Cuadernillo de actividades de 2 ao

Trabajo recopilado y realizado por Marcelo Orazi Profesor en Matemtica Alumno:

Los nombres de los personajes que aparecen en los problemas del cuadernillo son falsos. Los dilogos que estn al comienzo de los trabajos prcticos son apcrifos.

Trabajo Prctico 1
a. Complet los espacios en blanco con los signos de la adicin, sustraccin, multiplicacin o divisin segn corresponda para que se cumpla la igualdad. Record que el orden de las operaciones lo determinan los trminos. 13 13 13 13 2 2 2 2 14 14 14 14 = = = = 72 4 10 24 8 5 12 7 31 19 12 5

b.

El seor Keko Cinado realiz un depsito en el banco. i. Cunto dinero deposit si llev 75 billetes de $100, 32 billetes de $50, 70 de $20, 15 de $10, 12 de $ 5 y 42 de $2? ii. Cul es la mnima cantidad de billetes con la que se puede formar la misma cifra? iii. Cuntos billetes de $ 2 son necesarios para reunir la misma cifra?

c. La seora Elsa Pallito sali de su casa para realizar compras con 270 pesos. Gast la mitad de esa cantidad en el almacn, 70 pesos en la carnicera y 5 pesos en la panadera. Caminando hacia su casa encuentra 54 pesos tirados en el suelo y decide gastar el triple de lo gastado en la panadera en golosinas para sus nietos. Cunto dinero le qued a la seora al retornar a su casa? d. La seora Dolores de Panza fue una tarde al supermercado a comprar 3 latas de salsa de tomate, 1 botella de aceite, 2 litros de leche, 4 paquetes de harina, 1 paquete de yerba y medio kilogramo de queso. Sabiendo que cada lata de tomate cuesta $2,15, el aceite cuesta $7,76, el litro de leche $5,78, cada paquete de harina $0,98, la yerba $11,42 el paquete y el queso $38,60 el kilogramo. i. Cul fue el total de la cuenta por la compra que realiz? ii. Si la seora pag con un billete de $100, cul fue el vuelto que le dieron? iii. Ese da hacan descuento del 10% sobre el total de la compra por pago con tarjeta de dbito. Cunto hubiera pagado la seora por su compra en caso de haber realizado el pago con dicha tarjeta? e. Complet los espacios vacos con los valores numricos que faltan.

a 9 4/25

b 2/3 1/5

a+b

a.b

2.a - b

7/4

1/4

f. Ayud a Homero a contar los caramelos que tiene.

Si reparto todos los caramelos que tengo en la bolsa entre 2 chicos en partes iguales me sobra 1; si lo hago entre 3 me sobran 2; si los reparto entre 4 me sobran 3; si lo hago entre 5 me sobran 4 y entre 6 me so r n 5 Cul es el menor nmero de c ramelos que tiene la bolsa?

g. El doctor Armando Los olvid la contrasea de su mail. Sabe que se trata de una clave numrica de cinco cifras formada por el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6, pero no recuerda el orden de los mismos. i. Cuntos nmeros debe probar a lo sumo para hallar la contrasea? ii. Luego recuerda que el nmero es impar, cuntos nmeros debe probar con esa nueva informacin? iii. Ms tarde y haciendo mucho esfuerzo logra acordarse de que el nmero comienza tambin con un nmero impar, Cuntas pruebas necesita ahora? iv. Encuentra finalmente un papel bajo el teclado en el cual dej pist s p r record r l contr se El nmero es mltiplo de

5, la cifra de las centenas es primo y el de las decenas es mayor que el de las unidades Cul es el nmero de la contrasea del
mail del doctor?

h. Resolv los siguientes ejercicios combinados. Record separar en trminos y usar las propiedades de la potencia y de la raz. i.

. / . /

ii.

iii.

. /

[. /

. / ]

iv.
i.

/ ]

rias.

Resolv las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades necesa-

i. ii. iii. iv.

Matemtica para divertirse MartinGardner

ELIJE TU PAGA
Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece elegir entre: a) $4.000 por tu primer ao de trabajo, y un aumento de $800 por cada ao subsiguiente. b) $2.000 por los primeros seis meses y un aumento de $200 cada seis meses subsiguientes. Cul oferta aceptaras y por qu?

Trabajo prctico 2 Nmeros enteros

Conversaban una tarde Hipata y David Hilbert acerca de problemas matemticos. La dama aseguraba muy acaloradamente que a una cantidad no poda quitarse otra cantidad mayor y como muestra de ello tom lpiz y papel y escribi la siguiente cuenta: 3 -5 y trat de convencer al buen Hilbert que esto era imposible de resolver, ya que a ella en la escuela le haban enseado que jams el sustraendo( el que est abajo en la sustraccin, en este caso el 5) poda ser mayor que el minuendo( el que est arriba, en el ejemplo el 3). Justificaba tambin diciendo que si alguien tena por ejemplo 3 gallinas resultaba absurdo pensar que se le pudieran quitar 5 de ellas. A ello le respondi Hilbert que el error estaba en suponer que los nmeros existen slo para contar objetos materiales, que en realidad los nmeros son objetos matemticos que se relacionan entre ellos y que nos sirven para resolver problemas de la vida diaria. Para explicrselo le pregunt: Hilbert:-Suponte que en tus bolsillos hay un billete de $2 y una moneda de

$1. Con cunto dinero conts? Hipata:-Con $3 evidentemente. Hilbert:-Ahora bien, tras realizar un trabajo en tu casa un jardinero te dice que le debs $5. Como el trabajo ya est realizado no hay modo que haga una rebaja, es decir que tens $3 y a esa suma deberamos quitarle $5, que es lo que le tendras que pagarle al jardinero por su labor. Hipata:-Pues en ese caso le dira que vuelva otro da por los $2 que le faltan cobrar. Hilbert:-Y cmo sabs que son $2 pesos los que le debs? Hipata:- Es muy sencillo, ya que a los $5 que deba le sustraje los $3 que tena y la resta es igual a $2. Hilbert:-Pero entonces si se puede quitar a una suma menor una suma mayor, ya que a los $3 que tenas le quitaste los $5 que te cobr el jardinero. El problema es que el resultado no pertenece al conjunto de los nmeros naturales sino al de los nmeros enteros, los cuales se simbolizan con una letra y resultan ser la unin del conjunto de los naturales (los que ya habas visto) con el cero y con los opuestos de dichos nmeros naturales, entendiendo por opuesto de un nmero al que sumado a l da por resultado cero. Tambin se reconocen los nmeros opuestos por tener el mismo valor absoluto, siendo este la distancia del nmero al cero, representndose entre dos barras paralelas y definindose del siguiente modo:

| |

Matemticamente esa deuda de $2 que result del trabajo se indica como -2 y al ser representados en la recta numrica los enteros se ubican a la izquierda de los naturales:

esto es que en matemtica, como en el resto de las ciencias, se debe estar abierto a razonar hechos que a simple vista o por sentido comn parecen absurdos.
i. Propongan otros ejemplos en los cuales se utilicen nmeros negativos en la vida diaria. ii. En sus casas averigen quienes fueron estos dos matemticos y cul es el legado ms importante que nos dejaron. i. El siguiente grfico muestra las temperaturas registradas en la ciudad de Ushuaia el da 7 del mes de Septiembre del ao 2012 entre las 6 de la maana y las 10 de la noche medida en grados Celsius: Hora C das? i. 6:00 -6 8:00 -3 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 3 7 11 10 5 2 -5

Hipata:-Ahora entiendo, gracias David. Hilbert:-No hay de que bella dama. La mayor enseanza que debe dejarte

Cunto aument la temperatura en las primeras cuatro horas medi-

ii. Qu amplitud tuvo la temperatura este da? iii. Entre qu horas se registr el mayor cambi de temperaturas? iv. En qu par de horas encontramos temperaturas con valores numricos opuestos? ii. Buscar la informacin y situar aproximadamente los siguientes hechos histricos en la lnea de tiempo ubicada ms abajo: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. Independencia de nuestro pas. Construccin de las pirmides de Egipto. Descubrimiento de Amrica. Nacimiento de Euclides. Cada del imperio romano de occidente. Revolucin francesa. Guerra de Troya. Fundacin de la Antigua Roma.

Nacimiento de Cristo.

iii. Marc en la recta numrica las siguientes letras segn el nmero que representan. A= 2 D=| | G= | | B= 4 E= 1 H= C= F= I=|

iv. El clebre filsofo romano Parloteus naci en el ao 58 A.C. y muri en el ao 12 D.C. Cuntos aos vivi Parloteus?

v.

Resolv.

i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

vi. i.

| | | | | | |

| | | | | | | | |

Responder verdadero o falso, justificando en este ltimo caso. El valor absoluto de un nmero es siempre positivo.

ii. La suma de dos valores absolutos es la suma los nmeros sin tener en cuenta sus valores absolutos. iii. iv. v. La resta de dos nmeros opuestos es cero. La resta de los valores absolutos de dos nmeros opuestos es cero. Todos los nmeros enteros poseen opuesto.

Trabajo prctico 3 Operaciones con nmeros enteros

Realicen las siguientes adiciones y sustracciones sobre distintas rectas numricas. Para ello ubiquen el primer nmero y luego si la operacin es adicin crranse a la derecha tantas unidades como sea el segundo nmero y si es una sustraccin hagan lo propio hacia la izquierda.

i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

3+5= 5-7= -6-7= -8+5= -3+7= 9-4= 6-4+4=

Pueden sacar alguna conclusin respecto del signo del resultado luego del trabajo realizado? Hallar las siguientes sumas agrupando nmeros negativos y nmeros positivos previamente:

i. ii. iii. iv.

8+9-12+5-6-18-51+77= -14-33-6-87+24-9-11= 34+6-10+8+25-34+9= -78+84-55+39-103+49=

Antes de resolver los prximos ejercicios veamos lo que nos dice Gaspar:

Una buena forma de recordar la regla de signos es usar la afirmacin y la negacin de verdades y mentiras del siguiente modo: El ms nos dice que es verdad y el menos que es mentira, entonces: Si es verdad que digo la verdad, entonces digo la verdad Si es verdad que miento, entonces miento Si es mentira que digo la verdad, entonces miento Si es mentira que miento, entonces digo la verdad
SIGNOS IGUALES, RESULTADO POSITIVO SIGNOS DIFERENTES, RESULTADO NEGATIVO

Otro modo de acordarse es:

Esto tambin sirve para suprimir parntesis, corchetes y llaves .

Resolv los siguientes ejercicios:

i. ii. iii. iv.

) ( )( ( ) ( ( )

) )( ) ( )

Pods sacar alguna conclusin luego de resolver los dos ltimos ejercicios? Complet los espacios vacos de las siguientes tablas reemplazando la letra n de la segunda fila por cada nmero entero de la primera fila: n 2 - 3n n
n.(n+1)

0 0

-2 -2

4 4

1 1

-3 -3

-1 -1

5 5

10 10

-4 -4

nos:

Resolv los siguientes ejercicios combinados recordando separar en trmi-

i. ii. iii. iv.

, ,

( ) (

( (

) ) )

( ) -( ) ( )- ( )=

A Bart lo dejaron despus de clases otra vez y el aprovech para copiar la regla de signos que haba aprendido ese da. Veamos:

REGLA DE SIGNOS PARA POTENCIAS Si el exponente es par el resultado es positivo siempre sin importar el signo de la base. Si el exponente es impar el resultado tiene el mismo signo de la base.

REGLA DE SIGNOS PARA RACES Si el ndice es par slo tiene solucin en Q (Racionales) cuando el radicando es positivo, y la misma es positiva o negativa. Si el ndice es impar el resultado respeta el signo del radicando.

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Complet la siguiente tabla: n n2 n3 n n 0 1 -1 64 -64 729 -729

Resolv los siguientes ejercicios combinados separando en trminos previamente:

i. ii. iii. iv.

( , , (

)- ,( ) )- ,( ) ( * [( ) ( ( ) , ) ) ( ) * [ (

( ) ) ( ) ( *,( ) ) ) - + ( ( ) ) ) ] } ( ) ] } ( )( ) ( )

( v. vi.

( ) vii. ( ) ( viii.

LAS MATEMTICAS NO DAN MS QUE PROBLEMAS Juan Luis Roldn Calzado Tiempo
Cmo pasa el tiempo! -dijo mi prima-, anteayer yo tena 19 aos y ya el ao prximo tendr 22. Es posible lo que me dijo?

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Trabajo prctico 4 Ecuaciones con nmeros enteros

El viejo sabio, el profesor N. I. Dea, hall un da por casualidad un olvidado y arrugado papel entre los documentos que tena archivados en su despacho. En dicho papel estaban escritos una serie de problemas que el profesor Dea no haba podido resolver aos antes, cuando se lo dieron. Lo ayudamos a resolverlos?

1. Paloma piensa un nmero entero, lo multiplica por tres y al resultado le suma 44 obteniendo 23 como resultado qu nmero pens Paloma? 2. Julieta pens otro nmero entero al que le sum 6 y al resultado lo multiplic por el opuesto del valor absoluto de -4 obteniendo como resultado la diferencia entre el cuadrado de -3 y el consecutivo del cuadrado de 4.qu nmero pens Julieta? 3. Norma por su parte sum 5 unidades al nmero que pens, a ese resultado lo dividi en 7, luego le rest 4 y obtuvo como resultado el opuesto de la raz cuadrada de 36cul es el nmero que pens Norma? 4. Mara, quien tiene 12 aos, dice: el triple de la

edad de mi hermano menos mi edad es 9. Juan piensa y responde: entonces tu hermano tiene 15 aos. Pero Carlos que estaba escuchando tambin dice: no es cierto, tu hermano tiene 7 aos.
Por qu Juan y Carlos respondieron cosas distintas? Dnde est el error?

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Qu valores pueden tomar a y b para que las igualdades sean verdaderas?

i. ii. iii. iv. v. vi.

12.a=12 12.b=-12 a.b=1 a.b=-1 a.b=0 a+b=a.b

Resolv las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades necesarias:

i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. i.

( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ) ,( ) -

Resolv los siguientes problemas: A Elsa Pato le preguntaron cuntos aos tena y, como era coqueta, la contestacin fue bastante compleja:

-Tom tres veces los aos que tendr dentro de tres aos, restle tres veces los aos que tena hace tres aos y resultar exactamente los aos que tengo ahora.
Cuntos aos tiene Elsa? ii. Cuntos aos tiene Omar Ciano y su hijo? Vamos a calcularlo. Hace 18 aos, recuerdo que Omar era exactamente tres veces ms viejo que su hijo y precisamente ahora, segn mis noticias, es dos veces ms viejo que su hijo y por ello no es difcil establecer cuntos aos tienen Omar y su hijo. iii. Podrs expresar el nmero 1.000 utilizando ocho cifras iguales? (Adems de las cifras se permite utilizar tambin los signos de las operaciones.) Es fcil expresar el nmero 24 por medio de tres ochos: 8 + 8 + 8. Podr hacerse esto mismo utilizando no el ocho, sino otras tres cifras iguales? (El problema tiene ms de una solucin, traten de hallar 2 distintas.)

iv.

v. El nmero 30 es fcil expresarle con tres cincos: 5 x 5 + 5. Es ms difcil hacer esto mismo con otras tres cifras iguales. Lograras encontrar varias soluciones?

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Trabajo prctico 5 Inecuaciones

Mientras paseaban por un bello jardn una fresca maana de otoo, conversaban Euclides de Alejandra y Leonhard Euler acerca de las inecuaciones: Euclides: entonces, para resolver inecuaciones me decs que tengo que hacerlo del mismo modo en el que resuelvo las ecuaciones, es decir, haciendo el pasaje de trminos con la operacin contraria a la que estaba realizando en el otro miembro de la desigualdad. Euler: S, pero record que al pasar un nmero negativo que est multiplicando o dividiendo al otro miembro debs cambiarle el sentido a la desigualdad. Esto se debe al cambio de signo que sufre el miembro al cual pasaste el nmero negativo. Euclides: Lo que sigo sin entender es lo de la solucin, cmo es posible que un ejercicio tenga ms de una solucin, que no tenga o que hasta tenga infinitas soluciones? Euler: Es por la clase misma de ejercicio, pens que estamos buscando nmeros que sean mayores o menores no slo los que sean iguales a otro, y como ya sabs que existen infinitos nmeros mayores e infinitos nmeros menores a uno dado es por ello que puede tener ese tipo de soluciones, por eso hablamos de conjunto solucin y tenemos dos modos de escribirlo: por extensin, cuando sea posible, y por comprensin. Record que en el primero se escriben todas las soluciones y slo nos sirve cuando tenemos la incgnita afectada por dos desigualdades por ser una cantidad finita de nmeros enteros que dan solucin a la desigualdad, por ejemplo: -1< x <5 tendr como * + por extensin y * conjunto solucin 5+ por comprensin. En cambio si la incgnita est siendo afectada por una desigualdad tendremos una cantidad infinita de soluciones y no hay forma de enumerarlas a todas, por lo que deberemos escribirla por comprensin solamente, por ejemplo: -1x tendr como con* junto solucin +. En el caso que el ejercicio no posea solucin en el conjunto numrico en el que estamos trabajando, por ejemplo: -1< x < 0 el conjunto solucin se denota . Euclides: Gracias Leonhard, ahora me voy a seguir trabando en un librito que estoy escribiendo. Lo que todava no decid es como ponerle de ttulo Euler: Los Elementos suena bien. Averigu datos y obra de estos dos extraordinarios matemticos y que signific el libro Los Elementos en la historia de la matemtica. Complet el cuadro Inecuacin Conjunto solucin por extensin 4<x<10 * + * 5>x>4 -2 x3 + * + Conjunto solucin por comprensin * +

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Hay una sola forma de resolver el cuadro?

Resolv los siguientes problemas y escrib el conjunto solucin por comprensin y por extensin cuando sea posible:

i. Para entrar a un club los socios deben tener menos de 65 aos. Cuntos aos pueden tener los postulantes? ii. La cantidad de dinero que tengo es ms del doble de lo que gana mi primo, cuyo sueldo es de $500 pero no supera los $1025. Cunto dinero tengo? iii. Qu nmeros naturales cumplen con la condicin de ser por lo menos el opuesto del cuadrado de 2 y a lo sumo el valor absoluto de -5? iv. Qu nmeros enteros cumplen con la condicin de ser por lo menos el opuesto del cuadrado de 2 y a lo sumo el valor absoluto de -5?
Resolv las siguientes inecuaciones y escrib el conjunto solucin por comprensin y por extensin cuando sea posible:

i. ii. iii. iv.

( (

) ) (

( )

) 5

El hombre que calculaba

Malba Tahan
La edad de Diofanto
En la tumba de Diofanto, clebre matemtico griego, se inscribi el siguiente problema aritmtico para que todo el que pasara por all pudiera conocer la cantidad de aos que vivi. El problema dice as:

Dios le concedi p s r l sext p rte de su vid en l niez; un decimosegundo en la adolescencia, y despus de pasada una sptima parte ms de su existencia se cas; al cabo de cinco aos transcurridos en un matrimonio estril, tuvo un hijo que muri cuando apenas haba alcanzado la mitad de la vida de su padre; cuatro aos ms, mitigando su propio dolor con el estudio de la ciencia de los nmeros p s Diof nto ntes de lleg r l trmino de su existenci
Cunto aos vivi Diofanto?

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Trabajo prctico 6 Ampliacin del conjunto de los racionales

Veamos cmo trabajar la ampliacin del conjunto de los racionales. Para operar con los nmeros racionales positivos y negativos lo haremos del mismo modo que lo hacamos con los racionales positivos. Para la suma y la resta debemos hallar fracciones equivalentes con denominador comn y luego sumamos o restamos como lo hacamos con enteros, para multiplicar y dividir simplificamos antes y usamos la regla de los signos aprendida para los enteros y para potencia y raz se distribuye la operacin en numerador y denominador para luego usar la misma regla de signos que en enteros.

Resolv los siguientes ejercicios combinados. Record pasar los nmeros decimales a fraccin, separar en trminos y aplicar todas las propiedades vistas:

i. ii. iii. iv. v. ( . ( {[

/ ) / .

/ ( ) . / . ) ,

( /

) . /

( ] .

)-= / }

Plante el problema y resolv

i. La quinta parte de un poste se pint de blanco, los dos tercios del resto de rojo y los cuatro metros restantes de negro. Cul es la longitud total del poste y cuantos metros fueron pintados de rojo y de blanco? ii. Cul es el nmero racional tal que el opuesto de su doble aumentado en diez unidades da como resultado el cudruplo del siguiente de dicho nmero?

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iii. Una soga de 45 centmetros se corta en tres partes tales que la primera resulta ser la mitad de la segunda parte y la tercera es igual a la suma de las otras dos. Cunto mide cada parte de la soga? iv. El pap de Juanchi Chones compra un equipo de msica que cuesta $680 pagando $138 en efectivo y el resto en 4 cuotas. La primer cuota es la cuarta parte de lo que vale el equipo, la segunda cuota es $10 ms cara que la primera y la tercera es 2/3 de la segunda. Cunto paga en la ltima cuota? v. Si a las 3/4 partes de un nmero le sumo el consecutivo de dicho nmero obtengo el cudruplo del nmero disminuido en 26 unidades. Cul es el nmero? vi. Calcul el nmero tal que la diferencia entre sus 4/5 partes y sus 2/3 partes sea igual al valor absoluto del opuesto de 2. vii. Hall el valor de un ngulo sabiendo que su duplo ms su tercera parte es igual a las 14/9de un ngulo recto. viii. Si se desea dividir una suma de $910 entre dos personas tal que una reciba las 5/8 partes de lo que recibe la otra persona. Cunto recibe cada uno? ix. Hallar la amplitud de y de sabiendo que son ngulos adyacentes y que es 2/3 de la amplitud de x. El famoso escalador Pedro Medario ascendi una montaa en tres das. El primer da recorri la tercera parte de su camino, el segundo da las 3/5 partes del resto y el tercer da escal los ltimos 640 metros. Cunto mide la montaa y cul fue la distancia que recorri cada uno de los dos primeros das?
Resolv las siguientes ecuaciones:

i. ii. iii. iv. v. . . / .

/ /

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Los acertijos de Sam Loyd Martin Gardner

Adjudique valores diferentes que hagan que A x B = y y A + B = y.

El maestro est explicando a su clase el hecho notable de que dos veces dos da la misma respuesta que dos ms dos. Aunque el 2 es el nico nmero que tiene esta propiedad, hay muchos pares de nmeros que pueden sustituir a A y B en estas ecuaciones que estn a la derecha del pizarrn. Puede usted descubrir algn par as? Por supuesto, pueden ser fracciones, pero su producto debe ser igual a la suma.

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Trabajo prctico 7 ngulos

Complet

a y b son _________________________________________ porque __________________________ _______________________________________________________________________________________

a y b son ___________________________________ porque ________________________________

a y b son _____________________________ porque ______________________________________ _______________________________________________________________________________________

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a y b son ________________________________ b y c son_________________________________

a y d son ___________________________ c y d son ___________________________

a y c son __________________________ entre s por ser ________________________________ _______________________________________________________________________________________ b y d son _________________________ entre s por ser ________________________________ ______________________________________________________________________________________

Complet con iguales o suplementarios segn corresponda y luego justific porque lo son: a y e son _____________________________por ser ______________________________________ a y h son _____________________________por ser ______________________________________ a y g son _____________________________por ser ______________________________________ b y f son _____________________________por ser ______________________________________

20

b y g son _____________________________por ser ______________________________________ b y h son _____________________________por ser ______________________________________ c y g son _____________________________por ser ______________________________________ c y f son _____________________________por ser ______________________________________ c y e son _____________________________por ser ______________________________________ d y h son _____________________________por ser ______________________________________ d y f son _____________________________por ser ______________________________________ d y e son _____________________________por ser ______________________________________ Recordatorio del profesor Hubert

NGULOS FORMADOS POR 2 PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

ALTERNOS EXTERNOS -------son iguales entre s ngulos en distintos semiplanos ambos fuera de las paralelas ALTERNOS INTERNOS--------son iguales entre s ngulos en distinto semiplano ambos dentro de las paralelas CORRESPONDIENTES---------son iguales entre s ngulos en el mismo semiplano, uno dentro y otro fuera de las paralelas y formados por paralelas distintas. CONJUGADOS EXTERNOS------son suplementarios ngulos en el mismo semiplano ambos fuera de las paralelas. CONJUGADOS INTERNOS------son suplementarios ngulos en el mismo semiplano ambos dentro de las paralelas.

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Hall la amplitud de los ngulos desconocidos justificando en todos los casos:

i.

ii.

iii.

Hall el valor de x y luego la amplitud de cada ngulo solicitado justificando en cada caso:

i.

22

ii.

iii.

iv.

Matemticaparadivertirse MartinGardner

EL JOVEN HIND Y EL GATO

Cuntos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del joven hind con turbante? Cuntos tringulos distintos puedes contar en el dibujo del gato?

Observa atentamente. Los problemas no son tan fciles como podra parecer!

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Trabajo prctico 8 Tringulos

Evariste Galois quera saber sobre tringulos por lo que se le ocurri preguntarle al prncipe de la Matemtica, Carl Gauss. Lo invit a tomar un t en un poco concurrido bar y se pusieron a charlar. Galois: Mi estimado Carl, suponte que tengo un tringulo y quiero hallar el

punto de equilibrio o centro de gravedad, cmo debo proceder? Gauss: Fcil es mi joven amigo, encontr el punto medio de un lado y traz un segmento que una dicho punto con el vrtice que se halla frente al lado. A ese segmento se lo llama MEDIANA y si trazs bien las tres medianas posibles de un tringulo, una por cada lado, se cortarn en un punto al que llamamos BARICENTRO resultando este el punto por el que me preguntaste. Galois: Yo saba que se podan trazar las tres ALTURAS en un tringulo, trazando segmentos perpendiculares a cada lado que llegaran al vrtice opuesto a dicho lado, y al hacerlo not que se cortaban en un solo punto las tres tiene algn nombre especial ese punto tambin? Gauss: Se llama ORTOCENTRO. Galois: Y existe algn punto que est a la misma distancia de los tres vrtices del tringulo? Gauss: S, y para hallarlo debers trazar las MEDIATRICES de los tres lados del tringulo y el punto donde se cortan es el punto que buscs y se llama CIRCUNCENTRO. Existe tambin un punto que equidista de los tres lados del tringulo llamado INCENTRO y que es el punto donde se cortan las tres BISECTRICES de los tres ngulos del tringulo. Estos dos puntos notables son adems centros de dos circunferencias particulares. El circuncentro es centro de la circunferencia circunscripta cuyo radio es la distancia de cada vrtice a dicho punto. El incentro por su parte es centro de la circunferencia inscripta cuyo radio es la menor distancia entre cada lado y el punto mencionado. De tarea, mi joven amigo, traza tringulos de cada clase, es decir equilteros, issceles, escalenos, acutngulos, rectngulos y obtusngulos, y hall ortocentros, baricentros, incentros y circuncentros de ellos anotando las particulares que te llamen la atencin. Galois: Gracias por la charla Carl, voy a casa a hacer lo que me pediste.
Armen grupos y realicen la tarea que le pidi Gauss a Galois. En casa averigen datos de ellos.

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Respond verdadero o falso justificando en caso de ser falso:

Teorema de Pitgoras
Reemplaz a y b por distintos pares de nmeros y hall el valor de c verificando la igualdad en la medida de las reas.

25

Hall el valor del lado desconocido teniendo en cuenta la figura de referencia:

i.

ii.

iii.

iv.

Resolv los siguientes problemas: i. Cunto mide la altura de un tringulo issceles de 3,6 dm. de permetro y 10 cm. de base? ii. Sabiendo que una escalera de 1700 mm. se apoya contra una pared alcanzando una altura de 1,5 m. Qu distancia hay entre la base de la pared y el pie de la escalera?

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Hallar el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 3 cm y 4 cm. Record que las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio. iv. Es posible hallar un valor exacto de la diagonal de un cuadrado? Justific. v. Amlcar Cajadas dice que form un tringulo rectngulo cuyos lados miden 21 cm., 0,002 dam y 280 mm. Es posible? Justific. vi. Hall el rea de un trapecio issceles de 312 cm. de permetro cuya base mayor mide 142 cm. y la menor mide 1 m. Consejo: hac la figura de anlisis.
iii.

vii

viii ix x

xi xii

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Matemtica 8

Pitgoras y la msica

Mirta Bindstein Mirta Hanfiling

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Permetro y rea de figuras planas

Hall el permetro y el rea de las siguientes figuras sombreadas segn los datos dados:

abcd rectngulo ab = 10 cm. bc= 4 cm. ae = cg=1/2 ab bf =ah=1/2bc

abcd trapecio issceles ad=bc=5cm. ab=15 cm. dc=12cm.

abcd rectngulo ab=17cm. ad= 6cm. ae=bg=1/2 ad bf=hc =1/2 bg

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abcde pentgono regular ebd tringulo issceles Permetro del abcde =80 cm. Permetro ebd =50 cm.

abcd cuadrado Permetro abcd =16cm.

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Trabajo prctico 9 Introduccin a funciones Ejes cartesianos

A Ren Descartes, clebre filsofo y matemtico francs, le gustaba remolonear en su cama hasta casi la llegada del medioda, tiempo que usaba para meditar y dejar fluir su imaginacin. Cuenta la historia que una de estas maanas vio una mosca en su habitacin que se paraba en distintas partes de la pared que tena enfrente a su cama e intentando predecir el lugar donde se detendra la prxima vez se imagin una cuadrcula que cubriera dicha pared, de un modo similar al que se usa en los mapas para poder ubicar cualquier punto en el planeta. Esta cuadrcula es lo que comnmente llamamos sistema de coordenadas cartesianas o simplemente ejes cartesianos. Esto le permiti al genio francs desarrollar y unificar dos ramas importantsimas de la Matemtica: la Geometra y el lgebra. Ubic en los ejes cartesianos los siguientes pares ordenados: a=(3,5) b=(-2,9) c=(1,-7) d=(-3,-3) e=(0, 4) f=( 4,0) g=(0,0)

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Determin las coordenadas de cada punto: a=( , ) b=( , ) c=( , ) d=( , ) e=( , ) f=( , ) g=( , ) h=( , ) i=( , ) j=( , )

Ubic en sistema de ejes cartesianos el punto d que forme un trapecio rectngulo con los puntos a=(2,3), b=(6,3) y c=(4,-1). ii. Ubic en sistema de ejes cartesianos el punto d que forme un rombo con los puntos a=(-2,4), b=(-4,0) y c=(-2,-4). iii. Ubic en sistema de ejes cartesianos el punto d que forme un rectngulo con los puntos a=(1,-6), b=(2,-6) y c=(2,-8).
i.

Para que una relacin sea funcional deben cumplirse las condiciones de existencia (a cada elemento del dominio debe corresponderle al menos uno de la imagen) y de unicidad (a cada elemento del dominio le corresponde slo uno de la imagen)

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Establec que grficos representan funciones justificando en el caso que no lo sean y determinando dominio e imagen en el caso que lo sean:

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Lee los grficos y respond las preguntas:

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Trabajo prctico 10 Cuerpos geomtricos

i. ii. iii. iv.

v. vi.

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Es el final, hemos trabajado mucho y al fin llegamos. Gracias por compartirlo conmigo y espero que lo que conseguimos juntos nos sirva en el futuro.