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Tema 3. - Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema 3. - Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema 3. - Sistemas de Ecuaciones Lineales
y =
z =
, R
iii) - En el siguiente conjunto de ecuaciones distinguir las lineales de las que no lo son:
a) 2 x + 7 y z = 0
b) 2x 3 y = e2
c) x y z = 0
x
d) Sen 2x + 3y = -z e) e + y = 1
f) x2 + y2+x z =1
Pgina 1
Sistemas Lineales
1.2.- Definicin:
Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas a un conjunto de m ecuaciones
lineales con n incgnitas que se expresa como sigue:
a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2
...
a x + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m
m1 1
xj son las incgnitas, aij son los coeficientes y bi son los trminos independientes
con i {1, 2, ... ,m} y j{1, 2, ... ,n}.
1.3.- Definicin:
Se dice que n escalares 1,2,...n constituyen una solucin del sistema si al sustituirlos por
x1, x2, ... ,xn convierten las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar todas
las soluciones que tiene. Un sistema se dice compatible si tiene alguna solucin e
incompatible si carece de ellas. Se dice compatible determinado cuando la solucin es nica y
se dice indeterminado cuando tiene ms de una.
1.4.- Expresin matricial de un sistema.
Usando notacin matricial la expresin
a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2
...
a x + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m
m1 1
a 11 a 12
a a
A = 21 22
a
m1 a m2
a 1n
a 2n
a mn
x1
x
X = 2
x
n
b1
b
b= 2
b
m
a 1n
b1
a 11 a 12
a 2n
b2
a 21 a 22
(A, b) = A =
a
a
b
m1 m2
mn
m
Pgina 2
Sistemas Lineales
x + y z + t = 1
x 2y + 2z + t = 0
1 2 2 1
1 2 2 1 0
A=
y su matriz ampliada es (A, b) =
2
1 3 0
2 1 3 0 0
0
0 1 2 1 0
1 2 1
x=y=z=0
x 2y + z = 0
b) El sistema homogneo y z = 0
tiene el siguiente conjunto de soluciones
x y = 0
{(x, y, z) / x = y = z}
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2
...
a x + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m
m1 1
Pgina 3
Sistemas Lineales
{ x Kn / x = x0 +
u
i =1
x0 es una solucin particular del sistema completo y {u1, u2, , us} un conjunto de
soluciones del sistema homogneo asociado.
Ejemplo:
x y + z = 4
x =1, y =-1, z =2
x 2y + z = 1
x = 1 +
a) - x - 2y + 2z = 0
- 2x + y = 0
x + 2y + 3z = 2
x-y+z=0
b)
x + 3y - z = -2
3x + 4y + 3z = 0
ix y + z = 0
c) x - 2iy z = 0
- ix + y + 2iz = 1
i) Expresarlos en forma matricial, indicando en cada caso: la matriz de los coeficientes del
sistema (A), la matriz de los trminos independientes (B), la matriz ampliada del sistema ( A ).
ii) Resolver cuando proceda.
Solucin: a) x=y=z=0,
Pgina 4
Sistemas Lineales
.
a) El sistema S
es equivalente al sistema S1
3y + z + 2t = 0
2x + y 3z = 0
y 2z + t = 0
y 2z + t = 0
Observar que la segunda ecuacin de S1 es la suma de la primera y la segunda ecuacin de S,
y que la tercera de S1 es la tercera de S mas la segunda multiplicada por 2.
x + y z + t = 1
y + z + 2t = 1
z + 3t = 1
Pgina 5
Sistemas Lineales
x + y z + t = 1
y + z + 2t = 1
10t = 5
z=1/2 t=1/2)
Observar que las matrices ampliadas de los sistemas S y S3, que son respectivamente
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 1
1 2 2 1 0 0 1 1
y
,
2
1 3 0 0 0 0 2 3 1
0
1 2 1 0 0 0
0 10 5
son equivalentes ya que se ha pasado de una a otra multiplicando por matrices elementales.
x + y z + t = 1
x 2y + 2z + t = 0
x + y z + t = 1
es equivalente al sistema S1
. El
b) El sistema S
y + z + 2t = 1
y + z + 2t = 1
2x + 3y 3z = 1
x = 2 3
y = 1 + + 2
z t =1
Pgina 6
Sistemas Lineales
0 0 1 10 1
0 0 0 1 1 es la matriz ampliada de de un sistema incompatible
0 0 0 0 1
1 3
0 0
0 0
0 0
4 33 3
1 10 1
es la matriz ampliada de un sistema con inf initas soluciones. Hay tres
0 1 1
0 0 0
x + y z + t = 1
x 2y + 2z + t = 0
z 3t = 1
en el sistema escalonado equivalente S
t = 1/2
Pgina 7
Sistemas Lineales
0
0
1 1 1
1 1
1 1 2 1 0
0 1 3 1 0
0 0
1 1 / 2 0
1 1 0 1/ 2 1
1 1 0 0 0
0 1 0 1/ 2 0
0 0 1 1 / 2 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1 / 2
Ejercicios propuestos:
2.- Sean los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
2x y + 3z = 9
a) 3x 5 y + z = -4
4x - 7y + z = 5
x + 2y + 3z = 2
x-y+z=0
b)
x + 3y - z = -2
3x + 4y + 3z = 0
x+y+z+t =6
x y + z - t = -2
c)
3x - y + 3z t = 2
7x 5 y + 7z 5t = 6
i) Expresarlos en forma matricial, indicando en cada caso: la matriz de los coeficientes del
sistema (A), la matriz de los trminos independientes (B), la matriz ampliada del sistema ( A ).
ii) Encontrar, en cada caso, un sistema escalonado equivalente y discutirlo.
iii) Resolver cuando proceda mediante el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan.
x = 2
y = 4
a) ay = 1
(a 1)z = b
Soluciones:
a)
Valores de los
parmetros
aR-{-1,0,1}
ax y + az = 1
b) ax + y a 2 z = 1
a 2 x y + 3az = b
Compatibilidad
Sistema equivalente a
resolver
Solucin
Compatible
Determinado
(a + 1)x + 2y + az = 1
ay = 1
(a 1)z = b
x=..
y=-1/a
z=b/a-1
Pgina 8
Sistemas Lineales
a=1b=0
Compatible
Indeterminado
a =-1 b = -2
Compatible
Indeterminado
a = 0,
a = 1 b0
a =-1 b-2
Incompatible
2x + 2y + z = 1
1y = 1
y = 1
z = 1
x=(3-)/2
y=-1
z=
x=
y= 1
z=1
4.- Discutir en funcin de aR la compatibilidad del sistema cuya matriz ampliada es:
2
0
2
1
2
a 1 a + 2
1 1+ a
(A,b)=
0 a + 1 a2 a
a
0
0
a 2 1 a(1 a)
Solucin.
2
1
1 1+ a
0 a +1
0
0
1 2
0 a -1
0 0
0 0
0
2 1
2
0
2 1 2
0
2
2
2
a 1 a + 2 0 a -1
a 1
a 0 a -1 a 1
a2
a2 a
a 0 a +1 a2 a
a 0 0
a 2 -1 a a 2
a 2 1 a(1 a) 0
0
a 2 1 a(1 a) 0 0 a 2 1 a(1 a)
0
2
a 1 a2
a 2 -1 a a 2
0
0
Valores de los
parmetros
Compatibilidad
Sistema equivalente a
resolver
Solucin
aR-{-1,1}
Compatible
Determinado
Incompatible
..
a=1 a=-1
a 1 a2 + 2
1 1+ a
coeficientes es:
0 a + 1 a2 a
a
2
0
0
a
1
a(1
a)
b)
M Fuensanta Andrs Abelln. Departamento de Matemticas de la UCLM.
Pgina 9
Sistemas Lineales
a 11 ... a 1n
A = ... ... ...
a n1 ... a nn
x1
x
X = 2
...
x n
b1
b
B = 2
...
b n
Se dice que es un sistema de Cramer cuando la matriz de coeficientes A del sistema es una
matriz regular. En este caso la solucin del sistema ser:
A ji
X = A-1.B.=
B
det(A)
A11
x1
...
...
1
A1i
xi =
A
...
...
A1n
x n
... A j1 ... A n1 b1
... ... ... ... ...
... A ji ... A ni b i
... ... ... ... ...
... A jn ... A nn b n
a11
...
a j1
...
xi =
1
(A1i b1 + ... + A ji b j + ... + A ni b n ) =
A
... a1i 1
... ...
... a ji 1
... ...
a n1
b1
...
bj
...
a1i +1
...
a ji +1
...
... a1n
... ...
... a jn
... ...
a ni 1 b n
A
a ni +1
a nn
i {1,2,..., n}
x - iy = 0
a)
- ix - y = 0
x + y + z + t = 10
x y + 2z + t = 9
b)
2x + z + t = 9
4x + 2y z + 2t = 13
2x + y + z 3t + 4s = 1
x+y+z
+ 2s = 6
c)
y
4t + 5s = 1
3x + y + 2z + t + s = 1
Pgina 10
Sistemas Lineales
x + y 3t s = 0
x y + 2z t
=0
d)
4x 2y + 6z + 3t 4s = 0
2x + 4y 2z + 4t 7s = 0
x + 2y + 3z t = 0
x y + z + 2t = 0
e)
x + 5y + 5z 4t = 0
x + 8y + 7z 7t = 0
x + y z = 0
x + 3t = 1
a )
b)x y + z = 2
c) y 3z + 4t = 2
2x + t = 1
x + y + z = 1
2x y + z = 0
d)x + y + 2z = 7
3x y 4z = 1
b) x + ay + z = a
c)
a) x + aby + z = b
x + y + az = a 2
3x 3y + 4z = 7
x + by + az = 1
5x (a + b)y + 7z = 8 + b
2x + 2y + 3z - at = a
d) x y + 2z + t = 2
2x + 3y z + 3t = 5
ax + by + z = 1
e) x + ay + bz = 0
ax + by + az = 1
1
0
2
1
3
1 a 1 a 1
A=
1 1 a a2 a a 2
1
a
a
+
1
5.- Obtener la parbola y = a x2 + b x + c que pasa por los puntos (2,5), (3,10) y (4,-3).
i 1+ i 1
1
i
i 1 0
6.- Dada la matriz Aa=
M 4 (C) . Discutir a C:
1 i 0 1 a
1 0 1 1
Pgina 11
Sistemas Lineales
SOLUCIONES:
c) Incompatible
x = 5
y =
b) x=1, y=1/2, z=3/2, t=
2.- a)
z =
3
t =
5
d) x =16/9, y =37/9, z=5/9, t=
x = + 6
y = + 5
d) z =
1
t =
3
s =
x =
y = 3 4 + 2
c)
z =
t =
determinado
,b0
b(a 1)y + (1 a)z = b 1
(1 a)(a + 2)z = b a
Solucin
a=b=1
Sistema compatible
indeterminado
{x + y + z = 1
x = 1
y =
z =
a=b=-2
Sistema compatible
indeterminado
x 2 y 2z = 1
6y + 3z = -3
x =
y =
2
z =
a=1 b
Sistema incompatible
a=-2b
a1 y -2
b=0
Sistema incompatible
Sistema incompatible
Sistema a resolver
Solucin
b)
Valores de
Compatibilidad
Pgina 12
Sistemas Lineales
los
parmetros
Compatible
a1 y -2
determinado
a=1
Compatible
indeterminado
a=-2
incompatible
c)
Valores de Compatibilidad
los
parmetros
a=4 y b=3
Compatible
indeterminado
a=4 y b3
Compatible
determinado
a4 y b=3
Compatible
determinado
a4 y b3
Incompatible
x + y + az = a 2
{x + y + z = 1
x = 1
y =
z =
Sistema a resolver
Solucin
x + y + z = 3
y 6 z = 2
x + y + z = 3
y 6 z = 2
z = 1
x + y + z = 3
y 6 z = 2
z = 0
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