Scientia et Technica Ao XVIII, Vol. 18, No 1, Abril de 2013. Universidad Tecnolgica de Pereira.

ISSN 0122-1701

114

Optimizacin de portafolios de acciones utilizando

los multiplicadores de Lagrange
Portfolios optimization using Lagrange multipliers
Eduardo Arturo Cruz Trejos, Pedro Daniel Medina Varela, Hever Dario Salazar Arias,
Ingeniera Industrial, Universidad Tecnolgica de Pereira, Pereira, Colombia
ecruz@utp.edu.co
pemedin@utp.edu.co
hedasa@utp.edu.co

Resumen- El presente artculo plantea el uso de los

multiplicadores de LaGrange para solucionar el modelo de
optimizacin de carteras de inversin de Markowitz aplicado
a activos disponibles en el mercado accionario de la bolsa de
valores de Colombia, en un perodo de tiempo dado. La
utilizacin de los multiplicadores de Lagrange, en el mtodo
de seleccin ptima de carteras, resuelve el modelo de
programacin no lineal (PNL) mediante una nueva funcin
resultante de la combinacin lineal, entre la funcin objetivo y
las restricciones originales del problema planteado por
Markowitz. El beneficio que sobresale de esta metodologa es
la rapidez en el resultado de los porcentajes de inversin
sugeridos ante un cambio porcentual en la rentabilidad
esperada. Lo anterior es crucial al momento de tomar una
posicin de compra y/o venta en el mercado debido a la
velocidad con que se mueve el mercado en operaciones
intrada.
Palabras clave instrumento financiero, LaGrange,
Markowitz, optimizacin, Portafolio, rentabilidad, riesgo.
Abstract-This article discusses the use of Lagrange multipliers
to solve the optimization model of Markowitz portfolios
applied to assets in the stock market of the Stock Exchange of
Colombia, in a given time period. Using Lagrange multipliers,
the optimal selection method of portfolios, the model solves
nonlinear programming (NLP) by a new function resulting
from the linear combination between the objective function
and the constraints posed by original problem Markowitz .
The benefit of this methodology excels is the speed in the
outcome of the investment percentages suggested to a
percentage change in the expected return. This is crucial
when making a buy position and / or sale in the market
because of the speed with which the market moves in intraday
trading.
Key Word - financial instrument, LaGrange, Markowitz,
optimization, portfolio, profitability, risk.

I.

INTRODUCCIN

En el campo de la teora de seleccin de carteras, ocupa un

lugar destacado Harry Markowitz, quien desarroll un
modelo de conducta racional del decisor para la seleccin
Fecha de Recepcin: 23 de Abril de 2013
Fecha de Aceptacin: 25 de Marzo de 2013

de carteras de ttulos-valores con liquidez inmediata. Desde su

aparicin, el modelo de Markowitz ha conseguido un gran xito
a nivel terico, dando lugar a mltiples desarrollos y
derivaciones, e incluso sentando las bases de diversas teoras de
equilibrio en el mercado de activos financieros, como la Lnea
de Mercado de Capitales (LMC) y Activos de Capital a Precios
de Mercado (CAPM), entre otros. [1]
El nmero total de estimaciones a realizar en el mtodo de
Markowitz se obtiene de la expresin (N2+3N)/2, siendo N el
nmero de ttulos de la muestra considerada. La incorporacin
de un nuevo ttulo a la cartera supone realizar N+2 estimaciones
adicionales. Por ejemplo, para una muestra de 500 ttulos seran
necesarias 125.750 estimaciones [2].
En este trabajo se plantea el desarrollo y aplicacin del modelo
de optimizacin de carteras de Markowitz, haciendo uso del
modelo de los Multiplicadores de Lagrange, que permiten
transformar el problema restringido de n variables a uno sin
restricciones con n+k variables, para este caso con k=2, cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas ms fcilmente, a partir de una
funcin sin restricciones construida como una combinacin
lineal de la funcin objetivo original y sus restricciones. El
anlisis de sensibilidad aplicado en el mercado de acciones de
la Bolsa de Valores de Colombia, permite establecer el cambio
que se presentan en las diversas opciones de portafolios a leves
cambios en la rentabilidad o riesgo, con esto se tiene mayor
precisin en la eleccin del mejor portafolio de acuerdo a las
preferencias del inversor de maximizar la rentabilidad y/o
minimizar el riesgo.
As mismo, se identificaron los pasos requeridos para aplicar el
modelo de anlisis de riesgo de Markowitz-LaGrange y su
anlisis de sensibilidad. Fue necesario desarrollar las siguientes
etapas:
Seleccionar las acciones ordinarias de las empresas que cotizan
en la bolsa de valores de Colombia. Establecer el modelo de
minimizacin de varianza planteado por Markowitz. Resolver el
modelo cuadrtico de Markowitz a travs de las tcnicas
matemticas de los multiplicadores de LaGrange. Utilizar la

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herramienta Solver de Excel, por tratarse de una hoja de

clculo de fcil accesibilidad, resuelve problemas de
Programacin no lineal mediante algoritmos cmo el
Gradiente Reducido Generalizado (GRG) en la versin
GRG25, el mtodo cuasi-Newton BFGS (BroydenFletcher-Goldfarb-Shanno), el Gradiente conjugado y
Branch And Bound, adicionalmente este complemento
utiliza el algoritmo simplex para resolver problemas
lineales. Analizar e interpretar los resultados obtenidos.
Analizar la sensibilidad a travs del mtodo denominado
sensibilidad M-Lagrange. Evaluar los resultados y elegir el
mejor portafolio obtenido aplicado al mercado de valores
colombiano.
II.

CONTENIDO

A. Marco terico
1.

Teora de Portafolio

Se entiende por portafolio a una combinacin de activos.

La teora del portafolio trata acerca de la solucin ptima
de dichas combinaciones, para inversores a versos al
riesgo. La teora maneja dos conceptos fundamentales, los
rendimientos y los riesgos, tanto para activos individuales
como para portafolios [3].
En este estudio se analiza el mtodo de optimizacin de
carteras de Markowitz, cuya no linealidad se resuelve por
el mtodo de los Multiplicadores de LaGrange, para
agilizar la toma de decisiones (tomar posiciones en el
mercado de valores) en operaciones de intrada.
2.

Multiplicadores de LaGrange

En los problemas de optimizacin, el mtodo de los

multiplicadores de LaGrange, llamados as en honor a
Joseph Louis LaGrange, es un procedimiento para
encontrar los mximos y mnimos de funciones de varias
variables sujetas a restricciones. Este mtodo reduce el
problema restringido con n variables a uno sin restricciones
de n + k variables, donde k es igual al nmero de
restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas ms
fcilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas,
una para cada restriccin, son llamadas multiplicadores de
LaGrange.
El mtodo dice que buscar los extremos condicionados de
una funcin con k restricciones, es equivalente a buscar los
extremos sin restricciones de una nueva funcin construida
como una combinacin lineal de la funcin y las
restricciones, donde los coeficientes de las restricciones
son los multiplicadores. La demostracin usa derivadas
parciales y la regla de la cadena para funciones de varias
variables. Se trata de extraer una funcin implcita de las
restricciones, y encontrar las condiciones para que las

derivadas parciales con respecto a las variables independientes

de la funcin sean iguales a cero.
Sea f (x) una funcin definida en un conjunto abierto ndimensional {x Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0,
k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
( , ) =

(1)

Se procede a buscar un extremo para h

= 0 (2)
Lo que es equivalente a
=

(3)

Los multiplicadores desconocidos k se determinan a partir de

las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene
un extremo para h que al mismo tiempo satisface las
restricciones (gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada. [4]
3.

Teora de Portafolio de Markowitz

Markowitz advirti que el problema de seleccin de inversiones

implicaba la nocin central de incertidumbre (o riesgo) [5],
significaba reconocer que cualquier inversin financiera tiene
ms de un resultado posible en trminos de rendimiento y que,
en el mejor de los casos, slo es posible conocer o inferir una
distribucin de probabilidades para el resultado de la misma. Si
no existiera incertidumbre todos los inversionistas invertiran en
el activo que ofreciera la ms alta tasa de rendimiento, lo que
equivale a decir que slo poda existir un nico activo de
inversin. Por otro lado, si se considera slo el valor esperado de
los rendimientos, la inversin escogida sera aquel activo que
tuviese el valor esperado ms alto. En ambos casos, no se
planteara el problema de la diversificacin de activos.
Es fcil cuantificar el rendimiento esperado de una inversin si
se conocen los valores iniciales y finales esperados de la misma.
En cuanto al riesgo financiero, desde Markowitz se acepta que
una medida de ella es la varianza (o desviacin estndar) de los
rendimientos. Puesto que normalmente no es posible encontrar
activos que al mismo tiempo tengan los rendimientos esperados
ms altos y el riesgo ms bajo, el inversionista se encuentra en
un dilema entre rendimiento y riesgo que se resuelve
dependiendo de la tasa personal a la que l est dispuesto a
intercambiar riesgo por rendimiento. El anlisis reconoce que no
todos los inversionistas tienen el mismo grado de hostilidad al
riesgo y, por lo tanto, la tasa a la que cada inversionista prefiere
canjear ms riesgo por ms rendimiento es subjetiva [6].
Una de las formas de encontrar este conjunto de portafolios
eficientes es a travs del siguiente modelo, que slo considera la
minimizacin de la varianza media del portafolio y que

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corresponde al siguiente esquema de programacin no

lineal, (ver modelo de Harry Markowitz).
1
2

116

establecer la rentabilidad promedio, la varianza y el riesgo de

cada activo. (Tabla 2)
Tabla 2. Rentabilidad, varianza y riesgo.

1
=
2

(4)

Sujeto a:
=

= 1, donde
arbitraria

Estadgrafo Vcanacol Vecopetrol Vpetrominer Vpacific Visagen

es una tasa de rendimiento

El resultado ms importante del enfoque de Markowitz es

que permite deducir combinaciones de activos (portafolios)
que simultneamente cumplen con dos condiciones: (a)
tienen la varianza mnima dentro de todas las
combinaciones posibles que tienen un rendimiento
esperado dado y (b) tienen el rendimiento esperado
mximo dentro de todas las combinaciones posibles
que tienen una varianza dada. Aquellas combinaciones que
renen estos dos atributos se llaman portafolios
eficientes.

Rentabilidad
promedio

0.64%

0.45%

0.59%

0.90%

0.23%

Varianza

0.05%

0.01%

0.05%

0.03%

0.01%

Riesgo

2.34%

1.18%

2.29%

1.65%

0.90%

2.

Modelo de Markowitz solucionado a travs de los

multiplicadores de Lagrange

Como se ha indicado a lo largo del desarrollo de este trabajo, el

problema de optimizacin de Markowitz se puede resolver, entre
otras, por la tcnica de multiplicadores de Lagrange. Es
necesario transformarlo en una nueva funcin resultante de la
combinacin lineal, entre la funcin objetivo y las restricciones
originales del problema. [8]
La funcin Lagrangiana (L) es:

B. Aplicacin del modelo de optimizacin de carteras

de Markowitz, a travs de los multiplicadores de
Lagrange en el mercado burstil colombiano
1.

Establecimiento del modelo de minimizacin de

varianza planteado por Markowitz con acciones de
la bolsa de valores de Colombia

El desarrollo del modelo de portafolio de Markowitz se

realiza en la hoja de clculo de Excel, a travs de una
macro en Excel, creado en lenguaje Visual Basic. El
modelo se establece con cinco de las acciones ms
burstiles en Colombia con la informacin requerida para
el perodo comprendido entre enero 2 a febrero 22 de 2012.
(Ver tabla 1). Las acciones seleccionadas son: Canacol,
Ecopetrol, Petrominerales, Pacific rubiales e Isagen. [7]
Tabla 1. Histrico de Acciones en el Mercado Burstil
Colombiano
ecopetrol

petrominer

pacific

Isagen

02/01/2012 1395.8436

fc_oper

4206.7474

31786.096

35548.448

2080.25662

03/01/2012 1462.3906

4262.6502

32705.387

36375.65

2079.283

06/01/2012 1573.0868

4315.3207

31574.624

36990.25

2066.26206

17/02/2012 1624.5336

5016.4407

36664.05

48740.223

2274.91175

20/02/2012 1624.3501

5022.7801

36983.302

48920.034

2303.39361

21/02/2012 1654.9997

4970.3395

37641.557

49200.878

2293.7753

22/02/2012

4931.5584

38931.697

48900.005

2252.65767

Canacol

1739.032

Partiendo de los datos de la tabla 1, se calculan las

variaciones diarias del precio de cada accin (V), para

1
2

(5)

Donde 1 y 2 corresponden a los multiplicadores de Lagrange,

que miden el grado de sensibilidad del valor ptimo del
problema por cambios en las restricciones. Tomando como base
esta funcin se realizan las derivadas de primer orden como se
muestra a continuacin:
=

++

= 0 (6)

+ +

=0

++

=0

+ +
+ +

=0
1=0

El sistema anterior se expresa mediante una matriz de n+2 filas

con n+2 columnas, que para este caso sera de dimensin 7x7,
donde las primeras n=5 filas y n=5 columnas corresponden a la
matriz de varianza covarianza, la cual contiene en su diagonal
principal las varianzas entre las mismas acciones y en la parte
inferior y superior de la misma, las covarianzas por pares. Las
dos ltimas filas y columnas corresponden al vector de
rentabilidades promedio de cada accin, y al vector de la
restriccin que garantiza que el total de los recursos son
invertidos respectivamente [9]. Para este caso la matriz de
varianza covarianza aumentada es la establecida en la tabla 3.
Tabla 3. Matriz de Varianza Covarianza aumentada

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0.001093

9.26E+00

0.000324

0.00028 -5.24E-02 -0.0064 -1Corresponde

9.26E+00

0.000279

0.000157

0.00018

0.000324 0.000157

0.001046

0.00052 -6.53E-01 -0.0059

0.000277 0.000185

0.000519

0.00055

3.10E-01 -0.0090 -1

-5.24E+00 7.30E+00

-6.53E+00

3.10E-01

0.00016

-0.006388 -0.00449

-0.0059

-1

-1

7.30E-01 -0.0045

-1

Tabla 6. Vector de las incgnitas (W)

-0.0023 -1

-0.00903 -0.00225

-1

-1

Utilizando algebra matricial se puede representar la matriz

anterior con la letra A, el vector de incgnitas con la letra
W y el vector de trminos independientes con la letra B,
quedando por resolver el siguiente sistema de n+2=7
ecuaciones por n+2=7 incgnitas:
A. W = B
(7)
Para resolverlo, se multiplic a ambos lados por la matriz
de varianza covarianza aumentada invertida A-1. Para
invertir la matriz de varianza covarianza aumentada, se
utiliz la funcin de Excel = {MINVERSA (RANGO)}.
Obtenindose el resultado de la tabla 4.
Tabla 4. Matriz de varianza covarianza aumentada
invertida
998

-269

-154

-138

0.06 -0.0979

-269

5,063

-349 -1,321 -3,123

0.03 -0.1401

-154

-349

1,377

-531

-437

-1,321

-531

989

-138

-3,123

-342

1,300

2,302

0.064

0.0300

71.5

-186

115

-0.098 -0.1401 -0.340

-437

-342

0.622 -1.043

A-1 . A. W = A-1 . B
W = A-1 . B
3.

71.50 -0.3402

1,300 -186.11

0.6216

114.51 -1.0435
-10.23

(8)
(9)

Vector de los trminos independientes (B):

4.

-0.018% -1

Vector de las incgnitas (W):

9.73%

13.98% -30.55% 105.88% 0.96%

1= 6.123%
2=-0.01%
Este ltimo vector W, corresponde a la solucin del sistema, que
adems de los dos multiplicadores de Lagrange 1 y 2 ubicados
en las dos ltimos componentes, presenta las proporciones que
hay que invertir en cada uno de los n=5 activos, para obtener
como mnimo la tasa de rendimiento del mercado r m y que ese
portafolio tenga la varianza mnima dentro de todos los
portafolios que tienen esa tasa esperada de rendimiento. Si se
repite el procedimiento anterior para un conjunto de valores
distintos de rm que sean superiores a la tasa de rendimiento del
mercado rpm = 0,0180% para este ejemplo, se tiene un nmero
suficientemente grande de portafolios que forman parte de la
frontera eficiente, puesto que entre dos nmeros siempre hay
otro, es decir, el nmero de pruebas posibles es infinito; la
cantidad de estas depender del inters y objetivos del inversor.
5.

Datos del portafolio

Para calcular la rentabilidad y el riesgo del portafolio compuesto

por los n=5 activos, es necesario considerar la rentabilidad como
un promedio ponderado de los rendimientos de todos sus
componentes, que se obtiene mediante la siguiente
multiplicacin vectorial:
rp = WT .Ri

0.03 -0.0002

Tabla 5. Vector de los trminos independientes (B):

0

W=

0.0312

Contiene los valores del lado derecho de las restricciones

del modelo de Markowitz modificado con la derivada de
primer orden del Lagrangiano, es decir, rentabilidad
esperada del portafolio y la restriccin que garantiza la
utilizacin del ciento por ciento de los recursos.

B=

al vector de las ponderaciones de inversin W y los

dos
Lambdas
o multiplicadores de Lagrange, obtenido con el
-1
producto punto entre la matriz de varianza covarianza
-1aumentada inversa y el vector de trminos independientes B.

(10)

Dnde WT es el transpuesto del vector de ponderaciones, cuya

sumatoria debe dar 1, y Ri es el vector de las tasas esperadas de
rendimiento del portafolio, ver la tabla 7.
Tabla 7. Cculo de la rentabilidad del portafolio.
Inversiones
Canacol
Ecopetrol
Petrominer
Pacific
Isagen

9.73%
13.98%
-30.55%
105.88%
0.96%

Suma

100.00%

Rent. Portafolio

0.90%*

Rentabilidad
promedio
0.64%
0.45%
0.59%
0.90%
0.23%

*En excel: =sumaproducto (Rango_inversiones; Rango_Rentab)

Scientia et Technica Ao XVIII, Vol. 18, No 1, Abril de 2013. Universidad Tecnolgica de Pereira.

La varianza del rendimiento del portafolio

por la siguiente expresin:
=

2
p

esta dada

Tabla 8. Tabla de covarianzas, organizada por pares

ACCION J

Covarianzas

% Ai

% Aj

CANACOL

ECOPETROL

4.63E-05

9,73%

13,98%

CANACOL

PETROMIN

0.00016

9,73%

-30,55%

CANACOL

PACIFIC RUB 7.85E-05

9,73%

105,88%

CANACOL

ISAGEN

0.000138

9,73%

0,96%

ECOPETROL

PETROMIN

9.24E-05

13,98%

-30,55%

ECOPETROL

PACIFIC RUB 0.000259

13,98%

105,88%

ECOPETROL

ISAGEN

-2.62E-05

13,98%

0,96%

PETROMIN

PACIFIC RUB 3.65E-05

-30,55%

105,88%

PETROMIN

ISAGEN

-3.26E-05

-30,55%

0,96%

PACIFIC RUB ISAGEN

1.55E-05

105,88% 0,96%

Se completa la tabla 7 con las varianzas y las inversiones

elevadas al cuadrado tal como se muestra a continuacin:
Tabla 9. Clculos previos a la varianza del portafolio

Acciones Inversiones
Canacol
9.73%
Ecopetrol
13.98%
Petrominer -30.55%
Pacific
105.88%
Isagen
0.96%
Suma
100.00%

0,04%
2,04%

De las tablas 7 y 11, se deduce que la rentabilidad ptima de este

portafolio, es del 0,90% con un riesgo del 2,04%, debiendo
invertir en cada accin de acuerdo con lo indicado en la tabla 7

(11)

Para calcular 2, de acuerdo con la expresin 11, se

requiere que previamente se deban calcular las distintas
covarianzas por pares, como se indica en la tabla 8:

ACCION I

Var. Portafolio
Riesgo Portafolio

118

Rentabilidad
Inversin
promedio Varianza Cuadrada
0.64%
0.05%
0.95%
0.45%
0.01%
1.95%
0.59%
0.05%
9.33%
0.90%
0.03% 112.11%
0.23%
0.01%
0.01%

En los resultados dados en la tabla 9, se aprecia que en la

accin de petrominerales aparece una inversin de -30.5%,
interpretado financieramente como una venta en corto, es
decir, vender un activo financiero que no se posee. Al
momento de cumplir con el trato de venta se paga el
diferencial de la operacin o se acude a adquirir elactivo en
el mercado. El total de la inversin es de 100%, no se
contempla el apalancamiento financiero en este caso.
Seguidamente se procede a calcular la varianza (expresin
11), y por ltimo el riesgo del portafolio p , como la raiz
cuadrada de la varianza
Tabla 11 Clculo de varianza y riesgo del portafolio

III.

ANLISIS DE LOS RESULTADOS

La rentabilidad del portafolio (expresin 4), manifiesta que la

rentabilidad del portafolio es simplemente la ponderacin de las
rentabilidades esperadas de las acciones que conforman el
portafolio multiplicados por el porcentaje de inversin en cada
ttulo. El extremo derecho de la frontera eficiente corresponde a
invertir el 100% en la accin con mayor rentabilidad, en este
caso las coordenadas formadas por el riesgo y rentabilidad de la
accin de Pacific Rubiales (1.65%, 0.90%). Ver tabla 2.
El modelo de Lagrange que transforma una expresin
matemtica cuadrtica en lineal a travs de la derivacin, se
utiliza para resolver el problema matemtico del portafolio de
Markowitz: minimizar el riesgo (ver expresin 4). Al pasar de
un modelo cuadrtico a un modelo lineal se conjura la
utilizacin de un proceso iterativo para tener un resultado directo
acerca de la composicin de la inversin porcentual en las
acciones. El calculo directo de la cartera de inversin dada una
variacin de riesgo (ejemplo: 2 = 0.01%), cunto es la variacin
de la rentabilidad esperada y la composicin de lacartera de
inversin.
Facilita al inversor tomar posiciones en el mercado (posicin de
venta o de compra), en el menor tiempo posible, fundamental
para una participacin exitosa en el mercado de valores, en
especial en operaciones intrada.
Tabla 12. Tabla de vectores W, con las ponderaciones de
inversin y sus respectivos multiplicadores de Lagrange 1 y 2.
Petro
miner

Lambda Lambda
1

1,68%

0,78%

9,74%

13,98%

-21,99% 83,61% 14,66%

4,90%

0,01%

1,51%

0,72%

9,74%

13,98%

-17,71% 72,47% 21,51%

4,29%

0,01%

1,35%

0,66%

9,75%

13,99%

-13,43% 61,33% 28,37%

3,67%

0,01%

1,19%

0,60%

9,75%

13,99%

-9,15%

50,20% 35,22%

3,06%

0,01%

1,06%

0,54%

9,76%

13,99%

-4,88%

39,06% 42,07%

2,45%

0,01%

0,94%

0,48%

9,76%

13,99%

-0,60%

27,92% 48,92%

1,84%

0,01%

0,85%

0,42%

9,76%

13,99%

3,68%

16,79% 55,77%

1,22%

0,01%

0,81%

0,36%

9,77%

13,99%

7,96%

5,65%

62,63%

0,61%

0,01%

0,81%

0,30%

9,77%

14,00%

12,24%

-5,49% 69,48%

0,00%

0,01%

Riesgo Rentab canacol Ecopetrol

Pacific

isagen

El modelo de Lagrange se caracteriza por el uso de los

multiplicadores 1 2, relacionados con la rentabilidad y el
riesgo respectivamente. La interpretacin de los multiplicadores
de lagrange se basa en establecer en canto cambiara(Tilde)
porcentualmente la rentabilidad ante un cambio del 0.01% del
riesgo ( 2 = 0.01%). En estre caso 2 vara en 0.6%.

Scientia et Technica Ao XVIII, Vol. 18, No 1, Abril de 2013. Universidad Tecnolgica de Pereira.

119

Al diagramar las columnas 1 y 2 de la tabla 12, se obtiene

la grfica 1, denominada Lnea de frontera eficiente;
conformada por los portafolios ptimos cuyas
combinaciones de inversin asociadas, generan las
rentabilidades con el mnimo riesgo entre todas las
combinaciones factibles. [10]

inversor, tomar posicin en el mercado para comprar o vender

en el momento ms oportuno.
El clculo de los porcentajes de inversin por el mtodo de
Lagrange es inmediato, a diferencia del proceso interactivo que
se debe realizar con Solver. El factor tiempo es importante para
la toma de posiciones (comprar o vender) en el mercado de
valores, porque si dos inversionistas proponen el mismo valor de
negociacin, se prioriza el que tenga el ticket menor.

Grfica 1. Frontera eficiente del portafolio.

REFERENCIAS
FRONTERA EFICIENTE

[1] FRANCO CUARTAS, Fernando de Jess. Rentabilidad,

riesgo y optimizacin de portafolios. Ctedra Burstil, mdulo
estructura de portafolios. Medelln. 2004.

0.90%
0.80%
0.70%
0.60%

[2] BUENAVENTURA VERA, Guillermo; CUEVAS ULLOA,

Andrs Felipe. Una propuesta metodolgica para la
optimizacin de portafolios de inversin y su aplicacin al caso
colombiano. Tesis pregrado, Universidad ICESI, Colombia,
2005.

0.94%, 0.48%

0.50%
0.40%
0.30%
0.20%
0.60%

0.80%

1.00%

1.20%

1.40%

1.60%

1.80%

Para operaciones de corto plazo, por ejemplo cada 15

minutos resulta interesante conocer la sensibilidad de la
rentabilidad del portafolio en el punto tomado de la
frontera eficiente ante cambios mnimos del riesgo del
2 = 0.01%.. Ver grfica 1.
El mtodo ofrece tantas combinaciones de inversin como
desee el analista, una vez se conocen los dos puntos
extremos de la curva, es decir las rentabilidades extremas
con sus correspondientes riesgos.
IV.

[3] JOHNSON, Christian A. Mtodos alternativos de evaluacin

del riesgo para portafolios de inversin. Revista
Latinoamericana de Administracin. Universidad de los Andes.
Bogot, Colombia. Pgs. 33 65.
[4] WINSTON, Wayne L. Investigacin de Operaciones
Aplicaciones y Algortmos. Cuarta Edicin. Editorial Thomson
S.A. 2005
[5] OCHOA GARCA, Sandra Ibeth. Modelo de Markowitz en
la teora de portafolios de inversin. Tesis de Maestra, Ciencias
Sociales y Administrativas Instituto Politcnico Nacional,
Mxico, 2008.

CONCLUSIONES

El modelo de Markowitz, resuelto con multiplicadores de

Lagrange, es mucho ms rpido para resolver problemas de
optimizacin de portafolios de inversin correspondientes a
variaciones de precios pequeos durante perodos cortos de
tiempo, para casos de negociacin intrada o diario.
Los coeficientes arrojados por el mtodo de Markowitz
resuelto con Multiplicadores de Lagrange, denominados
1 y 2, estn relacionados con la variable rentabilidad y
riesgo respectivamente,
De la matriz de correlaciones (correlaciones bajas), se
puede apreciar que el portafolio ideal depende de un alto
grado de diversificacin, lo que se pierde de rentabilidad
por la baja en el precio de una o varias acciones del
portafolio, se recuperara por el incremento en el precio de
las otras acciones.
La relacin existente entre los multiplicadores de Lagrange
1 y 2 respecto a la rentabilidad y al riesgo permite al

[6] BASAK, Gopal; RAVI, Jagannathan; GUOGIANG, Dom.

Una prueba directa de la eficiencia de variacin media de una
cartera. Diario de la Dinmica Econmica y de Control. Tomo
26, temas 7 y 8, pgs.1195 1215. Julio de 2006.
[7] SUPERINTEDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA.
Circular
externa
052
de
2011.
http://www.superfinanciera.gov.co/ComunicadosyPublicaciones/
comunicadoespeciales.htm
[8] WESTON J., Fred; COPELAND, Thomas. Manual de
Administracin Financiera. Tomo 2. Ed. Mc Graw Hill. 1996
[9] BODIE ZVI, KANE ALEX, MARCUS ALAN J. Principios
de Inversiones. Edicin exclusiva Standard & Poors. Edicin 5.
Mc Graw Hill.
[10] LASA, Alcides Jos. Construccin de una Frontera
Eficiente
de
Activos
financieros
en
Mxico.
http://www.ajlasa.com/articulos/repfinf.pdf.

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