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Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una particin
etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el mximo en rojo). El
verdadero valor es 3,76; la estimacin obtenida es 3,648.
La integral de Riemann se define en trminos de sumas de Riemann de funciones
respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la
recta real; entonces una particin etiquetada de [a,b] es una secuencia finita
y
denotamos la particin como
As cada trmino del sumatorio es el rea del rectngulo con altura igual al valor de la
funcin en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la
anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una funcin f sobre el intervalo
[a,b] es igual a S si:
Para todo > 0 existex > 0 tal que, para cualquier particin etiquetada [a,b]
con paso ms pequeo que , se tiene
, donde
Cuando las etiquetas escogidas dan el mximo (o mnimo) valor de cada intervalo, el
sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que
sugiere la estrecha conexin que hay entre la integral de Riemann y la integral de
Darboux.
Integral de Darboux[editar]
Artculo principal: Integral de Darboux
son las alturas de los rectngulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectngulos. La
integral de Darboux est definida como el nico nmero acotado entre las sumas
inferior y superior, es decir,
Del Teorema de Caracterizacin que dice que si f es integrable en [a,b] entonces >0
P particin de [a,b] : 0U(f,P)-L(f,P), evidencia la equivalencia entre las definiciones
de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue que7
Integral de Lebesgue[editar]
Artculo principal: Integral de Lebesgue
.
Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que solo tienen un
nmero finito n, de valores diferentes no negativos:
Cuando el espacio mtrico en el que estn definidas las funciones es tambin un espacio
topolgico localmente compacto (como es el caso de los nmeros reales R), las medidas
compatibles con la topologa en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales
es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de
otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte
Otras integrales[editar]
A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones ms
importantes de integral, hay unas cuntas ms, por ejemplo:
La integral de McShane.
La integral de Bochner.