Metodo Numerico T3 Final
Metodo Numerico T3 Final
Metodo Numerico T3 Final
son iguales (no repetidas), entonces la parte
correspondiente de una solucin general de
()
()
es
()
()
( )
( )
)
En la que
tiene una
pareja de races complejas conjugadas no repetidas abi (con b0), entonces
la parte correspondiente de una solucin general de la ecuacin tiene la forma
)
6
2.2. CASOS DE RACES COMPLEJAS
2.2.1. CASO RACES COMPLEJAS REPETIDAS
Este teorema se cumple para races complejas repetidas. Su el par
conjugado abi tiene multiplicidad k, entonces la parte
correspondiente de la solucin general tiene la forma
(
)
()
(
)
()
)
2.2.2. CASO RACES COMPLEJAS DISTINTAS
Se puede utilizar para un par de races complejas conjugadas,
y
, donde a y b son reales positivos
La solucin propuesta tiene entonces la forma
()
()
Reacomodando
)
2.2.3 CASO RACES COMPLEJAS CONJUGADAS
Si r=a+bi es una raz de la ecuacin polinomial P(x) con coeficientes
reales, entonces (a-bi) es tambin otra raz de dicha ecuacin.
Por lo tanto se tiene dos complejas conjugadas distintas, y claro,
simples.
7
En resumen, el polinomio
tiene:
Dos races reales distintas, simples, si ()
Una raz real de multiplicidad 2, si ()
Dos races complejas conjugadas distintas, simple, si ()
Consideremos ahora
[]
Tenemos
+pT +q
Y si p
()
2.2.4. CASO RACES COMPLEJAS DE POLINOMIOS
Cualquiera de los mtodos que hemos visto sirve para obtener races
reales de polinomios. El mtodo de Mller permite obtener races
complejas a partir de puntos de partida reales, mientras que el
mtodo de Newton permite obtener races complejas a partir de
puntos de partida complejos. Si el polinomio es real, los complejos
conjugados de las races complejas son tambin races. Una vez que
hemos obtenido una raz
n
, se procede a dividir el polinomio por
(x
n
) para obtener un polinomio de grado inferior P
n
(x) =
(x
n
)P
n1
(x). Este procedimiento se conoce como deflacin. Se
procede seguidamente a calcular una nueva raz del polinomio
P
n1
(x). Sin embargo esta raz se calcula slo de forma aproximada,
8
y se refina aplicando el mtodo de Newton al polinomio completo.
Esto se hace para evitar problemas de redondeo y propagacin de
errores en los coeficientes del polinomio. Si la raz es compleja y el
polinomio real, sabemos que la compleja conjugada es tambin una
raz, por lo que se divide el polinomio por el factor cuadrtico
(x)(x
) = x
2
2Re + ||
2
. El mtodo se prosigue hasta encontrar
todas las races.
2.3. PROPIEDADES DE RACES COMPLEJAS
Las races complejas son a+bi y a-bi, en este caso la parbola simtrica del
vrtice tendr las races reales a+b y a-b.
Observamos que en las coordenadas de x del vrtice: x
v
esta en el punto
medio entre las races, tendremos que:
( ) ( )
Conociendo la coordenada x del vrtice, se halla la coordenada y del vrtice:
reemplazando la
| |
Esto da un nmero complejo
| |
i o
i o
i
Entonces la parte real de las races es h y la imaginaria:
y -
A dems, observamos que al tomar el punto medio entre las dos races se
obtiene que la coordenada x
v
sea h coincidiendo con la parte real de las
races.
10
Ahora, la parbola simtrica a ( )
( )
En este caso h y
(1)
11
Con todos los coeficientes
reales. () Es un polinomio de grado
(n-1) y de coeficientes tambin reales
()
( )
(2)
Si el valor inicial
es real, entonces:
)
(3)
Tambin ser real y todos los valores
siguientes.
Consecuentemente no se puede encontrar una raz compleja de la
ecuacin (1) si se inicia con un valor
es complejo,
tambin, y
as sucesivamente. De esta manera, si el proceso converge, puede
encontrase una raz compleja.
2.4.2. METODO DE MULLER
Este mtodo es usual para calcular las races de tipo real o compleja
de una funcin arbitraria. Converge casi cuadrticamente en un
intervalo cercano a la raz y, a diferencia del mtodo de Newton-
Raphson, no requiere la evaluacin de la primera derivada de la
funcin y se obtiene races reales y complejas aun cuando estas
races son repetidas.
La aplicacin del mtodo requiere valores inciales y es una
extensin del mtodo de la secante, el cual aproxima la grafica de la
funcin () por una lnea recta que pasa por los puntos
(
(
)) y (
.
En lugar de aproximar () por una funcin lineal, resulta natural
tratar de obtener una convergencia ms rpida aproximada () por
un polinomio () de grado n>1 que coincida con () en los puntos
12
de abscisas
; y determinar
como una de las
races de ().
A continuacin se describe el caso n=2, donde el estudio detallado
de M ller encontr que la eleccin de n da resultados satisfactorios.
Se toman tres valores inciales
y se halla el polinomio ()
de segundo grado que pasa por los puntos
(
)) (
)) (
. Se
repite la operacin con los nuevos valores inciales
y se
termina el proceso tan pronto como se satisfaga algn criterio de
convergencia.
Sean
)
Luego se demuestra:
[
]
[
] [
13
Por lo tanto la funcin queda:
()
](
) [
](
)(
) (a)
Entonces se sabe que la parbola es la nica que pasa por los
puntos (
) (
) (
Al comparar la ltima expresin con la ecuacin (a) se establece lo
siguiente:
] (
([
)
Una vez calculado los valores de
(C)
14
3.1 EJERCICIO APLICATIVO
1. Encuentre las races complejas de la ecuacin
()
POR EL MTODO DE NEWTON- RAPHSON
a. Se deriva la () se tiene:
()
b. Sea
Pero
, entonces:
c. Multiplicando y dividiendo por j el termino 3/(2j), se obtiene:
()
()
()
()
()
15
d. La sucesin de valores complejos
va acercndose
rpidamente a la raz
) () ()
e. Para evaluar la distancia entre dos valores complejos consecutivos,
se utiliza:
Donde las barras representan el modulo del numero complejo
Entonces:
Por lo que se tiene la sucesin previa:
()
()
En este caso la convergencia es notoria.
En caso de tener races complejas una ecuacin polinomial con
coeficientes reales, estas aparecen en parejas; es decir, si x=a+bj es
raz, tambin lo ser x=a-bj (toda vez que al multiplicarlos deben
producir los coeficientes reales). Por esto:
Es la segunda raz que se busca.
(
) () ()
16
POR EL METODO DE MULLER
a. Primera iteracin
Al seleccionar como valores inciales a
Luego, evaluar la funcin () en estos puntos, se tiene:
Se calculan ahora los coeficientes del polinomio de segundo grado
[
)]
[
] [
Por tanto
)]
] (
( )()
([
) ()( ())
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Calculando los denominadores de la ecuacin (C)
( ()())
()
( ()())
()
Como son de igual magnitud se usa cualquiera, por ejemplo 4j.
Entonces:
()
Al multiplicar numerador y denominador por j, queda:
Se observa que aun cuando
ha
resultado un nmero complejo y adems es la raz buscada, lo cual
resulta lgico, ya que la ecuacin polinomial.
()
Este desarrollo se puede usar la siguiente programacin hecha en
MatLab
Para races complejas de ecuaciones de segundo orden
function [x1,x2] = raices_2(p)
dis= sqrt(p(2)*p(2)-4*p(1)*p(3));
x1=(-p(2)+dis)/(2*p(1));
x2=(-p(2)-dis)/(2*p(1));
end
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Para races complejas de ecuaciones de tercer orden
function x = raices_3(p)
Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9;
R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
if (R*R)<(Q^3)
tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
else
A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
if A==0
B=0;
else
B=Q/A;
end
x(1)=(A+B)-p(2)/3;
x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejorque i
x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
end
end
En caso del problema siendo