Nombro

La koncepto de nombro estas asocia al la kapablo kalkuli kaj kompari kiu el du aroj de similaj entoj havas pli grandan kvanton de elementoj. La unuaj homaj socioj trafis tuj la problemon determini kiu el du aroj estas "pli granda" ol alia, aŭ koni precize kiom da elementoj formis kolekton de aĵoj. Tiuj problemoj povis esti solvitaj simple kalkulante. La kapablo de la homa estaĵo kalkuli, ne estas simpla fenomeno, kvankam la majoritato de kulturoj havas kalkulsistemojn kiuj alvenas minimume ĝis centoj, kelkaj popoloj havantaj simplan materialan kulturon, disponas nur de terminoj por la nombroj 1, 2 kaj 3 kaj kutime uzas la terminon "multaj" por pli grandaj kvantoj, kvankam, kiam necesas, ili uzas rimede esprimojn tradukeblaj kiel "3 plus 3 kaj aliaj 3" kiam necesas.

La kalkulo plej verŝajne komencis pere de la uzado de fizikaj objektoj (kiaj amasoj da ŝtonoj) kaj de kalkulmarkoj, kiel tiuj trovitaj sur ĉizitaj ostoj: tiu de Lebombo, kun 29 fendoj gravuritaj sur osto de paviano, havas ĉirkaŭ 37 000 jarojn de antikveco kaj alia osto de lupo trovita en la iama Ĉeĥoslovakio, kun 57 markoj disponitaj en kvin grupoj de 11 kaj krome du apartaj, estis ĉirkaŭkalkulita en 30 000 jaroj de antikveco. Ambaŭ okazoj konstituas unu el la plej antikvaj kalkulmarkoj konataj ĝis nun kaj oni sugestis ke eble ili estas rilataj kun registroj de lunaj fazoj.^[2] Pri la origino de la orda kalkulo, kelkaj teorioj situas ĝin en religiaj ritoj. La nombraj sistemoj de la majoritato de lingvaj familioj respegulas ke la operacio kalkuli estis asocia al la kalkulo de aŭ per fingroj (tialo kial la sistemoj de dekuma kaj dudekuma bazo estas la plej abundaj), kvankam estas atestante la uzadon de aliaj nombraj bazoj krom 10 kaj 20, ekzemple 60 ĉe la babilonioj.

La paŝo al la nombraj simboloj, same kiel la skribado, asociiĝis al la apero de kompleksaj socioj kun institucioj centrigitaj konstituante burokratajn sistemojn de kalkulo en registroj pri impostado kaj de propraĵoj. Ties origino estus en primitivaj simboloj kun diferencaj formoj por la kalkulo de diferencaj tipoj de havaĵoj kiel tiuj kiuj estis trovitaj en Mezopotamio enskribitaj sur argilaj tabuletoj kiuj siavice estis venintaj anstataŭi iompostiome la kalkulon de diferencaj havaĵoj pere de argilaj ŝlipoj (konstatitaj almenaŭ ekde la jaro 8000 a.K.) La nombraj simboloj plej antikve trovitaj situas en la mezopotamiaj civilizoj kaj uziĝis kiel nombrosistemo ne nur por la kalkulo aŭ la komerco sed ankaŭ por la agrikultura mezurado kaj la astronomio, por ekzemplo, por registroj de la movadoj de la planedoj en la nokta ĉielo.^[3]

Imaginara nombro estas multipliko de reela nombro ${\displaystyle b}$  kun imaginara unuo ${\displaystyle i}$ . Ĉar la imaginara unuo estas difinita per la ekvacio ${\displaystyle i^{2}=-1}$ , la kvadrato de imaginara nombro ${\displaystyle bi}$  estas ${\displaystyle -b^{2}}$ , do ĝi ĉiam estas nepozitiva. La nura nombro kiu estas kaj reela kaj imaginara estas nulo.

La entjera nombro, entjero (aŭ plena nombro) konsistas el la naturaj nombroj (1, 2, 3, …), iliaj negativaj ekvivalentoj (−1, −2, −3, …) kaj 0 (nulo). Matematikistoj kutime signas ĝin per ℤ aŭ Z. La naturaj nombroj estas subaro de la entjeroj, kion oni signas per ℕ ⊂ ℤ.

Kompleksa nombro estas nombro, kiu havas aspekton z=a+bi, kie a kaj b estas reelaj nombroj, kaj i² egalas al la nombro -1. La signo i estas por imaginara unuo, a = Re z nomiĝas reela parto de kompleksa nombro kaj b = Im z - imaginara parto. Reelaj nombroj estas aparta kazo de kompleksaj nombroj, kie b=0.

Racionala nombro (aŭ racia nombro) estas kvociento de du entjeroj; ekzemple 3/7. Matematike, eblas difini la racionalajn nombrojn kiel ordajn parojn de entjeroj (a,b), kie b ≠ 0. Oni difinas adicion kaj multiplikon laŭ la jenaj reguloj:

• (a,b) + (c,d) := (a·d + b·c, b·d)
• (a,b) · (c,d) := (a·c, b·d)

Kvankam neracionalaj nombroj ne estas ofte uzataj en ĉiutaga vivo, ili ekzistas sur la nombro-linio. Efektive, inter 0 kaj 1 sur la nombro-linio, estas senfina nombro de neracionalaj nombroj. Racionalaj kaj neracionalaj nombroj faras tuton de reelaj nombroj. La bezono de la ekzakta esprimo de kelkaj grandoj (ekz. proporcio de kvadrata diagonalo al ĝia latero) postulis determinon de neracionalaj nombroj, kiuj esprimiĝas per racionalaj nombroj nur proksimume. Ĉiuj nombroj, kiuj ne estas racionalaj, estas konsiderataj kiel neracionalaj. La termino neracionala devenas de latina irrationalis - neracia, de ir(in) - negativa prefikso kaj ratio - proporcio. Ili povas esti skribitaj kiel decimaloj, sed ne kiel frakcioj, kaj havas senfinan nombron da ciferoj dekstre de la decimala punkto. Jen ekzemplo de neracionalaj nombroj:

• pi = 3,141592 ...
• kvadrata radiko de 2 = 1,414213
• reelaj nombroj (reeloj) estas intuicie difinitaj kiel nombroj, kiuj estas bijekciaj al la punktoj sur malfinia rekto, la nombra akso. Historie la termino reala nombro estis konstruita responde kaj kontraste al imaginara nombro. En Esperanto oni kutime uzas apartan radikon substantivan reelo. Reelo povas esti racionala aŭ neracionala; algebra aŭ transcenda; kaj pozitiva, negativa aŭ nulo.

Natura nombro povas aŭ signifi ne-negativan entjeron (0,1,2,3,...) aŭ (malofte) pozitivan entjeron (1,2,3,4,...). Naturaj nombroj havas du ĉefajn uzojn: Oni uzas ĝin por nombri objektojn (ekz-e "estas tri pomoj sur la tablo") aŭ por ordigi objektojn (ekz-e "ĝi estas la trie plej granda urbo en la lando"). En la dua signifo ili estas nomataj vicmontraj nombroj aŭ numeroj. La simbolo estas ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

Primo estas pozitiva entjero, kiu ne estas produto de du aliaj pozitivaj entjeroj kaj dividiĝas nur per si kaj per 1. Ekzemple, 12 dividiĝas je 1, 2, 3, 4, 6, 12 (kiuj estas la divizoroj de 12), sed 17 dividiĝas nur je 1 kaj 17. Sekve la nombro 17 estas primo, sed la nombro 12 ne estas primo, sed komponita nombro. Ĉiu primo pli granda ol 3 estas de formo ${\displaystyle 6n-1}$  aŭ ${\displaystyle 6n+1}$  por iu natura nombro n.

Transcenda nombro estas kompleksa nombro kiu ne estas algebra, tio estas, ne estas solvaĵo de ne-nula polinoma ekvacio kun racionalaj koeficientoj. La plej elstaraj ekzemploj de transcendaj nombroj estas π kaj la bazo de la naturaj logaritmoj e. Nur kelkaj klasoj de transcendaj nombroj estas sciataj. Povas esti ege malfacile montri ke iu donita nombro estas transcenda. Tamen, transcendaj nombroj estas ne maloftaj, preskaŭ ĉiuj reelaj kaj kompleksaj nombroj estas transcendaj, pro tio ke la algebraj nombroj estas kalkuleblaj, sed aro de transcendaj nombroj estas nekalkulebla malfinio. La pruvo estas simpla. Pro tio ke la polinomoj kun entjeraj koeficientoj estas kalkuleblaj, kaj pro tio ke ĉiu ĉi tia polinomo havas finian kvanton de radikoj, la algebraj nombroj estas kalkuleblaj. Sed diagonala argumento de Cantor pruvas ke reelaj nombroj (kaj pro tio ankaŭ kompleksaj nombroj) estas nekalkuleblaj, do aro de ĉiuj transcendaj nombroj estas nekalkulebla. Ĉiu (reela) transcenda nombro estas neracionala nombro, pro tio ke ĉiu racionala nombro estas algebra nombro. La malo ne estas vera, ne ĉiu neracionala nombro estas transcenda. Ekzemple, kvadrata radiko de 2 estas neracionala, sed ĝi estas radiko de polinomo x²-2, tiel ĝi ne estas transcenda.

Hiperreelaj nombroj estas rigora matematika maniero pritrakti infinitojn kaj infinitezimojn. Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pli intuicia ol matematike rigora. Pro disvolvoj de formala logiko dum 19-a kaj 20-a jarcentoj, oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore. La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomataj nenormaj reeloj) *R estas korpa vastigaĵo de la aro de reeloj R, kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu difinita reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

${\displaystyle 1+1+\cdots +1.\,}$ 

6174 estas konata kiel la konstanto de Kaprekar, laŭ la barata matematikisto D. R. Kaprekar. Ĉi tiu nombro estas notinda pro la rezulto de la sekvanta proceduro.

• paŝo 1: Prenu ajnan kvar-ciferan entjeron, enhavantan almenaŭ du malsamajn ciferojn. (Antaŭaj nuloj estas permesitaj.)
• paŝo 2: Aranĝu la ciferojn en malkreskantan kaj poste kreskantan sinsekvon por havigi du kvar-ciferajn nombrojn, aldonante antaŭajn nulojn, se necese.
• paŝo 3: Subtrahu la pli malgrandan nombron el la pli granda. Reiru al paŝo 2 kaj ripetu.

La supra procezo, konata kiel la rutino de Kaprekar, ĉiam atingos la nombron 6174, post ne pli ol 8 iteracioj, kaj poste donos la nombron 6174 senfine.

• Lasta lekcio en Gotingeno elŝutebla en pdf-formato, bildrakonto en Esperanto de Davide Osenda, kiu temas pri aroj de nombroj. Tradukita en esperanto en la projekto RoMEo.