Centro de Gravedad y Momento de Inercia I
Centro de Gravedad y Momento de Inercia I
Centro de Gravedad y Momento de Inercia I
CAPITULO III
CENTROS DE GRAVEDAD
MOMENTOS DE INERCIA
SUMILLA
1. Centro de gravedad, centroides 2.Momentos de Inercia
3.Teorema de Steiner.
4.Ejes y momentos principales de Inercia
OBJETIVOS.
1. Recordar y calcular centros de gravedad, centroides,el momento de Inercia y producto de inercia de las masas. 2. Introducir el producto de Inercia de un rea y ensear como se calculan los momentos de inercia mximo y mnimo. 3.Conocer las propiedades de las secciones transversales en elementos estructurales e identificar la variable que implica el estudio de Momento de Inercia.
Centro de Gravedad
El peso de un cuerpo es la fuerza de la atraccin gravitacional de la tierra sobre el cuerpo. El peso Resultante de todas sus partculas pasa a travs de un punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD
Simetra
Si hay eje de simetra, centro de gravedad sobre ese eje. Si hay dos ejes de simetra perpendiculares,punto de interseccin es centro de gravedad.
xiAi yA y i A i
xA
Ejemplo:
Centro de Gravedad
Determinar el centroide de la figura compuesta 6cm 2cm 5cm 2cm
Seccion
Area
x
3 3
Y
6 2.5
AX
36 30 66
AY
72 25 97
1 2
Sumat.
12 10 22
Centro de Gravedad
Ejemplo
Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, desarrollados en un principio por Pappus de Alejandra durante el siglo tercero a. c. y establecidos posteriormente por el matemtico suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se utilizan para calcular la superficie y volumen de cualquier objeto de revolucin.
PRIMER TEOREMA. El rea de una superficie en revolucin es igual a la longitud de la curva generatriz
multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie:
A=2 yc L.
Yc= distancia perpendicular desde el eje de revolucin al centroide de la curva L= longitud de la curva
SEGUNDO TEOREMA El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generatriz multiplicada por la
V=2 yc A
MOMENTOS DE INERCIA
INTRODUCCION En
mecnica muchas aplicaciones requieren que se conozca la resistencia a la rotacin de los cuerpos o propiedades fsicas involucradas en el calculo de otras magnitudes. En Fsica I el tema se aplicaba solo a masas. Sin embargo gracias a ello se demostrara que el momento de Inercia es una propiedad aplicable tambin a reas planas.
Una bailarina tendr ms momento de inercia si extiende los brazos, girara ms rpido si los contrae.
Cul de estos giros resulta ms difcil? El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleracin angular
Mecnica y Resistencia de Materiales FIP UNI MOMENTO DE INERCIA DE MASA. Considere una pequea masa m que esta montada sobre una barra, la cual puede rodar libremente sobre un eje AA. Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa las cuales estaban en reposo comienzan a girar alrededor de AA. Por tanto el producto de r2m proporciona una medida de inercia, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. Por esta razn el producto de r2m es llamado el momento de inercia de la masa con respecto al eje AA. El momento de inercia es igual a la integral:
Mecnica y Resistencia de Materiales FIP UNI MOMENTO DE INERCIA DE MASA. El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en trminos de la coordenadas x, y y z. Del elemento de la masa dm se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z:
Mecnica y Resistencia de Materiales FIP UNI MOMENTO DE INERCIA DE AREAS. Considere una placa delgada de espesor uniforme t , la cual esta hecha de material homogneo de densidad p (densidad = masa por unidad de volumen). El momento de inercia de masa de la placa con respecto a un eje AA esta dado por:
Momentos de 2 orden
dA bdy I x y 2 dA y 2 bdy
A 0 h
1 3 bh 3
x , y ejes baricntricos
El radio de giro de un rea con respecto a un eje particular es igual : a la raz cuadrada del cociente del segundo momento de rea dividido por el rea:
Consideremos el momento de inercia I de una rea A con respecto a un eje AA' (figura). representando con y la distancia desde un elemento de rea dA hasta AA', escribimos
Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide C del rea: este eje es llamado un eje centroidal. Llamando y' la distancia del elemento dA a BB', escribimos y = y' + d, donde d es la distancia entre los ejes AA' y BB'. Remplazando y en la integral de I, escribimos:
Rotacin de ejes
Ix Iy Ix Iy cos 2 I xy sen 2 2 2 Ix Iy Ix Iy I y cos 2 I xy sen 2 2 2 I Iy I x y x sen 2 I xy cos 2 2 Ix