Unidad - Transformaciones de Esfuerzos y Deformaciones

CICLO 2013 - I
CAPITULO
MECANICA DE MATERIALES
Transformacin de esfuerzos y deformaciones
Ing. Ivn D. Sipin Muoz.
Mecnica de Materiales
Introduccin Transformacin de esfuerzo plano Esfuerzos principales Esfuerzo cortante mximo Ejemplo 01 Ejemplo 02 Circulo de Mohr para esfuerzo plano Ejemplo 03 Ejemplo 04
Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica
Transformacin de esfuerzos y deformaciones
Ing. Ivn D. Sipin Muoz
7-2
Introduccin
El estado general de esfuerzos en un punto puede ser representado por 6 componentes:
x , y , z Esfuerzo normal xy , yz , zx Esfuerzo cortante (Nota : xy = yx , yz = zy , zx = xz )

Si los ejes se hacen girar, el mismo estado de esfuerzos se representar por un conjunto diferente de componentes.
7-3
Introduccin
Para el anlisis de transformacin de esfuerzos se tratara el esfuerzo plano en el que dos caras del elemento cbico estn libres de esfuerzo. Para el ejemplo ilustrado, el estado de esfuerzo se define por
x , y , xy
z = zx = zy = 0 .
Esta situacin ocurre en una placa delgada sometida a fuerzas que actan en su plano medio
El esfuerzo plano tambin ocurre en la superficie libre de un elemento estructural o elemento de maquina.
7-4
Transformacin de Esfuerzo Plano
Considere las condiciones de equilibrio de un elemento prismtico con caras respectivamente perpendiculares a los ejes x, y, x.
Fx = 0 = xA x (A cos ) cos xy (A cos )sin y (A sin )sin xy (A sin ) cos
Fy = 0 = xy A + x (A cos )sin xy (A cos ) cos y (A sin ) cos + xy (A sin )sin
Las ecuaciones pueden reescribirse en funcin del esfuerzo como:

x =
y
x +
2 x + 2
+
y
x
2 x 2
cos 2 + xy sin 2 cos 2 xy sin 2
x y =
x
2
sin 2 + xy cos 2
7-5
Esfuerzos Principales
Las ecuaciones obtenidas anteriormente son las ecuaciones paramtricas de un circulo: ( x prom )2 + x2y = R 2
Donde :
prom =
x + y
2
x y R= 2
2 + xy
Los esfuerzos principales ocurren en los planos principales de esfuerzo, en el cual el esfuerzo cortante es nulo
max,min =
tan 2 p =
x + y
2 2 xy
x y 2 + xy 2
2
x y
Nota : define dos angulos diferidos en 90o

7-6
Esfuerzo cortante mximo
El esfuerzo cortante mximo ocurre : x = prom

x y max = R = 2 y tan 2 s = x 2 xy 2 + xy
2
Nota : define dos angulos diferencia dos en 90 o y desplazado de p en 45 o
= prom =
x + y
2
7-7
Ejemplo 01:
SOLUCION:
Calculamos el ngulo de inclinacin para los planos principales:

tan 2 p = 2 xy
x y x + y
x y 2 + xy 2
2
Determinamos el esfuerzo principal:

2 Para el estado tensional mostrado determine: (a) los planos Calculamos los mximos esfuerzos a partir principales, (b) los esfuerzos de: 2 x y principales, (c) el esfuerzo cortante 2 max = + xy 2 mximo y el esfuerzo normal correspondiente. x + y =
max,min =
7-8
Ejemplo 01:
SOLUCION:
Reemplazando valores obtenemos:

tan 2 p = 2 xy
x y
2(+ 40 ) = 1.333 50 ( 10 )
2 p = 53.1, 233.1
x = +50 MPa x = 10 MPa
xy = +40 MPa
p = 26.6, 116.6
Los esfuerzos principales son:

max,min = x + y
2 x y 2 + xy 2
2
= 20
(30)2 + (40)2
max = 70 MPa min = 30 MPa

7-9
Ejemplo 01:
Calculamos el esfuerzo cortante maximo

x y 2 max = + xy 2 =
2
(30)2 + (40)2
max = 50 MPa
x = +50 MPa x = 10 MPa xy = +40 MPa
s = p 45 s = 18.4, 71.6
El esfuerzo normal correspondiente:
= prom =
= 20 MPa
x + y
2
50 10 2
7 - 10
Ejemplo 02:
SOLUCION:
Se reemplaza la fuerza P por un sistema equivalente de par fuerza en el centro de las seccin transversal que contiene a H. Evaluar los esfuerzos normal y cortante en el punto H. Una fuerza horizontal P de 150 lb es aplicada en el extremo D de la palanca ABD. Determine (a) los esfuerzo normal y cortante en un elemento situado en el punto H con lados paralelos a los ejes xy, (b) Los planos principales y los esfuerzos principales en el punto H
Determinar los planos y esfuerzos principales.
7 - 11
Ejemplo 02:
SOLUCION:
Clculo de l sistema de par de fuerzas equivalente:

T = (150 lb )(18 in ) = 2.7 kip in P = 150 lb
M x = (150 lb )(10 in ) = 1.5 kip in
Clculo de esfuerzos en el punto H.

y =+ xy = +
(1.5 kip in )(0.6 in ) Mc =+ 1 (0.6 in )4 I (2.7 kip in )(0.6 in ) Tc =+ 1 (0.6 in )4 J

2 4
x = 0 y = +8.84 ksi y = +7.96 ksi

7 - 12
Ejemplo 02:
Determinacin de inclinacin de los planos y esfuerzos principales: 2 xy 2(7.96 ) = = 1.8 tan 2 p = x y 0 8.84
2 p = 61.0,119
p = 30.5, 59.5
max,min = x + y
2 x y 2 + xy 2
2 2
0 + 8.84 0 8.84 2 = + (7.96 ) 2 2
max = +13.52 ksi min = 4.68 ksi
7 - 13
Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano

Con el significado fsico del crculo de Mohr para el plano de esfuerzos establecido, basados en consideraciones geomtricas simples, los valores crticos se estiman o calculan grficamente. Para un estado conocido del esfuerzo plano x , y , xy dibujamos los puntos X y Y y construimos un circulo con centro en C.
prom =
x + y
2
x y 2 R= 2 + xy
2
Los esfuerzos principales obtenidos A y B. max,min = prom R
x y La direccin de rotacin de Ox hacia Oa es el mismo que CX hacia CA.

7 - 14
tan 2 p =
2 xy

Como el crculo de Mohr esta definido en forma nica, el mismo circulo puede obtenerse en otros planos de orientacin. Para el estado de esfuerzo y el ngulo respecto a los ejes axiales xy , se construye un nuevo dimetro XY y un ngulo 2 respecto a XY. Los esfuerzos normal y cortante se obtienen de los nuevos ejes XY.
7 - 15
Circulo de Mohr para carga axial concntrica:
x =
P , y = xy = 0 A
x = y = xy =
P 2A
Circulo de Mohr para torsin:
x = y = 0 xy =
Tc J
x =y =
Tc xy = 0 J
7 - 16
Ejemplo 03:
Para el estado de esfuerzo plano mostrado, (a) Construya el circulo de Mohr (b) Determine el plano principal, (c) Determine los esfuerzos principales, (d) el maximo esfuerzo cortante y el esfuerzo normal correspondiente
SOLUCION: Construccin del circulo de Mohr
2 2 CF = 50 20 = 30 MPa FX = 40 MPa R = CX =
prom
x + y
(50 ) + ( 10 ) = 20 MPa
= 50 MPa
7 - 17
(30 )2 + (40 )2
Ejemplo 03:
Planos y esfuerzos principales

max = OA = OC + CA = 20 + 50 max = 70 MPa min = OB = OC BC = 20 50
min = 30 MPa
tan 2 p = FX 40 = CP 30 2 p = 53.1
p = 26.6
7 - 18
Ejemplo 03:
Esfuerzos normal y cortante maximos:

s = p + 45
max = R max = 50 MPa
= prom
= 20 MPa
7 - 19
s = 71.6
Ejemplo 04:
Para el estado de esfuerzo mostrado determine: (a) Los planos y esfuerzos principales, (b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemnto obtenido rotando 30 en sentido opuesto a las agujas del reloj.
SOLUCION: Construccin del circulo de Mohr:

prom =
R=
x + y
2
100 + 60 = 80 MPa 2 =
(CF )2 + (FX )2
(20)2 + (48)2
= 52 MPa
7 - 20
Ejemplo 04:
Planos y esfuerzos principales

tan 2 p = XF 48 = = 2.4 CF 20 2 p = 67.4
max = OA = OC + CA
= 80 + 52
min = OC BC
= 80 52
p = 33.7 (horario )
max = +132 MPa
min = +28 MPa

7 - 21
Ejemplo 04:
Los componentes de los esfuerzos despues de la rotacion de 30o: Los puntos X - Y en el circulo se obtiene girando el plano XY en el sentido antihorario un angulo 2 = 60
= 180 60 67.4 = 52.6 x = OK = OC KC = 80 52 cos 52.6 y = OL = OC + CL = 80 + 52 cos 52.6 xy = KX = 52 sin 52.6
x = +48.4 MPa y = +111.6 MPa xy = 41.3 MPa
7 - 22

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Ing. Ivn D. Sipin Muoz.

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Transformacin de esfuerzos y deformaciones

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

El estado general de esfuerzos en un punto puede ser representado por 6 componentes:

x , y , z Esfuerzo normal xy , yz , zx Esfuerzo cortante (Nota : xy = yx , yz = zy , zx = xz )

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Fy = 0 = xy A + x (A cos )sin xy (A cos ) cos y (A sin ) cos + xy (A sin )sin

Las ecuaciones pueden reescribirse en funcin del esfuerzo como:

cos 2 + xy sin 2 cos 2 xy sin 2

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Nota : define dos angulos diferidos en 90o

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

El esfuerzo cortante mximo ocurre : x = prom

Nota : define dos angulos diferencia dos en 90 o y desplazado de p en 45 o

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Calculamos el ngulo de inclinacin para los planos principales:

Determinamos el esfuerzo principal:

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Reemplazando valores obtenemos:

x = +50 MPa x = 10 MPa

Los esfuerzos principales son:

max = 70 MPa min = 30 MPa

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Calculamos el esfuerzo cortante maximo

El esfuerzo normal correspondiente:

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Determinar los planos y esfuerzos principales.

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Clculo de l sistema de par de fuerzas equivalente:

M x = (150 lb )(10 in ) = 1.5 kip in

Clculo de esfuerzos en el punto H.

(1.5 kip in )(0.6 in ) Mc =+ 1 (0.6 in )4 I (2.7 kip in )(0.6 in ) Tc =+ 1 (0.6 in )4 J

x = 0 y = +8.84 ksi y = +7.96 ksi

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

0 + 8.84 0 8.84 2 = + (7.96 ) 2 2

max = +13.52 ksi min = 4.68 ksi

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

Escuela Ingeniera Mecnica Elctrica

Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano

Los esfuerzos principales obtenidos A y B. max,min = prom R

x y La direccin de rotacin de Ox hacia Oa es el mismo que CX hacia CA.

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Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano

Ing. Ivn D. Sipin Muoz

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Circulo de Mohr para Esfuerzo Plano

Circulo de Mohr para torsin:

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SOLUCION: Construccin del circulo de Mohr

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