School Work y mete al culo">
Resistencia de Miembros Sometidos A Flexion y Carga Axial
Resistencia de Miembros Sometidos A Flexion y Carga Axial
Resistencia de Miembros Sometidos A Flexion y Carga Axial
RESISTENCIA DE
MIEMBROS SOMETIDOS
A FLEXION Y CARGA
AXIAL
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
A
PREZ QUINTE KELIMAN
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ANALISIS ESTRUTURAL I
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resistencia total, permite al acero alcanzar la resistencia de cedencia. En
consecuencia, la carga ltima de una columna de concreto (reforzado cargada
axialmente (una mejor denominacin sera carga de cedencia) es la suma de la
resistencia de cedencia del acero ms la resistencia del concreto. Se ha encontrado
(v. gr. Richart y Brown 5 1 y Hognes- tad 5 2) que la resistencia del concreto en una
columna cargada axialmente es aproximadamente 0.85/', en qu /' es la resistencia
a compresin de un cilindro. La resistencia es algo ms baja que la correspondiente
a un cilindro debido a la diferencia en la forma y tamao del espcimen y debido a
que el colado vertical de una columna induce la sedimentacin y ganancia de agua
en la regin superior de la columna. En consecuencia, la carga ltima de una
columna cargada axialmente se puede escribir como
en que Ay es el rea bruta de la seccin transversal, A%i es el rea total del acero
longitudinal en la seccin, y fy es la resistencia de cedencia del acero.
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resistencia de cilindros de concreto confinados cuando la hlice alcanza la
resistencia de cedencia. Si se reemplaza en la ecuacin
2.5 la resistencia /' del cilindro no confinado por la resistencia no confinada del
concreto en una columna, 0.85f c, se puede escribir la carga ltima de una columna
zunchada como
en que fy = resistencia de cedencia del acero, d s = dimetro de la hlice, A%p = rea
de la varilla helicoidal, 5 = paso de la hlice, y Acc = rea del concreto en el ncleo
de la columna.
Luego
en que K = Asp djs = volumen del acero helicoidal por longitud unitaria del ncleo de
la columna y Ast = rea total del acero longitudinal en la seccin
En consecuencia, se puede escribir la ecuacin 5.2
Longitudinal, Vs es igual al rea de ese acero longitudinal. Consecuentemente, la
ecuacin 5.4 indica que el acero en la hlice es aproximadamente dos veces ms
efectivo que el mismo volumen de acero longitudinal para disponible a elevadas
deformaciones y despus de que se desprende el unidad de transmisin de carga
de las columnas zunchadas solamente est disponible a elevadas deformaciones y
despus de que se desprende el
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estribos no estn espaciados estrechamente exhibe falla frgil, una columna
zunchada tiene elevada capacidad de deformacin plstica.
Las pruebas han demostrado (vea la seccin 2.1.3) que los estribos rectangulares espaciados estrechamente tambin aumentan la resistencia y ductilidad
del concreto confinado, aunque sin la efectividad de las hlices circulares, debido a
que los estribos rectangulares slo ejercen presin de confinamiento cerca de las
esquinas de la seccin, ya que la presin lateral del concreto provoca el
arqueamiento de los lados de los estribos, en tanto que debido a su forma las
hlices circulares pueden aplicar una presin uniforme de confinamiento alrededor
de la circunferencia. Las pruebas efectuadas por Chan 5-4 sugieren que al considerar
el aumento en la resistencia, la eficiencia de los estribos cuadrados puede ser del
50% de la del
mismo volumen de hlices circulares. Las pruebas realizadas por muchos otros
tambin han indicado un aumento en la resistencia debido a estribos rectangulares
espaciados estrechamente, aunque los resultados reportados por Roy y Sozen 5 5 no
indicaron aumento en la resistencia. Es probable que la ganancia en la resistencia
del concreto debida a estribos rectangulares sea pequea en la mayora de los
casos. Sin embargo, los resultados de las pruebas siempre han mostrado que se
obtuvo una mejora significativa en la ductilidad del concreto, como consecuencia de
utilizar estribos rectangulares espaciados estrechamente.
5.3 COLUMNAS CORTAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE CON FLEXION
UNIAXIAL
5.3.1
Introduccin
Las columnas cargadas axialmente rara vez ocurren en la prctica, debido a que
casi siempre hay cierta flexin, como lo evidencia la torcedura inicial ligera de las
columnas, la manera en que se aplican las cargas mediante vigas y losas, y los
momentos introducidos por la construccin continua.
La combinacin de una carga axial P u y momento flexionarte Mu equivale a una
carga Pu aplicada con la excentricidad e = MuPu, como se muestra en la figura 5.4
Las Figuras 5.5 y 5.6 son vistas posterior y anterior de columnas con estribos y
zunchos que se cargaron excntricamente a la falla.
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Figura 5.7. Columnas con estribos y Zunchadas del hospital Olive View despus del
terremoto de San Fernando en 1971.
Las columnas son de una serie que prob Hognestad. 5 2 De las figuras, nuevamente
es evidente la mayor ductilidad de una columna zunchada. En los edificios daados
por sismos se ha observado la mayor ductilidad de las columnas zunchadas en
comparacin con las columnas con estribos. Por ejemplo, en la figura 5.7 se
muestran algunas columnas del piso inferior del hospital Olive View despus del
sismo de San Fernando en 1971. El concreto en la columna con estribos se redujo a
escombro en tanto que la columna helicoidal todava est intacta y puede trasmitir
cargas, aunque se haya desprendido el recubrimiento de concreto.
En la prctica, desde el punto de vista de la resistencia, las columnas con
estribos y zunchadas se disean como si el concreto no estuviera confinado, pero
debido a la mayor dureza de una columna zunchada, el cdigo ACI 5 3 asigna un
factor ligeramente mayor de reduccin de capacidad a una columna zunchada (<p =
0.75) que a una columna con estribos ((p = 0.70).
En las siguientes secciones se deducen las ecuaciones de resistencia para
columnas cargadas excntricamente, suponiendo que el concreto no est
-confinado. En la carga ltima el concreto alcanza su capacidad mxima, aunque el
acero longitudinal puede o no estar en la resistencia de cedencia. Las suposiciones
de la seccin 3.1 se utilizan para deducir las ecuaciones de resistencia. En esta
seccin se considera solo la flexin alrededor de un eje principal de la seccin (es
decir, flexin uniaxial).
5.3.2 Anlisis de secciones rectangulares con varillas en una o dos caras
En la figura 5.8 se muestra una seccin rectangular con varillas en dos caras,
cargada excntricamente a la carga ltima. Se considera que la profundidad del eje
neutro es menor que el peralte total. Como con las vigas, una falla a tensin o una
falla a compresin pueden ocurrir dependiendo de si el acero a tensin alcanza la
resistencia de cedencia. Sin embargo, contrario a las vigas, no se puede evitar una
falla a compresin
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Limitando el rea del acero, ya que el tipo de la falla depende del nivel de carga
axial. Por lo general, el acero de compresin en las columnas cargadas
excntricamente a la carga ltima alcanza la resistencia de cedencia, excepto
cuando fel nivel de carga es bajo, cuando se utiliza acero de alta resistencia o
cuando la columna es tan pequea que la dimensin d' (vease la figura 5.8) es
relativamente grande. Es comn suponer que el acero a compresin est cediendo,
y luego comprobar que se ha alcanzado la deformacin de cedencia. Con referencia
a la figura 5.8, y suponiendo el esfuerzo en el acero a compresin f' s = /v, la ecuacin
de equilibrio obtenida de la suma de las fuerzas internas es
y la expresin que se obtiene tomando momentos respecto del acero de tensin es
en que e es la excentricidad de la carga ultima P u medida desde el centroide del
acero de tensin, f< es la resistencia a compresin del cilindro d< concreto, f }. es la
resistencia de cedencia del acero, f s es el esfuerzo en e acero de tensin, A s es el
rea del acero a tensin, A' s es el rea del acero de compresin, a es la profundidad
del bloque de esfuerzo de concreto rectangular equivalente, b el ancho de la
columna, d la distancia desde \z fibra a compresin extrema al centroide del acero
de tensin y d' la distancia desde la fibra a compresin extrema al centroide del
acero de compresin.
A veces es ms conveniente utilizar la excentricidad de P u desde el centroide
plstico e. El centroide plstico es el centroide de resistencia de la seccin si se
comprime todo el concreto al esfuerzo mximo (0.85/') y se comprime todo el acero
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al esfuerzo de cedencia (fy), con deformacin uniforme en la seccin. En otras
palabras, el centroide plstico es el punto de aplicacin de la carga externa P a que
produce una condicin de falla por carga axial. Este caso est representado en la
figura 5.9. Tomando momentos de las fuerzas internas alrededor del centroide del
acero del lado izquierdo e igualndolos al momento de la fuerza resultante se obtiene
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Para una falla a compresin, se aplican las ecuaciones 5.7 a 5.10 susti tuyendo fs de
la ecuacin 5.14.
En las ecuaciones 5.7 a 5.14 se ha supuesto que el acero de compresin est
cediendo (f's = jy). Esto debe verificarse examinando el diagrama de deformaciones.
Para que ceda el acero de compresin, se requiere que
Si se encuentra que ste acero no est cediendo, el valor de f' s que se encuentra del
diagrama de deformaciones es
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y se debe sustituir este valor, en vez de f y, en todas las ecuaciones anteriores del
esfuerzo en el acero de compresin.
La mejor forma de ilustrar las combinaciones de P u y Pue que provocan la falla de
una seccin dada de columna es mediante un diagrama de interaccin. La figura
5.11 es un diagrama de este tipo para una columna tpica cargada excntricamente.
Cualquier combinacin de carga y excentricidad que d un punto en AB provoca una
falla a compresin; cualquier combinacin en BC provoca una falla a tensin, en que
la cedencia del acero de tensin precede al aplastamiento del concreto comprimido.
En B ocurre una falla balanceada. Cualquier combinacin de carga y excentricidad
que pueda graficarse dentro del rea del diagrama de interaccin se puede tomar
sin falla; las combinaciones graficadas fuera del rea no se pueden tomar. Ntese
que la presencia de una carga moderada de compresin aumenta al momento
ltimo de resistencia de la seccin. Cuando c > h, las ecuaciones deducidas 5.75.10 no se aplican estrictamente, debido a que el eje neutro est fuera de la seccin
y se modifica el perl del bloque de esfuerzos. Esto se ilustra en la figura 5.12, que
muestra una serie de perfiles de deformacin para una seccin en la carga ltima
que corresponde a distintas profundidades del eje neutro. La deformacin de la fibra
extrema es 0.003 para c < h Para c > h, el caso lmite es cuando
c -* oc , lo que ocurre cuando la excentricidad es cero y la carga axial es P a. Ntese
que el perfil de deformacin que corresponde a P 0 tiene una deformacin uniforme
de 0.002 en la seccin, debido a que a sta deformacin un espcimen de concreto
cargado axialmente alcanza el esfuerzo mximo (\ea la figura 2.1). Se puede
completar la porcin de la curva de interaccin de la figura 5.11 a la que no se
aplican las ecuaciones 5.7 a 5.10 (lnea punteada) debido a que el valor calculado
de PQ de la ecuacin 5.1 fija el punto final de la curva.
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Los valores calculados de Pb y Pbeb dan el punto B de la figura 5.13.
Falla a la tensin
Si Pu < Pb, ft = fr
Por ejemplo, sea Pu = 300,000 Ib (1330 kN) < Pb. Supngase que el acero de
compresin tambin est cediendo.
Entonces, de la ecuacin 5.7 se escribe
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Esto da el punto E de la figura 5.13.
En el lmite, cuando Pu -* 0 ye -* o, se presenta el caso de flexin pura. En este
caso, debido a que: A' s = As y que el concreto debe transmitir algo de compresin, /'
< fr De la ecuacin 5.16 se puede escribir
De la ecuacin 5.7, sustituyendo el valor mencionado antes de f' s en vez de la
resistencia de cedencia, se tiene
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Carga de tensin
Si la carga externa es de tensin en vez de compresin, la resistencia a tensin de
la columna cuando e = 0 est dada por
Esto da el punto D en la figura 5.13.
Este resultado ignora la resistencia a tensin del concreto.
Se pueden encontrar las resistencias a flexin que corresponden a otros valores de
Pu entre cero y 320,000 Ib de las ecuaciones de falla a tensin.
En la figura 5.13 estn graficados los resultados calculados. Si se hubieran
calculado puntos suficientes, se hubiera obtenido la curva ABCD. La curva de
interaccin ABCD muestra las combinaciones posibles de carga y excentricidad que
provocaran que la seccin alcanzara su resistencia.
5.3.3
Diseo de secciones rectangulares con varillas en una o dos caras
En la prctica, todas las columnas estn sujetas a cierto momento flexionante,
debido a la torcedura inicial y a las cargas asimtricas. En consecuencia, una
columna cargada axialmente no es un caso prctico, y se recomienda que no se
considere la excentricidad con que se aplica una carga a compresin con menos de
algn valor mnimo (por ejemplo 0.1/i para una columna con estribos 0.05/j para
una columna zunchada 5 3). En efecto, se podra justificar agregar a todas las
columnas una excentricidad adicional para dar margen a efectos imprevistos que
pudieran aumentar la excentricidad de la carga.
A menudo en el diseo de columnas no se pueden eliminar las fallas a
compresin limitando las proporciones de la seccin. Por tanto, es necesario
formular ecuaciones de diseo tanto para falla a tensin como a compresin. Se
pueden utilizar las ecuaciones del anlisis para el diseo despus de introducirles
modificaciones que incluyan el factor </> de reduccin de capacidad. En la seccin
1.3.1 se listan los factores de reduccin de capacidad para columnas de acuerdo
con el ACI 318-71.r3. Se debe notar que para pequeas cargas axiales,
reducindose a cero en el intervalo de falla a tensin, se puede aumentar
linealmente el factor de reduccin de capacidad desde 0.75 para columnas
zunchadas, 0.70 para columnas con estribos hasta 0.9 conforme la carga ltima
decrezca desde aproximadamente 0.1 f'cAy hasta cero, en que Ay es el rea bruta de
la seccin de la columna.
Se pueden escribir las ecuaciones de diseo para la seccin de la figura 5.14
utilizando las ecuaciones 5.7, 5.8 y 5.10 como sigue:
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FALLA A TENSION
Si Pu < Pb, rige la tensin (f s = fj y se puede encontrar la profundidad del bloque a
de compresin de la ecuacin 5.17 y sustituirse en la ecuacin
5.18 para dar
Para los casos de refuerzo simtrico (p = p'), o sin refuerzo de compresin (p' = 0),
la ecuacin 5.23 se simplifica ms. Esta ecuacin toma en cuenta el rea del
concreto desplazado por el acero a compresin.
FALLA A COMPRESION
Si Pu > Pb, rige la compresin (/* < />.) Entonces, de la ecuacin 5.14
Sustituyendo este valor de js en las ecuaciones 5.17 y5.18o5.19es posible encontrar
a y resolver la seccin. Sin embargo, sta no es una solucin sencilla, debido a los
extensos clculos necesarios para determinar a. Cundo la compresin rige, se
dispone de dos mtodos aproximados:
1.Se puede suponer una relacin lineal entre P u y Pue Esto equivale a suponer
(en forma conservadora por lo que respecta a la resistencia) que la lnea AB de la
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figura 5.11 es recta. Esta aproximacin se ilustra en la figura 5.15. Para un punto en
la lnea supuesta de falla AB de la figura 5.15, se encuentra por tringulos
semejantes
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puede utilizar bajo estas condiciones si se ajusta P u para acercarse al valor correcto
para una columna cargada axialmente cuando r*0.
Ejemplo
Se desea reforzar simtricamente una seccin de columna con estribos cuadrada de
18 plg. (457 mm) mediante varillas colocadas en las dos caras opuestas de la
seccin. Los centroide de las
En consecuencia, la ecuacin del diseo queda como
varillas estn a 2j plg. (64 mm) de los bordes prximos de la seccin. El concreto
tiene una resistencia de cilindro /' de 4000 Ib./plg. 2 (20.7 N/mm2). El acero tiene un
mdulo de elasticidad de 29 x 10 6 Ib./plg2 (0.20 x 106 N/mm2) y una resistencia de
ceden- cia de 50,000 lb./plg2(345 N/mm2). Se puede suponer que el factor <p de
reduccin de capacidad es de 0.7, aunque se puede aumentar linealmente a 0.9
conforme la carga ltima Pu disminuye desde
0.1/' Ag hasta cero, en que Ag es el rea bruta de la seccin de columna. Determinar
las reas del acero requeridas en la columna para que soporte las siguientes cargas
ltimas: (1) 250,000 Ib (1110 kN) con = 15 plg. (381 mm), y (2) 400,000 Ib (1780
kN) con e = 12 plg. (305 mm).
Solucin
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La parte 2 del ejemplo 5.2 evidencia la dificultad determinar las reas de acero
para una falla a compresin directamente de las ecuaciones 5.17, 5.19 y 5.24,
debido a las largas expresiones y la solucin de una ecuacin cbica para a. En
consecuencia, aunque la solucin no es exacta, la ecuacin 5.28 de Whitney es
mucho ms prctica para clculos manuales.
El ejemplo tambin ilustra que el clculo de las reas de acero puede
complicarse todava ms en caso de que el acero de compresin no ceda. Por
ejemplo, si en la parte 1 del ejemplo 5.2 se hubiera utilizado acero con una
resistencia de carencia de 60,000 lb./plg. 2 (414 N/mm2) el acero de compresin no
hubiera alcanzado la resistencia de cedencia en la carga ltima. Sustituir /; de la
ecuacin 5.22 en vez de f, significa que tendran que resolverse simultneamente
las ecuaciones 5.17 y 5.19, lo que llevara a una solucin mucho ms complicada.
En consecuencia, en algunas columnas puede no alcanzarse la resistencia de
cedencia de varillas de alta resistencia en compresin, especialmente cuando la
seccin transversal de la columna es pequea. En forma anloga, el acero de
tensin puede no alcanzar la cedencia para un intervalo grande de niveles de carga
axial si la resistencia de cedencia es elevada. Se debe recordar que se ha supuesto
un valor razonablemente conservador de s c = 0.003 para la deformacin del
concreto de la fibra extrema a compresin (vase la seccin 3.3). Sin embargo, si la
columna est cargada a la falla, esta deformacin se excede fsicamente, lo que
permite desarrollar esfuerzos ms elevados en el acero. De esa manera, la
resistencia real de las secciones de columna con acero de alta resistencia a menudo
es mayor que la calculada utilizando e e = 0.003.5/7 Tiene sentido aumentar ec a un
valor ms realista, por ejemplo 0.0035, para utilizar con efectividad acero de alta
resistencia.
Es posible disear columnas que transmitan una pequea carga de compresin
con gran excentricidad con pequea rea de acero de compresin (A's < As) debido
a que no se requiere que la fuerza interna de compresin sea grande. Sin embargo,
para asegurar que ese miembro sea razonablemente dctil, se recomienda 53 que
cuando el nivel de la carga axial sea menor que la carga de la falla balanceada P b o
que Q.\f'cAg, rigiendo el ms pequeo de ambos, la cuanta de refuerzo p del acero
de tensin (AJbd) no exceda 0.75 de la cuanta que producira una falla balanceada
para la seccin bajo flexin sin carga axial. Consecuentemente se debe satisfacer la
ecuacin 4.48.
Tambin se recomienda5-3 que el rea del acero longitudinal no sea inferior a 0.01 n;
mayor que 0.08 veces el rea bruta de la seccin.
5.3.4 Secciones rectangulares con varillas en las cuatro caras
Cuando una seccin tiene varillas distribuidas en todas las caras, se dificulta la
deduccin de ecuaciones de anlisis y diseo debido a que aqulla pueden estar en
distintos niveles de esfuerzos en toda la seccin. Se puede desarrollar el anlisis de
esa seccin utilizando los requerimientos de compatibilidad de deformaciones y
equilibrio.
Considrese la seccin de columna reforzada simtricamente mostrada en la fig.
5.17 en la carga ltima. Para una varilla cualquiera i en la seccin, el diagrama de
deformaciones indica que
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En las ecuaciones 5.31 y 5.32 se debe dar atencin debida al signo del es fuerzo al
sumar las fuerzas del acero en la seccin.
En el caso general, es mejor utilizar una solucin de pruebas y ajustes para el
anlisis. Por ejemplo, para calcular la carga ltima de una seccin dada con
excentricidad determinada, el procedimiento es el que sigue:
1. Elegir un valor para la profundidad c del eje neutro.
2. Calcular el esfuerzo en el acero en todas las varillas utilizando las ecuaciones
5.29 y 5.30.
3. Calcular Pu de las ecuaciones 5.31 y 5.32.
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4. Repetir los pasos 1, 2 y 3 hasta que los valores de P* obtenidos de las
ecuaciones 5.31 y 5.32 sean iguales.
Ntese que debe reducirse el nivel del esfuerzo en las varillas de refuerzo de
compresin en 0.85/' si se requiere tener en cuenta el rea del concreto a
compresin desplazada por el acero.
Ejemplo 5.3
Utilizar el mtodo general de compatibilidad de deformaciones y equilibrio para
determinar la carga ltima y excentricidad para la seccin de columna reforzada
simtricamente presentada en la fig.
5.18
si el eje neutro est en la posicin indicada. Cada una de las 16 varillas
tiene un rea dt acero de 1 plg.2 (645 mm2).El acero
Ahora se deben reducir los esfuerzos del acero de compresin en 0.85/' = 0.85 x
3000 = 2550/plg.2 para tomar en cuenta el concreto desplazado.
Entonces a = ?
,c = 0.85 x 14 = 11.90 plg.
En consecuencia, de la ecuacin 5.31, y utilizando los esfuerzos reducidos del acero
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de compresin, tenemos
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para cada sentido de la excentricidad. En la figura 12.12 se muestran esas curvas
para una seccin de muro de cortante.
5.3.5
Secciones con varillas en arreglo circular
Se puede determinar la carga ltima de secciones con varillas en un arreglo circular
utilizando el mtodo general de compatibilidad de deformacin y equilibrio de la
seccin 5.3.4. En forma alterna, se pueden utilizar las siguientes ecuaciones
aproximadas propuestas por Whitney. Estas deben emplearse con cuidado, ya que
no proporcionan resultados exactos cuando la resistencia de cedencia o la cuanta
de acero son elevadas. En
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ANALISIS ESTRUTURAL I
FALLA A COMPRESION
La ecuacin para la falla a compresin se obtuvo usando 0.5,4 S, en vez de A's.
0.67ds en vez de d - d\ y 0.5(/i + 0.61ds) en vez de d, en 5.28. La ecuacin de diseo
queda entonces como
en que A es el rea bruta de !a columna.
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Ejemplo 5.4
Se desea reforzar una columna zunchada cuadrada de 20 plg. (508 mm) mediante
varillas dispuestas simtricamente en crculo de 16 plg. (406 mm) de dimetro entre
centros. Para el concreto, f'c = 3000 Ib./plg.2 (20.7 N/mm2) y para el acero f>. =
40,000 Ib./plg.2 (276 N/mm2). Calcular el rea de acero requerida si se desea que la
seccin soporte una carga ltima de 380,000 Ib (1690 kN) con una excentricidad de
11.55 plg. (293 mm) con respecto a un eje principal.
FALLA A COMPRESION
Whitney adapt la ecuacin 5.34 para el caso de falla a compresin mediante la
aproximacin de reemplazar h para la seccin cuadrada mediante 0.8 de h para la
seccin circular.
Entonces, la ecuacin de diseo es:
.
Solucin
Si la tensin rige la ecuacin 5.33 da
Consecuentemente, la compresin rige. Se requiere Ast = 17.03 plg2 (10,987 mm2).
Una solucin ms exacta del ejemplo 5.4, usando grficas de diseo 5 9 (vea la
seccin 5.3.6), produce un rea de acero 7% mayor que la recin calculada usando
las ecuaciones de Whitney. La discrepancia indica el grado de aproximacin de esas
ecuaciones para este caso especial. Si se utilizara acero con una resistencia de
cedencia de 60,000 lb./plg.2 (414 N/ mm2) en el ejemplo, la solucin de Whitney
requerira Ast 11.35 plg.2 (7323 mm2), en tanto que la solucin ms exacta usando
grficas de diseo requerira 21% de acero adicional, lo que indica que la solucin
de Whitney puede desviarse seriamente al lado inseguro al utilizar acero de alta
resistencia.
5.3.6
Grficas y tablas de diseo
En la prctica es posible desarrollar rpidamente el diseo y anlisis de secciones
de columna usando grficas y tablas de diseo. El ACI 5-9 510 ha publicado una
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extensa serie de grficas y tablas.
Las grficas de diseo son conjuntos de diagramas de interaccin que grafican
la carga ltima y el momento en forma adimensional. La
Figura 5.22 es una grfica para secciones rectangulares con varillas en las
cuatro caras. Conocidos el tamao de columna, resistencias de los materiales y
carga y momento ltimos, se fija en la grfica un punto coordenado que define p,m,
del que se puede calcular el rea requerida de acero. En caso alterno, conocidos el
tamao de columna, resistencias de los materiales y rea de acero, se pueden
determinar las combinaciones posibles de la carga y momento ltimos. Las grficas
abarcan el diseo de columnas rectangulares con estribos con varillas en dos o
cuatro caras, y columnas zunchadas cuadradas y circulares con las varillas
dispuestas en crculo. El intervalo de las variables consideradas es de as: f y 40 a
60 kips/plg. (276 a 414 N/mnr), /' ^ 4 a 5 kips/plg. (< 27.6 a 34.5 N/ mm 2), y g = 0.6 a
0.9. en que g indica la distancia entre los grupos de
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colocacin del acero, excepto cuando slo aparece en dos caras en las grficas
para las secciones rectangulares. En las columnas cuadradas y rectangulares con
acero en cuatro caras, se supone que hay colocado un cuarto del rea total del
acero en cada cara de la columna. Se asevera que el error en suponer que el acero
tiene la forma de un perfil tubular delgado en vez de varillas individuales es del 1 Vo
o menor cuando el nmero de varillas es mayor que ocho.
Ejemplo: 5.5
Una columna cuadrada de 20 plg. (508 mm) con estribos con el acero longitudinal
distribuido uniformemente en las cuatro caras soporta una carga ltima de 536,000
Ib. (2380 kN) con una excentricidad de 5.75 plg. (146 mm) con respecto a un eje
principal de la seccin. El centroide de cada varilla est a 3 plg. (76 mm) de la cara
ms prxima de la columna. Calcular el rea de acero que provocan flexin
alrededor de un eje principal de la columna solamente, es decir, flexin uniaxial. En
la prctica, muchas columnas estn; sujetas a flexin alrededor de ambos ejes
principales simultneamente, especialmente las columnas de las esquinas de
edificios. ':
En las figuras 5.23 y 5.24 respectivamente se muestra una seccin de; columna de
concreto reforzado simtricamente con flexin biaxial, y las deformaciones,
esfuerzos y fuerzas en la seccin bajo carga ltima. Las ecuaciones dadas por la
compatibilidad de deformaciones y equilibrio se pueden utilizar para analizar la
seccin. El enfoque es semejante al utilizado para la flexin biaxial de vigas en la
seccin 4.4. Usando las ecuaciones\4.64 a 4.72 se pueden encontrar las
deformaciones, esfuerzos y fuerzas en el acero para determinada posicin del eje
neutro. La fuerza resultante; en el concreto depende del perfil del bloque de
esfuerzos (vea la figura 4.18).
Las ecuaciones 4.73 a 4.75 y otras deducidas anlogamente dan los valores
de Cc, x, y y. Entonces se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio para
el refuerzo simtrico con la notacin dada en la figura 5.24 como |
5.4
COLUMNAS CORTAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE CON
FLEXION BIAXIAL
5.4.1
Teora general
La teora para las columnas estudiadas hasta ahora ha sido para cargas
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Es necesario utilizar los signos adecuados (positivo para compresin, negativo para
tensin) cuando se utilizan estas ecuaciones. Si la columna tiene ms de cuatro
varillas, se pueden incluir las fuerzas del acero adicional.
Es difcil realizar el anlisis y diseo de secciones de columnas con flexin
biaxial, debido a que se necesita un procedimiento de pruebas y ajustes para
encontrar la inclinacin y profundidad del eje neutro que satisfaga las ecuaciones de
equilibrio. Por lo general, el eje neutro no es perpendicular a la excentricidad
resultante. En el diseo se puede suponer una seccin y arreglo de refuerzos, e ir
corrigiendo sucesivamente el rea de refuerzos hasta que la capacidad de la
seccin se aproxime al valor requerido. En consecuencia, es imprctico utilizar
directamente las ecuaciones en el diseo sin ayuda de una computadora
electrnica.
Se puede ilustrar la resistencia de las columnas con flexin biaxial mediante las
superficies de interaccin. La lnea de falla o la lnea de interaccin de una columna
con flexin uniaxial se muestra en la figura 5.11. Variando la inclinacin del eje
neutro es posible obtener una serie de diagramas de interaccin a distintos ngulos
respecto de los ejes principales de la seccin. En la figura 5.25 aparece un conjunto
tpico de diagramas de interaccin para una seccin dada, y un conjunto completo
de diagramas para todos lo> ngulos describen la superficie de interaccin (o
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Si se toma una seccin horizontal a travs de la superficie de interaccin de la
figura 5.25, la lnea de interaccin obtenida proporciona las combinaciones posibles
de Mux y Muy que provocaran falla a determinada carga axial P u. Esta lnea es un
contorno de carga constante de la superficie de interaccin. En la figura 5.26 se ha
dibujado la lnea, y el anlisis muestra que su perfil es distinto al de una elipse (o
distinto a un crculo en el caso especial de M^ = Muy). La desviacin de la lnea de
interaccin respecto de una lnea circular es mxima para flexin a 45 respecto de
los
ejes mayores para el caso Mux Muy, Es difcil deducir una expresin para la forma
de la lnea de interaccin en el caso general debido a que sta vara con la
geometra de la seccin, la resistencia de los materiales, el arreglo y cuanta del
acero y el nivel de carga axial.
Es evidente que la preparacin de grficas de diseo basadas en las superficies
reales de interaccin para columnas con flexin biaxial requiere considerar un gran
nmero de variables. No se podran proporcionar superficies de interaccin qu
abarcarn todos los casos posibles de diseo sin un gran nmero de grficas.
Por las complicaciones de la teora, muchos diseadores en la prctica han
tratado en forma inadecuada o ignorada del todo la flexin biaxial. Sin embargo, se
dispone de enfoques de diseo para la flexin biaxial en que se reduce el trabajo de
diseo utilizando aproximaciones simplificadoras. En la siguiente seccin se
estudian algunos de estos mtodos aproximados y su exactitud.
5.4.2
Mtodos aproximados de anlisis y diseo por flexin biaxial
Los mtodos aproximados de anlisis y diseo para la flexin biaxial pertenecen a
tres grupos generales. Empezaremos estudiando los mtodos de superposicin.
Mtodos de superposicin
Se han sugerido algunos mtodos simplificados de superposicin que reducen la
flexin inclinada a flexin alrededor de los ejes principales de la seccin, lo que
permite utilizar procedimientos para flexin uniaxial. Morn ha estudiado estos
mtodos para el caso de refuerzo simtrico.
Uno de los mtodos es determinar el refuerzo requerido para cada uno de los
casos de carga (Pu, Muy) y (Pu, MUJC) por separado, acumulando el refuerzo
resultante. Esto equivale a aplicar la carga primero en el punto 1 y luego en el punto
2 de la figura 5.27a. Este mtodo no tiene base terica, de manera que no debe
emplearse, ya que puede producir grandes errores del lado de la inseguridad debido
a que se toma en cuenta la resistencia completa del concreto dos veces en el
diseo.
En forma alterna, se puede tomar cualquier lnea recta 1-2 que pase por el punto
en que acta Pu (vea la figura 5.27b). El refuerzo requerido para cada mo de los
casos de cargas Pu en el punto 1 y Pu en el punto 2, se determina por separado y se
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obtiene el refuerzo resultante mediante suma. En el cdigo de construccin de
Venezuela se ha empleado este mtodo. De acuerdo con Mran, los resultados
siempre estn del lado de la seguridad y en algunos casos pueden llegar a ser
excesivamente conservadores.
En otro mtodo, se remplaza Pu por dos fuerzas estticamente equivalentes Pux y Puy
localizadas en los puntos 1 y 2 (vase la figura 5.27b) de los ejes. Se determinan
por separado y luego se suman los refuerzos requeridos para cada uno de los casos
de cargas Pux en 1, tomando la resistencia del concreto como f 'cPuJPu, y Puy en 2
tomando la resistencia del concreto como f' cPuy/Pu.. Aunque este mtodo no tiene
base terica, Morn comenta que las soluciones obtenidas en los casos
considerados parecen ser satisfactorias.
Mtodo de la excentricidad uniaxial equivalente
En la figura 5.28 se presenta la lnea de interaccin para una seccin rectangular de
columna con pandeo biaxial bajo una carga mxima constante. Las combinaciones
posibles de excentricidad para una carga mxima constante P u estn dadas por la
lnea. Por tanto, la carga mxima para cualquier punto de aplicacin (ey,ex) en la
lnea es igual a la carga mxima para un punto de aplicacin con excentricidad
uniaxial ea. Esto ilustra un enfoque posible de diseo si la forma de la lnea de
interaccin fuera conocida, sera posible hacer el diseo para la carga P u que acta
a la excentricidad uniaxial equivalente ea, permitiendo de esta manera, la consideracin de pandeo en una sola direccin.
Se ha propuesto una diversidad de expresiones analticas aproximadas para
poder determinar la excentricidad uniaxial equivalente e a. Por ejemplo, Morn
reporta la siguiente ecuacin adoptada por el cdigo espaol en 1968.
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en qu ex ey y p es un factor tabulado en el cdigo que depende del nivel de carga
axial y la cuanta de acero.
Mtodos basados en aproximaciones para el perfil de la superficie de interaccin
Se han hecho varas sugerencias para el perfil de la superficie de interaccin de la
que pueden calcularse las resistencias a flexin biaxial, conocidas las resistencias
uniaxiales.
Una expresin tomada del cdigo ruso, deducida por Bresler 513 para la
resistencia de una columna cargada biaxialmente es en que Pu = carga ltima bajo
la flexin biaxial, P = carga ltima cuando slo est presente la excentricidad e x
(vgr, carga aplicada en el punto 1 de la figura 5.27a), P uf = carga ltima cundo slo
est presente la excentricidad ey (vgr, carga aplicada en el punto 2 de la figura
5.27a) Pa = carga ltima cuando no hay excentricidad. Esta expresin tiene la
desventaja de ser ms adecuada para el anlisis que para d diseo. Breler encontr
que la carga ltima predicha por la ecuacin 5.41 concuerda excelentemente con las
cargas ltimas dadas por la teora y por los resultados de pruebas, en que la
desviacin mxima de los resultados de prueba encontrados es de 9.4
Bresler513 tambin sugiri que la familia de lneas de interaccin que corresponde
a los distintos niveles de carga constante P M se puede aproximar mediante la
ecuacin
en que Mux = Puey> Muy = Puex, ex y ey son las excentricidades de P u, y Muxo y MUyo
son las resistencias a flexin uniaxial alrededor de los ejes x y y para la carga
constante bajo consideracin. Las constantes m y n dependen de las propiedades
de la columna y se determinaron experimentalmente.
Parme y asociados514 reformularon la ecuacin 5.42 como
en que /? es el parmetro que determina el perfil de la lnea de interaccin. El efecto
de los distintos valores de /? en la forma de la lnea de interaccin est
representado en la figura 5.29. Parme y colaboradores calcularon analticamente los
valores de P que estn mostrados en grficas para una diversidad de disposicin de
varillas, resistencia de cedencia del acero, ndice de refuerzo ptfy/f'c, y valores de
PJP0 Estos valores de junto con los valores uniaxiales de la capacidad de momento
y un diagrama tal como el de la figura 5.29 se pueden utilizar para determinar la
capacidad a flexin biaxial una seccin dada de columna.
Pannell515 y Furlong511 han proporcionado otras sugerencias para el perfil de la
superficie de interaccin. Meek ha sugerido remplazar la
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Lnea curva de interaccin bajo carga ltima constante mediante dos lneas rectas.
Por ejemplo, si se conocen los puntos A, By Cela figura 5.30, se puede roiEpla7^ir
en forma segura la curva real mediante una lnea recta AB y otra
1:1 britnico CP110: 1972 5 17 recomienda usar la ecuacin de interaccin 5.42
con m = n igual a 1.0 a niveles de carga axial baja, aumentando linealmente hasta
2.0 a niveles de carga axial alta. Esto proporciona un enfoque conservador simple.
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obtener en base a los principios fundamentales las curvas de interaccin de P u
contra Pue para columnas cuadradas con la carga aplicada con distintas
excentricidades a lo largo de la lnea de una diagonal
ecuc .la seccin. Se utiliz el bloque rectangular equivalente de esfuerzos obtenido
para reas comprimidas rectangulares para aproximar las caractersticas del bloque
de esfuerzos del rea de concreto comprimido triangular o cuasi triangular. Las
grficas son para/; < 40001b /plg. 2 (27.6 N/ mm2), / = 60.00 /plg-2 N/mm2), g = 0.6
a 0.9 y para columnas de 4. g 12 y 16 varillas (se considera individualmente a las
varillas en vez de como un perfil tubular delgado equivalente). Las grficas incluyen
un factor de reduccin de capacidad <p = 0.7. En la figura 5.31 aparece un ejemplo
de estas grficas, que tambin ha publicado el ACI. 5-9
Los pasos a seguir para utilizar las grficas para el diseo, dados P M, ext y ey
(vea la figura 5.32a) son los siguientes:
Solucin
Excentricidad del momento flexionante resultante
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Pero
Angulo entre la direccin del eje de las y y la direccin de e
Para la seccin de columna, supngase que el centroide de cada varilla est a 3 plg.
del borde prximo.
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interpolacin debe realizarse con respecto al ngulo de la direccin de excentricidad
de la seccin cuadrada equivalente, dada por 6' = tan -1 (exh/eyb).
En forma anloga, cuando se utilizan las grficas para analizar secciones, se
puede calcular la capacidad de momentos a cualquier ngulo equivalente 6'
interpolando linealmente entre los valores uniaxial y diagonal encontrados utilizando
los trminos adimensionales de la carga y momento recin dados.
Se desea que una seccin de columna rectangular (Figura 5.33) soporte la carga en
la posicin mostrada. Se reforzar la seccin mediante 16 varillas distribuidas
uniformemente en todas las caras. Encontrar el rea de acero requerida si <P= 0.7,/'
= 4000 Ib./plg2. (27.6 N/mm2), y / = 60,000 lb./plg2-. (414 N/mm2).
Solucin
Para la seccin y cargas mostradas se tiene
Supngase g = 0.7 En consecuencia se pueden utilizar las figuras 5.31 y 5.22. De la
primera (0' = 45), ptm = 0.72, y de la figura 5.22 5.22 (6' = 0) p tm = 0.49. (Ntese
que ambas grficas incluyen el valor requerido para (p.) Interpolando para 0' --=
36.87 se obtiene
Sin embargo, se debe notar que la interpolacin entre grficas para cargas en
una diagonal y cargas en un eje principal para secciones con h/b grande puede
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introducir errores significativos que se ha estimado que pueden llegar hasta el 10%
del lado de la inseguridad en algunos casos 519
Grficas de diseo de Row y Paulay
Se puede mejorar la exactitud del mtodo de interpolacin lineal de Weber si se
dispone de grficas de diseo en que la direccin de la excentricidad est inclinada
a distintos ngulos respecto de los ejes principales, permitiendo la interpolacin
entre una diversidad de puntos sobre la lnea de interaccin de carga constante.
Adicionalmente se pueden tener ciertas dudas respecto de la exactitud del bloque
rectangular equivalente de esfuerzos obtenido para reas comprimidas
rectangulares cuando se utiliza para secciones de columna con reas comprimidas
no rectangulares, como ya se mencionara en la seccin 3.4.
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ambos lados del valor calculado de K de la grfica. Calcular el valor de & que
corresponde a cada uno de esos valores de K.
4. Calcular el acero requerido para el valor calculado de K interpolando
linealmente entre las cuantas de acero para los valores de 0'.
En forma anloga, cuando se utilizan las grficas para analizar secciones, se
puede calcular la capacidad de momentos en cualquier ngulo 0' interpolando
linealmente entre las capacidades de momentos de los valores adyacentes de K. Se
asevera519 que el mtodo de interpolacin es exacto hasta dentro de 2.5 %
Ejemplo1 5.8
Se requiere que la seccin de columna rectangular de la fig. 5.33 soporte la carga
en la posicin mostrada. Se reforzar la seccin mediante varillas distribuidas
uniformemente, con AJA en cada cara. Encontrar el rea de acero requerida si <P =
0.7, f'c = 4000 Ib./plg.2 (27.6 N/rara2), y /, = 60,000 lb./plg.2 (414 N/mm).
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cada extremo. La deformacin por flexin de la columna hace que la excentricidad
de la carga en la seccin crtica sea e + A, en que A es la excentricidad adicional
debida a la deflexin en esa seccin. En consecuencia, el momento flexionante
mximo aumenta hasta P(e + A) a esto comnmente se le conoce como el efecto
PA- La importancia
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la seccin cuando se llega a la lnea de interaccin. Si la co lumna es esbelta, el
momento mximo M es igual a P(e -f A), y debido a que A aumenta ms
rpidamente a niveles de carga elevada, la trayectoria P-M es curva. Pueden ocurrir
dos tipos de comportamiento de columna esbelta. Primero, una columna puede ser
estable bajo la deflexin A, pero despus de alcanzar la lnea de interaccin ocurre
una falla del material de la seccin. Este tipo de falla generalmente ocurre en las
columnas de edificios que estn arriostradas contra deflexiones laterales. En
segundo lugar, si la columna es sumamente esbelta, puede hacerse. Inestable antes
de alcanzar la lnea de interaccin. Esta falla de inestabilidad puede ocurrir en
columnas no arriostradas.
Se puede ilustrar el comportamiento de columnas esbeltas para determinadas
condiciones de cargas y extremos, utilizando diagramas de interaccin de columnas
esbeltas. La fig. 5.38 revela la construccin de uno de estos diagramas, ilustrado por
MacGregor y asociados.5 20 La figura 5.38a es el diagrama de interaccin para la
seccin crtica de una columna
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aumento en el momento debido a las deflexiones, y el momento mximo decrece, lo
que produce un aumento en la capacidad de carga. Sin embargo, para una columna
esbelta en un marco arriostrado, los momentos debidos a las deflexiones tienden a
aumentar ms rpidamente que los momentos restrictivos, y el momento mximo
aumenta con lo que se disminuye la capacidad de carga. La figura 5.42a muestra un
marco arriostrado probado por Furlong y Ferguson. 5 21 Las columnas tenan una
relacin de IJh igual a 20 y estaban cargadas en curvatura simple con e/h = 0.106.
La falla ocurri en la seccin A mitad de la altura de una columna. La figura 5.426 es
el diagrama de interaccin para la seccin de columna con las trayectorias P-M
medidas durante la carga en las estaciones A y B. Aunque las cargas PyaPse
aplicaron proporcionalmente, la variacin del momento en B al aumentar la carga es
no lineal, ya que el momento disminuy finalmente al aumentar la carga, debido a
que la
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deflexiones y momentos adicionales, y adems debe tomarse en cuenta el efecto de
la carga axial en la rigidez rotacional de los miembros a compresin. Los momentos
mximos determinados deben incluir el efecto de los desplazamientos y rotaciones
en el marco.
El enfoque ms racional es utilizar este tipo de anlisis para determinar las
acciones de columnas para el diseo de secciones, pero debido a su complejidad, el
anlisis depende de la disponibilidad de programas de computadora escritos
adecuadamente.
5.5.3
Enfoque del diseo aproximado para columnas esbeltas: El mtodo
amplificador de momentos
Si se utiliza el anlisis estructural convencional de primer orden, basado en
rigideces relativas aproximadas y en ignorar el efecto de desplazamientos laterales
de miembros, para determinar los momentos y fuerzas en un marco, se deben
modificar las acciones as encontradas para tomar en cuenta los efectos de segundo
orden. Entonces se proporcionan las secciones para que resistan las acciones
modificadas. El procedimiento de diseo dado en ACI 318-71 5,3 para este propsito
es el mtodo amplificador de momentos, semejante al utilizado en las
especificaciones del Instituto Norteamericano de Construccin del acero.5-23
El mtodo
En el diagrama de interaccin de la fig. 5.43 se ilustra el mtodo amplificador de
momentos. Considrese que la carga y el momento ltimo a resistir, encontrados
utilizando un anlisis de primer orden, son P u y Mu = Pue. Entonces la carga y
momento utilizados en el diseo de la seccin son P u y 5MU, en que d es el factor de
amplificacin de momentos.
La siguiente relacin5-3 proporciona el factor <5 de amplificacin de momentos
en que Cm = factor del efecto de extremo que debe tomarse como 0.6 + 0.A[MXIM2) >
0.4 para columnas arriostradas contra desplazamiento lateral y sin cargas
transversales entre soportes, o C m = 1.0 para los dems casos Ai i = el ms
pequeo de los momentos ltimos en los extremos de la columna, encontrados en el
anlisis de primer orden, positivos si el miembro se flexiona en curvatura simple y
negativo si en curvatura doble M 2 = el mayor de los momentos ltimos en los
extremos de la columna, que se encuentra en el anlisis de primer orden, y siempre
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positivo Pu = carga ltima en la columna (p factor de reduccin de capacidad
= carga de pandeo crtico elstico terica de Euler k = factor de longitud efectiva
para las columnas, que vara entre 0.5 y 1.0 para marcos arriostrados y mayor que
1.0 para marcos no arriostrados lu = longitud no soportada de la columna
= rigidez a flexin de la seccin de la columna E c = mdulo de elasticidad del
concreto, dado por la ec. 2.1 I g = momento de inercia de la seccin bruta del
concreto de la columna alrededor del eje centroidal, ignorando el refuerzo E s =
mdulo de elasticidad del acero
Is = momento de inercia del refuerzo alrededor del eje centroidal de la seccin
transversal de la columna p d = factor de flujo plstico del concreto igual a la
relacin del momento mximo de dise por carga muerta al momento mximo
de diseo por carga total, siempre positivo, y dentro del rango 0 =$ fi d ^ 1. Hay
una diversidad de casos en que esta definicin de P d falla (por ejemplo,
excentricidad mnima, momentos de distintos signos etc.) y parecera que una
definicin ms satisfactoria fuera tomar a fi d como la relacin de la carga muerta
de diseo mxima a la carga total de diseo mxima.
En la tabla 5.1 se comparan las ecuaciones 5.48 y 5.49 para distintas relaciones de
P/Pc La ec. 5.48 aproximada da momentos mximos algo inferiores, pero la
concordancia es mejor dentro del intervalo usual de valores bajos de P/P ( que est
dentro de 11% para P/Pe < 0.5. Por tanto, se ha recomendado la ec. 5.48
aproximada simple para columnas flexionadas en curvatura simple por momentos
iguales de los extremos.
Si los momentos de los extremos son desiguales, la ec. 5.48 es demasiado
conservadora, especialmente cuando los momentos de los extremos son de distinto
signo. Para el caso de momentos desiguales de los extremos, se puede estimar el
momento mximo de la columna sustituyen
En las siguientes secciones se estudian brevemente las ecuaciones para el
factor S amplificador de momentos y la rigidez El a flexin, y los mtodos para
calcular el factor de longitud efectiva k.
Los factores de amplificacin de momentos y de efecto del extremo y C m
En el intervalo elstico, la relacin 5.48 proporciona una aproximacin para el
momento flexionante mximo en las columnas con momentos iguales en los
extremos y flexionadas en curvatura simple
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Consecuentemente, el diseador debe aplicar su juicio.
El valor de k para marcos arriostrados y no arriostrados depende de la restriccin
rotacional en las juntas expresadas por el parmetro \f/, en que
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medidas y calculadas para las columnas. Es evidente que el mtodo de diseo es
conservador en la mayora de los casos.
El ACI 318-715 3 requiere que se considere a las columnas como esbeltas en
marcos arriostrados cuando kjr ^ 34 12MJM2,O en marcos no arriostrados
cuando klur ^ 22, en que r es el radio de giro de la seccin. Para columnas con kljr >
100, se debe hacer un anlisis del tipo descrito en la seccin 5.5.2. Para secciones
rectangulares, se puede considerar r = 0.3 de la dimensin de la seccin en la
direccin de pandeo posible.
En marcos no arriostrados, se debe calcular el valor de S de la ec. 5.44 para
todo el piso, suponiendo que todas las columnas estn cargadas, tomando P u y Pc
como la sumatoria, ZPU y IPc, para todas las columnas de esa planta. Al disear
cada columna individual de esa planta, se debe tomar como el mayor de los
valores mencionados antes calculados para toda la planta o el valor calculado para
la columna individual, suponiendo que sus extremos estn arriostrados. En las
columnas que no estn arriostradas, se deben disear las vigas para los momentos
amplificados de los extremos de las columnas en las juntas. Cuando las columnas
estn sujetas a flexin biaxial, se debe amplificar el momento alrededor de cada eje,
usando el valor de S calculado para cada eje. En los manuales 5-9-5 del ACI se
dispone de auxiliares de diseo para el mtodo amplificador de momento. Aunque el
manual5 9 de diseo de columnas se basa en el cdigo ACI de 1963 que utiliz un
enfoque de factor de reduccin para el diseo de columnas esbeltas, el manual
tambin incluye auxiliares de diseo para el mtodo amplificador de momentos. El
manual 510 de diseo ms reciente contiene algunos ejemplos de aplicaciones del
mtodo amplificador de momentos. Furlong 5 :9 tambin proporciona algunos
auxiliares tiles de diseo.
Ejemplo: 5.9
En la fig. 5.50 se muestra una cruja de un marco de concreto reforzado de plantas
mltiples, no arriostrado. Las columnas de los entrepisos superior e inferior tienen
dimensiones semejantes. Las acciones en la columna AB, en los extremos de la
longitud no apoyada, en la carga ltima calculada por el anlisis estructural de
primer orden son Mu = 289 kip pie (392 kN m) y P K = 200 kips (890 kN). El
concreto tiene j 'c = 4000 Ib /plg 2 (27.6 N/mm2)y Ec = 3.6 x 10ft (24,800N/mm2).El
acero tiene fy = 6CUDOO Ib /plg2(414 N/mm2) y Es = 29 x 106 Ib /plg (200,000
N/mm2). Se puede considerar que la relacin del momento de carga muerta de
diseo mximo al momento de carga total de diseo mximo fi d es 0.2. Determinar
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el rea de acero longitudinal requerido para la columna, utilizando un factor de
reduccin de capacidad <p de 0.7.
Solucin
Longitud efectiva de a columna
Para la columna / = p bh 3 = ^ x 20 x 20 3 = 13,330plg4 calcular 4> usando 0.5, /
para las vigas y EJy para las columnas. De la ec. 5.51 se tiene
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5.6
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