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Inferencia Bayesiana MCMC Winbugs
Inferencia Bayesiana MCMC Winbugs
Inferencia Bayesiana MCMC Winbugs
Curso
Estadstica Bayesiana
Inferencia Bayesiana
Con el uso de Winbugs
WinBUGS
Para descargar ingrese al siguiente enlace:
http://www.wcsmalaysia.org/analysis/WinBUGS_install.htm
Para instalar el programa WinBUGS basta copiar la carpeta
WinBUGS en cualquier ubicacin.
Este programa no proporciona la distribucin a posteriori,
sino que genera una muestra de dicha distribucin.
Si la muestra es muy grande, esta debe ser muy aproximada a
la verdadera distribucin.
Inferencia Bayesiana
Las dificultades del enfoque bayesiano son la determinacin
de una distribucin a priori y los clculos para obtener la
distribucin a posteriori.
Inferencia Bayesiana
Adems, el segundo trmino del lado derecho es la funcin de
verosimilitud de la muestra, luego se tiene que:
Ejemplo 1
Se desea hacer inferencias estadsticas sobre la proporcin P,
de personas que aprueban la gestin de la alcaldesa de Lima.
Para este fin se tomar una muestra de 40 personas, y se
recibir como informacin a X, el nmero de estas personas
que aprueban dicha gestin.
Supongamos que la informacin disponible sobre esta
proporcin, previa a la toma de datos, evidencia que sus
valores posibles se distribuyen alrededor de 0.5 y con una
dispersin promedio de 0.1.
Luego de tomada la muestra, se registr que 30 de las 40
aprobaban la gestin.
Ejemplo 1
El parmetro que se estima es P, la proporcin de personas
que aprueban la gestin de la alcaldesa de Lima es visto como
una variable aleatoria.
El primer paso consiste en determinar una distribucin de
probabilidades para P, de modo que exprese la informacin
disponible sobre ella, previa a la toma de datos.
Como P es una proporcin, entonces su rango de valores
posibles est entre 0 y 1, por esta razn, podemos pensar en
una distribucin beta, es decir:
Ejemplo 1
Los parmetros y los debemos escoger de modo que se
refleje la informacin disponible, esto es, que los valores
posibles de la proporcin de aceptacin se distribuyen
alrededor de 0.5 y con una dispersin promedio de 0.1.
Ejemplo 1
As, la distribucin a priori de P, es decir, previa a la toma de
datos o nueva informacin recibida, est dada por:
Ejemplo 1
La informacin que se ha recibido corresponde a un valor de
la variable aleatoria X, definida como el nmero de personas,
entre las 40 pruebas de la muestra, que aprueban la gestin
de la alcaldesa de Lima. Ntese que se ha observado que X =
30.
La distribucin anterior es en realidad la distribucin
condicional de X dado P = p, es decir:
Ejemplo 1
La distribucin a posteriori de P, dado que X = 30, la
obtenemos de la siguiente manera:
Ejemplo 1
Esta distribucin a posteriori es la inferencia obtenida bajo el
enfoque bayesiano.
Cualquier conclusin o inferencia particular se obtiene de esta
distribucin, por ejemplo, veamos cmo obtener una
estimacin y un intervalo de confianza del 95% para P.
Una estimacin muy razonable es la media de la distribucin a
posteriori de P, a esta se le denomina la estimacin
bayesiana. As:
Ejemplo 1
Un intervalo de confianza del 95% para P, se obtiene
fcilmente recordando la definicin de intervalo de confianza.
En efecto, buscamos dos valores a y b para los cuales la
probabilidad de que P se encuentre entre ellos sea 0, 95, es
decir:
En este caso la probabilidad corresponde a la distribucin a
posteriori. Por lo tanto, lo anterior es equivalente a que:
Ejemplo 1
De aqu determinamos los valores a y b, lo ptimo es de
manera que minimicen la diferencia entre ellos o, como es
usual, simplemente por los percentiles 2.5 y 97.5, es decir:
2. Luego se cargan los datos, para esto se debe remarcar la palabra list y luego
presionar sobre la opcin load data:
13. Entre las opciones, se escoge stats, para ver las estadsticas de la muestra
de la distribucin a posteriori:
Ejemplo 2
Un procedimiento patrn para ejecutar cierto tipo de tareas
muy similares produce tiempos cuya media es desconocida y,
segn las caractersticas dadas, es considerada, a priori, como
una variable aleatoria M con distribucin normal de media 4
horas y desviacin estndar un dcimo de hora.
Dado cualquier valor , de M, los tiempos necesarios para
ejecutar las tareas siguen una distribucin normal con
desviacin estndar media hora.
Si (X1,X2) = (3, 5; 4, 5) es una muestra aleatoria de tamao 2
de dichos tiempos, veamos cmo proceder con la inferencia
bayesiana de la media de la poblacin de los tiempos M.
Ejemplo 2
El primer paso es determinar la distribucin a priori de M, en
este caso esta est dada por:
Ejemplo 2
Obtenemos:
Ejemplo 2
La estimacin bayesiana del parmetro es la media de su
distribucin a posteriori. En este caso:
Ejemplo 2
En este caso los valores usuales para a y b (que tambin
minimizan la diferencia entre ellos) son los percentiles 2,5 y
97,5, es decir:
Ejemplo 2
Para obtener un intervalo de confianza del 95% para M,
buscamos dos valores a y b para los cuales la probabilidad de
que P se encuentre entre ellos sea 0,95, es decir:
En WinBUGS
model {
for (i in 1:N) { x[i]~ dnorm(mu, 4)
}
mu~dnorm(4, 100)
}
list(x = c(3.5,4.5), N=2)
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