Taller Binomio de Newton

Indice
1. N meros factoriales u 2. N meros combinatorios u 3. Binomio de newton 4. Ejercicios propuestos 1 1 2 3
Tema 11
1. Nmeros factoriales u
Se llama factorial de un nmero n N al producto de los n factores consecutivos que comienzan u por la unidad y terminan por n, esto es, n! = 1 2 3 (n 2) (n 1) n. Ejemplo 1.1 1! = 1, 4! = 1 2 3 4 = 24, 7! = 1 2 3 4 5 6 7 = 5040. Por convenio se ha establecido que, aunque 0 N y por denicin 0! no tenga sentido, 0! = 1. / o Si n N, entonces siempre podremos hacer n! = (n 1)! n, ya que n! =1 2 3 (n 2) (n 1)n. (n 1)! Ejemplo 1.2 6! = 5! 6, 9! = 7! 8 9.
2. Nmeros combinatorios u
Dados m, n N, se dene el n mero combinatorio o coeciente binmico al nmero u o u m n = m! , n!(m n)!
y se leer m sobre n. a Con esta notacin, se denen los siguientes nmeros combinatorios: o u m 0 = m! m! 0 0! 1 = = 1, = = = 1, 0!(m 0)! 0! m! 0 0! 0! 1 m m! (m 1)! m = = = m. 1 1!(m 1)! 1!(m 1)!
Las propiedades fundamentales de los nmeros combinatorios se recogen en la siguiente u Proposicin 2.1 Dados m, n N, se satisfacen: o 1) 2) m n = m . mn = m+1 . n+1 10 , 7 100 98 = 100 , 2 x x3 x x + 4 5 = x . 3
m m + n n+1 10 3
Ejemplo 2.1 Ejemplo 2.2
8 8 + 4 5 12 12 + x x+1
= =
9 , 5 13 , x+1
x+1 , 5 = 16 . x
15 15 + x1 x
Matemticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tcnicas a e
Como una aplicacin de las propiedades de los nmeros combinatorios podemos escribir el siguiente o u tringulo aritmtico conocido como el tringulo de Tartaglia: a e a 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 6 1 5 1 6 2 1 1 1 1 1 1 6 5 15 4 10 20 3 6 10 15 2 3 4 5 6 4 1 5 2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 5 3 6 4 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
Hemos obtenido dos tringulos issceles: el primero formado por los nmeros combinatorios, y el a o u segundo, por los valores de esos mismos nmeros. u En ambos casos podemos ver la relacin que guardan unos con otros. Aplicando la segunda proo piedad, advertimos que cada nmero combinatorio es la suma de los dos nmeros que estn situados u u a encima de l. e
3. Binomio de newton
El binomio de Newton consiste en una frmula que nos proporciona la potencia nsima de un o e binomio. As si n N, se tiene que , (x + a)n = n n n n1 n n2 2 n n3 3 n n n x + x a+ x a + x a + + xan1 + a . 0 1 2 3 n1 n
Este desarrollo tambin es vlido para la diferencia de dos monomios sin ms que escribir (x a) = e a a [x + (a)]: (x a)n = n n n n1 n n2 2 n n3 3 x x a+ x a x a 0 1 2 3 n n n + + (1)n1 xan1 + (1)n a . n1 n
Ejemplo 3.1 1) (x + y)4 = 4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 x + x y+ x y + xy 3 + y = x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 . 0 1 2 3 4
Tema 11
2) (x y)4 = 3) (2x+y 2 )5 =
4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 x x y+ x y xy 3 + y = x4 4x3 y + 4x2 y 2 4xy 3 + y 4 . 0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5 (2x)5 + (2x)4 y 2 + (2x)3 (y 2 )2 + (2x)2 (y 2 )3 + 2x(y 2 )4 + (y 2 )5 = 0 1 2 3 4 5 32x5 + 80x4 y 2 + 80x3 y 4 + 40x2 y 6 + 10xy 8 + y 10 .
Propiedades
1) El trmino general del desarrollo binmico (x + a)n viene dado por e o n nk k x a ; k si escribimos n k en lugar de k obtenemos n xk ank . nk Obsrvese que los dos trminos equidistantes de los extremos del desarrollo tienen coecientes e e iguales ya que n n = . k nk 2) Los coecientes binmicos del desarrollo (x + a)n son o n , 0 n , 1 n , 2 n , ... 3 n , n
es decir, coinciden con los nmeros de la nsima del tringulo de Tartaglia. u e a 3) La suma de los coecientes del desarrollo de la potencia nsima de un binomio es igual a 2n . e En efecto, si en el binomio hacemos x = a = 1 tenemos que 2n = (1 + 1)n = n n n n n + + + + + . 0 1 2 3 n
4) La suma de los coecientes que ocupan el lugar par es igual a la suma de los que ocupan el lugar impar. As es; si hacemos x = 1 y a = 1 entonces 0n = (1 1)n = n n n n + + 0 1 2 3
4. Ejercicios propuestos
(1) Comprueba que (n 1)! = n! (n 1)(n 1)!, (2) Halla el valor de x sabiendo que x! = 110(x 2)!. (n + 1)! n! = (n!)2 : (n 1)!.
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(3) Halla el valor de x en 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2)!. (4) Comprueba que n n n1 = , k k k1 n n b) +2 = n2 , 1 2 m m1 c) n =m . n n1 a) (5) Halla m sabiendo que (6) Calcula m sabiendo que m 3 m 6 : m1 4 = m . 3 = 8 . 5
(7) Resuelve las ecuaciones siguientes: x x = 3 2 x x b) + 2 3 x c) 2 =2 4 2x d) 5 = x a) , x 3 = x 2;
x x+2 = ; 4 4 x x x 2 x ; , = 3 6 3 2 5 2x 2 x x , 18 + 24 = 125x. x1 2 3 = x + 1, 7
(8) Desarrolla las siguientes potencias: a) (x 1)6 , (2 x)6 , (x y)6 ; c) 1 3 b 3

5
b) (x + 1)8 , (a2 + y)7 , (2 + a)9 ; , 1 2a b 2

7
, (3a2 b 2b2 c)8 .
(9) Halla el cuarto trmino del desarrollo de (1 x)10 . e (10) Busca el octavo trmino del desarrollo de (3a2 b 2a)11 . e 14 (11) Halla el trmino medio del desarrollo de e 2 3 ab2 . (12) Escribe el trmino que contiene x8 en el desarrollo de (3x3 2xy)6 . e (13) Escribe el trmino que contiene x31 en el desarrollo de e 2x2 y 2 y x
20

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1. N meros factoriales u 2. N meros combinatorios u 3. Binomio de newton 4. Ejercicios propuestos 1 1 2 3

Ejemplo 2.1 Ejemplo 2.2

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Ejemplo 3.1 1) (x + y)4 = 4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 x + x y+ x y + xy 3 + y = x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 . 0 1 2 3 4

4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 x x y+ x y xy 3 + y = x4 4x3 y + 4x2 y 2 4xy 3 + y 4 . 0 1 2 3 4

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(7) Resuelve las ecuaciones siguientes: x x = 3 2 x x b) + 2 3 x c) 2 =2 4 2x d) 5 = x a) , x 3 = x 2;

(8) Desarrolla las siguientes potencias: a) (x 1)6 , (2 x)6 , (x y)6 ; c) 1 3 b 3

b) (x + 1)8 , (a2 + y)7 , (2 + a)9 ; , 1 2a b 2

, (3a2 b 2b2 c)8 .

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