Exponentes Fraccionarios

Exponentes fraccionarios
Tambin se llaman "radicales"
Exponentes
El exponente de un nmero dice cuntas veces se multiplica el nmero.
En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"
Exponentes fraccionarios:
En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", pero y si fuera ""? Cmo funcionara?
Pregunta: Qu es x ?
Respuesta: x = la raz cuadrada de x
(o sea x = x)
Por qu?
Porque si calculas el cuadrado de x tienes: (x)2 = x1 = x
Para entenderlo, sigue esta explicacin de dos pasos:
Primero, hay una regla general: (xm)n = xmn (Porque primero multiplicas x "m" veces, despus tienes que hacer eso "n" veces, en total mn veces)
Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6

As que (x2)3 = x23 = x6
Ahora, vemos qu pasa cuando hacemos el cuadrado de x:
(x)2 = x2 = x1 = x
Cuando hacemos el cuadrado de x sale x, as x tiene que ser la raz cuadrada de x
Probamos con otra fraccin

Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):
Qu es x?
(x)4 = x4 = x1 = x Entonces, qu valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raz cuarta de x.
As que x = la raz cuarta de x
Regla general
De hecho podemos hacer una regla general: Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raz n-sima:
Ejemplo: Cunto es 271/3 ?

Respuesta: 271/3 = 27 = 3
Qu pasa con fracciones ms complicadas?

Las fracciones ms complicadas se pueden separar en dos partes: una parte con un nmero entero, y una parte con una fraccin del tipo 1/n
Para entender eso, slo recuerda que m/n = m (1/n):
As que tenemos esto: Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-sima, despus haz la raz n-sima
Ejemplo: Cunto es 43/2 ?
Respuesta: 43/2 = 43(1/2) = (43) = (444) = (64) = 8
Exponente fraccionario
Para pasar a exponentes fraccionarios, tratemos de adivinar la definicin usando la propiedad 2. Si queremos que esta propiedad siga siendo vlida en IQ, debe tenerse
=a
.n
= a1 = a.
En otras palabras, b : = a debe satisfacer bn = a. Esto nos lleva a lo que ``por definicin'' se llama ``raz n-sima'' de a. Definimos entonces a := .
Pero, Quin nos dice que existe un nmero real b tal que bn = a ? La respuesta es: la completitud de IR. Para aclarar esto bien, primero observemos que la funcin f x = xn es estrictamente creciente en demostrarse por induccin:

0,
. Esto puede
Para n = 1 tenemos f (x) = x, que es estrictamente creciente. Si se sabe que f x se tiene = xn es estrictamente creciente, entonces para 0 xn + 1 = xn . x < yn . x < yn . y = yn + 1, lo que demuestra que g x = xn + 1 es tambin estrictamente creciente. x<y
Tambin puede recurrirse a la identidad xn - yn = x - y xn - 1 + xn - 2 . y + ... + x . yn - 2 + yn - 1 , donde vemos que el segundo factor del lado derecho es positivo para x, y positivos, y por lo tanto el signo de xn - yn es el mismo que el de x - y. Ahora consideremos los conjuntos
A= Note que A tiene x pues 0
0 : xn < a , B = pues a + 1
0 : yn
a . Ayy B se
A, y B
B. Adems, para x
y. El axioma del extremo superior asegura la existencia de y, para todo x A y todo y B. Luego se demuestra que
B tal que x = a, y por lo
tanto es la raz n -sima de a, y se denota por = . En el captulo 1 se demostr el caso n = 2. El caso general se demuestra, usando sucesiones, en el ejercicio 37 del captulo 1. Una vez resuelto el problema de la existencia de las races, usando la propiedad 2 como modelo vemos que para IQ debe definirse
am/n : = am Nota: Tomando b = se sigue que
tenemos bn = a, y por la propiedad 2 (con exponente natural)
bm = bmn = bn = am, lo que significa que bm es la raz n -sima de am. Esto demuestra que = bm = o equivalentemente: a1/n = am/n. ,
El prximo paso es verificar las propiedades 1,...,5 para exponentes racionales. Esto es, para a, b > 0 se tiene: 1. ar . as = ar + s, 2. 3. 4. 5. ar = ar . s, r, s r, s r, s IQ r r IQ IQ. ys= , con n > 0 y q > 0, tenemos IQ IQ
= ar - s, ab
= ar . br, = ,
Mostremos como ejemplo la propiedad 2: Si r = que
ar
= = =a = = ars.
El nico paso que no est an justificado es la igualdad
. Para
demostrar esto sean b = amp y c = . Entonces cq = , y por lo tanto cq = qn b. Por la propiedad 2 para exponentes enteros tenemos que c = b, y esto significa que c = = . - 3x + 2 = 0. Tomando t = x tenemos t2 -
Ejemplo 3.3.1 Resolver la ecuacin x
3t + 2 = 0, y resolviendo se obtiene t 1, 2 . Luego, la solucin es x 1, 8 . x x+1 x x 2x Ejemplo 3.3.2 Resolver 4 - 2 + 1 = 0. Tomando t = 2 tenemos 4 = 2 = t2, 2x + 1 = 2 . 2x = 2t, as que la ecuacin es t2 - 2t + 1 = 0, y entonces t = 1. Luego la solucin es x = 0. Concluimos este captulo demostrando que la funcin f : IQ = ar, es estrictamente creciente en IQ, para a > 1. Esto es ar < as si r < s, con r, s En efecto, para n por ser f x IQ. IR, definida por f r
IN y b > 0 tenemos bn > 1 si y solo si b > 1, > 0, podemos asumir
= xn estrictamente creciente. Luego, si s - r =
que m, n IN, as que am > 1. Ahora, como b = as - r = am/n satisface bn = am > 1, concluimos que b > 1. Finalmente as = aras - r = arb > ar, si r < s.
Racionalizar una fraccin con races en el denominador, es encontrar otra expresin equivalente que no tenga races en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresin adecuada, de forma que al operar desaparezca la raz del denominador. Si pulsas el control Ejemplo 1, vers la forma de racionalizar expresiones del tipo:
Si pulsas el control Ejemplo 2, vers la forma de racionalizar expresiones del tipo:
Pulsa varias veces y copia al menos 3 ejemplos de cada tipo en tu cuaderno.

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Tambin se llaman "radicales"

Respuesta: x = la raz cuadrada de x

Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6

Ahora, vemos qu pasa cuando hacemos el cuadrado de x:

Cuando hacemos el cuadrado de x sale x, as x tiene que ser la raz cuadrada de x

Probamos con otra fraccin

As que x = la raz cuarta de x

Ejemplo: Cunto es 271/3 ?

Qu pasa con fracciones ms complicadas?

Para entender eso, slo recuerda que m/n = m (1/n):

Ejemplo: Cunto es 43/2 ?

Respuesta: 43/2 = 43(1/2) = (43) = (444) = (64) = 8

A= Note que A tiene x pues 0

B tal que x = a, y por lo

am/n : = am Nota: Tomando b = se sigue que

tenemos bn = a, y por la propiedad 2 (con exponente natural)

Mostremos como ejemplo la propiedad 2: Si r = que

El nico paso que no est an justificado es la igualdad

Ejemplo 3.3.1 Resolver la ecuacin x

IN y b > 0 tenemos bn > 1 si y solo si b > 1, > 0, podemos asumir

= xn estrictamente creciente. Luego, si s - r =

Si pulsas el control Ejemplo 2, vers la forma de racionalizar expresiones del tipo:

Pulsa varias veces y copia al menos 3 ejemplos de cada tipo en tu cuaderno.

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