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037 - Soluciones Ejercicios de INFERENCIA ESTADÍSTICA
037 - Soluciones Ejercicios de INFERENCIA ESTADÍSTICA
037 - Soluciones Ejercicios de INFERENCIA ESTADÍSTICA
13.
Se quiere aplicar un test de inteligencia a una poblacin y sabemos, por estudios anteriores,
que la desviacin tpica poblacional es 10. Cul debe ser el tamao de la muestra para poder
asegurar, con un nivel de confianza del 95.5%, que la media muestral difiere de la media
poblacional en menos de 1?
Solucin:
Como el error mximo admisible es E 1 , la desviacin tpica poblacional es 10 , y para
1 0.955 es z 2 , se tiene:
2
102
n 2 2 400
1
Por tanto, la muestra tiene que estar formada por 400 personas.
2
14. En una empresa de exportacin de ctricos se investiga el peso medio de cierta variedad de
naranjas. Se admite un error mximo de 10 gramos, con una confianza del 95%. Se sabe por
estudios anteriores que el peso medio se distribuye normalmente, siendo la desviacin tpica de 60
gramos. Cul ha de ser el tamao mnimo de la muestra que se va a elegir? Y si se desea una
confianza del 99%?
Solucin:
El error mximo admitido viene dado por
E Z / 2
n Z / 2
E
Por tanto:
1.96 60
1) n
138.30 n 139 ctricos
10
2
2.58 60
2) n
239.63 n 240 ctricos
10
2
15.
Se desea realizar una investigacin para estimar el peso medio de los hijos recin nacidos
de madres fumadoras. Se admite un error mximo de 50 gramos, con una confianza del 98%. Si por
estudios anteriores se sabe que la desviacin tpica del peso medio de tales recin nacidos es de
400 gramos, qu tamao mnimo de muestra se necesita en la investigacin?
Solucin:
Para una confianza del 98%, 1 0.98 0.08
P Z z
1 2 1 0.04 0.96 z
Como E Z / 2
1.75
2
16
Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
400
400
50 1.75
n 14 n 142 n 196 n
50
n
El tamao mnimo de la muestra debe ser 197.
1.75
16.
, 5 1.28
5 1.28
4.9744 , 5.0256
10000
10000
y
2
2
, 5 1.96
5 1.96
4.9608 , 5.0392
10000
10000
Hay que observar que al ser una muestra tan grande, los intervalos son muy precisos.
2)) El tamao mnimo de la muestra viene dado por:
n Z / 2
E
n 1.28
104.86
0.25
n 1.96
245.86
0.25
17.
El peso de los usuarios de un gimnasio tiene una media desconocida y una desviacin tpica
5.4 kg. Tomamos una muestra aleatoria de tamao 100, obteniendo una media de 60 kg.
a) Calcula con un nivel de confianza del 95 % el intervalo de confianza para el peso medio de
todos los usuarios.
b) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
c) Se realiza la siguiente afirmacin: el peso medio de un usuario de ese gimnasio est
comprendido entre 58,5 y 61.5 kg. Con qu probabilidad esta afirmacin es correcta?
Solucin:
a) El intervalo de confianza para la media es
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
17
Cipri
Departamento de Matemticas
5.4
5.4
, 60 1.96
60 1.96
58.94 , 61.06
100
100
b) El intervalo de confianza es ahora 58.5 , 61.5 , luego
5.4
60 z
61.5 z 2.78
2
2
100
Mirando en las tablas F 2.78 0.9973 , y por tanto
1 0.9973 0.0027
Como 0.9973 0.0027 0.9946 , la afirmacin es correcta con una probabilidad de 0.9946.
18.
El gasto mensual (en euros) de una familia en electricidad, para las familias de una cierta
ciudad, sigue una distribucin normal de media desconocida y desviacin tpica 25 euros.
a) A partir de una muestra de 100 familias de esa ciudad, obtener el intervalo de confianza
45, 55 para el gasto medio mensual, por familia en electricidad. Determinar el nivel de confianza
con el que se construye el mencionado intervalo.
b) Interpretar el intervalo, en funcin de los datos obtenidos en el apartado anterior.
c) Qu nmero de familias tendras que seleccionar, como mnimo, para garantizar en este caso,
con un nivel de confianza del 99 %, una estimacin de ese gasto medio con un error no superior a 3
euros?
Solucin:
a) Sabemos que el intervalo de confianza para la media es
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
y el que nos dan es 45, 55 . Igualando tenemos:
25
x z
45
2
x 50
100
z 2 F 2 1 0.9772 0.0228
25
55 2
x z
2
100
Por tanto, 0.9772 0.0228 = 0.9544, es decir, el nivel de confianza con el que se ha construido el
intervalo es del 95.44 %.
b) El error mximo admisible es
E z
2.575
25
2.575 25
3 n
21.459 n 460.46 461 familias
3
n
19.
X N 20, 4
, X Z
Lo que nos piden es ver si 20 X Z
.
2
2
n
n
0.025 P Z Z
1 2 1 0.025 0.975 Z
1.96
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
4
4
18.5 1.96
, 18.5 1.96
17.26 , 19.73
40
40
20.
Solucin:
Como sabemos que el error admitido E, viene dado por,
E Z / 2
n
siendo la desviacin tpica poblacional, Z el valor correspondiente en la tabla normal para una
2
0.8 1.88
n
Por tanto, el tamao muestral debe se de 50 o ms.
3
0.8 n 49.7
n
21.
Solucin:
Sea X = puntuacin obtenida en MCS II. Se tiene que X N ,1.38 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 50 y x 4.93
1 0.92 0.08
0.04
19
Cipri
Departamento de Matemticas
P Z z
1 2 1 0.04 0.96 z
1.75
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
1.38
1.38
4.93 1.75
, 4.93 1.75
4.5885 , 5.2715
50
50
22.
Solucin:
Sea X = puntuacin obtenida en la prueba de aptitud numrica. Se tiene que X N , 4 .
Adems, tenemos los siguientes datos:
n 100 y x 10
1 0.93 0.07
P Z z
0.035
1 2 1 0.035 0.965 z
1.81
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
4
4
10 1.81
, 10 1.81
9.276 , 10.724
100
100
23.
Solucin:
Sea X = tiempo de reaccin a un estmulo visual. Se tiene que X N ,3 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 36 y x 50
1 0.98 0.02
P Z z
0.01
1 2 1 0.01 0.99 z
2.33
2
20
Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
3
3
50 2.33
, 50 2.33
48.835 , 51.165
36
36
2) En el 98% de las posibles muestras, la media del tiempo de reaccin al estmulo visual est en el
intervalo 48.835 , 51.165 .
24.
Junio de 2003 Bloque 4 Un grupo de 144 alumnos de secundaria seleccionados al azar en una
determinada Comunidad realizan una prueba de conocimientos sobre la geografa de su autonoma,
sacando una nota media de 6,3 puntos. Las puntuaciones obtenidas se distribuyen normalmente con
una desviacin tpica de 6.
1) Calcula, con una probabilidad del 98 %, entre qu valores se encontrar la media de la
poblacin de los alumnos de secundaria de dicha comunidad.
2) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
1)) Nos piden un intervalo de confianza para la media poblacional, que tiene la forma
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
6
6
, 6.3 2.33
6.3 2.33
5.135 , 7.465
144
144
2)) Hay una probabilidad del 98% de que la media de la poblacin se encuentre dentro del intervalo
calculado en el apartado anterior.
25.
Septiembre de 2003 Bloque 4 Se ha aplicado una prueba, para medir el coeficiente intelectual, a
una muestra de 100 universitarios espaoles elegida de forma aleatoria. Calculada la media de
esta muestra se han obtenido 98 puntos. Sabiendo que las puntuaciones de la prueba siguen una
distribucin normal de desviacin tpica del 5.
1) Calcular, con una probabilidad del 98 %, entre qu valores se encontrar la media de la
poblacin universitaria espaola.
2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
1) Se trata de calcular el intervalo de confianza de la media poblacional. Este intervalo es:
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
Para x 98, 15, n 100 y para el 98% deconfianza, Z 2.33 se tiene que:
2
15
15
,98 2.33
98 2.33
94.835, 99.165
100
100
2) Esto significa que el cociente intelectual de los universitarios espaoles est entre el 94.835 y el
99.165 con una probabilidad de 0.98.
21
Cipri
Departamento de Matemticas
26.
Solucin:
Sea X = puntuacin obtenida en el test de razonamiento numrico. Se tiene que X N , , con
P Z z
0.005
1 2 1 0.005 0.995 z
2.57 2.58
2.575
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
10
10
45 2.575
, 45 2.575
40.767 , 49.233
37
37
27. Reserva Septiembre de 2003 Bloque 4 Se elige por muestreo aleatorio simple un
grupo de 100 sujetos y se les pasa un cuestionario sobre salud. La media obtenida en el
cuestionario fue de 90. Se sabe que las puntuaciones en ese cuestionario se distribuyen
normalmente con una varianza de 81.
1) Calcular, con una probabilidad del 99%, entre qu valores se encontrar la media de la
poblacin.
2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
Sea X = puntuacin obtenida en un cuestionario sobre salud. Se tiene que X N , , con
P Z z
0.005
1 2 1 0.005 0.995 z
2.57 2.58
2.575
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
9
9
90 2.575
, 90 2.575
87.683 , 92.318
100
100
28.
Solucin:
1)) Nos piden un intervalo de confianza para la media poblacional, que tiene la forma
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
Para x 160, 20, n 500 y para el 98% deconfianza, Z 2.33 se tiene que:
2
20
20
, 160 2.33
160 2.33
157.16 , 162.08
500
500
2)) En el 98% de las posibles muestras, la media de la altura de la poblacin est en el intervalo
157.16 , 162.08 .
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
En nuestro caso: x 18000, 2000, n 144 y para el 97% de probabilidad, Z 2.17 . As:
2
2000
2000
, 18000 2.17
18000 2.17
17638.3 , 18361.7
144
144
2) Esto significa que la media de km recorridos por la poblacin de usuarios de esos coches estar
entre 17 638.3 y 18 361.7 con una probabilidad de 0.97.
30.
Reserva 2 de 2004 Bloque 4 - B) Una marca de coches afirma que el nmero de meses
que una determinada pieza fabricada por ellos, tarda en romperse sigue una distribucin normal
de desviacin tpica 9 meses. Se toma una muestra de 121 coches con esa pieza y se observa que el
nmero medio de meses que tarda en romperse dicha pieza es de 32 meses.
1) Calcula, con una probabilidad del 97%, entre qu valores estar la media del nmero de meses
que tarda en romperse dicha pieza en la poblacin total de coches que la llevan. 2) Interpreta el
significado del intervalo obtenido.
Solucin:
Sea X = nmero de meses que una pieza tarda en romperse. Se tiene que X N ,9 . Adems,
tenemos los siguientes datos:
23
Cipri
Departamento de Matemticas
n 121 y x 32
1 0.97 0.03
P Z z
0.015
1 2 1 0.015 0.985 z
2.17
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
9
9
32 2.17
, 32 2.17
30.225 , 33.775
121
121
2) En el 97% de las posibles muestras, el tiempo medio, en meses, que tarda en romperse una pieza
est en el intervalo 30.225 , 33.775 .
31. Junio de 2005 Bloque 4 - B) Una mquina de refrescos est ajustada de tal manera que
la cantidad de lquido despachada se distribuye en forma normal con una desviacin tpica de 015
decilitros. 1) Encontrar un intervalo de confianza del 97% para la media de todos los refrescos que
sirve esta mquina, si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 225
decilitros. 2) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
1) Se trata de calcular el intervalo de confianza de la media poblacional de los kilmetros
recorridos. Este intervalo es:
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
0.15
0.15
, 2.25 2.17
2.25 2.17
2.2 , 2.3
36
36
32.
Solucin:
1) El intervalo de confianza para la media poblacional viene dado por:
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
24
0.3
0.3
, 2.6 2.75
2.6 2.75
2.4625 , 2.7375
36
36
2) Esto significa que el tiempo promedio del 99.4% de las muestras de tamao 36 estar entre
2.4625 segundos y 2.7375 segundos. O lo que es lo mismo; la probabilidad de que una muestra de
36 trabajadores emplee un tiempo promedio entre 2.4625 y 2.7375 segundos es 0.994.
33.
Reserva 1 de 2005 Bloque 4 - B) Se desea estudiar la intensidad media que circula por
una componente de un circuito en circunstancias diversas. Se supone que la intensidad, en
miliamperios, sigue una distribucin aproximadamente normal con desviacin tpica de 12
miliamperios. Llevadas a cabo 25 medidas en instantes elegidos al azar, se obtuvo una media
muestral de 85 miliamperios. 1) Estimar con una confianza del 978% entre qu valores estar la
intensidad media. 2) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
Sea X = intensidad media que circula por una componente de un circuito. Se tiene que
X N ,12 . Adems, tenemos los siguientes datos:
n 25 y x 85
1 0.978 0.022
P Z z
0.011
1 2 1 0.011 0.989 z
2.29
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
12
12
85 2.29
, 85 2.29
79.504 , 90.496
25
25
2) En el 97.8% de las posibles muestras, la media de la intensidad media que circula por una
componente del circuito est entre 79.504 y 90.496 miliamperios.
34. Reserva 2 de 2005 Bloque 4 - B) Un fabricante produce focos que tienen un promedio de
vida con distribucin aproximadamente normal con una desviacin tpica de 40 horas. Si una
muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas,
1) Calcula, con una probabilidad del 966%, entre qu valores se encontrar el promedio de vida
de los focos de ese fabricante. 2) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
Sea X = promedio de vida del foco. Se tiene que X N , 40 . Adems, tenemos los siguientes
datos:
n 30 y x 780
1 0.966 0.034
P Z z
0.017
1 2 1 0.017 0.983 z
2.12
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
25
Cipri
Departamento de Matemticas
40
40
780 2.12
, 780 2.12
764.52 , 795.48
30
30
2) En el 96.6% de las posibles muestras, la media de la vida promedio de los focos est entre 764.52
y 795.48 horas.
35.
Solucin:
Sea X = puntuacin en el examen de matemticas. Se tiene que X N ,3 . Adems, tenemos
los siguientes datos:
n 81 y x 6.4
1 0.984 0.016
P Z z
0.008
1 2 1 0.008 0.992 z
2.41
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
3
3
6.4 2.41
, 6.4 2.41
5.597 , 7.023
81
81
36. Septiembre de 2006 Bloque 4 - B) Se desea hacer un estudio de mercado para conocer el
precio medio de los libros de texto. Para ello, se elige una muestra aleatoria de 121 libros de texto
encontrando que tienen un precio medio de 23 euros. Si sabemos que los precios de los libros de
texto siguen una distribucin normal con desviacin tpica de 5 euros, 1) Encontrar un intervalo de
confianza al 988% para el precio medio de los libros de texto. 2) Interpretar el significado del
intervalo obtenido.
Solucin:
Sea X = precio de los libros de texto. Se tiene que X N ,5 . Adems, tenemos los siguientes
datos:
n 121 y x 23
1 0.988 0.012
P Z z
0.006
1 2 1 0.006 0.994 z
2.51
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
5
5
23 2.51
, 23 2.51
21.86 , 24.14
121
121
26
2) En el 98.8% de las posibles muestras, la media del precio de los libros de texto est entre 21.86 y
24.14 euros.
37.
Reserva 1 de 2006 Bloque 4 - B) Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por
una empresa se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviacin tpica de 120
Nw. 1) Encontrar un intervalo de confianza al 97% para la media de la tensin de ruptura de
todos los cables producidos por esa empresa si una muestra aleatoria de 49 cables de esa empresa
han presentado una media de ruptura de 1790 Nw. 2) Interpretar el significado del intervalo
obtenido.
Solucin:
Sea X = tensin de ruptura de los cables. Se tiene que X N ,120 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 49 y x 1790
1 0.97 0.03
P Z z
0.015
1 2 1 0.015 0.985 z
2.17
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
120
120
1790 2.17
, 1790 2.17
1 752.8 , 1 827.2
49
49
2) En el 97% de las posibles muestras, la media de la tensin de ruptura de los cables del fabricante
est entre 1 752.8 y 1 827.2 Nw.
38.
Solucin:
Sea X = precio del producto. Se tiene que X N , 6 . Adems, tenemos los siguientes datos:
n 64 y x 27
1 0.966 0.034
P Z z
0.017
1 2 1 0.017 0.983 z
2.12
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
6
6
27 2.12
, 27 2.12
24.40 , 29.60
24
24
2) En el 96.6% de las posibles muestras, la media del precio del producto est entre 24.40 y 29.60
euros.
27
Cipri
Departamento de Matemticas
39.
Junio de 2007 Bloque 4 - B) Para determinar cmo influye en la osteoporosis una dieta
pobre en calcio, se realiza un estudio sobre 100 afectados por la enfermedad, obtenindose que
toman una media de calcio al da de 900 mg. Suponemos que la toma de calcio en la poblacin de
afectados por la enfermedad se distribuye normalmente con una desviacin tpica de 150.
1) Encontrar un intervalo de confianza al 99% para la media de calcio al da que toma toda la
poblacin afectada.
2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
1) Sea X = dosis de calcio (diario) en mg. Se tiene que X N ,150 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 100 y x 900
1 0.99 0.01
P Z z
0.005
1 2 1 0.005 0.995 z
2.575
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
150
150
900 2.575
, 900 2.575
861.375 , 938.625
100
100
2) En el 99% de las posibles muestras, la dosis media de calcio diario est entre 861.375 y 938.625
mg.
40.
Solucin:
1) Sea X = conductividad trmica del material. Se tiene que X N , 0.3 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 81 y x 41.9
1 0.96 0.04
P Z z
0.02
1 2 1 0.02 0.98 z
0.9798 0.9803
0.98005
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
0.3
0.3
41.9 0.98005
, 41.9 0.98005
40.97 , 41.03
81
81
2) En el 96% de las posibles muestras, la conductividad trmica media del material est entre 40.97
y 41.03.
28
41.
Solucin:
1) Sea X = duracin de los prstamos. Se tiene que X N ,8 . Adems, tenemos los siguientes
datos:
n 100 y x 14
1 0.99 0.01
P Z z
0.005
1 2 1 0.005 0.995 z
2.575
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
8
8
14 2.575
, 14 2.575
11.94 , 16.06
100
100
2) En el 99% de las posibles muestras, la duracin media de los prstamos est entre 11.94 y 16.06
das.
42.
Reserva 2 de 2007 Bloque 4 - B) Se desea hacer un estudio sobre el peso de las cajas de
cereales de una determinada marca, para ello se elige una muestra de 64 paquetes y se obtiene un
peso medio de 195g. Sabemos que la distribucin de los pesos de esas cajas de cereales es normal
con desviacin tpica de 10g.
1) Encontrar un intervalo de confianza al 98% para el peso medio de todas las cajas de cereales
de esa marca.
2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
1) Sea X = peso de las cajas de cereales. Se tiene que X N ,10 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 64 y x 195 gr
1 0.98 0.02
P Z z
0.01
1 2 1 0.01 0.99 z
0.9898 0.9901
0.98995
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
10
10
195 0.98995
, 195 0.98995
193.76 , 196.24
64
64
2) En el 98% de las posibles muestras, el peso medio de las cajas de cereales est entre 193.76 y
196.24 gramos.
29
Cipri
Departamento de Matemticas
43. Junio de 2008 Bloque 4 B) Para efectuar un control de calidad sobre la duracin en
horas de un modelo de juguetes electrnicos se elige una muestra aleatoria de 36 juguetes de ese
modelo obtenindose una duracin media de 97 horas. Sabiendo que la duracin de los juguetes
electrnicos de ese modelo se distribuye normalmente con una desviacin tpica de 10 horas, 1)
encontrar el intervalo de confianza al 992 % para la duracin media de los juguetes electrnicos
de ese modelo. 2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
Solucin:
1) Sea X = duracin (en horas) del modelo de juguete electrnico. Se tiene que X N ,10 .
Adems, tenemos los siguientes datos:
n 36 y x 97
1 0.992 0.008
P Z z
0.004
1 2 1 0.004 0.996 z
2.65
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
10
10
97 2.65
, 97 2.65
92.58 , 101.42
36
36
2) En el 99.2% de las posibles muestras, la duracin media del modelo de juguete electrnico
analizado est entre 92.58 y 101.42 horas.
44.
Solucin:
1) Sea X = nmero de pulsaciones de un deportista (de entre 20 y 28 aos). Se tiene que
X N ,9 . Adems, tenemos los siguientes datos:
n 100 y x 64
1 0.97 0.03
P Z z
0.015
1 2 1 0.015 0.985 z
2.17
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
9
9
64 2.17
, 64 2.17
62.05 , 65.95
100
100
2) En el 97% de las posibles muestras, el nmero medio de pulsaciones, de los deportistas de entre
20 y 28 aos, estn entre 62.05 y 65.95.
30
45.
Solucin:
1) Sea X = duracin de las lmparas elctricas. Se tiene que X N ,300 . Adems, tenemos los
siguientes datos:
n 50 y x 2320
1 0.97 0.03
P Z z
0.015
1 2 1 0.015 0.985 z
2.17
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
300
300
2320 2.7
, 2320 2.7
2205.45 , 2434.55
50
50
2) En el 97% de las posibles muestras, la duracin media de las lmparas est entre 2205.45 y
2434.55 horas.
46.
Solucin:
1) Sea X = edad de los que se presentan a la prueba. Se tiene que X N ,10 . Adems, tenemos
los siguientes datos:
n 100 y x 20.2
1 0.97 0.03
P Z z
0.015
1 2 1 0.015 0.985 z
2.17
2
, X Z / 2
X Z / 2
n
n
10
10
20.2 2.17
, 20.2 2.17
18.03 , 22.37
100
100
2) En el 97% de las posibles muestras, la edad media de los que se presentan a la prueba, est entre
18.03 y 22.37 aos.
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Cipri
Departamento de Matemticas