5.angulos Verticales

Trigonometra
ANGULOS VERTICALES
1. ngulo de Elevacin.- Es aquel ngulo vertical formado por a horizontal y la visual que pasa por encima de esta. En estos casos el objeto siempre se encontrar en un nivel superior al observador. 2. Un nio observa una nube con un ngulo de elevacin de 37, luego de avanzar cierta distancia acercndose a la nube, el ngulo de elevacin con el cual ve a la nube es de 53. Si la nube se mantiene esttica a una altura de 120; que distancia camin el nio? RESOLUCIN 3. Desde el puesto de vigia de un barco que tiene 48m de altura, se observa que el ngulo de depresin de un bote es de 30. Calcular la distancia a la que est el barco. RESOLUCIN Ubicando los datos en un grfico:
APRENDIZAJES ESPERADOS
v Reconoce y diferencia ngulos de elevacin y depresin para su posterior aplicacin en la solucin de problemas. v Resuelve correctamente problemas que involucren ngulos de elevacin y depresin utilizando adecuadamente las razones trigonomtricas.
Visual
Angulo de elevacin Horizontal

2. Angulo de Depresin.- Es aquel ngulo vertical formado por la horizontal y la visual que pasa por debajo de esta. En estos casos el objeto siempre se encuentra en un nivel inferior al del observador.
Horizontal ngulo de depresin
COMENTARIO PREVIO
En la sesin anterior se haba percibido que las razones trigonomtricas de ngulos agudos sirven para resolver tringulos rectngulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de algunos otros conocidos. Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ngulo a , se puede calcular el cateto opuesto y el cateto adyacente (Revisar tema anterior) Pues bien, habiendo conocido y reforzado en el Tema anterior las razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo, en esta sesin trataremos una de las aplicaciones de estas razones trigonomtricas como es la de calcular alturas y distancias de determinados puntos.
Lnea de mira
4. Desde un avin se observa un barco con un ngulo de depresin de 53. Si en ese instante el avin vuela a 3 000m de altura. Cul es la distancia entre el avin y el barco? RESOLUCIN
Equipo de topografa El ingeniero de la izquierda mira a travs de un teodolito la barra marcada que sostiene otro ingeniero situado ms lejos. Algunas de las medidas topogrficas consisten en ver la diferencia de elevacin entre la barra y el teodolito, las distancias horizontales y los ngulos verticales y horizontales. El tercer miembro del equipo registra los datos medidos.
Es importante recalcar que: Cuando en los ejercicios o problemas a resolver no se indique la altura del observador, se debe considerar que este, est en la horizontal. EJERCICIOS RESUELTOS EN CLASE 1. Un observador situado a 30m de una torre de alta tensin, observa la parte superior de esta con un ngulo de elevacin de 30. Cul es la altura de la torre? RESOLUCIN
CONTENIDO TERICO
I. NGULOS VERTICALES Son aquellos ngulos que se miden en un plano vertical. Visual.- Es una lnea imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado Horizontal.- Es la recta que tiene la direccin de la superficie de las aguas tranquilas. CLASIFICACIN DE LOS NGULOS VERTICALES
5. Calcular la altura de un edificio observado con un teodolito de 1,50m d altura, si el observador, esta ubicado a 50m del edificio y el ngulo de elevacin es de 37. RESOLUCIN Incgnita: x + 15
Teodolito
Un ingeniero de la construccin utiliza un teodolito, un instrumento para medir ngulos en los planos horizontal y vertical muy usado en topografa.
Si : DE = 50 AC = 50
6. Desde un punto A situado a 50m de un rbol, se observa la parte superior de esta con un ngulo
de elevacin de 30, Si la persona se aleja x metros del rbol y vuelve a observar su parte superior se da cuenta que el ngulo de elevacin mide 15. Cul es el valor de x? RESOLUCIN
a) 5m d) 12,5m
b) 7,5m e) 15m
c) 10m
(Dato:
3 = 1,73)
b) 12,38 m. e) 12 m. c) 11,38 m.
ngulo de 60, se aleja 40m y este ngulo mide 30. Cul es la altura del rbol? a) 43,60 m. d) 36,4 m. b) 30,6 m. e) 38,4 m. c) 34,6 m.
PRACTICA DE CLASE
01. Un rbol que se encuentra perpendicular al piso, es cortado a una altura de 2m. del piso sabiendo que al caer forma un ngulo agudo a con respecto al piso (sen a = 0,2) entonces la altura del rbol. a) 4m b) 5m c) 6m d) 12m e) 18m 02. Desde un punto situado a 50m del pide de una torre, se observa su cspide con un ngulo de elevacin q. Determinar la altura de la torre si cos q = 0,96. a) 12,36m b) 14,50m c) 14,58m d) 13,58m e) 12,58m 03. Obtener la altura de un poste si el ngulo de elevacin con el cul se observa su parte ms alta aumenta desde 30 hasta 60, donde la distancia entre los puntos de observacin es igual a 20
06. Una persona de estatura considerable observa la base de un rbol con un ngulo de depresin de 30 y con un ngulo de elevacin de 60 su parte ms alta. Calcular la relacin de sus alturas de la persona y el rbol. a) 1/2 d) 1/6 b) 1/3 e) 1/4 c) 1/5
a) 10,38 m. d) 9,16 m.
11. A que distancia de un monumento, se sabe ubicar una persona de 2m. de altura, para observar la parte superior e inferior del monumento con ngulos de elevacin de 53 y 37 respectivamente, si el monumento tiene 14m de altura y se encuentra sobre un pedestal. a) 22 m. d) 25 m. b) 23 m. e) 26 m. c) 24 m.
16. El ngulo de elevacin de la cspide de una torre es de 60 a 72 metros de ella, estando el ojo del observador a 3 m. sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente: a) 72m. d) 73 m. b) e)
07. Cierto da Alfonso ve a Patty con un ngulo de elevacin de 53 en un edificio de 8m de altura. Si el camina cierta distancia y ella baja del edificio 5m viendo a Alfonso con un ngulo de depresin de 37, calcular la distancia recorrida del primer punto al segundo. a) 5m d) 2m b) 4m e) 1m c) 3m
73 3 72 3
c) 71 m.
12. Una embarcacin se acerca al puerto y es vista de lo alto de un edificio con un ngulo de depresin de 30, cuando se encuentra a 20 3 m. del edificio. Entonces la altura del edificio es? a) 5 3 m d) 10 m. b) 5 m. e) 20 m. c) 10 3 m
17. Un topgrafo observa la cima de un cerro bajo un ngulo de 60, se aleja de ella 40 m. y marca ahora un ngulo de 30. Cul es la altura del cerro? a) 43,60 m. d) 34,64 m. b) 40,10 m. e) 39,62 m. c) 36,64 m.
08. Desde el pie de una columna se observa la parte superior de una torre con un ngulo de elevacin de 60. Si la parte superior de la torre es observada desde la parte superior de la columna, el ngulo de elevacin es de 37 si la columna; el ngulo de elevacin es de 37 si la columna mide
3m
b) 30m e) 10m c) 40m
a) 50m d) 20m
3 -3)m. Hallar la altura de la torre. a) 5 3 /3 m. b) 4 3 /3 m. c) 4 3 d) 5 3 m. e) 3 3 m.

(4
13. Una colina esta inclinada a un ngulo a con respecto a la horizontal (tg a = 0,4), si desde su cumbre se divisa un punto en el suelo con una depresin angular q (tg q = 2/9), hallar la altura de la colina si el punto de observacin se encuentra a 300 m. de la base y fuera de la colina. a) 150 m. d) 200 m. b) 100 m. e) 250 m. c) 50 m.
m.
18. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ngulo de elevacin de p/12. Al recorrer 36 m. adicionales vuelve a observar encontrando esta vez un ngulo de p/6. Encuentra la altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observacin). a) 10m d) 14 m. b) 15 m. e) 18 m. c) 12 m.
04. Una persona de 1,75 de estatura observa un rbol con un ngulo de elevacin de 60 su parte superior. Hallar la altura del rbol. a) 5,25m d) 3,5 b) 3,5m e) 7 c) 7m
09. Desde un punto ubicado a 24m de la base de un rbol, se observa su parte mas alta con un ngulo de elevacin de 37. Qu distancia deberemos acercarnos hacia el rbol para que el nuevo ngulo de elevacin tenga una tangente igual a 6? a) 20m. d) 23m. b) 21m. e) 24m. c) 22m.
14. De un avin que est por aterrizar se observa en su misma direccin a la pista de aterrizaje. Al extremo ms alejado se observa con un ngulo de depresin de 30 y al extremo ms cercano con un ngulo de depresin de 60, hallar la longitud de la pista, si el avin se encuentra a De altura. a) 2 km d) 5 km b) 3 km e) 6 km
3m
3m
3 3
km.
05. A 20m de un poste, se observa su parte mas alta con un ngulo de elevacin cuya tangente vale 0,5. Cunto habr que acercarse al poste en la misma direccin para ver la parte superior con un ngulo de elevacin que sea complemento al anterior?
10. Una persona se encuentra de pie y a la orilla de un ro, observa un rbol plantado sobre la orilla opuesta con un ngulo de elevacin de 60 se aleja 12m. y el nuevo ngulo mide 30. Hallar la altura del rbol si la persona mide 1,62m.
c) 4 km
15. Una persona colocada a la orilla de un ro v un rbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un

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3 -3)m. Hallar la altura de la torre. a) 5 3 /3 m. b) 4 3 /3 m. c) 4 3 d) 5 3 m. e) 3 3 m.

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