Desigualdad de Boole

En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,

Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m})}$ de sucesos.

Se trata de probar que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$.

La desigualdad es cierta para ${\displaystyle m=1}$. Supuesta cierta para un ${\displaystyle m}$ dado, se considera una familia ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m+1})}$ de ${\displaystyle m+1}$ sucesos.

Sea ${\displaystyle E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}}$ : ${\displaystyle \mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$ (hipótesis de inducción).

Entonces: ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})}$,

de donde: ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})}$.

Ahora se trata el caso de una familia numerable ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}}$ de sucesos.

Para todo número natural ${\displaystyle n}$ (distinto de cero), sea ${\displaystyle E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}$; entonces ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})}$.

La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre ${\displaystyle n}$; en efecto ${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}}$ y para todo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$, entonces ${\displaystyle \lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)}$.

Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea ${\displaystyle \ A'_{1}=A_{1}}$ y para todo ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})}$.

Entonces ${\displaystyle \bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}}$, y los sucesos ${\displaystyle A'_{1},A'_{2},\dots }$ son incompatibles dos a dos;
por otra parte, para todo ${\displaystyle n,A'_{n}\subset A_{n}}$, entonces ${\displaystyle \mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})}$ (${\displaystyle \mathbb {P} }$ es creciente).

De todo esto, se deduce que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$.

En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.

Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos.

Sean:

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),}$

${\displaystyle S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),}$

y para 2 < k ≤ n,

${\displaystyle S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),}$

donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n.

Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ k ≤ n

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},}$

y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ k ≤ n

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.}$

La desigualdad de Boole se da para k = 1.

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