Sistema de Ecuaciones Lineales

TRABAJO PRCTICO N 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ASIGNATURA: MATEMTICA II (A.T.H.)- U.N.R.N. AO: 2014
1) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incgnitas por los mtodos
grfico, de igualacin y de sustitucin, indicando en cada caso qu tipo de sistemas son:
a)
2 x + y = 8
b)
3
x
2
y
=
2 x 5 y = 1
2 x 5 y = 3
c) 3 x y = 5
6 x + 2 y = 10
2) En los siguientes problemas, plantear el sistema de ecuaciones y luego resolverlo por cualquiera de
los mtodos vistos:
a) Un operador turstico vende un paquete de 100 pasajes areos a un destino A y 50 pasajes
areos a un destino B por un monto total de 145000$ a una agencia de turismo. Luego, esta agencia
vende al pblico todos estos pasajes, recaudando un total de 163200$. Si con la venta de cada
pasaje al destino A la agencia gan un 10% y con cada pasaje al destino B gan un 15%, cul era
el valor de cada pasaje originalmente?
b) En un aeropuerto trabajan 265 personas. El 10% de las mujeres y el 20 % de los hombres no
tienen estudios secundarios. Si el nmero total de personas que tienen estudios secundarios asciende
a 226 cuntos hombres y mujeres trabajan en ese aeropuerto?
c) Cul es la superficie de un terreno rectangular si su permetro es de 120 metros y el ancho es
el triple que el largo?
d) Una empresa tiene un salario constituido por un sueldo bsico y una bonificacin por ao de
antigedad. Si un empleado con 4 aos de antigedad gana $1900 y uno con 20 aos de antigedad
gana $3500, determinar cul es el sueldo bsico y cul la bonificacin por ao.
3) Proponer un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas que
sea: a) compatible determinado,
b) compatible indeterminado,
c) incompatible
Justifica en cada caso tus respuestas.
4) Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el mtodo de Gauss, indicando en cada caso qu
tipo de sistemas son e interpretando geomtricamente el resultado.
2 x + y = 5
a) x + 2 y = 2
x y = 3
3 x = 4 + z
b)
y = 2 3z
10 x y = 1
c) 5 x + y = 0
2 x + y = 2
x y = 1
d) 2 x 2 = 2 y
5 + 5 y = 5 x
x + y + z = 3
e)
2 x y z = 0
5) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 3 ecuaciones con 3 incgnitas por el mtodo de
Gauss, indicando en cada caso qu tipo de sistemas son e interpretando geomtricamente el resultado:
2 x + y z = 2
a) 2 x + 3 y + 5 z = 1
x + y + 6z = 2
x y + 3z = 3
b) x + 2 y z = 2
2 x + y + 2 z = 5
x + y 3z = 0
c) 2 x + y + z = 0
x + y + z = 0
3x + y 2 z = 1
d) 6 x + 2 y 4 z = 3
3 x y + 2 z = 2
6) Resolver los siguientes problemas, planteando el sistema de ecuaciones:

a) Una compaa aeronutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos
de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor
con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulacin est formada por 3 pilotos; el modelo B es un
turbohlice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulacin la forman 2 pilotos; el modelo C
es una pequea avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la maana,
despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. Cuntos aviones de
cada modelo tiene la compaa?
b) La suma de las edades de tres hermanos es de 32 aos. La edad del mayor es igual a la suma de
las edades de sus hermanos menores. Dentro de 8 aos, el mayor doblar la edad que tenga el menor.
Calcula la edad actual de cada uno de los hermanos.
c) Halla un nmero de tres cifras sabiendo que stas suman 18. Adems, la cifra de las decenas es
igual a la suma de las otras dos y, por ltimo, si a este nmero le restamos el que resulta de invertir el
orden de sus cifras, el resultado es 99.
d) Para una fiesta de casamiento, un fotgrafo tiene los siguientes precios: 90 fotos grandes y 60
fotos pequeas a $990; 135 fotos grandes y 90 fotos pequeas a un precio de $1485; y 117 fotos
grandes y 78 pequeas a $1287. Cunto sale cada foto grande y cada foto pequea?
e) En una reunin hay 22 personas, entre hombres, mujeres y nios. El doble del nmero de
mujeres ms el triple del nmero de nios, es igual al doble del nmero de hombres. Se puede
calcular cuntos hombres, mujeres y nios hay en la reunin? Si no es as, agrega el dato que
consideres necesario poder calcularlo y calclalo.
7) Determinar si los SEL de ejercicio 1) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su
solucin mediante el Teorema de Cramer.
8) Determinar si los SEL de ejercicio 4) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su
solucin mediante el Teorema de Cramer.
9) Resuelve los siguientes problemas aplicando cualquiera de los mtodos vistos, planteando
previamente en cada caso el sistema de ecuaciones correspondiente:
a) Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del 64% de pureza. As se
han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del 76%. Cuntos gramos pesaba la cadena y
cuntos el anillo?
b) Un fabricante produce tres artculos A, B y C. Por cada unidad vendida gana 1$ por A, 2$ por B y
3$ por C. Los costos fijos son 17000$ por ao, y los costos de produccin por cada unidad son 4$,
5$ y 7$ respectivamente. En el ao 2008 se fabricaron y vendieron un total de 11000 unidades
entre los tres productos, obteniendo 25000$ de ganancias. Si el costo total fue de 80000$, cuntas
unidades de cada producto fabricaron en el ao 2008?
c) Una compaa produce tres artculos A, B y C, que deben ser procesados en tres mquinas I, II y
III. El tiempo en horas requerido para el procesamiento de cada producto por las tres mquinas est
dado en la siguiente tabla:
I
II
III
A
3
1
2
B
1
2
4
C
2
1
1
La mquina I est disponible 490 horas diarias, la II durante 310 horas y la III durante 560
horas. Encuentre cuntas unidades de cada artculo deben producirse para utilizar todo el
tiempo disponible de las mquinas.
d) Las ecuaciones de la oferta y la demanda de cierto artculo son 3p + 5x = 200 y 7p 3x = 56
respectivamente. Hallar el punto de equilibrio del mercado. (Resolver tambin grficamente)
e) Un seor coloc $20000 en tres inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso total anual fue de
$1624, y el ingreso de la inversin del 10% fue el doble del ingreso del de la del 6%. De cunto
fue cada inversin?
f) Hern de Siracusa hizo hacer una corona de oro que pesaba 7465 gr. Para saber si el orfebre haba
reemplazado al oro por plata, Arqumedes sumergi la corona en agua, donde ella perdi 467 gr. de
su peso. Se sabe que el oro pierde 0,052 de su peso y la plata 0,095. Cunto oro y cunta plata
tena la corona?
g) Un cajero automtico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $ y un total de 2000 $. Si el nmero de
billetes de 10 $ es el doble que el nmero de billetes de 20 $, averigua cuntos billetes hay de cada
tipo.
h) Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de pesos.
Vendindolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%,
respectivamente, con lo que su beneficio total sera de 600000 $. Pero consigue ms, pues con la
venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio
total de 1,7 millones de pesos. Cunto le cost cada objeto?
i) Una compaa paga a sus trabajadores calificados $16 por hora y a los semicalificados $9,5 por
hora. Loe empleados que realizan envos cobran $10 la hora. A causa de un incremento en los
pedidos, la compaa necesita contratar 70 empleados ms, para lo cual ha decidido pagar un total
de $800 la hora. A causa de un arreglo con el sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores
semicalificados que calificados. Cuntos empleados calificados, semicalificados y de envos debe
contratar la compaa?
j) Un grupo de personas se reuni para ir de excursin, juntndose un total de 20 entre hombres,
mujeres y nios. Contando hombres y mujeres juntos, su nmero result ser el triple del nmero de
nios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, su nmero hubiera igualado al de hombres.
Cuntos hombres, mujeres y nios se reunieron?
k) Un estudiante obtuvo, en un examen que constaba de 3 preguntas, una calificacin de 8 puntos. En
la segunda pregunta sac dos puntos ms que en la primera y un punto menos que en la tercera.
Determinar la puntuacin obtenida en cada una de las preguntas.
l) Un fabricante vende un cierto producto por 110 $ la unidad. Los costos de produccin ascienden a
60$ por unidad, y sus costos fijos son de 7500$. Cuntas unidades debe vender y qu ingresos le
generarn, para lograr un beneficio nulo?
10) Resuelve el siguiente sistema de 4x4, si es posible, por el mtodo de Cramer, y por Gauss.
x + z = 3
x + y + w = 9
x + y + 2z w = 3
x 2 y z + w = 2
11) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por inversin de la matriz de coeficientes:
x + y + z = 11
a)
c) 2 x y + z = 5
3x + 2 y 24 = z
12) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de Gauss:

x + 2 y + 3z = 3
2 x + 5 y + 7 z = 6
3 x + 7 y + 8 z = 5
x + y z = 2
a)
2 x 3 y + 4 z = 3
x + y + z = 1
b) 2 x + 3 y z = 0
3x 2 y + z = 4
u v + 2w = 5
b) 4u + v + 3w = 15
5u 2v + 7 w = 31
3x 4 y + 4 z = 1
c) x y + 2 z = 5
4 x + 3 y + z = 6
Respuestas:
1) a) x=2,y=4 (compatible determinado)
b) incompatible
c) compatible indeterminado.
2) a) 710$ y 1480$ b) 140 mujeres y 125 hombres
c) 675 m2
d) sueldo bsico=1500$,
bonificacin por ao de antigedad=100$.
8
1
4) a) Comp determ. x = ; y = (dos rectas que se cortan en ese punto)
3
3
b) Comp. Indet {(4/3+1/3z; 2-3z; z), z R}(dos planos que se cortan en una recta)
c) Incompatible (rectas secantes dos a dos)
d) Comp. Indet {(x; x-1), x R}(rectas coincidentes)
e) Comp. Indet. {(1; 2-z; z), z R} (tres planos que se cortan dos a dos en una recta)
7
5
1
9 4
8 3
5) a) Comp. determ. x = ; y = ; z =
b) Comp. indeterm. y = x ; z = x
4
4
4
5 5
x 5
c) Comp. determ. (solucin trivial)
d) Incompatible
6) a) 2 aviones tipo A, 3 tipo B y 5 tipo C. b) 16, 12 y 4 aos
c) el nmero es 594.
7) a) si b) no c) no
7) a) si. b) no c) si d) no
9) a) la cadena 9 gramos y el anillo 3 gramos. ; b) 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 de
C.
c) Deben producirse 98 artculos de A, 76 de B y 60 de C. ; d) x = 28 ; p = 20. ; e) 6000$, 6800$ y
7200$.
f) La corona tena 5631,97 gramos de oro y 1833,03 gramos de plata. ; g) 50 billetes de 10$, 25 de 20$
y 20 de 50$. ; h) Cada uno de los dos primeros objetos de arte costaron 500000$ y un milln de pesos
cost el 3er objeto. ; i) 40 semicalificados, 20 calificados y 10 empleados de envos. ; j) 8 hombres, 7
mujeres y 5 nios. k) Obtuvo un punto en la primer pregunta, 3 puntos en la segunda y 4 en la tercera. ;
l) 150 unidades, que dan un ingreso de 16500$.
10) x=1 ; y=3 ; z=2 ; w=5. 10) a) x= 1; y = -2; z = 2 ; b) x= 1; y = -1; z = 1; c) x=4; y=5; z=2
12) a) SCI x= 3/5-1/5z; y= 7/5+6/5 z ; b) S. Incompatible ; c) SCD x= 109/5; y= 40/3; z=2/5

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ASIGNATURA: MATEMTICA II (A.T.H.)- U.N.R.N. AO: 2014

6) Resolver los siguientes problemas, planteando el sistema de ecuaciones:

12) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de Gauss:

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