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Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Lineales
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Lineales
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Lineales
Cuando t = 1h ,lacantidadmedida
3 N 0 . Si la razn de reproduccin es proporcional a la cantidad de 2 bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. Primeroseresuelvelaecuacindiferencial dN = kN (2) sujeta a N ( 0 ) = N 0 . A continuacin se define la condicin emprica dt 3 N (1) = N 0 parahallark,laconstantedeproporcionalidad.Conello,laecuacin(2)es 2 separableylineal,alavez.Cuandoseescribeenlaforma dN kN = 0 ,podemosverporinspeccinqueelfactorintegrantees e kt .Multiplicamos dt d ambosladosdelaecuacinporesefactoryelresultadoinmediatoes e kt N = 0 . dt Integramosambosladosdelaltimaecuacinparallegaralasolucingeneral
de bacterias es
Paraestablecerelmomentoenquesetriplicalacantidaddebacterias,despejamostde
3 N 0 = N 0 e0.4055t ;porconsiguiente, 0.4055t = ln 3 yas
t= ln 3 2.71h 0.4055
ww
w.
at e
e kt N = c ,osea N ( t ) = ce kt .
at
ic
a1
.c om
Nota:Losproblemasdedescribirelcrecimiento(Seadepoblaciones,bacteriasocapitales) se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene un decrecimiento(comoladesintegracinradiactiva),setieneunvalornegativodek.Porlo tanto, se dice que k es una constante de crecimiento ( k > 0 ) o una constante de descrecimientoodedeclinacin( k < 0 ). PERIODO MEDIO. En fsica, el periodo medio es una medida de la estabilidad de una sustanciaradiactiva.Es,simplemente,eltiempoquetranscurreparaquesedesintegreo transmutelamitaddelostomosenunamuestrainicial, A0 yseconviertanentomosde otroelemento.Mientrasmayorseasusemivida,msestableesunasustancia. PERIODO MEDIO DEL PLUTONIO. Un reactor de cra convierte al uranio 238, relativamenteestable,enplutonio239,unistoporadiactivo.Alcabode15aos,seha desintegradoel0.043%delacantidadinicial, A0 deunamuestradeplutonio.Calculeel periodomediodeeseistopo,silarazndedesintegracinesproporcionalalacantidad
A ( t ) = A0 e 0.00002867 t
ww
Despejamoskytenemos k =
w.
Sielperiodomedioeselvalorquecorrespondea A ( t ) =
LA TEORA DE DATACIN CON RADIOCARBONO. Mtodo que emplea al carbono radiactivoparadeterminarlasedadesaproximadasdefsiles.Larazndelacantidadde C l4 al carbono ordinario en la atmsfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidadproporcionaldelistopopresenteentodoslosorganismosvivosesigualquela delaatmsfera.CuandomuereunorganismolaabsorcindelCl4seaporrespiracino
at e
dA A ( t ) = A0 e kt = kA , A ( 0 ) = A0 dt Sisehadesintegradoel0.043%delostomosde A0 ,quedael99.957%.Paracalcularla
problemadevalorinicial:
at
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presente.
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.c om
alimentacin cesa. As, si se compara la cantidad proporcional de C 14 presentes, por ejemplo en un fsil, con la relacin constante que existe en la atmosfera, es posible obtenerunaestimacinrazonabledesuantigedad. ANTIGEDADDEUNFSIL.Seanalizunhuesofosilizadoyseencontrquecontenala centsimapartedelacantidadoriginaldeC14.Determinelaedaddelfsil. El punto de partida es, de nuevo, A ( t ) = A0 e kt Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que
5600k = ln A A0 = A ( 5600 ) , o sea, 0 = A0 e5600 k Entonces, 2 2
A0 A ,que 0 = A0 e 0.00012378t ,demodoque 1000 1000 1 ln1000 0.00012378t = ln = ln1000 .As t = 55,800 aos 1000 0.00012378 LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/ CALENTAMIENTO (supondremos que Tm es constante)(consultargua#3) ENFRIAMIENTODEUNPASTEL. Alsacarunpasteldelhorno,sutemperaturaes300F.Despusde3minutos,200F.En cuntotiemposeenfriarhastalatemperaturaambientede70F? dT = k (T 70 ) , T ( O ) = 300 ydeterminarelvalordekdetalmodoque T ( 3) = 200 . dt dT Laecuacineslinealyseparable,alavez.Alsepararlasvariables, = kdt T 70 Vemosque Tm = 70 .Porconsiguiente,debemosresolverelproblemadevalorinicialcuyo
resultadoes ln T 70 = kt + c1 ,yas T = 70 + c2 e kt .Cuando t = 0 , T = 300 demodoque 300 = 70 + c2 definea c2 = 230 .Entonces, T = 70 + 230ekt Por ultimo, la determinacin
T ( 3) = 200 conduce
13 , 23
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w.
at e
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A ( t ) = A0 e 0.00012378t .Tenemos,para A ( t ) =
e3 k =
sea,
1 13 k = ln = 0.19018 As T ( t ) = 70 + 230e 0.19018 3 23 MEZCLAS. Al mezclar dos fluidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales de primerorden(verguademodelosmatemticos)
Supusimosquelaraznconquecambialacantidaddesal A ( r ) ,eneltanquedemezcla esunaraznneta: Supongamosqueeltanquemezcladorgrandecontieneinicialmente300galonesdeuna solucin de salmuera. Otra solucin de salmuera entra al tanque con una razn de 3 lb gal galonesporminuto 3 ;laconcentracindesalqueentraes 2 .Cuandolasolucin gal min eneltanqueestbienmezclada,saleconlamismarapidezconqueentra.
lb gal lb R1 = 2 ; 3 =6 min gal min Ahora, puesto que la solucin sale del tanque con la misma razn con la que entra, el nmero de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300 galones.Porloquelaconcentracindelasaleneltanqueascomoenelflujodesalida A(t ) es. c(t ) = 300lb / gal
ww
w.
at e
Si A(t ) denotalacantidaddesal(medidaenlibras)eneltanquealtiempot,entoncesla raznconlaque A(t ) cambiaesunaraznneta: dA razn con que razn con que = = R1 R2 dt entra la sustancia sale la sustancia Laconcentracindelasolucinentranteera;porconsiguiente,laentradadesalera
at
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A lb gal A lb Porloquelarazndesalidaes R2 = 3 . = min 300 gal 100 min
cantidadinicialdelquido.
t
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.c om
at
lb = 600lb . gal Enelcasoquelasalmueramezcladasepuedesacaraunflujomayoromenorqueelflujo de entrada de la otra solucin; por ejemplo, si la solucin bien mezclada del ejemplo gal ,seacumularlquidoeneltanqueauna anteriorsaleaunflujomenor,digamosde 2 min gal gal tasa de ( 3 2 ) . Cuando haya transcurrido t minutos, en el tanque habr =1 min min 300 + t galonesdesalmuera.Laraznconquesalelasales,entonces, lb dA 2A gal A R2 = 2 o sea = 6 .As, la ecuacin (6) se transforma en dt 300 + t min 300 + t gal dA 2 + A = 6 . dt 300 + t Debecomprobarquelasolucindelaltimaecuacin,sujetaa A ( 0 ) = 50 ,es
ww
w.
( 300 gal ) 2
at e
Se puede ver, que A 600 cuando t . Esto es lo que cabra esperar en este caso; pasado un largo tiempo, la cantidad de libras de sal en la solucin debe ser
ic
Al integrar esta ecuacin y despejar A se obtiene la solucin general A = 600 + ce 100 . Cuando t = 0 , A = 50 demodoque c = 550 .Entonces,lacantidaddesaleneltanqueen
t 100
at e
di 1 di Segn la ecuacin L + Ri = E ( t ) entonces + 10i = 12 sujeta a i ( 0 ) = 0 . Primero 2 dt dt multiplicamos la ecuacin diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t . A d 20t e i = 24e 20t dt continuacinlosustituimos . 6 Alintegrarcadaladodeestaecuacinydespejariobtenemos i = + ce 20t .Si i ( 0 ) = 0 , 5 6 6 6 6 entonces 0 = + c ,obien c = ;porconsiguiente,larespuestaes i ( t ) = e 20t . 5 5 5 5 Apartirdelaecuacin p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx y = ce e f ( x)dx donde : y = ce ; y =e e f ( x)dx +e
at
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c
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i (t ) =
Muchosproblemasfsicosdependendealgunamaneradelageometra.Unodeellosesla salidadelquidodeuntanqueatravsdeunorificiosituadoalfondodelmismo.Laforma geomtricadelrecipientedeterminaelcomportamientofsicodelagua. Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h . Suponga que el agua fluye a travsdeunorificiodeseccintransversal a ,elcualestubicadoenlabasedeltanque. Sedeseaestablecerlaalturadelquidoeneltanqueencualquierinstante t yeltiempo queestedemoraenvaciarse.
ww
Enespecial,cuando E ( t ) = E0 esunaconstante,laecuacinsetransformaen
w.
Podemosformularunasolucingenerales i ( t ) =
R t L
R t L
E ( t ) dt + ce
R t L
gotadeaguaadquiriraalcaerlibrementedesdelasuperficiedelaguahastaelagujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendr v = c 2 gh (2), donde c es el coeficiente de descargacomprendidoentre0y1 ( 0 < c < 1) . Nota:Cuandoelvalordelcoeficientededescarga c noseindica,seasumeque c = 1 Segn la Ley de Torricelli, la razn con la que el agua sale por el agujero (variacin del volumen de lquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el rea dV a del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es = av (3) dt dV = ac 2 gh (4) sustituyendolaecuacin(2)enlaecuacin(3) dt Si A ( h ) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h ,
ic
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at
derivandorespectode t yaplicandoelteoremafundamentaldelclculo
salida el cual est ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y A ( h ) el rea de la seccin transversal del tanque. La ecuacin diferencial asociadaalproblemadevaciadodeltanquees A ( h )
ww
w.
Comparandolasecuaciones(3)y(5) A ( h )
at e
dV dh = A ( h ) (5) dt dt
dh = ac 2 gh dt
Esta es unaecuacin diferencial devariables separables, lacual al resolverse sujeta a la condicindeconocerlaalturainicial h0 paraeltiempo t = 0 ,permiteobtenerlaleyde variacindelaalturadelquidoeneltanqueenfuncindeltiempo. Si,adems,hayaportedelquidoaltanque,laecuacindiferenciales:
A(h)
dh = Q ac 2 gh dt
UNIDADESYNOTACIONES Elemento Altura Volumen Tiempo Gravedad readelorificiodesalida readelaseccinTransversal Coef.dedescarga Notacin
h (t ) V (t )
t
Unidades
cm
mt
mt 3 seg
9,81
pies
pies 3 seg
32
cm3 seg
981
cm seg 2
mt seg 2
pies seg 2
a A( h) c
cm 2 cm 2
cm2 cm2
pies 2 pies 2
LaecuacindiferencialasociadaalosproblemasdeVaciadodetanqueses:
A ( h ) dh = ac 2 ghdt (1)Eldimetrodelorificiopordondefluyeelaguafueradeltanque
es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es pulgada. Como las dimensiones del tanque estndadasenpie,utilizandolaequivalenciade1pulgada=
ww
w.
at e
at
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(
pies seg 2
.c om
SinUnidades
1 piesypuestoqueelrea 12
2
porlotantoseasume c = 1 ylagravedades g = 32
Paradeterminar A ( h ) ,queeselreadelaseccintransversaldeltanqueenfuncindela altura h , obsrvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r = 10 pies . Por lo tanto, el rea de la seccin transversaleslamisma,independientementedelaaltura h alacualseefecteelcorte. As, A ( h ) = (10 ) = 100 pies 2
2
576
64hdt =
8 h 576
ysimplificando 100dh =
1 hdt (2) 72
elenunciadosedicequeeltanqueesttotalmentelleno. La ecuacin diferencial (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para
.c om
separarlasvariables,laecuacin(2),semultiplicaporelfactor
ww
w.
at e
at
ic
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72 h
t = 14400 20 = 64398, 75
Luegoeltanquesevacaenuntiempo t = 64398, 75seg ,esdecir, 17 h 53min19seg
GravitacinUniversal Segn la ley de la gravitacin universal de Newton la aceleracin a de cada libre de un cuerpo, como el satlite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante g. Adems, la aceleracin a es k inversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadesdeelcentrodelaTierra a = 2 r dondekeslaconstantedeproporcionalidad.Utiliceelhechodequeenlasuperficiedela Tierra r = R y a = g paradeterminark.Siladireccinpositivaeshaciaarriba,utilicela segundaleyparadeducirlaecuacindiferencialparaladistanciar.
a1 ic
.c om
m Sin r2 M Sustituyendoyreduciendo R3 m r 3M 3 Mrm R = k mM r LaLeyde enlaecuacindelafuerzagravitacional: F = k 2 = k 2 r r R3 la Gravitacin Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partcula puntualconmasa m1 sobreotraconmasa m2 esdirectamenteproporcionalalproducto
embargoMdelatierrapodemosescribirlacomo: M t = r 3
delasmasas,einversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaquelassepara: Segn la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la aceleracin, donde esta ltima tambin puede expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo: F = ma F = m
ww
d 2 r kM laecuacin. 2 = 3 r dt R MODELODECRECIMIENTOPOBLACIONAL.
Ciertoingenierodecideconstruirunaedificacinenunazonaurbanaconunadinmicade dP crecimientodictadaporlasiguienteecuacindiferencial: = ( k cos t ) P dondekesuna dt
w.
d 2r d 2r mM m 2 = k 3 r Eliminandolamasadeambosladosde 2 dt dt R
at e
at
Loprimeroaconoceraqu,esaqueesiguallafuerzagravitacionalenm: F = kM T
La segunda ley de Newton podra describir muy bien este principio. Ya dijimos que la fuerzapodrallevarseaunadiferencialsimple F = ma dv F = m y aplicando la misma ley a la fuerza que provee la sustentacin tendramos: dt dv m = kv 2 + mg . En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la dt condicindelaecuacin,asdeberafluctuarlacadaparaunosvaloresdev(t)de0a140 m/s.
ww
w.
at e
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.c om
constante positiva de la funcin P(t) de la zona escogida para el estudio. El desea saber qu tipo de crecimiento tiene la poblacin. Grafique el comportamiento de la ecuacin. Analice una interpretacin para la solucin de esta ecuacin, y determine qu clase de poblacinconsideraquedescribelagrfica. dP LaEDpuederesolverseporelmtododelaseparacindevariables: = ( k cos t ) P dt dP dP = k cos tdt = k cos tdt ln P = ksent + C P = e ksent + C dt P DINMICADECADA Cuandouncuerpo,comoelparacaidistaqueapareceenlafigura,descendiendoantesde queseabraelparacadassemuevecongranrapidezenelaire,laresistenciadelmismoes ms cerca a a una cierta potencia de la velocidad instantnea v(t). Determine una ecuacin diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si la resistenciadelaireesproporcionalalcuadradodelavelocidadinstantnea.
EJERCICIOSRESUELTOS. 1.Unatazadecafcalientequeinicialmenteseencuentraa95C,seenfrayllegaa80C en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura est a 21C. Determineenqumomentoelcafestaralatemperaturaidealde50C.
dT dT = k (T Ta ) = kdt ln (T Ta ) = kt + C T ( t ) = Ce kt + Ta dt T Ta
Sabemosquelatemperaturadelcuartoes21C
T ( t ) = Ce kt + 21
En t = 0 elcafesta95C
En t = t1 min elcafesta50C
T ( t1 ) = 74e 0.0453t1
2.Elsbado24defebrerodel2007alas07h00A.M.unconserjedelbsicoencuentrael cuerpodeunestudiantedeecuacionesdiferencialesenelauladonderindisuexamenel da anterior, que se conserva a temperatura constante de 26C. En ese momento la temperaturadelcuerpoesde28Cypasadahoraymedialatemperaturaesde27.5C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37C y que se ha enfriadosegnlaLeydeEnfriamientodeNewton,culfuelahoradelamuerte? LeydeenfriamientodeNewton:
dT = K (Tc Ta ) dt
ww
w.
at e
at
ic
En t = 5 min elcafesta80C
a1
T ( t ) = 74e kt + 21
.c om
T ( 0 ) = Cek ( 0) + 21 = 95 C = 95 21 = 74
ln Tc 26
T ( 0 ) = 37 C 37 = C + 26 C = 11 Tc ( t ) = 11e kt + 26
ww
w.
Silatemperaturaantesdemorirerade 37 C entonces:
= e Kt +C Tc 26 = Ce Kt +C Tc ( t ) = Ce Kt + 26
at e
at
ic
T ( t1 + 1.5 ) = 27.5 C
a1
.c om
Despusdeunahoraymedialatemperaturadelcuerpodesciendea 27.5 C .
2 11
Si T ( t1 + 1.5 ) = 27.5 C
1.5 ; 11
Siseigualaecuacin1y2:
1.7047 1.9924 = ( t1 + 1.5 )1.7047 = 1.9924t1 1.7047t1 + 2.55705 = 1.9924t1 t1 t1 + 1.5 2.55705 1.9924t1 1.7047t1 = 2.55705 t1 = = 8.89horas 1.9924 1.7047
Porlotantoelestudiantemuri8.89horasantesdeserencontradoesdecir,alas22h06. 3. Supongamos que un alumno de la UNIVERSIDAD es portador del virus de la gripe y a pesardeellavaalaescueladondehay5000estudiantes.Sisesuponequelaraznconla quesepropagaelvirusesproporcionalnosoloalacantidaddeinfectadossinotambina la cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados a los 6 das despus,siseobservaquealos4daslacantidaddeinfectadoserade50.
at e
at
5000 x : # desanos
ic
x : # deinfectados
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.c om
x ( 0) =
En t = 4, x = 50
x ( 4 ) = e20000 k = 50 k = x ( 6 ) = 500.25*6
ww
En t = 0, x = 1
w.
dx dx = kx = kdt ln ( x ) = kt + C x ( t ) = Ce kt dt x en t = 0, x = x0
x ( 0 ) = Ce0 = x0 C = x0
en t = 4, x = 2 x0
x ( 4 ) = x0 e
4k
= 2 x0 k =
ln ( 2 ) 4
x ( t ) = x0 e
t ln ( 2 ) 4
x ( t ) = x0 2 4
x (16 ) = x0 2 = 24 x0 = 32 x0
16 4
v (t ) =
ww
w.
at e
v (t ) =
at
ic
a1
en t = 0, x = 0m
.c om
6.Lafuerzaresistentedelaguaqueoperasobreunboteesproporcionalasuvelocidad instantnea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg la resistencia es de 40 Newton. Se conoce que el motor ejerce una fuerza constantes de 50 Newton. En la direccindelmovimiento.Elbotetieneunamasade420Kg.yelpasajerode80Kg. a)Determineladistanciarecorridaylavelocidadenlcualquierinstantesuponiendoqueel botepartedelreposo. b)Determinelamximavelocidadalaquepuedeviajarelbote. AplicandolasegundaleydeNewtonseobtiene:
= ma
500
dv
dt
ww
dv dv dt dv dt = 50 2v = = 50 2v 500 2 ( v 25 ) 500 dt
w.
Partea) Fm :Fuerzadelmotor Fr :Fuerzaderesistenciadelagua Fm :50Newton Fr = kv Comolavelocidadesde20m/segylafuerzaderesistenciade40Newton. 40 Newtons Entonces k = = 2 k = 2 m 20 seg uu r dv Fx = ma Fm Fr = ma 50 kv = m dt dv m :masatotaldelsistema m = 420kg + 80kg = 500kg 50 kv = 500 , k = 2 dt dv 500 + 2v = 50 Ecuacindiferencialseparable dt
at e
m
t
at
t 250
ic
Como v =
a1
dx dt
.c om
25 ( 250 )
8.UnaF.e.m.de 200e5t voltiosseconectaenserieconunaresistenciade20Ohmiosy una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero. Encuentrelacargaylacorrienteencualquierinstantedetiempo. dq q R + = fem Ecuacindiferencialparaelcircuito RC . dt C
fem = 200e 5t
ww
w.
at e
at
ic
a1
.c om
t pies b)Lavelocidadlmiteomximaes: vmax = lim 25 25e 250 = 25 t seg 7. Un circuito RL tiene una f.e.m. de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una 1 inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente para t = 5 segundos. di di di 1 = dt ln ( 30i 9 ) = t + C v = iR + L 9 = 30i + dt dt 30i 9 30 1 30 t Ce + 9 30i 9 = 30t + C i ( t ) = 30 en t = 0, i = 0
Siinicialmentenohaycargaenelcapacitor,entonces:
at e
at
ic
t 1 i ( 0 ) = 0 i ( t ) = e5t e5t 5 25
a1
Silacargainicialescero,entonceslacorrienteinicialescero:
.c om
ww
w.
( ln 2 )t
5
ln 3 =
Ajustando P ( t ) = 4 P0 tenemos: 4 = e
( ln 2 )t
5
ln 4 =
( ln 2 ) t t = 10 aos.
5
10. Suponga que la poblacin de la comunidad del problema 1 es de 10000 despus de tresaos.Culeralapoblacininicial?Culseren10aos? Ajustando P = 10000 y t = 3 enelproblemaanteriorseobtuvo
10, 000 = P0
( ln 2 )3
5
11. La poblacin de una comunidad crece con una tasa proporcional a la poblacin en cualquiermomento.Supoblacininiciales500yaumentael15%en10aos.Culserla poblacinpasados30aos? dP = kt y P ( 0 ) = P0 = 500 obtenemos Dejar P = P ( t ) serlapoblacineltiempo t .De dt
P = 500e kt .Usando P (10 ) = 575 encontramos k =
1 ln1.15 . 10
Entonces P ( 30 ) = 500e3ln1.15 760 aos. 12. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicial de bacterias? Dejar N = N ( t ) serelnmerodebacteriasenelmomento t y N 0 elnmeroinicial.De
at
7 3
ic
a1
decrecesuintensidad I esproporcionala I ( t ) ,donde trepresentaelespesor,enpies, , del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial I del haz incidente, cul es la intensidad del haz a 15 pies bajo la superficie? Dejar I = I ( t ) serlaintensidad, t elespesor,y I ( 0 ) = I 0 . Si
ww
w.
at e
10 3
2000 N0 10 400 3
.c om
3 7
a)Calculelacantidadreunidaaltrminodecincoaos,cuandosedepositan$5000enuna 3 cuentadeahorroquerindeel 5 % deintersanualcompuestocontinuamente. 4 b)Encuntosaossehabrduplicadoelcapitalinicial? c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el valor de
0.0575 S = 5000 1 + Este valor representa la cantidad reunida cuando el inters se 4 capitalizacadatrimestre. dS = rS obtenemos S = S 0 e rt donde S ( 0 ) = S0 . De dt
5( 4 )
e 3.3
1 1 t ln 2
= 0.1
16.Cuando t = 0 ,haba100miligramosdeunasustanciaradiactiva.Alcabode6horas, esa cantidad disminuy el 3%. Si la razn de desintegracin, en cualquier momento, es proporcionalalacantidaddelasustanciapresente,calculelacantidadquequedadespus de24horas. dN = kt y N ( 0 ) = 100 obtenemos Dejar N = N ( t ) ser la cantidad en el tiempo t . De dt 1 N = 100e kt .Usando N ( 6 ) = 97 encontramos k = ln 0.97 . 6
ww
15.ElPb209,istoporadiactivodelplomo,sedesintegraconunaraznproporcionalala cantidadpresenteencualquiermomentoytieneunperiodomediodevidade3.3horas. Si al principio haba 1 gramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que se desintegreel90%? dN = kN y N ( 0 ) = 1 Dejar N = N ( t ) ser la cantidad de plomo en el momento t . De dt 1 1 1 ln . Cuando 90% de la obtenemos N = ekt . Usando N ( 3.3) = encontramos k = 2 3.3 2 iniciativahadecado, 0.1 gramospermanecer.Ajustando N ( t ) = 0.1 tenemos
w.
at e
at
ic
a1
c) S $6651.82 .
.c om
Entonces N ( 24 ) = 100e 6
1 ( ln 0.97 ) 24
50 = 100ekt kt = ln
ln
1 2
dA = kA , A ( 0 ) = A0 eselmodelodedesintegracinde dt una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, el periodo medio de vida, T, de la
18.a)Elproblemadevalorinicial
sustanciaes T =
A ( t ) = A0 2
i T
ww
b)Desde k = c)Escribiendo
( ln 2 ) tenemos A
w.
at e
at
( t ) = A0e
( ln 2 )t
T
ic
= A0 2 T
t t 1 A0 = A0 2 T como 23 = 2 T yresolviendopara t obtenemos t = 3T .As, 8 1 comocantidadinicial A0 decaera A0 entresvidasmedias. 8 19.Enuntrozodemaderaquemadaocarbnvegetalsedeterminqueel85.5%desu Cl4 se haba desintegrado. Con la informacin del ejemplo 3 determine la edad aproximadadelamadera.stossonprecisamentelosdatosqueusaronlosarquelogos parafecharlosmuralesprehistricosdeunacavernaenLascaux,Francia
a1
t
.c om
k b)Demuestrequelasolucindelproblemadevalorinicialenlapartea)sepuedeescribir
( ln 2 ) .
20. El sudario de Turn muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parecequefuecrucificado,muchaspersonascreenqueeselsudariodelentierrodeJess deNazaret.En1988elVaticanootorgautorizacinparadatarconcarbonoelsudario. Tres laboratorios cientficos independientes analizaron el pao y concluyeron que el sudario tena una antigedad de 660. Una antigedad consistente con su aparicin histrica. Usando esta antigedad, determine qu porcentaje de la cantidad original de c14quedabaenelpaoen1988. De ejemplo anterior, la cantidad de carbono presente en el momento t es
A ( t ) = A0e 0.00012378t .
A ( 660 ) = A0 e
Dejando
t = 660
resolviendo
para
A0
tenemos
0.0001237 ( 660 )
= 0.921553 A0 .
22. Un termmetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperaturadelairees5F.Despusdeunminuto,eltermmetroindica55F,ydespus decincomarca30F.Culeralatemperaturadelrecintointerior? dT = k (T 5 ) de modo que T = 5 + ce kt . Si T (1) = 55 y T ( 5 ) = 30 Supongamos que dt 1 entonces k = ln 2 y c = 59.4611 demodoque T ( 0 ) = 64.4611 . 4 23. Si una barra metlica pequea, cuya temperatura inicial es 20C se deja caer en un recipienteconaguahirviente,cuntotiempotardaraenalcanzar90Csisesabequesu temperaturaaument2Cenunsegundo?Cuntotiempotardarenllegara98C? dT = k (T 100 ) demodoque T = 100 + ce kt Si T ( 0 ) = 20 y T (1) = 22 Supongamosque dt
ww
w.
at e
As,aproximadamente 92% delacantidadoriginaldeC14se mantuvoenlatelacomo del 1988 . 21.Untermmetrosesacadeunrecintodondelatemperaturadelairees70Fyselleva 1 alexterior,dondelatemperaturaes10F.Pasado minutoeltermmetroindica50F. 2 Culeslalecturacuando t = 1 min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetro lleguea15F? dT 1 = k (T 10 ) demodoque T = 10 + ce kt .Si T ( 0 ) = 70 y T = 50 Supongamosque dt 2
at
ic
a1
.c om
Si T ( t ) = 98 entonces t = 145.7 segundos. 24. Un termmetro que indica 70F se coloca en un horno a temperatura constante. A travsdeunaventanadevidriodelhorno,unobservadorregistraquelatemperaturaes 1 de110F.Pasado minutoeltermmetroindica145F.Culeslalecturacuando t = 1 2 min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetrolleguea15F? dT = k (T Tm ) obtenemos Uso de la separacin de variables para resolver dt T ( t ) = Tm + ce kt Usando T ( 0 ) = 70 encontramos c = 70 Tm , as T ( t ) = Tm + ( 70 Tm ) e kt . Usandolasobservacionesdadas,seobtiene
Entonces e 2 =
2
LaTemperaturaenelhornoes 390 . 25. Un tanque contiene 200 1 de agua en que se han disuelto 30 g de sal y le entran L desolucincon1gdesalporlitro;estbienmezclado,ydelsalelquidoconel 4 min L mismoflujo 4 .CalculelacantidadA(t)degramosdesalquehayeneltanqueen min cualquiermomentot. De
t dA A = 4 obtenemos A = 200 + ce 50 . Si A ( 0 ) = 30 entonces c = 170 y dt 50 t 50
A = 200 170e
ww
w.
at e
(110 Tm ) y ( 70 Tm )
at
ic
a1
.c om
26.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoqueentraaguapura De
t t dA A = 0 obtenemos A = ce 50 .Si A ( 0 ) = 30 entonces c = 30 y A = 30e 50 . dt 50
A = 1000 1000e
a1
.c om
En t = 5, A ( 5 ) 48.77 puntos.
28.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoquelasolucinsaleaunflujode 10 permaneciendoiguallodems.Cundosevacaeltanque?
A ( 0 ) = 0 entonces c =
29. Un tanque est parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 Ib de sal 1 gal .Elcontenidodel disuelta.Leentrasalmueracon lb desalporgalnaunflujode 6 2 min gal tanqueestbienmezcladoydelsaleunflujode 4 desolucin.Calculelacantidad min delibrasdesalquehayeneltanquealos30minutos. dA 4A 2A 2 = 3 = 3 De obtenemos A = 50 + t + c ( 50 + t ) . Si A ( 0 ) = 10 dt 100 + ( 6 4 ) t 50 + t entonces c = 100, 000 y A ( 30 ) = 64.38 libras. 30. En el ejemplo terico (dado al principio de este gua), el tamao del tanque con la solucinsalinanoaparecientrelosdatos.Comosedescribienlapgina78elflujocon gal que entra la solucin al tanque es igual, pero la salmuera sale con un flujo de 2 . min
ww
w.
at e
De
at
ic
gal , min
c) Cuando el depsito est desbordando la cantidad de sal en el tanque se rige por la ecuacindiferencial
ww
As,lacantidaddesaleneldepsitocuandosedesbordaes:
w.
tanquefinitoterminaraderramndose. Supongaqueeltanqueestabiertoporarribayquesucapacidadtotalesde400galones. a)Cundosederramareltanque? b)Cuntaslibrasdesalhabreneltanquecuandosecomienzaaderramar? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera contina entrando al flujo de gal ,queelcontenidoestbienmezcladoyquelasolucinsiguesaliendoaunflujode 3 min gal . Determine un mtodo para calcular la cantidad de libras de sal que hay en el 2 min tanquecuandot=150min. d)Calculelaslibrasdesaleneltanquecuando t .Surespuestacoincideconloque cabraesperar? a) Inicialmente el tanque contiene 300 galones de solucin. La salmuera se bombea en gal gal unaproporcinde 3 ylasolucinsebombeaaunavelocidadde 2 ,elcambio min min gal netoesunaumentode 1 .As,en 100 minutoseltanquecontendrsucapacidadde min 400 galones. b) La ecuacin diferencial que describe la cantidad de sal en el tanque es 2A A ( t ) = 6 consolucin A ( t ) = 600 + 2t ( 4.95 107 )( 300 + t 2 ) 0 t 100 ( 300 + t )
at e
at
ic
a1
3t 400
( 400 gal ) 2
.c om
3t 400
A (100 ) = 490.625
. Los rendimientos de las
31. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v aun circuito en serie LR con 0.1 h de inductanciay50deresistencia.Determinelacorrientei(t),si i ( O ) = 0 .Hallelacorriente cuando i 3 di Asumir L + Ri = E ( t ) , L = 0.1, R = 50 y E ( t ) = 50 de modo que i = + ce 500t . Si 5 dt 3 3 i ( 0 ) = 0 entonces c = y lim i ( t ) = . t 5 5 32. Resuelva la ecuacin L
i ( 0 ) = i0 .
di + Ri = E ( t ) suponiendo que E ( t ) = E0 sen wf y que dt
Asumir L
di + Ri = E ( t ) , E ( t ) = E0 sen t y i ( 0 ) = i0 demodoque dt
ww
Si q ( 0 ) = 0 entonces c =
34. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que la resistenciaes1000ylacapacitanciaes 5 x10 f .Determinelacarga q ( t ) delcapacitar, si i ( O ) = 0.4 amp.Hallelacargacuando t Asumir
R dq 1 + q = E ( t ) , R = 1000, C = 5 106 dt c
w.
q ( 0 ) = 0 .Hallelacorriente i ( t )
1 1 y i = e 50t . 100 2
at e
33. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, donde la
at
ic
y
Desde i ( 0 ) = i0 obtenemos c = i0 +
E0 L . L 2 + R2
a1
E ( t ) = 200 .
Rt E0 R E0 L cos t + ce L . i= 2 2 sen t 2 2 L + R2 L + R2
.c om
Entonces
1 + ce200t y i = 200ce 200t . Si i ( 0 ) = 0.4 Entonces 1000 1 1 , q ( 0.005 ) = 0.003coulombs y i ( 0.005 ) = 0.1472 amps .As t q c= 500 1000 q=
t di 10 t > 20 laecuacindiferenciales 20 + 2i = 0 y i = c2 e . dt
at e
ecuacin i (t ) =
R t L
m
R t L
R t L
at
36. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor variable. Si la resistencia, en cualquier momento t es R = k1 + k2t , donde k1 y k2 > 0 son constantes conocidas, la
E (t )dt + ce
ic
a1
setransformaen ( k1 + k2t )
dq 1 + q = E ( t ) . dt C
1
ww
w.
.c om
,as
q E0 C
( k1 + k2t )
1 k2
q0 E0 C = k1
1 k2
q E0 C
q = E0 0 C
k1 k + k 2t
1 k2
E0
q k1 q = E0 0 C C k + k2t
1 Ck2
1 Ck2
37.Unaecuacindiferencialquedescribelavelocidadvdeunamasamencadasujetaa dv unaresistenciadelaireproporcionalalavelocidadinstantneaes m = mg kw ,enque dt kesunaconstantedeproporcionalidadpositiva. a)Resuelvalaecuacin,sujetaalacondicininicial v ( O ) = v0 . b)Calculelavelocidadlmite(oterminal)delamasa. c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio de ecuacinexplcitaparas,sitambinsesabequ s ( 0 ) = s0 .
ds = v , deduzca una dt
d 2s ds = g .Puestoque v ( t ) = 2 dt dt dv = g donde se toma la ltima ecuacin diferencial es la misma que la ecuacin dt pies g = 32 2 g.Encuentrelavelocidad v ( t ) delabaladecanaltiempot. s b)Utiliceelresultadoqueseobtuvoenelincisoa)paradeterminarlaaltura s ( t ) dela
entoncesunmodeloparalabaladelcanestdadopor baladecanmedidadesdeelniveldelsuelo.Determinelaalturamximaquealcanzala bala.
ww
w.
at e
gm m gm m m gm ds t v0 c)De = v y s ( 0 ) = 0 obtenemos s = e + v0 k k k k k dt
kt
b)Como t lavelocidadlmitees
gm . k
at
ic
gm gm kt m + v0 solucindelProblemadevaloriniciales v = e k k
a1
kt gm dv gm + ce m . Si v ( 0 ) = v0 entonces c = v0 a) De m = mg kv obtenemos v = y la k dt k
.c om
a)Laintegracinde
ww
w.
39.Qutanrpido?(Resistencialinealdelaire)Repitaelproblemaanterior,peroesta vezsupongaquelaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidadinstantnea.Estaes laraznporlaquelaalturamximaquealcanzalabaladelcandebesermenorquela del inciso b) del problema anterior. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidadesk=0.0025. Cuandolaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidad,elmodelodelavelocidades
at e
at
ic
16 = 0.5 y g = 32 tenemos 32 s ( t ) = 1,340, 000 6, 400t 1,340, 000e 0.005t y v ( t ) = 6, 400 + 6, 700e 0.005t
a1
s ( 9.375 ) = 1406.25ft .
.c om
kt mg m mg 1 e m t + 300 + k k k
40. Una paracaidista pesa 125 libras y su paracadas y equipo juntos pesan juntos 35 libras.Despusdesaltardelavindesdeunaalturade15OOOpies,laparacaidistaespera 15 segundos y abre su paracadas. Suponga que la constante de proporcionalidad del modelodelproblema35tieneelvalork=05durantelacadalibreyk=10despusde queseabrielparacadas.Supongaquesuvelocidadinicialalsaltardelavinesiguala cero.Culeslavelocidaddelaparacaidistayqudistanciaharecorridodespusde20 segundos de que salt del avin? Vea la figura. Cmo se compara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? Cunto tardar en llegar al suelo?[Sugerencia:Piense.enfuncindedosdiferentesPVI]
at
tenemos
ic
v ( t ) = 320 (1 e0.1t ) .
a1 at e
kt mg 160 1 e m .Dejarque k = 0.5, m = v (t ) = = 5 y g = 32 De v ( 0 ) = 0 obtenemos 32 k
m
La
s p ( t ) = 16t 116.299e2t . Veinte segundos despus de salir del avin cinco segundos
despus de que el paracadas se abre. Su velocidad en este momento es ft v p ( 5 ) = 16.0106 y ha cado s (15 ) + s p ( 5 ) = 5514.02 + 79.9947 = 5594.01ft . Su sec velocidad mxima es lim v p ( t ) = 16 , por lo que casi ha alcanzado su velocidad terminal
t
cinco segundos despus de que el paracadas se abre. Cuando se abre el paracadas, la distanciaalsueloes 15, 000 5514.02 = 9485.98ft .
ww
w.
integracin,
.c om
nos encontramos
con
Resolviendo s p ( t ) = 9485.98 obtenemos t = 592.874 s = 9.88 min .Porlotanto,lallevar aproximadamente 9.88 minutosparallegaralsuelodespusdequesuparacadasseha
60 41. Evaporacin de una gota de lluvia. Cuando cae una gota de lluvia, sta se evapora mientrasconservasuformaesfricaSisehacensuposicionesadicionalesdequelarapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su rea superficial y que se desprecialaresistenciadelaire,entoncesunmodeloparalavelocidadv(t)delagotade
lluvia es
k 3( ) dv v = g Aqu es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de + k dt ( ) t + r0
abiertoyuntotalde
.c om
considerapositiva. a)Determinev(t)silagotadelluviacaeapartirdelreposo.
e)Si r0 = 0.01 pie; r = 0.007 pies 10segundos despusdequelagotacaedesdeunanube, determineeltiempoenelquelagotadelluviasehaevaporadoporcompleto. k a)Laecuacindiferencialesdeprimerorden,lineal.Dejarque b = ,elfactorintegrante
at
ic
a1
b)Demuestrequeelradiodelagotadelluviaeneltiempotes r (t ) =
( )t + r
k 0
es e
(bt + r0 )
3bdt
= ( r0 + bt ) .Entonces
3
ww
w.
at e
g r04 kt 4k r0 +
3
b) Integrando
r (t ) = kt . + r0
t = 33.3 ,porloquelagotadeaguasehanevaporadoporcompletoa 33.3 segundos. dP 42.Laecuacindiferencial = ( k cos t ) P ,enquekesunaconstantepositiva,seusacon dt frecuencia para modelar una poblacin que sufre fluctuaciones estacionales anuales. DetermineP(t)ygrafiquelasolucin.Supongaque P ( 0 ) = P0
Separandolasvariablesobtenemos
Si P ( 0 ) = P0 entonces c1 = P0 y P = P0 e k sent .
a)Para
b)Si k1 > k2 entonces P como t .Si k1 = k2 entonces P = P0 paracada t .Si k1 < k2 entonces P 0 como t .
44. En el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales aparece al estudiar una serie de dx dy elementosquesedesintegranporsuradioactividad = x1 ; = x1 2 y dt dt Determine x(t ); y (t ) sujetasa x ( 0 ) = x0 y ( 0 ) = y0 Laprimeraecuacinsepuederesolverporseparacindevariables.Obtenemos x = c1e 1t .
ww
43.EnunmodelodemogrficodelapoblacinP(t)deunacomunidad,sesuponeque dP dB dD dB dD , en donde y son las tasas de natalidad y mortalidad, = dt dt dt dt dt respectivamente. dB dD a)DetermineP(t)si = k1 P y = k 2 P . dt dt b)Analiceloscasos k1 > k2 , k1 = k2 y k1 < k2
w.
at e
at
ic
a1
.c om
Para x ( 0 ) = x0 obtenemos c1 = x0 y as x = x0 e 1t . La segunda ecuacin se convierte entonces dy dy = x01e 1t 2 y o + 2 y = x0 1e 1t dt dt queeslineal.Unfactordeintegracines e2t .As x d 2t e y = x0 1e 1t e2t = x0 1e( 2 1 )t e2t y = 0 1 e( 2 1 )t + c2 2 1 dt
x y = 0 1 e 1t + c2 e 2t 2 1
De y ( 0 ) = y0 obtenemos c2 =
y=
ww
w.
A=
at e
A ( 0 ) = 0 .DetermineelvalorlmitedeAcuando t einterpreteelresultado
at
45.Cuandosetieneencuentaloolvidadizodeunindividuo,larapidezconquememoriza dA est definida por = k1 ( M A ) k2 A , en que k1 > 0 , k2 > 0 A ( t ) es la cantidad de dt material memorizado en el tiempo t, M es la cantidad total por memorizar y MA es la cantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique la solucin. Suponga que
ic
a1
.c om
x0 1 1t y0 2 y0 1 x0 1 2t e + e 2 1 2 y1
dA + ( k1 + k2 ) A = k1M .Acontinuacin,un dt
,y
d ( k1 + k2 )t k M ( k1 + k2 )t kM k +k t k +k t k +k t +c A= 1 + ce ( 1 2 ) A = k1Me( 1 2 ) e( 1 2 ) A = 1 e e dt k1 + k2 k1 + k2
Usando
A ( 0 ) = 0 obtenemos
k1M . k1 + k2
c=
k1M y k1 + k2
A=
k1M k +k t 1 e ( 1 2 ) . Como k1 + k2
t , A
46.Laraznconquesediseminaunamedicinaeneltorrentesanguneosedescribeconla dx ecuacindiferencial = r kx ,ryksonconstantespositivas.Lafuncinx(t)describela dt concentracindelfrmacoensangreenelmomentot.Determineelvalorlmitede x ( t ) cundo t .Encuntotiempolaconcentracineslamitaddelvalorlmite?Suponga que x ( 0 ) = 0 r a) Resolviendo r kx = 0 para x nos encontramos con la solucin de equilibrio x = . k r dx r dx Cuando x < , > 0 y donde x > , < 0 . Desde la fase retrato vemos que k dt k dt r lim x ( t ) = . t k
at e
at
ic
a1
.c om
47.Supongaqueunforensequellegaalaescenadeuncrimenvequelatemperaturadel cadveres82F.Propongadatosadicionales,peroverosmiles,necesariosparaestablecer una hora aproximada de la muerte de la vctima, aplicando la ley de Newton del enfriamiento. Esnecesarioconocerlatemperaturadelairedesdeelmomentodelamuertehastaque llegueelmdicoforense.Vamosasuponerquelatemperaturadelaireesunaconstante 65 F .PorlaleydeNewtondeenfriarentoncestenemos
ww
w.
b)De
ww
w.
at e
T1 ( t ) representanlatemperaturadelcafentazaSr.Jone`senelmomento t ,entonces
48.ElSr.Prezcolocaalmismotiempodostazasdecafenlamesadeldesayunador.De inmediato vierte crema en su taza, con una jarra que estaba desde hace mucho en esa mesa.Leeeldiariodurantecincominutosytomasuprimersorbo.LlegalaSra.Prezcinco minutos despus de que las tazas fueron colocadas en la mesa, vierte crema la suya y tomaunsorbo.Supongaquelaparejaagregaexactamentelamismacantidaddecrema. Quin y por qu toma su caf ms caliente? Base su aseveracin en ecuaciones matemticas. Vamos a suponer que la temperatura de la habitacin y la crema es 72 F , y que la temperatura del caf cuando se ponga primero en la tabla es 175 F . Si dejamos que
at
ic
a1
.c om
a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
A ( h ) dh = ac 2 ghdt (1)Comolasdimensionesdeltanqueestndadasenpie,ypuesto
que1pulg=1/12pies,entonceshaciendolaconversin,elreaorificiodesalidaser 1 1 2 a = 2pulg 2 = 2 pies 2 pies = 144 72
ic
Elcoeficientededescargaes c = 1 ylagravedad g = 32
Ya que las secciones transversales son de rea constante y puesto que el tanque est inicialmentellenohasta3/4desucapacidad,resultaquelaalturainicialseriguala3/4 de la alturatotal. As, como la altura total deltanque es ht = 12 pies , entonces laaltura
3 ht = 9 pies .Sustituyendo A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1) 4 1 8 1 144 dh = 64h dt = h dt simplificando 144dh = h dt (2) 72 72 9 La ecuacin (2) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanque
iniciales h0 = planteadoydeberesolversesujetaalacondicin h ( 0 ) = 9 pies . La ecuacin (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las 9 1296 variablessemultiplicalaecuacin(2)porelfactor dh = dt integrando h h dh 1296 = dt (3) h
ww
w.
A ( h ) = 144 pies 2
at e
Como puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque van a ser cuadradosdeladosconstanteseigualesa12pies,independientementedelaalturaala cual se efecta el corte, por lo tanto, el rea de las seccin transversal ser
at
a1
pies seg 2
.c om
1 dh = h 2 dh = 2 h + k1 dt = t + k2 sustituyendo h losresultadosdelasintegralesenlaecuacin(3) 2592 h = t + k (4) Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial h ( 0 ) = 9 , esto es, se sustituye en la ecuacin (4) t = 0seg y h = 9 pies , resultando
k = 7776 . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4) 1 2592 h = t 7776 multiplicando por y elevando al cuadrado 2592
t h (t ) = + 3 (5)Laecuacin(5)eslaleydevariacindelaalturadellquidoenel 2592 tanqueencualquierinstante t . Sequieredeterminareltiempoparaelcualelvolumendelquidoeneltanqueesiguala la mitad desu capacidad; es decir,cuando la altura de lquido en el tanque es igual a 6 t pies.Paraello,sesustituye h = 6 pies enlaecuacin(5) 6 = + 3 elevandoala 2592 1 t t entonces, 6 = 3 = 6 sumando 3 y + 3 Multiplicando por ( 1) 2592 2592 2 multiplicandopor 2592 t = 2592 3 6 = 7776 6350, 4 = 1425, 6
Deaquque,debetranscurriruntiempo t = 1425, 6 seg = 23min 45seg ,paraqueeltanque sevacehastalamitaddesucapacidad. Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparaque laalturadelquidoeneltanqueseacero,sesustituye h = 0 enlaecuacin(5)ysebusca
2
t 1 t t ; + 3 = 0 multiplicandopor ( 2592 ) + 3 = 0 elevandoa entonces; 2592 2 2592 t 7776 = 0 despejando t t = 7776seg Luego,debentranscurrir 7776seg ,esdecir,2horas9min36seg,paraqueeltanquese vacetotalmente. 50.Untanqueenformadeconocircularrecto,dealturaHradioR,vrticepordebajode la base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si H = 12 pies, R = 5 pies, a = 1pulg 2 y c = 0, 6
ww
w.
at e
at
ic
a1
.c om
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanquees
A ( h ) dh = ac 2 gh dt (1)
El rea de orificio de salida es a = 1pulg 2 pero como las dimensiones del tanque estn dadasenpies,hayquerealizarlaconversin.
1 1 1 pies ,entonces a = 1pulg 2 = pies = pies 2 Puestoque 1pulg = 12 12 144 pies Elcoeficientededescargaes c = 0, 6 ylagravedades g = 32 . seg 2
Segn puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a cual se efecte la seccin transversal.Sea h laalturaalacualseefectaelcortey r elradiodelacircunferencia.El readelaseccintransversalesvariableyestdadapor A ( h ) = r 2 (2)
Para expresar r en funcin de h , debe hacerse una abstraccin, en el sentido de visualizareltanque,nocomounslido,sinocomounafiguraplana.Observandoeltanque defrentecomounafiguraplanasevetalycomosemuestraFigura. Si se ubican los ejes coordenados de tal forma que el vrtice del cono coincida con el origendelsistemadecoordenadas,entoncessetieneunafigurasimtricarespectodeleje y ,talycomosemuestraenlaFigura. Porsimetra,sersuficientetrabajarconunodelostringulos.
ww
w.
at e
at
Por semejanza de tringulos (ver Figura) se tiene entonces la siguiente relacin de r 5 5 proporcin = despejando r = h (3)sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2) h 12 12
ic
a1
.c om
25 2 5 A(h) = h = h Sustituyendo A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1) 144 12 25 2 1 6 24 2 h dh = h dt (4) 64h dt Multiplicandopor 144 25 h dh = 144 144 10 5
2
Laecuacin(4)eslaecuacindiferencialasociadaalvaciadodetanqueplanteadoeneste problemaydeberesolversesujetaalacondicininicialqueparaeltiempo t = 0 seg,la alturaes h = 12 pies,estoes h ( 0 ) = 12 . La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variablessemultiplicaporelfactor
125 24 125 h 2 5 dh = dt integrando ,entonces 24 h 24 h
5 25 5 25 12 h2 = t (12 ) 2 (7)multiplicandopor 12 12 25
ww
w.
k =
at e
at
125 integralesenlaecuacin(5) 24
5 2 2 h = t + k efectuandooperaciones 5
ic
5 5 12 h (t ) = t + (12 ) 2 (8)Laecuacin(8)eslaleydevariacindelaalturadellquido 25 eneltanqueencualquierinstante t . El tiempo de vaciado total se obtiene cuando la altura de lquido en el tanque es h = 0 5 25 pies.Sustituyendoestevalorenlaecuacin(7) 0 = t (12 ) 2 despejando t 12 5 25 t= (12 ) 2 = 3264,83seg 12 Deaquque,eltanquedemoraenvaciarse 3264,83seg ,esdecir,54min25seg
a1
2 yelevandoala 5
.c om
h2 dh = dt 5)Ambasintegralessoninmediatas ( h
51.UnatazahemisfricaderadioRestllenadeagua.Sihayunpequeoorificioderadio renelfondodelasuperficieconvexa,determineeltiempodevaciado
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses:
Observando el tanque de frente como una figura plana y ubicndolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Figura. Puesto que la resultante es simtrica respecto del eje y , ser suficiente trabajar con la mitad de la figura.
ww
w.
at e
seccintransversal.Porsercircunferencia,elreaes A ( h ) = x 2 (2)
at
Lasseccionestransversalesdeltanquehemisfrico,soncircunferenciasderadiovariable, segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de la
ic
a1
.c om
encuentrallenoentonceslaalturainicialdelquidoeneltanquees R ,talycomopuede
desarrollando R 2 = x 2 + R 2 2 Rh + h 2 simplificando x 2 = 2 Rh h 2 (3) sustituyendo la ecuacin(3)enlaecuacin(2) A ( h ) = ( 2 Rh h 2 ) (4) Ahorasesustituyen A ( h ) yaenlaecuacin(1) ( 2 Rh h 2 ) dh = r 2 c 2 gh dt (5) La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las 1 variablessemultiplicalaecuacin(5)porelfactor 2 ,entonces: r c 2 gh
1 ( 2Rh h2 ) dh = dt (6) A partir de la ecuacin diferencial (5) y sabiendo que r c 2 gh
2
Resolviendolasintegralesdefinidas
ww
v 2 Rh h 2 2 dh = dt r c 2g h R 0
w.
at e
t
m
(7)
at
ic
a1
R 3 2
.c om
2 Rh h 2 Rh h 4R h dh = dh = 2 R h dh + h dh = 3 h h R 0 0 0
0 2 R 2 R 1 2
v 4R 2R 14 R t + = dt = t 0v = tv 3 5 15 0
3 R 2
2h 5
5 R 2
0 5 2 5 2 5 2 t
sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)
1 2 r c 2g
5 14 R 2 15
=t v
Porlotanto,eltiempoquedemoraenvaciarseeltanquees t =
14 R 2 R 15r 2 c 2 g
4 3
52. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y = x alrededor del eje y . Siendo las 11:27 de la maana se retira un tapn que est en el fondoyenesemomentolaprofundidaddelaguaeneltanquees12pies.Unahorams tardelaprofundidaddelaguahadescendidoalamitad.Determine a)Aquhoraestarvacoeltanque? b)Aquhoraquedaraeneltanque25%delvolumendelquidoinicial?
a1
4 3 3
ww
w.
A ( h ) dh = ac 2 gh dt (1)
Laecuacindiferencialasociadaaunproblemadevaciadodetanquees
at e
vrtice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la mxima profundidad de lquidoeneltanque,estoes, y = 12 lavariable x querepresentaelradiodegirotomael
at
ic
Elcoeficientededescargaes c = 1 ylagravedades g = 32
.c om
ObserveenlaFig.2queelpunto P ( r , h ) pertenecealacurva y = x ;estoquieredecir quelascoordenadasdelpunto P satisfacenlaecuacindelacurva. Sustituyendo x = r , y = h entonces h = r Despejando r r = h (3) ecuacin(3)enlaecuacin(2) A ( h ) = h Unavezqueelreadelaseccintransversaldeltanquehaquedadoexpresadaenfuncin delaaltura,sesustituyen A ( h ) , c y g enlaecuacin(1) h 2 dh = a 64h dt (4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado y deberesolversesujetaadoscondiciones:laprimeracondicinesqueparaeltiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segunda condicin es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para t = 3600 seg, la altura de lquido en el tanque ha descendidoalamitad,estoes, h = 6 pies. Porlotanto,loquedeberesolverseeselproblemadevalordefrontera
3 3 2 4 3 3 4
4 3
sustituyendo
la
8 12 h
3 12 2 2 h dh = h dh = h h 2 12 6
6
ww
w.
at e
12
3 2 h dh = 8a h dt h ( 0 ) = 12 h ( 3600 ) = 6 La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las 1 1 variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor = 64h 8 h
(12 ) =
2
m
2
at
(6) +
2
2
ic
a1
.c om
3600
= 72 + 18 = 54
dt = t 0
3600
= 3600
( 54 ) = 3600a
= a simplificando a = 3600
Estevalorqueseobtuvoparaa(readelorificiodesalida)sesustituyeenlaecuacin(5)
estarvacoalas12:47pm. b)Parasaberaquhoraquedaeneltanqueel25%desucapacidad,sedebecomenzar por establecer cul es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% de su capacidad. Comoseconocelaalturainicialdelquidoeneltanque,elvolumentotalsedeterminapor elmtododelvolumenporseccionestransversales
2 h V = A ( h ) dh = h dh = 5 0 0
h0 12 3 2 5 12 2
ww
w.
at e
h2 h dh = h dh = 2 12 0
12
12
at
= 72 dt = t 0v = tv sustituyendo
t 0 0
tv
ic
a1
.c om
los
resultados
de
las
2 (12 ) 2 = luegoel25%delvolumentotales 5
5 (12 ) 2 = 10
Conocido el volumen cuando resta el 25% de lquido en el tanque, utilizando el mismo mtodoporseccionestransversales,sepodrdeterminarculeslaalturadelquidoenel
V tanqueenestecaso 25% =
h25%
A( h) dh sustituyendo A ( h ) y25%V
h25% 3
(12 ) 2
10
h25%
h 2 dh (9)
h 2 dh =
2 (12 ) 5
5 2
5 h25% 2
5 2 h25% ) 2 sustituyendo el ( 5
resultadodelaintegralenlaecuacin(9)
(12 )
10
5 5 2 ( h25% ) 2 multiplicandopor 2 5
( h25% ) 2 =
(12 )
4
5 2
200 3
12
( 4) 5
12
h dh =
t25%
dt (10)Resolviendolasintegralesdefinidas
0
ww
w.
at e
h 2
2 12 12
m
( 4) 5
2
( 4) 5
12
12
h dh =
12
h dh =
2 5
( 4)
1 12 = 72 + 2 2 4 5 ( )
at
t25% = 72 + 23, 75 = 48, 25 dt = t t25% = t 25% 0 0
2
ic
a1
Unavezconseguidalaalturadelquidoeneltanquecuandoquedael25%delvolumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esa altura. Para ello debe resolverseelproblemadevalordefrontera
.c om
De aqu se tiene que, el tanque demora t = 3216, 66 seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidadinicial,loqueequivalea53miny36seg.Sielprocesodevaciadoseinicioalas 11:27am,entoncesparasaberaquhoraeltanquetendrsloel25%desucapacidad, hayqueagregaralas11:27los53miny36seg.Luegotendrel25%desucapacidadalas 12:20:36pm. 53. El tanque que se muestra en la figura est totalmente lleno de lquido. Se inicia el procesodevaciado,porunaperforacincircularderea 1cm 2 ubicadaenlabaseinferior del depsito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga c = 0, 447 y la gravedad es
g = 10
m seg 2
Elreadelorificiodesalidaes a = 1cm 2 ,perocomolasdimensionesdeltanqueestnen metros debe efectuarse la conversin. Puesto que 1cm = 0, 01mt = 102 mt , entonces
ww
A ( h ) = dh = ac 2 gh dt
w.
at e
(1)
SegnpuedeobservarseenlaFigura,lasseccionestransversalessonrectngulos,dosde los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitud variable r .Elreadelaseccintransversalesentonces A ( h ) = 8r (2) Debeexpresarselalongitud r enfuncindelaaltura h .Paraellosiseobservaeltanque de frente, como una figura en una plana, ubicada en un sistema de coordenadas cartesianasrectangulares,severcomolomuestralasiguienteFigura
at
ic
mt seg 2
a1
.c om
Obsrvese que el punto P ( r , h ) pertenece a la recta que pasa por los puntos (1, 0 ) y
( 2, 4 ) . La pendiente la recta es m =
107
1
entonces
1 1 3 1 h+4 1 dh = h 2 dh + 4 h 2 dh = 2 h 2 + 8h 2 + k1 dt = t + k2 sustituyendolosresultados 3 h2
ww
w.
decir, h ( 0 ) = 4 .Parasepararlasvariables,laecuacin(4)debemultiplicarseporelfactor
La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin diferencial de variables separables y debe resolversesujetaalacondicindequelaalturainicialdelquidoeneltanquees 4mt ,es
delasintegralesenlaecuacin(5)
at e
2 ( h + 4 ) dh = 447.107 20 h 2 dt
m
(4)
1 2.107 2 3 h 2 + 8h 2 = t + k (6) 447 20 3
at
ic
a1
r=
.c om
1 2.107 2 3 2.107 1 2 4.107 32 128.107 42 + 8 42 = 42 4 + 8 = = 447 20 3 447 20 3 447 20 3 1341 20 estevalorobtenidopara k sesustituyeenlaecuacin(6) k =
(7)
h1
w.
ww
h1 =
(8)
2 (1)
4 (1)( 9 )
Yaque h debeserpositivo,puesrepresentaunaaltura,elvalor h = 9 sedescarta,porlo tanto,laalturadelquidoeneltanquecuandoelvolumenesde18,75%delvolumentotal es h = 1 m. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta 18,75%delvolumentotal,sersuficienteconsustituir h = 1 menlaecuacin(7)
2.107 64 2 8 = 126727,1934 447 20 3 3 As,eltanquedemoraenvaciarsehastael18,75%delvolumentotal t=
at e
h1 2 0
As,elvolumentotaldelquidoeneltanquees V = 48mt 3 .Luego,el18,75%delvolumen (18, 75)( 48) = 900 = 9 totales 18, 75%V = 100 100 Ahora, usando la misma ecuacin anterior para calcular volumen, se puede establecer cul ser la altura h1 del lquido en el tanque, si se sabe que el volumen es
8 100 8 10 dedonderesulta h = 9 y h = 1 = 2 2
m
h1
at
ic
a1
0
V = A ( h ) dh = 2 ( h + 4 ) dh = 2 hdh + 8 dh = h 2 + 8h 0 = 16 + 32 = 48
4 4
h0
.c om
Laecuacin(7)representalarelacinfuncionalentrealturaytiempo. Yaquesedebedeterminareltiempoquedebetranscurrirparaqueeneltanquequede solo el 18,75% del volumen total de lquido, para usar la ecuacin (7) ser necesario conocer la altura de lquido en el tanque, cuando en estequeda el 18,75% del volumen total. Secomienzapordeterminarelvolumentotaldelquidoeneltanque.Comoeltanquese encuentra lleno, la altura total de lquido en el tanque coincide con la altura inicial. Aplicandoelmtododelasseccionestransversalesparahallarelvolumentotal
t = 126727,1934 seg=35horas12min7seg=1da11horas12min7seg.
b) Para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, cuando la altura de lquidoeneltanqueescero,sesustituye h = 0 enlaecuacin(7)
2.107 64 128.107 = 213435, 273 As, el tanque demora en vaciarse = 447 20 3 1341 20 totalmente t = 213435, 273 seg=59hora17min15seg=2das11horas17min15seg tv =
ww
w.
A ( h ) dh = ac 2 gh dt (1)
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
at e
at
Elcoeficientededescargaes c = 1 ;lagravedades g = 9,81
ic
mt seg 2
El rea del orificio de salida est dado en cm2, pero como las dimensiones del tanque estn dadas en m, debe realizrsela conversin a una sola unidad, As
a = 5cm2 = 5.104 mt 2 Segn se muestra en la Figura, las secciones transversales del tanque son rectngulos, cuyoladosvaranenfuncindelaalturaalacualseefectelaseccintransversal,seanL y M las longitudes de los lados. Entonces el rea de la seccin transversal es
A ( h ) = LM (2)Sedebenexpresaramboslados(LyM)enfuncindelaaltura.
a1
.c om
Como puede observarse la Figura es simtrica respecto al eje y , por lo tanto, a fin de establecerlarelacinentreLyhsetrabajaconlamitaddeltrapecioqueseforma,como semuestraenlaFigura
ww
w.
at e
Se puede obtener la relacin entre L y h, a travs de la recta que pasa por los puntos L 3 , 0 y ( 4,12 ) ,rectaalacualperteneceelpunto , h .Sinembargo,semostrarotro 2 2
at
ic
L 3 5 2 2 = 2 Simplificando L 3 = 5 despejandoL L = 5 h + 3 (3) h 12 h 12 12 Ahora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a la anterior.Lafiguraplanaqueseobserva,resultaigualaladelaFiguraanterior,loquevara sonlasdimensionesdelasaristas,talycomosemuestraenlasiguienteFigura.
a1
.c om
Comopuedeobservarseessimtricarespectoalejey,porlotanto,afindeestablecerla relacinentreMyhsetrabajaconlamitaddeltrapecioqueseforma
ww
w.
at e
at
Se puede obtener la relacin entre m y h, a travs de la recta que pasa por los puntos L 3 , 0 y ( 4,12 ) ,rectaalacualperteneceelpunto , h .Sinembargo,semostrarotro 2 2
ic
a1
M 1 1 2 = Simplificando M 2 = 1 despejandoM M = 1 h + 2 (4) h 12 2h 12 6 Las ecuaciones (3) y (4) se sustituyen en la ecuacin (2), resultando que el rea de la seccintransversaldeltanqueenfuncindelaalturaes 2 5 1 ( 5h + 36 )( h + 12 ) 5h + 96h + 432 A(h) = h + 3 h + 2 = = 72 72 12 6
5h 2 + 96h + 432 4 Sustituyendo A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1) dh = 5.10 19, 62h dt 72 (5)
.c om
Laecuacin(5)eslaecuacindiferencialasociadaalproblemaydeberesolversesujetaa lacondicin h ( 0 ) = 12 ,esdecir,paraeltiempo t = 0 seglaalturaes h = 12 m La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las 1 variablessedebemultiplicardichaecuacinporelfactor 5.104 19, 62h
5.104 5h 2 + 96h + 432 1 dh = dt Efectuandolasoperaciones 72 19, 62h
ic
a1
varade h = 12 ma h = 0 m
.c om
A partir de la ecuacin (6) debe determinarse el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque es h = 0 m. Para ello se integra de forma definida la ecuacin (6): el tiempo vara de t = 0 seg a t = tv ; la altura
at e
at
12
5 2
3 2
1 2
= 6651, 075101 dt = t 0v tv
t 0
tv
Sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)
Luego,eltanquedemoraenvaciarsetotalmenteuntiempo t = 41709,9673 seg=11horas35min10seg b)Ahoradebedeterminarseeltiempo t1 quedemoraendescender5mtslacantidadde lquidoeneltanque,conrespectoalaalturainicialquees12mt,esdecir,tiempoparaque laalturadellquidoeneltanquesea t = 7 m. Para ello, se integra la ecuacin (6) en forma definida: el tiempo t vara de t = 0 seg a t = t1 ;laalturavarade h = 12 mta h = 7 m
7 1 1 1 3 103 2 2 2 5h + 96h + 432h dh = dt (8) 36 19, 62 12 0
t
ww
w.
Resolviendolasintegralesdefinidas
12 3 12 1 12 1 1 1 5 3 1 3 5h 2 + 96h 2 + 432h 2 dh = 5 h 2 dh 96 h 2 dh 432 h 2 dh = 2h 2 64h 2 864h 2 7 12 7 7 7 7 12
1 2
+ 2 ( 7 ) 2 + 64 ( 7 ) 2 + 864 ( 7 )
t1 t
1 2
Sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(8)
Luego,eltanquedemoraenvaciarsetotalmenteuntiempo t = 18315,34004 seg=5horas5min15seg 55. Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuyas dimensiones son 2 m de dimetro y altura 3 m. El tanque inicialmente est lleno en su totalidadyellquidoescapaporunorificiode20cm2dereasituadoalfondodeltanque. Determine a) Cunto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque slo un tercio de su capacidadinicial b)Calculareltiempoquetardaenvaciarsetotalmente
ww
w.
at e
at
ic
a1
a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
A ( h ) dh = ac 2 gh dh (1)
Lasdimensionesdeltanqueestndadasenmetro,porloqueelreadelorificiodesalida tambindebequedarexpresadaenmetro a = 2cm 2 = 2 (102 mt ) = 2.104 mt 2
2
.c om
mt seg 2
Como puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque son circunferenciascuyoradiorvaradeacuerdoconlaalturaalacualseefecteelcorte.As, elreadelasseccionestransversaleses A ( h ) = r 2 (2) Debeestablecerseunarelacinentreelradiovariablerdelascircunferenciasylaalturah. Paraello,debevisualizarseeltanquedefrentecomounafiguraplana.Ubicndoloenun sistemadecoordenadascartesianasrectangulares,severcomosemuestraenlaFigura.
r2 =
1 ( h 3) (4)Sustituyendolaecuacin(4)enlaecuacin(2) 3
3 3 transversales(circunferenciasderadiovariable)enfuncindelaaltura.
Sustituyendo A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1)
A(h) =
ww
w.
at e
(1, 0 ) y ( 1, 0 ) .Sustituyendoenlaecuacinordinariadelaparbolalascoordenadasdel
at
19, 62h dt (6) 3 La ecuacin (6) esla ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado, la
ic
donde p esladistanciaentreelvrticeyelfocoes ( x x0 ) = 4 p ( y y0 )
2
a1
( 3 h ) dh = 2.104
.c om
La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variablessemultiplicalaecuacin(6)porelfactor
104 2 19, 62h
1 6 19, 62 2 h integrando 1 2
entonces
104 3 h
dh = dt
104
k =
6 ( 3) 6 19, 62
1 2
estevalorobtenidoparaksesustituyeenlaecuacin(8)
1 2 3 104 6h 2 h 2 = t 4 3 3 6 19, 62 6 19, 62 despejandot
t=
104
6 19, 62
4 3
ww
104
at e
(
104
2 3 104 2 = ( 3) 4 3 3 6 19, 62
at
(
)
1 2 3 6h 2 h 2 = t + k (8) 3 6 19, 62 Para determinar el valor de la constante k de integracin, se usa la condicin inicial
1 2 3 6h 2 h 2 3 6 19, 62
104
sacandofactorcomn
t=
6 19, 62
1 2 3 4 3 6h 2 + h 2 (9) 3 6 19, 62 La ecuacin (9) establece la relacin funcional entre tiempo y altura de lquido en el tanque,esdecir,apartirdeestaecuacinconociendounadeterminadaalturasepuede establecereltiempoquedemoraenalcanzarse;tambinsepuededeterminarlaalturade lquidoeneltanqueparauntiempodado.
104
w.
104
ic
)
104
a1
1 1 1 3 3 h 1 dh = 3 h 2 dh h 2 dh = 6h 2 2 h 2 + k1 dt = t + k2 3 h2 sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)
.c om
Sedebeahoraestablecereltiempoquedebetranscurrirparaquequedeeneltanqueun tercio de volumen total. Se comienza por determinar el volumen total de lquido en el tanque. Para ello se utiliza el mtodo del clculo de volumen a travs de las secciones transversales,estoes
h2 3 3 3 V = A ( h ) dh = ( 3 h ) dh = 3 dh h dh = h 0 = 3 = 3 3 0 3 2 0 2 2 0 0 0 3 mt3;unterciodelvolumentotales As,elvolumentotaldelquidoeneltanquees V = 2 1 V= 3 2
h0
y usando la ecuacin del volumen por 2 seccionestransversales,esposibledeterminarlaaltura h1 dellquidoeneltanque,para Sabiendo que un tercio del volumen total es esevolumen
1 1 1 h2 V = A ( h ) dh = ( 3 h ) dh = 3h 3 3 3 2 0 0
multiplicandopor
6 36 12 6 24 6 + 24 6 24 = h= = 5, 44 h = = 0,55 2 2 2 2 El valor de h superior a la altura mxima debe descartarse. Por lo tanto, cuando el volumendelquidoeneltanqueesunterciodelvolumentotallaalturadelquidoenel tanquees h = 0,55 mt.Ahoraparasabereltiempo t1 quedemoraenllegaraesevolumen, h=
sesustituye h = 0,55 enlaecuacin(9)
t1 =
1 3 2 4 3 6 ( 0,55 ) 2 + ( 0,55 ) 2 = 1182, 086 ( 6,9282 4, 4497 + 0, 2719 ) 3 6 19, 62
104
ww
h 6h + 3 = 0 resolviendo
2
w.
resulta 3 = 6h h 2 .Asseobtienelaecuacindesegundogrado
at e
h2 3h 3 2
at
1 pero V = ,entonces 3 2
ic
a1
.c om
tv =
104
6 19, 62
totalmenteenuntiempo t = 8189, 7429 seg,esdecir,en2horas16min30seg. 56. Un depsito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2mt de radio menor,4mtderadiomayory8mtdealtura,estllenoenun90%desucapacidad.Sisu contenido se escapa por un orificio de 10cm2 de rea, ubicado al fondo del tanque, y sabiendoqueelcoeficientededescargasehaestablecidoen0,75,determineeltiempo quetardarenvaciarsetotalmente.
ww
Lasdimensionesdeltanqueestndadasenm,porloqueelreaadelorificiodesalida
w.
A ( h ) dh = ac 2 gh dt (1)
a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
at e
at
Elcoeficientededescargaes c = 0, 75 ylagravedades g = 9,81
ic
mt seg 2
Las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio variable r, segn puede verse en la Fig. 1, el cual vara dependiendo de la altura donde se haga el corte transversal. Entonces el rea de las secciones transversales es: A ( h ) = r 2 (2) donde r debeexpresarseenfuncindeh. Para poder expresar el radio r en funcin de la altura h se debe visualizar el tanque de frente, como una figura plana y ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares,talycomosemuestraenlaFigura.
a1
.c om
h + 2 dh = 10375.102 19, 62h dt (5) 4 La ecuacin (5) es la ecuacin diferencial asociada al sistema, la cual debe resolverse sujeta al a condicin de que al tiempo t = 0 seg el volumen inicial es 90% del volumen total. Como la ecuacin diferencial (5) relaciona las variables tiempo t y altura h, es necesariodeterminarlaalturainicialdelquidoeneltanque,estoes,laalturacuandoel tanqueestllenoal90%desucapacidad. Sedebedeterminarprimeroelvolumentotaldeltanque.Paraelloseusaelmtododel volumenporseccionestransversales,segnelcual,elvolumenvienedadacomo
ww
w.
at e
tanque,enfuncindelaalturah.Sustituyendo A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1)
at
h A ( h ) = + 2 (4)Laecuacin(4)representaelreadelasseccionestransversalesdel 4
ic
a1
despejando r r =
.c om
8 h2 h3 h 2 h V = A ( h ) dh = + 2 dh = + h + 4 dh = + + 4h 16 4 48 2 0 0 0 0
h
512 224 = + 32 + 32 = 3 48
Como el volumen total es V = tanque es V0 = 90%V =
puede determinarse utilizando la ecuacin que permite obtener el volumen a partir del readelasseccionestransversales.Assetendr V0 = A ( h ) dh sustituyendo V0 y A ( h )
0
h0
336 h = + 2 dh 5 4 0
Comopuedenhaberobservadoanteriormente,alresolverlaintegraldefinidaseobtiene una ecuacin de tercer grado, la cual puede no tener races enteras, por lo tanto sera necesariocontarconunacalculadoraparapoderdeterminarlasracesdelpolinomio. A efecto de evitar este tipo de complicaciones, la integral definida puede resolverse efectuandouncambiodevariable
h0
at e
at
ic
336 h Entonces = + 2 dh = 4 5 4 0
h0
h0 +2 4
a1
h0
4 4 u du = u 3 3 2 2
.c om
+2
3 4 h0 = + 2 23 de aqu 3 4
ww
w.
Sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)
tv =
57.Elda15dejuliode2006,alas2:25pm,seponeavaciaruntanquecilndricoconeje horizontal,elcualestinicialmentellenoenun100%.Lalongituddeltanqueesde10mt, elradio4mt.Sielaguafluyeporunorificioderea2cm2,situadoenelfondodeltanquey se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine qu da y a qu hora el taquesevacatotalmente.
ww
w.
vaciarsetotalmente.
at e
at
ic
1 2
a1
.c om
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
Elcoeficientededescargaes0,6ylagravedad 9,81
mt seg 2
Si se observa en la Figura, las secciones transversales son rectngulos de largo 10mt y anchovariable,dependiendodelaalturaalacualseefecteelcortetransversal.Searla longituddelladovariable,entonceselreadelasseccionestransversaleses A ( h ) = 10r (2) Lalongitudrdebeexpresarseenfuncindelaalturah.Paraellosedebe,efectuandouna abstraccindelslidoqueeseltanque,visualizareltanquedefrenteyrepresentarloen un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como una figura plana como se muestraenlasiguienteFigura.
r 2 + h 2 8h = 0 Despejandor r = 8h h 2 (3)sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin
(2) A ( h ) = 10 8h h 2 Sustituyendo A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1)
ww
w.
De acuerdo con la Figura, la curva plana que resulta es una circunferencia de centro en
at e
at
ic
a1
.c om
La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor
105 12 19, 62 h
1 2
Ambasintegralessoninmediatas
dt = t + k
Sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(5)
3 106 2 (8 h ) 2 = t + k 12 19, 62 3
(6)
tv =
Deaququeeltanquedemoraenvaciarseuntiempo t = 283800,3808 seg,loqueequivale a 78 horas 50 min. Pero 78 horas equivalea 3 das y 6 horas. Luego, el tanque se vaci despusde3das,6horasy50mindeiniciadoelprocesodevaciado,elcualcomenzel da15dejuliode2006alas2:25pm.Porlotantoeltanquetermindevaciarseelda18 dejuliode2006ala9:15pm. 58. Un tanque en forma semiesfrica de 8m de radio est totalmente lleno de agua. Se retirauntapnqueestenelfondo,justoalas4:27pm.Unahoradespuslaprofundidad delaguaeneltanquehadescendido1mt.Determine:
ww
w.
at e
at
ic
a1
.c om
a)Aquhoraeltanqueestarvaco? b)Aquhoraquedareneltanque31,25%delvolumeninicial.
a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanquees:
ww
w.
at e
at
AplicandoelTeoremadePitgorasaltringulo ( 8 )
Sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2) A ( h ) = (16h h 2 )
ic
Comolasseccionestransversalessoncircunferenciasderadior,elreaes A ( h ) = r 2 (2)
a1
2 = ( 8 h ) + r 2 desarrollando
.c om
mt . seg 2
Sustituyendo A ( h ) , c y g enlaecuacin(1) (16h h 2 ) dh = a 19, 62h 2 dt (4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado; sta debe resolversesujetaadoscondiciones:paraeltiempo t = 0 seglaalturaes h = 8 myparael tiempo t = 4000 seg la altura es h = 7 m. Por lo tanto, se debe resolver el problema de valordefrontera
1 2 2 (16h h ) dh = a 19, 62h dt h ( 0 ) = 8 h ( 3600 ) = 7 La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las 1 1 variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor h 2 19, 62
19, 62
at
ic
at e
8 1 3 1 3 3 32 2 2 5 2 2 2 2 16h h dh = 16h h dh = 3 h + 5 h 2 7 8 7 7
a1
8 3600
1 2
(16h h ) dh = a dt (5)Laecuacin(5)seintegradeformadefinida:laaltura
2
.c om
3600
w.
3 2
5 2
M
3 2
5 2
dt = t 0
= 3600
Sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(6) 23, 259 = 4,58.103 este valor del ( 23, 259 ) = 3600a Despejando a a = 3600 19, 62 19, 62 rea del orificio
2
ww
de
salida
3
se
sustituye
en
10 4,58
3
la
ecuacin
(5)
19, 62
1 2
(16h h ) dh = 4,58.10
dt multiplicandopor
A fin de determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo quedemoraparaquelaalturadelquidoeneltanqueseacero,seintegralaecuacin(7) enformadefinida:laalturahvaraentre h = 8 my h = 0 m;eltiempotvarade t = 0 sega t = tv seg
dt = t
0
tv 0
= tv
sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(8)
tv =
Luego,eltanquedemoraenvaciarse 26163, 64395 seg,loqueequivalea7horas16min4 seg. Si comenz a vaciarse a las 4 horas 27 min de la tarde entonces estar totalmente vacoalas7horas43min4segdelanoche. b)Ahoradebedeterminarseaquhoraquedareneltanque31,25%delvolumentotal. Para obtener el volumen total se usa el mtodo de obtencin del volumen por las seccionestransversales
at
ic
8 h1
a1
.c om
31,25%delvolumentotal
31, 25%V = A ( h ) dh Sustituyendo A ( h ) y 31, 25%V
0
1 2 h13 2 h3 320 1 3 2 A ( h ) dh = (16h h ) dh = 8h = 8h1 Multiplicandopor 3 0 3 0 3 0
h1
ww
31, 25 1024 320 volumentotales 31, 25%V = = 3 100 3 Ahora, usando nuevamente el mtodo de las secciones transversales para calcular volumen,sepuededeterminaraaltura h1 delquidoeneltanquecuandoenestequeda
w.
at e
Assetieneque,elvolumentotaldelquidoeneltanquees V =
1024 mt3.El31,25%del 3
diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo t vara entre t = 0 seg y t = t1 : la alturahvaraentre h = 8 my h = 4 m Resolviendolasintegralesdefinidas
8 1 3 1 3 32 3 2 5 16h 2 h 2 dh = 16h 2 h 2 dh = h 2 + h 2 5 4 3 8 4 4 8 4 1 3 1 103 16h 2 h 2 dh = dt 4,58 19, 62 8 0 t
(9)
32 2 32 2 t (8) + (8 ) + ( 4 ) + ( 4 ) = 96, 419 dt = t 01 = t1 3 5 3 5 0 103 ( 96, 419 ) = 14931, 29638 4,58 19,52
3 2
5 2
3 2
5 2
t1
Sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(8)
t1 =
ww
w.
59. El tanque que se muestra en la Fig. 1 est lleno de agua en un 100%: Comienza a vaciarseporunorificiosituadoensubaseinferiordeAcm2derea.Sitranscurrida1 hora6minutos40segundoselnivellibredelquidohadescendido5mtyelcoeficientede descargasehaestablecidoen0,8.Determine: a)readelorificiodesalida b)Tiempodevaciadototal
at e
at
ic
equivalea4horas8min51seg.Sicomenzavaciarsealas4:27pmentoncesalcanzarel 31,35%delvolumentotalalas8horas35min51segdelanoche.
a1
.c om
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
A ( h ) dh = ac 2 gh dt (1)
Elcoeficientededescargaes c = 0,8 = 8.101 ylagravedades g = 9,81
mt . seg 2
El rea del orificio de salida es a = Acm 2 ; haciendo la conversin a metros, que son las unidadesenlasqueestndadaslasdimensionesdeltanqueresulta
DelaFigurapuedededucirsequelasseccionestransversalesdeltanquesoncuadradosde lado variable L, el cual vara dependiendo de la altura a la cual se efecte el corte transversal. El rea de las secciones transversales del tanque viene dado como
A ( h ) = L2 (2)
Se debe establecer una relacin entre el lado x del cuadrado y la altura h. Para ello, visualizando el tanque de frente y ubicando la figura en un sistema de coordenadas rectangulares,seobservacmosemuestraenlaFigura.
L h h = 9 1 DespejandoL L = 2 + 1 (3)Sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin 2 9 h (2) A ( h ) = 4 + 1 Siahorasesustituyen A ( h ) , a, c y g enlaecuacin(1) 9 h 4 + 1 dh = A.1048.101 19, 62 h 2 dt (4) 9 La ecuacin (4) eslaecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanques y debe resolverse sujeta a dos condiciones: para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 9 m; para el tiempo de 1hora 6 min 40 seg ( t = 4000 seg) la altura del lquido en el tanque descendi5mt,esdecir, h = 4 m. Loquequedaplanteadoentoncesesunproblemadevalordefrontera
1 2 2
ww
w.
Lapendientedelarectaes m =
at e
L ObserveenlaFig.(2)queelpuntodecoordenadas P , h esunpuntodelarectaque 2
at
ic
a1
.c om
1 h 2 4 + 1 dh = A.1048.101 19, 62 h 2 dt 9 h ( 0 ) = 9 h ( 4000 ) = 4 La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin de variables separables. Para separar las 1 10 variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor h 2 8 19, 62 1 h+9 10 4 h 2 dh = A.10 dt (5) 9 2 19, 62 2
Integrando la ecuacin (5) de forma definida. La altura h vara de h = 9 m a h = 4 m; el tiempotvarade t = 0 sega t = 4000 seg
at
1 2
ic
Resolviendolasintegralesdefinidas
a1
9
4000
dt
(6)
5 5 3 1 3 1 2 ( 4) 2 1 2 (9) 2 = + 12 ( 9 ) 2 + 162 ( 9 ) 2 12 ( 4 ) 2 162 ( 4 ) 2 81 5 5 64 1 422 2372 1 486 = + 324 + 486 96 324 = + 390 = 5 81 5 405 81 5 4000
dt = t 0
4000
= 4000
sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(6)
10 2372 4 = 4000 A.10 despejandoA 2 19, 62 405 2372.10 593 A.104 = = = 1, 652.103 4 3 324.10 19, 62 81.10 19, 62
Assetieneque,elreadelorificiodesalidaes A = 1, 652.103 m 2 SustituyendoelvalorA enlaecuacin(5)
ww
w.
at e
3 2
1 2
1 2
.c om
1 10 103 h+9 , efectuando las h2 dh = 1, 652.103 dt multiplicando por 1, 652 2 19, 62 9 2 1 1 3 104 h 2 + 18h 2 + 81h 2 dh = dt 1185, 4263
operacionesysimplificando
(7)
b)Paraobtenereltiempodevaciado,esdecir,eltiempoparaelcuallaalturadelquido en el tanque es cero, se integra la ecuacin (7) de forma definida: la altura h vara de h = 9 ma h = 0 m:eltiempotvarade t = 0 sega t = tv
0 1 1 v 3 105 h 2 + 18h 2 + 81h 2 dh = dt (8)Resolviendolasintegralesdefinidas 1185, 463 9 0 t
ic
a1
.c om
33seg.
ww w.
M at
em
3 2
1 2
1 2
3 2
1 2
at
1 2