se deducir la velocidad de un punto fijado en el
elemento i y se explorarn los efectos del movimiento de otra articulacin sobre
todos los puntos en este elemento.
Con referencia a la figura 3.1, sea 'r; un punto fijo y en reposo en el elemento i
y expresado en coordenadas homogneas con respecto al sistema de coordenadas
del elemento i-simo,
, -[n-
(x,, y,,
z,,
!)'
(3.2-
2)
Sea 0r el mismo punto ir; con respecto al sistema de coordenada de la base, i - t A;

la matriz de transformacin de coordenadas homogneas que relaciona el desplazamento espacial del sistema de coordenadas del elemento i-simo con respecto
al sistema de coordenadas del elemento (i - 1 )-simo y O A; la matriz de transformacin de coordenadas que relaciona el sistema de coordenadas i-simo con el
sistema de coordenadas de la base; entonces 0r est relacionado con el punto ir;
por
(3.2-3)
donde
(3.2-4)
Si la articulacin i es de revolucin, se sigue de la ecuacin (2.2-29) que la forma

&eneral de
r-
1 A;
est dada por
_ 1
AI
f
=
e,
cos
sen O;
o
o
- cos CL sen O sen CL; sen O;

-sen O! cos O
cos ci; cos O;
sen o,:1
cos O!
a,
cosO,l
a; sen O;
d
1
(3.2-5)
90 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VJSION E INTELIGENCIA
Figura 3.1
Un punto ir; en el elemento t.

'
1
o, si la articulacin i es prismtica, de la ecuacin (2.2-31 ). la forma general de

;-1A; es
[cm 8,
i-1A;
sen u;
-cosa. sen fJ
cos :X cos () i
sen a.;
sen a. sen fJ
- sen a, cos fJ;
cos :X
(3.2-6)
En general, todos los elementos no nulos en la matriz O A; son una funcin de

(fJ1, fJi, ... , fJ;), y a.;, a.; d, son parmetros conocidos de la estructura cinemtica
del brazo y fJ o d, es la variable de articulacin del elemento i. Con el fin de
deducir las ecuaciones de movimiento que son aplicables a ambas articulaciones
de revolucin y prismtica, utilizaremos la variable q para representar la coordenada generalizada de la articulacin i que es fJ (para una articulacin giratoria) o
d, (para una articulacin prismtica).
Como el punto ir; est en reposo en el elemento i, y suponiendo el movimien
to del cuerpo rgido, otros puntos asi como el punto 'r, fijado en el elemento i Y
expresado con respecto al sistema de coordenadas i-simo tendrn velocidad nula
con respecto a dicho sistema de coordenadas (que no es un sistema inercial). La
DINAMICA DEL BRAZO DEL ROBOT
91
velocidad de 'r, expresada en el sistema de coordenadas de la base (que es un

sistema inercial) se puede expresar como
i-lA
1A
1.
A;'r
-A
OA
1
1A
+ ...
L .
u:,OA
=i
A;'r
1=1
(3.2- 7)
'r,
-:,-rt
uqj
La forma compacta anterior se obtiene porque ir = O. La derivada parcial de O A

con respecto a qi se puede calcular fcilmente con la ayuda de una matriz Q que,
para una articulacin de revolucin, se define como
-1
Q, ~
[f
o
o
o
o
o
o
o
~]
(3.2-8a)
y, para una articulacin prismtica, como

(3.2-8b)
Entonces se sigue que

(3.2-9)
Por ejemplo, para un brazo con todas las articulaciones giratorias, q
utilizando la ecuacin (3.2-5),
[-~ne
cos 8.'
ai-1A
06
. [I
a,
-1
-cos 'X cos 8 sen 'X; cos 8

- cos a, sen 8 sen 'X sen 8
o
o
[eme,
o
o
- cos 'X sen 8
-a
~ne ]
cos 8;
o
o
sen 'X sen 8;
cose,]
8;, y
o
o
o
== Q/-IA
o
o
o
sen 8;
o
o
cos IJ. cos 8

sen x,
- sen a; cos 8
cos '.1.
a;
sen 8;
d
l
92
De aqu, para i
;iOA
_u_
oq1
=
=
1, 2, ... , n,
{A 1 1A
J-2A
J-1
QJ i : lAJ
lA
i-
para}~
para}>
(3.2-10)
La ecuacin (3.2-10) se puede interpretar como el efecto del movimiento de la

articulacin} sobre todos los puntos en el elemento i. Con el fin de simplificar las
notaciones, definamos Ui ~ o AJoqJ, entonces la ecuacin (3.2-10) se puede
escribir como sigue para i = 1, 2, ... , n,
ulj -- A j-1 Q j J-1A j para j ~
(3.2-11)
{o
para}>
Utilizando esta notacin,
se puede expresar como

(3.2-12)
Conviene apuntar que la derivada parcial de i-1A con respecto a q resulta en

una matriz que no retiene la estructura de una matriz de transformacin de
coordenadas homogneas. Para una articulacin giratoria, el efecto de prernulti/ plicar i- i A por. Q es equivalente a intercambiar los elementos de las dos
primeras filas de - 1 A, negando todos los elementos de la primera fila y anulan! do todos los elementos de las filas tercera y cuarta. Para una articulacin
prismtica, el efecto es sustituir los elementos de la fila tercera por la fila cuarta
de ,- 1 A1 y anular los elementos en las otras filas La ventaja de utilizar las
matrices Q; es que podemos todava utilizar las matrices i- 1 A y aplicar las
operaciones anteriores a ,- i A cuando se premultiplica por la Q.
A continuacin necesitamos encontrar los efectos de interaccin entre las
articulaciones como
Q 1 1-1A i
A j-1
Q j J-1A
A 1-1 Q1 1-IA j-1 Qj J-IA
i ~ k ~ j
1-1
i~j~k
(3.2-13)
i<Joi<k
Por ejemplo, para un robot con todas las articulaciones giratorias, i

y q1 = 81, as que
=j =k =
La ecuacin (3.2-13) se puede interpretar como los efectos de interaccin del

movimiento de la articulacin j y k sobre todos los puntos en el elemento i.
DINAMICA
J,.2.2 Energa cintica de un manipulador
DEL BRAZO
DEL ROBOT
93
(P~
pespus de obtener la velocidad de la articulacin de cada elemento, necesitamos

encontrar la energa cintica del elemento i. Sea K la energa cintica del elemento;,; = l, 2, ... , n, expresada en el sistema de coordenadas de la base, y sea dK
la energa cintica de una partcula con masa diferencial dm en el elemento i;
entonces
dK
=
=
(:x + y + i) dm
1/2
traza (vvT) dm = 1/2
1/2
Tr (vvT) dm
(3.2-14)
donde se utiliza un operador traza" en lugar de un producto escalar de vectores

en la ecuacin anterior para formar el tensor del cual se puede obtener la matriz
de inercia del elemento J (o matriz de pseudoinercia). Sustituyendo V de la
ecuacin (3.2-12), la energa cintica de la masa diferencial es
(3.2-15)
La matriz Uij es la velocidad de cambio de los puntos ('rJ sobre el elemento i

relativo al sistema de coordenadas de la base cuando qj cambia. Es constante
para todos los puntos en el elemento i e independiente de la distribucin de masa
del elemento i. Tambin q son independientes de la distribucin de masa del
elemento i, as que, sumando todas las energas cinticas de todos los elementos
y poniendo la integral dentro de los corchetes,
(3.2-16)
El trmino integral dentro del corchete es la inercia de todos los puntos en el

elemento i, de aqu que:
f
f xf dm fxYd
X dm ]
,
m
1
r
fxydm
XZdm
f
yf
dm
..------J
== f r. r: dm ==
. dm
/
f y:
{3.2-17)
dm
-r
f -~
'
Tr A ~
L01,
[ f X:
dm fxdm
f y:dm
f : dm
fy,dm
f:dm
f-dm
.
f dm
94
ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VIS!ON E INTELIGENCIA
donde \ = (X, y, z;, 1 )7 se define como antes. Si utilizamos el tensor de inercia /11
que se define como
donde los ndices i, j, k indican los ejes principales del sistema de coordenadas
i-simo y i es la delta de Kronecker, entonces J; se puede expresar en un tensor
de inercia como
-(u
+ t., + t.,
t.,
fu
m;i;
ly,
mJ
i; - i:
m.i
t.,
J
/JU
- I,, + i:
2
i:
t;
m.x,
my
l}C}C
2
m.i
m
(3.2-18)
o utilizando el radio de giro del cuerpo rgido m, en el sistema de coordenadas

Z), se puede expresar J como
(x;, y1,
- k, 1 + k22 + k33
kf,2
k,3
x,
k23
k, 1 + k22 - k33
kf,2
J;=m
k, 1 - k22 + k33
2
k,3
k23
t,
l
(3.2-19)
donde km es el radio de giro del elemento i respecto del eje yz e i' = (x1, Ji, i,,
J )7 es el vector centro de masa del elemento i desde el sistema de coordenadas del
elemento i-simo y expresado en el sistema de coordenadas del elemento i-si1110,
De aqu que la energa cintica total K de un brazo de robot es
(3.2-20)
DINAMICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
95
que es una cantidad escalar. Obsrvese que las J son dependientes de la distribucin de masa del elemento i y no de su posicin o velocidad de movimiento y se
expresan con respecto al sistema de coordenadas i-simo. Por tanto, la J;
se necesita calcular solamente una vez para obtener la energa cintica de un
robot.
3.2.3
Energa potencial de un manipulador
Sea P la energa potencial total de un robot y sea P; la energa potencial de cada

uno de sus elementos:
i
1, 2, ... , n
(3.2-21)
y la energa potencial total del brazo se puede obtener sumando todas las
energas potenciales en cada elemento,
"
(3.2-22)
P =
P;
mg(A; ii')
i= 1
"
i= 1
donde g = (g.,,, gy, g=, O) es un vector fila de gravedad expresado en el sistema de

coordenadas de la base. Para un sistema de nivel, g = (O, O, -lgl, O) y g es la
constante gravitacional (g = 9,8062 m/s2).
3.2.4 Ecuaciones de movimiento de un manipulador
De las ecuaciones (3.2-20) y (3.2-22), la funcin lagrangiana l
= K -
P est
dada
por
1/2
m;g(A/r;)
i=I
j=l
k=I
[Tr (UiiJi V~),tqk]
(3.2-23)
i=l
Aplicando la formulacin de Lagrange-Euler a la funcin lagrangiana del brazo

[ecuacin (3.2-23)] da el par generalizado necesario 'i para que el actuador de la
articulacin i mueva el elemento i-simo del manipulador,
T ~ :
(:~)
;~
==
I,
i=t
s=:
Tr(VikJiVJ)iik
I,
'f. 'f.
j=ik=lm=I
Tr(Vik,,.JiVJ)qkq,,. - I,migV/ri
i=t
(3.2-24)
96 ROBOl .CA: CONTROL. DETECCION, VISlON E l;',;TELIGENCIA
para i = 1, 2, ... , n. La ecuacin anterior se puede expresar de forma mucho ms

simple en notacin matricial como
r, =
k=l
DAk
L" L"
k=I
m=I
hikmikim
1, 2, ... , n
(3.2-25)
o en forma matricial como

r(t) = D(q(t)) ij(t)
+ h(q(t), q(t)) + c(q(t))
(3.2-26)
donde
r(t) = n x I vector par generalizado aplicado en las articulaciones i = 1, 2, ... ,
n; esto es,
(3.2-27)
q(t)
un vector n x
expresar como
de las variables de articulacin del brazo y se puede

(3.2-28)
q(t)
un vector n x I de la velocidad de las articulaciones del brazo y se puede

expresar como
(3.2-29}
ij(t)
un vector n x I de la aceleracin de las variables de articulacin q(t) y se

puede expresar como
ij(t) = (q'(t), ij2(t), ... , ij.(t))T
D(q)
una matriz simtrica inercial relacionada con la aceleracin n x n cuyos

elementos son
i, k = 1, 2, ... , n
(3.2-31)
" Tr (V,kJJVJ)
o;
h(q. q)
j = nx (i. k)
un vector de fuerza de Coriolis y centrfuga no lineal n x 1 cuyos

elementos son
h(q, q)
donde
(3.2-30)
h,
(h1, h2,
..
l = 1 m= 1
hk,,.iki,,.
h.f
1, 2, ... , n
(3.2-32)
hikm
j=mhfi.k,m)
Tr (VjkmJJ Uj)
i, k, m
1, 2, ... , n
(3.2-33)
DINAMICA
c(q)
DEL BRAZO
DEL ROBOT
97
un vector de la fuerza de la carga gravitatoria n x I cuyos elementos son

n
(-migVi/i)
donde
1, 2, ... , n
(3.2-34)
j=i
J.2.5 Ecuaciones de movimiento de un brazo de robot

con articulaciones giratorias
Si las ecuaciones dadas por (3.2-26) a (3.2-34) se amplan para un robot de seis
ejes con articulaciones giratorias, entonces se obtienen los trminos siguientes
que forman las ecuaciones de movimiento dinmico:
La matriz simtrica relacionada con la aceleracin, 0(9). De la ecuacin (3.2-31)

tenemos
0(9)
o.,
(3.2-35)
donde
Tr(U11J1Ufi)
+ Tr(U21'J2UL)
+ Tr(U41J4U) + Tr(U51J5Uf)
D11
D12
D21 = Tr(U22J2UL)
+ Tr(U52J5U;)
Du
D14
Du
D,6
+ Tr(U31J3Uft) +
+ Tr(U61J6U)
+ tr(U32J3Uft) + Tr(U42.J4U) +
+ Tr(U62J6U)
D31 = Tr(U33J3Uf)
+ Tr (U63J6 U1)
D41
D51
= Tr(U55J5U;)
Tr(U44J4U)
+ Tr(U43J4U)
+ Tr(U53J5Uf1)
+ Tr(U54J5Ufi)
+ Tr(U64J6U1)
+ Tr(U6sJ6U1)
D61 = Tr (U66J6 U)
D22 = Tr (U22J2U{2)
Tr (U52J5U{2)
D23 = D32
+ Tr (U32J3Uf2)
Tr(U33J3Uf2)
Tr (U63J6 U2)
+ Tr (U42J,U2) +
Tr (U62J6U2)
+ Tr(U,3J,U2) + Tr(U53J5Uf2)
98
D36
ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VTSION E INTELIGENCIA
=
=
Tr(U55J5U;2)
+Tr(U65J6U2)
D25
Ds2
D26
D62
D33
Tr(U33J3UL) + Tr(U43J4UL)
+ Tr (U63J6 U3)
D34
D43
D3s
D53
D63
D44
=
=
Tr(U66J6U2)
+ Tr(U53J5U;3)
Tr(U44J4UI3)
+ Tr(U54JsU;3)
Tr(U55J5U;3)
+ Tr(U65J6U3)
= Tr (U66J6 U3)
= Tr(U44J4UI4) +
+ Tr (U64J6 U3)
Tr(Us4JsU;4) + Tr(U64J6U4)
D45
D54
= Tr(UssJsU;4) + Tr(U65J6U4)
D46
D64
Tr (U66J6 U4)
o.,
Tr(UssJs U;s) + Tr (U6sJ6 Us)
Ds6
D6s
D66
Tr (U66J6 U6)
Tr (U66J6 Us)
Los trminos de Coriolis y centrifugo, b(O, ). Los coeficientes relacionados con la

velocidad en los ~rminos de Coriolis y centrfugos en las ecuaciones (3.2-32) y
(3.2-33) se puede1 expresar separadamente mediante matrices simtricas 6 x 6
representadas po H;. v y definidas de la forma siguiente:
H;.v
h23
h4 h24
h4
h;23 h24
h33 h34
h34
h44
h5
h25
hi35
h45
h55
hi56
hil6
hi26
h, 36
hi46
hi56
hi66
h;12
h;12
h22
h13
h3
h5
hil6
h25
hi26
h35
h45
hi36
hi46
= l , 2, ... , 6
Sea un vector columna de seis dimensiones representado por

variables de las seis articulaciones:
(3.2-36)
la velocidad de las
(3.2-37)
Entonces la ecuacin (3.2-32) se puede expresar en la siguiente forma de producto

de matriz-vector:
h.
7ff.
1,1)
(3.2-38)
donde el subndice i se refiere a la articulacin (i = 1, ... , 6) en el cual

manifiestan los pares o fuerzas inducidos por la velocidad.
se
DINAMICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
99
La expresin dada por la ecuacin (3.2-38) es una componente en un vector

columna de seis dimensiones representado por h(O, 9):
h
9TH l. v9
9T
h2
H2.v8
(3.2-39)
IJTH3.v
h(O, 9)
h3
h4
9TH4, v
hs
IJTHs,v
h6
{jTH6,v9
Los trminos de gravedad, c(O). De la ecuacin (3.2-34) tenemos

(3.2-40)
donde
Ci
C2
= -(m1gU111r1
+ msgUs1 5i\
-(m2gU2/i'2
+ m6gU62 6i'6)
+
+
+
m2gU2/r2
m3gU3/i\
4i'4
m4gU424i'4
+ msgUs/rs +
+
5i's
+
msgU54
Cs
-(msgUs/i's
m6gU6s6r6)
-m6gU66
m4gU4/i'4
C4
+
+
c6
m3gU313i'3
m6gU616i'6)
-(m3gU3/r3
4r4
-(m4gU44
C3
m4gU43
msgUs3
5i's
t m6gU63 6i'6)
m6gU6/r6)
6r6
Los coeficientes C, Dik y hikm en las ecuaciones t).2-31) a ~3.234) son funciones
de ambas, las variables de articulacin y los parmetros inerciales del manipulador y algunas veces se llaman los coeficientes dinmicos del manipulador. El
significado fisico de estos coeficientes dinmicos se puede ver fcilmente de las
ecuacones de movimiento de Lagrange-Euler dadas por las ecuaciones (3.2-26) a
(3.2-34):
l. El. coeficiente c, representa los trminos de carga gravitatoria debido a los
elementos y se define por la ecuacin (3.2-34).
2. El coeficiente
est relacionado con la aceleracin de las variables de
articulacin y se define por la ecuacin (3.2-31). En particular, para i =
k,
D est relacionado con la aceleracin de la articulacin i donde el par
D,.
motor r, acta, mientras que para i :/:- k, Dk est relacionado al par (o

fuerza) de reaccin inducido por la aceleracin de la articulacin k y
actuando en la articulacin i o viceversa. Como la matriz de inercia es
simtrica y Tr (A) = Tr (A T), se puede demostrar que Du. =
Du.
100
ROBOTJCA: C,ONTROL, DETECCION, VJSION E INTELIGENCIA
3.
El coeficiente hikm est relacionado con la velocidad de las variables de la

articulacin y se define por las ecuaciones (3.2-32) y (3.2-33). Los dos
ltimos ndices, km, estn relacionados con las velocidades de las articulaciones k y m, cuya interrelacin dinmica induce un par (o fuerza) de
reaccin en la articulacin i. As el primer ndice i se relaciona siempre
con la articulacin donde se siente los pares (o fuerzas) de reaccin
inducidos por la velocidad. En particular, para k = m, hikk est relacionado con la fuerza centrifuga generada por la velocidad angular de la
articulacin k y sentida en la articulacin i, mientras que para k -/:- m,
hk,,, est relacionada con la fuerza de Coriolis generalizada por las velocidades de las articulaciones k y m y sentida en la articulacin i. Se
observa que, para un i dado, tenemos hikm = h,,,k que resulta obvio por
razonamientos fsicos.
Al evaluar estos coeficientes, es conveniente observar que alguno de ellos

puede ser nulo por las siguientes razones:
El diseo cinemtico particular de un manipulador puede eliminar algn
acoplo dinmico (coeficientes Du y h,,..) entre los movimientos de las
articulaciones.
2. Alguno de los coeficientes dinmicos relacionados con la velocidad tienen
solamente una existencia formal en las ecuaciones (3.2-32) y (3.2-33);esto
es, son fsicamente inexistentes. (Por ejemplo, la fuerza centrfuga no
interaccionar con el movimiento de la articulacin que lo genere, esto es,
h = O siempre; sin embargo, puede interaccionar con los movimientos
en las otras articulaciones en la cadena, esto es, podemos tener h jii i= O.)
3. Debido a variaciones particulares en la configuracin del elemento durante el movimiento, algunos coeficientes dinmicos se pueden anular en
instantes particulares de tiempo.
l.
Las ecuaciones de movimiento de un manipulador, tal como se han dado por

las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34),son ecuaciones diferenciales ordinarias de segun
do orden no lineales acopladas. Estas ecuaciones estn en forma de ecuaciones
diferenciales simblicas e incluyen todos los efectos inerciales, centrfugos, de
Coriolis y gravitacionales de los efectos de los elementos. Para un conjunto dado
de pares aplicados r 1 (i = 1, 2, ... , n) como una funcin del tiempo, la ecuacin
(3.2-26) debera ser integrada simultneamente para obtener el movimiento real
del manipulador en trminos de la historia temporal de las variables de articulacin q(t). Despus, dicha historia temporal se puede transformar para obtener Ja
correspondiente del movimiento de la mano (trayectoria de la mano) utilizando
las matrices de transformacin homogneas apropiadas. O, si se conocen de
antemano a partir de un programa de planificacin de trayectoria la historia
temporal de las variables de articulacin, velocidades y aceleraciones, entonces se
pueden utilizar las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34) para calcular los pares aplicados
r(t) como funcin del tiempo que se necesita para producir el movimiento del
manipulador particular planificado. Esto se conoce como control en lazo abierto.
Sin embargo, el control en lazo abierto es ms deseable para un sistema robtico
autnomo. Este tema se estudiar en el captulo 5.
DINAMICA
DEL BRAZO
m:1.
ROHHr
101
fabla 3.1 Complejidad computacional de las ecuaciones de movimiento

de Euler-Lagrange *
Formulacin de Lagrange-Euler
Multiplicaciones"
Adiciones
32n(n -
1)
24n(n -
4n(9n -
7)
51n - 45
n--2
f. m gU/rJ
Tr [U.Jt(UtYJ
(128/J)n(n
i'
Tr [UtJt(Ut;)
+ l)(n + 2)
1)
+ t )(n +
(65/2) n(n
(1/6) nin - l)(n
2)
1)
h(i,j)
(128/3)n2(n
Tr [U.,1tJ .. (U,.
)7]
. . .i:
t
Tr (U,,.11J,..(U,,.;)7]
l>(q)q
b(q,
q) +
c(q)
+ l)(n + 2)
+ t )(n
(65/2) n2(n
t- 2)
( 1/6)n2(n
(128/3)n4 + (512/3)n3 +
+ (844/3)n2 + (76/3)n
(98/3)n4 + (781/6Jn1 +
+ (637/3)n2 + (107/6)n
- 1 )(n
1)
n = .nmero de grados de libertad del brazo.
1
A causa de su estructura matricial, las ecuaciones de L-E son interesantc:s
desde d punto de vista de control en lazo cerrado porque dan un conjunto de
ecuaciones de estado como en la ecuacin (3.2-26). Esta forma permite el diseo
de una ley de control que compensa fcilmente todos los efectos no lineales.
Bastante a menudo en el diseo de un controlador por realimentacin para un
manipulador se utilizan los coeficientes dinmicos para minimizar los efectos no
lineales de las fuerzas de reaccin (Markiewicz [ 1973]).
Es de inters evaluar las complejidades computacionales inherentes a la ohtencin de coeficientes en las ecuaciones (3.2-31) a (3.2-34). La tabla 3. 1 resume las
complejidades computacionales de las ecuaciones de movimiento de L-E en
trminos de las operaciones matemticas requeridas (multiplicaciones y
sumas que se .necesitan para calcular la ecuacin (3.2-26) para cada punto de
consigna en la trayectoria.
Computacionalmente estas ecuaciones de
movimiento son ex- tremadamente ineficientes cuando se las compara con otras
formulaciones. En el siguien.teapartado desarrollaremos
las ecuaciones de
movimiento de un robot Que sern ms eficaces para calcular los pares
nominales.
3.2.6 Un ejemplo de un manipulador con dos elementos
[}~
Para demostrar cmo utilizar las ecuaciones de movimiento de L-E en las

ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34), se desarrolla en este apartado un ejemplo para un
Figura 3.2 Un manipulador de dos elementos.
manipulador de dos elementos con articulaciones de revolucin tal como se

muestra en la figura 3.2. Todos los ejes de rotacin en las articulaciones estn a lo
largo del eje z normal a la superficie del papel. A continuacin se dan las
dimensiones fisicas tales como posicin del centro de masa, masa de cada elemento y sistemas de coordenadas. Estamos interesados en deducir las ecuaciones de
movimiento del robot con dos elementos anteriores utilizando las ecuaciones
(3.2-26) a (3.2-34).
Suponemos lo siguiente: variables de articulacin = 81, 82; masa de los
elementos =m1, m parmetros de los elementos = cc1 = cc2 = O; d, = d2 = O;
y a1 = a2 = /. Entonces. de la figura 3.2 y del estudio del apartado previo
se obtienen las matrices de transformacin de coordenadas homogneas i- 1 A
(i = 1, 2) como
[e,
'A, - ~'
A2
A11A2
-S,
OO /C,]
C1
/S1
o
[e "
S1 2
IA2
[e,o -s,
S2
o
-S12
C12
o
o
o
o
l
C2
OO IC,]
/S2
/(C., + C,)]
/(S12
o
1
S1)
DINAMlCA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
donde C1 = cos 01; S1 = sen 01; Cii = cos (O; + O); Sii = sen (O;
definicin de la matriz Q;, para una articulacin giratoria, tenemos
o
Q
-1
O
[o
o
o
o
o
Utilizando la ecuacin (3.2-11) tenemos
o0A1
O
-1
U, 1 =
= Q1
001
[-s,
Ai
o
o
.
[-s.,
0
o0A2
M = Q1 A2
e,
o
o
o
o
o
o
i c ']
o -
IS 1
c..
-IS]
1c
o
o
o O
o o o
o o o
o
o
o
o
-S12
o
o
-1
1
= ~
-C12
C ,2
[ o] [c.,
1
1
o
o
o
o
-S,
para U 21 y U 22, tenemos
Anlogamente,
U21
o
o
o
o
-C,
-Si
e,
o
o
S1
Oi). De la
!]
o
o
o
o
-S12 o
S12
C12
o
o
C,)]
/(S12
+ S1)
=
,)] - l(S., + S
/(C12
+ C1)
o
o
U 22--- - o
A1Q2'A2-oA-2082
[e,
S1
- o
o
[-s.,
C ,2
-s, o
ic,]
e, o IS1
o 1 o
o o 1
-S12
-C12
o o
o
103
[
1
o
o
] [e,
-Si
S2
C2
o o o
o o o
o
o
o
o
-IS.,]
o
o o
o12 o
IC
-1O
o
o
o
o
1
ic,]
IS2
o
1
104
De la ecuacin (3.2-18), suponiendo que todos los productos de inercia son nulos,
podemos deducir la matriz de pseudoinercia J:
[ 'i,~,I'
o
- i/2m1/
-''f"]
o
o
o
o
o
o
o
o
J2
[ 'i,~,I'
o
_ 1/2m2'
m1
o
o
o
o
-'/t]
o
o
o
o
m2
A continuacin, utilizando la ecuacin (3.2-31), tenemos

D11
= Tr(U11J1U1)
~Tr [-s,
+Tr \[CSf"
= i3m1/2
+ Tr(U21J2Uf) =
o
o
o
o
-C1
-Si
o
-S12
-r']
-IS] [/,m,1'
o o
/C1
o
o o
o o
oO
- i/2m1/
J(
e 1 2 + e i)
o
o
o
o
TI +
U11
m1
o o
-l(S.,+S,J r,m,I'
-C12
-'t]
- 1/2m2/
o
O
o o
O o
U21 -
m2
+ 4/3m2'2 + m2C2/2
1
Para D 12 tenemos
D12
D21
{[S "
Tr(U22J2Ufi)
-C12
Tr
o
C 12
-S12
o
o
o
o
o
-IS.,l [ 'f,m,I'
IC12
- i/2m2/
o o
o o
o o
o o
-'/r'l
O
m2
}U2T1
= m2/2( - i6
+ 1/2 + 1/2C2)
i3m2l2
+ i2m2l2C2
Para D22 tenemos

D22 = Tr(U22J2UI2)
= Tr
{[s"
-C12
-S12
C12
o
o
o
o
/3m2'2Sf2
-IS.,] ['/,m,l'
o
o
o
o
/3m2'2Cf
IC12
-1/2m2'
'/3m2'2
o
o
o
o
o
o
o
o
-r'] }
o
m2
ur ""'
22
DINAMICA
DEL BRAZO
DEL ROBOT
IOS
para deducir los trminos de Coriolis y centrfugo, utilizamos la ecuacin (3.2-32).

para i = 1, utilizando la ecuacin (3.2-32), tenemos
Utilizando la ecuacin (3.2-33) podemos obtener el valor de hm Por tanto, el

valor anterior que corresponde a la articulacin 1 es
Anlogamente, para i = 2 tenemos
h2
L L
= m=
l
hi.mlm
h211f + h21212
+ h221L + h222f =
Por tanto,
A continuacin necesitamos deducir los trminos relacionados con la gravedad,

e = (c1, c2)7. Utilizando la ecuacin (3.2-34) tenemos:
e,
-(m1gU11
(0,
-m1
ti\
O, O)
-g,
[-S,
C1
[-s.,
- mz(O, -g, O, O)
1/2m1g/C1
1/2
m2gU212r2)
C12
m2glC12
-C1
-Si
o
o
ol
oo
o
-IS']
o
o
-S12
o
o
+ m2glC1
o
o
-C12
o
o
/C1
-/(Su + s,)]
/(C12
o
o
C1)
--
o
o
106

C2
-m2gU22 22 =
[-s,,
C,2
-C,2
-S,2
o
o
-IS,,]
/C12
-m2(0, -g, O, O)
o
o
o
o
o
o
= -mz(1/2g/C12 - g/C12)
De aqu obtenemos los trminos de la matriz de gravedad:
Finalmente, las ecuaciones de movimiento de Lagrange-Euler para el manipulador de dos elementos se encuentra que son
-r(t)
D(8)6.(t)
h(8, )
c(8)
['/3m,/2 + 4/3m2/2 + m2C2/2

'/3m2/2 + i/2m2/2C2
3.3 FORMULACION
DE NEWTON-EULER
En los apartados previos hemos deducido un conjunto de ecuaciones diferencia

les de segundo orden no lineal a partir de la formulacin de Lagrange-Euler que:
describen la conducta dinmica de un robot. El uso de estas ecuaciones para
calcular los pares nominales de las articulaciones a partir de sus posiciones.
velocidades y aceleraciones para cada punto de consigna de la trayectoria en
tiempo real ha sido un cuello de botella computacional en el control en lazo
abierto. El problema se debe principalmente a la ineficacia de las ecuaciones de
movimiento de Lagrange-Euler, que utiliza las ecuaciones de transformacin
homogneas 4 x 4. Para lograr un control en tiempo real, ha sido propuesto un
modelo dinmico simplificado para el robot que ignora las fuerzas de Coriolis Y
centrfugas. Esto reduce el tiempo de clculo para los pares de las articulaciones a
un lmite obtenible (es decir, menos de I O m para cada punto de la trayectoria
utilizando una computadora POP 11/45). Sin embargo, las fuerzas de Coriolis Y
D11
D12
D13
D14
D~s
'D12
D22
D23
D24
Dis
D26
116
D13
D23
D33
D34
D3s
D36
D14
D24
D34
D44
D4s
D46
D1s D16
Dis D26
D3s D36
D4s D46
Ds6
Ds6 D66

Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

Cargado por

Información del documento

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

RO BOTICA:

Control, deteccin, visin e inteligencia

Cinemtica del brazo del robot

Dinmica del brazo del robot

4. Planificacin de trayectorias de un manipulador

5. Control de manipuladores de robot

Control del brazo del robot PUMA

Tcnica del par calculado

Control subptimo de tiempo mnimo

Control de estructura variable

Control por realimentacin desacoplado no lineal

Control de movimiento resuelto

9. Lenguajes de programacin del robot

10. Inteligencia de robot y planificacin de tareas

Una mquina puede hacer el trabajo

_ - La necesidad cada vez ms resionante de aumentar la productividad y conseguir

ROBOTICA: COSTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

Rotacin de cintura 320c

a) Robot Cincinnati Milacron T3. b) Robot de la serie PUMA 560

Muchos robots industriales, que estn disponibles comercialmente, se utilizan

por mini y microcomputadores, son bsicamente simples mquinas posicionales.

Figura 1.2 Diversas categoras de robots.

4 ROIJOTICA: CO~TROL, DETECCIO~. VIS!O~ E l~TELIGENCIA

Ejecutan una tarea dada mediante la grabacin de secuencias prerregistradas o

1.2 DESARROLLO HISTORICO

diados de los aos cincuenta, George C. Dcvol desarroll un dispositivo que l

1.3 CINEMATICA Y DIN AMICA DEL BRAZO DEL ROBOT

PLANIFICACION DE LA TRAYECTORIA (>

Con el conocimiento de la cinemtica y la dinmica de un manipulador con

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

de control del movimiento de aproximacin y las estrategias que utilizan los

SENSORES DEL ROBOT

La utilizacin de mecanismos sensores externos permite a un robot interaccionar

10 ROllOTICA: CONTROL. DETECCION, VJSI01' E INTELIGE:,./CIA

intentan emular el conocimiento. El material del captulo 7 trata de los sensores,

Un gran obstculo en la utilizacin de los manipuladores como mquinas de uso

Un problema bsico en robtica es la planificacin de movimiento para resolver

12 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

Journal of Robotic Systems; Robotica: IEEE Transactions on Systems, Man and

CINEMATICA DEL BRAZO DEL ROBOT

Y mire cmo se agita, se pone

Un manipulador mecnico se puede modelar como una cadena articulada en lazo

Para un manipulador determinado, dado el vector de ngulos de las

sistema de coordenadas de referencia, puede el manipulador alcanzar la

14 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

La primera pregunta se suele conocer como el problema cinemtico directo,

Los problemas cinemticos directo e inverso.

Figura 2.2 Sistemas de coordenadas de referencia y ligado al cuerpo.

EL PROBLEMA CINEMA TICO DIRECTO

Matrices de rotacin (j)

sistema de coordenada OXYZ, con OX, OY y OZ como sus ejes de coordenadas,

(p.,, p.; p.,.f

donde Px,: y Pwvw representan el mismo punto p en el espacio con respecto a

= i, ' P = j.x iwPu + i_,: jvp . +

i_,: ' kwPw

k, ' P = k, ' iwPw

+ k, ' jvPv + k, ' kwPw

expresado en forma matricial,

Utilizando esta notacin, la matriz R en la ecuacin (2.2-2) est dada por